“九连环”中的数列递推问题

“九连环”中的数列递推关系山西省原平市第一中学任所怀“九连环”是一个古老的中国智力游戏，对于它的结构和玩法在人教版普通高中课程标准实验教科书《数学5》第59页有详细介绍。

为了让大家能更深入了了解这一游戏，我对这一游戏进行了进一步的深入剖析，写成这一篇文章与大家共享。

初见“九连环”可能会无从下手，按照我们从简单到复杂，从特殊到一般的归纳法思路，我们不妨先从“一连环”，“二连环”，“三连环”，……入手，从中找出规律，从而得出“n连环”的一般解法。

“一连环”解法简单，只需把圆环从上面的框架上取下，然后从框架中间穿过，就可把圆环从框架上解下。

把这样的移动记为一次移动，则解“一连环”需要移动的次数为1次，记为(1)1f=。

“二连环”解法也简单，只需按照上面的移动规则，先把第2环解下，然后再解下第1环即可，则解“二连环”需要移动的次数为2次，记为(2)2f=。

“三连环”的解法为：先解下第1环，（记为：下1），再解下第3环（记为：下3），再套上第1环（记为：上1），接着解一个“二连环”，就可完成。

所以解“三连环”需要移动的次数为(3)111(2)5=+++=；f f“四连环”的解法为：先解下前两环，（即下1，下2），再解下第4环（下4），再套上前2环（上2，上1），接着解一个“三连环”，就可完成。

所以解“四连环”需要移动的次数为(4)(2)1(2)(3)2(2)(3)110=+++=++=；f f f f f f由上归纳类比，可得“n连环”（n3≥）的解法可分为四步：第一步：先解前n-2环，需要移动f n-次；第二步：解下第n环，需要移动1次；第三步：套上前n-2环，解(2)法就相当把解下过程倒过来，所以需要移动(2)f n-次；第四步：解下前n-1环，需要移动的次数为(1)f n-。

于是解“n连环”需要移动的次数为f n f n f n f n f n f n n=-++-+-=-+-+≥；()(2)1(2)(1)2(2)(1)1(3)于是我们得到了一个数列的递推关系，即已知数列{()}===-+-+≥，下f f f n f n f n nf n，其中(1)1,(2)2,()2(2)(1)1,(3)面我们共同探求，如何能求出该数列的通项公式？解：由()2(2)(1)1,(3)=-+-+≥得f n f n f n n+-=-+-+≥()(1)2[(2)(1)]1,(3)f n f n f n f n n记(1)()n a f n f n =++，则121(2)n n a a n -=+≥且1(2)(1)3a f f =+= 由121(2)n n a a n -=+≥得112(1)n n a a -+=+于是数列{1}n a +为等比数列，公比为2，首项为114a +=所以111422n n n a -++=⨯=，所以121n n a +=-。

从汉诺塔问题看递推关系在实际问题中的应用姓名:孙瑞 学号:200640501218 指导老师:马玉田摘要：本文主要介绍了递推关系在实际中的应用，对几个实际问题的分析，让我们清楚的看到递推关系在解决实际问的强大作用．关键词：数列 递推关系 汉诺塔 九连环 蛛网模型引言: 递推关系在实际问题中有着广泛的应用.由连续变量可以建立微分方程模型,离散变量可以建立递推关系模型. 经过分析可知，常、偏微分方程除非在极其特殊的情况下，否则一般不存在解析解，所以讨论起来非常麻烦，比如最基本的平衡点的稳定性，往往只能得到局部稳定性，全局稳定性很难得到，而递推关系模型可以达到全局的效果，另外，由递推关系获得的结果又可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。

而在实际中，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个递推关系模型。

递推关系模型有着非常广泛的实际应用背景,我们的前人建立了许多著名的模型,如生态模型,传染病模型,经济模型(如蛛网模型),人口控制模型(如著名的马尔萨斯人口控制模型)等等.定义:设012,,,,n a a a a 是一个数列,把该数列中n a 与它的前面几个(01)i a i n ≤≤-关联起来构成的方程,称为一个递推关系,即(,,)n j k a f a a =(0,1)j k n ≤≤-.下面让我们看看递推关系在汉诺塔问题中的应用.引例:汉诺塔（又称河内塔）问题是印度的一个古老的传说。

