专题滚动检测(三)
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一、选择题1．在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为正奇数时，a n ＋1＝a n ＋2，当n 为正偶数时，a n ＋1＝2a n ，则a 6＝( )A ．11B ．17C ．22D ．23解析：选C 逐项计算得该数列的前6项依次为：2,4,8,10,20,22.2．各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝( )A.5＋11 B.5－12 C.1－52D.5＋12解析：选B 依题意，有a 3＝a 1＋a 2，设公比为q ， 则有q 2－q －1＝0，所以q ＝1＋52(舍去负值)． a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝a 2a 4(q ＋q 2)a 2a 4(q 2＋q 3)＝1q ＝21＋5＝5－12.3．在△ABC 中，∠B ＝π3，三边长a ，b ，c 成等差数列，且ac ＝6，则b 的值是( )A. 2B. 3C. 5D. 6解析：选D 由三边长a ，b ，c 成等差数列可得2b ＝a ＋c ，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 60°＝(a ＋c )2－3ac ＝4b 2－18，解得b ＝ 6.4．如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像的一部分，A ，B 是图像上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA ·OB的值为( ) A.12πB.19π2＋1 C.19π2－1D.13π2－1 解析：选C 设函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为T .由图知T 4＝5π12－π6＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2πT＝2，将点⎝⎛⎭⎫－π12，0代入y ＝sin(2x ＋φ)得sin ⎝⎛⎭⎫－π6φ＝0，∵0<φ<π，∴φ＝π6，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ∴B ⎝⎛⎭⎫2π3，－1.又A ⎝⎛⎭⎫π6，1，∴OA ·OB ＝π29－1.5．公差不为0的等差数列{a n }中，3a 2 010－a 22 012＋3a 2 014＝0，数列{b n }是等比数列，且b 2 012＝a 2 012，则b 2 011b 2 013＝( )A ．4B ．8C ．16D ．36解析：选D ∵3a 2 010－a 22 012＋3a 2 014＝0， ∴6a 2 012－a 22 012＝0，即a 2 012(a 2 012－6)＝0， ∵数列{b n }是等比数列， ∴a 2 012＝b 2 012≠0， ∴b 2 012＝a 2 012＝6， ∴b 2 011b 2 013＝b 22 012＝62＝36.6．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：选B ∵a 3·a 11＝16，∴a 27＝16. 又∵等比数列{a n }的各项都是正数，∴a 7＝4. 又∵a 10＝a 7q 3＝4×23＝25，∴log 2a 10＝5.7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( ) A ．2n －1 B.⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －1解析：选B ∵S n ＝2a n ＋1，∴当n ≥2时，S n －1＝2a n ， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n ，∴3a n ＝2a n ＋1， ∴a n ＋1a n ＝32. 又∵S 1＝2a 2，∴a 2＝12，∴a 2a 1＝12，∴{a n }从第二项起是以32为公比的等比数列，∴S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n －11－32＝⎝⎛⎭⎫32n －1.8．在等差数列{a n }中，首项a 1＝120，公差d ＝－4，若S n ≤a n (n ≥2)，则n 的最小值为( )A ．60B ．62C ．70D ．72解析：选B 若S n ≤a n (n ≥2)，则S n －1≤0(n ≥2)，即S n －1＝(n －1)×120－(n －1)(n －2)2×4＝－2n 2＋126n －124≤0，即n 2－63n ＋62≥0，即(n －1)(n －62)≥0，解得n ≥62.9．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，0时，f (x )＝log 12(1－x )，则f (2 011)＋f (2 013)＝( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A 由已知得，f (2 011)＋f (2 013)＝f (670×3＋1)＋f (671×3)＝f (1)＋f (0)＝－f (－1)＝1.10．数列{a n }的通项公式a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 012等于( ) A ．1 006 B ．2 012 C ．503D ．0解析：选A.∵a n ＝n cos n π2，∴a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4，a 5＝0，a 6＝－6，a 7＝0，a 8＝8，….由此易知a 4n －2＝－(4n －2)，a 4n ＝4n ，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－2＋4＝2，a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝－6＋8＝2，…，a 4n －3＋a 4n －2＋a 4n －1＋a 4n ＝－(4n －2)＋4n ＝2.又∵2 012＝4×503，∴a 1＋a 2＋…＋a 2 012＝2×503＝1 006. 二、填空题11．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________.解析：设{a n }的公差为d ，由S 2＝a 3知，a 1＋a 2＝a 3，即2a 1＋d ＝a 1＋2d ， 又因为a 1＝12，所以d ＝12a 2＝a 1＋d ＝1.答案：112．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________. 解析：依题意得a －c ＝(3－k ，－6)，3(3－k )＋6＝0，解得k ＝5. 答案：513．(2012·温州模拟)设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0，则d 的取值范围是________．