相似三角形专题训练苏科版2017

苏科版九年级数学下册（相似三角形的性质）期末易错题练习-含答案学校:班级:姓名:考号:一、单选题1．已知，△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积之比为1：2，当BC=1，对应边EF的长是（）A．√2B．2 C．3 D．42．如图，已知D、E分别在△ABC的AB、AC边上，△ABC∽△AED，则下列各式成立的是（）A．ADBD =AECEB．AD⋅DE=AE⋅ECC．ADAB =DEBCD．AB⋅AD=AE⋅AC．3．如图△ABO∽△CDO，若BO=6，DO=3，CD=2则AB的长是（）A．2 B．3 C．4 D．54．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：15．如图，在△ABC中DE//FG//BC，AD：AF：AB=1：2：4，则S△ADE：S四边形DEGF ：S四边积FGCB=（）A．1∶2∶4 B．1∶4∶16 C．1∶3∶12 D．1∶3∶86．如图，小亮同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现他的身影顶部正好接触路灯B的底部，这时他离路灯A 25米，离路灯B 5米，如果小亮的身高为1.6米，那么路灯高度为（）A．6.4米B．8米C．9.6米D．11.2米7．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE 于G，BG= 4√2，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9 D．8图象上的一个8．平面直角坐标中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y=﹣1x动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题9．若两个相似三角形的相似比是2：3，则它们的对应高线的比是．AD，连接BE交AC于点F，AC=12，则AF为．10．如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE= 2311．如图，△ABC∽△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，AB=16，AC=12，F是DE的中点，若点E是直线BE上的动点，连接BF，则BF的最小值是。

第18.1课时 相似三角形一．填空题（基础）1． 如图，ABC ∆∽MNP ∆，则它们的对应角分别是A ∠与∠_____,∠B 与∠_____，C ∠与∠_____；对应边成比例的是________=_________=_________;若AB =2.7cm,cm MN 9.0=,cm MP 1=,则相似比=_________,=BC _________cm .BAGFEDCBANPMC （第2题）（第1题）2． 如图,四边形ABCD 中,AD ∥EF ∥BC ,AC 交EF 于G .图中能相似的三角形共有_______对,它们分别是_________、___________,小明通过这两对相似三角形推出了比例式：ABBEAD FG =，对不对，为什么？ 二．填空题3． 如图，ABC ∆和DEF ∆的三边长分别为7、2、6和12、4、14，且两三角形相似，则A∠与∠_____,∠B 与∠_____，C ∠与∠_____，)()()(ACDF AB ==。

（第5题）（第4题）（第3题）CGFED CBAFEBAEFDCB A4． 如图，ABC ∆∽AEF ∆，写出三对对应角：_________=_________,_________=________, ________=_________,并且)()()()()(==AF ,若ABC ∆与AEF ∆的相似比是3：2，cm EF 8=，则________=BC 。

5． 如图，ABC ∆中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB 、AC 、AD 于点E 、F 、G ，图中共有______对相似三角形，它们是______________________________________.6． 如图，平行四边形ABCD 中，，上的一点，是43=EC BE BC E ，于点交F BD AE =BF 的值。

及，求DF DABEcm 6 FE DCBA三．选择题1．下列命题中不正确的是（ ）A ．如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似。

