第一单元集合与常用逻辑用语第1课集__合[过双基]1．集合的含义及表示(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合．集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的关系：①属于，记为∈；②不属于，记为∉.(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法．(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*或N＋，整数集Z，有理数集Q，实数集R.2．集合间的基本关系A B或B A3．集合的基本运算(1)集合A 是其本身的子集，即A ⊆A ； (2)子集关系的传递性，即A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ；(3)A ∪A ＝A ∩A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∩∅＝∅，∁U U ＝∅，∁U ∅＝U . [小题速通]1．(2018·江西临川一中期中)已知集合A ＝{2,0,1,8}，B ＝{k |k ∈R ，k 2－2∈A ，k －2∉A }，则集合B 中所有的元素之和为( )A ．2B ．－2C ．0D. 2解析：选B 若k 2－2＝2，则k ＝2或k ＝－2，当k ＝2时，k －2＝0，不满足条件，当k ＝－2时，k －2＝－4，满足条件；若k 2－2＝0，则k ＝±2，显然满足条件；若k 2－2＝1，则k ＝±3，显然满足条件；若k 2－2＝8，则k ＝±10，显然满足条件．所以集合B 中的元素为－2，±2，±3，±10，所以集合B 中的元素之和为－2，故选B.2．(2018·河北武邑中学期中)集合A ＝{x |x 2－7x <0，x ∈N *}，则B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪6y ∈N *，y ∈A 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 D A ＝{x |x 2－7x <0，x ∈N *}＝{x |0<x <7，x ∈N *}＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪6y∈N *，y ∈A ＝{1,2,3,6}，则B 中元素的个数为4个． 3．(2017·黄冈三模)设集合U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{x ∈N|x 2－5x ＋4<0}，则∁U A 等于( )A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{2,4}D ．{1,3,4}解析：选B 因为集合U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{x ∈N|x 2－5x ＋4<0}＝{x ∈N|1<x <4}＝{2,3}，所以∁U A ＝{1,4}．4．(2017·天津高考)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R|－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R|－1≤x ≤5}解析：选B A ∪B ＝{1,2,4,6}，又C ＝{x ∈R|－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}．5．(2017·衡水押题卷)已知集合A ＝{x |x 2－2x ≤0}，B ＝{y |y ＝log 2(x ＋2)，x ∈A }，则A ∩B 为( )A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(1,2)D ．[1,2]解析：选D 因为A ＝{x |0≤x ≤2}，所以B ＝{y |y ＝log 2(x ＋2)，x ∈A }＝{y |1≤y ≤2}，所以A ∩B ＝{x |1≤x ≤2}．[清易错]1．在写集合的子集时，易忽视空集．2．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．3．在应用条件A ∪B ＝B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ⊆B 时，易忽略A ＝∅的情况．1．(2018·西安质检)已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M ，且2x ∉M }的子集的个数为( )A ．8B ．4C ．3D ．2解析：选B 由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22＝4个，故选B.2．已知全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|a ＋1|,2}，∁U A ＝{a ＋3}，则实数a 的值为________．解析：∵∁U A ＝{a ＋3}，∴a ＋3≠2且a ＋3≠|a ＋1|且a ＋3∈U ， 由题意，得a ＋3＝3或a ＋3＝a 2＋2a －3， 解得a ＝0或a ＝2或a ＝－3，又∵|a ＋1|≠2且A U ，∴a ≠0且a ≠－3，∴a ＝2. 答案：23．设集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，集合B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数m 组成的集合是________．解析：由题意知A ＝{2,3}，又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A . 当m ＝0时，B ＝∅，显然成立；当m ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1m ⊆{2,3}，所以1m ＝2或1m ＝3，即m ＝12或13.故m 组成的集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，13.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，13[全国卷5年命题分析]考点 考查频度 考查角度集合的基本概念 5年2考 集合的表示、集合元素的性质集合间的基本关系 未考查集合的基本运算 5年11考交、并、补运算，多与不等式相结合集合的基本概念[典例] (1)∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6(2)(2018·厦门模拟)已知P ＝{x |2<x <k ，x ∈N}，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________．