毕业论文行列式的求法汇总

线性代数行列式计算总结线性代数中的行列式是一种非常重要的数学工具，它在矩阵理论、线性方程组的解法、线性空间与线性变换以及特征值与特征向量的计算中都起到至关重要的作用。

行列式的计算方法有很多，下面我将总结一下常见的行列式计算方法。

首先，我们先来定义什么是一个行列式。

行列式是一个标量，它是一个n阶方阵所带的一个数值特征。

对于一个n阶方阵A，它的行列式表示为，A，或者det(A)，它的计算方法如下所示。

1.二阶行列式的计算方法对于一个二阶方阵A=，a11a12a21a2它的行列式计算方法是：，A，=a11*a22-a12*a212.三阶行列式的计算方法对于一个三阶方阵A=，a11a12a13a21a22a2a31a32a3它的行列式计算方法是：，A，=a11*a22*a33+a12*a23*a31+a13*a21*a32-a13*a22*a31-a12*a21*a33-a11*a23*a323.高阶行列式的计算方法对于一个高阶方阵A，可以通过对其中一行或一列进行展开来计算行列式。

展开的方式有很多种，常用的有代数余子式展开和化简为三角行列式展开两种。

3.1代数余子式展开对于一个n阶方阵A，选择一行或一列展开，计算每个元素的代数余子式，然后按照正负交替的方式相乘相加得到行列式的值。

具体步骤如下：- 选择第i行展开，行列式的值为，A， = ai1*C_1i + ai2*C_2i+ ... + ain*C_ni- 其中，C_ij是元素a_ij的代数余子式，计算方法是去掉第i行和第j列剩余元素构成的(n-1)阶子阵的行列式。

3.2三角行列式展开对于一个n阶方阵A，通过初等变换将方阵化为上三角形或下三角形，然后计算对角线的乘积得到行列式的值。

除了以上两种展开的方法，还可以通过矩阵的特征值和特征向量计算行列式的值。

具体步骤是：-计算矩阵A的特征值λ_1,λ_2,...,λ_n-计算矩阵A的特征向量v_1,v_2,...,v_n-行列式的值等于特征值的乘积：，A，=λ_1*λ_2*...*λ_n行列式的计算方法还有很多，比如拉普拉斯展开、按行或按列展开等。

江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文行列式的计算与技巧The calculation of determinantand the skill姓名：* ***学号：090*0*0**2学院：数学与信息科学学院专业：数学与应用数学指导老师：*完成时间：2013-3-11行列式的计算与技巧【摘要】行列式是代数的一个重要的内容，也是讨论线性方程组的一个非常有力的工具,在数学的许多分支上有着极其广泛的应用。

同时，行列式的计算非常的灵活多变，有很强的技巧和规律性。

本文则主要讨论行列式的一些常用的方法，并坚持从实例出发，在以上几种常用方法的基础上，探讨并给出行列式的其他几种计算方法。

如：三角形法、升阶法、数学归纳法、递推法、提取因子法、范德蒙行列式法、拆行法等等，通过以上这些方法基本可以解决一般的n阶行列式的计算问题。

【关键词】行列式递推法范德蒙行列式降阶法The calculation of determinant and the skill【Abstract】Determinant is an important content of algebra, and discussthe system of linear equations is a very powerful tool, many branches of mathematics has the extremely widespread application. At the same time, the determinant calculation is very flexible, strong skills and regularity. This article mainly discuss some commonly used methods of the determinant, and proceed from the instance and on the basis of the above several kinds of commonly used method, and gives several calculation methods of the determinant are discussed. Such as: the triangle method, order method, mathematical induction, recursive method, extraction factor method, vandermonde determinant method, the split line method, and so on, through the above these methods can solve the general basic n-th-order determinant calculation problem.【Key words】：The determinant, Recursive method, Vandermonde determinant，Order reduction method目录1 引言 (1)2行列式的定义 (1)2.1 用定义法计算行列式 (1)3 行列式的相关性质 (3)3.1利用相关性质得到几种特殊解法 (3)3.1.1对角线法则计算行列式 (3)3.1.2 三角形法计算行列式 (3)3.1.2.1箭形(或爪形)行列式 (4)3.1.3加边法（升阶法）计算行列式 (5)3.1.4 分解行列法(又称拆项法)计算行列式 (6)3.1.5降阶法计算行列式 (7)4递推法计算行列式 (9)5 特征值法计算行列式 (10)6 数学归纳法计算行列式 (10)7 提取因子法计算行列式 (11)8 利用范德蒙行列式计算行列式 (12)9 利用拉普拉斯展开定理计算行列式 (14)10 因式分解法计算行列式 (15)11 乘法定理法（行列式乘积法）计算行列式 (16)12 小结 (17)参考文献 (18)1 引言行列式是一个基本的数学工具，是线性代数的重要研究对象，无论是在高精尖端科学领域，还是在日常工业生产、工程施工或经济管理中都有着广泛的应用。

（先将行列式表成两个低阶同型的行列式的线形 关系式，再用递推关系及某些低阶（2阶，1阶） 行列式的值求出 D 的值）
13
例
计算2n阶行列式
a D2 n 0 a c c
0 b d
b
0
解 按第一行展开,有
a D2 n a 0 c 0 0 a b c d d 0 0 0 b
1
1、定义法：适用于0比较多的行列式． 2、利用性质化三角形行列式 3、 按行（列）展开
4、 其他方法： 析因子法 箭形行列式 行（列）和相等的行列式 递推公式法 加边法（升级法） 拆项法 数学归纳法
2
（一）析因子法
例：计算
1 1 2 D 1 2 x 2 3 2 3
2 3 2 3 1 5 2 1 9 x
n 1
D
n1 n 1 n 3 n 2 n 1 2 n 2 n1
解
1 n( n 1) 1 D 2 1 1
rn rn1 rn1 rn 2 r2 r1 n( n 1) 2
2 3 n 1
3 4 1 2
n1 n n 1 n3 n2 n 2 n1
第1列，得：
a0 c1 Dn1 c2 cn
b1 a1
b2 a2
Dn1
bi ci a1a2 an (a0 ) i 1 ai
5
n
可转为箭形行列式的行列式：
1 a1 1 1 1 a2 1) 1 a1 x 2) x x a2 1 1 , ai 0, i 1,2,3 n. 1 1 an
18
Dn x1 x2 xn1a xn Dn1 Dn1 x1 x2 xn2a xn1 Dn2 ,

ANAMtm tJhi・I TV本科生毕业论文题目：姓名：学号：系别：年级：专业：指导教师：指导教师：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用2008020230462008 级数学职称:副教授职称：讲师2012年4月20日安顺学院毕业论文任务书数学与计算机科学系数学与应用数学专业2008年级学生姓名韦诚毕业论文题目：行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用任务下达日期：2011年9月5日毕业论文写作日期：20H年9月5日至2012年4月20指导老师签字:学生签字:《高等代数》是数学专业学生的一门必修基础课程。

行列式的计算是高等代数中的重点、难点，特别是n阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。

讣算n阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。

当看到一个貌似非常复朵的n阶行列式时，仔细观察, 会发现其实它们的元素在行或列的排列方式上都有某些规律。

掌握住这些规律, 选择合适的il•算方法，能使我们在极短的时间内达到事半功倍的效果！本文首先介绍n阶行列式的定义、性质，再归纳总结行列式的各种汁算方法、技巧及其在线性方程组中的初步应用。

行列式是线性方程组理论的一个组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广。

它不仅是解线性方程组的重要工具，而且在其它一些学科分支中也有广泛的应用。

关键词：n阶行列式计算方法归纳线性方程组ABST RACTAlgebra is a courses of mathematics specialized coinpulsory of the basic mathematic- The determinant's calculation is the most difficulty in higher algebra, especially, the n order determinant's calculation , alway is student's difficulty in the learning process, so ,it is difficult to master for ours • There are a lot of calculations of n order determinant in method , but when we say a problem of the calculation of n order determinant, according to its characteristics, selecting the appropriate method to solving is a very good idea. When you see a seemingly so complex n order determinant, we should observe them carefully,“nd we will find that their elements are arranged in row s or columns have some regularity. Grasping of these laws, finding a appropriate calculation method can help us to achieve a multiplier effect in a very short time! This paper mainly introduces the definition of n order determinant, nature, and calculation methods, the skills of calculation of n order determinant and application in linear equation group. Determinant is an importanf theory in linear equations and it is an indis pensable part of linear equations, determinant is also the middle school mathematics' content raise and proinotion. It is not only the solution of linear equations of the important took but also in some other branch has a wide range of app lications.Key words: n order determinant calculation method induce linear equations引言1屛介行列式的定义 2屛介行列式的性质 3计算屛介行列式的具体方法与技巧利用行列式定义直接计算 利用行列式的性质计算 化为三角形行列式逆推公式法拆开法3.4 降阶法 3.6 利用范德蒙德行列式 3.7 加边法（升阶法） 3.8数学归纳法 10 4行列式在线性方程组中的初步应用 11 4.1克拉默（Gramer ）法则 12 4.2克拉默（Gramer ）法则的应用1211421用克拉默（Gramer）法则解线性方程组13 422克拉默法则及其推论在几何上的应用14 结论16 参考文献17 致谢1817解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学中所学的代数中，解方程占有重要的地位•因此这个问题是读者所熟悉的.比如说，如果我们知道了一段导线的电阻r它的两端的电位差y,那么通过这段导线的电流强度八就可以有关系式ir = V求出来•这就是所谓解一元一次方程的问题•在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组.线性方程组的理论在数学中是基本的也是®要的内容.对于二元线性方程组当4心22-如佝*0时，次方程组有惟一解，即”•…“ _ “山一如勺Aj — * ---------------- —^*11^22 -如切如“处-0皿21我们称5如-mSl为二级行列式，用符号表示为于是上述解可以用二级行列式叙述为：当二级行列式时，该方程组有惟一解，即对于三元线性方程组有相仿的结论•设有三元线性方程组«21(»2 2«11 %“21 ©2勺心22你如一竹S I =«21如5內+如兀2+"/3=久+"22X2 +^23^3 =®， «3 內 +432大2 +"33X3 =%利'彳弋 工弋 1^22^^33 + ^12^23^^31 + ^13^21^^321^23^32 ^12^^21^^33 ^^13^^22^31 丿7^5行列式，用符号表示为:"H "22"33 +“12°23"刃 +«)3«21^32 "^^11^23^32 "如①心彳 _'WWsi =我们有：当三级行列式«11 «12 "|3«21 «22 «23“31 ^32 “33时，上述三元线性方程组有惟一解，解为4厶X 严+，尤2=〒，a a其中S «12 勺3«H 勺"|3£ =■■■«23,J,="21 勺 “23，〃3 =5 U" b 、妇"32 “33«31 % "33如］“32 S在本论文中我们将把这个结果推广到畀元线性方程组4内+4胪2+…+你忑=勺 “2 內+"22兀2+…+ “2届=2弘内+0小：2+…+ 4汁為="/<的情形•为此，我们首先要给出〃阶行列式的定义并讨论它的性质，这就是 本论文的主要内容.«11 ®2 ®3"21 ^22 "23 "31 “32 “33cl =1 n阶行列式的定义“21 “22.... -^211"川...... 弘"等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积仙几（1）的代数和，这里jj2…h是12…，”的一个排列，每一项（5）都按下列规则带有符号：当j|j2…人是偶排列时，（1）带正号，当是奇排列时，（1）带有负号•这一定义可以写成二2（_严"5畑..％恥…人这里X表示对所有阶排列求和・丿"2・・・人定义表明，为了计算《阶行列式，首先作所有有可能山位于不同行不同列元素构成的乘积。

毕业论文文献综述信息与计算科学行列式的计算方法和应用一． 前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。