6.5 相似三角形的性质培优训练一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•南京一模）已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4．若BC＝1，则EF的长是（）A．B．2 C．4 D．162．（2019秋•海陵区期末）若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（）A．1：B．1：2 C．1：3 D．1：43．（2019秋•新沂市期末）已知△ABC和△A1B1C1相似，相似比为1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长的比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1 4．（2020•南岸区校级模拟）若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF 的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：5．（2019秋•江阴市期中）在Rt△ABC中，如果将△ABC各边长度都扩大3倍，则锐角A 的余弦值（）A．不变化B．扩大为原来的3倍C．缩小为原来的D．扩大为原来的9倍6．（2020春•高新区期末）如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点F，△AEF 的面积为2，则四边形CDEF的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．127．（2020秋•宜兴市校级月考）在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，AB、CD 相交于点E，则CE：ED的比值为（）A．B．C．D．8．（2020秋•梁溪区校级期中）如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：2，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：5 B．9：4 C．9：25 D．3：2 9．（2020秋•延庆区期中）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD ＝1，BD＝2，则△ADE与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．10．（2020秋•蜀山区校级月考）如图，已知点D、E是AB的三等分点，DF、EG将△ABC 分成三部分，且DF∥EG∥BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3＝（）A．1：2：3 B．1：2：4 C．1：3：5 D．2：3：4二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•淮安模拟）顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形的相似比是．12．（2020•灌云县模拟）若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为．13．（2019秋•铜山区期末）两个相似三角形的面积比为9：16，其中较大的三角形的周长为64cm，则较小的三角形的周长为cm．14．（2020秋•江阴市校级月考）两个相似三角形周长之比为2：3，面积之差为10cm2，则它们的面积之和为cm2．15．（2020•鼓楼区校级模拟）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD 平分∠ACB．若AD＝1，BD＝2，则AC的长．16．（2020春•海淀区校级月考）如图，在矩形ABCD中，E是边AB中点，连接DE交AC 于点F，若AB＝12，AD＝9，则CF的长为．17．（2019秋•雨花台区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为．18．（2019•丹阳市模拟）如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，则CM＝．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2018秋•兴化市月考）如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．求：（1）∠ADE和∠AED的度数；（2）DE的长．20．（2020春•大丰区期中）如图，已知△ABC中，AT为∠BAC的平分线，（1）若AB＝3，AC＝4，BC＝5，求△ABT与△ACT的面积之比．（2）求证：．21．（2020•鼓楼区校级模拟）如图，O是▱ABCD对角线BD上的一点，且∠AOC＝2∠ABC，OC＝OD，连接OA．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）求证：CD2＝OD•BD．22．（2018秋•临泽县校级期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A 以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？23．（2019秋•赣榆区期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．24．（2020•淮安模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P 从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020•南京一模）已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4．若BC＝1，则EF的长是（）A．B．2 C．4 D．16【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算，得到答案．【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF面积之比为1：4，∴△ABC与△DEF相似比为1：2，即，∵BC＝1，∴EF＝2，故选：B．2．（2019秋•海陵区期末）若两个相似三角形的相似比是1：2，则它们的面积比等于（）A．1：B．1：2 C．1：3 D．1：4【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．【解析】∵两个相似三角形的相似比是1：2，∴这两个三角形们的面积比为1：4，故选：D．3．（2019秋•新沂市期末）已知△ABC和△A1B1C1相似，相似比为1：2，则△ABC与△A1B1C1的周长的比为（）A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解决问题即可．【解析】∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为1：2，∴△ABC与△A1B1C1的周长比为1：2，故选：A．4．（2020•南岸区校级模拟）若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF 的周长比为（）A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2：【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．【解析】∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，∴△ABC与△DEF的相似比为：：2，∴△ABC与△DEF的周长比为：：2．故选：C．5．（2019秋•江阴市期中）在Rt△ABC中，如果将△ABC各边长度都扩大3倍，则锐角A 的余弦值（）A．不变化B．扩大为原来的3倍C．缩小为原来的D．扩大为原来的9倍【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，可得答案．【解析】Rt△ABC中，cos A，Rt△ABC中，各边的长度都扩大3倍，那么锐角A的余弦，cos A．故选：A．6．（2020春•高新区期末）如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点F，△AEF 的面积为2，则四边形CDEF的面积为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】用矩形的性质得到AD∥BC，BC＝AD，再证明△AEF∽△CBF得到，由相似三角形的性质得到S△CBF＝4S△AEF＝8，利用三角形的面积公式得到S△ABF S△CBF＝4，S△ABC＝S△ADC＝S△CBF+S△ABF＝12，然后利用△ADC的面积减去△AEF的面积得到四边CDEF的面积．【解析】∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，BC＝AD，AB＝CD，∠ABC＝∠D＝90°，∴S△ABC＝S△ADC，∵E是矩形ABCD中AD边的中点，∴BC＝AD＝2AE，∵AE∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∴（）2，∴S△CBF＝4S△AEF＝8，∴S△ABF S△CBF＝4，∴S△ABC＝S△ADC＝S△CBF+S△ABF＝12，∴四边CDEF的面积为：S△ADC﹣S△AEF＝12﹣2＝10，故选：C．7．（2020秋•宜兴市校级月考）在如图的正方形网格图中，A、B、C、D都是格点，AB、CD 相交于点E，则CE：ED的比值为（）A．B．C．D．【分析】设小正方形的边长为1，由平行线分线段成比例可求CN，DG的长，通过证明△CEN∽△DEG，可得，可求解．【解析】如图，过点A作AF⊥BD，交BD的延长线于F，过点C作CH⊥BD于H，设AB与CH的交点为N，与DM交于点G，小正方形的边长为1，∵AF∥CH，∴△BNH∽△BAF，∴，∴NH AF，∴CN＝CH﹣NH，∵DM∥AF，∴，∴DG，∵CH∥DM，∴△CEN∽△DEG，∴，故选：C．8．（2020秋•梁溪区校级期中）如图，在▱ABCD中，点E在DC边上，连接AE，交BD于点F，若DE：EC＝3：2，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：5 B．9：4 C．9：25 D．3：2【分析】利用平行四边形的性质得到DC∥AB，DC＝AB，则可判断△DEF∽△BAF，然后根据相似三角形的性质求解．【解析】∵DE：EC＝3：2，∴DE：DC＝3：5，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴DE：AB＝3：5，∵DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴（）2＝（）2．故选：C．9．（2020秋•延庆区期中）如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC．若AD ＝1，BD＝2，则△ADE与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．【分析】先证明△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质求解．【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴（）2＝（）2．故选：D．10．（2020秋•蜀山区校级月考）如图，已知点D、E是AB的三等分点，DF、EG将△ABC 分成三部分，且DF∥EG∥BC，图中三部分的面积分别为S1，S2，S3，则S1：S2：S3＝（）A．1：2：3 B．1：2：4 C．1：3：5 D．2：3：4【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求解．【解析】∵点D、E是AB的三等分点，∴，，∵DF∥EG∥BC，∴△ADF∽△AEG，△ADF∽△ABC，∴，，∴S1：S2：S3＝1：3：5，故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2020•淮安模拟）顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形的相似比是1：2．【分析】利用三角形的中位线定理得到三角形的相似比即可．【解析】因为，顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形的三边的长等于原三角形对应边的一半，所以，顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应边的比是1：2，所以，所得的三角形与原三角形的相似比为1：2，故答案为：1：2．12．（2020•灌云县模拟）若△ABC～△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为3：2．【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案．