解析：S 5S 6＋15＝0⇒(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即30a 21＋135a 1d ＋150d 2＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0，由于a 1，d 为实数，故(9d )2－4×2×(10d 2＋1)≥0，即d 2≥8，故d ≥22或d ≤－2 2.答案：(－∞，－2 2 ]∪[22，＋∞)14．已知数列{a n }中，a 1＝1，且P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －y ＋1＝0上，若函数f (n )＝1n ＋a 1＋1n ＋a 2＋1n ＋a 3＋…＋1n ＋a n (n ∈N *，且n ≥2)，函数f (n )的最小值是________．解析：由题意知a n －a n ＋1＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是等差数列，公差d ＝1，a n ＝n ，当n ≥2时，f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n ，∵f (n ＋1)－f (n )＝1n ＋1＋1＋1n ＋1＋2＋1n ＋1＋3＋…＋1n ＋1＋n ＋1－⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2>0， ∴f (2)<f (3)<…， ∴[f (n )]min ＝f (2)＝12＋1＋12＋2＝712. 答案：712三、解答题15．设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *. (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式． 解：(1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－12.因为T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1.(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1，所以S n ＝2S n －1＋2n －1，① 所以S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1，② ②－①得a n ＋1＝2a n ＋2. 所以a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 2＋2a 1＋2＝2，所以当n ＝1时也满足上式．所以{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列， 所以a n ＋2＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－2.16．设函数f (x )＝x2＋sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n .解：(1)令f ′(x )＝12＋cos x ＝0，所以cos x ＝－12，解得x ＝2k π±23π(k ∈Z)．由x n 是f (x )的第n 个正极小值点知， x n ＝2n π－23π(n ∈N *)．(2)由(1)可知，S n ＝2π(1＋2＋…＋n )－23n π＝n (n ＋1)π－2n π3，所以sin S n ＝sin ⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)π－2n π3. 因为n (n ＋1)表示两个连续正整数的乘积，n (n ＋1)一定为偶数，所以sin S n ＝－sin 2n π3. 当n ＝3m －2(m ∈N *)时，sin S n ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2m π－43 π＝－32； 当n ＝3m －1(m ∈N *)时， sin S n ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2m π－23 π＝32； 当n ＝3m (m ∈N *)时， sin S n ＝－sin 2m π＝0.综上所述，sin S n＝⎩⎨⎧－32，n ＝3m －2(m ∈N *)，32，n ＝3m －1(m ∈N *)，0，n ＝3m (m ∈N *).17．已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos B 2，12与向量n ＝⎝⎛⎭⎫12，cos B 2共线，其中A ，B ，C 是△ABC 的三个内角．(1)求角B 的大小；(2)求2sin 2A ＋cos(C －A )的取值范围．解：(1)因为向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos B 2，12与向量n ＝⎝⎛⎭⎫12，cos B 2共线，所以cos B 2cos B 2＝14，即cos B 2＝±12，又因为0<B <π，所以cos B 2＝12，所以B 2＝π3，即B ＝2π3. (2)由(1)知A ＋C ＝π3，所以C ＝π3－A ，所以2sin 2A ＋cos (C －A )＝2sin 2A ＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－2A ＝1－cos 2A ＋12cos 2A ＋32sin 2A ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6， 因为0<A <π3，所以－π6A －π6<π2，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6∈⎝⎛⎭⎫－12，1， 所以1＋sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6∈⎝⎛⎭⎫12，2， 故2sin 2A ＋cos(C －A )的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2. 18．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且S 3＋S 5＝50，a 1，a 4，a 13成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3×22d ＋5a 1＋4×52d ＝50，(a 1＋3d )2＝a 1(a 1＋12d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋2(n －1)， 即a n ＝2n ＋1.(2)b na n ＝3n －1，b n ＝a n ·3n －1＝(2n ＋1)·3n －1， T n ＝3＋5·3＋7·32＋…＋(2n ＋1)·3n －1，3T n ＝3·3＋5·32＋7·33＋…＋(2n －1)·3n －1＋(2n ＋1)·3n ， 两式相减得－2T n ＝3＋2·3＋2·32＋…＋2·3n －1－(2n ＋1)3n＝3＋2·3(1－3n －1)1－3－(2n ＋1)3n＝－2n ·3n ，所以T n ＝n ·3n .。
