华中师范大学实变函数2011(B)

华中师范大学 2006 –2007 学年第一学期期末考试试卷（A 卷）（解答）课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。

共5小题，每题3分，共5×3=15分）1、可数个可数集的并集是可数集。

（ 对 ）2、可测集E 上的非负可测函数必Lebesgue 可积。

（ 错 ）3、R n 上全体Lebesgue 可测集所组成的集类 具有连续势。

（ 错 ）4、非空开集的Lebesgue 测度必大于零。

（ 对 ）5、若()n f x （1n =，2，）和()f x 都为可测集E 上的可测函数，且lim ()()n n f x f x →∞=，..a e E ，则()()n f x f x ⇒，x E ∈。

（ 错 ）二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共5×3 =15分)1、单调收敛定理（即Levi 定理）答：设E 是Lebesgue 可测集，()n f x (1n =，2，)为E 上的非负可测函数，若{()n f x }是单调递增的，记()lim ()n n f x f x →∞=，则lim()()n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰。

2、R n中开集的结构定理答：R n中的任一非空开集总可表示成R n中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。

（或R n中的任一开集或为空集或可表示成R n中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。

）3、R n中的集合E 是Lebesgue 可测集的卡氏定义（即C .Caratheodory 定义）答：设n E R ⊂，如果对任意nT R ⊂，总有***()()c m T m T E m T E =⋂+⋂则称E 为R n 中的Lebesgue 可测集，或称E 是Lebesgue 可测的。

4、F .Riesz 定理（黎斯定理）答：设E 为Lebesgue 可测集，()n f x (1n =，2，)和()f x 都是E 上的几乎处处有限的可测函数，如果()()n f x f x ⇒ x E ∈，则存在{()n f x }的一个子列{()k n f x }，使得lim ()()k n k f x f x →∞=..a e 于E 。