【解析】∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，∴对应高的比为：3：2．故答案为：3：213．（2019秋•铜山区期末）两个相似三角形的面积比为9：16，其中较大的三角形的周长为64cm，则较小的三角形的周长为48cm．【分析】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算即可．【解析】两个相似多边形的面积比是9：16，面积比是周长比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是4：3．相似多边形周长的比等于相似比，因而设小多边形的周长为xcm，则有64：x＝4：3，解得x＝48，故答案为：48．14．（2020秋•江阴市校级月考）两个相似三角形周长之比为2：3，面积之差为10cm2，则它们的面积之和为26cm2．【分析】由两个相似三角形的周长比为2：3，根据相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得它们的面积比，又由它们的面积之差为10cm2，即可求得答案．【解析】∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比为2：3，∴它们的面积比为：4：9，设此两个三角形的面积分别为4xcm2，9xcm2，∵它们的面积之差为10cm2，∴9x﹣4x＝10，解得：x＝2，∴它们的面积之和是：9x+4x＝13x＝26（cm2）．故答案为：26．15．（2020•鼓楼区校级模拟）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD 平分∠ACB．若AD＝1，BD＝2，则AC的长．【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CD＝BD＝2，证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质计算，得到答案．【解析】∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，∴CD＝BD＝2，∴∠B＝∠DCB，AB＝AD+BD＝3，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∴AC2＝AD×AB＝1×3＝3，∴AC，故答案为：．16．（2020春•海淀区校级月考）如图，在矩形ABCD中，E是边AB中点，连接DE交AC 于点F，若AB＝12，AD＝9，则CF的长为10．【分析】由勾股定理可求AC的长，通过证明△AEF∽△CDF，可得，可得CF＝2AF，即可求解．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝9，AB＝CD＝12，∠B＝90°，∴AC15，∵E是边AB中点，∴AE＝6，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴，∴CF＝2AF，∵AF+CF＝AC＝15，∴AF＝5，∴CF＝10，故答案为：10．17．（2019秋•雨花台区期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为或或．【分析】利用勾股定理计算出AB＝5，则△ABC的周长为12，设AD＝x，讨论：（1）作DE⊥AC于E，如图1，则AE＝6﹣x，利用△ADE∽△ABC得到x：5＝（6﹣x）：4；（2）作DF⊥BC于E，如图2，则BD＝5﹣x，BF＝1+x，利用△BDF∽△BAC得到（5﹣x）：5＝（1+x）：3；（3）作DG⊥AC于G，如图3，则AG＝6﹣x，利用Rt△ADG∽Rt△ACB 得到x：4＝（6﹣x）：5，然后分别解关于x的方程即可．【解析】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB5，∴△ABC的周长为3+4+5＝12，设AD＝x，（1）作DE⊥AC于E，如图1，则AE＝6﹣x，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB＝AE：AC，即x：5＝（6﹣x）：4，解得x；（2）作DF⊥BC于E，如图2，则BD＝5﹣x，BF＝6﹣（5﹣x）＝1+x，∵DF∥AC，∴△BDF∽△BAC，∴BD：BA＝BF：BC，即（5﹣x）：5＝（1+x）：3，解得x；（3）作DG⊥AB，交BC于G，如图3，则AG＝6﹣x，∵∠DAG＝∠CAB，∠ADG＝∠C＝90°，∴Rt△ADG∽Rt△ACB，∴AD：AC＝AG：AB，即x：4＝（6﹣x）：5，解得x，综上所述，AD的长为或或．故答案为或或．18．（2019•丹阳市模拟）如图，O为Rt△ABC斜边中点，AB＝10，BC＝6，M，N在AC边上，∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，则CM＝或．【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当∠MON＝∠OMN时．②如图2中，当∠MON＝∠ONM时．【解析】∵∠ACB＝90°，AO＝OB，∴OC＝OA＝OB，∴∠B＝∠OCB，∵∠MON＝∠B，若△OMN与△OBC相似，∴有两种情形：①如图1中，当∠MON＝∠OMN时，∵∠OMN＝∠B，∠OMC+∠OMN＝180°，∴∠OMC+∠B＝180°，∴∠MOB+∠BCM＝180°，∴∠MOB＝90°，∵∠AOM＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△AOM∽△ACB，∴，∴，∴AM，∴CM＝AC﹣AM＝8．②如图2中，当∠MON＝∠ONM时，∵∠BOC＝∠OMN，∴∠A+∠ACO＝∠ACO+∠MOC，∴∠MOC＝∠A，∵∠MCO＝∠ACO，∴△OCM∽△ACO，∴OC2＝CM•CA，∴25＝CM•8，∴CM，故答案为或．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2018秋•兴化市月考）如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∠BAC＝75°，∠ABC＝40°．求：（1）∠ADE和∠AED的度数；（2）DE的长．【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝65°，根据相似三角形的对应角相等即可得到结论；（2）根据相似三角形的对应边的比相等即可得到结论．【解析】（1）∵∠BAC＝75°，∠ABC＝40°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝65°，∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE＝∠ABC＝40°，∠AED＝∠ACB＝65°；（2）∵△ABC∽△ADE，∴，∵AB＝30cm，BD＝18cm，BC＝20cm，∴，∴DE＝8（cm）．20．（2020春•大丰区期中）如图，已知△ABC中，AT为∠BAC的平分线，（1）若AB＝3，AC＝4，BC＝5，求△ABT与△ACT的面积之比．（2）求证：．【分析】（1）过T作TD⊥AB，TE⊥AC，垂足分别为D，E，根据角平分线的性质可得TD＝TE，再利用三角形的面积公式可证明结论；（2）设△ABC中BC边上的高为h，根据三角形的面积公式可求解S△ABT：S△ACT＝BT：TC，再结合（1）的结论可证明结论．【解析】（1）过T作TD⊥AB，TE⊥AC，垂足分别为D，E，∵AT为∠BAC的平分线，∴TD＝TE，∵S△ABT AB•TD，S△ACT AC•TE，AB＝3，AC＝4，∴S△ABT：S△ACT＝AB：AC＝3：4；（2）设△ABC中BC边上的高为h，则S△ABT BT•h，S△ACT TC•h，∴S△ABT：S△ACT＝BT：TC，由（1）知S△ABT：S△ACT＝AB：AC，∴．21．（2020•鼓楼区校级模拟）如图，O是▱ABCD对角线BD上的一点，且∠AOC＝2∠ABC，OC＝OD，连接OA．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）求证：CD2＝OD•BD．【分析】（1）连接AC，交BD与H，由角的数量关系可证OA＝OD＝OC，由等腰三角形的性质可得OB⊥AC，由菱形的判定可得结论；（2）通过证明△CDO∽△BDC，可得，可得结论．【解答】证明：（1）连接AC，交BD与H，∵OC＝OD，∴∠DCO＝∠CDO，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝∠ADO+∠CDO，AH＝CH，∵∠AOB＝∠ADO+∠DAO，∠COB＝∠DCO+∠CDO＝2∠CDO，∠AOC＝2∠ABC，∴∠AOB+∠COB＝2∠ADO+2∠CDO，∴∠AOB＝2∠ADO，∴∠DAO＝∠ADO，∴OA＝OD，∴OA＝OC，又∵AH＝CH，∴OB⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∴∠BDC＝∠CBD．由（1）得∠ODC＝∠OCD，∴∠OCD＝∠DBC．在△CDO和△BDC中，∵∠ODC＝∠CDB，∠OCD＝∠CBD∴△CDO∽△BDC．∴，即CD2＝OD•BD．22．（2018秋•临泽县校级期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A 以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6）．那么：（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？【分析】（1）根据题意得出DQ＝t，AP＝2t，QA＝6﹣t，由于△QAP为等腰直角三角形，则6﹣t＝2t，求出t的值即可；（2）由于以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC的对应边不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解析】（1）∵AB＝12厘米，BC＝6厘米，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D向点A以1厘米/秒的速度移动，∴DQ＝t，AP＝2t，QA＝6﹣t，当△QAP为等腰直角三角形即6﹣t＝2t，解得t＝2；（2）两种情况：当时，即，解得t＝1.2（秒）；当时，即，解得t＝3（秒）．故当经过1.2秒或3秒时，△QAP与△ABC相似．23．（2019秋•赣榆区期末）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．【分析】（1）根据勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，BQ＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．【解析】（1）①当△BPQ∽△BAC时，∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，∴，∴，②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴，∴；∴或时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝3t，，，，∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴解得：；24．（2020•淮安模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？（2）若△CPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式．（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？【分析】（1）在Rt△CPQ中，当t＝3，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；（2）由点P，点Q的运动速度和运动时间，又知AC，BC的长，可将CP、CQ用含t 的表达式求出，代入直角三角形面积公式S△CPQ CP×CQ求解；（3）应分两种情况：当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，根据，可将时间t求出；当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，根据，可求出时间t．【解析】由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，（1）当t＝3时，CP＝20﹣4t＝8cm，CQ＝2t＝6cm，由勾股定理得PQ；（2）由题意得AP＝4t，CQ＝2t，则CP＝20﹣4t，因此Rt△CPQ的面积为S cm2；（3）分两种情况：①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，，即，解得t＝3；②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，，即，解得t．因此t＝3或t时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．。

