下载文档原格式
华中师范大学 2006 –2007 学年第一学期期末考试试卷（A 卷）（解答）课程名称 实变函数 课程编号 83410014 任课教师判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。
共5小题，每题3分，共5×3=15分）1、可数个可数集的并集是可数集。
（ 对 ）2、可测集E 上的非负可测函数必Lebesgue 可积。
（ 错 ）3、R n 上全体Lebesgue 可测集所组成的集类 具有连续势。
（ 错 ）4、非空开集的Lebesgue 测度必大于零。
（ 对 ）5、若()n f x （1n =，2，）和()f x 都为可测集E 上的可测函数，且lim ()()n n f x f x →∞=，..a e E ，则()()n f x f x ⇒，x E ∈。
（ 错 ）二、叙述题 (共5小题 , 每题3分，共5×3 =15分)1、单调收敛定理（即Levi 定理）答：设E 是Lebesgue 可测集，()n f x (1n =，2，)为E 上的非负可测函数，若{()n f x }是单调递增的，记()lim ()n n f x f x →∞=，则lim()()n n EEf x dx f x dx →∞=⎰⎰。
2、R n中开集的结构定理答：R n中的任一非空开集总可表示成R n中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。
（或R n中的任一开集或为空集或可表示成R n中至多可数个互不相交的半开半闭区间的并。
）3、R n中的集合E 是Lebesgue 可测集的卡氏定义（即C .Caratheodory 定义）答：设n E R ⊂，如果对任意nT R ⊂，总有***()()c m T m T E m T E =⋂+⋂则称E 为R n 中的Lebesgue 可测集，或称E 是Lebesgue 可测的。
4、F .Riesz 定理（黎斯定理）答：设E 为Lebesgue 可测集，()n f x (1n =，2，)和()f x 都是E 上的几乎处处有限的可测函数，如果()()n f x f x ⇒ x E ∈，则存在{()n f x }的一个子列{()k n f x }，使得lim ()()k n k f x f x →∞=..a e 于E 。
《实变函数》试卷及参考答案《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分)1、1、下列各式正确的是( ),,,,limAA,,,limAA,,,(A); (B); nknk,,,,nnkn11nknn,,,,,,,,limAA,,,limAA,,,(C); (D); nknk,,,,nnkn1,,nkn1,,n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( ),'P,mP,0(A) c (B) (C) (D) P,PP,P3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测fx()E是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) 4、设ae..,,n sup()fxfxfx()(),fxfx()(),(A)若, 则 (B) 是可测函数 ,,nnnnfxfx()(), (C)是可测函数;(D)若,则可测 inf()fxfx(),,nnn5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是( ) [a,b](A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数 f(x)[a,b]f(x)[a,b]b'f'(x)dx,f(b),f(a)f(x)(C)在上L可积 (D) [a,b],a二. 填空题(3分×5=15分)()(())CACBAAB,,,,,1、_________ sso'E0,12、设是上有理点全体，则=______,=______,=______. EEE,, nET3、设是中点集，如果对任一点集都有R1 (第页，共47页)EL_________________________________，则称是可测的、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. 4f(x)(填“充分”，“必要”，“充要”)ab,ab,5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使fx(),,,,ab,______________________,则称为上的有界变差函数。
１《实变函数》练习题库及答案一、单项选择题1．下列集合关系成立的是（ ）A ()\B A A =∅ B ()\A B A =∅C ()\A B B A =D ()\B A A B =2．若nR E ⊂是开集，则（ ）A E E '⊂B 0E E =C E E =DE E '=4．设(){}n f x 是E 上一列非负可测函数，则（ ）A ()()lim lim n n E E n n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰B ()()lim lim n n E En n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰C ()()lim lim n n E En n f x dx f x dx →∞→∞≤⎰⎰D ()()lim lim n n EE n n f x dx f x →∞→∞≤⎰⎰5．下列集合关系成立的是（ ）A c c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ D ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6．