１《实变函数》练习题库及答案一、单项选择题1．下列集合关系成立的是（ ）A ()\B A A =∅ B ()\A B A =∅C ()\A B B A =D ()\B A A B =2．若nR E ⊂是开集，则（ ）A E E '⊂B 0E E =C E E =DE E '=4．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ）A ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰B ()()lim lim n n E En n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰C ()()lim lim n n E En n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰D ()()lim lim n n EE n n f x dx f x →∞→∞≤⎰⎰5．下列集合关系成立的是（ ）A c c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．若n R E ⊂是闭集，则（ ）A E E '=B E E '⊂C E E '⊂D 0E E =7．设E 为无理数集，则（ ）A E 为闭集B E 是不可测集C mE =+∞D 0mE = 9．下列集合关系成立的是（ ）２A c c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D cc c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭10．设n R E ⊂，则( )A E E ⊃B E E '⊂C E E '⊂DE E =11．设P 为康托集，则（ ）A P 是可数集B 0mP =C P 是不可数集D P 是开集 13．下列集合关系成立的是（ ）A 若AB ⊂则c c B A ⊂ B 若A B ⊂则c c A B ⊂C 若A B ⊂则A B B =D 若A B ⊂则A B B =14．设nR E ⊂，则（ ）A ()E E = B 0E E ⊃ C E E '⊂ D E E '⊂15．设(){},001E x x =≤≤，则（ ）A 1mE =B 0mE =C E 是2R 中闭集DE 是2R 中完备集16．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ）A ()()E x f x g x ⎡⎤≥⎣⎦不一定是可测集B ()()E x f x g x ⎡⎤≠⎣⎦是可测集C ()()E x f x g x ⎡⎤≤⎣⎦是不可测集D ()()E x f x g x ⎡⎤=⎣⎦不一定是可测集１7．下列集合关系成立的是（ ）（A ）(\)A B B A B = （B ）(\)A B B A = （C ）(\)B A A A ⊆ （D ）\B A A ⊆３18. 若()nE R⊆是开集，则 （ ）（A ）E 的导集E ⊆ （B ）E 的开核E = （C ）E E = （D ）E 的导集E = 19. 设P 的康托集，则（A ）P 为可数集 （B ）P 为开集 （C ）0mP = （D ）1mP =20、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ϕ是E 上的连续函数 （B ）()x ϕ是E 上的单调函数 （C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积 （D ）()x ϕ是E 上的可测函数 21．下列集合关系成立的是（ ）（A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =∅ （C ）(\)B A A =∅ （D ）A B A B ⊆ 22. 若()nE R⊆是闭集，则 （ ）（A ）0E E = （B ）E E = （C ）E E '⊆ （D ）E E '= 23. 设Q 的有理数集，则（ ）（A ）0mQ > （B ）Q 为闭集 （C ）0mQ = （D ）Q 为不可测集24.设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()0Ef x dx =⎰，则 （ ）（A ）在E 上，()f x 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f x ≥ （C ）在E 上，()0f x ≡ （D ）在E 上，()0f x ≠ 25.二、填空题４1．设,A B 为集合，则()\A B B _A B （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A _B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是_集 4．有限个开集的交是_集5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E _12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ⊂ 是可数集，则*m E _07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈ ，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是_，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是_函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒_ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上_11．设,A B 为集合，则()\B A A _A （用描述集合间关系的符号填写） 12．设{}211,2,A k k =-= ，则A _a （其中a 表示自然数集N 的基数） 13．设nE ⊂ ，如果E 中没有不属于E ，则称E 是_集 14．任意个开集的并是_集15．设1E 、2E 是可测集，且12E E ⊂，则1mE _2mE 16．设E 中只有孤立点，则*m E _017．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈ ，()E x f x a ⎡⎤<⎣⎦是_，则称()f x 在E 上可测18．可测函数列的下极限也是_函数19．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x ⇒_ 20．设()n x ϕ是E 上的单调增收敛于()f x 的非负简单函数列，则()Ef x dx =⎰_21．设,A B 为集合，则()\A B B _B５22．设A 为有理数集，则A _a （其中a 表示自然数集N 的基数） 23．设n E ⊂ ，如果E 中的每个点都是内点，则称E 是_集 24．有限个闭集的交是_集 25．设n E ⊂ ，则*m E _026．设E 是n 中的区间，则*m E _E 的体积27．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈ ，()E x f x a ⎡⎤≤⎣⎦是_，则称()f x 在E 上可测28．可测函数列的极限也是_函数29．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒..a e ，则()n f x _()g x30．设()n f x 是E 上的非负可测函数列，且单调增收敛于()f x ，由勒维定理，有()Ef x dx =⎰_31．设,A B 为集合，则()\B A B A _A B32．设A 为无理数集，则A _c （其中c 表示自然数集[]0,1的基数） 33．设nE ⊂ ，如果E 中没有不是内点的点，则称E 是_集 34．任意个闭集的交是_集35．设n E ⊂ ，称E 是可测集，如果nT ∀⊂ ，()**m T m T E =+ _36．设E 是外测度为零的集合，且F E ⊂，则*m F _037．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈ ，()E x a f xb ⎡⎤≤<⎣⎦是_，（a b ≤）则称()f x 在E 上可测 38．可测函数列的上确界也是_函数39．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒..a e ，则()()n n f x g x ⇒_40．设()()n f x f x ⇒，那么由_定理，(){}n f x 有子列()k n f x ，使()()k n f x f x →..a e 于６E41.设,A B 为两个集合,则__cA B A B - .42.设n E R ⊂,如果E 满足E E '⊆(其中E '表示E 的导集),则E 是____集.43.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i)_______________(ii)__________.44.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数). 45.设12,E E 为可测集, 2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 46.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,若对任意实数a ,都有[()]E x f x a >是______,则()f x 是E 上的可测函数.47.设0x 是E (R ⊆)的内点,则*__0m E .48.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ⇒∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()()()k a en f x f x x E →∈.49.设()f x 为可测集E (n R ⊆)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值不一定存在且|()|f x 在E 上____________L 可积.50.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x ____[,]a b 上的有界变差函数. 51．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A52．设nE R ⊂，如果E 满足0E E =（其中0E 表示E 的内部），则E 是_____集 53．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ⊆且,a G b G ∉∉，则(,)a b 必为G 的________区间54．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数____ a (其中a 表示自然数集N 的基数) 55．设,A B 为可测集，B A ⊆且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B -７56．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是______57．若()E R ⊆是可数集，则__0mE58．设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果.()()()a en f x f x x E →∈，则()()n f x f x ⇒ x E ∈_________59． 设()f x 为可测集()nE R ⊆上的非负可测函数，则()f x 在E 上的L 积分值_________ 60．若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则()f x 必可表示成两个_______________________61.设B 是1R 中无理数集，则=B 。

