备战2019高考数学苏教版必修四提素能高效演练讲义：第3章 三角恒等变换 3.2 第1课时 Word版含答案

§3.2 二倍角的三角函数 第1课时 二倍角的三角函数学习目标 1.会用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点 二倍角公式思考1 根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案 sin2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α ＝2sin αcos α；cos2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α； tan2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α. 思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos2α？答案 cos2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；或cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.梳理 (1)倍角公式 ①sin2α＝2sin αcos α.(S 2α) ②cos2α＝cos 2α－sin 2α＝1－2sin 2α ＝2cos 2α－1.(C 2α) ③tan2α＝2tan α1－tan 2α.(T 2α) (2)二倍角公式的重要变形——升幂公式 1＋cos2α＝2cos 2α，1－cos2α＝2sin 2α， 1＋cos α＝2cos2α2,1－cos α＝2sin 2α2.1．sin α＝2sin α2cos α2.( √ )2．cos4α＝cos 22α－sin 22α.( √ )3．对任意角α，tan2α＝2tan α1－tan 2α.( × ) 提示 公式中所含各角应使三角函数有意义．如α＝π4及α＝π2，上式均无意义．类型一 给角求值 例1 求下列各式的值：(1)cos72°cos36°；(2)13－23cos 215°；(3)1－tan 275°tan75°；(4)1sin10°－3cos10°.解 (1)cos36°cos72°＝2sin36°cos36°cos72°2sin36°＝2sin72°cos72°4sin36°＝sin144°4sin36°＝sin36°4sin36°＝14.(2)13－23cos 215°＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos30°＝－36. (3)1－tan 275°tan75°＝2·1－tan 275°2tan75°＝2·1tan150°＝－2 3.(4)1sin10°－3cos10°＝cos10°－3sin10°sin10°cos10° ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4(sin30°cos10°－cos30°sin10°)2sin10°cos10°＝4sin20°sin20°＝4.反思与感悟 对于给角求值问题，一般有两类(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．跟踪训练1 求下列各式的值：(1)cos 2π7cos 4π7cos 6π7；(2)1sin50°＋3cos50°.解 (1)原式＝2sin 2π7cos 2π7cos 4π7cos6π72sin2π7＝sin 4π7cos 4π7cos 6π72sin 2π7＝sin 8π7cos6π74sin2π7＝sin π7cos π74sin 2π7＝sin2π78sin2π7＝18.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.类型二 给值求值 例2 已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1的值．解 (1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3.(2)sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1.反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢．②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ. 跟踪训练2 若tan α＝34，则cos 2α＋2sin2α＝.答案6425解析 cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α. 把tan α＝34代入，得cos 2α＋2sin 2α＝1＋4×341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝42516＝6425.类型三 利用倍角公式化简 例3 化简2cos 2α－12tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α.解 方法一 原式＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos2αcos2α＝1. 方法二 原式＝cos2α2·1－tan α1＋tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α2＝cos2αcos α－sin αcos α＋sin α(sin α＋cos α)2＝cos2α(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝cos2αcos 2α－sin 2α＝1. 反思与感悟 (1)对于三角函数式的化简有下面的要求： ①能求出值的应求出值． ②使三角函数种数尽量少． ③使三角函数式中的项数尽量少． ④尽量使分母不含有三角函数． ⑤尽量使被开方数不含三角函数．(2)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角． ②降幂或升幂．③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin2θ. 跟踪训练3 化简：π4＜α＜π2，则1－sin2α＝.答案 sin α－cos α解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α＞cos α， ∴1－sin2α＝1－2sin αcos α ＝sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α ＝(sin α－cos α)2＝sin α－cos α.1.12sin π12cos π12的值为． 答案 18解析 原式＝14sin π6＝18.2．sin4π12－cos 4π12＝. 答案 －32解析 原式＝⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32. 3.tan7.5°1－tan 27.5°＝. 答案 1－32解析tan7.5°1－tan 27.5°＝12·2tan7.5°1－tan 27.5°＝12tan15°＝12tan(45°－30°)＝12×1－331＋33＝1－32. 4．设sin2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan2α的值是． 答案3解析 ∵sin2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3. 5．化简：11－tan θ－11＋tan θ.