上海市延安中学2017-2018学年高三12月月考数学试题 Word版含答案

2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（上）12月月考数学试卷一.填空题1．已知集合U={x|1＜x＜5，x∈N*}，集合A={2，3}，则∁U A=．2．已知，则cos（π﹣α）=．3．直线l1：2x﹣y+1=0与直线l2：x﹣y﹣2=0的夹角大小为．4．不等式＞|x|的解集为．5．函数f（x）=log2（1+x）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=．6．设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=．7．已知双曲线C经过点C（1，1），它的一条渐近线方程为．则双曲线C的标准方程是．8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=3DB，则=．9．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线的焦距为．10．等比数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数k，均有a k=（S n﹣S k）成立，则公比q=．11．下列有关平面向量分解定理的四个命题中，所有正确命题的序号是．（填写命题所对应的序号即可）①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．12．设点M（m，0）在椭圆的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，则实数m的取值范围是．13．函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f （x+1）=f（x﹣1）．若在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是．14．已知{a n}是等差数列，记b n=a n a n+1a n+2（n为正整数），设S n为{b n}的前n项和，且3a5=8a12＞0，则当S n取最大值时，n=．二.选择题15．已知条件p：log2（x﹣1）＜1的解，q：x2﹣2x﹣3＜0的解，则p是q的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要16．若方程x2cosα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线，则圆x2+y2+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心在（）A．第一或第三象限 B．第二或第四象限C．第一或第二象限 D．第三或第四象限17．现有某种细胞100个，其中有约占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，要使细胞总数超过1010个，需至少经过（）A．42小时B．46小时C．50小时D．52小时18．已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若实数m，n满足等式，则的取值范围是（）A．B．C．D．[1，3]三.解答题19．如图，在xoy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）（1）若点B（﹣，），求tan（+）的值；（2）若+=，四边形OACB的面积用Sθ表示，求Sθ+•的取值范围．20．已知椭圆（a＞b＞0），右焦点，点在椭圆上；（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且∠AFB=90°？若存在，请求出所有符合要求的直线；若不存在，请说明理由．21．某厂预计从2016年初开始的前x个月内，市场对某种产品的需求总量f（x）（单位：台）与月份x的近似关系为：f（x）=x（x+1）（35﹣2x），x∈N*且x≤12；（1）写出2016年第x个月的需求量g（x）与月份x的关系式；（2）如果该厂此种产品每月生产a台，为保证每月满足市场需求，则a至少为多少？22．设f（x）是定义在[a，b]上的函数，若存在，使得f（x）在上单调递增，在上单调递减，则称f（x）为[a，b]上的单峰函数，称为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间；（1）判断下列函数：①f1（x）=x﹣2x2，②f2（x）=|log2（x+0.5）|，哪些是“[0，1]上的单峰函数”？若是，指出峰点，若不是，说明理由；（2）若函数f（x）=ax3+x（a＜0）是[1，2]上的单峰函数，求实数a的取值范围；（3）设f（x）是[a，b]上的单峰函数，若m，n∈（a，b），m＜n，且f（m）≥f（n），求证：（a，n）为f（x）的含峰区间．23．设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．2016-2017学年上海市长宁区延安中学高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．已知集合U={x|1＜x＜5，x∈N*}，集合A={2，3}，则∁U A={4} ．