2 博雅拔尖班四升五第二讲答案

温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

关闭Word文档返回原板块。

课时提升作业二基本不等式一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2016·泰安高二检测)若关于x的方程9x+(4+a)·3x+4=0有解,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,-8]∪【解析】选D.由方程9x+(4+a)·3x+4=0有解,即a+4=-≤-4,所以a≤-8.2.下列不等式的证明过程正确的是( )A.若a,b∈R,则+≥2=2B.若x>0,则cosx+≥2=2C.若x<0,则x+≤2=4D.若a,b∈R,且ab<0,则+=-[+]≤-2=-2【解析】选D.A,B,C中在应用基本不等式时忽视了前提“正数”,故均错误.3.(2015·福建高考)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5【解题指南】利用基本不等式及“1”的代换求解.【解析】选C.因为直线过点(1,1),所以+=1,所以a+b=(a+b)=1+1++=2++,因为a>0,b>0,所以2++≥2+2=4,当且仅当“a=b=2”时等号成立.二、填空题(每小题6分,共12分)4.(2016·佛山高二检测)已知x+3y-2=0,则3x+27y+1的最小值是__________.【解析】3x+27y+1=3x+33y+1≥2+1=7.答案:75.若正数a,b满足ab=a+b+3,则ab的取值范围是____________.【解析】令=t(t>0),由ab=a+b+3≥2+3,则t2≥2t+3,所以t≥3或t≤-1(舍去),所以≥3,ab ≥9,当a=b=3时取等号.答案:∪B.(-9,9]C.(-∞,9]D.[9,+∞)【解题指南】可令t=sin2x,将原不等式转化为关于t的不等式恒成立问题求解.【解析】选D.令t=sin2x,则cos2x=1-t.又x∈,所以t∈(0,1).不等式+≥16可化为p≥(1-t),令y=(1-t)=17-≤17-2=9,当且仅当=16t,即t=时取等号,因此原不等式恒成立,只需p≥9.二、填空题(每小题5分,共10分)3.若a>0,b>0,a+b=1,则的最小值是__________.【解析】因为=·=·===1+.由a>0,b>0,a+b=1得ab≤=.所以≥4,所以≥9.答案:94.已知x>0,y>0且满足x+y=6,则使不等式+≥m恒成立的实数m的取值范围为____________. 【解题指南】由已知条件先求得+的最小值,只要m小于等于其最小值即可.【解析】因为x>0,y>0,+==≥(10+6)=,当且仅当=,又x+y=6,得x=,y=时取等号.所以m的取值范围是.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:++≥1.【证明】因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++a+b+c≥2(a+b+c),所以++≥a+b+c=1.当且仅当a=b=c=时取等号.6.已知a,b,x,y∈R+,x,y为变量,a,b为常数,且a+b=10,+=1,x+y的最小值为18,求a,b. 【解析】因为x+y=(x+y)=a+b++≥a+b+2=(+)2,当且仅当=时取等号.又(x+y)min=(+)2=18,即a+b+2=18, ①又a+b=10, ②由①②可得或【拓展延伸】基本不等式的应用技巧判断定值条件是应用基本不等式的难点和易忽略点,常见的方法有:(1)拆项、添项、配凑此法常用在求分式型函数的最值中,如函数f(x)==,可按由高次项向低次项的顺序逐步配凑.(2)常值代换这种方法常用于“已知ax+by=m(a,b,x,y均为正数),求+的最小值”和“已知+=1(a,b,x,y均为正数),求x+y的最小值”两类题型.(3)构造不等式当和与积同时出现在同一个不等式中时,可利用基本不等式构造一个不等式,从而求出和或积的取值范围,如已知a+b=ab-3,求ab的取值范围,可构造出不等式2≤a+b=ab-3,即()2-2-3≥0.关闭Word文档返回原板块。

【小升初】2023-2024学年人教版数学升学分班考真题模拟测试题一．计算题（共3小题）1．（2022•周至县）直接写出得数。

12＝0.6×1.5＝＝12.5%﹣＝＝5×3÷3×5＝2．（2022•舞阳县）计算下面各题，怎样简便就怎样算。

4.7×101﹣4.736×（+）54×60%+45×+0.6（+﹣）×48 3．（2022•怀远县）解方程或比例。

x+＝ 2.75x﹣25%x＝1.5x：18＝：10二．选择题（共10小题）4．（2022•讷河市）下面不具有相反意义的量是（）A．前进5m和后退5mB．节约3吨水和浪费2吨水C．存入800元和支出500元D．身高增加3cm和体重减少3千克5．（2021秋•白云区期末）六（1）班有学生44人，男生与女生人数的比可能是（）A．2：3B．3：4C．4：5D．5：6 6．（2022春•临泉县期中）下面四个圆柱中，表面积最小的是（）A．底面半径2厘米，高3厘米B．底面直径4厘米，高1厘C．底面半径3厘米，高2厘米D．底面直径1厘米，高4厘米7．两根同样长的绳子，第一根截去全长的，再截去米；第二根先截去米，再去余下的20%，两根剩下的部分相比（）A．第一根长B．第二根长C．一样长D．无法比较8．（2022•龙华区）下面各选项中的两个量，成正比例的是（）A．同一时间、同一地点，不同高度竹竿的高和竿影的长B．一个人的体重和年龄C．圆的面积与半径D．路程一定，行驶的速度与时间9．（2022春•兴化市月考）景华小学对五年级学生进行了英语测试，测试结果统计如图，已知及格人数为30人，则优秀的人数为（）人。

A．200B．100C．58D．12 10．（2022春•阳原县期中）把4×5＝2×10改写成比例可能是（）A．4：5＝2：10B．4：2＝10：5C．5：4＝10 11．（2022•东莞市）在地图上，北京在上海的北偏西30°方向上，那么上海在北京的（）方向上。

第2讲 选修4－5 不等式选讲含绝对值不等式的解法(5年7考)(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围． [解](1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于 x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0.①当x <－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解； 当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x >1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1＜x ≤－1＋172. 所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172. (2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2，所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[－1,1]．2．(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＜0的解集； (2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )＜0，求a 的取值范围． [解](1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)．当x ＜1时，f (x )＝－2(x －1)2＜0；当x ≥1时，f (x )≥0.所以，不等式f (x )＜0的解集为(－∞，1)．(2)因为f (a )＝0，所以a ≥1.当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)＜0. 所以，a 的取值范围是[1，＋∞)． [教师备选题](2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围．[解](1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎨⎧－2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1.故不等式f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＞12.(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时，|ax －1|＜1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时|ax －1|≥1；若a ＞0，|ax －1|＜1的解集为00＜x ＜2a ，所以2a ≥1，故0＜a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．1．用零点分段法解绝对值不等式的步骤1．(有解问题)已知f (x )＝|x |＋2|x －1|. (1)解不等式f (x )≥4；(2)若不等式f (x )≤|2a ＋1|有解，求实数a 的取值范围．[解](1)不等式f (x )≥4，即|x |＋2|x －1|≥4，等价于⎩⎨⎧ x ＜02－3x ≥4或⎩⎨⎧ 0≤x ≤12－x ≥4或⎩⎨⎧x ＞13x －2≥4⇒x ≤－23或无解或x ≥2.故不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－23∪[2，＋∞)．(2)f (x )≤|2a ＋1|有解等价于f (x )min ≤|2a ＋1|.f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎨⎧2－3xx ＜0，2－x0≤x ≤1，3x －2x ＞1，故f (x )的最小值为1，所以1≤|2a ＋1|，得2a ＋1≤－1或2a ＋1≥1，解得a ≤－1或a ≥0， 故实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[0，＋∞)． 2．(恒成立问题)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )＞2；(2)若g (x )＝f (x )＋f (－x )，且对任意x ∈R ，都有|k －1|＜g (x )，求实数k 的取值范围．[解](1)依题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－12，x ＋2，－12＜x ＜1，3x ，x ≥1.于是得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12－3x ＞2或⎩⎪⎨⎪⎧－12＜x ＜1x ＋2＞2或⎩⎨⎧x ≥1，3x ＞2，解得x ＜－23或0＜x ＜1或x ≥1.故不等式f (x )＞2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜－23或x ＞0.(2)g (x )＝f (x )＋f (－x )＝|x －1|＋|x ＋1|＋(|2x ＋1|＋|2x －1|)≥|(x －1)－(x ＋1)|＋|(2x ＋1)－(2x －1)|＝4，当且仅当⎩⎨⎧x －1x ＋1≤0，2x －12x ＋1≤0，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12时取等号，若对任意的x∈R，不等式|k－1|＜g(x)恒成立，则|k－1|＜g(x)min＝4，所以－4＜k－1＜4，解得－3＜k＜5，即实数k的取值范围为(－3,5).不等式的证明(5年3考)(1)1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.[证明](1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝ab＋bc＋caabc＝1a＋1b＋1c.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥33a＋b3b＋c3a＋c3＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)＝24.当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立．所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.[教师备选题]1．(2015·全国卷Ⅱ)设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab>cd，则a＋b>c＋d；(2)a＋b>c＋d是|a－b|<|c－d|的充要条件．[证明](1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ， 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2， 即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由(1)得a ＋b >c ＋d .②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2， 因此|a －b |<|c －d |.综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 2．(2017·全国卷Ⅱ)已知a >0，b >0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.[证明](1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4)＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4. (2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3＝2＋3ab (a ＋b ) ≤2＋3a ＋b 24(a ＋b )＝2＋3a ＋b34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.不等式证明的常用方法是：比较法、综合法与分析法．其中运用综合法证明1．(用基本不等式证明不等式)已知函数f (x )＝|x －2|. (1)求不等式f (x )＞4－|x ＋1|的解集；(2)设a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2b ＝10，求证：a ＋b 2≥27.[解](1)f (x )＞4－|x ＋1|可化为|x －2|＞4－|x ＋1|， 等价于⎩⎨⎧x ≤－1，－x －2＞4＋x ＋1或⎩⎨⎧－1＜x ＜2，－x －2＞4－x ＋1或⎩⎨⎧x ≥2，x －2＞4－x ＋1.解得x ＜－32或x∈或x ＞52.所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞.(2)因为a ，b ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以1a ＞2，2b ＞4.则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2b ＝1a －2＋2b －2＝10，即1a ＋2b ＝14.由基本不等式得，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝2＋b 2a ＋2a b ≥2＋2b 2a ·2ab ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ b 2a ＝2ab ，1a ＋2b ＝14，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝17，b ＝27时取等号．所以14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≥4，即a ＋b 2≥27.2．(用绝对值不等式的性质证明不等式)已知函数f (x )＝|x ＋1|. (1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b )． [解](1)由题意，|x ＋1|＜|2x ＋1|－1， ①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2， 解得x ＜－1；②当－1＜x＜－12时，不等式可化为x＋1＜－2x－2，此时不等式无解；③当x≥－12时，不等式可化为x＋1＜2x，解得x＞1.综上，M＝{x|x＜－1或x＞1}．(2)证明：因为f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，所以要证f(ab)＞f(a)－f(－b)，只需证|ab＋1|＞|a＋b|，即证|ab＋1|2＞|a＋b|2，即证a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2，即证a2b2－a2－b2＋1＞0，即证(a2－1)(b2－1)＞0.因为a，b∈M，所以a2＞1，b2＞1，所以(a2－1)(b2－1)＞0成立，所以原不等式成立.与代数式有关的最值问题(5年3考)含绝对值不等式的最值求法，查学生应用均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式的几何意义等工具分析问题和解决问题的能力，考查逻辑推理的数学素养.＋y＋(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥13成立，证明：a≤－3或a≥－1.[解](1)因为[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)·(z＋1)＋(z＋1)(x－1)] ≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，所以由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥4 3，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立． 所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43. (2)证明：因为[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)·(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]， 所以由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥2＋a23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立． 所以(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为2＋a23.由题设知2＋a 23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.2．(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．[解](1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－12，x ＋2，－12≤x ＜1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b 的最小值为5.[教师备选题]若a＞0，b＞0，且1a＋1b＝ab.(1)求a3＋b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．[解](1)由ab＝1a＋1b≥2ab，得ab≥2，当且仅当a＝b＝2时等号成立．故a3＋b3≥2a3b3≥42，且当a＝b＝2时等号成立．所以a3＋b3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a＋3b≥26ab≥4 3.由于43＞6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6. 1．形如f(x1．(求最值问题)设函数f (x )＝|x ＋1|－|x |的最大值为m . (1)求m 的值；(2)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值．[解](1)|x ＋1|－|x |≤|x ＋1－x |＝1， f (x )的最大值为1，∴m ＝1. (2)由(1)可知，a ＋b ＝1，∴a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝13⎝⎛⎭⎪⎫a 2b ＋1＋b 2a ＋1[(a ＋1)＋(b ＋1)] ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 2a ＋1b ＋1＋b 2b ＋1a ＋1＋a 2＋b 2 ≥13(2ab ＋a 2＋b 2)＝13(a ＋b )2＝13， 当且仅当a ＝b ＝12时取等号， ∴a 2b ＋1＋b 2a ＋1的最小值为13. 2．(求参数问题)设函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋a |.(1)当a ＝1时，求f (x )的图象与直线y ＝3围成区域的面积； (2)若f (x )的最小值为1，求a 的值． [解](1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－1，－x ＋2，－1≤x ＜12，3x ，x ≥12，如图，作出函数f (x )的图象与直线y ＝3，结合图象可知所求面积为12×[1－(－1)]×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32＝32. (2)法一：(借助分段函数的性质) 当－a ＞12，即a ＜－12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －a ＋1，x ＜12，x －a －1，12≤x ＜－a ，3x ＋a －1，x ≥－a ，则f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－a －1＝1，所以a ＝－32. 当－a ≤12，即a ≥－12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －a ＋1，x ＜－a ，－x ＋a ＋1，－a ≤x ＜12，3x ＋a －1，x ≥12，则f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3×12＋a －1＝1，所以a ＝12. 综上，a ＝－32或a ＝12. 法二：(解恒成立问题)∵f (x )＝|2x －1|＋|x ＋a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋|x ＋a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12， 当且仅当x ＝12时取等号．令⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝1，得a ＝12或a ＝－32. 3．(与恒成立交汇)已知函数f (x )＝x |x －a |，a ∈R .(1)当f (1)＋f (－1)＞1时，求a 的取值范围；(2)若a ＞0，x ，y ∈(－∞，a ]，不等式f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋54＋|y －a |恒成立，求a 的取值范围．[解](1)f (1)＋f (－1)＝|1－a |－|1＋a |＞1，若a ≤－1，则1－a ＋1＋a ＞1，得2＞1，即a ≤－1；若－1＜a ＜1，则1－a －(1＋a )＞1，得a ＜－12，即－1＜a ＜－12；若a ≥1，则－(1－a )－(1＋a )＞1，得－2＞1，此时不等式无解．综上所述，a的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12.(2)由题意知， 要使不等式恒成立，只需f (x )max ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋54＋|y －a |min . 当x ∈(－∞，a ]时，f (x )＝－x 2＋ax ，f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24. 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋54＋|y －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋54，当且仅当⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋54(y －a )≤0，即－54≤y ≤a 时等号成立，所以当y ∈(－∞，a ]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋54＋|y －a |min ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋54＝a ＋54. 于是a 24≤a ＋54，解得－1≤a ≤5.又a ＞0，所以a 的取值范围是(0,5]．。