若n R E ⊂是闭集，则（ ）A E E '=B E E '⊂C E E '⊂D 0E E =7．设E 为无理数集，则（ ）A E 为闭集B E 是不可测集C mE =+∞D 0mE = 9．下列集合关系成立的是（ ）２A c c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ B ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ccA A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D cc c A A αααα∈Λ∈Λ⎛⎫= ⎪⎝⎭10．设n R E ⊂，则( )A E E ⊃B E E '⊂C E E '⊂DE E =11．设P 为康托集，则（ ）A P 是可数集B 0mP =C P 是不可数集D P 是开集 13．下列集合关系成立的是（ ）A 若AB ⊂则c c B A ⊂ B 若A B ⊂则c c A B ⊂C 若A B ⊂则A B B =D 若A B ⊂则A B B =14．设nR E ⊂，则（ ）A ()E E = B 0E E ⊃ C E E '⊂ D E E '⊂15．设(){},001E x x =≤≤，则（ ）A 1mE =B 0mE =C E 是2R 中闭集DE 是2R 中完备集16．设()f x ，()g x 是E 上的可测函数，则（ ）A ()()E x f x g x ⎡⎤≥⎣⎦不一定是可测集B ()()E x f x g x ⎡⎤≠⎣⎦是可测集C ()()E x f x g x ⎡⎤≤⎣⎦是不可测集D ()()E x f x g x ⎡⎤=⎣⎦不一定是可测集１7．下列集合关系成立的是（ ）（A ）(\)A B B A B = （B ）(\)A B B A = （C ）(\)B A A A ⊆ （D ）\B A A ⊆３18. 若()nE R⊆是开集，则 （ ）（A ）E 的导集E ⊆ （B ）E 的开核E = （C ）E E = （D ）E 的导集E = 19. 设P 的康托集，则（A ）P 为可数集 （B ）P 为开集 （C ）0mP = （D ）1mP =20、设E 是1R 中的可测集，()x ϕ是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ϕ是E 上的连续函数 （B ）()x ϕ是E 上的单调函数 （C ）()x ϕ在E 上一定不L 可积 （D ）()x ϕ是E 上的可测函数 21．下列集合关系成立的是（ ）（A ）()()()A B C A B A C = （B ）(\)A B A =∅ （C ）(\)B A A =∅ （D ）A B A B ⊆ 22. 若()nE R⊆是闭集，则 （ ）（A ）0E E = （B ）E E = （C ）E E '⊆ （D ）E E '= 23. 设Q 的有理数集，则（ ）（A ）0mQ > （B ）Q 为闭集 （C ）0mQ = （D ）Q 为不可测集24.设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()0Ef x dx =⎰，则 （ ）（A ）在E 上，()f x 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f x ≥ （C ）在E 上，()0f x ≡ （D ）在E 上，()0f x ≠ 25.二、填空题４1．设,A B 为集合，则()\A B B _A B （用描述集合间关系的符号填写） 2．设A 是B 的子集，则A _B （用描述集合间关系的符号填写） 3．如果E 中聚点都属于E ，则称E 是_集 4．有限个开集的交是_集5．设1E 、2E 是可测集，则()12m E E _12mE mE +（用描述集合间关系的符号填写） 6．设n E ⊂ 是可数集，则*m E _07．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈ ，()E x f x a ⎡⎤≥⎣⎦是_，则称()f x 在E 上可测8．可测函数列的上极限也是_函数9．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x +⇒_ 10．设()f x 在E 上L 可积，则()f x 在E 上_11．设,A B 为集合，则()\B A A _A （用描述集合间关系的符号填写） 12．设{}211,2,A k k =-= ，则A _a （其中a 表示自然数集N 的基数） 13．设nE ⊂ ，如果E 中没有不属于E ，则称E 是_集 14．任意个开集的并是_集15．设1E 、2E 是可测集，且12E E ⊂，则1mE _2mE 16．设E 中只有孤立点，则*m E _017．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈ ，()E x f x a ⎡⎤<⎣⎦是_，则称()f x 在E 上可测18．可测函数列的下极限也是_函数19．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒，则()()n n f x g x ⇒_ 20．设()n x ϕ是E 上的单调增收敛于()f x 的非负简单函数列，则()Ef x dx =⎰_21．设,A B 为集合，则()\A B B _B５22．设A 为有理数集，则A _a （其中a 表示自然数集N 的基数） 23．设n E ⊂ ，如果E 中的每个点都是内点，则称E 是_集 24．有限个闭集的交是_集 25．设n E ⊂ ，则*m E _026．设E 是n 中的区间，则*m E _E 的体积27．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈ ，()E x f x a ⎡⎤≤⎣⎦是_，则称()f x 在E 上可测28．可测函数列的极限也是_函数29．