10.1牙膏的销售量
某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。为此，销售部的研究人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表1-1（其中价格差指其它厂家平均价格与公司销售价格之差）。试根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据
表1-1牙膏销售量与销售价格、广告费用等数据
一、问题重述
根据过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表1-1。根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据
二、问题分析
由于牙膏是生活必需品，对大多属顾客来说，在购买同类产品的牙膏是更多地会在意不同品牌之间的价格差异，而不是它们的价格本身。因此，在研究各个因素对销量的影响时，用价格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合适。
三、模型假设
1.画出牙膏销售量与价格差，公司投入的广告费用的散点图
2.由散点图确定两个函数模型，再由这两个函数模型解出回归模型
3.对模型进行改进，添加新的条件确定更好的回归模型系数，得到新的回归模型
4.对模型进一步改进，确定最终的模型
四、符号约定
牙膏销售量为y，其他厂家平均价格和公司销售价格之差（价格差）为x1，公司投入的广告费用为x2，其他厂家平均价格和公司销售价格分别为x3和x4,x1=x3-x4。基于上面的分析，我们仅利用1x和2x来建立y的预测模型。
五、模型的建立和求解
1.基本模型
利用表1-1的数据用matlab作出y与x1的散点图（图1-1），y与x2的散点图（图1-2）
代码如下：
x1=[-0.05 0.25 0.6 0 0.25 0.2 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.2 0.1 0.4 0.45 0.35 0.3 0.5 0.5 0.4 -0.05 -0.05 -0.1 0.2 0.1 0.5 0.6 -0.05 0 0.05 0.55];
x2=[5.5 6.75 7.25 5.5 7 6.5 6.75 5.25 5.25 6 6.5 6.25 7 6.9 6.8 6.8 7.1 7 6.8 6.5 6.25 6 6.5 7 6.8 6.8
6.5 5.75 5.8 6.8];
y=[7.38 8.51 9.52 7.5 9.33 8.28 8.75 7.87 7.1 8 7.89 8.15 9.1 8.86 8.9 8.87 9.26 9 8.75 7.95 7.65
7.27 8 8.5 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26];
A1=polyfit(x1,y,1);
yy1=polyval(A1,x1);
A2=polyfit(x2,y,2);
x5=5:0.05:7.25;
yy2=polyval(A2,x5);
subplot(1,2,1);plot(x1,y,'o',x1,yy1);
title('图1 y对x1的散点图');
subplot(1,2,2);plot(x2,y,'o',x5,yy2);
title('图2 y对x2的散点图');
图（1-1）与图（1-2）
从图1可以发现，随着1x 的增加，y 的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型：
011y x ββε=++（1）
拟合的（其中ε是随机误差）。而在图2中，当x2增大时，y 有向上弯曲增加的趋势，图中的曲线是用二次函数模型:
021222y x x βββε=+++（2）
综合上面的分析，结合模型（1）和（2）建立如下的回归模型:
02112232y x x x ββββε=++++（3）
（3）式右端的x1和x2称为回归变量（自变量），02
112232x x x ββββ+++是给定价格差x1，广告费用x2时，牙膏销售量y 的平均值，其中的参数0123,,,ββββ称为回归系数，由表1-1的数据估计，影响y 的其他因素作用都包含在随机误差ε中。如果模型选择合适，ε应该大致服从值为0的正态分布。 2. 模型求解
在刚刚运行的代码后面，继续使用regress 工具求解，代码为：
x6=[ones(30,1) x1' x2' (x2.^2)']; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y',x6,0.05) 运行结果如图（1-3）
得到模型（3）的回归系数估计值及其置信区间（置信水平α=0.05）、检验统计量2
R ,F ，p ，2s 得结果见表1-2
图（1-3）
3. 结果分析
表1-2显示，2
R =0.9054指因变量y （销售量）的90.54%可由模型决定，F 值远远超过F 检验的临界值，P 远小于α，因而模型（3）整体来看是可用的
表1-2的回归系数中
2β的置信区间包含零点，
表示回归变量2
x （对因变量y 的影响）是不太显著的，
但由于2
x 是显著的，我们仍将2
x 留在模型中
4. 销售量预测
将回归系数的估计值带入模型（3），即可预测公司未来某个销售周期牙膏的销售量y ，预测值记为y ∧
，得到模型（3）的预测方程：
02
123122y x x x ββββ∧
∧
∧
∧
=+++（4）
只需要知道该销售周期的价格差x1和投入的广告费用x2,就可以计算预测值y ∧
。
5. 模型改进
模型（3）中回归变量x1和x2对因变量y 的影响是相互独立的，即牙膏销售量y 的均值与广告费用
