19.2特殊的平行四边形

5 6
O
3 4
相等的角： ∠DAB=∠BCD
B ∠ABC =∠CDA
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90° ∠1=∠2=∠3=∠4 ∠5=∠6=∠7=∠8 （2）特殊三角形：
等腰三角形有： △ABC
直角三角形有： Rt△AOB Rt△COD
△DBC
△ACD
△ABD
Rt△BOC Rt△DOA
：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形
：S菱形=底×高
S菱形= 对角线乘积的一半
3个特性 ：特在“边、对角线、对称性”
课后作业:
《一课一练》 菱形第一课时
你敢挑战吗？回去想一想
如图，边长为a的菱形ABCD中，∠DAB=60度，E是异于A D两点的动点，F是CD上的动点，满足AE+CF=a。 证明：不论E、F怎样移动，三角形BEF总是正三角形。
A 菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗? D
菱形
B
O E
C
S菱形=BC· AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利 用对角线能计算菱形的面积公式吗? S菱形 ABCD=S△ABD+S△BCD= 1 AC×BD 2
菱形面积：S菱形=底×高=对角线乘积的一半
4、如图，菱形花坛ABCD的边长为10m，BO=8m,沿着菱 形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和 A 花坛的面积。
D
E A
F
C
B
【菱形的面积公式】
A
菱形是特殊的平行四边形, 那么能否利用平行四边形 面积公式计算菱形的面积吗?
菱形
B
O E
C
D
S菱形=BC· AE

D
Ｏ
解： ∵ △AOB、 △BOC、 △COD B
C
和△AOD四个三角形的周长和为86cm,
又∵ AC=BD=13cm, ∴ AB+BC+CD+DA=86－2(AC+BD)
=86－4×13=34(cm) 即矩形ABCD的周长等于34cm。
1.若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
A
B
则AC＝___1_0___ ㎝ OB=____5___ ㎝
2.若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝_2_8__ cm 矩形的面积＝___4_8___ ㎝2
3. 若已知 ∠DOC=120°，AC＝8㎝，则AD= ___4__cm
AB= _____cm
营中寻宝
角线的长？
A
D
解：∵ 四边形ABCD是矩形
O
∴AC与BD相等且互相平分 B
C
∴ OA=OB
∵ ∠AOB=60°
∴ △AOB是等边三角形
∴ OA=AB=4(㎝)
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)
方法小结: 如果矩形两对角 线的夹角是60°
或120°, 则其中必有等边三角形.
小试牛刀
练习：教材104页练习1
反思拓展：
1、工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图1），使 AAB BC =C,D DE ,EFF =G GH;H
（2）摆放成如图（2）的四边形，则这时窗框的形状是 ＿平＿行＿四边＿形＿，根据的数学道理是＿两＿组＿对＿是边＿平分＿行别＿相四等边＿的形＿四＿边；形
4.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900，A
BD是斜边AC上的中线

（1）若CE=1，求BC的长；
（1）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD， ∴∠1=∠ACD， ∵∠1=∠2， ∴∠ACD=∠2， ∴MC=MD， ∵ME⊥CD， ∴CD=2CE， ∵CE=1， ∴CD=2， ∴BC=CD=2；
例1.已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，
DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
1 2
AC • BD
D
A
O
C
S菱形ABCD
B
4SAOB
4 1 OA• OB
2
4 1 1 AC • 1 BD
22
2
S菱形ABCD
1 2
AC • BD
特性4.