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒..a e ，则()n f x _()g x30．设()n f x 是E 上的非负可测函数列，且单调增收敛于()f x ，由勒维定理，有()Ef x dx =⎰_31．设,A B 为集合，则()\B A B A _A B32．设A 为无理数集，则A _c （其中c 表示自然数集[]0,1的基数） 33．设nE ⊂ ，如果E 中没有不是内点的点，则称E 是_集 34．任意个闭集的交是_集35．设n E ⊂ ，称E 是可测集，如果nT ∀⊂ ，()**m T m T E =+ _36．设E 是外测度为零的集合，且F E ⊂，则*m F _037．设()f x 是定义在可测集E 上的实函数，如果1a ∀∈ ，()E x a f xb ⎡⎤≤<⎣⎦是_，（a b ≤）则称()f x 在E 上可测 38．可测函数列的上确界也是_函数39．设()()n f x f x ⇒，()()n g x g x ⇒..a e ，则()()n n f x g x ⇒_40．设()()n f x f x ⇒，那么由_定理，(){}n f x 有子列()k n f x ，使()()k n f x f x →..a e 于６E41.设,A B 为两个集合,则__cA B A B - .42.设n E R ⊂,如果E 满足E E '⊆(其中E '表示E 的导集),则E 是____集.43.若开区间(,)αβ为直线上开集G 的一个构成区间,则(,)αβ满(i)_______________(ii)__________.44.设A 为无限集.则A 的基数__A a (其中a 表示自然数集N 的基数). 45.设12,E E 为可测集, 2mE <+∞,则1212(\)__m E E mE mE -. 46.设()f x 是定义在可测集E 上的实函数,若对任意实数a ,都有[()]E x f x a >是______,则()f x 是E 上的可测函数.47.设0x 是E (R ⊆)的内点,则*__0m E .48.设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列,且()(),n f x f x x E ⇒∈,则由______定理可知得,存在{}()n f x 的子列{}()k n f x ,使得.()()()k a en f x f x x E →∈.49.设()f x 为可测集E (n R ⊆)上的可测函数,则()f x 在E 上的L 积分值不一定存在且|()|f x 在E 上____________L 可积.50.若()f x 是[,]a b 上的绝对连续函数,则()f x ____[,]a b 上的有界变差函数. 51．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A52．设nE R ⊂，如果E 满足0E E =（其中0E 表示E 的内部），则E 是_____集 53．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ⊆且,a G b G ∉∉，则(,)a b 必为G 的________区间54．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数____ a (其中a 表示自然数集N 的基数) 55．设,A B 为可测集，B A ⊆且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B -７56．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是______57．若()E R ⊆是可数集，则__0mE58．设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果.()()()a en f x f x x E →∈，则()()n f x f x ⇒ x E ∈_________59． 设()f x 为可测集()nE R ⊆上的非负可测函数，则()f x 在E 上的L 积分值_________ 60．若()f x 是[,]a b 上的有界变差函数，则()f x 必可表示成两个_______________________61.设B 是1R 中无理数集，则=B 。
《实变函数》试题题库参考答案一、选择题1、D2、C3、D4、D5、A6、B7、C8、A9、B 10、C 11、C 12、D 13、C 14、B 15、C 16、D 17、A 18、D 19、C 20、A 21、B 22、C 23、B 24、C 25、A 26、C 27、D 28、D 29、B 30、D 31、A 32、B 33、C 34、A 35、B 36、D 37、C 38、B 39、C 40、B 41、B 42、D 43、B 44、A 45、A 46、D 47、D 48、B 49、A 50、B 51、A 52、D 53、C 54、D 55、B 56、A 57、D 58、C 59、A 60、D 61、A 62、B 63、D 64、C 65、C 66、D 67、B 68、A 69、B 70、C 71、D 72、C 73、C 74、B 75、A 76、B 77、A 78、C 79、C 80、D 81、B 82、A 83、B 84、C 85、C 86、B 87、C 88、D 89、A 90、A二、填空题1、n 2 ；2、c ；3、c ；4、c ；5、c ；6、c ；7、{x:对于任意的I ∈α,有αA x ∈}；8、{x:存在I ∈α,使得αA x ∈}；9、ααA C s I∈⋃；10、ααA C s I ∈⋂；11、n kn k A ∞=∞=⋃⋂1；12、n kn k A ∞=∞=⋂⋃1；13、211)(∑=nk k x ；14、|})()({|sup ],[t y t x b a x -∈；15、2112})({∑∞=-k k k y x ；16、21222211})(){(y x y x -+-；17、21233222211})()(){(y x y x