2015年四川省绵阳市博雅学校小升初数学模拟试卷一、填空题（20&#215;2分=40分）1．（2分）1=．2．（2分）1﹣100这100个数中能被7整除的数有个．3．（2分）1.75中含有个．4．（2分）甲数是乙数的，则甲数与乙数的比．5．（2分）20克糖完全溶解在80克水中，则该糖水的含糖率为%．6．（2分）在、67%、0.667，0.66这四个数中，最大的数是．7．（2分）4吨=千克．8．（2分）42和70的最大公约数为．9．（2分）一个多位数读作：三百零七万零五百二十，那么这个数写作．10．（2分）在一幅地图上用15厘米表示实际距离900千米，这幅地图的比例尺是．11．（2分）等底等高的圆柱和圆锥的体积的和是64cm3，则圆柱的体积是cm3．12．（2分）把一个边长为一个6cm的正方形剪成一个最大的圆，则圆的周长为cm（π取3.14）13．（2分）一个两位小数保留一位小数后，得到的数是7.4则这个两位小数最小为．14．（2分）小明以7折优惠买了一个书包，节省了21元，他买这个书包实际付了元．15．（2分）如图所示：直角三角形的三边长分别为6cm、8cm、10cm，则边长为10cm的边上的高为cm．16．（2分）小明有4.2元钱，给小虎0.5元后，还比小虎多3元，则小虎原有元．17．（2分）某同学在三次考试中的得分的平均值为93分，其中一次得满分100分，另两次的分差为5分，则该同学的三次成绩中最低的是分．18．（2分）一个分数的分母和分子的和是171，约分后得，原来这个分数是．19．（2分）某校六年级女生人数占总人数的，后来又转进15名女生，这时女生人数占总人数的，则某校六年级女生人数原有人．20．（2分）如图，三角形ABC中，EF平行于BC，AB=4AE，三角形甲、乙、丙的面积之比是．二、选择题（8&#215;3分=24分）（将你认为正确的答案的代号填入表中）21．（3分）把一根5米长的铁丝平均剪成4段，每段是这根铁丝的（）A．B．米 C．米 D．22．（3分）一个正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（）倍．A．3 B．9 C．2723．（3分）已知mn=c，=a，（a，b，c，d，m，n都是自然数），那么下面的比例式中正确的是（）A．=B．=C．=D．=24．（3分）如图，A、B、C、D、E在同一条线上，则图中的不同的线段共有（）条．A．4 B．10 C．8 D．2025．（3分）设正整数中最小的为a，最小的奇数为b，最小的正偶数为c，最小的质数是d，最小的合数是e，则它们的大小顺序是（）A．a＜b＜c＜d＜e B．a=b＜c＜d＜e C．a=b＜c=d＜e D．a=b=e＜c=d26．（3分）在1810、2385、7230三个数中，能同时被2，3，5整除的数是（）A．1810 B．2385 C．723027．（3分）如图，梯形中有甲、乙两个三角形，它们的面积关系是（）A．甲比乙大B．乙比甲大C．二者相等D．不能确定28．（3分）一项工作，原计划8天完成任务，由于改进操作技术，结果提前3天完成任务，工作效率提高了（）%A．60 B．62.5 C．87.5 D．160三、解答题（共1小题，满分6分）29．（6分）如图，已知平行四边形的底边是30厘米，高是20厘米，求出阴影部分的面积．（π取3.14）四、解答题（共1小题，满分20分）30．（20分）计算题27.055﹣1.02﹣8.98÷（﹣）0.38×8.17+3.8×0.383﹣0.76[10﹣（2×+2×）]÷7+[2÷（3.4﹣）×]．五、解答题（共1小题，满分6分）31．（6分）（1）上半年平均每月产量是多少吨？（2）第二季度比第一季度增产百分之几？（精确到0.01%）六、应用题（4&#215;6分=24分）32．（6分）工人王师傅加工一批零件，原计划每天加工360个，15天完成，实际完成加工任务的天数是原计划的，实际每天加工零件多少个？33．（6分）六年级三个班参加植树劳动．六一班占总人数的，如果从六二班调7人到六一班，则三个班人数相等．六年级参加植树劳动的共有多少人？34．（6分）该试题已被管理员删除35．（6分）有含盐20%的盐水100克，要配成含盐12.5%的盐水320克，需要含盐10%的盐水多少克？2015年四川省绵阳市博雅学校小升初数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（20&#215;2分=40分）1．（2分）1=．【解答】解：1==，故答案为：28．2．（2分）1﹣100这100个数中能被7整除的数有14个．【解答】解：因为1×7=7，2×7=14，3×7=21，…，13×7=91，14×7=98，所以能被7整除的数有14个．故答案为：14．3．（2分）1.75中含有14个．【解答】解：1.75===，中含有14个，所以1.75中含有14个；故答案为：14．4．（2分）甲数是乙数的，则甲数与乙数的比3：4．【解答】解：甲数：乙数==3：4，答：甲数与乙数的比是3：4；故答案为：3：4．5．（2分）20克糖完全溶解在80克水中，则该糖水的含糖率为20%．【解答】解：×100%=20%；答：含糖率是20%；故答案为：20．6．（2分）在、67%、0.667，0.66这四个数中，最大的数是67%．【解答】解：=0.，67%=0.67，因为0.67＞0.667＞0.＞0.66，即67%＞0.667＞＞0.66，所以在、67%、0.667，0.66这四个数中，最大的数是67%，故答案为：67%．7．（2分）4吨=4600千克．【解答】解：4吨=4600千克；故答案为：46008．（2分）42和70的最大公约数为14．【解答】解：42=2×3×7，70=2×5×7，所以42和70的最大公约数是：2×7=14；故答案为：14．9．（2分）一个多位数读作：三百零七万零五百二十，那么这个数写作3070520．【解答】解：三百零七万零五百二十写作：3070520；故答案为：307052010．（2分）在一幅地图上用15厘米表示实际距离900千米，这幅地图的比例尺是1：6000000．【解答】解：15厘米：900千米，=15厘米：90000000厘米，=15：90000000，=1：6000000；答：这幅地图的比例尺为1：6000000．故答案为：1：6000000．11．（2分）等底等高的圆柱和圆锥的体积的和是64cm3，则圆柱的体积是48 cm3．【解答】解：64÷（3+1）×3，=16×3，=48（立方厘米）；答：圆柱的体积是48立方厘米．故答案为：48．12．（2分）把一个边长为一个6cm的正方形剪成一个最大的圆，则圆的周长为18.84cm（π取3.14）【解答】解：3.14×6=18.84（厘米）；答：最大圆的周长是18.84厘米．故答案为：18.84．13．（2分）一个两位小数保留一位小数后，得到的数是7.4则这个两位小数最小为7.35．【解答】解：“四舍”得到的7.4最大是7.44，“五入”得到的7.4最小是7.35，所以这个两位小数最小为7.35；故答案为：7.35．14．（2分）小明以7折优惠买了一个书包，节省了21元，他买这个书包实际付了49元．【解答】解：21÷（1﹣70%）﹣21=21÷0.3﹣21=70﹣21=49（元）答：他买这个书包实际付了49元．故答案为：49．15．（2分）如图所示：直角三角形的三边长分别为6cm、8cm、10cm，则边长为10cm的边上的高为 4.8cm．【解答】解：（6×8÷2）×2÷10，=48÷2×2÷10，=4.8（厘米），答：边长为10厘米的边上的高是4.8厘米，故答案为：4.8．16．（2分）小明有4.2元钱，给小虎0.5元后，还比小虎多3元，则小虎原有0.2元．【解答】解：4.2﹣0.5﹣3﹣0.5，=3.7﹣3﹣0.5，=0.7﹣0.5=0.2（元）；答：小虎原有0.2元钱．故答案为：0.2．17．（2分）某同学在三次考试中的得分的平均值为93分，其中一次得满分100分，另两次的分差为5分，则该同学的三次成绩中最低的是87分．【解答】解：三次考试的总分：93×3=279（分），另两次的总分：279﹣100=179（分），最低的分数：（179﹣5）÷2=174÷2=87（分）；答：该同学的三次成绩中最低的是87分．故答案为：87．18．（2分）一个分数的分母和分子的和是171，约分后得，原来这个分数是．【解答】解：7+12=19，分子：171×=63，分母：171×=108，原来这个分数为：；故答案为：．19．（2分）某校六年级女生人数占总人数的，后来又转进15名女生，这时女生人数占总人数的，则某校六年级女生人数原有210人．【解答】解：15÷[÷（1﹣）﹣÷（1﹣）]=15÷[﹣]，=15÷[﹣]，=15÷，=150（人）．150×[÷（1﹣）]=150×，=210（人）．答：女生人数原有210人．故答案为：210．20．（2分）如图，三角形ABC中，EF平行于BC，AB=4AE，三角形甲、乙、丙的面积之比是1：3：12．【解答】解：因为AE：AB=1：4，AF：AC=1：4，所以甲=S△AEC ，乙=S△AEC，丙=S△ABC，又因S△AEC=S△ABC，则甲=S△AEC，=×S△ABC，=S △ABC，乙=S△AEC，=×S△ABC，=S△ABC，所以S甲：S乙：S丙=：：=1：3：12；故答案为：1：3：12．二、选择题（8&#215;3分=24分）（将你认为正确的答案的代号填入表中）21．（3分）把一根5米长的铁丝平均剪成4段，每段是这根铁丝的（）A．B．米 C．米 D．【解答】解：每份是全长的：1÷4=．故选：A．22．（3分）一个正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（）倍．A．3 B．9 C．27【解答】解：正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大33=27倍．故选：C．23．（3分）已知mn=c，=a，（a，b，c，d，m，n都是自然数），那么下面的比例式中正确的是（）A．=B．=C．=D．=【解答】解：因为=a，所以c=ab，因为c=ab，mn=c，所以mn=ab，所以；故选：D．24．（3分）如图，A、B、C、D、E在同一条线上，则图中的不同的线段共有（）条．A．4 B．10 C．8 D．20【解答】解：由分析可得，不同的线段有：4+3+2+1=10．故选B．25．（3分）设正整数中最小的为a，最小的奇数为b，最小的正偶数为c，最小的质数是d，最小的合数是e，则它们的大小顺序是（）A．a＜b＜c＜d＜e B．a=b＜c＜d＜e C．a=b＜c=d＜e D．a=b=e＜c=d【解答】解：据以上分析知：a=1，b=1，c=2，d=2，e=4，所以a=b＜c=d＜e．故选：C．26．（3分）在1810、2385、7230三个数中，能同时被2，3，5整除的数是（）A．1810 B．2385 C．7230【解答】解：A、1810，各个数位之和为：1+8+1+0=10，10不是3的倍数，故排除；B、2385，不符合条件，故排除；C、7230，各个数位之和为：7+2+3+0=12，12是3的倍数，个位数字是0，符合条件．答：在1810、2385、7230三个数中，能同时被2，3，5整除的数是7230．故选：C．27．（3分）如图，梯形中有甲、乙两个三角形，它们的面积关系是（）A．甲比乙大B．乙比甲大C．二者相等D．不能确定【解答】解：把各顶点加上字母如下图：由于△ABD和△ADC是等底等高的，所以S=S△ADC，△ABD=S△ABO+S△AOD，S△ADC=S△DCO+S△AOD，又由于S△ABD所以S=S△DCO．，即甲、乙两个三角形，它们的面积相等．△ABO故选：C．28．（3分）一项工作，原计划8天完成任务，由于改进操作技术，结果提前3天完成任务，工作效率提高了（）%A．60 B．62.5 C．87.5 D．160【解答】解：（）÷，=（）×8，=，=60%；故答案为：A．三、解答题（共1小题，满分6分）29．（6分）如图，已知平行四边形的底边是30厘米，高是20厘米，求出阴影部分的面积．（π取3.14）【解答】解：30×20﹣3.14×（20÷2）2 =600﹣314=286（平方厘米）答：阴影部分的面积是286平方厘米．四、解答题（共1小题，满分20分）30．（20分）计算题27.055﹣1.02﹣8.98÷（﹣）0.38×8.17+3.8×0.383﹣0.76[10﹣（2×+2×）]÷7+[2÷（3.4﹣）×]．【解答】解：①27.055﹣1.02﹣8.98=27.055﹣（1.02+8.98）=27.055﹣10=17.055②÷（﹣）=÷（﹣）==×6=③0.38×8.17+3.8×0.383﹣0.76=0.38×8.17+0.38×3.83﹣0.76=0.38×（8.17+3.83）﹣2×0.38=0.38×12﹣2×0.38=0.38×（12﹣2）=0.38×10=3.8④[10﹣（2×+2×）]÷7=[10﹣2×（+）]÷7=[10﹣×1]÷7=[﹣]÷7=÷=1⑤+[2÷（3.4﹣）×]=+[2÷（3.4﹣）×]=+[÷×]=+[××]=+=五、解答题（共1小题，满分6分）31．（6分）（1）上半年平均每月产量是多少吨？（2）第二季度比第一季度增产百分之几？（精确到0.01%）【解答】解：（1）（10+16+19+24+22+20）÷6，=111÷6，=18.5（吨）；答：上半年平均每月产量是18.5吨．（2）10+16+19=45（吨）；24+22+20=66（吨）；（66﹣45）÷45，=21÷45，≈46.67%；答：第二季度比第一季度增产46.67%．六、应用题（4&#215;6分=24分）32．（6分）工人王师傅加工一批零件，原计划每天加工360个，15天完成，实际完成加工任务的天数是原计划的，实际每天加工零件多少个？【解答】解：360×15÷（15×）=5400÷10，=540（个）；答：实际每天加工零件540个．33．（6分）六年级三个班参加植树劳动．六一班占总人数的，如果从六二班调7人到六一班，则三个班人数相等．六年级参加植树劳动的共有多少人？【解答】解：1﹣﹣，=，=；（7×2）÷（﹣），=14，=168（人）；答：六年级参加植树劳动的共有168人．34．（6分）该试题已被管理员删除35．（6分）有含盐20%的盐水100克，要配成含盐12.5%的盐水320克，需要含盐10%的盐水多少克？【解答】解：需要含盐10%的盐水x克，可得：100×20%+10%x=320×12.5%20+10%x=4010%x=20x=200答：需要含盐10%的盐水200克．。