行列式的应用早已超出了代数的范围，成为解析几何、数学分析、微分方程、概率统计等数学分支的基本工具，因此对许多人来说，掌握行列式的计算是重要的。

而对行列式进行计算不是唯一目的，我们还需要利用行列式去解决一些实际问题，使复杂问题简单化。

在了解行列式的概念、性质的基础上，讨论行列式的求解方法，其中包括化三角法，利用范德蒙行列式求解以及利用拉普拉斯定理的解法。

通过对行列式的求解方法的研究，探讨行列式在求解线性方程组中的应用。

二． 主题部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）我们知道,行列式的计算灵活多变，需要有较强的技巧。

当然，任何一个n 阶行列式都可以由它的定义去计算其值。

但由定义可知，n 阶行列式的展开式有!n 项，计算量很大，一般情况下不用此法，但如果行列式中有许多零元素，可考虑此法。

值的注意的是：在应用定义法求非零元素乘积项时，不一定从第1行开始，哪行非零元素最少就从哪行开始。

以下给出了行列式的概念及性质和行列式的计算方法包括：化三角法，利用范德蒙行列式求解行列式以及利用拉普拉斯定理的解法等等，涵盖了行列式解法的许多方面。

从这些解法中我们看到了计算行列式的巧妙之处。

2.1行列式的概念及性质2.1.1行列式的概念[9]n 级行列式nnn n nna a a a a a a a a (212222111211)等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a ...2121的代数和，这里n j j j ...21是1,2，...，n 的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当n j j j ...21是偶排列时，带有正号；当n j j j ...21是奇排列时，带有负号。

行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式0004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn nnb a a a a a b a a a a ++=+KM O M M M K K 21211211n 111D . 解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 000n n na a ab b b b b +==KK M M M O M K.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n nn n ---=ΛM O M M ΛΛ212121. 解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===ΛM O M MΛΛ212121n Dmx x x m x x x m x n n n n i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=ΛM O M M ΛΛ2221111mm x x m x n n i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=ΛM OM M ΛΛ0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m n i i n 11. 2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn ΛM M O M M M ΛΛΛ. 解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111*********D n ---------=ΛM M O M M M ΛΛΛn n 1111120022200021321----=ΛM M O M M M ΛΛΛn n 0111100011000011132122ΛM M O M M M ΛΛΛ+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211ΛΛM M O M M MΛMΛn n a a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n ΛΛM M O M M M ΛΛΛ ()()()()()n n n a a a n a a a n ΛΛ21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解．2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a x x x x n n nKKM M O M M M O K K -----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211K .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++=Λ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nnnn nnB A BC A •=0， nn nn nnnnnn B A B C A •=0. 例7 解行列式γβββββγββββγλΛMO M M M M ΛΛΛb bbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=ΛM O M M M M ΛΛΛ00000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=ΛM O M M M M ΛΛΛ00000021n b a a aa n ()()βγβγβγλ--•-+-=ΛMO M M Λ000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110ΛΛM M O M M M ΛΛΛ. 解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D ΛΛM M OM M M ΛΛΛ=. 再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------ΛΛM M O M M M ΛΛΛ. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：10010000010000011111)1n D ------=ΛΛM M O M M M ΛΛΛ（ ()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos ΛΛM M O M M M ΛΛΛ=n D . 解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1ΛΛM M O M M M ΛΛΛ=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 20000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k ΛM O M M M ΛΛΛ•-=++++k k()10cos 21001cos 21001cos 11ΛM O M M M ΛΛΛβββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立． 即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ． 在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n ΛΛM M M O M M M M ΛΛΛ=.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--•+•=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9；当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221ΛΛM M O M M M ΛΛΛ.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-110010000001100001010001D 133221ΛΛM M O M M M ΛΛΛ .1101000001100010000110001000001100011000113322113322nnn nn n a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--ΛΛM MO M M M ΛΛΛΛΛM M O M M M ΛΛΛ上面第一个行列式的值为1，所以nnn n a a a a a a a ------=-11001000010011D 13321ΛΛM M O M MΛΛ 111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a ΛΛΛ2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D ΛΛMM MM ΛΛΛ21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ΛΛΛM M O M MΛΛΛ21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++=Λ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121Λ.由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121Λ.故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121Λ.3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλΛ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλΛ21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλΛ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零． 证明：因为n A λλλΛ21=，则A 可逆()n i i n ΛΛ2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ.即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n nn a a a a a a a a a a M OKK K 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a ΛO M M M 321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式． 4.1.2 计算方法 由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a K ΛM O M M M K K K 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a OM Λ2211210，nnnc a c a c a a b b b M N Λ2211012，nnn b b b a a c a c a c ΛNM 2101122，121122a b b b c a c a c a nn nΛMO这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321OM Λ，其中.,2,1,0n i a i Λ=≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i Λ=列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321OM Λ nni ia a a a a 00011113221OM Λ∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321Λ. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如n nn b b b a a c a c a c ΛNN 2101122，nn n a b c a b c a b c a OO2221110，n n nc a c a c a a b b b N N Λ2211012，0111222a c b a c b a c b a n n n OM O ，1021122c a c a b a b c a b nn n NN M ，n nna c a c a cb b b a O OΛ2211210，0121122a b b b c a c a c a nn nΛO O，nnn b a b c b a b a c a c 12211201NN 这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+M NN M NN .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑MN MN()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--•-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a ΛΛM M M M MΛΛ00000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a ΛΛM M M M MΛΛ000000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()122111221100010000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D ΛM O M M ΛΛΛΛM O M M Λ()n n n b b b a a a ΛΛ211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab b a ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000ΛΛM M O M M M M M ΛΛΛ 这样的行列式，叫做“三对角型”行列式．4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab b a ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000000100000100000D ΛΛM M O M M M M M ΛΛΛ. 解：按第一列展开，得()ba ab b a b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-10000010000100000D 1ΛΛM M O M M M ΛΛΛ ()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=， 从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322Λ.故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121ΛΛn n n n b ab b a a ++++=--11Λ.4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n n n a a a a a a a a a a a a ΛM O M M M ΛΛΛ这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=11113121122322213211111i j j i n nn n n nn a a a a a a a a a a a a a a ΛM O M M M ΛΛΛ. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D ΛΛMM MM ΛΛΛ21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ΛΛΛM M O M MΛΛΛ21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++=Λ， 其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121Λ.由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121Λ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121Λ.5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D ΛΛM M O M M M ΛΛΛ=n . 分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n Λ. ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D ΛΛ()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由范德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn n n n nnn x x x x x x x x x x x x D ΛΛMM MM ΛΛΛ21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值． 构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nn nn nn n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f ΛΛΛM M O M MΛΛΛ21111211222221222221211111--------=.将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++=Λ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121Λ.由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121Λ.故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121Λ.。

浅析行列式的计算技巧摘要：本文通过引用例题来对一些特殊行列式的求解技巧进行归纳分析，主要演示了化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，辅助行列式法，拉普拉斯定理的应用，范德蒙得行列式的应用以及方阵特征值和行列式的关系的应用等方法。

引言：在平常的学习及其考试中经常能遇见有关特殊行列式计算的题目，如果不能掌握正确的方法和思维方式，此类型的题将会是考生的一个障碍，本人希望通过对若干经典考题的解析，使得学生对行列式求解类型的题目有章可循。

下面是对一些特殊行列式求解技巧的浅析，前两种方法是相对基本的方法，应用的范围较广，后面几种方法针对性较强，要对行列式的特征进行准确的判断。

方法一 化三角形法化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。

这是计算行列式的基本方法重要方法之一。

因为利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式的性质将行列式化为三角形行列式计算。

原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式。

但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁。

因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作为某种保值变形，再将其化为三角形行列式。

例题：计算下列行列式的值：12312341345121221n n n n D n n n -=--[分析]显然若直接化为三角形行列式，计算很繁，所以我们要充分利用行列式的性质。

注意到从第1列开始；每一列与它一列中有n-1个数是差1的，根据行列式的性质，先从第n-1列开始乘以－1加到第n 列，第n-2列乘以－1加到第n-1列，一直到第一列乘以－1加到第2列。

然后把第1行乘以－1加到各行去，再将其化为三角形行列式，计算就简单多了。

解：11(2,,)(2,,)11111111111211111000311112011111000100000010000020011(1)200020000101(1)()2i in n i n r r i n r r n n n D n n n n n n nn n n n n n nn n n nn nn n n n ===+--=-----++----+=⋅-----+=⋅⋅-()(1)(2)12(1)12(1)(1)12n n n n n n n -----⋅-+=⋅⋅-[问题推广]例1中，显然是1,2，…，n-1,n 这n 个数在循环，那么如果是a 0,a 1,…,a n-2,a n-1这n 个无规律的数在循环，行列式该怎么计算呢？把这种行列式称为“循环行列式”。

行列式求解方法总结（一）计算行列式最基本的方法是——按定义展开，即按照某行（列）展开这个方法对于特殊行列式很有用处，例如——上（下）三角行列式，对角行列式等。

另外三阶及以下的行列式可以直接展开。

但是直接是用定义工作量很大，而且对于一些有规律的字母型行列式该方法容易忽略他们的规律。

所以，在使用定义展开的时候：1，利用行列式性质得到某行（列）仅有一个非零元素再进行展开。

提示：把第3行加到第一行，再把第一列乘以-1加到第三列2，利用性质，将行列式化成上（下）三角行列式。

提示：对于三阶以上的数字行列式, 一般都是利用性质将其化为上三角行列式求其值. 化为上三角行列式的步骤是规范化的.首先利用第1 行第1 列的非零元将第1 列其他元素全化为零, 然后利用第2 行第2 列的非零元将第2 列以下元素全化为零, 如此等等, 直到化为上三角行列式. 如果化的过程中出现全零行, 则行列式的值等于零.这里第1 行第1 列的元素为2 , 如果利用它将第1 列其余元素全化为零, 中间就会出现很多分数, 继续算下去就比较麻烦. 所以这里先把第1 行乘- 1 加到第3 行, 再把第1 行与第3 行对换,就使第1 行第1 列元素为1 , 这样再将第1 列其余元素化为零就比较简便。

（二）如果行列式每一行（列）元素之和都相等，则展开的第一步是将各列（行）加到第1列（行），然后提出公因子，再用（一）中方法进行计算。

（三）如果n阶行列式中每个元素均为两数（一般都有字母）之和，则可以利用线性性质，将其化成2n 个行列式之和，在很多些情况下，这2n 个行列式很多都等于零，那些不等于零的行列式也是很容易展开的。

解法：= ax y 2 + ax y 2 + ax 2 y + ax 2 y + x 2 y 2 = 2 ax y 2 + 2 ax 2 y + x 2 y 2.（四） 再如上例题，该类型的行列式出现了很多的相同元素a ，所以义可用“加边法”或者将第一行（列）乘以-1（其他题中此处不一定是“-1”）加到其他各行（列），创造出“爪”（三叉）型行列式，之后再将其化成上（下）三角行列式即可。

求解行列式的几种特殊方法
1.滚动消去法当行列式每两行的之比较接近时，可采用让临近的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法可称之为滚动消去法。

例1：
2.加边法将n阶行列式补上一行和一列变为n+1阶行列式，再利用有关性质求取结果。

例2：
3.递推降级法 如果一个行列式在元素分布上比较有规律，可设法找出n 阶行列式n D 与与较低阶行列式的关系。

a ）如果n 阶行列式满足关系式：10n n aD bD c -++=，一般通过寻找n D 与1n D -的关系，形成以n D 、1n D -为未知量的二元一次方程组，求得n D 。

b ）如果n 阶行列式满足关系式：120n n n aD bD cD --++=，则作特征方程20ax bx
c ++=。

i ）若特征方程的判别式∆≠0，则特征方程有两个不相等的根： 1x ，2x ，则
1
1
1
2
n n n D A x B x --=+。

其中A ，B 为待定系数，令n=1,2，求出A,B 。

ii ）若特征方程的判别式∆=0，则特征方程有两个相等的根1x ，2x ，则1
1
()n n D A nB x -=+其中A ，B 为待定系数，令n=1,2，求出A,B 。