【考点】补集及其运算．【分析】由题意全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，然后根据交集的定义和运算法则进行计算．【解答】解：∵全集U={2，3，4}，集合A={2，3}，∴集合∁U A={4}，故答案为：{4}2．已知，则cos（π﹣α）=﹣．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式求得cosα的值，可得要求式子的值．【解答】解：∵已知=cosα，则cos（π﹣α）=﹣cosα=﹣，故答案为：．3．直线l1：2x﹣y+1=0与直线l2：x﹣y﹣2=0的夹角大小为arctan．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】利用两条直线的夹角公式求得直线l1：2x﹣y+1=0与直线l2：x﹣y﹣2=0的夹角的值．【解答】解：直线l1：2x﹣y+1=0的斜率为k1=2，直线l2：x﹣y﹣2=0的斜率为k2=1，设直线l1：2x﹣y+1=0与直线l2：x﹣y﹣2=0的夹角为θ，则tanθ=||=，∴直线l1：2x﹣y+1=0与直线l2：x﹣y﹣2=0的夹角为θ=arctan，故答案为：．4．不等式＞|x|的解集为（0，2）．【考点】其他不等式的解法．【分析】不等式即＞0，显然x＜0时不成立．当x＞0时，根据＜0，求得不等式的解集．【解答】解：当x＜0时，＞﹣x，即＞0，显然x＜0时不成立．当x＞0时，＜0，解得0＜x＜2，所以不等式的解集为（0，2），故答案为：（0，2）．5．函数f（x）=log2（1+x）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=y=2x﹣1（x＞0）．【考点】反函数．【分析】根据f（x）=y=log2（1+x）（x＞0），求出值域f（x）＞0．用x把y表示出来，把x 与y互换即可得出．【解答】解：f（x）=y=log2（1+x）∵x＞0，∴y＞0，由y=log2（1+x），可得：x=2y﹣1∴y=2x﹣1（x＞0）故答案为：y=2x﹣1（x＞0）6．设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由弦长公式可得圆心到直线的距离为=1，再由点到直线的距离公式可得=1，由此求得a的值．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2，故圆心到直线ax﹣y+3=0的距离为=1，即=1，解得a=0，故答案为0．7．已知双曲线C经过点C（1，1），它的一条渐近线方程为．则双曲线C的标准方程是．【考点】双曲线的标准方程．【分析】根据题意，双曲线C的一条渐近线方程为，则可将双曲线的方程设为y2﹣3x2=λ（λ≠0），将点C坐标代入可得λ的值，进而可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线C的一条渐近线方程为，则可设双曲线的方程为y2﹣3x2=λ（λ≠0），将点C（1，1）代入可得λ=﹣2，．故答案为：．8．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，D在斜边BC上，且CD=3DB，则=27．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，即可求出对应的结果．【解答】解：△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，CD=3DB，∴==（﹣），∴=•（﹣）=﹣•=×62﹣×0=27．故答案为：27．9．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线的焦距为或．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求出等比中项，然后求解焦距即可．【解答】解：m是2和8的等比中项，可得m=±4，当m=4时，曲线是椭圆，可得a=2，c=，则2c=2．当m=﹣4时，曲线是双曲线，此时，a=1，b=2，c=，2c=2．故答案为：或．10．等比数列{a n}的前n项和为S n，若对于任意的正整数k，均有a k=（S n﹣S k）成立，则公比q=．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由已知条件推导出a2=a1，从而得到q﹣q2=q2，由此能求出公比q=．【解答】解：等比数列{a n}的前n项和为S n，对于任意的正整数k，均有a k=（S n﹣S k）成立，∴a n=a1q n﹣1，S n=，a k=（S n﹣S k）=，当k=2时，a2==a1，∴，∴，∴q﹣q2=q2，q（2q﹣1）=0解得q=，或q=0（舍）．∴公比q=．故答案为：．11．下列有关平面向量分解定理的四个命题中，所有正确命题的序号是②、③．（填写命题所对应的序号即可）①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】本题考查平面向量基本定理，由定理知可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的，由此关系对四个选项作出判断，得出正确选项．