江苏省2017年中考数学第一部分考点研究复习第四章三角形第22课时相似三角形练习（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（江苏省2017年中考数学第一部分考点研究复习第四章三角形第22课时相似三角形练习（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为江苏省2017年中考数学第一部分考点研究复习第四章三角形第22课时相似三角形练习（含解析）的全部内容。

第四章三角形第22课时相似三角形基础过关1。

（2015东营）若错误!＝错误!,则错误!的值为（）A。

1 B。

错误! C。

错误! D. 错误!2. （2016盐城校级月考)给出4个判断：①所有的等腰三角形都相似;②所有的等边三角形都相似;③所有的直角三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似．其中判断正确的个数有( ）A。

1个 B. 2个 C. 3个 D。

4个3。

(2016河北)如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6。

将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似．．．的是( )第3题图4。

(2016兰州）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为错误!，则△ABC与△DEF 对应中线的比为（)A。

错误! B. 错误! C。

错误! D。

错误!5。

(2016安徽）如图,△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（) A。

4 B. 4 2 C. 6 D. 4错误!第5题图第6题图6. (2016咸宁)如图，在△ABC中,中线BE，CD相交于点O，连接DE.下列结论：①错误!＝错误!;②错误!＝错误!；③错误!＝错误!；④错误!＝错误!.其中正确的个数有（)A. 1个B. 2个 C。

相似三角形专题练习（培优）附答案一、基础知识（不局限于此）(一).比例1.第四比例项、比例中项、比例线段；2.比例性质：（1）基本性质：bc ad d c b a =⇔= ac b c bb a =⇔=2 （2）合比定理：d dc b b ad c b a ±=±⇒= （3）等比定理：)0.(≠+++=++++++⇒==n d b ban d b m c a n m d c b a3.黄金分割：如图，若AB PB PA ⋅=2，则点P 为线段AB 的黄金分割点．4．平行线分线段成比例定理(二)相似1.定义:我们把具有相同形状的图形称为相似形.2.相似多边形的特性:相似多边的对应边成比例,对应角相等.3.相似三角形的判定● （1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

● （2）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

● （3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

● （4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

4.相似三角形的性质● （1）对应边的比相等，对应角相等. ● （2）相似三角形的周长比等于相似比.● （3）相似三角形的面积比等于相似比的平方.● （4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比. 5.三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线. 三角形中位线性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

6.梯形的中位线定义：梯形两腰中点连线叫做梯形的中位线.梯形的中位线性质: 梯形的中位线平行于两底并且等于两底和的一半. 7.相似三角形的应用:１、利用三角形相似，可证明角相等；线段成比例（或等积式）； ２、利用三角形相似，求线段的长等3、利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度。

如求河的宽度、求建筑物的高度等。

专题6.3 相似三角形的应用【典例1】如图，身高1.5米的李强站在A处，路灯底部O到A的距离为20米，此时李强的影长AD=5米，李强沿AO所在直线行走12米到达B处．（1）请在图中画出表示路灯高的线段和李强在B处时影长的线段；（2）请求出路灯的高度和李强在B处的影长．（2）设HO=x米，由证得△AED∽△OHD得ADDO =AEHO求出HO的值，再证明△FBC∽△HOC得到BCCO=BFHO，从而求解．（2）由题意知：BF=AE=1.5米，OA=20米，∴BO=OA−AB=20−12=8米设HO=x米∵∠HOA=∠EAD=90°1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，身高1.2m的小淇晚上在路灯（AH）下散步，DE为他到达D处时的A．25 mm B．20mm C．15 mm D．【思路点拨】连接图2、图3中的BD，图2中证明△AEF∽△ABD，利用相似三角形的性质求得形EFDB是矩形，求得BD，进而作差即可求解．【解题过程】解：如图2，连接BD，∵AE=CF=28，BE=DF=35 ，∴AE AB =AFAD=2863=49，又∠EAF=∠BAD，∴△AEF∽△ABD，∴BD EF =ABAE，又EF=20，∴BD 20=94，解得：BD=45，根据题意可得出：ME=60，DE=HO=FC=60米，FN=203米，∴NC=FN2+FC2，=403米，设EO=x米，∴DH=x米，【思路点拨】如图3中，作DT⊥AH于T，OK⊥BD于K．解直角三角形求出BK，OK，利用相似三角形的性质求出【思路点拨】（1）过A点作l2//l，过点D作DG 由题：AD=5，DF=4，AF=3,由上得：AF=3，DF=4，四边形BHFG为矩形，∵BC=3，∴BC=AF，【思路点拨】由AB⊥AD，CD⊥BD，得∠ABP=∠CDP=90°，从而得解．【解题过程】【思路点拨】根据题意即可求出EG、GH和CG，再证出【解题过程】解：∵小明、杆、古塔均与地面垂直，【思路点拨】过E作EG⊥BC于G，依据△ABC∽△ADE 得出AF的长．【解题过程】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，【思路点拨】过A点作AH⊥ED交ED于H，交【思路点拨】首先根据题意，得出∠ABC=∠EFC=90°，∠ABD=，然后再证明△ADB∽△相似性质，得出BC=1.8AB1.7小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）．小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米．小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米．（1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔（2）请求出丙树的高度．【思路点拨】(1)如下图1，根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用相似三角形的比例式直接得出甲树高，接着如下图2先利用△C1D1E1∼△CDE，求出C1E1的长，接着利用△A1B1E1∼△D1C1E1，可得出乙树的高；(2)如下图3，先通过△C2D2E2∼△FGE2求出FG的长，然后通过△GFH∼△DCH求出FH的长，最后通过△FGH∼△B2A2H可求出丙树的高．【解题过程】解：（1）如图1，假设线段AB是甲树，线段CD是竹竿，线段BE和线段CE分别为甲树和竹竿的影子，∴CD=1m,CE=0.8m,BE=4.08m,。