学业分层测评（六）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a ＞2，b ＞2，则( )A ．ab ≥a ＋bB ．ab ≤a ＋bC ．ab ＞a ＋b D.ab ＜a ＋b【解析】 ∵a ＞2，b ＞2，∴a 2－1＞0，b 2－1＞0，则ab －(a ＋b )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －1＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －1＞0， ∴ab ＞a ＋b .【答案】 C2．已知a ＞b ＞－1，则1a ＋1与1b ＋1的大小关系为( ) A.1a ＋1＞1b ＋1 B.1a ＋1＜1b ＋1 C.1a ＋1≥1b ＋1 D.1a ＋1≤1b ＋1【解析】 ∵a ＞b ＞－1，∴a ＋1＞0，b ＋1＞0，a －b ＞0，则1a ＋1－1b ＋1＝b －a (a ＋1)(b ＋1)＜0，∴1a ＋1＜1b ＋1. 【答案】 B3．a ，b 都是正数，P ＝a ＋b 2，Q ＝a ＋b ，则P ，Q 的大小关系是( ) 【导学号：32750031】A ．P ＞QB ．P ＜QC ．P ≥QD.P ≤Q【解析】 ∵a ，b 都是正数，∴P ＞0，Q ＞0，∴P 2－Q 2＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22－(a ＋b )2 ＝－(a －b )22≤0(当且仅当a ＝b 时取等号)， ∴P 2－Q 2≤0.∴P ≤Q .【答案】 D4．下列四个数中最大的是( )A ．lg 2B ．lg 2C ．(lg 2)2 D.lg(lg 2)【解析】 ∵0＜lg 2＜1＜2＜2，∴lg(lg 2)＜0＜lg 2＜lg 2，且(lg 2)2＜lg 2，故选A.【答案】 A5．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 1＝b 1>0，a 3＝b 3>0，a 1≠a 3，则a 5与b 5的大小关系是( )A ．a 5<b 5B ．a 5>b 5C ．a 5＝b 5 D.不确定【解析】 设{a n }的公比为q ，{b n }的公差为d ，则a 5－b 5＝a 1q 4－(b 1＋4d )＝a 1q 4－(a 1＋4d )．∵a 3＝b 3，∴a 1q 2＝b 1＋2d ，即a 1q 2＝a 1＋2d ，∴a 21q 4＝(a 1＋2d )2＝a 21＋4a 1d ＋4d 2，∴a 5－b 5＝a 21q 4－a 1(a 1＋4d )a 1＝(a 21＋4a 1d ＋4d 2)－a 1(a 1＋4d )a 1＝4d 2a 1. ∵a 1>0，d ≠0，∴a 5－b 5>0，∴a 5>b 5.【答案】 B二、填空题6．设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若P>Q，则实数a，b满足的条件为________.【导学号：32750032】【解析】P－Q＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝a2b2－2ab＋1＋4＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2.∵P>Q，∴P－Q>0，即(ab－1)2＋(a＋2)2>0，∴ab≠1或a≠－2.【答案】ab≠1或a≠－27．若x＜y＜0，M＝(x2＋y2)(x－y)，N＝(x2－y2)(x＋y)，则M，N的大小关系为________．【解析】M－N＝(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，∴－2xy(x－y)＞0，∴M－N＞0，即M＞N.【答案】M＞N8．已知a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab，则1＋a与11－b的大小关系是________．【解析】∵a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab，∴(1＋a)(1－b)＝1＋a－b－ab＞1.从而1＋a11－b＝(1＋a)(1－b)＞1，∴1＋a＞11－b.【答案】1＋a＞11－b三、解答题9．已知a＞2，求证：log a(a－1)＜log(a＋1)a.【证明】 ∵a ＞2，则a －1＞1，∴log a (a －1)＞0，log (a ＋1)a ＞0，由于log a (a －1)log (a ＋1)a＝log a (a －1)·log a (a ＋1) ＜⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a (a －1)＋log a (a ＋1)22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a (a 2－1)22. ∵a ＞2，∴0＜log a (a 2－1)＜log a a 2＝2，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a (a 2－1)22＜⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a a 222＝1， 因此log a (a －1)log (a ＋1)a ＜1. ∵log (a ＋1)a ＞0，∴log a (a －1)＜log (a ＋1)a .10．已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列．(1)求q 的值；(2)设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥2时，比较S n 与b n 的大小，并说明理由．【解】 (1)由题设知2a 3＝a 1＋a 2，即2a 1q 2＝a 1＋a 1q .又a 1≠0，∴2q 2－q －1＝0，∴q ＝1或－12.(2)若q ＝1，则S n ＝2n ＋n (n －1)2＝n 2＋3n 2＝n (n ＋3)2. 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝(n －1)(n ＋2)2＞0， 故S n ＞b n .若q ＝－12，则S n ＝2n ＋n (n －1)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－n 2＋9n 4＝－(n －9)n 4. 当n ≥2时，S n －b n ＝S n －1＝－(n －1)(n －10)4，故对于n ∈N ＋，当2≤n ≤9时，S n ＞b n ；当n ＝10时，S n ＝b n ；当n ≥11时，S n ＜b n .[能力提升]1．已知a ＞0，b ＞0，m ＝a b ＋b a ，n ＝a ＋b ，p ＝a ＋b ，则m ，n ，p 的大小顺序是( )A ．m ≥n ＞pB ．m ＞n ≥pC ．n ＞m ＞pD.n ≥m ＞p 【解析】 由已知m ＝a b ＋b a，n ＝a ＋b ，得a ＝b ＞0时m ＝n ，可否定B ，C.比较A ，D 项，不必论证与p 的关系．取特值a ＝4，b ＝1，则m ＝4＋12＝92，n＝2＋1＝3，∴m ＞n ，可排除D.【答案】 A2．设m ＞n ，n ∈N *，a ＝(lg x )m ＋(lg x )－m ，b ＝(lg x )n ＋(lg x )－n ，x ＞1，则a 与b 的大小关系为( )A ．a ≥bB ．a ≤bC ．与x 值有关，大小不定 D.以上都不正确【解析】 要比较a 与b 的大小，通常采用比较法，根据a 与b 均为对数表达式，只有作差，a 与b 两个对数表达式才能运算、整理化简，才有可能判断出a 与b 的大小．a －b ＝lg m x ＋lg －m x －lg n x －lg －n x＝(lg m x －lg n x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg n x －1lg m x ＝(lg m x －lg nx )－lg m x －lg n x lg m x lg n x ＝(lg m x －lg n x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1lg m x lg n x ＝(lg m x －lg n x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1lg m ＋n x . ∵x ＞1，∴lg x ＞0.当0＜lg x ＜1时，a ＞b ；当lg x ＝1时，a ＝b ；当lg x ＞1时，a ＞b .∴应选A.【答案】 A3．一个个体户有一种商品，其成本低于3 5009元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．【解析】 设这种商品的成本费为a 元．月初售出的利润为L 1＝100＋(a ＋100)×2.5%，月末售出的利润为L 2＝120－2%a ，则L 1－L 2＝100＋0.025a ＋2.5－120＋0.02a＝0.045⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3 5009， ∵a ＜3 5009，∴L 1＜L 2，月末出售好．【答案】 月末4．若实数x ，y ，m 满足|x －m |＜|y －m |，则称x 比y 接近m .对任意两个不相等的正数a ，b ，证明：a 2b ＋ab 2比a 3＋b 3接近2ab ab .【证明】 ∵a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，∴a 2b ＋ab 2＞2ab ab ，a 3＋b 3＞2ab ab .∴a 2b ＋ab 2－2ab ab ＞0，a 3＋b 3－2ab ab ＞0.∴|a 2b ＋ab 2－2ab ab |－|a 3＋b 3－2ab ab |＝a 2b ＋ab 2－2ab ab －a 3－b 3＋2ab ab＝a 2b ＋ab 2－a 3－b 3＝a 2(b －a )＋b 2(a －b )＝(a －b )(b 2－a 2)＝－(a －b )2(a ＋b )＜0，∴|a 2b ＋ab 2－2ab ab |＜|a 3＋b 3－2ab ab |，∴a 2b ＋ab 2比a 3＋b 3接近2ab ab .。