开天辟地的神勃拉玛在一个庙里留下了三根金刚石的棒，第一根上面套着64个圆的金片，最大的一个在底下，其余一个比一个小，依次叠上去，庙里的众僧不倦地把它们一个个地从这根棒搬到另一根棒上，规定可利用中间的一根棒作为帮助，但每次只能搬一个，而且大的不能放在小的上面。

面对庞大的数字(移动圆片的次数)18446744073709551615，看来，众僧们耗尽毕生精力也不可能完成金片的移动汉诺塔问题:它是由三根固定的柱子ABC 和不同尺寸的n 个圆盘组成.开始时,这些个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在A 柱上,使大圆盘在底下.游戏的规则是:每次的圆盘从一根柱子移到另一根柱子上,但是不允许这个圆盘放在比它小的圆盘上面.游戏的目标是把所有的圆盘从按照大小的次序从A 柱都移到C 根柱子上,可以利用中间的B 柱子,在移动过程中药始终将最大的圆盘放在最下面.令n H 表示解n 个圆盘的汉诺塔游戏所需要的移动次数,建立关于序列{n H }递推关系 解 开始时n 个圆盘在A 柱上,按照游戏规则用1n H -次移动将上面的1n -个圆盘移到C 柱子上,在这些移动中最大圆盘不动.然后,用1次移动将最大圆盘移到B 柱子上.再用1n H -次移动将C 柱子上的1n -个圆盘移到B 柱子上并且放到最大圆盘上面,于是,得到所求递推关系.121n n H H -=+和初始条件是11H =.因为根据游戏规则,一个圆盘可用1次移动从A 柱子放到B 柱子上.为求解上述递推关系,对该问题首先用构造方法导出其解公式如下:1232233123112212(21)12(21)21222122221222121n n n n n n n n n n n H H H H H H ---------=+=++=++=+++=+++++=++++=-其中11H =, 21nn H =-确是递推关系121n n H H -=+的解.现在我们再回头看看古印度的那个问题,勃拉玛要求移动64个圆盘,带入我们所求的关系式即是64642118446744073709551615H =-=,面对这个天文数字,庙中僧侣要想移动这64个圆盘几乎是不可能的.从汉诺塔问题我们看到递推关系在解决实际问题中的巨大作用,,它在众多领域里有着广泛的应用,由此我们看看由汉诺塔问题所引出的一些实际问题.(1)九连环方程问题九连环是中国古代在民间流传的一种玩具,它是由9个环,9个直杆,一个条形框柄和一个平板组成,.每一个环都有一根杆相连,又顺序穿入后一个环,再连在条形横板上,从而构成一个整体,与其相适应,大小相当的一个条形框柄,可以将9个环穿套在上下框柄.只有它前面的换单独在框柄上面.只是穿套不可能一次性完成,有着严格的规律性和特别的要求.第一个环可以独立,自由地上或下条形框柄,而其后的各环要上或下框柄都受其前面的连杆和环的限制,任何一个环要独立,自由地上下框柄只要它前面的换单独在框柄上就能做到.现在可以假设前n 个环已经全部上到框柄上,需要移动环的次数为S (1,2,9)n n = .这样,将前1n -个环都上到框柄上时,需要移动1S n -次,反之将前2n -个环下到框柄下.移动次数和之前的情形一样为2S n -,此时只有第1n -个环单独在框柄上,可将第n 个环上到框柄上,移动一次,再将前2n -环上到框柄上,移动次数为2S n -,至此,前面n 个环都上到框柄上,总的移动次数为12212S S 1S S 2S 1n n n n n -----+++=++,按假设,它等于S n ,所以有12S S 2S 1n n n --=++,补充定义0S 0=显然1S 1=(1,2,9)n = 这就是九连环的基本方程.利用它可以计算出2S 2=,并递推地求出S n .直接求解可将两边都加上和减去1S 1n -+,得:211S S 12(S S 1)2n n n n n ---++=++=和12S -S 12S n n n ---=,求平均得: 12S S 2n n n --=+,递推下去,有 +1+2324S S 2S S 2i i i n n n ---=+++=+ ,累加得111S S (22)3i n i n ++=+-,其中i 与n 同奇偶性,并且1i =或2.为求S i 和+12i ,可设S cos i u v n π+=,则有121u v u v +=-⎧⎨+=⎩, 解方程组,得 2,3u v ==, 所以1S (3cos )2i n π=+设+12cos i p q n π⋅+=,则有4181p q p q +=-⎧⎨+=⎩,解方程组得12p =,3q =-.所以有+122(3cos )i n π=+带入解表达式+111S S (22)3i n n i +=+-,有111S (3cos )[22(3cos )]23n n n n ππ+=++-+,整理,得1111S 2cos 326n n n π+=⨯--,这即是九连环方程的解.