化工实验数据误差分析与数据处理
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在科学与工程中，为了清楚地表达有效数或数据的精度，通常将有效数写出并在第一位 数后加小数点，而数值的数量级由 10 的整数幂来确定，这种以 10 的整数幂来记数的方法称 科学记数法。例如：0.0088 应记为 8.8×10 ，88000（有效数 3 位）记为 8.80×10 。应注 意科学记数法中，在 10 的整数幂之前的数字应全部为有效数。 1-5-3 有效数的运算 1） 加、减法运算 以计算流体的进、 出口温度之和， 和温度之差为例： 若测得流体进、 出口温度分别为 27.1 ℃和 52.35℃，则， 温度和： 52.35 +27.1 79.45 温度差： 52.35 -27.1 25.25
-4 2
流体流动阻力实验结果表 光滑管 λ×10 Re×10
-4
局部阻力
2
λ×10
Re×10
-4
ξ
列表注意点： 1） 表头列出变量名称、单位。 2） 数字要注意有效数，要与测量仪表的精确度相适应。 3） 数字较大或较小时要用科学记数法，将 10 记入表头，注意：参数×10 =表中数据。 4） 科学实验中，记录表格要正规，原始数据要整齐、规范。 1-7-2 表中数据的内插 在我们整理数据时，如果需要的数据不能直接从记录表中查到，则可采用插值法。以插 值法求取表中中间数值时，通常采用线性插值法、图解法、拉格朗日多项式插值以及样条函 数插值法等等，我们介绍前三种方法。 例：在不稳定传热中，已知不同直径的圆柱体中心冷却速度如下表，求直径为 40mm 的圆柱中 心的冷却速度。
δ= 式中 n——测量次数；
∑ xi − x n
=
∑ di n
xi——测量值，i=1,2,3, …，n ； di——测量值与算术平均值（ x ）之差的绝对值，di= xi − x 。 1-3-4 标准误差（均方误差） 对有限测量次数，标准误差表示为：
σ=
∑ d i2 n −1
标准误差是目前最常用的一种表示精确度的方法，它不但与一系列测量值中的每个数据 有关，而且对其中较大的误差或较小的误差敏感性很强，能较好地反映实验数据的精确度， 实验愈精确，其标准误差愈小。
1-2 误差的基本概念
1-2-1 误差的来源及分类 误差是实验测量值（包括间接测量值）与真值（客观存在的准确值）之差别，误差可以 分为下面三类： 1） 系统误差 由某些固定不变的因素引起的。在相同条件下进行多次测量，其误差的数值大小正负保 持恒定，或误差随条件按一定规律变化。 系统误差主要由下述因素引起： （1）测量仪器方面，如仪器设计上的缺点，零件制造不 标准，安装不正确，未经校准等。假定在实验开始前，为研究而选用的电位计的指针不在零 点，并且偏离 0.2 毫伏时，则在此电位计读数为 1.2 毫伏时，实际上为 1 毫伏。 （2）环境因 素：外界温度、湿度及压力变化引起的误差。如温度的变化将影响物体的长度和导线的电阻； 大气压的变化将影响溶液的沸点温度； 温度的变化将影响测量仪器而产生系统误差等等。 （ 3） 测量方法误差：近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差。 （4）测量人员的习惯偏向 或动态测量时的滞后现象等。 总之，单纯增加实验次数是无法减少系统误差的影响，因为它在反复测定的情况下常保 持同一数值与同一符号，故也称为常差。系统误差有固定的偏向和确定的规律，可按原因采 取相应的措施给予校正或用公式消除。 2） 随机误差（偶然误差） 由一些不易控制的因素引起，如测量值的波动，肉眼观察误差 等等。随机误差与系统
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序 号
流量 m3/s
流速 m/s
Re× 10
-4
沿程阻 力/ m
摩擦系 数λ× 10
2
局部阻 力/ m
阻力系 数ξ
1 2 ┇
实验结果表反映了变量之间的依从关系，表达实验过程中得出的结论。该表应该简明扼要， 只包括所研究关系的数据。例流体阻力实验的λ与 Re、ξ与 Re 的综合表： 序 号 粗糙管 Re×10 1 2 ┇
π
4
D2 =
3.14 × 50.8 2 =2.03×103mm2 4