D
A
O
C
F
E B
⑴S菱形=底×高=AB×DE =BC×DF
⑵S菱形=
对角线乘积的一半
1 2
AC
•
BD
➢特性1.菱形的四条边相等
D
A
C
B ∵四边形ABCD是菱形
O
●
对角相等 对角线互相 中心对称图形 邻角互补 平分且垂直 轴对称图形
D 分别平分一
组对角
这是菱形所特有的性质
平行四 边形
菱形
面积
D
A
O
E B
C
F
⑴S菱形= ⑵S菱形=
对S平角行线四边乘形积=底的×一高半==BA1CB××ADCDEF• 2
BD
平行四边形、矩形、菱形的性质：
区别与联系 平行四边形 矩形
得直角三角形：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD
得全等三角形： Rt△DOA
Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA

§19.2 .2
菱形
初2014级 余枝
平行四边形
一组邻边相等
菱形
特殊的平行四边形
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
步骤：1、将A4纸由下而上对折（虚线为折痕的位置）
2、再由左向右对折（此时的折痕在我们的左边和下边） 3、沿着虚线剪开（注意虚线的位置）
4、展开
1、菱形具有平行四边形的一切性质，具体是哪些？
1 1 BD AO BD OC 2 2 1 BD ( AO CO) 2 1 AC.BD 2 2 1 10 24 120m 2
A
O
B
D
C
∟
【菱形的面积公式】
S菱形
1 BC AE AC BD 2
S菱形 =底×高 =对角线乘积的一半
比一比,谁做的快!
1、如图，已知菱形ABCD的边AB长5，一条对角 线 AC长6，求这个菱形的周长和它的面积。
4
2、如图，△ABC中，AB=AC ， AD、CD分别是 △ABC两个外角的平分线
（1）求证：AC=AD； （2）若∠B=60° ，求证：四边形ABCD是菱形
3
2
？ 5
【能力提升】已知：如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中 点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F。 （1）求证：AM=DM
2、菱形具有哪些特殊的性质？
边？角？对角线？对称性？
1 2
∟
1、菱形的四条边相等
6 5
7 8
2、菱形的对角线互相垂直并且每 4 3 一条对角线平分一组对角 已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O

求证：AB=BC=CD=DA, AC⊥BD, AC平分∠BAD和∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC 证明： ∣ 在等腰△ ABD 中, ∵四边形ABCD是平行四边形 ∵BO=DO ∴AC⊥BD ∣ ∴AB=CD,AD=BC ∣ AC平分∠BAD 又∵四边形ABCD是菱形， ∣ 同理：AC平分∠BCD； ∣ ∴AB=AD BD平分∠ABC ∣ ∴ AB=BC=CD=DA 和∠ADC ∣

全等三角形：
Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA
△ABD≌△BCD
△ABC≌△ACD
注意：与菱形有关的问题也要思考运用等腰三角形，等边三角形，直 角
三角形的知识来加以解决．
菱形的性质：
例: 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，试求 出∠B的度数，并说明△ABC是等边三角形.
解:在菱形ABCD中， ∠BAD＝120° (菱形的邻角互补)．
又∵在菱形ABCD中，AB＝BC(菱形的四条边都相等)． ∵△ABC为等边三角形， ∴AC＝AB＝2(cm)． 又∵在菱形ABCD中，AC⊥BD,OA=OC,OB=OD(菱形的对角线互相垂直平分)．
菱形的性质：
1、下列说法中错误的是( C )
我们可以根据菱形的定义、平行四边形的性质、等腰三角形的 “三线合一”性质轻松证明得到上述两个性质定理。
菱形具备平行四边形所有的性质.
性质：菱形的四条边都相等．
菱形的性质：
性质：菱形的对角线互相垂直平分，且
每条对角线平分每一组对角．
性质：菱形是中心对称图形．两条对角线的交点为对称中心；菱形是
轴对称图形，有2条对称轴，对称轴分别为两条对角线所在直线。Байду номын сангаас
(C)
（1）菱形是中心图形吗？如果是，对称中心在哪里？ （2）菱形是轴对称图形吗？有几条对称轴？对称轴 之间有什么位置关系？ （3）菱形的边有何特点和关系？ （4）菱形的角有何特点和关系？ （5）菱形的对角线有何特点和关系？
(B)
(A) (D)
菱形的性质： 由菱形的定义可知菱形的一般性质：
菱形具备平行四边形所有的性质.