四升五语文暑假辅导阅读讲义-写人类阅读(一)-人教部编版(含答案)在日常生活中，我们与人打交道，许多人停留在记忆深处，给我们带来启迪、感动或触动。

写人类文章以人物描写为主，通过对人物的肖像、语言、动作、心理活动等方面的描写，反映人物的性格特点和思想品质。

阅读此类文章时，可以分析人物的外貌、语言、心理和所处环境。

首先，外貌描写是对人物外貌、神情、姿态、服饰等方面的描绘。

人物的外貌往往能反映人物的个性和内心。

例如，《宝黛初会》中先写XXX的服饰，XXX的衣饰华丽宝贵中透着高雅之气，一出场便光彩照人。

XXX用了6个比喻具体描写了XXX的面型、面色、鬓发、眉毛和目光等，在读者心中刻画了一个不诸世事、风流潇洒的贵族公子形象。

其次，语言是人类用来表达思想、交流感情的工具。

人物的语言能反映人物一定的思想、个性和心理特点。

再次，人物的心理泛指人物的思想、感情等活动。

对人物心理活动的描写能直接反映人物的内心世界。

心理活动刻画得好，人物性格就表现得更加立体、饱满。

最后，人物的一切活动都与他们所在的环境分不开。

分析环境可以更好地理解人物的行为、语言以及人物的心理活动。

同时，具体的自然与社会环境描写对人物烘托也起着重要的作用。

例如，XXX是我的学生，她的脸上总是带着明亮的微笑。

尽管大脑麻痹导致她肌肉僵硬，但她仍然难控制自己的身体，同学时常看到她扶着助步架艰难地在学校拥挤的走廊上挪动。

我布置了不少作业，其中一项是背诵一首题为《不要放弃》的三节诗。

我只为这项作业定了10分，我猜想大多数学生都不会去背诵它。

到了检查作业的那天，我走进教室，看见了XXX，她脸上的微笑与平日有些不一样，仿佛多了一份担心。

如出一辙：大家的回答都差不多。

妥当：是否合适或得体。

既然知道大多数学生不会背诵这首诗，我还要布置这道作业是为了让学生们尝试挑战自己，提高自己的能力。

1)“不必担心，XXX，”我在心里说，“它只值10分。

”（心理描写）2)她就费力地走到讲台上，随即把助步架扔在一边，伏在地板上开始做俯卧撑。

惜雅学苑四升五奥数第八讲－－加乘原理姓名：1、题库中有三种类型的题目，数量分别为30道、40道和45道，要从三种类型的题目中取出一道题目，共有多少种不同的取法？2、传说地球上有7颗不同的龙珠，如果找齐这7颗龙珠，并且按照特定顺序排成一行就会有神龙出现。

邪恶的沙鲁找到了这7颗龙珠，但是他不知道排列的特定顺序。

请问：运气不好的沙鲁最多要试几次才能遇见神龙？3、图书馆有30本不同的数学书、20本不同的英语书和10本不同的语文书。

（1）小莫要去图书馆借1本书，有多少种不同的选择？（2）小莫三种书都要各借一本，有多少种不同的选择？4、萱萱要从4幅水墨画、3幅油画和2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布布置客厅，有几种选法？5、商店里有三类笔：铅笔、钢笔和圆珠笔。

铅笔有4种颜色，钢笔有3种颜色，圆珠笔有2种颜色。

（1）要买任意一支笔，有多少种买法？（2）要从三类笔中各买一支，有多少种买法？（3）要买两支不同类的比，有多少种买法？6、从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有3条路，从甲地到丁地有2条路，从丁地到丙地有4条路。

如果要求所走路线不能重复，那么从甲地到丙地共有多少条不同的路线？7、有两个不同的骰子，每个骰子的6个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6.任意摆放这两个骰子，如果要求朝上的面所标数字之和为偶数，共有多少种放法？8、如图所示，蚂蚁在线段上爬行，只能按照箭头的方向行走。

请问：从A点走到B点的不同路线有多少条？惜雅学苑四升五奥数班第八讲－－加乘原理（巩固练习）1、把“CHINA”这五个字母涂上五种不同的颜色，每个字母只能涂一种颜色。