如果令1S S H n n n -+=表示第n 个环单独在框柄上要移动环的次数,代人基本方程,消去S 有1H 2H 1n n -=+,这可以视为九连环第二方程,也就是我们前面所提及的汉诺塔方程(2)递推关系在几何上的应用例1 一个人从坐标原点0(0,0)A 出发,通过点(1,0),1(1,1)A 然后再以折线通过整数坐标的点11122223(1,1),(2,1),(2,1),(2,2),(2,2),(2,2),(2,3),(3,3)B C D A B C D A ------- 试求此人沿着折线到点(,)m n 时所走的路程(0)m n >>.解:用0a 表示这个人由原点0(0,0)A 走到1(1,1)A 的路程, k a 表示此人由点(,)k A k k 走到点1(1,1)k A k k +++的路程,则当2k ≥时,由1(1,1)k A k k ---走到(,)k A k k 时经过的路程是1111(1,1)(1,1)(1,1)(,1)(,).k k k k k A k k B k k C k k D k k A k k ------→-+-→-+-+→-+→所以,得11111111(22)(22)(21)(21)86k k k k k k k k ka A B B C C D D A k k k k k --------=+++=-+-+-+-=-.因为此公式当1k=时得02a =,故数列{}n a 的通项公式186k a k -=-(1,2,3,)k = .当此人从 0(0,0)A 到(,)m A m m 时,走的路程是10m kk a-=∑,即1011112P (86)86(1)86422m mmk k k k a k k mm m m m m --====-=-+=⋅-=-∑∑∑.由点(,)m n 到点(,)m A m n 的路程为()m n -,故此人由原点0(0,0)A 走到点(,)m n 的路程是2242()43.m m m n m m n ---=-+在求图形中的无限个图形的面积或无限条线段长的和时,首先要确定这些面积或线段长所组成的数列.为此,要求出第一个图形的面积或第一条线段的长度,以及前后两个图形面积或线段之间的递推关系,然后再用有关的公式求和.例2 如图所示,在直角ABC ∆中, ABC=90,A=.θ︒∠∠自B 点出发,作1BD AC ⊥于1D ,作12D D AB ⊥于2D ,作23D D AC ⊥于3D , 依此做下去,得到无穷数列11223CB,BD ,D D ,D D ,(1) 求证: 11223CB+BD +D D +D D +>AB+AC . (2) 求证: 2222211223CB +BD +D D +D D +=AC .(3) 为使11223ABD,AD D ,AD D ,∆∆∆ 的面积之和不大于ABC ∆的面积,求θ的取值范围.解 (1)由已知条件可得1212BD BC cos ,D D BD cos BC cos ,θθθ=⋅=⋅=⋅在n n+1n+2Rt D D D ∆中可知: n+1n+2n n+1D D =D D cos θ (n=1,2,3,) .由上式联立可知,数列11223CB,BD ,D D ,D D , 是首项为CB ,公比为cos θ的等比数列,又因而它又是无穷递缩等比数列,故11223CBCB,BD ,D D ,D D ,1-cos θ=,CB (1cos )CBAB+AC=CBctg +sin sin θθθθ+⋅=, 从而CB (1cos )CB sin (1sin )CB 1cos sin (1cos )sin θθθθθθθ+⋅--=⋅--θ是锐角,故上式的值为正值,因此11223CB+BD +D D +D D +>AB+AC(2) 显然,数列222211223CB ,BD ,D D ,D D 是首项为2CB ,公比为2cos θ的无穷递缩等比数列,因此,222222112232222CB CB CB +BD +D D +D D +==1cos sin CB ==AC sin θθθ-⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)1ABD 11112212311S =BD AD =BD (BD ctg )2211=BD ctg (BC cos )ctg 22BC cos ,2sin θθθθθθ∆⋅⋅⋅⋅=⋅= 又1ABD ∆∽12AD D ∆,于是1122ABD 2122AD D 1S D D ==cos S BD θ∆∆, ∴12ABD 2S(cos )ABD θ∆=∆.因为n n+1AD D ∆与n+1n+2AD D ∆相似,于是n+1n+2n n+12AD D 22n+1n+2n+1n+22AD D n n+1n n+1S D D D D ==()=cos S D D D D θ∆∆, ∴ n+1n+2n n+122AD D AD D S(cos )S θ∆∆=.