[解析] (1)∵a ∈A ，b ∈B ，∴x ＝a ＋b 为1＋4＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8，共4个元素．(2)因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5<k ≤6. [答案] (1)B (2)(5,6] [方法技巧]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．[即时演练]1．(2018·莱州一中模拟)已知集合A ＝{x ∈N|x 2＋2x －3≤0}，B ＝{C |C ⊆A }，则集合B 中元素的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C A ＝{x ∈N|(x ＋3)(x －1)≤0}＝{x ∈N|－3≤x ≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B 中元素的个数为4，选C.2．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.答案：－32集合间的基本关系[典例] (1)则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，0]∪[3，＋∞)C ．[0,2]D ．[0,3](2)已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，B ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若B ⊆(A ∩B )，则实数a 的取值范围为________．[解析] (1)∵C ⊆A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＋1≤3，解得0≤a ≤2，故实数a 的取值范围为[0,2]．(2)因为B ⊆(A ∩B )，所以B ⊆A . ①当B ＝∅时，满足B ⊆A ， 此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32；②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②可知，实数a 的取值范围为(－∞，－1]． [答案] (1)C (2)(－∞，－1] [方法技巧]已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析．[即时演练]1．设U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}，若B ⊆A ，则m ＝________.解析：由已知得A ＝{x |x ＝－2或x ＝－1}，B ＝{x |x ＝－1或x ＝－m }．因为B ⊆A ，当－m＝－1，即m＝1时，满足题意；当－m＝－2，即m＝2时，满足题意，故m＝1或2.答案：1或22．已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A⊆B，实数a的取值范围是(c，＋∞)，则c＝________.解析：由log2x≤2，得0<x≤4，即A＝{x|0<x≤4}，而B＝(－∞，a)，由于A⊆B，如图所示，则a>4，即c＝4.答案：4求交集或并集；交、并、补的混合运算；集合运算中的参数范围；集合的新定义问题角度一：求交集或并集1．(2017·山东高考)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )A．(1,2) B．(1,2]C．(－2,1) D．[－2,1)解析：选D 由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．2．(2017·浙江高考)已知集合P＝{x|－1<x<1}，Q＝{x|0<x<2}，那么P∪Q＝( ) A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)解析：选A 根据集合的并集的定义，得P∪Q＝(－1,2)．角度二：交、并、补的混合运算3．设全集U＝R，集合A＝{x|x>0}，B＝{x|x2－x－2<0}，则A∩(∁U B)＝( )A ．(0,2]B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2，＋∞)解析：选D 因为A ＝{x |x >0}，B ＝{x |－1<x <2}， 所以∁U B ＝{x |x ≤－1或x ≥2}， 所以A ∩(∁U B )＝{x |x ≥2}．4．若全集U ＝R ，集合A ＝{x |1<2x<4}，B ＝{x |x －1≥0}，则A ∪(∁U B )＝________. 解析：A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x ≥1}，则∁U B ＝{x |x <1}，所以A ∪(∁U B )＝{x |x <2}． 答案：{x |x <2}角度三：集合运算中的参数范围5．(2017·上海高考)设集合A ＝{x ||x －2|≤3}，B ＝{x |x <t }，若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是________．解析：因为集合A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |x <t }，且A ∩B ＝∅，所以t ≤－1，即实数t 的取值范围是(－∞，－1]．答案：(－∞，－1] 角度四：集合的新定义问题6．设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为：M －P ＝{x |x ∈M ，且x ∉P }，则M －(M －P )＝( )A ．PB ．M ∩PC ．M ∪PD ．M解析：选B 设全集U ，由题意可得M －P ＝M ∩(∁U P )，所以M －(M －P )＝M ∩P .7．对于集合M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ∈M ，1，x ∉M ，对于两个集合A ，B ，定义集合A ΔB＝{x |f A (x )·f B (x )＝－1}．已知A ＝{2,4,6,8,10}，B ＝{1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A ΔB 的结果为________．解析：由题意知当x ∈A 且x ∉B 或x ∈B 且x ∉A 时，有f A (x )·f B (x )＝－1成立，所以A ΔB ＝{1,6,10,12}．答案：{1,6,10,12} [方法技巧]解集合运算问题4个注意点(1)看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键． (2)对集合化简有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)应用数形常用的数形结合形式有数轴和Venn图．