y x -+-+-；18、21244233222211})()()(){(y x y x y x y x ++-+-+-；19、}1:),{(22≤+=y x y x E ；20、}1:),,{(222≤++z y x z y x ；21、}1:),{(22=+y x y x ； 22、}1:),{(22≤+y x y x ；23、}1:),,{(222=++z y x z y x ； 24、}1:),,{(222=++z y x z y x ； 25、2；26、0；27、1；28、)},({inf ,y x d By A x ∈∈；29、)},({sup ,y x d Ay A x ∈∈；30、1；31、∑∞=1||infi i I ；32、n n mS ∞→lim ；33、)(a f E >可测；34、0>∀σ有 ∞=<1i i I E ；35、C B D A ⊂⊂⊂；36、||x ；37、可测函数；38、点态收敛与一致收敛；39、)(*||E I m I --；40、次可数可加性；41、可测函数；42、可测函数；43、单调性；44、 ∞=1i i G （i G 开）；45、推广；46、测度；47、)(*)(**CE T m E T m T m +=；48、 ∞=1n n F ，（n F 闭集）；49、常数；50、可测函数，连续函数；51、n n mS ∞→lim ；52、零测集； 53、可测函数；54、依测度； 55、0； 56、0； 57、0； 58、0； 59、0；60、0三、判断题 1、( √ )理由: 集合具有无序性 2、( × )理由: 举一反例, 比如: 取A={1}, B={2} 3、（ √ ）理由: 空集Φ是任意集合的子集. 4、（ × ）理由:符号⊂表示集合间的关系,不能表示元素和集合的关系. 5、( × )理由:Φ表示没有任何元素的集合,而{Φ}表示单元素集合,这个元素是Φ6、( × )理由: Φ表示没有任何元素的集合,而{0}表示单元素集合,这个元素是07、( √ )理由: 根据内点的定义, 内点一定是聚点8、( × )理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1不是E的外点,但却属于E的余集分9、( √ )理由: 有内点的定义可得.10、( √ )理由: 有内点的定义可得.11、( × )理由: 举例说明,比如: E=(0,1),元素1是E的边界点,但属于E.12、( × )理由: 举一反例,比如: E=(0,1),元素1是E的内点,但不属于E13、（×）理由: 因有若]1,0[]1,0)([-可测⊂E，E不可测，而EE14、（√）理由: 因)eaggf=>=≠E>f()(E()()gg(agaff>E==≠E>((())()f))g)(g((a两可测集的并可测。
习题1解答（A 组题）一、选择题1、C ；2、A ；3、D ；4、C ；5、C ；6、A ；7、A ；8、B ；9、D ；10、C 二、判断题1、×；2、×；3、×；4、×；5、√；6、×；7、×；8、×；9、×； 10、× 三、填空题1、＝；2、∅；3、()0,1；4、[]1,1-；5、,EF EF ；6、()2,3-；7、≥；8、c9、设有两个集合A 和B ，若≤A B ，≥A B ，则=A B 。
四、证明题1、（1）()()()()()\\====C C CC A A B A A B AAB A A AB A B ；（2）()()()()()()\\==C C CC A B CD A B CD A C B D()()()()\==CA C BD A C BD 。
2、111\lim \∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C Cn n n n n N n N N n N N n N A B A B A B AB ()111lim(\)∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C C C n n n n n N n N N n N N n N A B A B A B A B 。
同理可证第2个集合等式。
3、当A =∅时，{}∅张成的环和σ-环均为它自身；张成的代数和σ-代数均为{},X ∅。
当A X =时，{}X张成的环、σ-环、代数和σ-代数均为{},X ∅。
当A 为X 的非空真子集时，{}A 张成的环和σ-环均为{},A ∅；张成的代数和σ-代数均为{},,,cA A X∅。
4、首先，令()()tan 12π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦f x x ，由于()f x 是()0,1上的严格单调递减的连续函数，且()()()0,10,=+∞f，所以()f x 是()0,1到()0,+∞的一一映射。
2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)《实变函数》期末考试卷（A）考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定，承诺在考试中自觉遵规守纪，如有违反将接受处理；我保证在本科目考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。
考生签名：实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx f x x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。
请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系：()f x =，()f x =。
2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数，指的是：12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ϕ≡（非负常数）（1,2,,i k =）.ϕ在E 上的L 积分定义为：()Ex dx ϕ=⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说ϕ是L 可积的。