例3：。

「行列式的计算方法40392」行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于方程组的求解、向量的夹角计算、矩阵的逆等问题中。

本文将介绍行列式的定义、计算方法以及一些重要的性质。

1.行列式的定义行列式是一个数，它是一个方阵中所有元素的组合形成的数值。

对于一个n阶方阵A=(a_ij)，它的行列式记作，A，或det(A)。

2.二阶行列式的计算方法对于一个二阶方阵A=(a_ij)，它的行列式计算方法如下：A，=a_11*a_22-a_12*a_213.三阶行列式的计算方法对于一个三阶方阵A=(a_ij)，它的行列式计算方法如下：A，=a_11*a_22*a_33+a_12*a_23*a_31+a_13*a_21*a_32-a_13*a_22*a_31-a_12*a_21*a_33-a_11*a_23*a_324.n阶行列式的计算方法n阶行列式的计算方法比较复杂，可以通过行列式的定义和性质来计算。

最常用的计算方法是行列式按行展开法。

例如一个三阶方阵A=(a_ij)，按第一行展开的行列式计算方法如下：A，=a_11*(-1)^(1+1)*，A_11，+a_12*(-1)^(1+2)*，A_12，+a_13*(-1)^(1+3)*，A_13其中，A_11，=a_22*a_33-a_23*a_32，A_12，=a_21*a_33-a_23*a_31，A_13，=a_21*a_32-a_22*a_31根据行列式按行展开法的计算方法，可以得到n阶行列式的计算公式：A，=a_11*C_11+a_12*C_12+...+a_1n*C_1n其中，C_ij = (-1)^(i+j) * ，A_ij，A_ij，是把第i行和第j列去掉的(n-1)阶子方阵的行列式。

通过递归的方式，可以计算出任意n阶行列式的值，但随着n的增大，计算量也会急剧增加。

5.行列式的性质行列式具有一些重要的性质，其中最重要的是行列式的性质之一：若矩阵A的两行（列）互换，则行列式的值变号。

浅谈行列式的计算方法行列式的计算是一个重要的问题，也是一个复杂的问题，对于低阶行列式，我们可以直接利用定义、公式、性质等方法进行计算．但对于一般的n 阶行列式计算就比较困难，所以研究n 阶行列式的计算方法是十分必要的．本文通过例子介绍了行列式的计算方法．一、 特殊行列式法1．定义法当行列式中含零较多时，定义法可行． 例1 计算n 级行列式αββαβαβα000000000000 =D .解：按定义，易见121,2,,,n j j j n ===或1212,3,,,1n n j j j n j -====. 得1(1)n n n D αβ-=+-2．三角形行列式法利用行列式性质，把行列式化成三角形行列式．nna a a a a a 000n222n 11211＝nn n n a a a a a a21221211000112233nn a a a a =例2 计算n 级行列式1231131211231n n x n D x n x +=++解： 将n D 的第(2,3,,)i i n =行减去第一行化为三角形行列式，则12301000020001(1)(2)(1)n n x D x x n x x x n -=--+=---+3．爪形行列式法例3 计算行列式 01211220000n nna b b b c a D c a c a = ()0,1,2,i n ia ≠=解: 将D 的第i +1列乘以（iia c -）都加到第1列()n i ,2,1=，得 101212000000ni i ni inbc a b b b a a D a a -=∑=＝011()nni i i i i ib c a a a ==-∑∏4． 范德蒙行列式法123222212311111231111nn n n n n na a a a D a a a a a a a a ----= 1()i j j i na a ≤<≤=-∏例4 计算n 阶行列式222212333331231231111n nnn n n nx x x x D x x x x x x x x =解：利用D 构造一个1n +阶范德蒙行列式12222212121111()n nnn n nnx x x x g x x x x x x x x x =多项式()g x 中x 的系数为3(1)n D +-，而()g x 又是一个范德蒙行列式，展开后x 的系数为1)1(--n ][12132-++n n x x x x x x ∏≤<≤-ni j j ix x1)(，两者应相等，故]23121n n D x x x x x x -⎡=++⎣∏≤<≤-ni j j ix x1)(当021≠n x x x 时，还可写成12n D x x x =)11(1nx x ++ ∏≤<≤-ni j j ix x1)(二、 连加法若行列式中某列（行）加上其余各列（行），使该列（行）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式计算的方法称为连加法．例5 计算n 阶行列式xa a a x a D aax=解：它的特点是各列元素之和为x a n +-)1(，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出x a n +-)1(，得[(1)]D n a x =-+xa aaxa111将第一行乘a -分别加到其余各行，化为三角形行列式，则[(1)]D n a x =-+a x a x --111 ＝[(1)]n a x -+1)(--n a x三、 加边法为了计算行列式，有时需要将它的阶数放大，使升阶后的行列式易于计算，从而求出原行列式．这种方法叫加边法，也叫升阶法．例6 计算n 阶行列式123na x x x xa x x D xx a x xxxa = 解：加边得1210nx x x a x x D x a x xxa = 第一行乘以（-1）分别加到其余各行，化为爪形行列式1211001001n x x xa x D a xax--=----＝xa x a x a xx x x a x n ni i ----+∑= 0000000001211＝)11(1∑=-+ni i xa x ∏=-ni ix a1)(＝)1(1∑=-+ni i x a x∏=-n i i x a 1)(四、递推法这是解决具有对称关系的行列式的计算方法．例7 计算n 阶行列式 n D ＝βαβααββααββα++++1000010001000解：按第一行展开，得n D ＝21)(---+n n D D αββα即 n D )(211----=-n n n D D D αβα由此递推 ，即得 n D nn D βα=--1 ①由于n D 中α与β对称，则有 n D nn D αβ=--1 ②当αβ≠时，由①，②得 n D ＝βαβα--++11n n当βα=时，n D ＝1-+n nD ββ＝)(21--++n n nD ββββ＝222-+n nD ββ==11)1(D n n n -+-ββ＝nn β)1(+五、 数学归纳法利用数学归纳法进行行列式计算，主要利用不完全归纳法寻找行列式的猜想值，再进行证明．例8 计算2n 阶行列式 n D 2＝nnnnd c d c b a b a1111解：当1n =时， 2D 1111a b c d =＝1111c b d a - 当2n =时， 4D 22111122a b a b c d c d =＝))((22221111c b d a c b d a --于是猜想 n D 2＝∏=-ni i i iic b da 1)(下面用数学归纳法证明 （1） 当1n =时，显然成立（2） 假设当n k =时成立，即k D 2＝∏=-ki i i iic b da 1)(当1n k =+时，将)1(2+k D 按第一列展开，易得)1(2+k D ＝)(1111++++-k k k k c b d a k D 2 由归纳假设k D 2＝∏=-ki i i i i c b d a 1)( ， 故得)1(2+k D ＝∏+=-11)(k i i i i i c b d a所以猜想成立．即n D 2＝∏=-ni i i iic b da 1)(例9 计算n 级行列式αααααcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D解： 易见 αα2cos ,cos 21==D D ,于是猜想 αn D n cos =. 下面对阶数n 用第二数学归纳法证明.1=n 时,结论成立.假设对阶数小于n 时，结论成立. 将n D 按第n 行展开，有ααααααααααααααααααn n n n n n n D D D D n n n n n n n n cos ])1cos[(sin )1sin(cos )1cos()1cos(cos 2)2cos()1()1cos(cos 2)1(cos 2110000cos 200000cos 210001cos 210001cos )1(cos 21221211121=+-=-----⋅=--+-⋅=-+⋅=⋅-+⋅=------- 所以猜想成立．六、拆行（列）法（难）一般地，当行列式的一行（列）的元素能有规律地表示成两项或多项和的形式，就可以考虑用拆为和的方法来进行计算．例10 计算n 阶行列式xy y y zx y y D zzx y zzzx= 解：①当z y =时，易用加边法求得D ＝1)(--n y x ][y n x )1(-+ ②当z y ≠时，将D 的第n 列每个元写成两数之和 0+=y y ，)(y x y x -+=则xy y z x y D zzy=+y x zz zy x z y y x -0 ＝1()n M x y D -+-其中xy y z x y M zzy=， 将M 最后一行乘以（-1）分别加到其余各行．再按第n 列展开得 1()n M y x z -=- ， 于是有n D ＝1)(--n D y x +1)(--n z x y ①由于D 中,y z 的地位对称，于是有n D ＝1)(--n D z x +1)(--n y x z ②由①，②得n D ＝z y y x z z x y nn ----)()(七、因式分解法如果行列式D 是某个变数x 的多项式)(x f ，可对行列式施行某些变换，求出)(x f 的互不相同的一次因式，设这些一次因式的乘积为)(x g ，则)()(x cg x f D ==，再比较)(x f 与)(x g 的某一项的系数，求出c 值.例11 计算行列式1231131211231n n x n D x n x +=++解: 注意1=x 时，,0=n D 所以，(1)|n x D -. 同理)1(,,2---n x x 均为n D 的因式 又i x -与)(j i j x ≠-各不相同，所以n D n x x x |)1()2)(1(+---但n D 的展开式中最高次项1-n x的系数为1，所以 )1()2)(1(+---=n x x x D n行列式的计算方法除上述外还有许多种，如辅助行列式法，析因子法等，只不过上述方法常见常用而已．。