相似三角形的性质（第一课时）A 组题1、如图，△ABC 中，∠AED=∠B ，DE=6，AB=10，AE=8，则BC= 。

2、如图，已知在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ∶DB ＝2∶3，若S △ADE ＝4，则S 梯形DBCE ＝ 。

3、两个相似多边形相似比为5:7，第一个多边形周长为25, 则第二个多边形周长是 。

4、三角形三边之比为3：5：7与它相似的三角形的最长边是21，另两边之和是 。

5、如果两个相似三角形的面积比为3∶4，则它们的周长比为 。

6、把一个三角形改成与它相似的三角形，若边长扩大4倍，则面积扩大 倍。

7、两个相似三角形的一对对应边分别为20㎝和8㎝，它们的周长相差60㎝，则这两个三角形的周长分别为 和 。

8、两个相似三角形的相似比为2，如果它们的周长之差为4cm ，那么这两个相似三角形的周长分别是 、 。

9、已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比为2：3；△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，相似比为5：4，则△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比为 。

10、现有同一三角形地块的甲、乙两幅地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，则甲地图和乙地图的相似比是________，面积比是________。

11、两个相似五边形的面积比为16：25，其中较大的五边形的周长为30cm ，则较小的五边形的周长为______cm 。

12、如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，相似比为k (k ≠1)，那么k 的值是（ ）E DCBA ACBA 、∠A ∶∠A ′B 、A ′B ′∶ABC 、∠B ∶∠B ′D 、BC ∶B ′C ′ 13、若△ABC ∽△A ′B ′C ′，∠A=40°，∠C=110°，则∠B ′等于（ ） A 、30° B 、50° C 、40° D 、70°14、如图，在□ABCD 中，点E 为DC 上一点，AE 交对角线BD 于点F ，若S △ADF ＝3，S △AFB ＝9， 则S △DEF 等于（ ） A 、 B 、1 C 、 D 、3 1题图 2题图 14题图15、布置会场时，需将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形纸条。

第62讲相似三角形的判定习题课题一：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，已知AD=2，DB=3，AE=3，CE= 4.5，DE= 4，BC=10．求证：△ADE∽△ABC．题二：如图，在矩形ABEF中，四边形ABCH、四边形CDGH和四边形DEFG都是正方形，图中的△ACD 与△ECA相似吗？为什么？题三：如图，CD=2BC，ED=2AC，BC∥DE，点A、C、D在同一条直线上．求证：△ABC∽△ECD．题四：已知四边形ABCD中，E、F、G分别在AD、BD、CD上，且EF∥AB，FG∥BC．求证：△DEG∽△DAC．题五：如图，在△ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2=DB·CE．求证：△ADB∽△EAC．题六：如图，点B、C、D在一条直线上，ED⊥CD，AC⊥EC，CB·CE=CA·ED．求证：△ABC∽△CDE．题七：如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADO=∠BCO求证：△ABO∽△DCO．题八：如图，△ABC的高BD、CE相交于O，连接ED，△ADE与△ABC相似吗？若相似，给出证明．第62讲相似三角形的判定习题课题一：见详解．详解：∵AD=2，DB=3，AE=3，CE= 4.5，∴AB=AD+DB=5，AC=AE+CE=7.5，∵DE= 4，BC=10，∴25 AD AE DEAB AC BC===，∴△ADE∽△ABC．题二：见详解．详解：△ACD与△ECA相似．理由：设正方形的边长为a，则AC，CD=a，AD，EC=2a，CA，EA a，∴AC：EC=CD：CA=AD：EA，∴△ACD∽△ECA．题三：见详解．详解：∵BC∥DE，∴∠ACB=∠CDE，∵CD=2BC，ED=2AC，∴BCCD=ACED=12，∴△ABC∽△ECD．题四：见详解．详解：∵EF∥AB，∴DEDA=DFDB，∵FG∥BC，∴DGDC=DFDB，∴DEDA=DGDC，∵∠EDG=∠ADC，∴△DEG∽△DAC．题五：见详解．详解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACE，∵AB2=DB·CE，∴AB DBCE AB=，∴AB DBCE AC=，∴△ADB∽△EAC．题六：见详解．详解：∵ED⊥CD，AC⊥EC，∴∠ACE=∠EDC=90°，∴∠ACB+∠ACE=∠CED+∠EDC，∴∠ACB=∠CED，又∵CB·CE=CA·ED，∴CA CBCE ED=，∴△ABC∽△CDE．题七：见详解．详解：∵∠ADO=∠BCO，∠AOD=∠BOC，∴△AOD∽△BOC，∴OA ODOB OC=，∴OA OBOD OC=，又∵∠AOB=∠DOC，∴△ABO∽△DCO．题八：见详解．详解：△ADE与△ABC相似．理由如下：∵BD、CE是△ABC的高，∴∠AEC=∠ADB=90°，又∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE，∴AD AB BDAE AC CE==，即AD AEAB AC=，又∵∠A是公共角，∴△ADE∽△ABC．。