(4)创新性问题以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决．1．(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅解析：选A ∵集合A＝{x|x<1}，B＝{x|x<0}，∴A∩B＝{x|x<0}，A∪B＝{x|x<1}，故选A.2．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}，则A∪B ＝( )A．{1} B．{1,2}C．{0,1,2,3} D．{－1,0,1,2,3}解析：选 C 因为B＝{x|(x＋1)(x－2)<0，x∈Z}＝{x|－1<x<2，x∈Z}＝{0,1}，A＝{1,2,3}，所以A∪B＝{0,1,2,3}．3．(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝( ) A．(－1,3) B．(－1,0)C．(0,2) D．(2,3)解析：选A 将集合A与集合B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A.4．(2014·全国卷Ⅱ)已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{ x|x2－x－2＝0}，则A∩B＝( ) A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}解析：选B 因为B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1,2}，A＝{－2,0,2}，所以A∩B＝{2}，故选B.5．(2013·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则( ) A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆A D.A⊆B解析：选B 因为集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R ，故选B.一、选择题1．(2017·北京高考)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－2<x <－1} B ．{x |－2<x <3} C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <3}解析：选A 由集合交集的定义可得A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．2．设集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |2x ∈N}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：选D 因为A ＝{x |－3<x <3}，B ＝{x |2x ∈N}，所以由2x ∈N 可得A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1，32，2，52，其元素的个数是6.3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.4．设集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}，B ＝{x |x >0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，3) C ．(0,3)D ．(－1,3)解析：选A 因为集合A ＝{x |x 2－2x －3<0}＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x >0}，所以A ∪B ＝{x |x >－1}．5．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B ＝( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}解析：选C 因为A ∩B ＝{1}，所以1∈B ，所以1是方程x 2－4x ＋m ＝0的根，所以1－4＋m ＝0，m ＝3，方程为x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3，所以B ＝{1,3}．6．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数是( )A ．7B ．10C ．25D ．52解析：选B 因为A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1,2,3}， 所以A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3}． 由x ∈A ∩B ，可知x 可取0,1； 由y ∈A ∪B ，可知y 可取－1,0,1,2,3. 所以元素(x ，y )的所有结果如下表所示：所以A *B 中的元素共有10个．7．(2017·吉林一模)设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，若A ∩B 中只有一个元素，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．[0,1)C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1]解析：选B 由题意知，集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，画出数轴(如图所示)．若A ∩B 中只有一个元素，则0≤a <1，故选B.8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3}解析：选B 由log 2x <1，得0<x <2， 所以P ＝{x |0<x <2}． 由|x －2|<1，得1<x <3， 所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}． 二、填空题9．(2018·辽宁师大附中调研)若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．解析：由题意知，集合A 有且仅有两个子集，则集合A 中只有一个元素．当a －1＝0，即a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，满足题意；当a －1≠0，即a ≠1时，要使集合A 中只有一个元素，需Δ＝9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.