【解答】解：根据平面向量基本定理知：①一个平面内任何一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；故错；②一个平面内有无数多对不平行向量都可作为表示该平面内所有向量的基；故正确；③平面向量的基向量只要不共线，也可能互相垂直；故对；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合．如果是三个不共线的向量，表示法不惟一，故错．故答案为：②、③．12．设点M（m，0）在椭圆的长轴上，点P是椭圆上任意一点，当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，则实数m的取值范围是[1，4] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程可得﹣4≤x≤4．由|MP2=（x﹣m）2+y2=（x﹣m）2+12（1﹣）=（x﹣4m）2+12﹣3m2，结合二次函数的性质及椭圆的性质可知，取得最小值4m≥4，结合点M在椭圆的长轴上，可求m得范围【解答】解：设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故﹣4≤x≤4．|MP2=（x﹣m）2+y2=（x﹣m）2+12（1﹣）=（x﹣4m）2+12﹣3m2∵当|MP|最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x=4时，|MP|2取得最小值，而x∈[﹣4，4]，故有4m≥4，解得m≥1．又点M在椭圆的长轴上，所以﹣4≤m≤4．故实数m的取值范围是[1，4]．故答案为：1≤m≤4．13．函数f（x）的定义域为实数集R，f（x）=对于任意的x∈R都有f （x+1）=f（x﹣1）．若在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同的零点，则实数m的取值范围是（0，] ．【考点】函数零点的判定定理．【分析】先确定2是f（x）的周期，作出函数的图象，利用在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f （x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点，即可求实数m的取值范围．【解答】解：由题意，f（x+2）=f[（1+x）+1]=f[（1+x）﹣1]=f（x），所以2是f（x）的周期令h（x）=mx+m，则函数h（x）恒过点（﹣1，0），函数f（x）=在区间[﹣1，3]上的图象如图所示：由x=3时，f（3）=1，可得1=3m+m，则m=∴在区间[﹣1，3]上函数g（x）=f（x）﹣mx﹣m恰有四个不同零点时，实数m的取值范围是（0，]故答案为：（0，]．14．已知{a n}是等差数列，记b n=a n a n+1a n+2（n为正整数），设S n为{b n}的前n项和，且3a5=8a12＞0，则当S n取最大值时，n=16．【考点】数列的函数特性．【分析】由3a5=8a12＞0，知3a5=8（a5+7d），a5=﹣56d5＞0，所以d＜0．由a16=a5+11d=﹣d5＞0，a17=a5+12d=4d5＜0，知a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，由此能够推导出Sn中S16最大．【解答】解：由b n=a n a n+1a n+2且3a5=8a12＞0，所以，3a5=8（a5+7d）所以，＞0，即d＜0因为a16=a5+11d=，所以，a1＞a2＞…＞a16＞0＞a17所以，b1＞b2＞…＞b14＞0＞b17＞b18因为，b15=a15a16a17＜0，b16=a16a17a18＞0a15＜﹣a18所以，b15＞﹣b16即b15+b16＞0所以，S16＞S14所以S16最大．故答案为：16二.选择题15．已知条件p：log2（x﹣1）＜1的解，q：x2﹣2x﹣3＜0的解，则p是q的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充分必要D．既非充分又非必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出p，q的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由log2（x﹣1）＜1，得：0＜x﹣1＜2，即1＜x＜3，即p：1＜x＜3，由x2﹣2x﹣3＜0得﹣1＜x＜3，即q：﹣1＜x＜3，∴p是q的充分不必要条件，故选：A．16．若方程x2cosα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线，则圆x2+y2+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心在（）A．第一或第三象限 B．第二或第四象限C．第一或第二象限 D．第三或第四象限【考点】双曲线的简单性质．【分析】由于方程x2cosα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线，结合三角函数的符号可得，cosα•sinα＞0，而圆x2+y2+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心坐标为（﹣cosα，sinα）根据其坐标的特点即可得出结论．