苏教版初中数学相似三角形专题一．填空题（共7小题）1．已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C （2，1）．以B为位似中心，画出及△ABC相似（及图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是．2．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积等于；（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）．3．如图是两张大小不同的4×4方格纸，它们均由16个小正方形组成，其中图①及图②中小正方形的面积比为5：4，请在图②中画出格点正方形EFGH，使它及图①中格点正方形ABCD的面积相等．4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，则CD的长为．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是，AC的长是．6．如图，若CD是Rt△ABC斜边CD上的高，AD=3cm，CD=4cm，则BC的长等于cm．7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC及△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE= ．二．解答题（共23小题）8．如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．9．已知矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B 点落在AD上的F点，且四边形EFDC及矩形ABCD相似．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）求证：F点是AD的黄金分割点．10．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线及对边相交，顶点及交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个及原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD是△ABC的完美分割线；（2）如图②，在△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．11．如图，BD∥AC，AB及CD相交于点O，△OBD∽△OAC，=，OB=4，求AO和AB的长．12．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．13．已知：如图，D是BC上一点，△ABC∽△ADE，求证：∠1=∠2=∠3．14．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ及△CBA相似，所需要的时间是多少秒？15．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．16．如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求证：△ADF∽△BAD．17．如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB=6，CD=4，BD=14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形及以PBA为顶点的三角形相似，则DP的长．18．如图，在△ABC中，∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，交AB 于点E．求证：△DME∽△BCA．19．在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．21．如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF ：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．22．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且=．（1）求证：AB∥CD；（2）如果AD2=DG•DE，求证：=．23．已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC=，CE=a，AC=b，求证：（1）△DEC≌△ADC；（2）AE•AB=BC•DE．24．已知：如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为点E，交AC于点F．求证：（1）△ABF∽△BED；（2）=．25．某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点及“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像及镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛及地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．26．小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小及光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C 的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为．（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）27．如图，一位同学想利用树影测量树高（AB），他在某一时刻测得高为1m的竹竿影长为0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上（CD），他先测得留在墙上的影高（CD）为1.2m，又测得地面部分的影长（BC）为2.7m，他测得的树高应为多少米？28．如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1千米、AN=1.8千米，AB=54米、BC=45米、AC=30米，求M、N 两点之间的直线距离．29．如图，要在宽为22米的大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且及灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO及灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，求路灯的灯柱BC高度．30．如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB及△OCD的相似比．苏教版初中数学相似三角形专题参考答案及试题解析一．填空题（共7小题）1．（2014•黄冈模拟）已知△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以B为位似中心，画出及△ABC相似（及图形同向），且相似比是3的三角形，它的三个对应顶点的坐标分别是（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）．【考点】作图—相似变换．【专题】作图题．【分析】根据把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形，在改变的过程中保持形状不变（大小可变）即可得出答案．【解答】解：把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形．所画图形如下所示：它的三个对应顶点的坐标分别是：（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）．故答案为：（﹣6，0）、（3，3）、（0，﹣3）．【点评】本题考查了相似变换作图的知识，注意图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小；图形中的每条线段都扩大（或缩小）相同的倍数．2．（2013•天津）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积等于 6 ；（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，及BC交于点Q，连接PQ及AC相交得点D，过点D画CB的平行线，及AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，及CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．【考点】作图—相似变换；三角形的面积；正方形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（Ⅰ）△ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可；（Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，及BC交于点Q，连接PQ及AC相交得点D，过点D 画CB的平行线，及AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，及CB 相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求【解答】解：（Ⅰ）△ABC的面积为：×4×3=6；（Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，及BC交于点Q，连接PQ及AC相交得点D，过点D画CB的平行线，及AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，及CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，及BC交于点Q，连接PQ及AC相交得点D，过点D画CB的平行线，及AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，及CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．【点评】此题考查了作图﹣位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解本题的关键．3．（2012•鼓楼区一模）如图是两张大小不同的4×4方格纸，它们均由16个小正方形组成，其中图①及图②中小正方形的面积比为5：4，请在图②中画出格点正方形EFGH，使它及图①中格点正方形ABCD的面积相等．【考点】作图—相似变换．【专题】压轴题．