内蒙古财经大学本科学年论文行列式的若干种计算方法作者姚淑娟系别统计与数学学院专业信息与计算科学年级2009级学号902094131指导教师李明远导师职称讲师内容提要的矩阵A,取值为一个标量,写作行列式在数学中是一个函数,其定义域为n nA.行列式是一个重要的数学工具,不仅在数学中有广泛的应用,而且在其它学科中det()也会经常遇到.例如在初等代数中,为了求解二元和三元线性方程组,而引入了二阶和三阶行列式.鉴于行列式在数学各领域的重要性,其计算的重要性也不言而喻.本文介绍了计算行列式的重要方法有画三角形法,初等变换法,将行列式按行或按列展开法,加边法或升阶法,事实上,这四种方法的解题思路都是根据行列式的性质,将行列式化为上三角行列式或者下三角行列式.另外一类重要的方法就是根据拉普拉斯（Laplace）定理计算行列式,拉普拉斯定理引入了k阶子式和代数余子式的概念,使得计算行列式变得更加简便.而范德蒙德（Vandermonde）行列式只适用于满足条件的行列式才可以用,有一定的局限性.关键词: n级行列式初等变换降阶法拉普拉斯（Laplace）定理范德蒙德（Vandermonde）行列式.目录一、二阶行列式和三阶行列式的简单解法 (1)(一)解二阶行列式 (1)(二)解三阶行列式 (1)二、n阶行列式的概念及其解法 (2)（一）逆序数 (2)（二）n阶行列式的定义 (2)（三）n阶行列式的性质 (3)三、n阶行列式的解法 (4)（一）定义法求解行列式 (4)（二）化三角形法求解行列式 (5)（三）利用初等变换求解行列式 (5)（四）将行列式按行或按列展开求解行列式 (6)（五）加边法或升阶法 (8)（六）拉普拉斯（Laplace）定理 (8)（七）范德蒙德（Vandermonde）行列式 (11)参考文献 (14)行列式的若干种计算方法行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中.十七世纪晚期,关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式.十八世纪开始,行列式开始作为独立的数学概念被研究.十九世纪以后,行列式理论进一步得到发展和完善.矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现,行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用,出现了线性自同态和向量组的行列式的定义.无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中（比如说换元积分法中）,行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用.一、二阶行列式和三阶行列式的简单解法(一)解二阶行列式对二元线性方程组111222a xb y d a x b y d +=⎧⎨+=⎩ 进行消元可得12121212()a b b a x d b b d -=-, 12121212()a b b a y a d d a -=-.若1212a b b a -0≠则方程组有唯一解1212121212121212d b b d x a b b a a d d a y a b b a -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩, 为了便于记忆这些解的公式我们引入二阶行列式[1]11122122a a a a 11221221a a a a =-其中ij a 叫做行列式的元素,那么利用二阶行列式方程组的解可表示为11221122d b d bx a b a b =,11221122a d a d y a b a b =.例1.1 计算二阶行列式111212121222335155a b a b b a a b b a a b =⨯-=-.(二)解三阶行列式为了得出关于三元线性方程组的类似解法,我们引入三阶行列式111213212223112233213213122331132231233211122133313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---.若方程组的系数行列式1112223330a b c D a b c a b c =≠ 则方程组有唯一解1D x D =,2Dy D =,3D z D =.其中1111222333d b c D d b c d b c =,1112222333a d c D a d c a d c =,1113222333a b d D a b d a b d =.例1.2 计算三阶行列式12121311(1)(2)(3)(1)12111(1)(2)2(1)1(3)1111--=⨯⨯-+-⨯-⨯-+⨯⨯-⨯⨯---⨯⨯--⨯-⨯-- 5=-.从上面的例子可以看出如果未知量的个数与方程组的个数相等,且它们的系数行列式不等于0,那么用行列式求解是方便的.但在实际应用中遇到的线性方程组的个数往往较多,因此需要把二阶和三阶行列式加以推广,从而引入了n 阶行列式的概念.二、n 阶行列式的概念及其解法（一）逆序数:在一个排列中如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.排列12n j j j 的逆序数记为12()n j j j τ .[2] （二）n 阶行列式的定义111212122212nn n n nna a a a a a a a a等于取自不同行不同列的n 个元素的乘积1212n j j nj a a a 的代数和,这里12n j j j 是1,2,,n 的一个排列.上述定义可表示为:111212122212nn n n nna a a a a a a a a121212()12(1)n nnj j j j j nj j j j a a a τ=-∑ .这里12()n j j j τ 表示n 阶排列的逆序数,12nj j j ∑表示对所有n 阶排列求和.（三）n 阶行列式的性质性质1 行列互换行列式不变,即111211121121222122221212=n n n n n n nnnn nna a a a a a a a a a a a a a a a a a.由性质1可以得到下三角行列式112122112212300000nn n n n nna a a a a a a a a a = .性质2 一行的公因式可以提出来,即111211112112121212n n i i in i i inn n nn n n nna a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =.事实上如果k 0=就有如果行列式中有一行（列）为0那么行列式为0.推论:行列式的某一行（列）的元素等于0则行列式等于0. 性质3 把一行（列）的倍数加到另一行（列）行列式不变. 即111211112111221212121212n ni k i k in kni i ink k kn k k kn n n nnn n nna a a a a a a ca a ca a ca a a a a a a a a a a a a a a a +++=.性质4 对换行列式中两行（列）的位置行列式反号. 即1112111121121212121212n n i i in k k knk k kn i i inn n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-.以上行列式的四种性质在行列式的初等变换中会用到,会简化计算步骤.性质5 如果行列式中某一行是两组数的和,则这个行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别以这两组数作为该行,而其余各行与原行列式对应各行相同. 即11121111211112111221212121212n n n n n n n n n nn n n nn n n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ . 性质6 如果行列式中有两行（列）相同那么行列式为0.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等.性质7 如果行列式中两行（列）成比例那么行列式为0. 即11121111211212121212120n n i i in i i ini i in i i inn n nnn n nna a a a a a a a a a a a k ka ka ka a a a a a a a a a ==.行列式有其这些特有的性质,可以帮助我们快速的求解一些行列式.三、n 阶行列式的解法（一）定义法求解行列式例3.1 解行列式0000000000b f d a c e123412341234()1234(1)j j j j j j j j j j j j a a a a τ=-∑.观察行列式中元素0的位置,以及由4级排列中个数不能相等,可知12343,1,4,2,j j j j ====因此1234()(3142)3,j j j j ττ==则33112432400000(1)00000b f da a a a abcd a ce =-=-.（二）化三角形法求解行列式思路:化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法.例3.2 计算行列式12137185258213024D =解: 首先给第1行分别乘-7,-5,-3分别加到第2,3,4行上再交换第2,3两行的位置;给第二行分别乘以2,-3后分别加到第3,4行上;最后给第3行乘1加到第4行即可.12137185258213024D =1213023140421906115---=------121302314008470837---=---12130231400847010---=----160=（三）利用初等变换求解行列式思路:利用行列式的性质对行列式进行变换直到转换成上三角或下三角行列式. 例3.3 计算行列式-25-131-91373-15-528-7-10解:第一步是互换第1,2行以下都是把一行的倍数加到另一行.-25-131-91373-15-528-7-10191372513315528710---=-----1913701325170263426263324--=-----19137013251700168001710--=-1913701325170016830002--=-3(13)16()131833122=--⋅⋅=⋅⋅=(四)将行列式按行或按列展开求解行列式思路:行列式等于某一行的元素分别与它们的代数余子式的乘积之和. 在行列式111111j n i ijinn nj nna a a a a a a a a中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列剩下的2(1)n -个元素按原来的排法构成一个1n -级的行列式111,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1,1,1j j n i i j i j i n i i j i j i nn n j n j nna a a a a a a a a a a a a a a a -+----+-++-+++-+,称为元素ij a 的余子式记为ij M .111,111,111,11,11,1,11,1,11,11,1,11,1,1,100100j j j n i i j i ji j i nij i i j i ji j i nn n j njn j nna a a a a a a a a a A a a a a a a a a a a -+-----+-++-++++-+=111,11,1111,11,11,11,1,()()1,11,11,11,1,1,1,1(1)00001j j n j i i j i j i n i j n i n j i i j i j i ni j n n j n j nn nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+----+---+-++-++++-+=-2()(1)(1)n i j i j ij ij M M -++=-=-.这里的ij A 称为元素ij a 的代数余子式. 例3.4.1 计算行列式5312017252023100414002350----解:这里第一步是按第5列展开然后再按第1列展开这样就归结到一个三级行列式的计算.5312017252023*******02350---- 2553120231(1)204140235+--=---23110072066-=-- 72(10)(2)20(4212)108066-=--=--=- 常用的按行（列）展开方法中还有一种解法叫做降阶法 例3.4.2 计算行列式000000000000n x y x y D x y yx=解:利用按行按列展开定理把原行列式按第1列展开10000000(1)0000000n n x y y x y D xy x y xx y +=+-.降阶后的两个低阶行列式都是三角形行列式故原行列式的值为!(1)n n n n D x y +=+-. （五）加边法或升阶法思路:加边法最大的特点就是要找每行或每列相同的因子那么升阶之后就可利用行列式的性质把绝大多数元素化为0 这样就达到简化计算的效果 例3.5 求行列式的值2112122122212111n nn n n n x x x x x x x x x x D x x x x x ++=+ 解:行列式第1列有共同元素1x 第2列有共同元素2x ,…,第 n 列有共同元素n x .根据这些特点给原行列式加边得1221121221222121010101n n n nn n n x x x x x x x x D x x x x x x x x x x +=++给加边后的行列式的第1行乘i x 加到第i 行上(1,2,,i n = )得222121212121110001000100010011n n n n nx x x x x x x x x x D x x ++++-=-=-222121+n x x x =+++ 211ni i x ==+∑.（六）拉普拉斯（Laplace ）定理 设在行列式D 中任意取定了(11)k k n ≤≤-个行,由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D . 例3.6 在行列式1214012110130131D =中取定第一、二行.得到六个子式:11201M =-,21102M =,31401M =,42112M =-,52411M =-,61421M =.它们对应的代数余子式为(12)(12)''111(1)A M M +++=-=,(12)(13)''222(1)A M M +++=-=-,(12)(14)''333(1)A M M +++=-=,(12)(23)''444(1)A M M +++=-=, (12)(24)''555(1)A M M +++=-=-,(12)(34)''666(1)A M M +++=-=.根据拉普拉斯定理112266D M A M A M A =+++121311031401013102110113=⋅-⋅+⋅-211324111410120111032101+⋅-⋅+⋅-- (1)(8)2(3)1(1)5163(7)1=-⨯--⨯-+⨯-+⨯-⨯+-⨯ 86151877=+-+--=-从这个例子来看利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是在理论方面应用.推论 两个n 级行列式1D =111212122212nn n n nna a a a a a a a a和1112121222212n n n n nnb b b b b b D b b b =的乘积等于一个n 级行列式111212122212nn n n nnc c c c c c C c c c =.其中ij c 是1D 的第i 行元素分别与2D 的第j 列的对应元素乘积之和,1122ij i j i j in nj c a b a b a b =+++ .证明:作一个2n 级行列式111212122212111212122212000000000100010001n n n n nnn n n n nna a a a a a a a a Db b b b b b b b b =---根据拉普拉斯定理将D 按前n 行展开.则因D 中前n 行除去左上角那个n 级子式外其余的n 级子式都等于0.所以11121111212122221222121212n n n n n n nn n n nna a ab b b a a a b b b D D D a a a b b b ==.现在来证D C =.对D 作初等变换.将第1n +行的11a 倍第2n +行的12a 倍…第2n 行的1n a 倍加到第一行得111211222212111212122212000000000100010001n n n n nnn n n n nn c c c a a a a a a D b b b b b b b b b =--- .再依次将第1n +行的1(2,3,,)k a k n = 倍第2n +行的2k a 倍…第2n 行的kn a 倍加到第k 行就得111212122212111212122212000000000100010001n n n n nnn nn n nn c c c c c c c c c D b b b b b b b b b =---.这个行列式的前n 行也只可能有一个n 级子式不为0,因此由拉普拉斯定理111212122212nn n n nnc c c c c c D c c c =(12)(122)100010(1)01n n n n C ++++++++--⋅-=-.定理得证.（7）范德蒙德（Vandermonde ）行列式12322221231111231111n n n n n n n n a a a a d a a a a a a a a ----=(1)称为n 级范德蒙德（Vandermonde ）行列式.我们来证明对任意的n (2)n ≥n 级范德蒙德行列式等于12,,,n a a a 这n 个数的所有可能的差(1)i j a a j i n -≤≤≤的乘积.我们对n 作归纳法 当2n =时,211211a a a a =-结论是对的.设对于1n -级的范德蒙德（Vandermonde ）行列式结论成立;现在来看n 级的情形.在行列式d 中第n 行减去第1n -行的1a 倍,第1n -行减去第2n -的1a 倍.也就是由下而上依次的从每一行减去它上一行的1a 倍有21311222212313112121221231311111000n n nn n n n n n n n a a a a a a d a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---------=------2131122221231311212122123131n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ------------=---1232222213111231111231111()()()nn n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a ----=---后面这个行列式是1n -级的范德蒙德行列式根据归纳法假设它等于所有可能差(1)i j a a j i n -≤≤≤的乘积;而包含1a 的差全在前面出现了.因此结论对n 级范德蒙德行列式也成立.用连乘号这个结果可以简写为123222212311111231111()n n i j j i nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ≤≤≤----=∏-.由这个结果立即得出范德蒙德行列式为0的充分必要条件是12,,,n a a a 这n 个数中至少有两个相等. 例3.7 证明111111111111111111110000kk r k kk k r k kkr rrr rkr rra a a ab b a ac c b b a a b b c c b b =.我们对k 用数学归纳法 当k =1时上式的左端为11111111100r r r rr a c b b c b b按第一行展开就得到所要的结论.假设上式对1k m =-,即左端行列式的右上角是1m -级时已经成立,现在来看k m =的情形,按第一行展开有1111111111110000k k kk k r r rk r rra a a a c cb bc c b b222211121111210000m m mmmr r rm r rra a a a a c cb bc c b b =+212,12,121,1,111111,11,111111,1,110000(1)i i m m m i m i mmi i i i m r r r i r i rm r rr a a a a a a a a a c c c c b b c c c c b b -+-++-+-++-+212,11,111111,11111,110000(1)m m m m mmm r r r m r rra a a a a c cb bc c b b --+--+-222212,12,12212,111111121,1,11,1(1)(1)m i i m m i m i mm mm m m i m i mmm m m a a a a a a a a a a a a a a a a a a a -+-++-+-⎡⎤⎢⎥=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1111r r rr b b b b ⋅ 11111111k rk kkr rr a a b b a a b b = .这里第二个等号是用了归纳法假定最后一步是根据按一行展开的公式.根据归纳法原理上式普遍成立.行列式的解法有很多,以上介绍的是计算行列式最常用的几种方法,行列式类型有很多在具体的求解过程中要根据行列式本身的结构特点选取恰当的方法.通常选取的方法是初等变换法和画三角形法,而行列式的性质也是求解行列式的非常简便的方法之一,因此要熟记行列式的性质.另外, 拉普拉斯（Laplace ）定理及范德蒙德（Vandermonde ）行列式有其特定行列式的形式,因此二者适合于满足其条件的行列式的求解问题.参考文献[1] 俞正光,李永乐,詹汉生,线性代数与解析几何,北京,清华大学出版社,1998.5;[2] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组,高等代数高等教育出版社,2003.7,第3版;[3] 行列式的计算方法,/view/1e09d981e53a580216Fcfe10.html,2012.5.10;[4] 行列式的计算方法ppt,/f/11605140.html?from=like,2012.5.10.后记在本论文的写作过程中,我的导师李明远老师对我帮助很大,从写作提纲,到一遍又一遍地指出每稿中的具体问题,严格把关,循循善诱,并给我提供了很多建议,非常耐心的对我进行指导,告诉我应该注意的细节问题,细心的给我指出错误,在此我表示衷心感谢.。