华中师范大学 2005 –2006学年第二学期期末考试试卷（B 卷）参考答案课程名称 复变函数 课程编号 83410010任课教师 陈世荣 郑高峰 代晋军一、单项选择题：（共6题，每题3分）1. 设,1 , 10=<z z 记 zz z z l 001--=，则以下判断正确的是 [ C ] .(A) .1>l (B) .1<l (C) .1=l (D) l 的值无法确定. 2. 函数 2)(z z f =+1 在 0=z 处是[ B ].(A) 不可导的. (B) 可导但不解析. (C ) 解析的. (D) 可导且解析.3. 设)(z f 在单连通区域D 内解析且恒不为0, L 为D 内一条简单闭曲线, 则必有 [ D ].(A) .0)](Im[ =⎰dz z f L(B) .0)](Re[ =⎰dz z f L(C) .0)( =⎰dz z f L(D).0 )(1=⎰dz L z f4 . 设),2 ,1( 2)1(n =++-=n in ni n α，则 =+∞→n αn lim [ B ]. (A) 0. (B) 1. (C) i . (D) 不存在.5. 设 a z =为解析函数)(z f 的m 阶零点，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛'a f f ,Res [ A ].(A) m . (B) m -. (C) .1-m(D) ).1(--m6. 设函数)( ),(z g z f 分别以a z =为极点和本性奇点，则a z =为函数)()(z f z g 的[ B ].(A) 可去奇点. (B) 本性奇点. (C) 极点. (D) 无法确定a z =的奇点类别. 二、填空题： （共4题，每题 3分）1．设 ii w +=1，则)Im(w = ().,2Z k e k ∈+-ππ 2．复平面上取正实轴作割线，取定多值函数 )01( <<-ααz 在割线上沿取正实值的一个单值 解析分支，则该分支在 i z =处的值为2ie απ3．设⎰=-++=22,172 )(ςςςςςd z z f 这里2≠z ，则 =+')1(i f )114(2i +-π4．幂级数∑+∞=012n n n z 的收敛半径为 =R 1 .三、计算题： （共50分）1. 设)3)(1(1)(--=z z z f .(1)求)(z f 在1<z 内的泰勒展式. (8分)(2)求)(z f 在圆环31<<z 内的洛朗展式. (7分) (3)求)(z f 在圆环3>z 内的洛朗展式. (5分)解：).1131(21)(---=z z z f ---------------------------------------------------(3分) (1) 当1<z 时.3112121361]11)1(31[21)(0100nn n n n nn zz z z z z f ∑∑∑∞+=+∞+=∞+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+--=------(8分)(2) 当21<<z 时=)(z f .121321])1(1)1(31[2101113∑∑+∞=+∞=+--=----n n n n n zzz z z -----------------------------(15分)(3) 当3>z 时.1321]1131[21])1(1)1(1[21)(210013∑∑∑∞+=-∞+=∞+=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=---=n n n nn nn zz z z z z z z z z f ---------(20分) ■2. 利用留数定理计算实积分.(1) ⎰+-=πθθ0 2 cos 21a a d I ,其中 .1>a (15 分) 解： ⎰-+-=ππθθ 2 cos 21 21a a d I ，令θi e z =，-------------------------(3分)则()121cos -+=z z θ，],[,ππθθ-∈=iz dz d ----(6分).11 ,))((1Re 22 ))((21)1(21211111122-=--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=---=++-=---=-=⎰⎰a a a a a a z a z s ai i a z a z dz ai a z a az dz i I z z πππ-----------(11分) -----------------------------------------(15分)(2) dx x a x I ⎰∞++=02222)( (0>a ) (15 分)解：令,)()(2222z a z z f +=取如图积分路径R L 有： ----------------------(2分) ()⎰⎰⎰Γ-=++=RRai f s i dz z f x a dxx dz z f L RR ,Re 2)()()(2222π-------------------(6分)而)(,0)()(2222+∞→→-≤⎰ΓR R a R R dz z f Rπ--------------------------(9分) a ai z azi ai z z i f s aiz ai z 41)(2)(),(Re 322=+='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=== ----------------------(12分)令+∞→R 得到aai i dx x a x I 441221)(212222ππ=⋅⋅=+=⎰∞+∞-。