【解答】解：由于方程x2cosα﹣y2sinα+2=0所表示的曲线为双曲线，∴cosα•sinα＞0，而圆x2+y2+2xcosα﹣2ysinα=0的圆心坐标为（﹣cosα，sinα）结合三角函数的符号可得，圆心的横坐标与纵坐标符号相反，故其位置在第二或第四象限．故选B．17．现有某种细胞100个，其中有约占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，要使细胞总数超过1010个，需至少经过（）A．42小时B．46小时C．50小时D．52小时【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．【分析】根据分裂的规律得到细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=100×x∈N*，再建立不等式求解．【解答】解：根据分裂的规律得到细胞总数y与时间x（小时）之间的函数关系为：y=100×x∈N*，由y=100×＞1010，解得＞108，即xlg＞8，即x＞≈45.45．∴x＞45.45，故经过46小时，细胞总数超过1010个．18．已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若实数m，n满足等式，则的取值范围是（）A．B．C．D．[1，3]【考点】函数与方程的综合运用．【分析】由函数f（x）是递增函数，且y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，可得函数f （x）是奇函数，再结合f（n﹣3）+f（）=0可得（n﹣3）+=0，进而利用数形结合求出结果．【解答】解：f（x）是定义在R上的增函数，且函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，所以函数f（x）是奇函数；又f（n﹣3）+f（）=0，所以（n﹣3）+=0，且4m﹣m2﹣3≥0；即，画出不等式组表示的图形，如图所示；则实数m，n表示一段圆弧，所以表示圆弧上的点（m，n）与点（0，0）连线的斜率，所以结合图象可得：的最大值是直线OA的斜率，为=3，最小值是直线OB的斜率，不妨设为k，则，消去n，得（m﹣2）2+（km﹣3）2=1，整理得（k2+1）m2﹣（6k+4）m+12=0，令△=（6k+4）2﹣4×12×（k2+1）=0，化简得3k2﹣12k+8=0，解得k=2±，应取k=2﹣为最小值；所以的取值范围是：[2﹣，3]．故选：C．三.解答题19．如图，在xoy平面上，点A（1，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）（1）若点B（﹣，），求tan（+）的值；（2）若+=，四边形OACB的面积用Sθ表示，求Sθ+•的取值范围．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数线．【分析】（1）利用任意角的三角函数定义可得sinθ，cosθ，再利用半角公式和两角和差的正切公式=即可得出；（2）利用向量的数量积运算法则、平行四边形的面积计算公式可得=sinθ+cosθ+1，再利用两角和的正弦公式即可得出．【解答】解：（1）∵B，∠AOB=θ，∴cosθ=﹣，．∴==2．∴===﹣3．（2）Sθ=|OA||OB|sinθ=sinθ，∵=（1，0），=（cosθ，sinθ），∴=+=（1+cosθ，sinθ），∴=1+cosθ，∴=sinθ+cosθ+1=+1（0＜θ＜π），∵，∴≤1，∴．20．已知椭圆（a＞b＞0），右焦点，点在椭圆上；（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在过原点的直线l与椭圆C交于A、B两点，且∠AFB=90°？若存在，请求出所有符合要求的直线；若不存在，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）根据焦点坐标和D点坐标列方程组求出a2，b2即可；（2）对直线l的斜率进行讨论，使用根与系数的关系计算，根据计算结果是否为0得出结论．【解答】解：（1）由题意可知，解得a2=4，b2=2，∴椭圆C的标准方程为：．（2）若直线l无斜率，则直线l的方程为x=0，∴A（0，），B（0，﹣），又F（，0），∴∠AFB=∠AFO+∠BFO=90°，符合题意；若直线l有斜率，设直线l的方程为y=kx，联立方程组，消元得（1+2k2）x2=4，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=0，x1•x2=﹣，y1y2=﹣．∴=（x1﹣，y1），=（x2﹣，y2），∴=（x1﹣）（x2﹣）+y1y2=x1x2﹣（x1+x2）+2+y1y2=﹣+2﹣=﹣≠0，∴与不垂直，即∠AFB≠90°．综上，存在过原点的直线l使得∠AFB=90°，直线l的方程为x=0．21．某厂预计从2016年初开始的前x个月内，市场对某种产品的需求总量f（x）（单位：台）与月份x的近似关系为：f（x）=x（x+1）（35﹣2x），x∈N*且x≤12；（1）写出2016年第x个月的需求量g（x）与月份x的关系式；（2）如果该厂此种产品每月生产a台，为保证每月满足市场需求，则a至少为多少？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）把x=1代入到f（x）得到f（1）即为g（1），当x≥2时，g（x）=f（x）﹣f（x ﹣1）化简得出解析式；（2）对一切x∈{1，2，12}有ax≥f（x）列出不等式得到a≥一个函数，求出函数的最大值得到a的取值范围．