注意，π，e，g 等常数有效位数可多可少，根据需要选取。 3） 乘方与开方运算 乘方、开方后的有效数与其底数相同。 4）对数运算 对数的有效数位数与其真数相同。例如 lg2.35=3.71×10 ；lg4.0=6.0×10 。 5）在四个数以上的平均值计算中，平均值的有效数字可较各数据中最小有效位数多一位。 6）所有取自手册上的数据，其有效数按计算需要选取，但原始数据如有限制，则应服从原始 数据。 7）一般在工程计算中取三位有效数已足够精确，在科学研究中根据需要和仪器的可能，可以 取到四位有效数字。
1-2-2 实验数据的真值与平均值 1） 真值 真值是指某物理量客观存在的确定值，它通常是未知的。虽然真值是一个理想的概念， 但对某一物理量经过无限多次的测量，出现的误差有正、有负，而正负误差出现的概率是相 同的。因此，若不存在系统误差，它们的平均值相当接近于这一物理量的真值。故真值等于 测量次数无限多时得到的算术平均值。由于实验工作中观测的次数是有限的，由此得出的平 均值只能近似于真值，故称这个平均值为最佳值。 2） 平均值 化工中常用的平均值有： （1）算术平均值 设 x1,x2,…，xn 为各次测量值， n 为测量次数，则算术平均值为：
2
1-3 误差的表示方法
1-3-1 绝对误差 测量值与真值之差的绝对值称为测量值的误差，即绝对误差。在实际工作中常以最佳值 代替真值，测量值与最佳值之差称为残余误差，习惯上也称为绝对误差。 设测量值用 x 表示，真值用 X 表示，则绝对误差 D 为 D=|X-x| 如在实验中对物理量的测量只进行了一次，可根据测量仪器出厂鉴定书注明的误差，或 取测量仪器最小刻度值的一半作为单次测量的误差。如某压力表精（确）度为 1.5 级，即表 明该仪表最大误差为相当档次最大量程的 1.5%， 若最大量程为 0.4MPa， 该压力表的最大误差 为： 0.4×1.5%=0.006MPa 化工原理实验中最常用的 U 形管压差计、转子流量计、秒表、量筒等仪表原则上均取其 最小刻度值为最大误差，而取其最小刻度值的一半作为绝对误差计算值。 1-3-2 相对误差 绝对误差 D 与真值的绝对值之比，称为相对误差： e%=D/|X| 式中真值 X 一般为未知，用平均值代替。 1-3-3 算术平均误差 算术平均误差的定义为：
-3 4
由于运算的结果，具有两位欠准值，和有效数的法则不符，故第二位欠准数应按四舍五 入法则舍弃。所以两者的结果应是 79.5 和 25.3。 从上面的例子可以看出，为了保证间接测量值的精度，在设计实验装置时，对所选取的 仪器仪表其精度要求一致，否则系统的精度将受到精度较低的仪器仪表所限制。 2） 乘、除法运算 乘积或商的有效数，其位数与各乘、除数中有效数位数最少的相同，如测得管内径 D=50.8mm，其面积 A 为： A=
-1 -1
5
第二节 实验数据处理
1-6 概述 在整个实验过程中实验数据处理是一个重要的环节。它的目的是使人们清楚地观察到各 变量之间的定量关系，以便进一步分析实验现象，得出规律，指导生产设计。 数据处理有三种方法： 1） 列表法 将实验数据制成表格。它显示了各变量之间的对应关系，反映变 量之间的变化规律，是描绘曲线的基础。 2） 图示法 将实验数据在坐标纸上绘成曲线，直观而清晰地表达出各变量之间的相互关系，分析极 值点、转折点、变化率及其它特性，便于比较，还可以根据曲线得出相应的Байду номын сангаас程式；某些精 确的图形还可用于未知数学表达式情况下进行图解积分和微分。 3）回归分析法 借助于最小二乘法将实验数据进行统计处理，得出最大限度地符合实验数据的拟合方程 式，并判断拟合方程的有效性。
-4 -4 -4
图 1-1 精密度、正确度和精确度的含义示意图
A 的系统误差小而随机误差大，即正确度高而精密度低；B 的系统误差大而随机误差小， 即正确度低而精密度高；C 的系统误差与随机误差都小，表示正确度和精密度都高，即精确 度高。
1-5 实验数据的有效数与记数法
1-5-1 有效数字 任何测量结果或计算的量，总是表现为数字，而这些数字就代表了欲测量的近似值。究 竟对这些近似值应该取多少位数合适呢？应根据测量仪表的精度来确定，一般应记录到仪表 最小刻度的十分之一位。例如：某液面计标尺的最小分度为 1mm，则读数可以到 0.1mm。如在 测定时液位高在刻度 524mm 与 525mm 的中间，则应记液面高为 524.5mm，其中前三位是直接 读出的，是准确的，最后一位是估计的，是欠准的，该数据为 4 位有效数。如液位恰在 524mm 刻度上，该数据应记为 524.0mm，若记为 524mm，则失去一位（末位）欠准数字。 总之，有效数中应有而且只能有一位（末位）欠准数字。 由上可见， 当液位高度为 524.5mm 时， 最大误差为±0.5mm， 也就是说误差为末位的一半。 1-5-2 科学记数法