由上式可知,数列11223ABD AD D AD D S ,S ,S ,∆∆∆ 是首项为23BC cos 2sin θθ,公比为2cos θ的无穷递缩等比数列,故1122323ABD AD D AD D 223232BC cos 2sin S +S +S 1-cos BC cos BC (ctg ),2sin 2θθθθθθ∆∆∆+=== 又2ABC 11S =AB BC=BC ctg 22θ∆⋅， 依题意令223BC BC (ctg )ctg 22θθ≤ ，得2tg 1θ≥. 于是在02πθ<<的条件下，得42ππθ≤<,因此，当42ππθ≤<时，11223ABD ,AD D ,AD D ,∆∆∆ 的面积之和不大于ABC ∆的面积．(3)递推关系在概率论中的应用随着科学技术的发展，递推关系在各个领域得到越来越多的应用，本文将介绍递推关系的一个简单的应用，即利用递推关系求概率问题.全概率公式是概率中一个最基本、最常用、最重要的公式.利用全概率公式列出递推关系，然后通过解递推关系求得概率，从而简化了应用全概率公式求解某些问题的复杂繁琐性.下面让我们看两个具体实例:例1 投掷硬币n 次，第一次出现正面的概率为c ，第二次后每次出现与前一次相同的表面的概率为p ，求第n 次出现正面的概率.解 设n A ={第n 次出现正面},则由全概率公式可得：111()()()()()n n n n nA A P A P A P P n P A n+++=+.(1)n n P p P p =+-即1(21)(1)n n P p P p +=-+- 由上述递推关系及初始条件1P c =当1p ≠时，有11[1(21)](21)2n n n p P c p ----=+-111(21)(21)22n n p c p ---=-+-111()(21)22n c p -=--+,当1p =时，有n P c ≡.例2 在每一次试验中，事件A 出现的概率p ，试问n 次独立试验中A 出现偶次的概率多少？ 解 设n P 表示n 次独立实验中A 出现偶次的概率,则根据题意可列出关系式1(12)n n P p p P -=+-,用迭代法将其展开可得21222323221211110(12)(12)(12),(12)(12)(12),(12)(12)(12),(12)(12)(12).n n n n n n n n n n p P p p p P p P p p p P p P p p p P p P p p p P ----------=-+--=-+--=-+--=-+-其中，01P =，且上述表示对原方程组进行递推连锁变换,同乘以12p -,然后将上述n 个方程两边相加，约去含1P 至1n P -的各项，则21(12)(12)(12)(12)[1(12)](12)21(12),2n nn nnn P p p p p p p p p p p p pp -=+-+-++-+---=+-+-=(4) 递推关系在物理学中的应用递推关系在工程技术领域的某些方面有重要应用.原因在于递推关系方程满足许多领域的方程形式，而解法又满足n 阶常系数方程的形式.所以物理领域中的问题只要条件满足递推关系方程，一般都可以方便解之.下面以二阶齐次递推关系方程为例，略述其在物理方面的一些应用.例 如图l 所示系统，点0P 保持对地面的恒定电位0V ，试求1231,,,n P P P P - 各点的电位.分析: 根据Kirchhoff 定律:流入电路中任何节点的电流之和等于流出该节点的电流之和.因此在一般点1x P +(图2),可得11x x x i i I ++=+,由VI R =,可得:11212x x x x x V V V V V r r r++++--=+, 整理得 21502x x x V V V ++-+= (1)式(1)在2,3,,(2)x n =- 时成立,就是说在点1P 与1n P -之外的所有点上成立,在点1P 与1n P -,式(1)化为相应条件21052V V V -+= (0V 为已知) (2)22502n n V V ---+=(0n V =) (3) 方程(1)满足递推关系2105()02x E E E V -+=的形式, 故可采用递推关系方程求解,式(1)特征方程为25102M M -+=解得 112M = , 22M = 其全解为 1()22x xx V A B =+将其带入式(2)和(3)得05(4)(2)422A AB B V -+++=, 12125(2)(2)0222n n n n A AB B -----+++=, 求方程得 202221n nA V =- , 02121n B V =--, 所以电压的通解 20221(2)221xx x nV V π=--. 可以验之,在0x =和x n =点均满足上式. (5)市场经济中的蛛网模型经济背景与问题：在自由竞争的市场经济中，商品的价格是由市场上该商品的供应量决定的，供应量越大，价格就越低。