第一章集合（总授课时数8学时）由德国数学家 Cantor 所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括实变函数论）的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学课程．因此，在现代数学教育中，对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教材的第一章．不过，对于实变函数论来说，集合论毕竟只是一个辅助工具，因此，本章仅介绍那些必不可少的集论知识．§1、集合及其运算教学目的引入集的概念与集的运算,使学生掌握集和集的基本运算规律.本节重点De Morgan公式是常用的公式.证明两个集相等和包含关系是经常要遇到的论证,通过例子使学生掌握其基本方法. 集列的极限是一种新型的运算,学生应理解其概念.本节难点对集列极限的理解.授课时数2学时——————————————————————————————一、集合的概念及其表示集合也称作集，是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几何学中的“点”、“直线”那样，只能用一组公理去刻画．就目前来说，我们只要求掌握以下朴素的说法：“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的元素．”一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确．以集合作为元素的集合，也常称为集族或集类．以后常用大写字母A, B,C , D , X , Y, Z L 表示集合，用小写字母a,b,c, x, yL 表示集合中的元素．如果 a 是集合 A的元素，则说 a 属于A，记作a A ，或说A含有a．如果 a 不是集A的元素，则说a 不属于A，记作a A ，或说A不含有a．有些集合可用列举其元素的办法来表示，如：只含有一个元素 a 的集合称为单元素集或独点集，可表示为{ a} ．由n个元素 a1 , a2 L a n所组成的集合，可表示为{ a1 , a2 L a n }由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为{1,2,L , n,L } ．当集 A是具有某性质P的元素之全体时，我们用下面的形式表示A：A { x | x具有性质 p}例如，方程x2 1 0 的解x的全体组成的数集是{ x | x210} ，实际上就是 { 1, 1} .有时我们也把集 { x | x E, x 具有性质 p} 改写成 E[ x 具有性质 p] ．例如，设 f ( x) 是定义在集合 E 上的一实函数，a是一个实数，我们把集{ x | x E, f (x) a} 写成E[ f (x) a] 或 E[ f a] ．不含任何元素的集合称为空集，记作．设 A ， B 是两个集，若 A 和 B 的元素完全相同，就称 A 和 B 相等，记作 A = B (或B = A ).若集合 A 的元素都是集合 B 的元素，就称为 A 是 B 的子集，记作 A B (或 B A )，读作 A 包含于 B (或B包含A)．若 A B 且 A B ,就称A是 B 的真子集，规定空集是任何集的子集．由集的“相等”与“包含”的定义可得如下定理：定理 1 对任何集合 A ， B ，C，均有（1）A A ；（2）若A B, B C ，则A C；（3）A BA B 且 B A ．二集合的运算设 A ， B 是两个集合，集合 A 与 B 的并集或并 A U B { x : x A或 x B}集合 A 与 B 的交集或交 A I B { x : x A且 x B}特别地，若 A B，称A与B不相交；反之，则称 A 与 B 相交．集合 A 减 B 的差集或差:A B或 A B { x : x A但 x B}当 B A时，称差集A B 为 B 关于A的余集记作(C A B)．当我们研究一个问题时，如果所讨论的集合都是某个固定集 A 的子集时，就称 A为基本集或全集，并把 A 的子集B关于 A 的余集C A B简称为B的余集，记为B C或 CB .