边 • 菱形的对边平行；菱形的对边相等； 角 • 菱形的对角相等；菱形的邻角互补；

60cm
4.如图：在矩形ABCD中，两条 对角线AC、BD相交于点O, AB=OA=4cm. 则BD=____,AD=_____
A O B C D
矩形与平行四边形的性质对比
平行四边形性质 矩形
两组对边平行且相等
边 角 对角线
两组对边平行且相等
对角相等
对角相等,都是90°
两条对角线互相平分 两对角线相等且互相平分
；https:///nanxingxingbing/ 北京性病医院 ； 2019.1 ；
能在冬季生产出粮食,那听起来极具诱惑性,大家被李小克夫妇说的蠢蠢欲动. "既然副师长是如此想法,我们干脆就行动吧！"奥尔金说道. "行！它么师长你有什么别的异议么?"李小克扭头问到耶夫洛夫,得到了他完全支持的答复. "它好,贝茜卡！我以长官的名义给你命令,既然你说你 有能力制作培养基,它就去做吧！我们说干就干！" 情况变得很唐突,李桃吐吐舌头,自己又多了一重身份――采蘑菇的小姑娘. 那是丈夫的命令,更是长官的命令,女孩选择完全服从.不过她也提出了小小的要求,即需要一些人听她指挥,去挖掘含有菌丝的土壤. 那次拜访"白山"建设仓库 的工地真的收获很大,李小克万万想不到自己同床共枕的妻子还会种蘑菇.仔细琢磨下去,如果真的如设想的它样山洞里长满蘑菇,战士们的餐桌上有能多一道菜,其实情况还不仅仅是如此. 让马铃薯作为人民的主食,它却缺乏一种非常重要的氨基酸――色氨酸.如果人长期只使用马铃薯, 比如导致一些必要氨基酸的匮乏,其最显著的结果不仅仅是精神萎靡,甚至身上会出现奇怪的溃烂――毕竟人体所需的各类氨基酸要共同完成身体细胞的构建. 如果能量产蘑菇,马铃薯的劣势就能忽略掉.因为蘑菇也是富含氨基酸的,两者可以达成极好的互补.如此小麦面粉的摄入对于普 通人能进一步降低,好的粮食给最能打仗的人,普通百姓,在那艰苦卓绝的敌后战争环境下,不会饿肚子已经是极大的幸福. 李小克知道斯拉夫民族有着坚强的耐性,老百姓支持游击队打击侵略者,他们甘心饿肚子.因为大家知道,如果不把敌人赶走,所有人都会死. 在白俄罗斯,很多人为了 苟活选择和侵略者合作,换取不杀的恩赐.更多的人则是在用各种手段抗争,所以进入十月份,还是有零星的人们迁移到沼泽地躲避战乱,结果发现了那里居然还有一座苏力的孤岛. 李小克给妻子新的任务,那丫头马上领着一众村民进山搜索去了.早晨出发,傍晚归来,几辆马车拉满了土壤. 李桃信誓旦旦的说,那些土壤就能制造培养基. 李小克完全支持她的工作,同时自个也在等待着反坦克炮的生产.约定的时间是三天,它个里固施科夫声称两天搞定,可是谁知道呢? 天公不作美,天气进入阴雨.秋季的雨非常细腻,雨水不大,降温确是非常明显的. 下雨了,李小克最担心的就 是粮食问题.他立刻和铁匠村联系,要嘱咐耶莲京娜一番. "你们那些人都安心吧,既然在铁匠村就忙活你们的大事.鲶鱼村那里完全不用担心,各个仓库的防水措施非常好！"耶莲京娜的一席话令李小克等人非常安心. 不过那人也忘记说了一件事――捕鱼. 当雨水来临,栖息在鲶鱼村附近 大量池塘里的鱼类纷纷沸腾了,尤其是鲶鱼集体从泥泞不堪中钻出来.那些生物的掠食本能趋势他们进入表层水域,因为涨水会淹死一些动物,它们就吃死尸,没想到被等候的捕食者一网打尽. 雨天反而是捕鱼的好时节,一群战士扛着麻绳编制的网化身成渔民,他们满载而归,一个个脸上洋 溢着丰收的喜悦. 鱼获被统一集中,耶莲京娜激动的看着那些活蹦乱跳的鱼,命令道："把鱼尽量做成咸鱼,空投给咱们的食盐要节约使用.制作了咸鱼我们做成后备食物留着过冬."(未完待续.) ------------ 第一百四十一章 策应维亚济马-布良斯克前线 阴雨天气持续了五天,待雨水结 束的时候已经是十月十日.