基本玩法只有两个动作P和Q，而且在状态000000000和000000001只能进行一个动作P，其他状态可以进行两个动作P,Q。

打个比喻，就好像一个人沿着一条线走。

在线的始点，他只能前进一步。

在线的终点，他只能后退一步。

在线的中间，他可以向前一步或后退一步。

但在具体的一次行进中，为了由某一个位置到另外一个位置，他要么总是向前，要么总是向后，不可一会儿前进一会儿后退，因为那是走回头路，徒劳无益。

如果记录他的各步，要么是连续的前进前进再前进，没有后退；要么是连续的后退后退再后退，没有前进。

玩九连环当然也是这样，不过，动作P和Q，并不是简单的对应于前进和后退。

根据规则4，连续的动作PP，或者QQ，必然是原地不动。

所以，如果某个状态下，动作P是前进，那么接下来如果再做动作P就是后退，而动作Q才是前进；反之，如果动作Q是前进，那么接下来的动作中，再做动作Q就是后退而动作P才是前进。

记录玩九连环的各步，只能是P和Q相间出现，而不能连续出现P或者连续出现Q。

于是，同样是连续的前进前进再前进，没有后退；或者是连续的后退后退再后退，没有前进，但各个动作记录下来却是交错的序列：…PQPQP…。

可以用图来表示如下，并称之为“状态图”。

状态图是解决很多趣味数学问题的工具。

图中小圆圈表示九连环的状态，称为点，两个小圆圈间的线段表示动作，称为边。

下面不再区分九连环的状态和图中的点，也不区分九连环的动作和图中的边。

点就是状态，边就是动作。

两个点（小圆圈）间的边数（线段数）称为这两个点（即两个状态）间的距离。

这也确实就是数学中图论的讨论对象，关于图论的进一步请参看迷宫部分。

图7状态000000000和终点000000001都只连接1条边，相当于路线的端点，也就是玩九连环的过程的两个端点，为了方便讨论，我们规定始点是000000000，终点000000001，其他状态称作中间状态。

由于在状态000000000和000000001只能进行动作P，故不论从始点到终点，还是从终点到始点，这个动作序列总是由P开头也由P结束，即动作序列为PQPQPQ…PQPQP。