共有多少种涂色方法？2、小高在练习本上写出一个加法算式，要求其中一个加数是四位数，另一个加数是两位数，请问小高一共有多少种不同的写法？。

新课程标准数学选修4—5 不等式选讲课后习题解答第一讲 不等式和绝对值不等式 习题1.1 （P9）1、（1）假命题. 假如32>，但是3(1)2(1)⋅-<⋅-. （2）假命题. 假如32>，但是223020⋅=⋅. （3）假命题. 假如12->-，但是22(1)(2)-<-.（4）真命题. 因为c d <，所以c d ->-，因此a c a d ->-. 又a b >，所以a d b d ->-. 因此a c b d ->-. 2、因为22(1)(2)(3)(6)(32)(318)200x x x x x x x x ++--+=++-+-=> 所以(1)(2)(3)(6)x x x x ++>-+3、（1）因为a b >，10ab >，所以11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a>，即11a b <； （2）因为a b >，0c <，所以ac bc <. 因为c d <，0b >，所以bc bd <. 因此ac bd <.4、不能得出. 举反例如下：例如23->-，14->-，但是(2)(1)(3)(4)-⨯-<-⨯-.5、（1）因为,a b R +∈，a b ≠，所以22a b ≠，即b aa b ≠. 所以2b a a b +>=.（2）因为0a b +>>，所以1a b <+所以122ab ab a b ⨯<=+2aba b <+6、因为,,a b c 是不全相等的正数所以a b +≥b c +≥，c a +≥，以上不等式不可能全取等号.所以（1）()()()8a b b c c a abc +++>=（2）()()()a b b c c a +++++>所以a b c ++>7、因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c d cd +≥，222d a da +≥ 所以22222222()()()()2()a b b c c d d a ab bc cd da +++++++≥+++ 即2222a b c d ab bc cd da +++≥+++8、因为2211112a x a x +≥，2222222a x a x +≥，……，222n n n n a x a x +≥ 所以22222212121122()()2()n n n n a a a x x x a x a x a x +++++++≥+++即112222()n n a x a x a x ≥+++，所以11221n n a x a x a x +++≤9、因为2222222222(2)()()02244x y x y x y x y xy x y +++-++--==≥， 所以222()22x y x y ++≥. 10222=≥=22≥11、因为,,a b c R +∈，1a b c ++=，所以2222222223()2()()a b c a b c a b c ++=+++++222222222222()()()()222()()1a b b c c a a b c a b b c c a a b ca b c =++++++++≥+++++=++=所以22213a b c ++≥12、（1）因为,,a b c R +∈，所以3a b c b c a ++≥，3b c a a b c ++≥= 所以()()9a b c b c ab c a a b c++++≥（2）因为,,a b c R +∈，所以0a b c ++≥>，2220a b c ++≥所以222()()9a b c a b c abc ++++≥= 13、设矩形两边分别为,a b ，对角线为定值d ，则222a b d +=∴222222()22()2a b a b ab a b d +=++≤+=∴a b +≤，2()a b +≤ ∴当且仅当a b =时，以上不等式取等号.∴当矩形为正方形时，周长取得最大值，最大值为因为22222a b d ab +≤=，当且仅当a b =时等号成立 所以当矩形为正方形时，面积取得最大值，最大值为22d14、因为222()2h r R +=，所以22244r h R +=.根据三个正数的算术—几何平均不等式，得2222422R r r h =++≥所以，球内接圆柱的体积2V r h π=≤当且仅当222r h =，即r =，h R =时，V 取最大值.15、因为222a b ab +≥，所以2212ab a b ≤+，即2212b a a b ⨯≤+. 由于220min{,}b h a a a b <=≤+，22220min{,}b bh a a b a b <=≤++所以22212b h a a b ≤⨯≤+，从而h ≤习题1.2 （P19）1、（1）()()22a b a b a b a b a a ++-≥++-==（2）2()2a b b a b b a b -+≥-+=+，所以2a b a b b +--≤2、证法一：2212112x xx x x x x x+++==≥=. 证法二：容易看出，无论0x >，还是0x <，均有11x x x x+=+所以112x x x x +=+≥3、（1）()()x a x b a x x b a x x b a b -+-=-+-≥-+-=- （2）因为()()a b x b b a x b b a x b x a -+-=-+-≥-+-=- 所以x a x b a b ---≤-另证：()()x a x b x a x b a b ---≤---=-4、（1）()()()()22A B a b A a B b A a B b εεε+-+=-+-≤-+-<+=（2）()()()()22A B a b A a b B A a b B A a B b εεε---=-+-≤-+-=-+-<+=5、4646(4)(6)2y x x x x x x =-+-=-+-≥-+-= 当且仅当(4)(6)0x x --≥，即[4,6]x ∈时，函数y 取最小值2.6、7、8、（1）5235x -<-< 228x -<< 14x -<<∴原不等式的解集为(1,4)-（2）251x -≤-或251x -≥ 24x ≤或26x ≥ 2x ≤或3x ≥∴原不等式的解集为(,2][3,)-∞+∞ （3）13132x -<+< 1422x -<<84x -<<∴原不等式的解集为(8,4)-（4）2418x -≥ 414x -≥414x -≤-或414x -≥ 43x ≤-或45x ≥ 34x ≤-或54x ≥ ∴原不等式的解集为35(,][,)44-∞-+∞（1）6341x -≤+<-或1346x <+≤ 1035x -≤<-或332x -≤≤ 10533x -≤<-或213x -≤≤ ∴原不等式的解集为1052[,)(1,]333---（2）9523x -<-≤-或3529x ≤-< 1428x -<-≤-或224x -≤-< 47x ≤<或21x -<≤ ∴原不等式的解集为(2,1][4,7)-（1）令30x -=，50x -=得3x =，5x = ①当3x <时354x x -+-+≥9、(1,)a ∈+∞第二讲 证明不等式的基本方法 习题2.1 （P23）1、因为a b >，所以0a b ->. 因此33()a b ab a b ---222222()()()()()()()0a b a ab b ab a b a b a ab b ab a b a b =-++--=-++-=-+>所以33()a b ab a b ->-2、因为ad bc ≠，所以22222()()()a b c d ac bd ++-+（2）令20x -=，30x +=得2x =，3x =- ①当3x <-时234x x -+--≥ 52x ≤-∴3x <-②当32x -≤<时234x x -+++≥ 54≥ ∴32x -≤< ③当2x ≥时234x x -++≥32x ≥∴2x ≥∴原不等式的解集为R（3）令10x -=，20x -=得1x =，2x = ①当1x <时122x x -+-+<12x >∴112x << ②当12x ≤<时 122x x --+< 12< ∴12x ≤< ③当2x ≥时122x x -+-<52x <∴522x ≤<∴原不等式的解集为15(,)22222222222222()(2)()0a c a dbc bd a c a b c d b da dbc =+++-++=->所以22222()()()a b c d ac bd ++>+3、因为a b ≠，所以42242264()a a b b ab a b ++-+4224222222222222424()4()2()(2)(2)(2)()0a ab b a b ab a ba b a b a b a b a b a b a b =++-++=+-+⋅+=+-=->所以42242264()a a b b ab a b ++>+ 4、因为,,a b c 是正数，不妨设0a b c ≥≥>，则()1a b a b -≥，()1b c b c -≥，()1c a ca -≥因为0b c c aaa bc+++>，且222222()()(a b c a bcbcab ccaaba bc a babca bcbc a---------+++==≥所以222a b c b c c a a b a b c a b c +++≥ 习题2.2 （P25）1、因为222252(2)(2)(1)0a b a b a b ++--=-+-≥，所以2252(2)a b a b ++≥-.2、（1）因为2(1)()(1)(1)()()ab a b ab ac bc c a b a c b c ++++++=++++16c a b c ≥⨯= 所以2(1)()16ab a b ab ac bc c abc ++++++≥（2）因为3322()()()()()a b a b ab a b a ab b a b ab +-+=+-+-+222()(2)()()0a b a a b b a b a b =+-+=+-≥ 所以33()a b a b ab +≥+，33()b c b c bc +≥+，33()c a c a ca +≥+ 所以3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++ 3、略.4、要证明1110a b b c c a ++>---，即证明111a b b c a c+>--- 因为a b c >>，所以0a c a b ->->，从而110a b a c>>-- 又因为10b c >-，所以111a b b c a c +>---，所以1110a b b c c a ++>---5、要证2m m n +≥()2m nn m m n m n ++≥.因为2()()2m n m n m nm n mn ++++≥= 只需证2()m n n m mn m n +≥，即证22()m n n m mn m n +≥，只需证()1m n mn -≥，不妨设m n ≥，则0m n -≥所以()1m n mn -≥. 所以，原不等式成立.6、要证明()()f a f b a b -<-，即a b <-，即a b <-因为a b ≠，所以只需证a b +<∵a b a b +≤+<∴a b +<，从而原不等式成立.7、22log (1)log (1)[(log (1)log (1)][(log (1)log (1)]a a a a a a x x x x x x --+=-++--+21l o g (1)l o g 1a a xx x -=-+ 又因为01x <<，所以2011x <-<，1011xx-<<+. 所以21log (1)log 01a axx x -->+ 所以22log (1)log (1)0a a x x --+>，即22log (1)log (1)a a x x ->+ 从而log (1)log (1)a a x x ->+8、因为0n >，所以2244322n n n n n +=++≥= 9、因为22221(1)(1)0ab a b a b ---=-->，所以1ab a b ->-习题2.3 （P29）1、因为0,,1a b c <<，根据基本不等式2(1)10(1)()24a a a a -+<-≤= 2(1)10(1)()24b b b b -+<-≤=，2(1)10(1)()24c c c c -+<-≤= 所以31(1)(1)(1)()4a a b b c c -⨯-⨯-≤假设(1),(1),(1)a b b c c a ---都大于14，则31(1)(1)(1)()4a b b c c a -⨯-⨯->这与31(1)(1)(1)()4a ab bc c -⨯-⨯-≤矛盾. 所以(1),(1),(1)a b b c c a ---不能都大于14.2、一方面，222211111111234233445(1)n n n ++++>++++⨯⨯⨯+1111111111()()()()233445121n n n =-+-+-++-=-++ 另一方面，222211111111234122334(1)n n n++++<++++⨯⨯⨯-111111111(1)()()()1223341n n n n n-=-+-+-++-=-=-所以，2222111111121234n n n n --<++++<+3、当1n =时，不等式12n++<1<.当2n ≥<<<<所以1<，<-，<，……，<所以11(3nn++4、假设2211(1)(1)9x y --<. 由于,0x y >且1x y += 所以2222221111(1)(1)x y x y x y----=⨯2222(1)(1)(1)(1)(1)(1)111291x x y y x y x y y x x y x y x y x x x x+-+-=⨯++=⨯++=⨯+-=⨯<-得2(21)0x -<，这与2(21)0x -≥矛盾，所以2211(1)(1)9x y--≥ 5、因为2r h V π=（定值）所以，圆柱的表面积222S r rh ππ=+22r rh rhπππ=++≥== 当且仅当22r rh rh πππ==时，等号成立.所以，当2h r =，即h r ==. 6、2(1π 第三讲 柯西不等式与排序不等式 习题3.1 （P36）1、函数定义域为[5,6]，且0y ≥5y=≤=当且仅当=13425x=时，函数有最大值5.2、三维柯西不等式2222222123123112233()()()a a ab b b a b a b a b++++≥++三维三角不等式2221)(z x+≥-3、因为22236x y+≤，所以2x y+≤=.因此2x y+4、因为221a b+=，所以cos sin1a bθθ+≤5、因为1a b+=，所以2212121212()()(()ax bx bx ax a b x x x x++≥=+=6、222()(14)(2)1x y x y++≥+=，即2215x y+≥当且仅当12,55x y==时，22x y+有最小值157、2119()(2)22a bb a++≥=当且仅当21ab=（,a b R+∈）时，函数有最小值928、12()()pf x qf x+=12()f px qx=+9、3sin3siny x x=++≤=当且仅当tan x=习题3.2 （P41）1、22111111()()39a b ca b c a b c++=++++≥==推广：若12,,,nx x x R+∈，且121nx x x+++=，则212111nnx x x+++≥.证：121212111111()()n n nx x x x x x x x x +++=++++++221x n x ≥+⋅= 2、因为2222222222224()(1111)()a b c d a b c d +++=++++++ 222(1111)()11a b c d a b c d ≥⋅+⋅+⋅+⋅=+++==所以222214a b c d +++≥ 3、22121212111111()()()n n n x x x x x x n x x x x x x ++++++≥⋅+⋅++⋅= 4、2221112()a b b c ca ab bc c a++=++++++++222111()()9a b b c c a a b c a b c a b c a b b c c aa b c+++=+++++++++++++≥+===++上式中等号不成立，这是由于,,a b c 是互不相等的正数， 所以111:::a b b c c a a b c a b a b c b c a b c c a+++≠≠+++++++++.5、因为2222222()(234)(234)10100x y z xy z ++++≥++==，所以22210029x y z ++≥.当且仅当203040,,292929x y z ===时，222x y z ++有最小值10029. 6、因为2221212()(1)111n nx x x n x x x +++++++222121212212()[(1)(1)(1)]111()1n n nn x x x x x x x x x x x x =++++++++++++≥+++=所以222121211111n n x x x x x x n +++≥++++ 习题3.3 （P45） 1、由加法交换律及12,,,n c c c 的任意性，不妨假设12n a a a ≤≤≤，这不影响题意.由排序不等式，等222112212n n na c a c a c a a a +++≤+++. 2、由于要证的式子中,,a b c 是轮换对称的，所以不妨假设a b c ≤≤. 于是222a b c ≤≤.由排序不等式，得222222a a b b c c a b b c c a ++≥++222222a a b b c c a c b a c b ++≥++两式相加，得3332222()()()()a b c a b c b c a c a b ++≥+++++ 3、由于要证的式子中123,,a a a 是轮换对称的，所以不妨假设123a a a ≥≥. 于是123111a a a ≤≤，233112a a a a a a ≤≤ 由排序不等式，得122331233112231312312111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++≥⋅+⋅+⋅=++ 即122331231312a a a a a a a a a a a a ++≥++ 4、用柯西不等式证明如下：因为2222212123112231()()()n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a -++++++++≥+++所以222212112231n n n n a a a aa a a a a a a -++++≥+++.用排序不等式证明如下： 设120n i i i a a a ≥≥≥>，其中12,,,n i i i 是1,2,,n 的一个排列则12222ni i i a a a ≥≥≥，12111ni i i a a a ≤≤≤.由排序不等式知，反序和最小，从而12122222222121231111n nn n i i i n i i i a a a a a a a a a a a a a a -++++≥⋅+⋅++⋅1212n i i i n a a a a a a =+++=+++所以222212112231n n n n a a a a a a a a a a a -++++≥+++习题4.1 （P50）1、（1）当1n =时，左边=1，右边=1， 所以，左边=右边，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2135(21)k k ++++-=.当1n k =+时，22135(21)2(1)12(1)1(1)k k k k k ++++-++-=++-=+.所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，2135(21)n n ++++-=2、（1）当1n =时，左边=1，右边11(11)(211)16=⨯⨯+⨯+=， 所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即21149(1)(21)6k k k k ++++=++.当1n k =+时，2221149(1)(1)(21)(1)6k k k k k k ++++++=++++21(1)(276)61(1)(2)[2(1)1]6k k k k k k =+++=++++所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，21149(1)(21)6n n n n ++++=++3、（1）当1n =时，左边144=⨯=，右边2124=⨯=， 所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即21427310(31)(1)k k k k ⨯+⨯+⨯+++=+.当1n k =+时，1427310(31)(1)[3(1)1]k k k k ⨯+⨯+⨯+++++++2(1)(1)[3(1)1]k k k k =+++++ 22(1)(44)(1)[(1)1]k k k k k =+++=+++ 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，21427310(31)(1)n n n n ⨯+⨯+⨯+++=+4、（1）当1n =时，因为211211x y x y ⨯-⨯-+=+能被x y +整除，所以命题成立. （2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2121k k x y --+能被x y +整除. 当1n k =+时， 2(1)12(1)12121k k k k x y x y +-+-+++=+2122212122212212212212121222212121()()()()()k k k k k k k k k k k k x x y y x x x y x y y y x xyyy x x x y yy x y x------------=+=+-+=++-=+++-上式前后两部分都能被x y +整除，所以，当1n k =+时命题成立. 由（1）（2）知，2121n n x y --+能被x y +整除.5、凸n 边形有1(3)2n n -条对角线. 下面证明这个命题.（1）当3n =时，三角形没有对角线，即三角形有0条对角线，命题成立.（2）假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即凸k 边形有1(3)2k k -条对角线.当1n k =+时， 凸(1)k +边形的对角线条数为2111(3)(2)1(2)(1)[(1)3]222k k k k k k k -+-+=--=++- 所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，凸n 边形有1(3)2n n -条对角线.6、这样的n 条直线把平面分成的区域数目为1(1)2n nf n =++. 下面证明这个命题.（1）当1n =时，平面被分为112+=个区域，111(11)22f =++=，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即有1(1)2k kf k =++.当1n k =+时， 第1k +条直线与前面k 条直线有k 个不同交点即，它被前面k 条直线截成1k +段，其中每一段都把它所在的原区域一分为二，也即使原区域数目增加1k +.于是11(1)1(1)(1)1(2)22k k k k f f k k k k ++=++=++++=++ 2111(3)(2)1(2)(1)[(1)3]222k k k k k k k -+-+=--=++- 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，对任意正整数n ，命题都成立. 习题4.2 （P53）1、（1）当3n =时，左边11(123)(1)1123=++++=，右边233111=+-=所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即211(12)(1)12k k k k++++++≥+-. 当1n k =+时，111(121)(1)21k k k k ++++++++++ 22222111111(12)(1)(12)(1)(1)2121111111111(1)(1)(1)2121211111111(1)(1)(1)21223413251221231(1)(1)1k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++++++++++++++≥+-+++++++++++++++>+-+++++++++=+-+++>++=+++-所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对大于2的一切正整数成立. 2、（1）当17n ≥时，有42n n >.①当17n =时，17421310728352117=>=，命题成立. ②假设当(17)n k k =≥时，命题成立，即42k k > 当1n k =+时，14422221k kk k k k k k k k +=⋅>>+>++++=+所以，当1n k =+时，命题成立.由①②知，命题对一切不小于17的正整数成立.（2）当3n ≥时，有1(1)n n n+<.①当3n =时，3164(1)3327+=<，命题成立. ②假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即1(1)k k k+<当1n k =+时，1111(1)(1)(1)111k k k k k ++=+++++ 11(1)(1)11(1)11k k k k k k <+++<++<+ 所以，当1n k =+时，命题成立.由①②知，命题对一切不小于3的正整数成立.3、（1）当2n =时，212122-<，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即222111123k k k-+++< 当1n k =+时，2222211111123(1)(1)k k k k k -++++<+++3232221(1)1(1)(1)1k k k k k k k k k k +-++-=<=+++ 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对任意大于1的正整数成立. 4、不妨设a b c <<，a b d =-，c b d =+.（1）当2n =时，2222222()()222a c b d b d b d b +=-++=+>，命题成立. （2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即2k k k a c b +> 当1n k =+时，1111k k k k k k a c a ac ac c +++++=+-+1()()()2222()22()22k k k k k k kkkkkk k a a c c c a a a c d ca b d c b d b d cb d b d b b+=++-=++>+=-+>-+= 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对一切大于1的正整数成立.5、（1）当1n =时，212(11)22⨯+<，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2(1)(1)22k k k k a ++<<. 当1n k =+时，2(1)(1)22k k k k a +++<+<21(1)(1)23(1)222k k k k k k a ++++++<<+ 21(1)(2)(2)22k k k k a ++++<<所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，命题对一切正整数成立.6、（1）当2n =时，12121212sin()sin cos cos sin sin sin αααααααα+=+<+，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即1212sin()sin sin sin k k αααααα+++<+++当1n k =+时，121sin()k k αααα+++++121121121121sin()cos cos()sin sin()sin sin sin sin sin k k k k k k k k αααααααααααααααα++++=+++++++≤++++<++++所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对一切大于1的正整数成立.7、（1）当2n =时，2222212121122()()()a a b b a b a b ++≥+，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即222222212121122()()()k k k k a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++当1n k =+时，22222222121121()()k k k k a a a a b b b b ++++++++++2222222222222222121212111211()()()()k k k k k k k k a a a b b b a a a b a b b b a b ++++=+++++++++++++++22222222211221111121222221122111111222112211()2()()()2()()k k k k k k k k k k k k k k k k k k a b a b a b a b a b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++≥+++++++++++≥++++++++=+++所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，命题对一切不小于2的正整数成立即，222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++.8、（1）21212111()()n na a a n a a a ++++++≥ （2）①当1n =时，21111aa ⋅=，命题成立. ②假设当(2n k k =≥时，命题成立，即21212111()()k ka a a k a a a ++++++≥ 当1n k =+时，1211211111()()k k k k a a a a a a a a ++++++++++ 12121121122221111111()()()()11)()1(1)k k k kk kk a a a a a a a a a a a a a a k a a a a k k ++=+++++++++++++++≥+++++++≥+++所以，当1n k =+时，命题成立. 由①②知，命题对一切正整数成立。