并集与交集的概念可以推广到任意个集的情形，设为一非空集合，并且对每一个，指定了一个集合 A ,此时我们称 { A |} 是以为指标集的集族，集族{ A |} 的并与交分别定义为 :U A { x :, 使x A } IA { x :, 有xA }例 设 A n{ x : 11x 11}, n N , 则nnnA n [ 1,0],A n( 2,1)1n 1关于集合的并和交显然有下面的性质： ( 见课本 P9-P10)更一般地有 : De Morgan 公式(UA ) cIA c , ( I A )cUA c证明（略）注：通过取余集，使A 与 A C ，与 互相转换 .三、集列极限设 A 1 , A 2 ,L , A n ,L 是一个集合序列， ，其上限集和下限集分别定义为上极限集：lim A n (或 limsup A n ) { x : x 属于无限多个集合 A n } { x : 存在无限多个 A n ，使 x A n }nn{ x : N , n N , 使 x A n }I UAnN 1 n N下极限集：lim A n ( 或 liminf A n ) { x : 除去有限个集外， 有 x A n } { x : 当 n 充分大时，有 x A n }nn{ x : N , n N ,有 x A n }UIAnN 1 n N注：I A nlim A nlim A nU A nnnn 1 n 1例：设 A 2n [0,1], A 2 n 1 [1,2] ，则上极限集为 [0,2] ,下极限集为 {1} .极限集如果集列 { A n } 的上极限集与下极限集相等，即lim A n lim A n Ann则称集列 { A n}收敛，称其共同的极限为集列{ A n } 的极限集，记为： lim A n An单调增集列极限若集列 { A n } 满足 A nA n 1 ( n N ), 则称{ A n }为单调增加 ;若集列 { A n} 满足 A n A n 1 ( n N ),则称 { A n }为单调减少 ; 定理 2 ：单调集列是收敛的1) 如果集列 { A n } 单调增加，则lim A n U A nn n 12) 如果集列 { A n } 单调减少，则lim A n I A nn n 1例1：设A2n 1 ( 1 1 1( n, n), n N, 则,1 ), A2 nn nlim A n ( , ) ， lim A n ( 1,1] n n例 2：设A2n 1 [ 1,41], A2 n [1,11], n N, 则n n n nlim A n [0,4) ， lim A n (0,1]n n小结本节介绍了集的基本概念, 集的运算和运算性质. 这些知识是本课程的基础 .证明两个集的相等是经常会遇到的, 应掌握其证明方法. De Morgan 公式很重要 , 以后会经常用到 . 集列的极限是一种与数列极限不同的极限, 应正确理解其概念 .——————————————————————————————作业： P30 5, 7, 8练习题1. 设{ A n}为一集列：n 1（1）作B1A1 , B n A n U A k (n1) ，证明{ B n}为一列互不相交的集列，且k 1n nU A k U B k ( n 1,2,L )k 1k 1（2）若{ A n}是单调减少的集列，证明A1( A1 A2 ) ( A2 A3 ) L( A n A n 1 ) L( I A k ),k 1并且其中各项互不相交.2. 证明 :(1) nUIA n,n IUA n lim A n lim A nN 1 n N N 1 n N(2) lim A n lim A nn n(3) { A n } 单调递增时，有 lim A n lim A n lim A n U A nn n n n 1(4) { A n } 单调递减时，有 lim A n lim A n lim A n I1 A nn n n n3. 已知A2n E, A2n 1 F ,( n 1,2,L ) ，求 lim A n和 lim A n ，并问 lim A n是否存在？n n n§2对等与基数教学目的介绍映射,基数,等概念和它们的属性.本节要点一一对应的思想与方法是贯穿本节的核心. 基数的概念，讨论都要用一一对应的方法 . 证明两个集对等或具有相同的基数 , 有时需要一定的技巧 , 因而具有一定难度 , 通过较多的例题和习题 , 使学生逐步掌握其中的技巧 .本节难点证明两个集对等或具有相同的基数.授课时数2学时——————————————————————————————1映射的定义在数学分析课程中我们对函数已经很熟悉. 其中函数的定义域通常是R n的子集,值域是实数集或者复数集. 若将函数的定义域和值域换成一般的集, 可得到映射的概念.