3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：()Ef x dx =⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说f 是L 可积的。
4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -， 即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值；但只有当时才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：()Ef x dx =⎰。
5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式：；如果再添上条件和就试卷 共 8 页 第 2 页得到列维定理的结论：。
2011—2012学年第1学期数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)《实变函数》期末考试卷（A）考生考试诚信承诺书在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪实变函数期末考试卷(A )2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日一 填空题（每小题3分，满分24分） 1 我们将定义在可测集qE ⊂上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：()()()(),0,0,0.f x x E f fx x E f +∈>⎧=⎨∈≤⎩当时当时 和()()()()0,0,,0.x E f fx fx x E f -∈>⎧=⎨-∈≤⎩当时当时分别称为f 的正部和负部。
请你写出()()(),,f x fx f x +-和()f x 之间的关系：()f x =，()f x =。
2 上题()M E 中有些元素ϕ被称为非负简单函数，指的是：12k E E E E =是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ϕ≡（非负常数）（1,2,,i k =）.ϕ在E 上的L 积分定义为：()Ex dx ϕ=⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说ϕ是L 可积的。
3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：()Ef x dx =⎰，这个积分值可能落在区间中，但只有当时才能说f 是L 可积的。
4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -， 即()Efx dx +⎰和()E f x dx -⎰的值；但只有当时才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：()Ef x dx =⎰。
5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式：试卷 共 8 页 第 2 页如果再添上条件和就得到列维定理的结论：。
6 设f 和()1,2,n f n =都是()M E 中的可测函数，满足()()lim n n f x f x a e →∞= 于E 或n f f ⇒两个条件之一。
实变函数复习范围1．设1[,2(1)],1,2,n n A n n=+-=，则（ B ）(A) lim [0,1]n n A →∞= （B ）=∞→n n A lim (0,1] (C) lim (0,3]n n A →∞= （D ）lim (0,3)n n A →∞=2、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( A )A 、(-1, 1)B 、(-1, 0)C 、[0, 1]D 、[-1, 1]3、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( B )A 、(0, 1)B 、[0, 1]C 、（0, 1]D 、(0, +∞)4、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( C )A 、[1, 2]B 、(1, 2)C 、 (0, 3)D 、(1, 2]5、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( C )A 、(-1, 1)B 、[0, 1]C 、φD 、{0}6、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( D )A 、(-1, 1)B 、[0, 1]C 、ΦD 、{0} 7、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( C )A 、[0, 2]B 、[0, 2)C 、[0, 1]D 、[0, 1) 8、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2)C 、[0, 1]D 、[0, 1] 9、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( C )A 、ΦB 、[0, n]C 、RD 、(0, ∞) 10、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim (D )A 、(0, 1)B 、(0,n1) C 、{0} D 