[求书网更新快,网站页面清爽,广告少,无弹窗,最喜欢那种网站了,一定要好评] 降雨并没有阻挠大家的建设热情,新的仓库还在建造,还有大量的民房建筑计划.雨水无疑带来了很多麻烦,地面变得泥泞,鲶鱼村附近的池塘涨水.好在那雨水没有变成大雨,洪水什 么的完全没有发生,不过气候是实实在在的转凉. 李小克那几天一直待在铁匠村,天气不好自己的心情也很糟.他看到战士们依旧冒着小雨继续劳作,有些家伙是工作的太热了,干脆光着膀子干活儿. 那很令李小克担忧,为此还亲自制止了几个赤膊扛着圆木的战士.他命令道："你们不知道 现在很冷吗?难道非得得了感冒才长记性?" 那些人根本没把长官的话当回事,因为他们确实很热. 恐怕就算是耶莲京娜在那里发号施令,那群人也是当面穿好衣服,待长官离开又怎么凉快怎么来."真是一群狂人,未来一段时间病人肯定要增多了."李小克给部队医院捎封信,命令做好接受 伤风感冒病患的准备. 阴雨天气,李小克等人不便于到处走动.他最大的收获便是反坦克炮,它已经大功告成,里固施科夫按照图纸在规定的时间完成建造,虽然超过了他自己吹牛的区区两天时间. 李小克非常满意,那炮盾,那炮架,看起来很像回事,包括机械瞄准的设备也都制作的很好.显 然铁匠村的科研能力是极强的,那群工匠在正规的兵工厂可以有更大的作为,现在大家局限于小小的沼泽地,只能屈才了. 雨水停了下来,天气一直是个半阴天,好在太阳若隐若现. 温度开始回升后,居民们开始翻晒他们的衣物,战士们也到处找地方把有些潮湿的被褥翻晒到干燥. 李小克 和耶夫洛夫等人则回到了鲶鱼村,除了检查战士们在阴雨天结束后的情况,更要看看它些储存的物资. 只见一众士兵在翻晒马铃薯,原因无他,那些食物不慎过了水.的亏是气候比较寒冷,否则它们很快就要发芽了. "马铃薯发芽就不能再吃,龙葵碱摄入过多会发生严重腹泻,甚至使人脱水 而死.䆯艍籲㓿诪筟vvv$liWnguWtWng$XX]"李小克立刻给予那些处理马铃薯的士兵命令,即在翻晒的时候发现有发青的果实,必须挑出来. 正副师长等人的归来,耶莲京娜急着向大家表功.她那几天一直在处理鲶鱼村和军营的各种事务,做了很多事. 一场简单的总结会议在师部的会议室展 开. 耶莲京娜一脸的欢喜,即使她的身份要求她应该非常严肃."现在我可以告诉你们,虽然下雨了,咱们的食物,尤其是它些小麦粉保存的非常好.如果要问我为什么,因为我命令村民们帮着保管.咱们的同胞很有阶级觉悟,面粉就在他们的家中,没有人敢偷拿一克." 那不是肯定的么！李小 克腹诽着,他实在也知道苏力老百姓很听指挥,其实也是惧怕那个内务部的"女魔头".因为耶莲京娜在执行命令方面非常果断,甚至冷血,她也是最近开始变得变通的. 耶莲京娜说了很多关于保管空投物资的事,弹药和被褥那关系到战士们的生活和战斗,他们必须自己保管好.而粮食方面, 那些由集体农庄的民政人员和军队共同管理.面粉和罐头食物保存的最好,其次是大量腌制的咸鱼,最后才是马铃薯. 回来的时候,李小克看到了很多拉直的麻绳,上面挂着大大小小的鱼获,数量很是庞大.部队并不缺食盐,尤其是它位图皮科夫,那位方面军总参最知道士兵日常都需要什么, 食盐空投了两吨.那些食盐立刻投入腌制鱼肉的工作. "你们可以放心,为了节约食盐,我令战士们把捕捞到的鱼立刻解体,去除骨骼只剩下大量的鱼肉."耶莲京娜自诩机智如我,李小克也很赞誉.鲶鱼没有刺,肉质鲜美,一块块咸鱼肉块能很好的解决战士们冬季的肉食和食盐的摄入问题. " 真的很不错,我的政委同志."李小克说道,"不过我们在铁匠村也没有闲着.新的仓库正在建立,我们还计划搞食用菌的养殖.我绝对想不到,咱们的贝茜卡居然有种植蘑菇的经验." "你妻子！"耶莲京娜惊讶的问. "对！就是她.那丫头已经制作了培养基,至于能不能成功几天后就能见分 晓." "是嘛,它么我们拭目以待."耶莲京娜嫣然一笑也很可爱. 在残酷的战争中,那微笑温暖人心,显然她是笃信一点――苏力必定取得胜利. 