定义：设 X ,Y 是两个非空集合，若依照对应法则 f ，对X中的每个 x ，均存在Y中唯一的 y 与之对应，则称这个对应法则 f 是从X到Y的一个映射，记作 f : X Y 或：设 X , Y 是两个非空集合， f 是X Y 的子集，且对任意 x X ，存在唯一的y Y 使 (x, y) f ，则 f 是从X到Y的一个映射.注：集合，元素，映射是一相对概念.略：像，原像，像集，原像集，映射的复合，单射，满射，一一映射（双射）在数学分析课程中研究的函数当然是一种映射. 除此之外 , 我们还经常会遇到许多其它的映射 . 例如 , 定积分可以看作是可积函数集到实数集的映射, 求导运算可以看作是可导函数集到函数集的映射, 线性代数中的线性变换就是线性空间到线性空间的映射等.2集合运算关于映射的性质（像集）定理 1 ：设f : X Y, A, B, A () 是X的子集，称 { f ( x) : x A} 为A的像集，记作 f ( A) ，则有：1) A B f ( A) f (B);U A ) U f ( A );2) f ( A U B) f ( A) U f ( B), 一般地有 f (3) f ( A I B) f ( A) I f ( B), 一般地有 f ( I A )I f ( A );证明的过程略注： f (A I B) f ( A) I f ( B)一般不成立，如常值映射，等号成立当且仅当 f 为单射.集合运算关于映射的性质（原像集）定理 2：设f : X Y, A X ,C , D ,C () 是Y的子集，称{ x : f (x)C} 为C的原像集，记作 f 1(C )( f不一定有逆映射），则有：1)C D f 1 (C ) f 1 ( D );1 1 1一般地有：1 12) f (C U D ) f (C ) U f ( D ), f ( U C ) U f (C );3) f 1 (C I D ) f 1 (C ) I f 1 (D ), 一般地有： f 1 ( I C ) I f 1 (C );4) f 1 (C D) f 1 (C) f 1( D );5) f 1 (C c ) [ f 1 (C)] c ;6) A f 1 [ f ( A)];7) f [ f 1 (C)] C;证明略 .注： 6）， 7）一般不能使等号成立，6）等号成立当且仅当 f 为单射，7）等号成立当且仅当 f 为满射.3对等与势1）定义设 A ， B 是两非空集合，若存在着 A 到 B 的一一映射（既单又满），则称 A 与 B 对等,记作 A ~ B .约定 ~ .注：（ 1）称与A对等的集合为与A 有相同的势（基数），记作A .（2）势是对有限集元素个数概念的推广.2）性质a) 自反性：b)对称性：c) 传递性：A ~ A;A ~B B ~ A;A ~ B,B ~C A ~ C;例： 1)N ~ N 奇数 ~ N 偶数 ~ Z2)( 1,1) ~ ( , )证明：令 f : x tg ( x) ，则 f 是 ( 1,1) 到 ( , ) 的一一映射.故2( 1,1) ~ ( , )注：有限集与无限集的本质区别：无限集可与其某个真子集合有相同多的元素个数（对等）且一定能做到，而有限集则不可能.3)基数的大小比较a) 若 A ~ B, 则称 A B；b) 1B, 则称A B； A到B有一个单射，也相当于B到A有一个满射 .若 A ~ B 相当于：c) 若A B,且 A B，则称 A B .注：不能用 A 与 B 的一个真子集对等描述. 如：( 1,1) ~ ( 1,1) ( , )4 Bernstein 定理引理：设 { A : }{ B : }是两个集族，是一个指标集，又，, A ~ B , 而且 { A : } 中的集合两两不交， { B : } 中的集合两两不交，那么：U A ~ U B证明略定理 3:（ Bernstein 定理）若有A的子集A* ，使 B ~ A* , 及B的子集B* ，使 A ~ B* , 则A ~ B. 即：若 A B,B A, 则A B.证明：根据题设，存在 A 到 B*上的一一映射 f ，以及B到A*上的一一映射g .令A1 A A*， B1 f ( A1 ) ， A2 g ( B1 ) ， B2 f ( A2 ) ， A3 g( B2 ) ， B3 f ( A3 ) ，L L 由 g(B) A*知 A2 g( B1 ) A* , 而 A1 A A*，故 A1与 A2不交.