期末测试拔尖卷姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）如果(―x+a)(2x―3)的乘积中不含x一次项，则a的值为（）A．―23B．23C．―32D．322．（3分）若关于x的分式方程xx―3+3a3―x=2a无解，则a的值为（）A．1B．12C．1或0D．1或123．（3分）如图，BD是△ABC的AC边上的中线，AE是△ABD的BD边上的中线，BF是△ABE的AE边上的中线，若△ABC的面积是32，则阴影部分的面积为（）A．8B．9C．10D．124．（3分）如图，一束平行于主光轴（直线OF）的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，F为焦点．若∠2=18°，则∠1+∠3―90°的度数为（）A．118°B．108°C．98°D．88°5．（3分）如图，直线MN⊥PQ，垂足为O，点A是射线OP上一点，OA=2，以OA为边在OP右侧作∠AOF=24°，且满足OF=4，若点B是射线ON上的一个动点（不与点O重合），连接AB，作△AOB的两个外角平分线交于点C，在点B在运动过程中，当线段CF取最小值时，∠OFC 的度数为（ ）A ．90°B ．69°C ．24°D ．66°6．（3分）如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠A =30°，E 是边AC 上一点，连接BE 并延长至点D ，连接DC ，若∠BCD =120°，AB =2DC ，AE =5，则CE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．52D ．537．（3分）关于x 的三次三项式A =5x 3―6x 2+10=a (x ―1)3+b (x ―1)2+c (x ―1)+d （其中a ，b ，c ，d 均为常数），关于x 的二次三项式B =x 2+ex +f （e ，f 均为非零常数），下列说法有几个正确（ ）①当A +B 的结果为关于x 的三次三项式时，则f =―10；②若二次三项式B =x 2+ex +f 能分解成(x ―3)(x +5)，则ef =―30；③当多项式A 与B 的乘积中不含x 4项时，则e =6；④a ―b +c =―2．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．（3分）我国是一个水资源贫乏的国家，每一个公民都应自觉养成节约用水的意识和习惯，为提高水资源的利用率，某住宅小区安装了循环用水装置．经测算，原来a 天用水b 吨，现在这些水可多用4天，现在每天比原来少用水（ ）A ．4ba 吨B ．4aba +4吨C ．4ba(a +4)吨D ．4aba(a +4)吨9．（3分）如图，AD 、CF 分别是△ABC 的高和角平分线，AD 与CF 相交于G ，AE 平分∠CAD 交BC 于E ，交CF 于M ，连接BM 交AD 于H ，且BM ⊥AE ，有以下结论中：①∠AMC=135°；②△AMH≌△BME；③BC=BH+2MH；④AH+CE=AC．正确的结论个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（3分）如图AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，点E是线段BC的中点，∠AEF=90°，且EF交△DCE外角的平分线CF于点F，若∠BAE=α，则∠EDF一定等于（）A．2αB．90°―αC．45°―αD．45°+α二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）已知△ABC中的中线AD将△ABC的周长分为10和15两部分，且4AC=3BC，则AB=．12．（3分）如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，BC=CD，作CE⊥AB于E，若CE=4，则四边形ABCD的面积是．=；13．（3分）计算：(―0.125)99×8100=；2023220222+20242―2[2(3x2)2―48x3+6x]÷(―6x)．=a+b（a，b不为零），且两个解分别为x1=a，x2=b的方14．（3分）我们把形如x+abx程称为“完美分式方程”．例如x+3x =4为完美分式方程，可化为x+1×3x=1+3，∴x1=1，x2=3．再如x+8x =―6为分式方程，可化为x+(―2)×(―4)x=(―2)+(―4)，∴x1=―2，x2=―4．应用上面的结论解答问题：已知完美分式方程x+qx=p两个解分别为x1=m，x2=n；若p=3，q=―2．则1m +1n的值为．15．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于点E，点G、F分别在BD、BC上，连接DF，GF，其中∠A=2∠BDF，GD=DE．（1）若∠A=80°，则∠FDC的度数为，∠EDC的度数为；（2）若∠ACB=30°，则∠DFG的度数为．16．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，BC=13，AB=AD，延长BC 到点F，使CF=9，点E是CD的延长线上一点，且∠FAE=45°，连接EF．已知DE=6，则线段EF的长为．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）计算或因式分解：(1)计算：4(x+1)2―(2x+5)(2x―5)；(2)计算：(65x3y4―0.9xy3)÷35xy3；(3)因式分解：a2―4ab+4b2；(4)因式分解：(a―b)(x―y)―(b―a)(x+y)．18．（6分）已知：P=x+1，Q=4xx+1．(1)当x>0时，比较P与Q的大小，并说明理由；(2)设y=3P ―Q2，若x是整数，求y的整数值．19．（8分）第八届中国（重庆）国际园林博览会吉祥物“山娃”深受市民喜欢．某特许商品零售商销售A、B两种山娃纪念品，其中A种纪念品的利润率为10%，B种纪念品的利润率为30%．当售出的A种纪念品的数量比B种纪念品的数量少40%时，该零售商获得的总利润率为20%；当售出的A种纪念品的数量与B种纪念品的数量相等时，该零售商获得的总利润率是多少？（利润率=利润÷成本）20．（8分）在△ABC中，∠A=80°，BE平分∠ABC，点P在射线BE上，连接CP，点D在BC 的延长线上．(1)如图，∠ACD=140°．①若CP∥AB，分别求∠ABC和∠BPC的度数；②若直线CP与△ABC的一条边垂直，求∠ACP的度数；(2)若CP平分∠ACD，请直接写出∠BPC的度数．21．（8分）阅读下面的材料：把一个分式写成两个分式的和叫作把这个分式表示成“部分分式”．例：将分式1―3xx 2―1表示成部分分式．解：设1―3xx 2―1=Mx +1+Nx ―1，将等式右边通分，得M (x ―1)+N (x +1)(x +1)(x ―1)=(M +N )x +(N ―M )x 2―1，依据题意，得{M +N =―3N ―M =1，解得{M =―2N =―1，所以1―3xx 2―1=―2x +1+―1x ―1请你运用上面所学到的方法，解决下面的问题：(1)1n (n +1)=An +Bn +1（A ，B 为常数），则A =，B =；(2)一个容器装有1L 水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出12L ，第2次倒出的水量是12L 的13，第3次倒出的水量是13L 的14，第4次倒出的水量是14L 的15……第n 次倒出的水量是1n L 的1n +1……按照这种倒水的方法，请说明这1L 的水是否能倒完？如果能，多少次才能倒完？如果不能，请说明理由；(3)按照（2）的条件，现在重新开始实验，按照如下要求把水倒出：第1次倒出13L ，第2次倒出的水量是115L ，第3次倒出的水量是135L ，第4次倒出的水量是163L ，请问经过多少次操作后，杯内剩余水量能否变成原来水量的100199？试说明理由．22．（8分）如图，A(―2,0)，B(0,―4)，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰直角三角形ABC．(1)点C的坐标为______．(2)如图②，A(―2,0)，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为直角顶点，PA为腰向右作等腰直角三角形APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP―DE 的值．23．（8分）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B=∠D=90°，E，F分别是边∠BAD，线段EF，BE，FD之间的关系是_______；（不需要BC，CD上的点，且∠EAF=12证明）（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请写点，且∠EAF=12出它们之间的数量关系，并证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E，F分别是边BC，CD延∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成长线上的点，且∠EAF=12立，请写出它们之间的数量关系，并证明．参考答案：题号12345678910答案CDDBBDBCCD1．C【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的法则，先根据已知式子，可找出所有含x 的项，合并系数，令含x 项的系数等于0，即可求a 的值．【详解】解：(―x +a )(2x ―3)=―2x 2+3x +2ax ―3a =―2x 2+(3+2a )x ―3a ∵乘积中不含x 的一次项，∴3+2a =0，∴a =―32．故选：C ．2．D【分析】本题考查了根据分式方程无解的情况求参数，运用分类讨论思想解答是解题的关键；根据分式方程“无解”，分两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根；第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解，据此解答即可求解．【详解】解:方程两边乘以x ―3得，x ―3a =2a (x ―3)，整理得，(2a ―1)x =3a ，当2a ―1=0，即a =12之时，方程为0×x =32，方程无解，故分式方程也无解；当2a ―1≠0时，x =3a 2a ―1，∵分式方程无解，即产生增根，∴令x ―3=0，得x =3，∴3a2a ―1=3解得a =1；综上，当a =12或1时，分式方程无解；故选：D 3．D【分析】本题考查了中线的性质，清晰明确三角形之间的等量关系，进行等量代换是解题的关键．利用中线等分三角形的面积进行求解即可．【详解】解：∵BD 是△ABC 的AC 边上的中线，∴S △ABD =S △BCD =12S △ABC =12×32=16，∵AE 是△ABD 的BD 边上的中线，∴S △ABE =S △ADE =12S △ABD =12×16=8，又∵ BF 是△ABE 的AE 边上的中线，则CF 是△ACE 的边AE 上的中线，∴S △BEF =S △ABF =12S △ABE =12×8=4，S △CEF =S △ACF =S △ADE =S △CED =12S △ACE =8，则S 阴影=S △BEF +S △CEF =4+8=12，故选：D ．4．B【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，由对顶角的性质及三角形外角的性质即可得到∠3=∠PFO +∠2，由平行线的性质求出∠1+∠PFO =180°，即可解答．【详解】解：如图，∵∠POF =∠2=18°，∠3=∠PFO +∠POF ，∴∠3=∠PFO +∠2．∵AB ∥OF ，∴∠1+∠PFO =180°，∴∠1+∠3―90°=∠1+∠PFO +∠2―90°=108°．故选：B ．5．B【分析】本题考查了角平分线的判定与性质，垂线段最短等知识，由角平分线想到作垂线是解题的关键．作CE ⊥PQ 于E ，CG ⊥MN 于G ，CH ⊥AB 于H ，连接OC ，由角平分线性质定理得CE =CH =CG ，再由角平分线的判定知，点C 在∠AOB 的平分线上，则可求得∠FOC=21°；当FC′⊥OC′于C′，则C′F≤CF，即CF的最小值为C′F，此时点C与C′重合，从而求得此时∠OFC的度数．【详解】解：如图，作CE⊥PQ于E，CG⊥MN于G，CH⊥AB于H，连接OC，∵AC平分∠PAB，CE⊥PQ，CH⊥AB，∴CE=CH，同理可得：CG=CH，∴CE=CG，∵CE⊥PQ，CG⊥MN，∴OC平分∠AOB，即点C在∠AOB的平分线上，∴∠AOC=45°，∵∠AOF=24°，∴∠FOC=∠AOC―∠AOF=45°―24°=21°，如图，作FC′⊥OC′于C′，则C′F≤CF，即CF的最小值为C′F，此时点C与C′重合，∴∠FC′O=90°，∴∠OFC′=90°―∠FOC′=90°―21°=69°，∴当线段CF取最小值时，∠OFC的度数为69°，故选：B．6．D【分析】作BM⊥AC，垂足为M，根据等腰三角形的性质可得∠A=∠ACB=30°，AM=CM，根据含30度角的直角三角形的性质得出BM=1AB，那么可证BM=CD．再利2用AAS证明△MEB≌△CED，得出ME=CE，设CE=x，根据AM=CM列出方程，求解即可．【详解】解：作BM⊥AC，垂足为M，则∠BMC=90°，如图所示：∵AB=BC，∠ABC=120°，∴∠A=∠ACB=30°，AM=CM，AB，∴BM=12∵AB=2CD，∴BM=CD．∵∠DCB=120°，∴∠DCE=∠DCB―∠ACB=120°―30°=90°，∴∠BMC=∠DCE=90°．