本科生毕业论文题目: 行列式的计算方法及应用专业代码: 070102作者姓名: 李延雪学号: 2007200676单位: 2007 级 1 班指导教师: 孙守斌2011年5 月20 日原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证明书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任.学位论文作者签名: 日期指导教师签名: 日期目录前言 (1)1.行列式的定义及其表示 (1)1.1 行列式的定义 (1)1.2 行列式的表示 (3)2.行列式的性质 (4)3.行列式的计算方法 (6)3.1加边法 (6)3.2利用已知公式 (7)3.3数学归纳法 (10)3.4递推法 (11)3.5构造法 (12)3.6拆项法 (13)4.行列式的应用 (13)4.1行列式在证明微分中值定理中的应用 (13)4.2 行列式在求逆矩阵中的应用 (15)4.3行列式在多项式理论中的应用 (15)4.4 行列式在解析几何中的应用 (16)结语 (17)参考文献 (18)致谢 (19)摘要行列式是研究高等代数的一个重要工具.在对行列式的定义及其性质研究的基础上,总结了计算行列式的几种常见方法：加边法、构造法、递推法、拆项法、数学归纳法等.另外,归纳了二条线性行列式、“两岸”行列式、上（下）三角形行列式、二条线叉型行列式及箭型行列式几类特殊行列式的计算公式.利用行列式证明明微分中值定理；并通过一些具体的实例介绍了行列式在求逆矩阵、求解几何图形方程和计算图形面积体积等多个方面的实际应用.关键词：行列式；计算方法；行列式的应用AbstractDeterminant calculation is an important tool in Higher algebra. Studying the definition and properties of the determinant and summarizing several methods which can solve the determinant calculation，such as add edge method，method of construction, triangle recursive method, demolition of method, mathematical induction etc. At the same time two linear determinant, "cross-strait" determinants, the upper (lower) triangular determinant, two line fork determinants and arrow type determinant of several kinds of special formula of calculating the determinant were summarized. Using determinant proof differential mid-value theorem.And through some specific examples in inverse matrix introduce determinant in solving inverse matrix，geometry equation calculation ,graphics area volume and many other aspects of actual applications.Keywords: Determinant; Calculation method; Determinant application行列式的计算方法前 言行列式不仅是研究高等代数的一个重要工具,它也是线性代数理论中极其重要的组成部分.在高等代数中,行列式的求解是非常重要的,但是直接计算行列式往往是困难和繁琐的,特别当行列式的元素是字母时更加明显.根据这一情况,对行列式计算的常见方法进行了总结.计算行列式的常见方法有化三角形法,拆分法,降阶法,升阶法,待定系数法、数学归纳法,乘积法和加边法等.另外对行列式中存在的二条线性行列式、“两岸”行列式、上（下）三角形行列式、二条线叉型行列式及箭型行列式等特殊构造的行列式的公式进行了归纳.行列式的产生和最早的应用都是在解线性方程组中,现在的应用范围已拓展得较为广泛,成为数学、物理学以及工科许多课程的重要工具.对这些应用技巧进行探讨归纳,不仅有课程建设的现实意义,而且有深刻的理论意义.通过介绍一些具体的实例,说明行列式在证明明微分中值定理、求逆矩阵及矩阵特征值、求解线性方程组、求解几何图形方程和计算图形面积体积等多个方面中的实际应用.1.行列式的定义及其表示1.1行列式的定义]1[行列式有各种各样的定义方法,本文以排列为工具来定义行列式.先来考察二、三阶行列式的共同规律,然后利用这些规律去定义n 阶行列式.二阶行列式为22211211a a a a 21122211a a a a -= . 于是二阶行列式可以简写成∑-=2121,2,1)(22211211)1(j j j j t a a a a a a .其中 ∑21j j 表示所有二元排列求和.我们约定,在一个行列式中,横排叫做行,纵排叫做列,行列式中的数ij a 叫做行列式的元素,其中i 表示ij a 所在的行,叫做行标；j 表示ij a 所在的列,叫做列标.从二阶行列式中可以得到以下规律： （1） 它是2！=2项的代数和；（2） 每一项都是两个元素相乘,且这两个元素既位于不同的行又位于不同 的列；（3） 每一项的两个元素行标按自然顺序排列后,其所在的列标构成的全部 二元排列为12和21,前一个为偶排列,与其对应的项2211a a 取正号；后一个为奇排列,与其对应的项2112a a 取负号. 下面看三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a 322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=.类似于二阶行列式,可以得到以下规律：（1）它是3！=6项的代数和；（2）每一项都是三个元素相乘,且这三个元素既位于不同的行又位于不同的列；（3）每一项的三个元素行标按自然顺序排列后,其所在的列标构成的全部三元排列为：123,231,312,321,213,132.前三个为偶排列,与其对应的项取正号,后三个为及排列,与其对应的项均取负号. 总之,三阶行列式可以写成∑-=321321321,3,2,1)(333231232221131211)1(j j j j j j j j j t a a a a a a a a a a a a .以上是二、三阶行列式的共同构造规律,它也是一般n 阶行列式的本质所在.定义1.1 称nnn n n n a a a a a a a a a D 212222111211=为一个n 阶行列式,它表示： （1）!n 项的代数和；（2）每一项是n 个元素相乘,且这n 个元素既位于D 中不同的行,又位于不同的列；（3）每一项的n 个元素行标按自然顺序排列后,其列排列为偶排列时该项取正号,为奇排列时该项取负号.这一定义可以简单的表示成∑-=nn j j j j n j j tnnn n nna a aa a a a a a a a a 2121,,2,1212222111211)1(其中∑nj j j 21表示对所有n 阶行列求和.1.2行列式的表示.矩阵A 的行列式记作A .绝对值和矩阵范数也使用这个记法,有可能和行列式的记法混淆.不过矩阵范数通常以双垂直线来表示,且可以使用下标.此外,矩阵的绝对值是没有定义的.因此,行列式经常使用垂直线记法（例如:克莱姆法则和子式）.例如,一个矩阵：khgf e dc b a A =矩阵行列式)det(A 也写作A 或明确的写作:khgf e dc b a A = 行列式即矩阵的方括号以细长的垂直线取代.n 阶行列式的表示：n j n j j t nnn na a a a a a a ,,2,1111121)1(-= , 其中)(21n j j j t 为n j j j 21的逆序数.2.行列式的性质为了有效地进行行列式的计算,有必要研究其性质,并由此得到实际可行的计算方法．性质2.1 设A 是n 阶矩阵,则A A T det det =,其中T A 是A 的转置矩阵. 今后称行列式T A det 为A det 的转置行列式,性质1说明行列式与它的转置行列式相等,具体地写出来,即nnn nn n nnn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 212221212111212222111211=．根据性质1,对于行列式中有关行的性质完全适用于列．性质2.2 交换行列式中任意两行(列),其值变号． 例如二阶行列式22211211a a a a 中,若交换其第1行与第二行,则得222112112211122112112221a a a a a a a a a a a a -=-= ．推论2.1 若行列式有两行(列)的对应元素相同,则该行列式等于零. 证明 设行列式A det 中第i 行与第k 行)(k i ≠的对应元素相同,现交换这两行得一新行列式,记作D , 根据性质2,A D det -=,但因这两行对应元素相同,交换后所得行列式与原行列式又相同,即A D det =．于是D D =-,故0=D ．性质2.3 用常数c 乘以行列式中某行（列）的每个元素所得到的行列式,等于用c 乘以该行列式．nnn n n n a a a a a a a a a D 212222111211=.证明 设行列式是nnn n n n a a a a a a a a a D 212222111211=.若用c 乘以D 的第1行,则成为行列式nnn n n n a a a a a a ca ca ca D2122221112111=.现按D 1的第一行展开得∑∑=====nj nj j j j j cD A a c A ca D 1111111,其中D 与1D 中第一行各元素的代数余子式是相同的.现设用c 乘以D 的第i 行,1>i .我们记交换D 的第1行与第i 行所得的行列式为D a a a a a a a a a a a a a a a a a a D nn n n n i i i nni i i nn i i i -==+++---,2,1,,12,11,1,12,11,1,12,11,1,22,21,2,2,1,2.现用c 乘以D 的第i 行,即得行列式nnn n nnin i i nnn n n n in i i nnn n ini i n n a a a a a a a a a a a a ca a a a a a a a a ca ca ca a a a ca ca ca a a a a a a211121122221212111211222212121212222111211-==cD D c cD =--=-=)(2.推论2.2 若行列式中有一行（列）的所有元素全是零,则该行列式等于零． 证明 在性质3中取0≠c 即可．推论2.3 若行列式某行（列）所有元素含有公因数c ,则可将该公因数c 提到行列式外面．此推论实际上就是性质3．推论2.4 若行列式有两行（列）的对应元素成比例,则该行列式等于零． 证明 只要把比例系数作为公因数提到行列式外面,就得到一个两行相同的行列式,所以行列式为零．3.行列式的计算方法在行列式的计算问题中,对于某些特殊的行列式可以直接利用行列式的定义计算. 对于一般的行列式,我们主要有下面两种计算思想：1) 利用行列式的性质进行行列式的初等变换,将其划为上(或下)三角形行列式,进而得到结果.2) 利用行列式按行(列)展开定理进行降阶和递推.在典型的计算过程中一般两种方法同时应用,先利用性质化出尽可能多的零元素,然后再利用行(列)展开定理降阶,化为低阶行列式进行计算.3.1 加边法利用行列式按行(列)展开的性质,把n 阶行列式通过加行(列)变成与之相等的1+n 阶行列式,利用行列式的性质把添加进去的行(列)的适当的倍数加到其它行(列),使其它行(列)出现更多为零的元素后再进行计算．添加的行与列一般有四种方式,分别是添加在：(1)首行首列、(2)首行末列、(3)末行首列、(4)末行末列．当然有时也添加在行列式的一般行与列的位置．例3.1.1 计算n 阶行列式n ns n s n n n ns s ns s x x x x x x x x x x x x x x x1122121222211111211111+-+-+-的值.解 按第1+n 行展开得到的是关于z 的多项式,而所求行列式的值是上述加边行列式展开式的s z 项的系数乘以11)1(+++-s n .注意 能够利用加边法的题目往往具有如下两种特征之一：（1）各行(列)有很多相同的元素,但是直接利用行列式的性质把一行(列)的适当的倍数加到其它行(列)的时候不容易变成三角形行列式,或者说出现的零的个数还不够多；（2）添加一行(列)后能够跟范德蒙行列式联系起来. 3.2 利用已知公式3.2.1 定义二条线性行列式的计算定义 3.2.1 nn n a b a b a b a D 1122111--=的行列式称为二线型行列式.其可按第一列（或最后一列）展开进行计算得出∏∏∏∏=-==-=--+-+-+-=-+=ni n i ni n i i n n in n i n i b c aD b c a D 1111112)2)(1(232211))1()1(()1(2.例 3.2.1 计算行列式01020101nn D -=和nn D 0102012-=的值.解 观察行列式01020101nn D -=和nn D 0102012-=可知它是二线型行列式,且由定义知其中),,2,1(n i a i =全为0.故代入公式可得出∏∏=-=++-=-+=ni n i n i n i n b c a D 111111!)1()1(.∏∏=-=----+--=-+-=ni n i n n i n n in n n b c aD 1112)2)(1(2)2)(1(2322!)1()1()1(2.类似的二条线型行列式还有=A ,=B ,=C 和=D （其中定义中给出的二线型行列式为1D =,2D =,在简记中实线处均为非零元素其它地方元素为零）,它们均可以按定义中的方法进行计算展开进行降阶,再利用三角或次三角型行列式总结出相应的计算公式. 3.2.2 “两岸”行列式的计算方法定义3.2.2 形如ax aaaa a a a x a a aaax D n ---= )(21nn a aaa a a aa a a a a a D =的行列式称为“两岸”行列式,其计算可化成箭型行列式,且值等于).)1(()]()1([111∏∑==---+=--+=ni i ni i n n n a a a a aD a x a n x D 或注 对于各行各列元素之和相等的行列式.可将第1,3,2-n 列(行)都加到第1列（行）（或第1,3,2-n 列（行）加到第n 列（行））,则第1（或n ）列(行)的元素相等,再进一步化为三角或次三角型行列式.3.2.3 上三角形（或下三角形）行列式的计算定义3.2.3 形如nnn n n a a a a a a D 00022211211=)000(21222111nnn n n a a a a a a D=或的行列式称为上三角形（或下三角形）行列式,其值为nn n a a a a D 332211=.3.2.4 二条线叉型行列式的计算定义3.2.4 形如nnn n n n nnn n d c d c d c b a b a b a D 1111111122----⨯=的行列式为二条线叉型行列式.例 3.2.2 计算二线型行列式dd c d c d c b a b a b a D nnn n n n nnn n 1111111122----⨯=的值.