数列的应用——九连环一、教学背景1．教材分析数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型. 强调用函数的背景和研究方法来认识、研究数列. 等差数列和等比数列作为特殊数列，在现实生活中有着广泛应用，使学生经历从日常生活中的实际问题抽象出等差数列和等比数列模型的过程，探索并掌握其中的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛作用，并利用它们解决一些实际问题.2．学情分析学生的优点是数学基础较扎实、解题能力较强，不足是不会提问题，缺乏问题意识和创新意识，这需要在教学中不断引导和培养.从认知水平方面，学生已掌握等差数列和等比数列的变化规律，能运用等差数列、等比数列解决简单的数学问题和实际问题，但遇到综合情景时，如何用从数学角度进行分析，发现情景中的数学关系，能提问题并创造性解决问题，还需要有强烈的问题意识和建模能力.学生玩九连环游戏十天左右，基本掌握了解下和装上的技能，本节课利用九连环游戏情景，启发学生发现问题、提出问题，进行数学抽象，用数学方法解决问题，帮助学生积累数学活动经验，认识数学模型的作用，提升实践能力，特别是激发学生求知欲，引发学生主动研究问题，培养数学激情，增强创新意识.3．教学方法启发式、讨论式.二、教学目标1. 创设游戏情景，增强数学活动经验，经归纳抽象建立数列模型，解决相关问题；2. 培养学生问题意识，突出问题导向，提高问题解决能力，全面提升数学素养；3. 进一步培养学生自信乐观积极的品质、锲而不舍的钻研精神和严谨的科学态度.三、教学重点难点1. 教学重点：从数学视角发现九连环游戏蕴含的数学问题；2. 教学难点：（1）学生提出各种数学问题过于发散不易集中处理；（2）学生规则意识和创新意识的辩证发展.四、教学过程教学环节（一）：介绍连环引入新课九连环是一种古老的智力游戏，历史悠久，流传甚广. 据古代文献资料记载，早在战国时期就被发明，距今已有两千两百余年.九连环的主体是9个套在剑形环柄上的环，环柄两端分别叫做柄把和柄钗，环可以从柄钗一端套上环柄或取下，但不能从柄把一端套上、取下.每个环上都连着一个杆儿，并且左侧环的杆儿都穿过相邻右侧环，九根杆儿的另一端被底板连接在一起，从而使9个圆环形成叠错扣连的关系.九连环游戏有很多种玩法，常见的玩法是把环都解下或都装上，操作过程必须耐心、细致、且头脑清醒还要充满智慧..教学环节（二）：引导学生提出问题【设计意图】回顾九连环游戏过程，引导学生思考游戏关键及获取游戏技能的思维过程，积累数学活动经验，反思认识事物的方法，引导学生从数学视角发现问题、提出问题.教师设问1：总结九连环游戏的体验，你认为最关键的是什么？解答要点：（1）认识九连环：观察→结构→规律；主动→分析→实践→分析→实践；实践→归纳+验证+效率（2）心态平和、耐心细致、思路清晰、动作协调教师设问2：结合九连环游戏，你能从数学视角提出一些问题吗？预估问题1：九连环游戏规则都有哪些？解答要点：九个环“数字化”：把最靠近柄钗端的环叫1号环，依次2号环、3号环、4号环、5号环、6号环、7号环、8号环、9号环.（1）1号环在任何情况下，可上也可下；（2）只要1号环和2号环都在上或者都在下，2号环就可解下或装上；（3）九连环解下或装上是互逆的两个过程，其操作过程正好相反，步数相同.预估问题2：九连环游戏的关键是哪个环？解答要点：（1）应该是3号环，刚开始接触九连环游戏时，很难摸索出规律把3号环解下，一旦把3号环解下，那么4号环、5号环、…、9号环就可以同理解下；（2）3号环解下（或装上）只需2号环在上且1号环在下；同理4号环解下（或装上），只需要3号环在上且1、2号环在下；以此类推.预估问题3：九连环游戏至少需要多少步？或者n连环游戏至少需要多少步？解答要点：（1）先定义清楚怎样算“一步”. 主要问题是1、2号环可以同上或同下，如果从环的个数变化应该是两个，故计数“两步”，但如果从操作次数来说只操作了一次，故计数“一步”. 考虑到教学重点，还有时间问题，就统一用第一种方式；（2）这个问题也是九连环游戏爱好者共同关心的一个问题，值得研究.预估问题4：九连环游戏蕴含着什么数学关系？解答要点：（1）如果八连环会解，则九连环就能解，进而如果七连环会解，那么八连环也会解，以此类推，游戏就很简单了；（2）环环相连——数列“递推关系”，究竟是什么具体关系，值得研究.预估问题5：九连环在什么状态下至少需要的步数为最多？（“最费劲”状态？）解答要点：（1）先考虑“最轻松”状态，即1号环上，其它环都下，思路就能打开；（2）究竟是什么状态“最费劲”，值得研究.【说明】问题3和问题4其实是一个问题，在研究问题3的同时能感受到问题4的存在，如果问题4想得很清楚，则问题4也就变得简单. 因此可以重点研究问题3，顺便找一下问题3的答案. 问题5则根据学生现场反应情况确定本节课解决与否.教学环节（三）：建立模型解决问题【设计意图】根据现场情况，可以重点研究问题3. 如果时间允许，可以继续研究问题5，或者学生分组研究不同问题. 学生将游戏步数与环数n的关系抽象为数列的项与项数的关系，通过“n 连环”游戏活动，记录下“n 连环”游戏所需最少步数，并逐步概括其中蕴含的数列递归关系.学生分组实践，教师巡视，了解探究进展情况. 学生展示问题3的研究成果： 预估展示1：（1） 设：解下“n 连环”至少需n S 步，当“n-1连环”完成后接下来完成“n 连环”新加的步数为n a ；（2） 记录数据如下表格（学生只需统计到“五连环”就够）：（3） 通过演示，说明表格数字的含义（如4、5、10这三个数字所在的列）； （4） （追问）表格后面的空项，能否不操作游戏，就能填写完成？请说明理由. 预估展示2：（1） 设：解下“n 连环”至少需n S 步；（2） 建立递归模型：A. 初始状态为（当n ≥3时）：B. 先解下前n-2个环需2n S -步，然后把n 号环解下需1步，再把前n-2个环装上需2n S -步，最后还需要把前n-1个环解下需1n S -步即可，所以有2121nn n S S S --=++；C. 由121,2S S ==，2121(3)n nn S S S n --=++≥可得到下表格.预估展示3：（1） 设：解下“n-1连环”至少需1n S -步，当“n-1连环”完成后接下来完成“n连环”新加的步数为n a ； （2） 建立递归模型：A. 初始状态为（当n ≥3时）：B. 由九连环游戏规则可知，解与装步数相同，故与下面状态同步数；C. 要装上n 号环，先解下前n-2个环要2n S -步，再上第n 个环要1步，再装上前n-2个环要2n S -步，所以221n n a S -=+；D. 由于11221,1,2a S a S ====，所以可得到下表格.学生展示问题5的研究成果： 预估展示1：奇号环在上，偶号环在下；分析：这个是错误的判断，可以只分析到5号、3号、1号在上而4号、2号在下的状态，与5号在上4号、3号、2号、1号都在下作比较即可.预估展示2：（1）9号环在上，其它环在下；（2）理由简述：为把9号环解下，需要8号环在上，但在初始状态中，8号环在下，所以先要把它装上；为了装8号环，需要7号环在上，但在初始状态中，7号环也在下，所以又先把它装上，…，如此类推，为了把n号环解下，先要把n-1号到1号都装上，恢复到正常九连环初始状态：（3）“最费劲”状态步数为170+341=511（启发思考结果为29-1有何隐情？）五、教学小结1.数列递归是九连环设计的数学原理，数列是重要的数学模型；2.要有问题意识，会提问题比能解决问题更重要;3.提个问题，你想知道九连环游戏模型都有哪些实际应用吗？六、布置作业1. 研究问题：由本节递归关系求通项公式，并探究通项公式和递归关系的优劣；2. 继续研究课上没有来得及解决的某问题.。