1-4 精密度、正确度和精确度
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测量的质量和水平，可以用误差的概念来描述，也可以用精确度等概念来反映，具体介 绍如下： 1-4-1 精密度 在测量中所测得的数值重现的程度，称为精密度。精密度高则随机误差小。如果实验的 相对误差为 0.01%且误差由随机误差引起，则可以认为精密度为 10 。 1-4-2 正确度 指在规定条件下，测量中所有系统误差的综合。正确度高则系统误差小。如果实验的相 对误差为 0.01%且误差由系统误差引起，则可以认为正确度为 10 。 1-4-3 精确度 表示测量值与真值接近的程度，为测量中所有系统误差和随机误差的综合。若实验的相 对误差为 0.01%且误差由系统误差和随机误差共同引起，则可以认为精确度为 10 。 对于实验和测量来说，精密度高，正确度不一定高。正确度高精密度也不一定高。但当 精确度高时，则精密度与正确度都高。 图 1 表 示 了 精 密 度 、 正 确 度 和 精 确 度 的 含 义 。
第一章
化工实验数据误差分析与数据处理
第一节 实验数据误差分析
在科学与工程中，为了清楚地表达有效数或数据的精度，通常将有效数写出并在第一位 数后加小数点，而数值的数量级由 10 的整数幂来确定，这种以 10 的整数幂来记数的方法称 科学记数法。例如：0.0088 应记为 8.8×10 ，88000（有效数 3 位）记为 8.80×10 。应注 意科学记数法中，在 10 的整数幂之前的数字应全部为有效数。 1-5-3 有效数的运算 1） 加、减法运算 以计算流体的进、 出口温度之和， 和温度之差为例： 若测得流体进、 出口温度分别为 27.1 ℃和 52.35℃，则， 温度和： 52.35 +27.1 79.45 温度差： 52.35 -27.1 25.25
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流体流动阻力实验结果表 光滑管 λ×10 Re×10
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局部阻力
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λ×10
Re×10
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ξ
列表注意点： 1） 表头列出变量名称、单位。 2） 数字要注意有效数，要与测量仪表的精确度相适应。 3） 数字较大或较小时要用科学记数法，将 10 记入表头，注意：参数×10 =表中数据。 4） 科学实验中，记录表格要正规，原始数据要整齐、规范。 1-7-2 表中数据的内插 在我们整理数据时，如果需要的数据不能直接从记录表中查到，则可采用插值法。以插 值法求取表中中间数值时，通常采用线性插值法、图解法、拉格朗日多项式插值以及样条函 数插值法等等，我们介绍前三种方法。 例：在不稳定传热中，已知不同直径的圆柱体中心冷却速度如下表，求直径为 40mm 的圆柱中 心的冷却速度。
δ= 式中 n——测量次数；
∑ xi − x n
=
∑ di n
xi——测量值，i=1,2,3, …，n ； di——测量值与算术平均值（ x ）之差的绝对值，di= xi − x 。 1-3-4 标准误差（均方误差） 对有限测量次数，标准误差表示为：
σ=
∑ d i2 n −1
标准误差是目前最常用的一种表示精确度的方法，它不但与一系列测量值中的每个数据 有关，而且对其中较大的误差或较小的误差敏感性很强，能较好地反映实验数据的精确度， 实验愈精确，其标准误差愈小。
1-2 误差的基本概念