解 原式＝(1＋tan θ)－(1－tan θ)(1－tan θ)(1＋tanθ)＝2tan θ1－tan 2θ＝tan2θ.1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1(n ∈N *)．2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式： ①1＋cos2α＝2cos 2α；②cos 2α＝1＋cos2α2；③1－cos2α＝2sin2α；④sin 2α＝1－cos2α2.一、填空题1．2sin 222.5°－1＝. 答案 －22解析 原式＝－cos 45°＝－22. 2．已知α是第三象限角，cos α＝－513，则sin2α＝.答案120169解析 由α是第三象限角，且cos α＝－513，得sin α＝－1213，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＝120169.3．sin6°sin42°sin66°sin78°＝. 答案116解析 原式＝sin6°cos48°cos24°cos12° ＝sin6°cos6°cos12°cos24°cos48°cos6°＝sin96°16cos6°＝cos6°16cos6°＝116. 4．若tan θ＝－13，则cos2θ＝.答案 45解析 tan θ＝－13，则cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45. 5．如果|cos θ|＝15，5π2<θ<3π，则sin θ2的值是．答案 －155解析 ∵5π2<θ<3π，|cos θ|＝15，∴cos θ<0，cos θ＝－15.∴sin2θ2＝1－cos θ2＝35，又∵5π4<θ2<3π2，∴sin θ2<0.∴sin θ2＝－155.6．已知x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan2x ＝.答案 －247解析 由cos x ＝45，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，得sin x ＝－35， 所以tan x ＝－34，所以tan2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－247. 7．已知sin2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝. 答案 16解析 因为cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin2α2，所以cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－sin2α2＝1－232＝16. 8．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝. 答案 －53解析 由题意得(sin α＋cos α)2＝13，∴1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－23.∵α为第二象限角，∴cos α<0，sin α>0，cos α－sin α<0. 又∵sin α＋cos α>0， ∴|cos α|<|sin α|，∴cos 2α＝cos 2α－sin 2α<0， ∴cos 2α＝－1－sin 22α ＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－232＝－1－49＝－53. 9．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin2α＝.答案 －725解析 因为sin2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1，又因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，所以sin2α＝2×925－1＝－725. 10．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝x5，则tan2α＝.答案247解析 cos α＝x x 2＋42＝x5， ∴x 2＝9，x ＝±3.又∵α是第二象限角，∴x ＝－3， ∴cos α＝－35，sin α＝45，∴tan α＝－43，tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－431－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－831－169＝－83－79＝247.11．已知tan x ＝2，则tan2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝.答案 3412．若tan α＋1tan α＝103，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α的值为．答案 0解析 由tan α＋1tan α＝103，得tan α＝13或tan α＝3.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴tan α＝3.∴sin α＝310，cos α＝110.∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＋2cos π4cos 2α＝sin 2αcos π4＋cos 2αsin π4＋2cos π4cos 2α＝22×2sin αcos α＋22(2cos 2α－1)＋2cos 2α ＝2sin αcos α＋22cos 2α－22＝2×310×110＋22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1102－22＝5210－22＝0. 二、解答题13．已知角α在第一象限且cos α＝35，求1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2的值．解 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45.∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin2α＝2sin αcos α＝2425，∴原式＝1＋2⎝⎛⎭⎪⎫cos2αcos π4＋sin2αsin π4cos α＝1＋cos2α＋sin2αcos α＝145.三、探究与拓展14．等腰三角形一个底角的余弦值为23，那么这个三角形顶角的正弦值为．答案459解析 设A 是等腰△ABC 的顶角， 则cos B ＝23，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53. 所以sin A ＝sin(180°－2B )＝sin2B ＝2sin B cos B ＝2×53×23＝459.15．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， 求sin α及tan α的值．解 由题意得sin 22α＋sin2αcos α＝1＋cos2α＝2cos 2α， 所以2sin 2αcos 2α＋sin αcos 2α－cos 2α＝0. 因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α≠0， 所以2sin 2α＋sin α－1＝0，即(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.因为sin α＋1≠0，所以2sin α－1＝0，所以sin α＝12. 因为0＜α＜π2，所以α＝π6，所以tan α＝33.。