从九连环想出新数列
我玩这个的时候，我试着改装过。

传统的九连环就是图上的这个样子，每一个环都套着前面的一根杆子，而我改装成每一个环都套着前面的两根杆子，其解下来的方法与传统的方法相似。

下面就几种装法求解的步数而做出的几个数列：
一、传统的装法：如果要解下n环，那就要先解下前面的n-2个环，放下第一个环，再把前面的n-2个环挂上去，这是就变成了n-1个环在上面了，要解下这n-1环才能
所以有这样的递推关系式：
a n=a n−1+2a n−2+1
而我们知道：a1=1，a2=2
二、改装成环里面套两根杆子：如果要解下n环，那就要先解下前面的n-3个环，放下第一个环，再把前面的n-3个环挂上去，这是就变成了n-1个环在上面了，要解下这n-1环才能所以有这样的递推关系式：
a n=a n−1+2a n−3+1
而我们知道：a1=1，a2=2，a3=3
三、改装成环里面套三根杆子：如果要解下n环，那就要先解下前面的n-4个环，放下第一个环，再把前面的n-4个环挂上去，这是就变成了n-1个环在上面了，要解下这n-1环才能所以有这样的递推关系式：
a n=a n−1+2a n−4+1
而我们知道：a1=1，a2=2，a3=3，a4=4
四、改装成环里面套k根杆子：如果要解下n环，那就要先解下前面的n-k-1个环，放下第一个环，再把前面的n-k-1个环挂上去，这是就变成了n-1个环在上面了，要解下这n-1环才能
所以有这样的递推关系式：
a n=a n−1+2a n−k−1+1
而我们知道：a1=1，a2=2，a3=3，…，a k=k
于是便生成了一系列的数列。