1-2-1 误差的来源及分类 误差是实验测量值（包括间接测量值）与真值（客观存在的准确值）之差别，误差可以 分为下面三类： 1） 系统误差 由某些固定不变的因素引起的。在相同条件下进行多次测量，其误差的数值大小正负保 持恒定，或误差随条件按一定规律变化。 系统误差主要由下述因素引起： （1）测量仪器方面，如仪器设计上的缺点，零件制造不 标准，安装不正确，未经校准等。假定在实验开始前，为研究而选用的电位计的指针不在零 点，并且偏离 0.2 毫伏时，则在此电位计读数为 1.2 毫伏时，实际上为 1 毫伏。 （2）环境因 素：外界温度、湿度及压力变化引起的误差。如温度的变化将影响物体的长度和导线的电阻； 大气压的变化将影响溶液的沸点温度； 温度的变化将影响测量仪器而产生系统误差等等。 （ 3） 测量方法误差：近似的测量方法或近似的计算公式等引起的误差。 （4）测量人员的习惯偏向 或动态测量时的滞后现象等。 总之，单纯增加实验次数是无法减少系统误差的影响，因为它在反复测定的情况下常保 持同一数值与同一符号，故也称为常差。系统误差有固定的偏向和确定的规律，可按原因采 取相应的措施给予校正或用公式消除。 2） 随机误差（偶然误差） 由一些不易控制的因素引起，如测量值的波动，肉眼观察误差 等等。随机误差与系统
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序 号
流量 m3/s
流速 m/s
Re× 10
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沿程阻 力/ m
摩擦系 数λ× 10
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局部阻 力/ m
阻力系 数ξ
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实验结果表反映了变量之间的依从关系，表达实验过程中得出的结论。该表应该简明扼要， 只包括所研究关系的数据。例流体阻力实验的λ与 Re、ξ与 Re 的综合表： 序 号 粗糙管 Re×10 1 2 ┇
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D2 =
3.14 × 50.8 2 =2.03×103mm2 4
注意，π，e，g 等常数有效位数可多可少，根据需要选取。 3） 乘方与开方运算 乘方、开方后的有效数与其底数相同。 4）对数运算 对数的有效数位数与其真数相同。例如 lg2.35=3.71×10 ；lg4.0=6.0×10 。 5）在四个数以上的平均值计算中，平均值的有效数字可较各数据中最小有效位数多一位。 6）所有取自手册上的数据，其有效数按计算需要选取，但原始数据如有限制，则应服从原始 数据。 7）一般在工程计算中取三位有效数已足够精确，在科学研究中根据需要和仪器的可能，可以 取到四位有效数字。
1-2-2 实验数据的真值与平均值 1） 真值 真值是指某物理量客观存在的确定值，它通常是未知的。虽然真值是一个理想的概念， 但对某一物理量经过无限多次的测量，出现的误差有正、有负，而正负误差出现的概率是相 同的。因此，若不存在系统误差，它们的平均值相当接近于这一物理量的真值。故真值等于 测量次数无限多时得到的算术平均值。由于实验工作中观测的次数是有限的，由此得出的平 均值只能近似于真值，故称这个平均值为最佳值。 2） 平均值 化工中常用的平均值有： （1）算术平均值 设 x1,x2,…，xn 为各次测量值， n 为测量次数，则算术平均值为：
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1-3 误差的表示方法
1-3-1 绝对误差 测量值与真值之差的绝对值称为测量值的误差，即绝对误差。在实际工作中常以最佳值 代替真值，测量值与最佳值之差称为残余误差，习惯上也称为绝对误差。 设测量值用 x 表示，真值用 X 表示，则绝对误差 D 为 D=|X-x| 如在实验中对物理量的测量只进行了一次，可根据测量仪器出厂鉴定书注明的误差，或 取测量仪器最小刻度值的一半作为单次测量的误差。如某压力表精（确）度为 1.5 级，即表 明该仪表最大误差为相当档次最大量程的 1.5%， 若最大量程为 0.4MPa， 该压力表的最大误差 为： 0.4×1.5%=0.006MPa 化工原理实验中最常用的 U 形管压差计、转子流量计、秒表、量筒等仪表原则上均取其 最小刻度值为最大误差，而取其最小刻度值的一半作为绝对误差计算值。 1-3-2 相对误差 绝对误差 D 与真值的绝对值之比，称为相对误差： e%=D/|X| 式中真值 X 一般为未知，用平均值代替。 1-3-3 算术平均误差 算术平均误差的定义为：