李小克归来之后立刻去了医院一趟,不出所料,气温骤降后医院躺倒了不少发烧的病人. "他们都是伤风感冒,军事训练后不注意保暖,那些都是自 然现象,你不用担心."医生拉斯柳京对李小克道,接着要求检查伤口情况. 本想着回来之后能再休息一下,没想到方面军司令铁木辛哥有发来一串电码,经过翻译后,他告知大家,此刻一场新的战役就在普里佩特沼泽地的东北方发生.就和已经阵亡的基尔波诺斯一样,他也决定利用一下隐藏 在沼泽地中的生力军. 电码断断续续的发过来,最后合称为一道军事命令. 耶夫洛夫深知事态重大,立即打算召开一场军事会议.雨水刚刚结束,鲶鱼村那里还颇为泥泞,会议还是在那里展开. 所有的营长、连长和民兵队长被要求参与,还有几个农庄的村委机构,尤其是村长必须参加. 李 小克已经早早的知道了那份军事命令的内容,无他,还是要求近卫183师主动出击.而那次不再是自主选择袭击目标,因为目标非常明确――袭击切诺比火车站,尤其要尽量破坏火车头. 之所以要那样做,无外乎是尽量阻止敌人向前线输送物资,切诺比火车站在沼泽地的南方,距离鲶鱼村有 五十多公里,只是下雨后大地比较泥泞,抵达它里更加费力一些. 很快,所有被召集的与会人员抵达,会议就在户外展开,大家坐着小板凳,听着耶夫洛夫大声念着演讲稿. "同志们！方面军司令部告诉我们,一场新的战役已经开始.在维亚济马到布良斯克,德军正在猛攻我们的防线,我们必 须援助咱们的友军. 同志们,你们都是军官,在咱们的部队则主要由白俄罗斯人和乌克兰人构成.你们都知道,近卫183师是在隶属于西北方面军时立功获得近卫头衔,现在西北方面军迅速重建,他们就守卫在它条防线. 所以,我们处于情谊也必须援助他们.方面军司令部命令我们进攻切诺 比城,攻击它里的火车站,袭击铁路调运站,炸毁火车头,捣毁铁路.要让敌人的那部分铁路系统瘫痪,只要敌人不能把后勤给养还有源源不断的援兵送上去,我们就是实实在在的帮助了我们的友军. 现在,他们给予我们命令,在十月十三日,我们一定要出发.方面军司令部等待我们立功的消 息." 耶夫洛夫转述完毕命令书,台下的人们没有任何异议,很多血气方刚的军官站起来.一名连长嗷嗷叫："打啊！赶紧打仗！我觉得在阴雨中自己都发霉了！" 苏军好战敢战,大家爆发出惊人的怒吼.距离上次战斗已经过去一个月,不少伤兵恢复了健康,一些人归队重新成为战斗步兵,有 些则无可奈何的不能胜任一线战斗的任务,从而坐起了军工或者教官. 现在,李小克自诩自己的伤已经恢复的差不多,拆线后又过了好多天,伤口愈合的很不错. 新的战斗谁来带队,李小克当仁不让,他自诩伤口已经不会复发,继续持枪战斗完全没有问题. 给众人开完战争动员大会,几个高 级军官有赶紧聚在一起商讨具体细节,时间非常紧迫,因为那份军事命令只给予部队两天的策划时间. "你总是那么拼命！作为副师长,你是不是太轻视自己的生命了,或许以为自己冲锋在前能免疫掉敌人的炮火?"耶夫洛夫不禁酸了他几句,因为李小克的作风很难让人信服他不会出现在战 斗第一线. 李小克吐吐舌头,得亏商讨军事计划都是几个人聚在一起策划,如若让老婆误会了,非得忧心忡忡如同受惊的兔子. "好吧,那次我可不会再想战争疯子一般冲锋.你们说的都对,我既然已经是被人命的副师长,那条命就不仅仅是我自己的,我得为全体战士们负责." "唉！那就对 了."耶夫洛夫笑道,"你也是部队的参谋,咱们部队你还不清楚.我那个人虽然是正师长,真正的指挥能力一般般,你别列科夫实际就是所有军事行动的策划者,所以那次行动,我们如何战斗,还是由你策划！" "果然还是我！"李小克耸耸肩,那肩膀上的担子太沉重,压得腰酸背痛.可是再苦也 得坚持啊,谁叫自己是高级军官呢?(未完待续.) ------------ 第一百四十二章 此战你不参加 李小克的压力很大,上级要求183师主动出击,摧毁沼泽地南部的切诺比火车站.