在△EMB和△ECD中，{∠BME=∠DCE∠BEM=∠DEC，BM=DC∴△MEB≌△CED(AAS)，∴ME=CE．设CE=x，则ME=x，AM=AE―ME=5―x．∵AM=CM，∴5―x=2x，∴x=5，3∴线段CE长为5．3故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．7．B【分析】①计算A+B的值，再根据题意列方程求解；②计算(x―3)(x+5)的值，根据题意列方程求e，f的值，再计算ef；③先求AB的值，再根据题意列方程求解；④根据③所求列方程组求解即可．【详解】解：∵A=5x3―6x2+10，B=x2+ex+f，∴A+B=5x3―6x2+10+x2+ex+f=5x3―5x2+ex+(10+f)，∵A+B的结果为关于x的三次三项式，e，f均为非零常数，∴10+f=0，∴f=―10，故①正确；∵B=x2+ex+f=(x―3)(x+5)=x2+2x―15，∴e=2，f=―15，∴ef=―30，故②正确；∵A⋅B=(5x3―6x2+10)(x2+ex+f)=5x5―6x4+10x2+5ex4―6ex3+10ex+5fx3―6fx2+10f=5x5+(5e―6)x4+(5f―6e)x3+(10―6f)x2+10ex+10f，∵多项式A与B的乘积中不含x4项，∴5e―6=0，∴e=1.2，故③错误；④A=5x3―6x2+10=a(x―1)3+b(x―1)2+c(x―1)+d=a(x3―3x2+3x―1)+b(x2―2x+1)+c(x―1)+d=ax3―3ax2+3ax―a+bx2―2bx+b+cx―c+d=ax3+(b―3a)x2+(3a―2b+c)x+(―a+b―c+d)，∴{a=5b―3a=―6，3a―2b+c=0―a+b―c+d=10解得：{a=5b=9c=3d=9，∴a―b+c=―1，故④错误；故选：B．【点睛】本题主要考查了多项式乘法，解三元一次方程组，因式分解，整式的加减计算，正确理解题意列出对应的方程和方程组是解题的关键．8．C【分析】分别求出原来平均每天用水吨数和现在平均每天用水吨数，用原来平均每天用水吨数减去现在平均每天用水吨数，即得．【详解】原来a 天用水b 吨，原来平均每天用水b a 吨，现在这些水可多用4天，现在平均每天用水b a +4吨，现在平均每天比原来少用水，b a ―b a +4=b (a +4)―ab a (a +4)=4ba (a +4)（吨）．故选：C ．【点睛】本题主要考查了列代数式，解决问题的关键是熟练列出用水量相同，用水时间不同的平均每天用水量的计算表达式．9．C【分析】由垂线的性质可得∠ADC =90°，由直角三角形的两个锐角互余可得∠CAD +∠ACD =90°，由三角形角平分线的定义可得∠MAC =12∠CAD ，∠MCA =12∠ACD ，进而可得∠MAC +∠MCA =12∠CAD +12∠ACD =45°，然后由三角形的内角和定理可得∠AMC =180°―(∠MAC +∠MCA )，即可判断结论①；由垂线的性质可得∠ADB =∠ADC =∠AMB =∠EMB =90°，由对顶角相等可得∠AHM =∠BHD ，由等式的性质1及三角形的内角和定理可得∠HAM =∠CBM ，由三角形角平分线的定义可得∠CAM =∠HAM ，∠ACM =∠BCM ，进而可得∠CAM =∠CBM ，利用AAS 可证得△CAM≌△CBM ，于是可得MA =MB ，利用ASA 可证得△AMH≌△BME ，即可判断结论②；由全等三角形的性质可得AC =BC ，AH =BE ，由BE +CE =BC 即可判断结论④；延长BM 交AC 于点N ，利用邻补角互补可得∠AMN =180°―∠AMB =90°，进而可得∠AMN =∠AMB =∠AMH ，利用ASA 可证得△AMH≌△AMN ，于是可得MH =MN ，则BH +2MH =BH +MH +MN =BN ，由三角形外角的性质及不等式的性质可得∠BNC =∠AMN +∠NAM >90°是钝角，因而可得∠BNC >∠BCN ，则BC >BN ，即可判断结论③；综上，即可得出答案．【详解】解：∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC =90°，∴∠CAD +∠ACD =90°，∵CF 是△ABC 的角平分线，AE 平分∠CAD ，∴∠MAC =12∠CAD ，∠MCA =12∠ACD ，∴∠MAC +∠MCA =12∠CAD +12∠ACD =12(∠CAD +∠ACD )=12×90°=45°，∴∠AMC =180°―(∠MAC +∠MCA )=180°―45°=135°，故结论①正确；∵AD 是△ABC 的高，BM ⊥AE ，∴∠ADB =∠ADC =∠AMB =∠EMB =90°，∵∠AHM =∠BHD ，∴180°―∠AMB ―∠AHM =180°―∠ADB ―∠BHD ，∴∠HAM =∠CBM ，∵CF 是△ABC 的角平分线，AE 平分∠CAD ，∴∠CAM =∠HAM ，∠ACM =∠BCM ，∴∠CAM =∠CBM ，在△CAM 和△CBM 中，{∠CAM =∠CBM ∠ACM =∠BCM CM =CM，∴△CAM≌△CBM (AAS)，∴MA =MB ，在△AMH 和△BME 中，{∠HAM =∠EBM MA =MB ∠AMH =∠BME，∴△AMH≌△BME (ASA)，故结论②正确；∵△CAM≌△CBM ，∴AC =BC ，∵△AMH≌△BME ，∴AH =BE ，∵BE +CE =BC ，∴AH +CE =AC ，故结论④正确；如图，延长BM 交AC 于点N ，∵∠AMN =180°―∠AMB =180°―90°=90°，∴∠AMN =∠AMB =∠AMH ，在△AMH 和△AMN 中，{∠HAM =∠NAM MA =MA ∠AMH =∠AMN，∴△AMH≌△AMN (ASA)，∴MH =MN ，∴BH +2MH =BH +MH +MN =BN ，∵∠BNC =∠AMN +∠NAM =90°+∠NAM >90°，是钝角，∴∠BNC >∠BCN ，∴BC >BN ，即：BC >BH +2MH ，故结论③错误；综上所述，正确的结论有：①②④，共3个，故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，三角形角平分线的定义，三角形的内角和定理，对顶角相等，等式的性质1，全等三角形的判定与性质（AAS 和ASA ），利用邻补角互补求角度，线段的和与差，三角形外角的性质，不等式的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．10．D【分析】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判断与性质．关键是取AB 的中点G 后证明△AGE≌ △ECF ．取AB 的中点G ，连接EG ，过点F 作FM ⊥BC ，FN ⊥CD ．先证明△AGE ≌ △ECF 得AE =EF ，Rt △ABE ≌ Rt △DCE 得∠BAE =∠CDE =α．AE =ED ，得ED =EF，得∠EDF =∠DFE =180°―∠DEF 2，求出∠DEF =∠CED ―∠FEM =90―2α，从而求出∠EDF =45°+α．【详解】解：取AB 的中点G ，连接EG ．在Rt △ABE 和Rt △DCE 中{AB =DC ∠B =∠DCE BE =CE，∴Rt △ABE ≌ Rt △DCE ，∴∠BAE =∠CDE =α，AE =ED ，∵∠DCB =90°，∴∠CED =90°―∠CDE =90°―α，∵点G 为AB 的中点，点E 为BC 的中点，∴AG =BG =12AB ，CE =12BC ，∵AB =BC =CD ，∴AG =EC ，BG =BE ．∴∠BGE =∠BEG =45°∵∠AEF =90°，∠B =∠BCD =90°，∴∠BAE +∠AEB =∠AEB +∠FEM =90°，∴∠BAE =∠MEF =α．∵CF 平分∠DCM ，∠DCM =∠BCD =90°∴∠BGE =∠FCM =45°，∴∠AGE =∠ECF =135°．在△AGE 和△ECF 中{∠EAG =∠FEC AG =CE ∠AGE =∠ECF∴△AGE ≌ △ECF∴AE =EF∴AE =EF =DE ，∴∠EDF =∠DFE =180°―∠DEF 2，∵∠BAE =∠MEF =α，∴∠DEF =∠CED ―∠FEM =90°―α―α=90―2α，∴∠EDF =180°―∠DEF 2=180°―(90°―2α)2=45°+α．故选C ．11．11或4【分析】本题考查三角形的中线，根据中线的定义，得到BD =CD =12BC ，分两种情况进行讨论求解即可．【详解】解：∵AD 为△ABC 的中线，∴BC =2BD =2CD ，∵4AC =3BC ，∴AC =34BC =32CD ，AD 将△ABC 的周长分为10和15两部分，分2种情况：①AC +CD =10,AB +BD =15，则：32CD +CD =10，∴CD =4，∴BD =4,BC =8,AC =6，∴AB =15―BD =11；②AC +CD =15,AB +BD =10，则：32CD +CD =15，∴CD =6，∴BD =6,BC =12,AC =9，∴AB =10―6=4；故答案为：11或4．12．16【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，多边形内角和，过点C 作CG ⊥AD 交AD 延长线于点G ，证明△BCE≌△DCG (AAS)，将四边形ABCD 的面积转化为四边形AECG 的面积即可解答．【详解】解：过点C 作CG ⊥AD 交AD 延长线于点G ，∵ CE ⊥AB ，CG ⊥AG∴ ∠CEB =∠G =90°．∵ ∠DAB =∠BCD =90°，∠DAB +∠B +∠ADC +∠BCD =360°，∴ ∠ADC +∠B =∠ADC +∠CDG =180°，∴ ∠B =∠CDG ，在△DCG 和△BCE 中，{∠B =∠CDG ∠CEB =∠CGD CD =BC∴ △BCE≌△DCG (AAS)，∴ CE =CG =4，S △BCE =S △DCG ，∴ S △BCE +S 四边形AECD =S △DCG +S 四边形AECD ，即S 四边形ABCD =S 四边形AECG ，∴ S 四边形ABCD =S 四边形AECG =CE·CG =4×4=16．故答案为：16．13． ―8 12/0.5 ―3x 3+8x 2―1【分析】本题考查了积的乘方，运用完全平方公式，多项式与单项式的除法运算，将(―0.125)99×8100变形为(―0.125×8)99×8，计算即可；将2023220222+20242―2变形为20232(2023―1)2+(2023+1)2―2，进行计算即可；先算括号内积的乘方，再根据多项式与单项式的除法法则可计算[2(3x 2)2―48x 3+6x ]÷(―6x )．熟练掌握运算法则是解此题的关键．【详解】解：(―0.125)99×8100=(―0.125)99×899×8=(―0.125×8)99×8 =(―1)99×8=―8；2023220222+20242―2=20232(2023―1)2+(2023+1)2―2=2023220232―2×2023+1+20232+2×2023+1―2=20232 2×20232=12；[2(3x2)2―48x3+6x]÷(―6x)=(18x4―48x3+6x)÷(―6x)=18x4÷(―6x)―48x3÷(―6x)+6x÷(―6x)=―3x3+8x2―1．故答案为：―8；12；―3x3+8x2―1．14．―32【分析】本题考查分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键；根据题中“完美分式方程”的解法确定m+n，mn的值，即可求解；【详解】解：∵完美分式方程x+qx=p两个解分别为x1=m，x2=n，∴m+n=p=3，mn=q=―2，1 m +1n=m+nmn=―32；故答案为：―3215．90°50°75°【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等知识，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）根据三角形的内角和定理可求得∠ABC+∠ACB，根据角平分线定义可求得∠DBC+∠DCB，根据三角形内角和定理可得∠BDC，根据∠A=2∠BDF，可求得∠BDF，根据∠FDC=∠BDC―∠BDF计算即可得到∠FDC，根据∠EDC=180°―∠BDF―∠FDC计算可得∠EDC ；（2）如图，在CB 上截取CM =CE ，连接DM ，可证△DCE≌△DCM (SAS)，△MDF≌△GDF (SAS)，得到∠CDF =90°，∠DFG =∠DFM ，计算∠DFM 即可得到答案．【详解】解：（1）∵∠A =80°，∴∠ABC +∠ACB =180°―∠A =100°，∵BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∴∠DBC +∠DCB =12∠ABC +12∠ACB =12(∠ABC +∠ACB )=50°，∴∠BDC =180°―(∠DBC +∠DCB )=130°，∵∠A =2∠BDF ，∴∠BDF =12∠A =40°，∴∠FDC =∠BDC ―∠BDF =90°，∴∠EDC =180°―∠BDF ―∠FDC =50°，故答案为：90°；50°；（2）如图，在CB 上截取CM =CE ，连接DM ，，∵ CD 平分∠ACB ，∠ACB =30°，∴∠DCE =∠DCM =12∠ACB =15°，在△DCE 和△DCM 中，{CE =CM ∠DCE =∠DCM CD =CD，∴△DCE≌△DCM (SAS)，∴ED =MD,∠CED =∠CMD,∠CDE =∠CDM ，∵∠AEB =180°―∠CED,∠FMD =180°―∠CMD ，∴∠AEB =∠FMD ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠CBE ，∵∠A =180°―∠AEB ―∠ABE,∠BDM =180°―∠FMD ―∠CBE，∴∠A=∠BDM，∵∠BDM=2∠BDF，∴∠BDF+∠MDF=2∠BDF，∴∠MDF=∠BDF，即∠MDF=∠GDF，∵ED=MD,ED=GD，∴MD=GD，在△MDF和△GDF中，{MD=GD∠MDF=∠GDF，DF=DF∴△MDF≌△GDF(SAS)，∴∠DFG=∠DFM，∵∠CDE=∠CDM,∠MDF=∠GDF，=90°，∴∠CDF=∠CDM+∠MDF=∠CDE+∠GDF=180°×12∴∠DFM=90°―∠DCM=75°，∴∠DFG=∠DFM=75°，故答案为：75°．