综上可知，实数a 的值为1或－18.答案：1或－1810．已知集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x －1≥1}．若A ∩B 是集合{x |x ≥a }的子集，则实数a 的取值范围为________．解析：∵由x －1≥1，得x ≥2，∴B ＝{x |x ≥2}． ∵A ＝{x |1≤x ≤3}，∴A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}． 若集合A ∩B ＝{x |2≤x ≤3}是集合{x |x ≥a }的子集， 则a ≤2. 答案：(－∞，2]11．(2018·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)解析：假设a 1∈A ，则a 2∈A ，由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，故假设不成立；假设a 4∈A ，则a 3∉A ，a 2∉A ，a 1∉A ，故假设不成立．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a 2，a 3}12．(2016·北京高考)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种； ②这三天售出的商品最少有________种．解析：设三天都售出的商品有x 种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，则三天售出商品的种类关系如图所示．由图可知：①第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x )－x ＝16(种)．②这三天售出的商品有(16－y )＋y ＋x ＋(3－x )＋(6＋x )＋(4－x )＋(14－y )＝43－y (种)．由于⎩⎪⎨⎪⎧16－y ≥0，y ≥0，14－y ≥0，所以0≤y ≤14.所以(43－y )min ＝43－14＝29. 答案：①16 ②29 三、解答题13．已知A ＝{x |－1<x ≤3}，B ＝{x |m ≤x <1＋3m }． (1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围． 解：(1)因为m ＝1时，B ＝{x |1≤x <4}， 所以A ∪B ＝{x |－1<x <4}． (2)∁R A ＝{x |x ≤－1或x >3}．当B ＝∅时，则m ≥1＋3m ，得m ≤－12，满足B ⊆∁R A ，当B ≠∅时，要使B ⊆∁R A ，须满足⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，1＋3m ≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1＋3m ，m >3，解得m >3.综上所述，m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12∪(3，＋∞)．14．记函数f (x )＝ 2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1)的定义域为B .(1)求A ；(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值范围． 解：(1)由2－x ＋3x ＋1≥0，得x －1x ＋1≥0， 解得x <－1或x ≥1，即A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． (2)由(x －a －1)(2a －x )>0， 得(x －a －1)(x －2a )<0，∵a <1，∴a ＋1>2a ，∴B ＝(2a ，a ＋1)，∵B ⊆A ，∴2a ≥1或a ＋1≤－1，即a ≥12或a ≤－2，∵a <1，∴12≤a <1或a ≤－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.1．已知定义域均为{x |0≤x ≤2}的函数f (x )＝xe x －1与g (x )＝ax ＋3－3a (a >0)，设函数f (x )与g (x )的值域分别为A 与B ，若A ⊆B ，则a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．[1,2]C ．[0,2]D ．[1，＋∞)解析：选B 因为f ′(x )＝1－x e x －1，所以f (x )＝xex －1在[0,1)上是增函数，在(1,2]上是减函数，又因为f (1)＝1，f (0)＝0，f (2)＝2e ，所以A ＝{x |0≤x ≤1}；由题意易得B ＝[3－3a,3－a ]， 因为[0,1]⊆[3－3a,3－a ]，所以3－3a ≤0且3－a ≥1，解得1≤a ≤2.2．已知集合A ＝{x |x 2－2 018x ＋2 017<0}，B ＝{x |log 2x <m }，若A ⊆B ，则整数m 的最小值是________．解析：由x 2－2 018x ＋2 017<0，解得1<x <2 017，故A ＝{x |1<x <2 017}．由log 2x <m ，解得0<x <2m，故B ＝{x |0<x <2m}．由A ⊆B ，可得2m≥2 017，因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m 的最小值为11.答案：11第2课命题及其关系__充分条件与必要条件[过双基]1．命题2(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件p 是q 的必要不充分条件 p ⇒/q 且q ⇒p B 是A 的真子集充要条件p 是q 的充要条件p ⇔qA ＝B p 是q 的既不充分也不必要条件p ⇒/q 且q ⇒/pA ，B 互不包含[1．命题“若a >b ，则ac >bc ”的逆否命题是( ) A ．若a >b ，则ac ≤bc B ．若ac ≤bc ，则a ≤b C ．若ac >bc ，则a >bD ．若a ≤b ，则ac ≤bc解析：选B 由逆否命题的定义可知，答案为B.2．已知命题p ：对于x ∈R ，恒有2x＋2－x≥2成立；命题q ：奇函数f (x )的图象必过原点，则下列结论正确的是( )A ．p ∧q 为真B ．(綈p )∨q 为真C ．p ∧(綈q )为真D ．(綈p )∧q 为真解析：选C 由指数函数与基本不等式可知，命题p 是真命题；当函数f (x )＝1x时，是奇函数但不过原点，则可知命题q 是假命题，所以p ∧(綈q )是真命题，故选C.3．已知p ：x >1或x <－3，q ：x >a ，若q 是p 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．