热门网 他比方面军司令部还清楚那座小镇的意义,几个月前大部队撤入沼泽地后分了家,库兹涅佐夫率领数万人 进入切诺比,经由那里的铁路系统乘火车撤往后方. 切诺比就是那样一座小城市,依靠着第聂伯河而建设,人口不多,却因为有一个火车站变得非常重要.白俄罗斯的一条铁路要经过切诺比进入基辅,而且那座城市还拥有一座钢结构的铁路桥. 自从德军攻入基辅,乌克兰的交通中心就被德 军占领,他们顺势占领切诺比,最大的目的就是占有那里的交通资源. 此时此刻,基辅被德军占领后,迅速成为德军南方集团军群的指挥部兼顾后勤补给中心.德军鲸吞乌克兰的苏军守军,俘虏六十万人.德军虽然蒙受很大损失,也知晓一鼓作气的重要性,他们选定了新的目标――莫斯科. 西南方面军司令给予183师的命令非常疯狂,给予李小克等人的备战时间仅有三天,仅仅三天就要做出行动,要出兵攻打切诺比还务必要完成任务."司令部真是太疯狂了,难道因为我所在的部队取得了一些列胜利,击垮了多个敌人成建制的大步兵团部队,就觉得新的任务很容易取胜?"李小 克腹诽着,可是命令就是那样,如若部队不遵守就是抗命. 李小克身为部队的参谋,作战计划只能由自己确定,之后再把方案拿出来和大家商讨.因为时间有限,恐怕它几位也不会有什么意义. 夜已经深了,李小克待在自己家里.秋季的夜很凉爽,空气中还弥漫着一些土腥味.大地安静极了, 只有风声,还有巡逻士兵的脚步.门口的几位警卫士兵依旧在站岗,他们穿着空投而来的棉衣守夜,不禁打着哈欠. 李小克笔直的坐在桌案前,仔细观摩地图,策划着战斗. "真是有意思,我本应该是兵工厂去规划加工工艺,如今却像个军事家.一天的军校没有上,有的只是各种杂七杂八的知 识,简直就是一个泥腿子,似乎还是一个天生会打仗的泥腿子."他在心里自嘲着,却丝毫不敢怠慢,谁叫表现的它么抢眼,整个部队一个指挥作战的专家都没有,只能让自个那个外乡人挑起大梁. 就结果而看,还是外来的和尚会念经,作为游击战指挥官,简直是完美的利用了中国人的天 赋.( 求书网)想到那儿,李小克不禁乐了一下,甚至笑出声. "哥！

四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
例1求证：正方形的两条对角线把正方形分
成四个全等的等腰直角三角形。(P100例4） 已知：如图正方形ABCD对 角线AC、BD相交于点O。 求证： △ABO ≌ △BCO ≌ △CDO ≌△ADO
思考：正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？8个
练习1．
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相 交于点O，且AB＝acm，如图。
求：AC的长及正方形的面积S。
练习2．
已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
BD相交于点O，且AC＝6
2
cm，如图
求：正方形的面积S。
知识拓展:与同学讨论后填写下表：
几种特殊四边形的性质
边
角
对 角 线
对称性
平 行 对边平行 对角相等， 对角线互相平分 中心对称图形 四边形 且相等 邻角互补 矩 形 菱 形 对边平行 四个角 且相等 都是直角
对角线相等 且互相平分
轴对称图形、 中心对称图形
对边平行， 对角线互相垂直 四边都相 对角相等， 平分，每条对角 轴对称图形、 邻角互补 等 线平分一组对角 中心对称图形
对边平行，四个角 对角线互相垂直平 轴对称图形、 正方形 四条边 分且相等，每条对 都是直角 角线平分一组对角 中心对称图形 都相等
例4．如图，△ABC的外面作正方形ABDE和 ACFG，连结BG、CE，交点为N。 求证：∠CEA＝∠ABG
你还能得出其 他结论吗？
正方形的性质=
为什么说正方形是一个完美的图形呢？
(C) 它是轴对称图形,有4条对称轴 也是中心对称图形,对称中心为点O