从而 A1, A2在 f 的像B1 , B2不交， B1 , B2在g下的像 A2 , A3不交.由 A3A* , 知 A1与 A3不交，故 A1 , A2 , A3两两不交.从而 A1, A2 , A3在 f 的像 B1 , B2 , B3也两两不交， L Lf从而 A1 , A2 , A3 ,L两两不交，B1 , B2 , B3 ,L 也两两不交且A n ~B n (n 1,2,L ),fU A n~ U B nn 1n 1g另外由 B k ~ A k 1 (k 1,2,L ), 可知gU B k~ U A k 1k 1k 1g又 B ~ A* , 所以g U A k 1， A* U A k 1 ( A A1 )U A k 1 A U A kB U B k ~ A*k 1 k 1 k 1 k 1 k 1B U Bk ~ A U Akk 1k 1A ( A U A k ) U (U A k ) ~ (B U B k ) U (U B k )Bk 1k 1k 1k 1 证毕．注：要证 A B，需要在A与B间找一个既单又满的映射；而要证A B，，只需找一个单射即可；从而我们把找既单又满的映射转化成找两个单射.例： ( 1,1) ~ [ 1,1]证明：由 ( 1,1) [ 1,1] (,) ~ ( 1,1)可知， ( 1,1) ~ [1,1]——————————————————————————————作业： P30 9, 10练习题1.R1上以有理数为端点的区间的全体所成之集与自然数集之间能否建立一一对应？2．证明:若A B C , A : C , 则A : B : C.3. 证明：若A B ， A : A C ，则有 B : B C .4.设F是[0,1]上的全体实函数所成的集合，而M 是[0,1]的全体子集所成的集合，则F : M .§3、可数集合教学目的介绍可数集概念及其运算它们的属性.本节要点可数集是具有最小基数的无限集. 可数集性质十分重要，不少对等问题可以与可数集联系起来 , 可数集证明技巧较强通过较多的例题和习题, 使学生逐步掌握 .本节难点证明集合可数 .授课时数2学时——————————————————————————————１可数集的定义与自然数集N 对等的集合称为可数集或可列集，其基数记为 a 或01,2,3,4,5,6 L La1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 L L注： A 可数当且仅当 A 可以写成无穷序列的形式{ a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 L L } 例： 1）Z={0,1,-1,2,-2,3,-3 L }2）[0,1] 中的有理数全体 ={0,1,1/2,1/3,2/3,1/4,3/4,1/5,2/5, L }２可数集的性质（子集）定理 1 任何无限集合均含有可数子集 .证明：设M是一个无限集，取出其中的一个元素从M中任取一元素，记为则e1.M { e1} ,在M{ e1}中取一元素e2 ,显然e2e1 .设从M中已取出n个互异元素1, 2 n,由于M 是无限集，故 M { e1, e2 ,L e n } ,于是又可以从1, 2n 中e e ,L e M { e e ,L e }取出一元素 e n 1,它自然不同于 e1, e2 ,L e n.所以，由归纳法，我们就找到 M 的一个无限子集{ e1,e2,L , e n L } 它显然是一个可数集．证毕．这个定理说明可数集的一个特征：它在所有无限集中有最小的基数．可数集的性质（并集）有限集与可数集的并仍为可数集有限个可数集的并仍为可数集可数个可数集的并仍为可数集A a1 , a2 , a3 ,L，B b1 , b2 ,L , b n，C c1 , c2 , c3 ,L假设 A, B, C 两两不交，则A B b1 ,b2 ,L , b n , a1 ,a2 ,L（当集合有公共元素时，不重复排）第9页（共 14 页）A C a1 ,c1 , a2 ,c2 , a3 , c3 ,L关于可数个可数集的并仍可数集的明a11 , a12 , a13 , a14，La21 , a22 , a23 , a24，La31 , a32 , a33 , a34，La41 , a42 , a43 , a44，LL , L , L , L ，L当A i互不相交，按箭所示，我得到一个无序列;当A i有公共元，在排列的程中除去公共元素；因此U A n是可数集。