北师大版初一数学下册《三角形的中线和角平分线》

初中数学试卷桑水出品4.1.3 三角形的中线、角平分线基础训练1.若AD是△ABC的中线,则下列结论中错误的是( )A.AB=BCB.BD=DCC.AD平分BCD.BC=2DC2.三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个( )A.形状相同的三角形B.面积相等的三角形C.直角三角形D.周长相等的三角形3.如图,已知BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,△ABD和△BCD的周长的差是)(A.2B.3C.6D.不能确定4.如图,在△ABC中,D,E分别为BC,AD的中点,且S△ABC=4,则S阴影为()A.2B.1C.12 D.145.已知三角形的三条中线交于一点,则下列结论:①这一点在三角形的内部;②这一点有可能在三角形的外部;③这一点是三角形的重心.其中正确的结论有.(填序号)6.有一质地均匀的三角形铁片,若阿龙想用木棒撑住此铁片,则支撑点应设在该三角形的处最恰当.7.下列说法中正确的是( )A.三角形的角平分线和中线都是线段B.三角形的角平分线和中线都是射线C.三角形的角平分线是射线,而中线是线段D.三角形的角平分线是线段,而中线是射线8.如图, ∠1=∠2,∠3=∠4,下列结论错误的是( )A.BD是△ABC的角平分线B.CE是△BCD的角平分线C.∠3=12∠ACBD.CE是△ABC的角平分线9.如图,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,若∠A=50°,则∠D等于( )A.120°B.130°C.115°D.110°提升训练10.如图,AD是∠CAB的平分线,DE∥AB,DF∥AC,EF交AD于点O.请问:(1)DO是∠EDF的平分线吗?给出结论并说明理由.(2)若将DO是∠EDF的平分线与AD是∠CAB的平分线,DE∥AB,DF∥AC中的任一条件交换,所得结论正确吗?若正确,请选择一个说明理由.11.如图,网格小正方形的边长都为1,在△ABC中,试分别画出三条边上的中线,然后探究三条中线的位置及与其有关的线段之间的关系,你发现了什么有趣的结论?12.如图,在△ABC中,BC边上的高是;在△BCE中,BE边上的高是;在△ACD中,AC边上的高是.13.过△ABC的顶点A,作BC边上的高,以下作法正确的是( )14.如图,△ABC的面积为16,点D是BC边上一点,BC,点G是AB上一点,点H在△ABC内部,且四边形BDHG是平行四且BD=14边形,则图中阴影部分的面积是( )A.3B.4C.5D.615.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.都有可能16.不一定在三角形内部的线段是( )A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高D.以上都不对17.下列说法中正确的是( )A.三角形的三条高都在三角形内B.直角三角形只有一条高C.锐角三角形的三条高都在三角形内D.三角形每一边上的高都小于其他两边18.下列结论:①三角形的角平分线、中线、高都是线段;②直角三角形只有一条高;③三角形的中线可能在三角形外部;④三角形的高都在三角形内部.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个19.如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,若,求AD的长.BC=10,AC=8,BE=17220.已知AD是△ABC的高,∠BAD=72°,∠CAD=21°,求∠BAC的度数.21.如图,已知在△ABC中,AB=AC=4,P是BC边上任一点,PD⊥AB,PE⊥AC,D,E为垂足.若△ABC的面积为6,问:PD+PE的值能否确定?若能确定,值是多少?请说明理由.参考答案1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】A解：根据中线的定义,得AD=CD,所以两三角形的周长之差就是AB与BC之差.4.【答案】B解：因为AD是△ABC的中线,所以S△ACD=12S△ABC=2.又因为CE是△ACD的中线,所以S阴影=12S△ACD=1.故选B.5.【答案】①③6.【答案】重心7.【答案】A8.【答案】D解：射线CE是∠BCA的平分线,但线段CE不是△ABC的角平分线,它只是△ABC角平分线的一部分.9.【答案】C解：∠D=180°-∠CBD-∠BCD=180°-12(∠ABC+∠ACB)=180°-12(180°−∠A)=180°-12×(180°-50°)=115°.10.解:(1)DO是∠EDF的平分线.理由:因为AD是∠CAB的平分线,所以∠EAD=∠FAD.因为DE∥AB,DF∥AC,所以∠EDA=∠FAD,∠FDA=∠EAD.所以∠EDA=∠FDA.所以DO是∠EDF的平分线.(2)正确.若和DE∥AB交换.理由:因为DF∥AC,所以∠FDA=∠EAD.因为AD是∠CAB的平分线,所以∠EAD=∠FAD.所以∠FAD=∠FDA.又因为DO是∠EDF的平分线,所以∠EDA=∠FDA.所以∠EDA=∠FAD.所以DE∥AB.(答案不唯一)11.解:所画中线如图所示.发现的结论为:①三条中线交于一点;②在同一条中线上,中线的交点与边中点所连线段的长度等于它与对应顶点所连线段的长度的一半.12.【答案】AF;CE;CD 13.【答案】A14.【答案】B解：设△ABC 底边BC 上的高为h,△AGH 底边GH 上的高为h 1,△CGH 底边GH 上的高为h 2,则有h=h 1+h 2. S △ABC =12BC ·h=16,S 阴影=S △AGH +S △CGH =12GH ·h 1+12GH ·h 2=12GH ·(h 1+h 2)=12GH ·h.因为四边形BDHG 是平行四边形,且BD=14BC,所以GH=BD=14BC,所以S 阴影=14×(12BC ·ℎ)=14S △ABC =4.故选B.15.【答案】C 16.【答案】C 17.【答案】C 18.【答案】A19.解:因为AD ⊥BC,BE ⊥AC,所以S △ABC =12·BC ·AD=12·AC ·BE.所以BC ·AD=AC ·BE.又因为BC=10,AC=8,BE=172,所以10AD=8×172.所以AD=6.8.20.解:当高AD 在△ABC 的内部时,如图①,∠BAC=∠BAD+∠CAD=93°;当高AD 在△ABC 的外部时,如图②,∠BAC=∠BAD-∠CAD=51°.21.解:PD+PE 的值能确定,且PD+PE=3. 理由:如图,连接AP.由图可得S △ABC =S △ABP +S △ACP .因为PD ⊥AB,PE ⊥AC,AB=AC=4,△ABC 的面积为6, 所以6=12×4×PD+12×4×PE=2(PD+PE).所以PD+PE=3.。

