第2章 实变函数 答案
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第2章习题参考答案
A 类
1、(1)()C ;(2)()A ;( 3)()C ;(4)()B ; (5)()D 。
2、(1)[0,1],空集,[0,1];(2)3
{(0,):1}E y y ≤;
(3)(1,6);(4)公共;(5)c
E 。
3、证明:(1)必要性 设'
0P E ∈,则0δ∀>,邻域0(,)N P E δ中有无穷多个点。现设0(,)P N P δ∈,
则00(,)d P P η
δ
≤=<。故
0(,)y N P δη∈-,有
00(,)(,)(,)d y P d y P d P P δηηδ≤+<-+=。
所以
0(,)(,)N P N P δηδ-⊂,而0(,)
N P E δη-有无穷多个E
中的点,自然有异于
0P 的点
10(,)(,)P N P E N P δηδ∈-⊂。而00(,)({})N P E P δη--是无穷点集,故(,)N P δ中有
无穷多个异于0P 的E 中的点。
充分性 若任意含0P 的邻域(,)N P δ中恒有异于0P 的点1P E ∈,则0δ∀>,0(,)N P δ中有异于0
P 的点1P E ∈,记101(,)d P P δ=,显然1δδ<,于是邻域01(,)N P δ中又有异于0P 和1P 的点2P E ∈,
而202
1(,)d P P δδδ=<<,这样下去,可得无穷点集
0{(,),1
,2,}n n P P E N P n δ∈= 这表明0(,)N P δ中有无穷多个E 中的点,由δ的任意性知,'
0P E ∈。 (2)必要性显然。
充分性 若存在包含0P 的邻域(,)N P E δ⊂,则00(,(,))(,)N P d P P N P E δδ-⊂⊂,故0P 为E 的
内点。 4、仿第3题。
5、证明:记B 为E 的孤立点全体,则'E B E -=,所以'
()E E B B E
B =-=,而B 至多可数,
则当'E 有限时'
E B 是至多可数的,从而E 至多可数,矛盾。
6、证明:因为E 为闭集,则E E '⊂,而E E E '=⋃,所以E E =。反之,因为E E E E '==⋃,
所以,E E '⊂
,即E 为闭集。
7、证明:对任意{()}x E x f x a ∈=>,有()f x a >,由连续函数的局部保号性,存在(,)B x δ,
使对任意(,)y B x δ∈,有()f y a >,即y E ∈,所以,(,)B x E δ⊂
,即x 为E
的内点。所以
{()}
E x f x a =>为开集。又
{()}{()}
c c F x f x a x f x a E =≤=>=是开集,所以,
{()}F x f x a =≤为闭集。同法可证{()}x f x a <为开集,{()}x f x a ≥为闭集。
8、证明:反证法。假定12{,,,,}n E x x x =,作闭区间1:I 1x 是1I 的内点,因1x 不是孤立点,所
以存在E 中点
2:y 2y 是1I 的内点。作以2y 为中心的闭区间2:I 2112I I x I ⊂∉且。
同理,又有E 中点3:y 3y 是2I 的内点以及32y x ≠,再作以3y 为中心的闭区间3:I 3223I I x I ⊂∉且,
易知3
I E ≠∅,如此进行下去,可得闭区间列{}:n I
1,(1,2,)n n n
x I I E n +∉≠∅=
现记n n
K I E =,则{}n K 是有界闭集列,且1(1,2,)n n K K n +⊂=,因每个n K 均为E 的子集,
且1n n x I +∉,所以
1
n n K ∞
==∅,这显然与E 是完备集矛盾。证毕。
9、证明:方法一。n G R ∀⊂开集,显然n G R c ≤=。0x G ∀∈,0δ∃>,使0(,)N x G δ⊂,
而0(,)
N x c δ=,从而,G c =。
方法二。由第9题知n R 中任一开集G 都可表为1
i i G I ≥=
,其中i
I
为n R 中的开区间,从而n
I c =,
所以G c =
10、证明:设F 是包含E 的任意闭集,则'
'E F ⊂,所以''E E E F F F =⊂=,因F
是为闭
集,所以E
F F ⊂=。
11、证明:反证法。假定
12G G ≠∅,则存在012
x G G ∈,由于12G G =∅
,故
'
0222x G G G ∈-⊂。但01x G 是的内点,因而存在
00δ>,使得
001(,
)N x G δ⊂,002(,)N x G δ=∅,从而得'02x G ∉,导致矛盾,故结论成立。
12、证明: 设1{,}G G G R =⊂是开集F
,则易知c ≥F ,G ∀∈F
,由1R 中的开集的构造
知,G 可表为至多可数个互不相交的开区间的并,即1
(,)i i i G
a b ≥=
,令A 表示直线上互不相交的开区
间的全体,从而G 对应于A 的一个子集,这就说明F
对等于
2A 的一个子集,又A a =。于是