解 可将此行列式按照第一行展开,则0)1(00011111111121111111122----+----⨯--=n n n n nn nn n n n nn n d c d c b a b a b c d d c d c b a b a a D然后将此两个行列式分别按最后一行和第一行展开,则 )1(2)1(2122=--⨯-=n n n n n n n n D b c D d a D∏==----=---=ni i i i i n n n n n n n n b c d a d c b a b c d a b c d a 111111111)()())(( .3.2.5箭型行列式的计算 定义 3.2.5 形如,,,的行列式称为箭型（或爪型）行列式,可直接利用行列式性质将其一条边化为零,从而可根据三角形或次三角形的结果求（在简记中实线处均为非零元素其它地方元素为零）.例 3.2.3 计算行列式100101012001111n n D n n -=⨯的值.解 可给该行列式第)1,,2,1(-n i 行分别乘以i1-加到第n 行则知原行列式 )1211(!)1(2)1(nn D n n n n ----=-⨯ . 3.3 数学归纳法数学归纳法多用于证明明题．用数学归纳法计算n 阶行列式,依据行列式元素间规律来计算,此类型的题变化较多,相应的方法也较多.例3.3.1 计算1+n D 的值,其中nn a a a a D 0010*******12101=+ 解 当0=n 时,01a D =；当1=n 时,)(11011102---==a a a a a D ；当2=n 时,)]([2211021212103--+-=--=a a a a a a a a a a D ； 假设当k n =时,)]([112110211---++++-=k k k a a a a a a a D .那么当1+=k n 时,将2+k D 按最后一行展开得11213200000001111)1(+++++-=k k k k k D a a a a D 112130000000001000)1(++++-=k k k k D a a a a , 所以11212++++=k k k k D a a a a D)]}([1{112110121---++++-+-=k k k a a a a a a a a )]([1112110121-+--++++-=k k k a a a a a a a a .综上可得)]([12110211---++++-=n n n a a a a a a a D . 3.4 递推法利用行列式的性质,把某一行列式表示成具有较低阶相同结构行列式的关系式（称为递推关系式）,根据所得递推关系式及低阶某行列式的值便可递推得到所需要的结果（有时用数学归纳法证明明其正确性）,这种计算行列式值得方法叫做递推法.（1）若,1-=n n pD D 则11D p D n n -=.（2）若,0,2,21≠>+=--q n qD pD D n n n 我们可以设α、β是02=--q px x 的根,则p =+βα,q =-αβ.于是有)(211----=-n n n n D D D D βαβ （1）)(211----=-n n n n D D D D αβα （2） 若βα≠,则βααββα----=--)()(121121D D D D D n n n .注意 由（1）和（2）得：)(1221D D D D n n n βαβ-=---, )(1221D D D D n n n αβα-=---.若βα=,则（1）与（2）变为)(211----=-n n n n D D D D ααα,即 )(1221D D D D n n n ααα-=---, 于是 )(12321D D D D n n n ααα-=----,)(212222D D D D n n n ααα-+=--依次做下去得： 11D D n n -=α.3.5 构造法通过构造新的行列式计算原行列式. 例 3.5.1 计算循环行列式1121121111---=n n n n nn x x x x x x D.解 设 1121121111---=n nn n nx x x x x x V,令 121)(-+++=n n x a x a a x f ,则)()()()()()()()()(1212111221121n n n n n n n n n x f x x f x x f x x f x x f x x f x x f x f x f V D ---=V x f ni i ∏==1)(,因为0≠V ,故∏==ni i n x f D 1)(.3.6 拆项法这是计算行列式常用的方法.一般地,当行列式的一列(行)或一列(行)以上的元素能有规律地表示为两项或多项和的形式,就可以考虑用拆为和的方法来进行计算.例3.6.1 以),(),,(),,(233332332232222221311211x x x x M x x x x M x x x x M ------为顶点的三角形面积为D s =其中11121323233322222321212131x x x x x x x x x x x x D ------= ()()()()()()11111111121323222121332211------=x x x x x x x x x x x x .解 第一行为)1()1()1(11111121111)1)(1)(1(21332211321321232221321321------+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x D 23222132123132332111121))()()(1)(1)(1(21x x x x x x x x x x x x x x x +-------= )]1)(1)(1()[)()((21321321121323-------=x x x x x x x x x x x x . 四 、行列式的应用4.1 行列式在证明明微分中值定理中的应用 4.1.1 拉格朗日中值定理 设函数f 满足条件： （1）f 在闭区间],[b a 连续；（2）f 在开区间),(b a 内可导,则在),(b a 内至少存在一点ξ,使得ab a f b f f --=)()()('ξ.证明 我们可以构造行列式辅助型函数来证明明定理.设1)(1)(1)()(x f xb f ba f ax =φ因)(a f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,所以)(X φ在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且0)()(==b a φφ,故由罗尔定理知,至少存在一点),(b a ∈ξ使得())(10)()(1)('11)(1)()('x f a f b f ab a f a f b f ba f a --==ξξφ 所以ab a f b f f --=)()()('ξ4.1.2柯西中值定理（1）函数f 与g 都在闭区间],[b a 连续； （2）f 与g 都在开区间),(b a 内可导； （3）'f 与'g 则在),(b a 内不同时为零；（4）)()(b g a g ≠,则在),(b a 内至少存在一点ξ,使得)()()()()(')('a g b g a f b f g f --=ξξ.证明 设1)()(1)()(1)()()('b f b g a f a g x f x g x =φ由于)(x φ是)(),(x g x f 的多项式函数,从而在上],[b a 上连续,在),(b a 内可导,利用行列式性质易见),()(b a φφ=故由罗尔定理知,至少存在一点),(b a ∈ξ,使得1)()(1)()(1)(')(')(',0)('b f b g a f a g x f x g x ==φξφ 由此可得)()()(')(')(')('b g a g a f b f g f --=ξξ. 4.2 行列式在求逆矩阵中的应用设)()(F M a A n m ij ∈=,A 则是非奇异矩阵的充分且必要条件是0≠A ,且当0≠A 时,A 的逆矩阵*11A AA =-其中*A 是A 的伴随矩阵. 例4.2.1 设)()(R M a A n n n ij ∈=⨯是正交矩阵,则⎩⎨⎧=-=-==.,,2,1,,1||,;1||,n j i A A A A a ij ijij 若若证明 由A 正交知道|A|= ±1.于是A '=A -1=|A|-1(adjA)．故由(2)易见ij a 与ijA 有上述关系．4.3行列式在多项式理论中的应用例4.3.1 证明明一个n 次多项式至多有n 个互异根.证明 设n n x a x a x a a x f ++++= 2210)(有1+n 个互异的零点121,,,+n x x x 则有11,0)(2210+≤≤=++++=n i x a x a x a a x f n i n i i i .即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=+++++++00122111022222201221110n n n n n n nn na x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a 这个关于n a a a ,,,10 的齐次线性方程组的系数行列式0)(1111112122221211≠-=∏+≤≤≤++n i j j in n n nn nx xx x x x x x x x x因此0210=====n a a a a 这个矛盾表明至多有n 个互异根.例 4.3.2 设)(,),(),(121x f x f x f n - 是1-n 个复系数多项式,满足)()()(/112211n n n n n n x f x x xf x f x x ---++++++ .证明：0)1()1()1(121====-n f f f .证明 设)1)(()()()(11221---+++=+++n n n n n n x x x p x f x x xf x f 取ni n w ππ2sin 2cos+=分别12,,,-=n w w w x 代入,可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++--------.0)1()1()1(,0)1()1()1(,0)1()1()1(1)2)(1(2111)2(22211221n n n n n n n n f w f w f f wf w f f w wf f由此得到这个行列式关于)1(,),1(),1(121-n f f f 的齐次线性方程组的系数行列式0111)2)(1(1)2(222≠-----n n n n n w w w w w w.因此0)1()1()1(121====-n f f f .4.4 行列式在解析几何中的应用 4.4.1 在向量积、混合积中的应用 设{}k j i O ,,;为右手直角坐标系,k c j c i c k b j b i b k a j a i a 321321321,,++=++=++=γβα因为 j k i i j k k i j j i k i k j k j i -=⨯-=⨯-=⨯=⨯=⨯=⨯,,,,,所以 321321212131313232b b b a a a k j i k b b a aj b b a a i b b a a =+-=⨯βα()321321321321212313113232c c c b b b a a a c b b a a c b b a a c b b a a =+-=⋅⨯γβα 4.4.2 在面积、体积中的应用以k j b i b k j a i a 0,02121++=++=ηξ为邻边的平行四边形的面积为2121b b a a =⨯ηξ. 以k c j c i c k b j b i b k a j a i a 321321321,,++=++=++=γβα为相邻棱的平行六面体的体积为()321321321c c c b b b a a a =⋅⨯γβα. 4.4.3 在求解几何图形方程中的应用1)过不同两点()()222111,,,y x M y x M 的平面直线L 的方程为01112211=y x y x yx. 2)过不共线三点()()()333322221111,,,,,,,,z y x P z y x P z y x P 的平面π的方程为01111333222111=z y x z y x z y x z y x .行列式的应用是十分广泛的,本文只列举了行列式在数学中几个方面的应用,随着行列式理论的不断发展与完善,它必将应用到更加广泛的领域中.结语通过对行列式的计算方法的研究发现,不同的题目可能用到不同的计算方法,至于采用哪种方法进行计算要视具体的题目而定.每一种方法都各具特色,每一种方法都是从根本上解决行列式计算难的问题,简化了计算过程,避免了许多错误的出现.同样的题目有时也可以用不同的方法来计算,只要我们多观察行列式的特点就能找到适合的方法．特别需要注意的是有的行列式的计算不是单纯的一种方法就能够完成,有时需要用到两种或两种以上的方法.在对行列式定义及其方法了解透彻的基础上,可以将行列式灵活的运用在解决其它问题上.参考文献[1] 王文省,赵建立,于增海,王廷明.高等代数.山东大学出版社,2004.5.[2] 钱吉林.高等代数题解精粹[M].北京:中央民族大学出版社,2002．[3] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)[M].北京：高等教育出版社,2003.[4] 赵树原.线性代数(第三版)[M].北京:中国人民大学出版社,1998.[5] 金圣才.线性代数（理工类）考研真题与典型题详解[M].北京：中国石化出版社，2005：116-122.[6] 北京大学.高等代数[M].北京:高等教育出版社,1998.[7] 徐仲.线性代数典型题解集(第二版)[M].西安:西北工业大学出版社,2000．[8] 黎伯堂,刘桂良.高等代数解题技巧与方法.山东科学技术出版社,2002.[9] 同济大学数学系.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2007.[10] 王品超.高等代数新方法(下册)[M].徐州:中国矿业出版社,2003．[11] 卢潮辉.从一题多解看行列式的计算[M].牡丹江教育学院学报,2010年第1期.[12] 钱吉林.线性代数概论[M].武汉:华中师范大学出版社,2000.[13] 彭玉芳,尹福源.线性代数.北京:高等教育出版社.[14] 张秦龄,王凤瑞,王廷桢.高等代数思考与训练[M].成都科技大学出版社,1991.[15] 赵培标.中值定理矢量形式及其推广[J].数学通报,1997,(11):31-32.致谢在孙守斌老师的精心指导和大力支持下,我顺利完成了毕业论文写作. 几个月来,孙老师不仅在学业上给我以精心指导,同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀,在此谨向孙老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.孙老师以其严谨求实的治学态度,高度的敬业精神,兢兢业业,孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生了重要影响.他渊博的知识,开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪.同时,在此次毕业论文写作过程中我也学到了许多了关于行列式的相关知识,在分析问题并解决问题上有了很大的提高.在论文即将完成之际,我的心情无法平静,从开始进入课题到论文的顺利完成,有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助,在这里请接受我诚挚的谢意!。