16．16【分析】本题主要考查了全等三角形与等腰直角三角形结合．熟练掌握四边形内角和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，是解题的关键．在BC是取点G，使BG=DE=6，连接AG，EG，得GF=16，证明∠ABC=∠ADE，结合AB=AD，得△ABG≌△ADE(SAS)，得AG=AE，∠BAG=∠DAE，得∠GAE=90°，得∠EAF=∠GAF=45°，得AF垂直平分GE，即得EF=GF=16．【详解】解：在BC是取点G，使BG=DE=6，连接AG，EG，∵BC=13，CF=9，∴GF=BC+CF―BG=16,∵在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，∵AB=AD，∴△ABG≌△ADE(SAS)，∴AG=AE，∠BAG=∠DAE，∴∠GAE=∠DAE+∠DAG=∠BAG+∠DAG=90°，∵∠FAE=45°，∴∠GAF=∠EAG―∠EAF=45°，∴∠EAF=∠GAF，∴AF垂直平分EG，∴EF=GF=16．故答案为：16．17．(1)8x+29(2)2x2y―32(3)(a―2b)2(4)2x(a―b)【分析】此题考查了整式乘法的混合运算，多项式除以单项式，因式分解，解题的关键是熟练掌握以上运算法则．（1）根据乘法公式展开，再合并求解即可；（2）利用多项式除以单项式运算法则求解即可；（3）利用完全平方公式分解因式即可；（4）利用提公因式法分解因式即可．【详解】（1）解：4(x+1)2―(2x+5)(2x―5)=4x2+8x+4―4x2+25=8x+29；（2）解：(65x3y4―0.9xy3)÷35xy3=65x3y4÷35xy3―0.9xy3÷35xy3=2x2y―32；（3）解：a2―4ab+4b2=(a―2b)2；（4）解：(a―b)(x―y)―(b―a)(x+y)=(a―b)(x―y)+(a―b)(x+y)=2x(a―b)．18．(1)P≥Q，见解析(2)3或―7或―1或―3【分析】本题考查分式的加减运算：（1）作差法比较分式的大小即可；（2）先根据分式的减法运算，求出y，再根据x是整数，y也是整数，进行求解即可．【详解】（1）解：P≥Q．理由：P―Q=x+1―4xx+1=(x+1)2―4xx+1=(x―1)2x+1，∵x>0，∴(x―1)2x+1≥0，∴P≥Q．（2）解：y=3P ―Q2=3x+1―2xx+1=―2(x+1)+5x+1=―2+5x+1，∵x，y均为整数，∴x+1的值为±1，±5，∴y的整数值为3或―7或―1或―3．19．17.5%【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据题意列出分式方程是解答本题的关键．先列出分式方程求出A和B进价之间的关系，然后计算出利润率即可．【详解】解：设A进价为a元，则售出价为1.1a元；B的进价为b元，则售出价为1.3b元；若售出A有0.6x件，则售出B有x件，根据题意得：0.1a ×0.6x +0.3bx0.6ax +bx=0.2，解得：a =53b ，故售出的A ，B 两种纪念品的件数相等，均为y 时，这个商人的总利润率为：0.1ay +0.3byay +by =0.1a +0.3ba +b =17.5%．20．(1)①∠ABC =60°，∠BPC =30°；②∠ACP 的度数为90°，50°或10°；(2)∠BPC 的度数为40°．【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质．(1)①根据三角形外角的性质可以求出∠ABC =60°，根据角平分线的定义可以求出∠ABP =30°，根据平行线的性质可得∠BPC =30°；②若直线CP 与△ABC 的一条边垂直，则要分当CP ⊥AC 时、当CP ⊥BC 时、当CP ⊥AB 时三种情况分类讨论；(2)根据三角形外角的性质和角平分线的定义可知∠PCD =12∠ACD =12(∠A +∠ABC )，再利用三角形外角等于与它不相邻的两内角之和可以求出结果 ．【详解】（1）① ∵∠A =80°，∠ACD =140°，∴∠ABC =∠ACD ―∠A =140°―80°=60°；∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABP =∠CBP =12∠ABC =30°，∵CP ∥AB ，∴∠BPC =∠ABP =30°；② ∵∠ACD =140°，∴∠ACB =180°―140°=40°，当CP ⊥AC 时，如下图所示，∠ACP =90°；当CP ⊥BC 时，如下图所示，∠BCP =90°，∴∠ACP =∠BCP ―∠ACB =90°―40°=50°；当CP ⊥AB 时，如下图所示，∴∠BCP =90°―∠BAC =30°，∴∠ACP =40°―30°=10°．综上，当直线CP 与△ABC 的一条边垂直时，∠ACP 的度数为90°，50°或10°；（2）解：∠BPC =40°，∵CP 平分∠ACD ，∴∠PCD =12∠ACD =12(∠A +∠ABC )，∴∠BPC =∠PCD ―∠CBP =12(∠A +∠ABC )―12∠ABC =12∠A =40°．21．(1)1，―1；(2)这1L 的水不能倒完，理由见解析；(3)经过99次操作之后能达到．【分析】（1）模仿阅读材料可得答案；（2）根据题意先列式表示倒出的水，再求和，根据结果即可判断；（3）先列式表示剩余水量，再建立方程求解即可．【详解】（1）解：∵1n (n +1)=A n +B n +1∴1n (n +1)=A (n +1)n (n +1)+Bn n (n +1)=(A +B )n +A n 2+n ，∴{A +B =0A =1 ，∴{B =―1A =1故答案为：1，―1．（2）解：∵12+12×13+13×14+⋯+1n×1n+1=1―12+12―13+13―14+⋯+1n―1n+1=1―1 n+1=nn+1≠1，∴这1L的水不能倒完；（3）解：由题意可得，倒了n次后剩余的水量为1―11×3―13×5―15×7―⋯⋯1(2n―1)(2n+1)=1―12(1―13+13―15+15―17+⋯+12n―1―12n+1)=1―12 (1―12n+1)=1―n2n+1=n+12n+1，∴n+1 2n+1=100199，解得n=99，经检验n=99是原方程的解，∴经过99次操作之后能达到．【点睛】本题考查分式的混合运算，分式方程的应用，异分母分式的加减法以及代数式的规律，解题的关键是读懂题意，能把一个分式化为部分分式．22．(1)(―6,―2)(2)2【分析】（1）过点C作CE⊥x轴于点E，于是可得∠CEA=90°=∠AOB，由直角三角形的两个锐角互余可得∠ECA+∠EAC=90°，由△ABC是等腰直角三角形可得AC=BA，∠CAB=90°，进而可得∠EAC+∠OAB=180°―∠CAB=90°，于是可得∠ECA=∠OAB，利用AAS可证得△ECA≌△OAB，于是可得EC=OA=2，EA=OB=4，进而可得OE=OA+EA=6，据此即可得出点C的坐标；（2）过点D作DQ⊥y轴于点Q，于是可得∠DQP=∠DQO=90°=∠POA，由直角三角形的两个锐角互余可得∠OAP +∠OPA =90°，由△APD 是等腰直角三角形可得PD =AP ，∠APD =90°，进而可得∠OPA +∠QPD =90°，于是可得∠QPD =∠OAP ，利用AAS 可证得△QPD≌△OAP ，于是可得QP =OA =2，由DE ⊥x 轴可得∠DEO =90°，根据题意可知∠EOQ =90°，再结合∠DQO =90°，进而可得DE =OQ ，则OP ―DE =OP ―OQ =QP ，于是得解．【详解】（1）解：如图①，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，∴∠CEA =90°=∠AOB ，∴∠ECA +∠EAC =90°，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC =BA ，∠CAB =90°，∴∠EAC +∠OAB =180°―∠CAB =180°―90°=90°，∴∠ECA =∠OAB ，在△ECA 和△OAB 中，{∠CEA =∠AOB ∠ECA =∠OAB AC =BA，∴△ECA≌△OAB (AAS)，∴EC =OA =0―(―2)=2，EA =OB =0―(―4)=4，∴OE =OA +EA =2+4=6，∴C (―6,―2)，故答案为：(―6,―2)；（2）解：如图②，过点D 作DQ ⊥y 轴于点Q，∴∠DQP =∠DQO =90°=∠POA ，∴∠OAP +∠OPA =90°，∵△APD 是等腰直角三角形，∴PD =AP ，∠APD =90°，∴∠OPA +∠QPD =90°，∴∠QPD =∠OAP ，在△QPD 和△OAP 中，{∠DQP =∠POA ∠QPD =∠OAP PD =AP，∴△QPD≌△OAP (AAS)，∴QP =OA =0―(―2)=2，∵DE ⊥x 轴，∴∠DEO =90°，∴DE ∥OQ ；根据题意可知：∠EOQ =90°，又∵∠DQO =90°，∴OE ∥DQ ，∴DE =OQ ，∴OP ―DE =OP ―OQ =QP =2，即：OP ―DE 的值为2．【点睛】本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等腰三角形的定义，等式的性质1，全等三角形的判定与性质，已知两点坐标求两点距离，线段的和与差，写出直角坐标系中点的坐标等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．23．（1）EF =BE +FD ；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3）（1）中的结论不成立，EF =BE ―FD，证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，夹半角模型．（1）可通过构建全等三角形来实现线段间的转换．延长EB到G，使BG=DF，连接AG．在△ABG和△AFD中，已知了一组直角，BG=DF，AB=AD，因此两三角形全等，∠BAD．由此可证可得AG=AF，∠1=∠2，进而得∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12△AEG≌△AEF，即可得EF=GE，进而可得结论．（2）思路和作辅助线的方法与（1）完全一样，只不过证明△ABM和△ADF全等中，证明∠ABM=∠ADF时，用到的等角的补角相等，其他的都一样．因此与（1）的结果完全一样．（3）按照（1）的思路，我们应该通过全等三角形来实现相等线段的转换．就应该在EB上截取BH，使BH=DF，连接AH．根据（1）的证法，我们可得出DF=BH，HE=EF，那么EF=HE=BE―BH=BE―DF．所以（1）的结论在（3）的条件下是不成立的．【详解】解：（1）延长EB到G，使BG=DF，连接AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，∠1=∠2，∠BAD，∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12∴∠GAE=∠EAF，又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF，∴EG=EF，∵EG=BE+BG，∴EF=BE+FD，故答案为：EF=BE+FD；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：如图，延长CB 至M ，使BM =DF ，连接AM ，∵∠ABC +∠D =180°,∠ABC +∠1=180°，∴∠1=∠D ，在△ABM 和△ADF 中，{AB =AD ∠1=∠D BM =DF，∴△ABM≌△ADF (SAS)，∴AM =AF,∠3=∠2，∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠2+∠4=∠EAF ，∴∠EAM =∠3+∠4=∠2+∠4=∠EAF ，在△MAE 和△FAE 中，{AM =AF ∠EAM =∠EAF AE =AE，∴△MAE≌△FAE (SAS)，∴EF =EM ，∵EM =BM +BE =BE +DF ，∴EF =BE +FD ；（3）（1）中的结论不成立，EF =BE ―FD ，证明：如图3，在EB 上截取BH =DF ，连接AH，∵∠B +∠ADC =180°，∠ADF +∠ADC =180°，∴∠B =∠ADF ．∵在△ABH 与△ADF 中，{AB =AD ∠ABH =∠ADF BH =DF，∴△ABH≌△ADF (SAS)，∴AH =AF,∠BAH =∠DAF ，∴∠HAF =∠HAD +∠DAF =∠HAD +∠BAH =∠BAD ，又∵∠EAF =12∠BAD =12∠HAF ，∴∠HAE =∠FAE ，在△HAE 和△FAE 中，{AH =AF ∠HAE =∠FAE AE =AE，∴△HAE≌△FAE (SAS)，∴EF =EH ，∵EH =BE ―BH =BE ―DF ，∴EF =BE ―FD．。