第四章 三角形1 认识三角形第3课时 三角形的中线和角平分线新课导入：我能用一支铅笔支起一个三角形，你相信吗？你们想知道这个点的位置是怎样确定的吗？想知道这里面蕴含的数学知识吗？那就开始本节课的学习吧！(板书课题)[说明与建议] 说明：学生本来就对《出彩中国人》这个节目挺感兴趣，再加上对老师做的游戏好奇，然后可以让学生自己动手操作来完成这个游戏，学生也许不知道其中的道理，但会对本节课产生强烈的求知欲，并且对下面的知识充满期待，可以顺利地导入新课．建议：让学生跟随教师通过动手游戏，体验成功的乐趣，感受数学与现实生活的联系，以轻松、愉快的心态进入探究新知的过程．归纳导入 (1)线段的中点：点C 把线段AB 分成相等的两条线段AC 和BC ，点C 叫做线段AB 的__中点__．如图4－1－42，∵点C 是线段AB 的中点，∴AC ＝BC ＝__12__AB ，AB ＝__2__AC ＝__2__BC.4－1－424－1－43(2)角平分线：从一个角的顶点引出的一条__射线__，把这个角分成两个相等的__角__，这条__射线__叫做这个角的平分线．如图4－1－43，∵射线OC 是∠AOB 的平分线，∴∠AOC ＝∠BOC ＝__12__∠AOB ，∠AOB ＝__2__∠BOC ＝__2__∠AOC. [说明与建议] 说明：复习角平分线、线段中点的概念，为理解、辨析三角形角平分线、中线做铺垫，训练学生的几何语言表达能力；以抢答形式复习，激活学生思维，营造积极的课堂氛围．建议：分组抢答，互纠错误．教师适时鼓励．填空：(1)线段AD 是△ABC 的角平分线，那么∠BAD ＝________＝12________； (2)线段AE 是△ABC 的中线，那么BE ＝________＝________BC.【模型建立】在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线，三角形的中线把三角形分成两个面积一样的三角形；在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线，三角形的三条角平分线交于一点．【变式变形】1．如图4－1－44在△ABC 中，AE ，AD 分别是BC 边上的中线和高．试说明△ABE 的面积与△AEC 的面积相等．解：∵AE 是BC 边上的中线，∴BE ＝EC.∵S △ABE ＝12BE·AD ，S △AEC ＝12EC·AD ， ∴S △ABE ＝S △AEC .2．如图4－1－45，试把一块三角形煎饼分成大小相同的4块，有多少种分法？[答案：略(答案不唯一)]4－1－44图4－1－4－1－463．如图4－1－46所示，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长长3 cm，BC＝8 cm，求AC的长．解：∵CM是△ABC的中线，∴BM＝AM.又∵△BCM的周长比△ACM的周长长3 cm，∴(BC＋BM＋MC)－(AC＋MC＋AM)＝3 cm.即BC－AC＝3 cm.又BC＝8 cm，∴AC＝5 cm.4．已知△ABC中，AC＝5 cm.中线AD把△ABC分成两个小三角形，这两个小三角形的周长的差是2 cm.你能求出AB的长吗？[答案：当AB>AC时，AB＝7 cm；当AB<AC时，AB＝3 cm][命题角度1] 三角形中线的性质三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形．例如图4－1－47，AE是△ABC的中线，EC＝6，DE＝2，则BD的长为(C)图4－1－47A．2B．3C．4D．6[解析] 因为AE是△ABC的中线，所以BE＝EC＝6.又因为DE＝2，所以BD＝BE－DE＝6－2＝4.[命题角度2] 三角形角平分线的性质三角形的角平分线是角的平分线的一部分，满足角平分线的性质．三角形的三条角平分线交于一点．图4－1－48例如图4－1－48，△ABC中，∠A＝100°，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线且相交于点O，求∠BOC的度数．[答案：∠BOC ＝140°][命题角度3] 三角形角平分线、内角和的应用三角形的内角和是180°，三角形的三条角平分线交于同一点，根据这些性质可以进行角度的计算．图4－1－49例 [泉州中考] 如图4－1－49，在△ABC 中，I 是内角平分线AD ，BE ，CF 的交点．(1)∠BIC 与∠BAC 的大小有什么关系呢？为什么？(2)∠CIA 与∠ABC 的大小有什么关系呢？∠AIB 与∠ACB 呢？请直接写出结论．解：(1)∠BIC ＝90°＋12∠BAC. 理由：因为BE 平分∠ABC ，所以由角平分线定义可得∠IBC ＝12∠ABC. 同理可以得∠ICD ＝12∠ACB.所以∠IBC ＋∠ICD ＝12(∠ABC ＋∠ACB)． 又因为∠BAC ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°，所以∠ABC ＋∠ACB ＝180°－∠BAC ，因此可得∠IBC ＋∠ICD ＝12(180°－∠BAC)． 又因为∠BIC ＝180°－(∠IBC ＋∠ICD)，所以∠BIC ＝180°－12(180°－∠BAC)＝90°＋12∠BAC. (2)∠CIA ＝90°＋12∠ABC ，∠AIB ＝90°＋12∠ACB. P88 随堂练习1．填空：(1)线段AD 是△ABC 的角平分线，那么∠BAD ＝________＝12________； (2)线段AE 是△ABC 的中线，那么BE ＝________＝________BC .[答案] (1)∠DAC ∠BAC (2)EC 122．如图，在△ABC 中，∠A ＝50°，∠C ＝72°，BD 是△ABC 的一条角平分线，求∠ABD 的度数．解：∠ABC＝180°－50°－72°＝58°.∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝29°.P88习题4.31．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝45°，AD是△ABC的一条角平分线，求∠ADB的度数．解：105°.2．三角形的一条中线将这个三角形分成两个三角形，这两个三角形的面积有什么关系？解：相等．3．如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝74°，CD是∠ACB的角平分线，点E在AC 上，且DE∥BC，求∠EDC的度数．解：∠EDC＝22°.P90随堂练习1．下图中，△ABC的BC边上的高画得对吗？若不对，请改正．解：(1)正确．(2)错误，应过点A作BC边的垂线段．2．两人一组，画出对方所给出的三角形的三条高．解：略．。