、Φ11、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( A )A 、ΦB 、(0,n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) 12、集合E 的全体内点所成的集合称为E 的 ( A ) A 、开核 B 、边界 C 、导集 D 、闭包 13、集合E 的全体聚点所成的集合称为E 的 ( C ) A 、开核 B 、边界 C 、导集 D 、闭包14、集合E 的全体边界点和内点所成的集合是E 的 ( D ) A 、开核 B 、边界 C 、导集 D 、闭包 15、E-E ＇所成的集合是 ( D )A 、开核B 、边界C 、外点D 、{E 的全体孤立点} 16、E 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( B ) A 、开核 B 、边界 C 、导集 D 、闭包 17、设点P 是集合E 的边界点, 则 (D )A 、P 是E 的聚点B 、P 是E 的孤立点C 、P 是E 的内点D 、P 是CE 的边界点18、设E 是[]0,1上有理点全体，则下列各式不成立的是（ D ） （A ）'[0,1]E = (B) oE =∅ (C) E =[0，1] (D) 1mE =19、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋃1是：（A ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 20、若}{n A 是一开集列，则n n A ∞=⋂1是：（ D ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 21、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋃1是：（ D ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 22、若}{n A 是一闭集列，则n n A ∞=⋂1是：（ B ）A 、开集B 、闭集C 、既非开集又非闭集D 、无法判断 23、下列集合不是可数集的是（ C ）A. 1R 中的有理数集QB. 自然数集NC. []0,1中的无理数集D. 1R 中互不相交的开区间族24、P 表示康托尔（cantor ）集，则mP ＝（ A ）A 、0B 、1C 、2D 、325、 集合列1{[0,],1,2,3,}n n=的上限集为 （ C ）A [0, 1]B φC {0}D [0, 1) 26、下列集合不是可数集的是（ C ） A. 1R 中的整数集Z B. 自然数集N C. []0,1中的Cantor 集 D. 1R 中互不相交的开区间族27、G 表示康托尔（cantor ）集在[0,1]中的余集，则mG=（ B ）A 、0B 、1C 、2D 、328、设E 是[0，1]中的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex E x x f ]1,0[,1,1)( 则下列函数在[0，1]上可测的是（ C ）.A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -29、若)(x f 可测，则它必是（ D ）.A 、连续函数B 、单调函数C 、简单函数D 、简单函数列的极限 30、若QE -=]1,0[，则=mE （ B ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 31、下列说法不正确的是（ A ）A 、E 的测度有限，则E 必有界B 、E 的测度无限，则E 必无界C 、有界点集的测度有限D 、nR 的测度无限 32、设⎩⎨⎧-∈-∈=Ex x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是（ A ）.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -33、设E 是[0, 1]上的不可测集，⎩⎨⎧-∈-∈=Ex xE x x x f ]1,0[)(22则下列函数在[0, 1]可测的是（ C ）.A 、)(x fB 、)(x f +C 、|)(|x fD 、)(x f -34、设E 为可测集，则下列结论中正确的是（ D ）A 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 一致收敛于)(x fB 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n 基本上一致收敛于)(x fC 、若)}({x f n 在E 上a , e 收敛于一个a , e 有限的可测函数)(x f ，则)(x f n ⇒)(x fD 、若)}({x f n 在E 上基本上一致收敛于)(x f ，则)(x f n a , e 收敛于)(x f35、设⎩⎨⎧-∈∈-=E x x Ex x x f ]1,0[,,)(33，其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ D ）在[0, 1]可测.A 、)(x f 、B 、)(x f +C 、)(x f -D 、|)(|x f 36、关于连续函数与可测函数，下列论述中正确的是（ C ）A 、它们是同一概念B 、a , e 有限的可测函数是连续函数C 、a , e 有限的可测函数是基本上连续的函数D 、a , e 有限的可测函数是a , e 连续的函数37、设⎩⎨⎧-∈∈-=E x x Ex x x f ]1,0[,,)(22其中E 是[0, 1]上的不可测集，则（ A ）在[0, 1]上是可测的.A 、|)(|x fB 、)(x fC 、)(x f +D 、)(x f -38、关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是（ C ）A 、简单函数一定是可测函数B 、简单函数列的极限是可测函数C 、简单函数与可测函数是同一概念D 、简单函数列的极限与可测函数是同一概念39、设E 是]2,0[π中的不可测集，⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]2,0[,sin ,sin )(π则下列函数在]2,0[π上可测的是（ B ）.A 、)(x fB 、|)(|x fC 、)(x f +D 、)(x f -40、关于依测度收敛，下列说法中不正确的是（ C ） A 、依测度收敛不一定一致收敛B 、依测度收敛不一定收敛C 、若)}({x f n 在E 上a.e.