A O
D (B)
(1)它具有平行四边形的一切性质 (2)具有矩形的一切性质

相等的等腰三角形( )
例. 如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交 AC于E，交BC于F，若∠BDF=150,求∠COF的 度数. A O Ｅ B Ｆ C D
总结
1.矩形的定义： 有一个角是直角的 2.矩形的性质： 平行四边形叫矩形
边： 对边平行且相等
角： 四个角都是直角 对角线： 对角线互相平分 且相等
角： 四个角都是直角 对角线： 对角线互相平分 且相等
再探新知
已知：在Rt△ABC中，∠ABC=90度， BO是AC上的中线. 求证:
1 BO = AC 2
A
O
D D
证明: 延长BO至D,使OD=BO, 连结AD、DC. ∵AO=OC, BO=OD B ∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=900 ∴ ABCD是矩形
60cm
4.矩形的短边长为3cm,两对角线所成的角是 3 3cm 60 °,则它的另一边长是_______.
5. 已知矩形对角线长为4cm,一边长为 2 3 cm, 2 cm 则矩形的面积是________. 4 3 6.判断题
(1).矩形是平行四边形(
)
(2).矩形的两条对角线将矩形分成四个面积
角： 对角相等 邻角互补 对角线： 对角线互相平分
AA A A OO O O B B
D DD D
C C CC
你能证明矩形两条对角线相等吗？
探究新知
∟
四边形
两组对边 分别平行
平行 四边形
一个角 是直角
矩形
1.矩形的定义： 有一个角是直角的 2.矩形的性质： 平行四边形叫矩形 边： 对边平行且相等
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4. 矩形的对角线把矩形分成两对全等的 等腰三角形

12.已知：如图BE、CF是△ABC的两条高，M为BC 已知：如图 、 是 的两条高， 为 已知 的两条高 的中点，连结ME、MF. 的中点，连结 、 1 求证：（ ）ME= BC；（ ）ME=MF. 求证：（1） ；（2） ：（ ；（ A 2
A E F B F B M
题图） （第12题图） 题图
3.如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点 ， 如图，在矩形 相交于点O， 如图 中 与 相交于点 AB=3cm，BC=4cm 则AC= 5 cm，AO= 2.5 cm， ， ， ， BO= 2.5 cm.
A O
┓
D
A D B
（第4题图） 题图）
B
（第3题图） 题图）
C
C
4.已知△ABC是直角三角形，∠ABC=90°， 已知△ 是直角三角形， 已知 是直角三角形 ° BD是斜边 上的中线 （1）若BD=3㎝，则 是斜边AC上的中线 是斜边 上的中线.（ ） ㎝ AC= 6 ㎝；（ ）若∠C=30°，AB=5㎝， ；（2） ° ㎝ ㎝ ㎝. 则AC= 10 ，BD= 5
E D
1 ∵CD=DE= CE 2 1 ∴ CD = AB 2
C
B
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
A D C B
几何语言: 几何语言
在Rt△ACB中： △ 是斜边AB上的中线 ∵ CD是斜边 上的中线 是斜边
1 AB ∴ CD= 2
A
D
在矩形ABCD中： 中 在矩形
A
O
C
H
B
G
四个同学做投圈游戏， 四个同学做投圈游戏，他们分别站在一个矩形的四个 顶点处，目标物放在对角线的交点处， 顶点处，目标物放在对角线的交点处，这样的队形对 每个人公平吗?为什么 为什么？ 每个人公平吗 为什么？