连续介质力学 《应力应变关系》典型例题

一、应力与应变

1、应力

在连续介质力学里,应力定义为单位面积所承受的作用力。

通常的术语“应力”实际上是一个叫做“应力张量” （stress tensor)的二阶张量.

概略地说，应力描述了连续介质内部之间通过力(而且是通过近距离接触作用力)进行相互作用的强度。

具体说，如果我们把连续介质用一张假想的光滑曲面把它一分为二，那么被分开的这两部分就会透过这张曲面相互施加作用力。

很显然，即使在保持连续介质的物理状态不变的前提下，这种作用力也会因为假想曲面的不同而不同,所以，必须用一个不依赖于假想曲面的物理量来描述连续介质内部的相互作用的状态.

对于连续介质来说，担当此任的就是应力张量,简称为应力。

2、应变

应变在力学中定义为一微小材料元素承受应力时所产生的单位长度变形量.因此是一个无量纲的物理量.

在直杆模型中,除了长度方向由长度改变量除以原长而得“线形变"，另外，还定义了压缩时以截面边长(或直径)改变量除以原边长（或直径）而得的“横向应变”。

对大多数材料，横向应变的绝对值约为线应变的绝对值的三分之一至四分之一，二者之比的绝对值称作“泊松系数"。

3、本构关系

应力与应变的关系我们叫本构关系(物理方程）。E（应力=弹性模量＊应变）

4、许用应力（allowable stress）

机械设计或工程结构设计中允许零件或构件承受的最大应力值。要判定零件或构件受载后的工作应力过高或过低，需要预先确定一个衡量的标准，这个标准就是许用应力。

凡是零件或构件中的工作应力不超过许用应力时，这个零件或构件在运转中是安全的，否则就是不安全的。

许用应力等于考虑各种影响因素后经适当修正的材料的失效应力除以安全系数。

失效应力为:静强度设计中用屈服极限（yield limit）或强度极限（strength limit）；疲劳强度设计中用疲劳极限（fatigue limit）。

5、许用应力、失效应力及安全系数之间关系

力学上课讲义

1 第六章 连续介质力学 连续介质模型：物质（气,液,固）连续地分布在它们所占有的区域内 连续介质质元: 宏观小, 微观大物质 讨论宏观力: 包括外力以及外力作用下形变or运动引起内部的弹性恢复力 讨论内力的一般方法：假想将其切开,切下部分的作用由内力代表；由平衡条件求力. 例: (不计重力) 连续介质是比质点、刚体更普遍的经典力学模型，应用也最普遍。物理状态量在连续介质模型下成为点函数. 不计微观内力 §6.1 应力和应变 6.1.1 应力 固体为例 截面 , 方位n ; P处邻域 S上 张力T P处应力  = lim TS= dT /dS =(P,n) =t+n

正应力 (

法向应力, 张力) n 单位：Pa (压强)

(>0为拉应力 ; <0为压应力) 剪应力 (or切应力) t 应力状态：对同一点P处，方位不同的截面上应力不同。函数关系=P(n)叫P处的应力状态. 由平衡方程可以证明，互相垂直的三个截面上的6个应力(正，切应力)就可以完全决定一点处的应力状态 (由此6个应力可以计算出该处任意方位截面上的应力) 应力主面: 该面上只有正应力, 称为主应力. 一点处必有三个互相垂直的应力主面 6.1.2 应变 固体有两种基本的应变形式：线(拉,压)应变 ; 剪应变 1. 线应变  均匀形变 : 长度l , 总形变l (截面法向x) 则 x = l / l 形变不均匀: 一点处位移u(ux,uy,uz)为该点形变前后位移 AB段形变=ux=ux(x+x) ux(x)=uxxx A处x方向线应变 x= lim (ux /x) = ux / x 类似: y方向线应变 z=uy / y z方向线应变 z=uz / z 一般情况下应变也是点函数, 不均匀形变时各处应变也不相同.应变是位移的空间变化率(位移的偏导数) 2. 剪应变 以xy平面为例, 矩形  菱形 定义：A点剪应变（xy平面上，小变形）为 t = lim（1+2）= ux /x + uy /y 1 tan 1=B’B’’/A’B’’=[uy(x+x) uy(x)]/x  uy /x 类似, 当 x0 , y0时 , 2  ux /y 3. 体应变 均匀形变时, 体应变 V = 体积增量/体积 =V / V 不均匀形变时, 讨论一点处体应变 一点附近小长方体(x,y,z) 小形变后为 [(1+x)x ,(1+y)y, (1+z)z] V=xyz V(x+y+z)xyz 小变形 V =x+y+z 剪应变引起的体应变为高阶小量. 自然状态无内力 内力与外力平衡 F外 F内

我所认识的应力与应变的关系

弹性与塑性应变的关系：

一维：胡克定律

弹性变形

三维：广义胡克定律

屈服条件 应力曾变与增量之间的关系—增量理论

塑性变形

比例变形时全量理论

低碳钢拉伸应力应变曲线：

σ

C

B D’

A D H E

O O’ O’’ ε

OB：弹性阶段 BH：屈服阶段 HC:强化阶段 CE：局部变形阶段

应力和应变的关系是本构关系，是物质特性的反映。在弹性变形阶段，应力与应变之间的关系满足胡克定律，即：σij=Cijklεkl 。应力与应变的关系可以近似看成线性的，其中C是材料弹性常数，与弹性体内各点的坐标有关，还与温度和方向有关。因此，对于常温下均匀弹性体，材料弹性常数是材料的特性常数。

J.Baushinger效应：强化材料随着塑性变形的增加，屈服极限在一个方向提高而在相反方向降低的效应。其中理想的J.Baushinger效应是：屈服极限在一个方向上提高的数值与在相反方向上降低的数值相等。

应变能函数是物体在外力作用下变形的过程，根本上是一个热力学过称。物体由一种变形状态到另一种变形状态，其中有外力对物体做功，物体与外界交换能量，物体的总能量发生变化。热力学定律证明,理想弹性体存在应变能，即uduU。应变能函数是应变状态的单值函数，仅取决于应变的起始状态和最终状态，与变形过程无关，对于线弹性体，ijiju21。格林公式是弹性体的应力分量等于应变能对相应应变分量的偏导数，即ijijiju)(，该公式适用于所有弹性体。

1 期末复习提纲—弹性力学部分

一、预备知识---仿射正交张量

1、自由指标与哑指标判别 （★）

2、自由指标与哑指标的取值范围约定

3、自由指标与哑指标规则

4、Einstein求和约定 （★）

5、Kronecker-delta符号 （★）

定义：0,1,ijijij=

性质：（1）ijji

（2）ijijee

（3）1122333ii

（4）jijiaa

（5）kjikijAA

（6）ikkjij

6、Ricci符号（置换符号或排列符号） （★）

定义：1,,,1,2,31,,1,2,30,,ijkijkeijkijk为的偶排列，为的奇排列，中任两个相等

性质：（1）ijkjkikijjikikjkjieeeeee

（2）1232313121eee

（3）1323212131eee

（4）ijijkkeeee

（5）()kijkijabeab， a、b为向量

7、ijke与ij的关系 （★）

ijkimnjmknjnkmee 2 8、坐标变换 （★）

向量情形：

旧坐标系： 123123,,oxxxeee

新坐标系： 123123,,oxxxeee

变换系数： ijijee

坐标变换关系：

Tiijjijijjiijxxxx

矩阵形式为：

111121312212223233132333xxxxxx或T111213123123212223313233,,,,xxxxxx