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由于运算的结果，具有两位欠准值，和有效数的法则不符，故第二位欠准数应按四舍五 入法则舍弃。所以两者的结果应是 79.5 和 25.3。 从上面的例子可以看出，为了保证间接测量值的精度，在设计实验装置时，对所选取的 仪器仪表其精度要求一致，否则系统的精度将受到精度较低的仪器仪表所限制。 2） 乘、除法运算 乘积或商的有效数，其位数与各乘、除数中有效数位数最少的相同，如测得管内径 D=50.8mm，其面积 A 为： A=
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第二节 实验数据处理
1-6 概述 在整个实验过程中实验数据处理是一个重要的环节。它的目的是使人们清楚地观察到各 变量之间的定量关系，以便进一步分析实验现象，得出规律，指导生产设计。 数据处理有三种方法： 1） 列表法 将实验数据制成表格。它显示了各变量之间的对应关系，反映变 量之间的变化规律，是描绘曲线的基础。 2） 图示法 将实验数据在坐标纸上绘成曲线，直观而清晰地表达出各变量之间的相互关系，分析极 值点、转折点、变化率及其它特性，便于比较，还可以根据曲线得出相应的Байду номын сангаас程式；某些精 确的图形还可用于未知数学表达式情况下进行图解积分和微分。 3）回归分析法 借助于最小二乘法将实验数据进行统计处理，得出最大限度地符合实验数据的拟合方程 式，并判断拟合方程的有效性。
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图 1-1 精密度、正确度和精确度的含义示意图
A 的系统误差小而随机误差大，即正确度高而精密度低；B 的系统误差大而随机误差小， 即正确度低而精密度高；C 的系统误差与随机误差都小，表示正确度和精密度都高，即精确 度高。
1-5 实验数据的有效数与记数法
1-5-1 有效数字 任何测量结果或计算的量，总是表现为数字，而这些数字就代表了欲测量的近似值。究 竟对这些近似值应该取多少位数合适呢？应根据测量仪表的精度来确定，一般应记录到仪表 最小刻度的十分之一位。例如：某液面计标尺的最小分度为 1mm，则读数可以到 0.1mm。如在 测定时液位高在刻度 524mm 与 525mm 的中间，则应记液面高为 524.5mm，其中前三位是直接 读出的，是准确的，最后一位是估计的，是欠准的，该数据为 4 位有效数。如液位恰在 524mm 刻度上，该数据应记为 524.0mm，若记为 524mm，则失去一位（末位）欠准数字。 总之，有效数中应有而且只能有一位（末位）欠准数字。 由上可见， 当液位高度为 524.5mm 时， 最大误差为±0.5mm， 也就是说误差为末位的一半。 1-5-2 科学记数法
1-4 精密度、正确度和精确度
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测量的质量和水平，可以用误差的概念来描述，也可以用精确度等概念来反映，具体介 绍如下： 1-4-1 精密度 在测量中所测得的数值重现的程度，称为精密度。精密度高则随机误差小。如果实验的 相对误差为 0.01%且误差由随机误差引起，则可以认为精密度为 10 。 1-4-2 正确度 指在规定条件下，测量中所有系统误差的综合。正确度高则系统误差小。如果实验的相 对误差为 0.01%且误差由系统误差引起，则可以认为正确度为 10 。 1-4-3 精确度 表示测量值与真值接近的程度，为测量中所有系统误差和随机误差的综合。若实验的相 对误差为 0.01%且误差由系统误差和随机误差共同引起，则可以认为精确度为 10 。 对于实验和测量来说，精密度高，正确度不一定高。正确度高精密度也不一定高。但当 精确度高时，则精密度与正确度都高。 图 1 表 示 了 精 密 度 、 正 确 度 和 精 确 度 的 含 义 。
第一章
化工实验数据误差分析与数据处理
第一节 实验数据误差分析