行列式的计算方法综述目录1.定义法（线性代数释疑解难参考）2.化三角形法（线性代数释疑解难参考）3.逐行（列）相减法（线性代数释疑解难参考）4.升降法（加边法）（线性代数释疑解难参考）5.利用范德蒙德行列式（线性代数释疑解难参考）6.递推法（线性代数释疑解难参考）7.数学归纳法（线性代数释疑解难参考）8.拆项法（课外辅导书上参考）9.换元方法（课外辅导书上参考）10.拆因法（课外辅导书上参考）线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式的计算其中起重要作用。

下面由我介绍几种常见的计算行列式的方法：1.定义法由定义看出，n级行列式有!n个项。

n较大时，!n是一个很大的数字。

直接用定义来计算行列式是几乎不可能的事。

但在n 级行列式中的等于零的项的个数较多时，它展开式中的不等于零的项就会少一些，这时利用行列式的定义来计算行列式较方便。

例1.算上三角行列式1112122200n nnna a a a a a解：展开式的一般项为()()1212121n nj j j j j nj a a a τ-11121222112200n n nn nna a a a a a a a a =同样，可以计算下三角行列式的值。

112122112212000nnn n nna a a a a a a a a =2.化三角形法画三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形，化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的特点（主对角线上元素的乘积）求出值。

例2.计算n a b b bb ab b D b b ab b b ba =解：各行加到第一行中()()()111n a n b a n b a n bb a b D bba+-+-+-=()11111b a bba nb b b ab b b ba=+-⎡⎤⎣⎦ 把第二列到第n 列都分别加上第一列的()1-倍，有()()()110000110000n b a b a n b a n b a b bab bab--=⎡+-⎤=⎡+-⎤--⎣⎦⎣⎦-3.逐行（列）相减法有这样一类行列式，每相邻两行（列）之间有许多元素相同，且这些相同元素都集中在某个角上。

线性代数论文题目：行列式的解法技巧及应用学院：资源与环境学院专业：土木工程（岩土及地下建筑方向）*名：***学号：*********指导教师：**华北水利水电大学2012年 10月 20 日目录1 行列式的定义和性质 (3)1.1行列式的定义 (4)1.2行列式的性质 (4)2求解行列式的技巧 (6)2.1定义法 (6)2.2化三角形法 (7)2.3析因法 (8)2.4连加法 (10)2.5按行按列展开（降阶法） (11)2.6递推法 (12)2.7数学归纳法 (13)2.8加边法（升阶法） (14)2.9拆项法 (16)2.10拉普拉斯法 (18)2.11利用范德蒙行列式法 (19)3行列式的应用 (20)3.1 行列式在线性方程组中的应用 (21)3.2 行列式在初等代数中的应用 (22)3.2.1 用行列式分解因式 (22)3.2.2 用行列式证明不等式和恒等式 (23)4参考文献 (24)5致谢 (25)摘要：行列式是线性代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。

本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。

通过这一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。

关键词:行列式；矩阵；范德蒙行列式；递推法The calculation method of determinantAbstract: Determinant is an basic and important subject in advanced algebra ,it is very useful in mathematic. It is very important to know how to calculate determinant. The paper first introduced the basic nature of determinant,then introduced some methods, Finally,with the other determinant of knowledge on the links in several other ways.,through this series of methods will futher enhance our understanding of the determinat,on our learning will bring very useful help.Keywords: Determinant；matrix；Vandermonde Determinant；recurrence method行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题技巧进行总结归纳。

【最新整理，下载后即可编辑】行列式的计算方法摘要：行列式计算的技巧性很强．理论上，任何一个行列式都可以按照定义进行计算，但是直接按照定义计算而不借助于计算机有时是不可能的．本文在总结已有常规行列式计算方法的基础上，对行列式的计算方法和一些技巧进行了更深入的探讨．总结出“定义法”、“化三角形法”、“滚动消去法”、“拆分法”、“加边法”、“归纳法”、“降级法”、“特征值法”等十几种计算技巧和途径． 关键词： 行列式 计算方法行列式是研究某些数的“有规”乘积的代数和的性质及其计算方法.它起源于解线性方程, 以后逐步地应用到数学的其它领域.行列式的计算通常要根据行列式的具体特点,采用相应的计算方法. 这里介绍几种常见的,也是行之有效的计算方法. 1.对角线法则对角线法则是行列式计算方法中最为简单的一种，记忆起来很方便，但它只适用于二阶和三阶行列式，四阶及以上的行列式就不能采用此方法．2.定义法根据行列式定义可知，如果所求的行列式中含的非零元素特别少(一般不多于n 2个) ，可以直接利用行列式的定义求解，或者行列式的阶数比较低(一般是2阶或者3阶) ．如果对于一些行列式的零元素(若有)分布比较有规律，如上(下) 三角形行列式以及含零块形式的行列式可以考虑用定义法求解．例1 计算行列式004003002001000这是一个四级行列式，在展开式中应该有24!4=项．但是由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少了．我们具体地来看一下．展开式中项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的那些项；同理，只需考虑32=j ，23=j ，14=j 这些列指标的项．这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a 这一项，而6)4321(=τ，这一项前面的符号应该是正的． 所以原式=2443210004003002001000=⋅⋅⋅= 3.化为三角形计算法例2 计算行列式1078255133********-------解：1017008160017251307139124392602634260172513071391107825513315271391--=------=-------3122400021001725130713911017002100172513071391-=-----=----=这个例子尽管简单, 但化三角形这一方法, 在计算行列式中占有十分重要的地位,而化为三角形的方法又有很多种, 下面介绍的1、2、3、4这三种都可以作为化三角形的几种手段, 当然它们除化为三角形外, 还有其它的作用．3.1各行(或列)加减同一行(或列)的倍数适用于加减后某一行（列）诸元素有公共因子或者三角形的情形 例3 计算行列式nn n n n ny x y x y x y x y x y x y x y x y x d +++++++++=111111111212221212111解：当3≥n 时，各列减去第一列 得：0)()(1)()(1)()(1112112122121112111=--+--+--+=y y x y y x y x y y x y y x y x y y x y y x y x d n n n n n n之所以等于零，是因为有两列成比例． 另外，当2=n 时，))((1111121222122111y y x x y x y x y x y x --=++++这个例子还附带说明, 有时题目并没有指定级数, 而行列式之值与级数有关时, 还需进行讨论说明．3.2各行(或列)加到同一行(或列)上去适用于各列(行)诸元素之和相等的情况. 例4 计算行列式ab b b b b a b bb b a=∆解：把所有各列都加到第一列上去， 得：1)]()1([000001])1([111])1([)1()1()1(---+=---+=-+=-+-+-+=∆n b a b n a ba b a b b b b n a ab b b b a bb b b n a ab b b n a b b a b n a b b b b n a3.3 逐行(或列)相加减有一些行列式能通过逐行相加、减得到很多的零。