收敛于a.e.有限的可测函数)(x f ，则)()(x f x f n ⇒D 、若)()(x f x f n ⇒，则存在子列)}({x f i n a. e.收敛于)(x f41、设)(x f 是可测集E 上的非负可测函数，则)(x f （ C ）A 、必可积B 、必几乎处处有限C 、必积分确定D 、不一定积分确定 42、设)(x f 在可测集E 上可积，则在E 上（ B ）A 、)(x f +与)(x f -只有一个可积 B 、)(x f +与)(x f -皆可积 C 、)(x f +与)(x f -不一定可积 D 、)(x f +与)(x f -至少有一个不可积 43、设0=mE （Φ≠E ），)(x f 是E 上的实函数，则下面叙述正确的是（ C ） A 、)(x f 在E 上不一定可测 B 、)(x f 在E 上可测但不一定可积 C 、)(x f 在E 上可积且积分值为0 D 、)(x f 在E 上不可积 44、)(x f 在可测集E 上)(L 可积的必要条件是，)(x f 为（D ）A 、连续函数B 、几乎处处连续函数C 、单调函数D 、几乎处处有限的可测函数 45、设)(x D 为狄立克雷函数，则⎰=1)()(dx x D L （ A ）A 、 0B 、 1C 、1/2D 、不存在46、设)(x f 为Cantor 集的特征函数，则⎰=10)()(dx x f L （ A ）A 、 0B 、 1/3C 、2/3D 、 147、 设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ D ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('48、设}{n E 是一列可测集， ⊃⊃⊃⊃n E E E 21，且+∞<1mE ，则有（ A ）（A ）n n n n mE E m ∞→∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞=≤⎪⎭⎫⎝⎛⋃lim 1（C ）n n n n mE E m ∞→∞=<⎪⎭⎫⎝⎛⋂lim 1;（D ）以上都不对49、设f(x)是],[b a 上绝对连续函数，则下面不成立的是（ B ）(A) )(x f 在],[b a 上的一致连续函数 (B) )(x f 在],[b a 上处处可导 （C ）)(x f 在],[b a 上L 可积 (D) )(x f 是有界变差函数二 填空题1、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A =n, 则B = 2n2、设A 为一集合，B 是A 的所有子集构成的集合；若A 是一可数集, 则B = c3、若c A =, c B =, 则=⋃B A c4、若c A =, B 是一可数集, 则=⋃B A c5、若c A =, n B =, 则=⋃B A c6、若}{n A 是一集合列, 且c A n =, =⋃∞=n n A 1 c7、设}{i S 是一列递增的可测集合，则=∞→)lim (n n S m __n n mS ∞→lim ______。
第一章作业（一）答案：1. （30分）证明：（A ∪B)\C =(A\C)∪(B\C) 解：（A ∪B)\C =（A ∪B)∩C c =(A ∩C c )∪(B ∩C c )=(A\C)∪(B\C) 注意：A\B =A ∩B c ；（A ∪B)∩C c =(A ∩C c )∪(B ∩C c )4. （40分）设A 2n−1=(0，1n )，A 2n =(0，n)，n =1，2，….,，求出集列{A n }的上限集和下限集 解：∵A 2n−1→ϕ, A 2n →(0,∞)∴lim n→∞A n =⋂⋃A m ∞m=n∞n=1=⋂(0,∞)∞n=1=(0,∞)limn→∞A n=⋃⋂A m ∞m=n ∞n=1=⋃ϕ∞n=1= ϕ5. （30分）证明：证明：11111lim ,,,,,lim ,,,lim lim lim n m m m n mn n m nn m nn m nm m m nn n m nm nm n n m n n n m nn m nx A n m n x A x A A A A x A n x A m n x A x A A A A A ∞∞∞∞∞→∞→∞=====∞∞∞→∞===∞∞∞∞→∞→∞====∀∈∃∀≥∈∈⊂⊂∀∈∃∈∀≥∈∈⊂=使得对有从而即另一方面，对，，使得因此，对从而即，从而有实变函数复习范围1．设1[,2(1)],1,2,n n A n n=+-=，则（ ）(A) lim [0,1]n n A →∞= （B ）=∞→n n A lim (0,1](C) lim (0,3]n n A →∞= （D ）lim (0,3)n n A →∞=奇数：A n ⟶[1n ,1]⟶(0,1]；偶数：A n ⟶[1n ,3]⟶(0,3]limn ⟶∞A n=⋃.