【分析】根据图①及图②中小正方形的面积比为5：4，求出图①中正方形ABCD的面积为8，进而得出正方形EFGH的面积即可．【解答】解：根据图①及图②中小正方形的面积比为5：4，图①中正方形ABCD的面积为8，使它及图①中格点正方形ABCD的面积相等，则图②中正方形EFGH的面积为10，如图所示：【点评】此题主要考查了图形相似的性质，根据图①及图②中小正方形的面积比为5：4得出两个大正方形面积之比是解题关键．4．（2016春•苏州期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，则CD的长为 4 ．【考点】射影定理．【分析】根据射影定理得到：CD2=AD•BD，把相关线段的长度代入计算即可．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，AD=8，DB=2，∴CD2=AD•BD=8×2，则CD=4．故答案是：4．【点评】本题考查了射影定理．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC 上的高，则有射影定理如下：①AD2=BD•DC；②AB2=BD•BC；AC2=CD•BC．5．（2015春•成都校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D，CD=2，BD=1，则AD的长是 4 ，AC的长是2．【考点】射影定理．【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，根据同角的余角相等，可得∠ACD=∠B，又由∠CDB=∠ACB=90°，可证得△ACD∽△CBD，然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求得AD，然后根据勾股定理即可求得AC．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDB=∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∴△ACD∽△CBD，∴，∵CD=2，BD=1，∴，∴AD=4，在Rt△ACD中，AC===2，故答案为：4，2．【点评】此题考查了相似三角形的判定及性质以及直角三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是掌握有两角对应相等的三角形相似及相似三角形的对应边成比例定理的应用．6．（2015秋•太原校级期末）如图，若CD是Rt△ABC斜边CD上的高，AD=3cm，CD=4cm，则BC的长等于cm．【考点】射影定理．【分析】根据射影定理求出BD的长，再根据射影定理计算即可．【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边CD上的高，∴CD2=AD•DB，∴BD=，则AB=AD+BD=，∵BC2=BD•BA=×，∴BC=，故答案为：．【点评】本题考查的是射影定理的应用，射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．7．（2016•三明）如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），D（3，0），△ABC及△DEF位似，原点O是位似中心．若AB=1.5，则DE= 4.5 ．【考点】位似变换；坐标及图形性质．【分析】根据位似图形的性质得出AO，DO的长，进而得出==，求出DE的长即可．【解答】解：∵△ABC及DEF是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A点坐标为（1，0），D点坐标为（3，0），∴AO=1，DO=3，∴==，∵AB=1.5，∴DE=4.5．故答案为：4.5．【点评】此题主要考查了位似图形的性质以及坐标及图形的性质，根据已知点的坐标得出==是解题关键．二．解答题（共23小题）8．（2016秋•长春期中）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求边x、y的长度和角α的大小．【考点】相似多边形的性质．【分析】直接根据相似多边形的性质即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴，∠C=α，∠D=∠D′=140°．∴x=12，，α=∠C=360°﹣∠A﹣∠B﹣∠D=360°﹣62°﹣75°﹣140°=83°．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应边成比例，对应角相等是解答此题的关键．9．（2015秋•萧县校级月考）已知矩形ABCD中，在BC上取一点E，沿AE 将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，且四边形EFDC及矩形ABCD 相似．（1）求证：四边形ABEF是正方形；（2）求证：F点是AD的黄金分割点．【考点】相似多边形的性质；黄金分割．（1）根据题意证明四边形ABEF是矩形，根据折叠的性质得到AB=AF，【分析】证明结论；（2）根据相似多边形的性质得到AB2=FD•AB，根据正方形的性质得到答案．【解答】证明：（1）∵∠B=∠BAF=∠AFE=90°，∴四边形ABEF是矩形，由折叠的性质可知AB=AF，∴四边形ABEF是正方形；（2）∵四边形EFDC及矩形ABCD相似∴=，又AB=CD，∴AB2=FD•AB，又AB=AF，∴AF2=FD•AB，∴F点是AD的黄金分割点．【点评】本题考查的是相似多边形的性质和黄金分割的概念，掌握相似多边形的性质为：对应角相等；对应边的比相等是解题的关键，注意把线段分成两条线段，且使较长是已知线段和较短的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割．10．（2016秋•滦南县期中）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线及对边相交，顶点及交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个及原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD是△ABC的完美分割线；（2）如图②，在△ABC中，AC=2，BC=，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【考点】相似三角形的性质；等腰三角形的判定及性质．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ACB=80°，根据角平分线的定义得到∠ACD=40°，证明△BCD∽△BAC，证明结论；（2）根据△BCD∽△BAC，得到，设BD=x，解方程求出x，根据相似三角形的性质定理列式计算即可．【解答】解：（1）∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD是等腰三角形，∵∠BCD=∠A=40°，∠CBD=∠ABC∴△BCD∽△BAC，∴CD是△BAC的完美分割线；（2）∵△BCD∽△BAC，∴，∵AC=AD=2，BC=，设BD=x，则AB=4+x，∴，解得x=﹣1±，∵x＞0，∴BD=x=﹣1+，∵△BCD∽△BAC，∴，∵AC=2，BC=，BC=﹣1+∴CD==﹣．【点评】本题考查的是相似三角形的性质、等腰三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．11．（2016秋•莲都区校级月考）如图，BD∥AC，AB及CD相交于点O，△OBD∽△OAC，=，OB=4，求AO和AB的长．【考点】相似三角形的性质．【分析】由相似比可求得OA的长，再利用线段的和可求得AB长．【解答】解：∵△OBD∽△OAC，∴==，∴=，解得OA=6，∴AB=OA+OB=4+6=10．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键．12．（2015秋•佛山期末）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．【考点】相似三角形的性质．【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的判定定理证明△ACP∽△ABP，根据相似三角形的性质得到答案．【解答】解：∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=60°，∴∠ACP=120°，∵△ACP∽△PDB，∴∠APC=∠B，又∠A=∠A，∴△ACP∽△ABP，∴∠APB=∠ACP=120°．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．13．（2015秋•延庆县期末）已知：如图，D是BC上一点，△ABC∽△ADE，求证：∠1=∠2=∠3．【考点】相似三角形的性质．【分析】由相似三角形的性质易证∠1=∠2，再由三角形内角和定理易证∠2=∠3，进而可证明∠1=∠2=∠3．【解答】证明：∵△ABC∽△ADE，∴∠C=∠E，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAE﹣∠DAC，即∠1=∠2，在△AOE和△DOC中，∠E=∠C，∠AOE=∠DOC（对顶角相等），∴∠2=∠3，∴∠1=∠2=∠3．【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的各种性质是解题关键．14．（2015秋•泗县期中）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s 的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ及△CBA相似，所需要的时间是多少秒？【考点】相似三角形的性质；一元一次方程的应用．【专题】动点型；分类讨论．【分析】若两三角形相似，则由相似三角形性质可知，其对应边成比例，据此可解出两三角形相似时所需时间．【解答】解：设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即解之得t=1.2；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，解之得t=；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ及△CBA相似，所需要的时间为1.2或秒．【点评】本题综合考查了相似三角形的性质以及一元一次方程的应用问题，并且需要用到分类讨论的思想，解题时应注意解答后的验证．15．（2016•兴化市校级二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【考点】相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．16．（2016•萧山区模拟）如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连结AE，BD，设AE交CD于点F．（1）求证：△ACE≌△DCB；（2）求证：△ADF∽△BAD．