(－∞，1] C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：选A 法一：设P ＝{x |x >1或x <－3}，Q ＝{x |x >a }，因为q 是p 的充分不必要条件，所以Q P ，因此a ≥1.法二：令a ＝－3，则q ：x >－3，则由命题q 推不出命题p ，此时q 不是p 的充分条件，排除B 、C ；同理，取a ＝－4，排除D ，选A.4．已知命题p ：x ≠π6＋2k π，k ∈Z ；命题q ：sin x ≠12，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 令x ＝5π6，则sin x ＝12，即p ⇒/ q ；当sin x ≠12时，x ≠π6＋2k π或5π6＋2k π，k ∈Z ，即q ⇒p ，因此p 是q 的必要不充分条件．[清易错]1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同．1．“若x ，y ∈R 且x 2＋y 2＝0，则x ，y 全为0”的否命题是( ) A ．若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 全不为0 B ．若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0 C ．若x ，y ∈R 且x ，y 全为0，则x 2＋y 2＝0 D ．若x ，y ∈R 且xy ≠0，则x 2＋y 2＝0解析：选B 原命题的条件：x ，y ∈R 且x 2＋y 2＝0， 结论：x ，y 全为0.否命题是否定条件和结论．即否命题：“若x ，y ∈R 且x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全为0”．2．设a ，b ∈R ，函数f (x )＝ax ＋b (0≤x ≤1)，则f (x )>0恒成立是a ＋2b >0成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 充分性：因为f (x )>0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ＝b >0，f＝a ＋b >0，则a ＋2b >0，即充分性成立；必要性：令a ＝－3，b ＝2，则a ＋2b >0成立，但是，f (1)＝a ＋b >0不成立，即f (x )>0不恒成立，则必要性不成立．所以答案为A.[全国卷5年命题分析]考点考查频度 考查角度 四种命题的相互关系及真假判断5年1考 命题的真假判断 充分条件、必要条件5年1考充要条件的判断命题的相互关系及真假性[典例] 0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定(2)原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的依次判断正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假[解析] (1)命题p：“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数，则它的平方不等于0”，从而q是p的否命题．(2)原命题是：“若a n＋1<a n，n∈N*，则{a n}为递减数列”为真命题，则其逆否命题为真，逆命题是：“若{a n}为递减数列，n∈N*，则a n＋1<a n”为真命题，所以否命题也为真命题．[答案] (1)B (2)A[方法技巧]命题的关系及真假判断(1)在判断命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再分析每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性．(2)判断命题真假的方法：一是联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断；二是利用原命题和其逆否命题的等价关系进行判断．[即时演练]1．已知命题α：如果x<3，那么x<5；命题β：如果x≥3，那么x≥5；命题γ：如果x≥5，那么x≥3.关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是( )①命题α是命题β的否命题，且命题γ是命题β的逆命题；②命题α是命题β的逆命题，且命题γ是命题β的否命题；③命题β是命题α的否命题，且命题γ是命题α的逆否命题．A．①③ B．②C．②③D．①②③解析：选A 命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此①正确，②错误，③正确．2．给出命题：若函数y＝f(x)是幂函数，则函数y＝f(x)的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0解析：选C 易知原命题是真命题，则其逆否命题也是真命题，而逆命题、否命题是假命题，故它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题只有一个．充分、必要条件的判定[典例] n S n，则“d>0”是“S4＋S6>2S5”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)设α：1≤x≤3，β：m＋1≤x≤2m＋4，m∈R，若α是β的充分条件，则m的取值范围是________．[解析] (1)因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d >0⇔S 4＋S 6>2S 5.(2)若α是β的充分条件，则α对应的集合是β对应集合的子集，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤1，2m ＋4≥3，解得－12≤m ≤0.[答案] (1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 [方法技巧]充要条件的3种判断方法即设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}：若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件或q 是p 的必要条件；若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，若A ＝B ，则p 是q 的充要条件[1．(2016·四川高考)设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵⎩⎪⎨⎪⎧x >1，y >1，∴x ＋y >2，即p ⇒q .而当x ＝0，y ＝3时，有x ＋y ＝3>2，但不满足x >1且y >1，即q ⇒/ p ．故p 是q 的充分不必要条件．2．