《三角形的角平分线和中线》说课稿各位老师你们好!今天我要为大家讲的课题是《三角形的角平分线和中线》。

我将从教材分析、教学策略、教学程序及设想、教学工具、板书设计、作业布置六方面来介绍这节课。

对于教材分析，谈谈1,2,31. 教材所处的地位和作用：本节内容是七年级下册第1章第2节内容。

在此之前，已学习了三角形的概念、分类、内角和外角的概念及性质、边之间的关系，以及角平分线和线段中点，也初步了解了几种语言之间的转化，手工课上也常有折纸环节，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。

本节内容可以加深学生对所学知识的理解，使学生对研究几何问题的基本方法有一个初步的认识与了解，也为后面学习三角形的高线，全等，折叠问题等所有几何学习奠定基础。

初一了，学生开始从实验几何向论证几何过渡，初一是学习几何的关键期，要学好几何论证题，关键是顺利通过入门这一关，而这节课就是一个入门知识。

三角形的分类,三种语言的转化和拓展题中的角的整体思想是本节课包涵的主要思想。

根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：①通过折纸和画折痕亲身体验归纳得到三角形角平分线和中线概念，进一步加深对概念的理解，培养学生分类的意识和动手操作的能力②理解并会运用概念解决简单的几何问题，培养学生观察、辨别、分析、归纳的能力，合作意识和大胆猜想、乐于探索的学习意志，激发学习数学的兴趣。

③通过师生双边活动，初步培养学生转化三种语言的能力，使学生的书写格式逐步上路。

3. 重点，难点以及确定依据：本节课的重点是：三角形的角平分线和中线的概念。

难点是：应用三角形的角平分线的概念和三角形内、外角的性质，解决有关角度计算等问题。

为了突破重难点，本节课我设计了折纸和画折痕环节，让学生在实践操作中经历三角形的角平分线和中线得到的过程，感受概念的内涵，体会分类讨论的思想。

对于每一知识，注重三种语言的转化，为了讲清重难点，使学生能达到本节课设定的目标，接下来谈谈：二、教学策略：主要是1教学手段,2学情分析1. 教学手段：数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，我们在以学生既为主体，又为客体的原则下，展现获取知识和方法的思维过程。