第五讲 指数与指数函数
一. 知识要点： 1．指数运算
(1) 根式的定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。 即若a x n
=，则x 称a 的n 次方根（)1*∈>N n n 且，
①当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；
②当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n 。 （2）根式性质：①a a n n =)(；②当n 为奇数时，a a n n =；③当n
(0)
||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩
。
（3）幂运算法则：①∈
⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *) ②)0(10≠=a a ；
n 个
③∈=-p a
a
p p
(1
Q ，4）m a a a n m n m
,0(>=、∈n N * 且)1>n 。 （4）幂运算性质： ①r a a a a s r s r ,0(>=⋅+、∈s Q ）；②r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）；
③∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
2.指数函数：
(1) 指数函数定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数，函数的定义域为R ；函数的值域为),0(+∞； (2)函数图像及性质：
①指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限； ②当10<a 时函数为增函数。
③指数函数都以x 轴为渐近线（当10<a 时，图象向右无限接近x 轴）；
④对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x
x
a y a y -==与的图象关于y 轴对称。
⑤函数值的变化特征：
()
()
()
10110010y x a y x y x >>⎧⎪
>==⎨⎪
<<<⎩时 ()()
()
010011010y x a y x y x <<>⎧⎪
<<==⎨⎪
><⎩时
二.基础练习：
1.已知a ＜4
1，则化简42)14(-a 的结果是 2.算下列各式（式中字母都是正数）：
⑴ )3()6)(2(6
56
13
12
12
13
2
b a b a b a -÷-； （2） 43
5)12525(÷-； （3）4
2
39
81⨯
3.已知x+x -1
=3,求下列各式的值：332
2
.x x -
+
4.比大小： （1）.1113
2
22,
(),33
-的大小顺序为
（2）.a ＜0,则 (2
1)a
，0.2)a
，2a 的大小顺序为
（3）.已知实数a 、b 满足等式b
a )3
1()2
1(=，下列五个关系式：
①0＜b ＜a ;②a ＜b ＜0;③0＜a ＜b ;④b ＜a ＜0;⑤a =b . 其中不可能成立的关系式有
5.设函数⎪⎩
⎪
⎨⎧<-=>=0,10,00,1)(x x x x f ，则方程)()12(1x f x x -=+的解为 6.当x ＞0时，函数f (x )=(a 2-1)x
的值总大于1，则实数a 的取值范围是
三.例题精讲： 题型1：指数运算
例1（1）已知a =9
1
,b =9.求： ;3
153
83327
a a a a ⋅÷
-- 的值
（2）．已知：72=a ，25=b ，求
3
54
333
43
14
322
3
3
42
2
33969b
a b b
b a b a b
b a +⋅
+-----的值.
例 2．已知：63232==d
c b
a ，求证：)1)(1(1)(1(--=--c
b )d a .
题型2：指数函数
例3.若函数1
,0()1(),0
3
x x x
f x x ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩ 则不等式1|()|3f x ≥的解集为_ _
例4.若函数f(x)=a x
-x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .
例6.求下列函数的定义域、值域及其单调区间： （1）f (x )=34
52+-x x ; （2）g (x )=-(5)2
1(4)41++x
x
.
例7.设a ＞0,f (x )=
x
x a
a e e +是R 上的偶函数. （1）求a 的值； （2）求证：f (x )在（0，+∞）上是增函数. 题型3：综合应用
例8.要使函数y =1+2x
+4x
a 在x ∈（-∞，1］上y ＞0恒成立，求a 的取值范围.
例9.已知函数f (x )=(
.)2
11213
x x +- （1）求f (x )的定义域； （2）讨论f (x )的奇偶性； （3）证明：f (x )＞0.
例10.已知f （x ）=x
x x
x --+-10101010.
（1）判断函数奇偶性；（2）判断f （x ）的单调性； （3）求f （x ）的值域.