已知m ，n ∈R ，则“mn <0”是“抛物线mx 2＋ny ＝0的焦点在y 轴正半轴上”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若“mn <0”，则x 2＝－nm y 中的－n m>0，所以“抛物线mx 2＋ny ＝0的焦点在y 轴正半轴上”成立，是充分条件；反之，若“抛物线mx 2＋ny ＝0的焦点在y 轴正半轴上”，则x 2＝－n m y 中的－n m>0，即mn <0，则“mn <0”成立，故是充要条件.a (a ＋1)≤0.若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．[解析] 由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1，∴条件p 对应的集合P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1. 由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1， ∴条件q 对应的集合为Q ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． 法一：用“直接法”解题綈p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1或x <12， 綈q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1或x <a }． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，即B A ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1，∴0≤a ≤12.即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 法二：用“等价转化法”解题 ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴根据原命题与逆否命题等价，得p 是q 的充分不必要条件． ∴p ⇒q ，即P Q ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1>1，解得0≤a ≤12.即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12[方法技巧]根据充分、必要条件求参数范围的2个注意点(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时演练]1．(2018·安阳调研)已知p ：x ∈A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R}，q ：x ∈B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R}．若p 是綈q 的充分条件，则实数m 的取值范围是________．解析：∵A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}，∴∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}．∵p 是綈q 的充分条件，∴A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1，∴m >5或m <－3.答案：(－∞，－3)∪(5，＋∞)2．若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________． 解析：由x 2>1，得x <－1，或x >1，又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，知由“x <a ”可以推出“x 2>1”，反之不成立，所以a ≤－1，即a 的最大值为－1.答案：－11．(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )在x ＝x 0处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( )A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件解析：选C 当f ′(x 0)＝0时，x ＝x 0不一定是f (x )的极值点，比如，y ＝x 3在x ＝0时，f ′(0)＝0，但在x ＝0的左右两侧f ′(x )的符号相同，因而x ＝0不是y ＝x 3的极值点．由极值的定义知，x ＝x 0是f (x )的极值点必有f ′(x 0)＝0.综上知，p 是q 的必要条件，但不是充分条件．2．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“si n θ<12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，得0<θ<π6， 故sin θ<12.由sin θ<12，得－7π6＋2k π<θ<π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”．故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“si n θ<12”的充分而不必要条件．法二：⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12⇒0<θ<π6⇒sin θ<12，而当sin θ<12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4>π12. 故“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“si n θ<12”的充分而不必要条件． 3．(2016·北京高考)设a ，b 是向量，则“| a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 若|a|＝|b|成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为菱形．a ＋b ，a －b 表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a ＋b|＝|a －b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a ＋b|＝|a －b|成立，则以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b |”是“|a ＋b|＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．4．(2015·陕西高考)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A cos 2α＝0等价于cos 2α－sin 2α＝0，即cos α＝±sin α.