∞n⟶1⋂A m ∞m=n=⋃(0,1]∞n⟶1=(0,1]2、设}1111:{ix i x A i -≤≤+-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( )A 、(-1, 1)B 、(-1, 0)C 、[0, 1]D 、[-1, 1]A 1=0,A 2=[−12,12],⋯,A i ⟶(−1,1)3、设}110:{ix x A i +≤≤=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( )A 、(0, 1)B 、[0, 1]C 、（0, 1]D 、(0, +∞)A 1=[0,2],A 2=[0,32],⋯,A i ⟶[0,1]4、设}1211:{ix i x A i +<<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋃1= ( )A 、[1, 2]B 、(1, 2)C 、 (0, 3)D 、(1, 2]A 1=(0，3)，A 2=(12，52)，⋯，A i ⟶(1，2]5、设}23:{+≤≤=i x i x A i , N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( )A 、(-1, 1)B 、[0, 1]C 、φD 、{0} A 1=(1,52)，A 2=(2，72)，…无交集6、设}11:{ix i x A i <<-=, N i ∈, 则i i A ∞=⋂1= ( )A 、(-1, 1)B 、[0, 1]C 、ΦD 、{0}A1=(−1,1),A2=(−12,12),…,Ai =(−∞,∞)7、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈,则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2)C 、[0, 1]D 、[0, 1) A 2n−1⟶[0,2),A 2n ⟶[0,1],limn ⟶∞A n=⋃.∞n⟶1⋂A m ∞m=n=⋃[0,1]∞n⟶1=[0,1]8、设]1212,0[12--=-n A n , ]211,0[2nA n +=, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、[0, 2]B 、[0, 2)C 、[0, 1]D 、[0, 1]A 2n−1⟶[0,2),A 2n ⟶[0,1],limn→∞A n =⋂.∞n⟶1⋃A m ∞m=n=⋂[0,2)∞n⟶1=[0,2)9、设),0(n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、Φ B、[0, n] C 、R D 、(0, ∞)lim n→∞A n =⋃⋂A m ∞m=n ∞n=1=⋃（0，n ）∞n=1= （0， ）10、设)1,0(nA n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、(0, 1)B 、(0,n1) C 、{0} D 、Φ ∴lim n→∞A n =⋂⋃A m ∞m=n∞n=1=⋂(0,1n)∞n=1=Φ11、设)1,0(12nA n =-, ),0(2n A n =, N n ∈, 则=∞→n n A lim ( )A 、ΦB 、(0,n1) C 、(0, n) D 、(0, ∞) ∵A 2n−1→ϕ, A 2n →(0,∞)∴lim n→∞A n =⋂⋃A m ∞m=n∞n=1=⋂(0,∞)∞n=1=(0,∞)limn→∞A n=⋃⋂A m ∞m=n ∞n=1=⋃ϕ∞n=1= ϕ第二次作业答案13.解：令φ：X ⟶Y ，即φ：(−1,1) ⟶(−π2,π2) 5分 ψ:Y ⟶Z,即ψ: (−π2,π2) ⟶(−∞,+∞) 5分 易知φ为y =π2x ，ψ为z =tan (y) 20分 从而ψ[φ（x ）]=tan(π2x) 10∞15. 对任意n ，设A n 是n 次有理数多项式的全体组成的集合，由于多项式由系数确定，除首项系数不为0外，其他系数可取任何有理数. (10分) 因此，则A n ={a 0x^n+a 1x^(n −1)+⋯+ a n }～Q 0×Q ×⋯×Q ，其中Q 0= Q -{0}和Q 都是可数集，从而A n 是可数集。
《实变函数》习题库参考答案一、判断题 1、( √ )理由:由内点定义知，存在A P U ⊂),(0δ，从而对任意的)(0P U ，必含有A 中无穷多个点。
满足聚点定义 2、( √ )理由:[法一]:都具有连续基数,故对等 [法二]:可建立一个映射)2tan()(ππ-⋅--=a b a x x f ,则f(x)为),(b a 到R 的一一映射.3、( √ )理由:由B A ⊂知, A A B B )(-=,从而由有限可加性知，mA A B m mB +-=)(，又由 +∞<mB 知，+∞<-+∞<)(,A B m mA 。
从而移项可得结论。
4、( √ )理由:f(x)在区间[0,5)及[5,10]上均为连续函数，故分别在2个区间上是可测函数， 从而再其和集上也是可测函数。
5、( × )理由:例如有理数集Q ，无理数2是Q 的聚点，但不是其内点。
6、( √ )理由:[法一]:都是可数集,故有相同的基数,即对等。
[法二]:可建立一个映射⎪⎩⎪⎨⎧==+==...2,1,1,11,0,1)(n n x n x x f ,则f(x)为集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1,0n 到集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1n 的一一映射。
7、( √ )理由:由B A ⊂知A A B B )(-=,且φ=-A A B )(， 故mA mA A B m mB =+-=)(8、( √ )理由:狄利克莱函数⎩⎨⎧-∈∈=.]1,0[,0]1,0[,1)(Q x Qx x D 是[0,1]上的简单函数，故可测。
9、( √ )理由:由于E E ⊆Φ='，所以.}3,2,1{为闭集=E 10、( × )理由:如无界。
，但，则N mN N E +∞<==0 11、( √ )理由:由于可测。
在连续，从而在]2,1[2)(]2,1[2)(-=-=x f x f 12、( √ ) 理由:事实上：)()(***CE T m E T m T m T E +=∀⇔：可测]([)(**CE C T m CE T m +=可测。