X X 大学行列式的计算学生：学号：班级：专业：系别:指导教师：行列式的计算摘要：行列式是高等代数研究中的一个重要工具.本文从行列式的计算出发，通过例题，介绍行列式计算中的一些方法，同时初步给出了一些特殊行列式的计算方法，得出了一些关于行列式计算的技巧.关键词：行列式；三角化法；因式定理法；递推法；数学归纳法引言行列式出现于线性方程组的求解，它最早是一种速记的表达式，现在已经是数学中一种非常有用的工具.行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的.同时代的日本数学家关孝和在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法.1750年，瑞士数学家克拉默(1704-1752)在其著作《线性代数分析导引》中，对行列式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在我们所称的解线性方程组的克拉默法则.稍后，数学家贝祖(1730-1783)将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解.行列式是多门数学分支学科一个工具，在我们学习《高等代数》时，书中只介绍了几种较简单的行列式计算方法，但是在遇到比较复杂或技巧性比较强的行列式时，只局限于书上的几种方法，那解题就有点麻烦.这里我讨论了行列式计算的若干方法，针对不同的行列式来选择相对简单的计算方法，来提高解题的效率.1 基本概念的简单介绍 1.1 n 级行列式定义1]1[n 级行列式nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211（1）等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积nnj j j a a a 2121的代数和.其中n j j j 21是1,2,,n 的一个排列，n nj j j a a a 2121的每一项都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，nnj j j a a a 2121带有正号，当n j j j 21是奇排列时，n nj j j a a a 2121带有负号.1.2 矩阵在叙述行列式的重要公式和结论以及后面计算行列式过程中可能要用到矩阵及其有关概念，所以在这里简单介绍一下矩阵及其部分概念.定义2]1[由s n ⨯个数排成的s 行（横的）n 列（纵的）的表111212122212n n s s sn a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭（2）称为一个s n ⨯矩阵.特别地，当s n =时，（1）称为（2）的行列式，如果把（2）记作A ，则（1）表示为A .定义3]1[在行列式nnn n nn a a a a a a a a a 212222111211中划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列后，剩下的2)1(-n 个元素按照原来的排法构成一个1-n 级行列式nnj n j n n ni j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111+-+++-++-+----+-（3）称为元素ij a 的余子式，记作ij M ，而ij j i M +-)1(称为ij a 的代数余子式，记作：ij j i ij M A +-=)1(（4）定义4]1[我们把112111222212s s nnsn s na a a a a a a a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（5） 称为矩阵（2）转置，记作A '或T A ，显然，s n ⨯矩阵的转置是n s ⨯矩阵.定义5]1[在一个n 级行列式D 中任意选定k 行k 列)(n k ≤位于这些行和列的交点上的2k 个元素按照原来的次序组成一个k 级行列式M ,称为行列式D 的一个k 级子式.2 行列式的性质按照行列式的值可分为以下几类： 性质1 行列式值为01) 如果行列式有两行相同，则行列式值为0; 2) 如果行列式有两行成比例，则行列式值为0; 3) 行列式中有一行为0，则行列式的值为0. 性质2 行列式值不变1) 把一行的倍数加到另一行，行列式值不变, 即nnn n kn k k knin k i k i nnn n n kn k k in i i na a a a a a ca a ca a ca a a a a a a a a a a a a a a a a212122111121121212111211+++=（6） 其中R c ∈.2) 行列互换，行列式值不变, 即nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111（7）3) 如果行列式的某一行是两组数的和，那么它就等于两个行列式的和, 这两个行列式除这一行外其余与原来行列式对应相同,即nnn n n n nn n n n n nn n n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a21211121121211121121221111211+=+++（8）性质3 行列式的值改变一行的公因子可以提出去，或者说用一数乘以行列式的一行就等于用该数乘以此行列式nnn n in i i nnn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a212111************=（9） 性质4 行列式反号对换行列式两行的位置，行列式反号nnn n in i i kn k k nnn n n kn k k in i i na a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a2121211121121212111211-=（10） 3 行列式的计算3.1 一些重要的公式和结论(1) 行列式按行（或列）展开设)(ij a A =为n 级方阵，ij A 为ij a 的代数余子式，则⎩⎨⎧≠==+++ji ji A A a A a A a jn in j i j i ,0,2211 （11）⎩⎨⎧≠==+++ji ji A A a A a A a nj ni j i j i ,0,2211 （12）(2) 设A 为n 级方阵，则A A T =（13）(3) 设A 为n 级方阵，则A k kA n =（14）(4) 设B A ,为n 级方阵，则B A AB =,但B A B A ±≠±（15）BA A B B A AB ===, （但一般地BA AB ≠）（16） (5) (拉普拉斯定理)设在n 级行列式D 中任意取定了)11(-≤≤n k k 个行，由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D .(6) 设A 为m 级方阵，B 为n 级方阵，则：00m m m n nnA A AB B B *==*,但是：0(1)0n mn m n mB A B A =-（17）(7) 德蒙德行列式1222212111112111()n n n j i i j nn n n nx x x D x x x x x x x x ≤<≤---==-∏（18）(8) 一些特殊行列式的值111222nnnλλλλλλλλλ***==***（19）对角行列式上三角行列式下三角行列式111222nnnλλλλλλλλλ***==***（20）次对角行列式次上三角行列式次下三角行列式说明：（19）（20）中的行列式中*号处的元素不全为零. 3.2 低级行列式的计算 3.2.1 利用行列式定义，性质例1计算行列式yxyx x y x y y x y xD +++=3 解：可以直接按照定义把行列式写开，得)(2))((233223y x y xy x y x D +-=-+-+=.3.2.2 利用三角化法例2 计算行列式3112321014D -= 解：利用三角化法：4105502114101232113--=-=D 112(5)011014-=--112(5)01125005-=--=.3.3 n 级行列式的计算 3.3.1 利用定义3.3.2 逐行（列）相减（加）法 3.3.3 利用因式定理法3.3.4 递推降级法3.3.5 拆分法3.3.6 数学归纳法3.3.7 利用公式和定理参考文献[1] 王萼芳，石生明．高等代数[M]．大学数学系几何与代数教研室前代数小组编,1988．03．[2] 禾瑞，郝炳新．高等代数[M]．高等教育, 1983．04．[3] 志慧，．高等代数分析与选讲[M]．师大学数学与信息科学学院,2005．09．[4] 耿锁华．行列式性质的应用[M]．审计学院, 2006．01．[5] 高丽，郭海清．两类特殊行历史的计算[M]．西南民族大学, 2007．06．[6] 崇华．一类行列式的计算公式[M]．大学, 2006．04.[7] 立英，成群．n级行列式的计算方法与技巧[M]．XX师学院, 2006．01.[8] 清华，昊，金兰．高等代数容、方法与技巧[M]．华中科技大学, 2006．08.[9] 毛纲源．线性代数解题方法技巧归纳(第二版)[M]．华中理工大学, 2007．06.The calculation of determinantAbstractDeterminant is an important tool to study in higher algebra. In this paper, from the determinant calculation by examples, introduces some methods of determinant putation, at the same time, the preliminary calculation method is given. Some special determinant, draw some about the determinant calculation skills.KeywordsDeterminant; triangulation; factorization theorem; recursive method; mathematical inductionIntroductionSolving the determinant in linear equations, it is the first expression is a shorthand, now is a very useful tool in mathematics. The determinant is invented by Leibniz and the Japanese mathematician Seki takakazu. Contemporary Japanese mathematician Seki Takakazu in his book "V" thematic method solution also proposed the concept and algorithm of determinant.In 1750, the Swiss mathematician Cramer (1704-1752) in his book "linear algebra analysis guide", the definition of the determinant and expansion gives a relatively plete, clear, and gives now we call the solution of linear equations of the Cramer's rule. Later, the mathematician Bei Zu (17 30-1783) will determine the method of determinant each symbol is a systematic concept, using the coefficient determinant points out how to judge a homogeneous linear equations with non-zero solution.The determinant is one branch of mathematics as a tool, we learn in "Higher Algebra", the bookdescribes only the determinant of some simple calculation methods, but in the face of the plicated or skills relatively strong determinant, several methods are confined to the book, the problem a bit of trouble. Here I discuss some methods for calculating determinant, the determinant to choose according to different method to calculate the relative simple, to improve the efficiency of problem solving.1 A brief introduction to the Basic Concepts1.1 n determinantDefines 1 levels of determinantnnn n nn a a a a a a a a a 212222111211（1）Is equal to the algebraic sum of all taken from different lines of different column n elements of the product n nj j j a a a 2121 Where n j j j 21 is the 1, 2,…, n an order, n nj j j a a a 2121 each one of them according to the following rules with symbols: when n j j j 21 is even permutation, with positive n nj j j a a a 2121, n j j j 21 when is odd permutation, n nj j j a a a 2121 with a minus sign.1.2 matrixMay be used as matrix and its related concept in the process of the determinant of the determinant formula and conclusions and back calculation, so here is simple to introduce the concept of matrix and its parts.Definition 2 by the number of s n ⨯ into s lines (horizontal) n column (vertical) inTable 111212122212n n s s sn a a a a aa a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭（2） Known as a s n ⨯ matrix.In particular, when s n =, (1) (2) is called the determinant, if (2) denoted as A, then (1)expressed as a ADefinition 3In the determinant ofnnn n nn a a a a a a a a a 212222111211In return for element ij a in the i and j columns, the rest of the 2)1(-n elements according to the original method consisting of a n-1 determinant ofnnj n j n n ni j i j i i n i j i j i i n j j a a a a a a a a a a a a a a a a1,1,1,11,11,11,1,11,11,11,111,11,111+-+++-++-+----+-（3）.Known as the cofactor element ij a type, denoted as ij M , while the ij j i M +-)1( is called the algebraic ij a type, denoted as:ij j i ij M A +-=)1(（4）.Definition 4 We call 112111222212s s n nsn s na a a aa a a a a ⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭（5）Known as the matrix transpose (2), denoted as A ' or T A , apparently, transpose ofs n ⨯matrix is n s ⨯ .Definition 5 In n determinant of D in any of the selected k row k column )(n k ≤ is located in the intersection of these rows and columns of the 2k elements according to the original order in which a k determinant of M, called a k step determinant of D type.2 Properties of the determinantAccording to the value of determinant can be divided into the following categories: (1) Properties of determinant value is 01) If there are two lines of the same determinant, the determinant value of 0; 2) If the determinant is two in proportion, the determinant value of 0; 3) The determinant of a behavior of 0, the determinant of the value of 0 (2) Properties of determinant.1) The line ratio to another line, the determinant of invariant, i.e.nnn n kn k k knin k i k i nnn n n kn k k in i i na a a a a a ca a ca a ca a a a a a a a a a a a a a a a a212122111121121212111211+++=（6） R c ∈2) Transpose, determinant value unchanged, i.e.nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211=nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111（7）3) If a row determinant is two sets of numbers and, then it is equal to the two determinant and the two determinant, in addition to the line outside the rest with the original determinant corresponding to the same, i.e.nnn n n n nn n n n n nnn n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a21211121121211121121221111211+=+++（8）(3)Change properties of determinantThe mon factor line can be put forward to, or use a multiplied by the determinant of a is equal to the number is multiplied by this determinantnn n n in i i n nn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a212111************=（9） (4)Properties of determinant inverse number On line two, the number of determinantnnn n in i i kn k k nnn n n kn k k in i i na a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a2121211121121212111211-=（10） 3Calculation of determinant3.1 Some important formulas and conclusions(1) The determinant line (or column) expansionLet )(ij a A = be n matrix, the ij A cofactor ij a type, then⎩⎨⎧≠==+++j i ji A A a A a A a jn in j i j i ,0,2211 （11）⎩⎨⎧≠==+++ji ji A A a A a A a nj ni j i j i ,0,2211 （12）(2) Let A be a n matrix,A A T =（13）(3) Let A be a n matrix,A k kA n =（14）(4) Let A, B is n matrix, B A AB =,但B A B A ±≠±（15）BA A B B A AB ===, (, but generally BA AB ≠ ) (16)(5) (Laplasse theorem) In arbitrary n determinant of D in the )11(-≤≤n k k line, product of algebraic all k type consisted of the k elements and their type and is equal to the determinant of D.(6) Let A be a m matrix, B matrix, n,m m m n nnA A AB B B *==*But,0(1)0n mn m n mB A B A =-（17）(7) Van Redmond determinant1222212111112111()n n n j i i j nn n n nx x x D x x x x x x x x ≤<≤---==-∏(18).(8) Some special determinant value111222nnnλλλλλλλλλ***==***(19)111222nnnλλλλλλλλλ***==***(20).Notes: (19) (20) of the determinant of the elements * are not all zero.3.2Calculation of primary determinant3.2.1 Use of the definition of the determinant, properties 1 cases of puting determinant ofyxyx x y x y y x y x D +++=3 Solution: can be directly according to the definition of the determinant is written,)(2))((233223y x y xy x y x D +-=-+-+=.3.2.2 Uses triangulation method 2 cases of puting determinant of3112321014D -= Solution : the use of triangulation method4105502114101232113--=-=D 112(5)011014-=--112(5)01125005-=--=3.3Calculation of level n determinant3.3.1Using the definition3.3.2 Row (column) subtract (add) method 3.3.3 Factor theorem method3.3.4The recursive degradation method3.3.5 Method3.3.6 Mathematical induction3.3.7Using the formula and theoremReference[1] Wang Efang, Ihi Kim algebraic geometry and higher algebra [M]. 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