由cos α＝sin α可得到cos 2α＝0，反之不成立，故选A.5．(2015·重庆高考)“x ＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选 B ∵x ＞1⇒log 12(x ＋2)＜0，log 12(x ＋2)＜0⇒x ＋2＞1⇒x ＞－1，∴“x＞1”是“log 12(x ＋2)＜0”的充分而不必要条件．一、选择题1．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α＝π4D ．若tan α≠1，则α≠π4解析：选D 逆否命题是将原命题中的条件与结论都否定后再交换位置即可． 所以逆否命题为：若tan α≠1，则α≠π4.2．在命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的是( )A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真解析：选D 对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题；但其逆命题：“若{x |ax 2＋bx ＋c <0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集非空时，可以有a >0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题．故选D.3．“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交”是“0<b <1”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交可得|b |2<1，所以－2<b <2，因此，“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交”⇒/ “0<b <1”，但“0<b <1”⇒“直线y ＝x ＋b 与圆x 2＋y 2＝1相交”．故选C.4．命题p ：“∀x >e ，a －ln x <0”为真命题的一个充分不必要条件是( ) A ．a ≤1 B ．a <1 C ．a ≥1D ．a >1解析：选B 由题意知∀x >e ，a <ln x 恒成立，因为ln x >1，所以a ≤1，故答案为B. 5．a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为a 2＋b 2＝1，所以设a ＝cos α，b ＝sin α，则a sin θ＋b cos θ＝sin(α＋θ)≤1恒成立；当a sin θ＋b cos θ≤1恒成立时，只需a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin(θ＋φ)≤a 2＋b 2≤1即可，所以a 2＋b 2≤1，故不满足必要性．6．若向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若“a ⊥b ”，则a ·b ＝(x －1，x )·(x ＋2，x －4)＝(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝2x 2－3x －2＝0，则x ＝2或x ＝－12；若“x ＝2”，则a ·b ＝0，即“a ⊥b ”，所以“a⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件．7．在△ABC 中，“sin A －sin B ＝cos B －cos A ”是“A ＝B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 在△ABC 中，当A ＝B 时，sin A －sin B ＝cos B －cos A 显然成立，即必要性成立；当sin A －sin B ＝cos B －cos A 时，则sin A ＋cos A ＝sin B ＋cos B ，两边平方可得sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2，即充分性不成立．则在△ABC 中，“sin A －sinB ＝cos B －cos A ”是“A ＝B ”的必要不充分条件．8．设m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，则下列命题中不正确的是( ) A ．当n ⊥α时，“n ⊥β”是“α∥β”的充要条件 B ．当m ⊂α时，“m ⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件 C ．当m ⊂α时，“n ∥α”是“m ∥n ”的必要不充分条件 D ．当m ⊂α时，“n ⊥α”是“m ⊥n ”的充分不必要条件解析：选C 由垂直于同一条直线的两个平面平行可知，A 正确；显然，当m ⊂α时，“m ⊥β”⇒“α⊥β”；当m ⊂α时，“α⊥β”⇒/ “m ⊥β”，故B 正确；当m ⊂α时，“m ∥n ”⇒/ “n ∥α”， n 也可能在平面α内，故C 错误；当m ⊂α时，“n ⊥α”⇒“m ⊥n ”，反之不成立，故D 正确．二、填空题9．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．解析：其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题． 答案：210．下列命题正确的序号是________．①命题“若a >b ，则2a>2b ”的否命题是真命题；②命题“a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是真命题； ③若p 是q 的充分不必要条件，则綈p 是綈q 的必要不充分条件； ④方程ax 2＋x ＋a ＝0有唯一解的充要条件是a ＝±12.解析：①否命题“若2a ≤2b，则a ≤b ”，由指数函数的单调性可知，该命题正确；②由互为逆否命题真假相同可知，该命题为真命题；由互为逆否命题可知，③是真命题；④方程ax2＋x ＋a ＝0有唯一解，则a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4a 2＝0，a ≠0，求解可得a ＝0或a ＝±12，故④是假命题．答案：①②③11．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R，B ＝{x |－1<x <m ＋1，x ∈R}，若x ∈B 成立的一个充分不必要的条件是x ∈A ，则实数m 的取值范围是________．解析：A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x<8，x ∈R＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴AB ，∴m ＋1>3，即m >2.