【考点】相似三角形的判定；全等三角形的判定及性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；（2）利用（1）中全等三角形的对应角相等，平行线的判定及性质以及两角法证得结论．【解答】解：（1）∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC=CD，CE=CB，∠ACD=∠BCE=60°∴∠ACE=∠DCB=120°．∴△ACE≌△DCB（SAS）；（2）∵△ACE≌△DCB，∴∠CAE=∠CDB．∵∠ADC=∠CAD=∠ACD=∠CBE=60°，∴DC∥BE，∴∠CDB=∠DBE，∴∠CAE=∠DBE，∴∠DAF=∠DBA．∴△ADF∽△BAD．【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质．有两组边对应相等，并且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形全等；有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等，对应角相等．17．（2016•厦门校级模拟）如图：已知AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB=6，CD=4，BD=14，在DB上取一点P，使以CDP为顶点的三角形及以PBA 为顶点的三角形相似，则DP的长．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据已知可以分△PDC∽△ABP或△PCD∽△PAB两种情况进行分析．【解答】解：∵AB⊥DB，CD⊥DB∴∠D=∠B=90°，设DP=x，当PD：AB=CD：PB时，△PDC∽△ABP，∴=，解得DP=2或12，当PD：PB=CD：AB时，△PCD∽△PAB，∴=，解得DP=5.6∴DP=5.6或2或12．【点评】此题考查了相似三角形的判定，①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形及原三角形相似．18．（2016•云南模拟）如图，在△ABC中，∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN ⊥BC于点N，交AB于点E．求证：△DME∽△BCA．【考点】相似三角形的判定．【专题】证明题．【分析】先证明∠DEM=∠A，再由∠C=∠DME=90°，根据有两组角对应相等的两个三角形相似即可证明△DME∽△BCA．【解答】证明：∵∠C=90°，DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，∴∠C=∠ENB=∠DME=90°，∴AC∥DN，∴∠BEN=∠A，∵∠BEN=∠DEM，∴∠DEM=∠A．在△DME及△BCA中，，∴△DME∽△BCA．【点评】本题考查了相似三角形的判定，方法有（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线及其他两边相交，所构成的三角形及原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．19．（2016•厦门校级模拟）在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．【考点】相似三角形的判定；矩形的性质．【专题】证明题．【分析】根据已知结合相似三角形的判定及性质得出=，进而得出△DEF∽△BED．【解答】证明：∵AC⊥BE，∴∠AFB=∠AFE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAE=90°，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA，∴=，∵点E是AD的中点，∴AE=ED，∴=，又∵∠FED=∠DEB，∴在△DEF和△BED中=﹛∠FED=∠DEB∴△DEF∽△BED．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定及性质以及矩形的性质，正确得出=是解题关键．20．（2016春•昌平区期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．【考点】相似三角形的判定．【专题】证明题．【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求出AM=CM，推出∠C=∠CAM，求出∠DAB=∠CAM ，求出∠DAB=∠C ，根据相似三角形的判定得出即可．【解答】证明：∵∠BAC=90°，点M 是BC 的中点，∴AM=CM ，∴∠C=∠CAM ，∵DA ⊥AM ，∴∠DAM=90°，∴∠DAB=∠CAM ，∴∠DAB=∠C ，∵∠D=∠D ，∴△DBA ∽△DAC ．【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质的应用，能求出∠DAB=∠C 是解此题的关键．21．（2017•松江区一模）如图，已知AC ∥BD ，AB 和CD 相交于点E ，AC=6，BD=4，F 是BC 上一点，S △BEF ：S △EFC =2：3．（1）求EF 的长；（2）如果△BEF 的面积为4，求△ABC 的面积．【考点】相似三角形的判定及性质．【分析】（1）先根据S △BEF ：S △EFC =2：3得出CF ：BF 的值，再由平行线分线段成比例定理即可得出结论；（2）先根据AC ∥BD ，EF ∥BD 得出EF ∥AC ，故△BEF ∽△ABC ，再由相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∵AC ∥BD ， ∴∵AC=6，BD=4， ∴∵△BEF 和△CEF 同高，且S △BEF ：S △CEF =2：3， ∴， ∴．∴EF ∥BD ， ∴， ∴， ∴（2）∵AC ∥BD ，EF ∥BD ，∴EF ∥AC ，∴△BEF ∽△ABC ， ∴． ∵， ∴． ∵S △BEF =4，∴，=25．∴S△ABC【点评】本题考查的是相似三角形的判定及性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．22．（2017•闵行区一模）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且=．（1）求证：AB∥CD；（2）如果AD2=DG•DE，求证：=．【考点】相似三角形的判定及性质．【分析】（1）由AD∥BC，得到△ADG∽△CEG，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到，根据等式的性质得到=，等量代换即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴△ADG∽△CEG，∴，∵=，∴，∴AB∥CD；（2）∵AD∥BC，∴△ADG∽△CEG，∴，∴=，∴=，∵AD2=DG•DE，∴=，∵AD∥BC，∴=，∴=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．23．（2017•普陀区一模）已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠CDA，AB=DC=，CE=a，AC=b，求证：（1）△DEC≌△ADC；（2）AE•AB=BC•DE．【考点】相似三角形的判定及性质．【分析】（1）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，据此进行证明即可；（2）先根据相似三角形的性质，得出∠BAC=∠EDA，=，再根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，进行证明即可．【解答】证明：（1）∵DC=，CE=a，AC=b，∴CD2=CE×CA，即=，又∵∠ECD=∠DCA，∴△DEC≌△ADC；（2）∵△DEC≌△ADC，∴∠DAE=∠CDE，∵∠BAD=∠CDA，∴∠BAC=∠EDA，∵△DEC≌△ADC，∴=，∵DC=AB，∴=，即=，∴=，即AE•AB=BC•DE．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质的综合应用，解题时注意：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．24．（2017•奉贤区一模）已知：如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O，BE⊥DC，垂足为点E，交AC于点F．求证：（1）△ABF∽△BED；（2）=．【考点】相似三角形的判定及性质；菱形的性质．【分析】（1）由菱形的性质得出AC⊥BD，AB∥CD，得出△ABF∽△CEF，由互余的关系得：∠DBE=∠FCE，证出△BED∽△CEF，即可得出结论；（2）由平行线得出，由相似三角形的性质得出，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，∴△ABF∽△CEF，∵BE⊥DC，由互余的关系得：∠DBE=∠FCE，∴△BED∽△CEF，∴△ABF∽△BED；（2）∵AB∥CD，∴，∴，∵△ABF∽△BED，∴，∴=．【点评】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定及性质、平行线分线段成比例定理；熟练掌握菱形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．25．（2016•陕西）某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点及“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM 上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D 时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像及镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛及地面的高度ED=1.5米，CD=2米，然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM 方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米．如图，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，进而利用相似三角形的性质得出AB的长．【解答】解：由题意可得：∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°，∠ACB=∠ECD，∠AFB=∠GHF，故△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH，则=，=，即=，=，解得：AB=99，答：“望月阁”的高AB的长度为99m．。