九连环递归公式范文九连环是一种传统的玩具，由9个圆环连接而成。

它的起源可以追溯到中国古代，被广泛运用于教育、娱乐和思维训练中。

九连环的难度很高，因为解开它需要迅速记忆和掌握特定的操作步骤。

本文将探讨九连环的递归公式及其应用。

递归是一种数学和计算机科学中常用的方法。

在数学中，递归通常是指一种将问题分解成更小的子问题，并通过这些子问题的解得到原始问题的解的技巧。

在计算机科学中，递归是一种方法，通过调用自身来解决问题。

九连环可以被看作是一个有限状态自动机，其中每个状态表示九连环不同的排列方式。

九连环的初始状态是所有圆环都连接在一起，称为初始状态。

通过特定的操作步骤，可以将九连环的状态从初始状态转变为目标状态，其中每个圆环都单独分离开。

九连环的递归公式可以被表示为：```解(N)=解(N-1)+2^（N-1）```其中，解(N)表示将N个圆环从初始状态变为目标状态所需的最少步骤数。

解(N-1)表示将N-1个圆环从初始状态变为目标状态所需的最少步骤数，而2^（N-1）表示将第N个圆环从初始状态变为目标状态所需的步骤数。

通过递归调用解(N-1)，可以计算解(N)。

值得注意的是，九连环的递归公式基于九连环的特性和规则。

具体来说，九连环的规则是：1.每次只能移动一个圆环。

2.只有两个相邻的圆环之间可以进行移动。

3.每个圆环在移动时只能放在其他圆环上。

根据这些规则和递归公式，我们可以计算任意数量圆环的九连环所需的最少步骤。

1.判断给定的九连环状态是否可解。

根据递归公式，如果给定的九连环状态可以通过一系列移动达到目标状态，则可解。

2.计算给定九连环状态到目标状态的最短路径。

通过递归公式，可以计算九连环每个圆环的最终位置，从而得到九连环的最短路径。

3.寻找九连环状态变化的规律。

通过递归公式，可以找到九连环各个圆环位置之间的规律，从而提高解决九连环问题的效率。

总结起来，九连环递归公式是解决九连环问题的重要工具。

通过递归公式，我们可以计算九连环的最少步骤，判断九连环的可解性，求解最短路径以及寻找九连环状态变化的规律。

九连环递归公式九连环是一种古老而有趣的智力玩具，它由九个环组成，每个环都穿在另一个环上。

解开九连环是一个很有挑战性的任务，但有一个简单而精确的递归公式可以帮助我们解决这个难题。

递归是一种数学和计算机科学中常用的概念，它指的是通过将一个问题分解为更小的子问题来解决整个问题的方法。

九连环的递归公式就是基于这个思想而产生的。

我们需要定义九连环的初始状态和目标状态。

初始状态是九个环都穿在一起形成一个环链，而目标状态是将九个环全部解开，形成一个线性链。

接下来，我们可以将九连环的解题过程分为三个步骤：拆分、变换和合并。

在拆分阶段，我们需要将九连环分为两个子问题。

这可以通过选择任意一个环作为拆分点来实现。

假设我们选择第三个环作为拆分点，那么九连环就被分为了两个子问题：前三个环和后六个环。

在变换阶段，我们需要对每个子问题进行变换。

这可以通过旋转环的顺序来实现。

假设我们将前三个环的顺序从1-2-3变为3-1-2，将后六个环的顺序从4-5-6-7-8-9变为9-4-5-6-7-8。

在合并阶段，我们需要将两个子问题合并为一个问题。

这可以通过将前三个环的最后一个环和后六个环的第一个环相连来实现。

这样，我们就得到了一个新的九连环问题，它的规模比原来的问题要小。

通过不断重复这个拆分、变换和合并的过程，我们最终可以将九连环问题逐步缩小，直到达到目标状态。

这个递归的过程可以用一个简单的公式来描述：f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中n表示九连环的环数。

这个公式的意义是，解决一个n环的九连环问题，可以通过先解决一个n-1环的问题，再解决一个n-2环的问题，然后将它们组合起来。

九连环递归公式的应用不仅限于解决九连环问题，它还可以用于解决其他类似的问题。

通过将问题分解为更小的子问题，我们可以更容易地理解和解决复杂的难题。

九连环递归公式是一种简单而精确的方法，用于解决九连环等复杂问题。

通过拆分、变换和合并的过程，我们可以逐步缩小问题的规模，最终达到目标状态。