答案：(2，＋∞) 12．给出下列四个结论： ①若am 2<bm 2，则a <b ；②已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，若变量y 与z 正相关，则x 与z 负相关； ③“已知直线m ，n 和平面α，β，若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则α⊥β”为真命题； ④m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充分不必要条件． 其中正确的结论是________(填序号)．解析：由不等式的性质可知，①正确；由变量间相关关系可知，当变量y 和z 是正相关时，x 与z 负相关，故②正确；③由已知条件，不能判断α与β的位置关系，故③错误；④当m ＝3时，直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直；当直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直时，(m ＋3)m －6m ＝0，则m ＝3或m ＝0，即m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充分不必要条件，则④正确．答案：①②④ 三、解答题13．写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：(1)逆命题：已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，则a 2<4b ，为真命题．(3)逆否命题：已知a ，b ∈R ，若a 2<4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0没有非空解集，为真命题．14．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.1．下列四个命题中，①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”； ②“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件；③命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题；④命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0且n ≠0”； ⑤对空间任意一点O ，若满足OP ―→＝34OA ―→＋18OB ―→＋18OC ―→，则P ，A ，B ，C 四点一定共面．其中真命题的为________．(填序号)解析：①命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”，故①正确；②x ＝4⇒x 2－3x －4＝0；由x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1或x ＝4. ∴“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分不必要条件，故②正确；③命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”，是假命题，如m ＝0时，方程x 2＋x －m ＝0有实根，故③错误；④命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”，故④错误；⑤∵34＋18＋18＝1，∴对空间任意一点O ，若满足OP ―→＝34OA ―→＋18OB ―→＋18OC ―→，则P ，A ，B ，C 四点一定共面，故⑤正确．答案：①②⑤2．已知p ：－x 2＋4x ＋12≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)． (1)若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围为________； (2)若“綈p ”是“綈q ”的充分条件，则实数m 的取值范围为________． 解析：由题知，p 为真时，－2≤x ≤6，q 为真时，1－m ≤x ≤1＋m ， 令P ＝{x |－2≤x ≤6}，Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }． (1)∵p 是q 的充分不必要条件，∴P Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m >6或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥6，解得m ≥5，∴实数m 的取值范围是[5，＋∞)．(2)∵“綈p ”是“綈q ”的充分条件，∴“p ”是“q ”的必要条件， ∴Q ⊆P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤6，m >0，解得0<m ≤3，∴实数m 的取值范围是(0,3]． 答案：(1)[5，＋∞) (2)(0,3]第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[过双基]1．命题p ∧q ，p ∨q ，綈p 的真假判断2．全称量词与存在量词3．全称命题和特称命题[1．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题的是( )A．①③B．①④C．②③D．②④解析：选C 当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(綈q)为真命题；④(綈p)∨q为假命题．2．若命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则在下列命题中真命题的是( )A．p∧(綈q) B．(綈p)∧(綈q)C．(綈p)∧q D．p∧q解析：选A 由指数函数的性质可知，命题p是真命题，则命题綈p是假命题；显然，“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，即命题q是假命题，命题綈q是真命题．所以命题p∧(綈q)是真命题．3．命题“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”的否定为( )A．∃x0∈R，x20＋x0＋1≥0 B．∃x0∈R，x20＋x0＋1<0C．∀x∈R，x2＋x＋1≤0 D．∀x∈R，x2＋x＋1<0解析：选B 原命题∀x∈R，x2＋x＋1≥0为全称命题，所以原命题的否定为：∃x0∈R，x20＋x0＋1<0.4．若命题p：∃x0，y0∈Z，x20＋y20＝2 018，则綈p为( )A．∀x，y∈Z，x2＋y2≠2 018B．∃x0，y0∈Z，x20＋y20≠2 018C．∀x，y∈Z，x2＋y2＝2 018。