【解答】解：（1）g（1）=f（1）=1×2×33=66，g（x）=f（x）﹣f（x﹣1）=x（x+1）（35﹣2x）﹣[（x﹣1）x（35﹣2（x﹣1）]，=﹣6x2+72x．当x=1时，g（x）=﹣6x2+72x=66=g（1）．∴g（x）=﹣6x2+72x；（2）依题意，对一切x∈{1，2，…，12}有ax≥f（x）．∴a≥（x+1）（35﹣2x），x∈{1，2，…，12}．设h（x）=﹣2（x﹣）2+35+，∴h（x）max=h（8）=171．故a≥171．故保证每月满足市场需求，则a至少应为171台．22．设f（x）是定义在[a，b]上的函数，若存在，使得f（x）在上单调递增，在上单调递减，则称f（x）为[a，b]上的单峰函数，称为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间；（1）判断下列函数：①f1（x）=x﹣2x2，②f2（x）=|log2（x+0.5）|，哪些是“[0，1]上的单峰函数”？若是，指出峰点，若不是，说明理由；（2）若函数f（x）=ax3+x（a＜0）是[1，2]上的单峰函数，求实数a的取值范围；（3）设f（x）是[a，b]上的单峰函数，若m，n∈（a，b），m＜n，且f（m）≥f（n），求证：（a，n）为f（x）的含峰区间．【考点】函数与方程的综合运用．【分析】（1）依次判断各函数在（0，1）上是否存在极大值点即可得出结论；（2）求出f（x）的极大值点，令极大值点在区间（1，2）上即可；（3）利用f（x）的单调性得出f（x）的峰点在区间（a，n）上即可．【解答】解：（1）①f1′（x）=1﹣4x，令f1′（x）=0得x=，当0时，f1′（x）＞0，当时，f1′（x）＜0，∴f1（x）在[0，]上单调递增，在[，1]上单调递减，∴f1（x）是[0，1]上的单峰函数，峰点为；②当x∈[0，1]时，f2（x）=|log2（x+0.5）|=．∴f2（x）在[0，0.5]上单调递减，在[0.5，1]上单调递增，∴f2（x）不是[0，1]上的单峰函数；（2）f′（x）=3ax2+1，令f′（x）=0得x=±，当x＜﹣时，f′（x）＜0，当﹣＜x＜时，f′（x）＞0，当x＞时，f′（x）＜0，∴x=是f（x）的极大值点，∵函数f（x）是[1，2]上的单峰函数，∴1＜＜2，解得：．（3）证明：∵f（x）是[a，b]上的单峰函数，∴存在x0∈（a，b），使得f（x）在（a，x0）上单调递增，在（x0，b）上单调递减，假设n ≤x0，则f（x）在（m，n）上是增函数，∴f（m）＜f（n），与f（m）≥f（n）矛盾；∴假设错误，故n＞x0，∴f（x）在（a，x0）上单调递增，在（x0，n）上单调递减，∴（a，n）为f（x）的含峰区间．23．设数列{a n}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+a n）+p=2（a1+a2…+a n），（其中k、b、p是常数）．（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{a n}的通项公式；（3）若数列{a n}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设S n是数列{a n}的前n项和，a2﹣a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{a n}，使得对任意n∈N*，都有S n≠0，且．若存在，求数列{a n}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．【考点】数列与不等式的综合；数列递推式．【分析】（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a1+a n）﹣4=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是以首项为1，公比为3的等比数列，从而可求a1+a2+a3+…+a n；（2）当k=1，b=0，p=0时，n（a1+a n）=2（a1+a2…+a n），再写一式，两式相减，可得数列{a n}是等差数列，从而可求数列{a n}的通项公式；（3）确定数列{a n }的通项，利用{a n }是“封闭数列”，得a 1是偶数，从而可得，再利用，验证，可求数列{a n }的首项a 1的所有取值． 【解答】解：（1）当k=0，b=3，p=﹣4时，3（a 1+a n ）﹣4=2（a 1+a 2…+a n ），① 用n +1去代n 得，3（a 1+a n +1）﹣4=2（a 1+a 2…+a n +a n +1），②②﹣①得，3（a n +1﹣a n ）=2a n +1，a n +1=3a n ，在①中令n=1得，a 1=1，则a n ≠0，∴，∴数列{a n }是以首项为1，公比为3的等比数列，∴a 1+a 2+a 3+…+a n =．（2）当k=1，b=0，p=0时，n （a 1+a n ）=2（a 1+a 2…+a n ），③用n +1去代n 得，（n +1）（a 1+a n +1）=2（a 1+a 2…+a n +a n +1），④④﹣③得，（n ﹣1）a n +1﹣na n +a 1=0，⑤用n +1去代n 得，na n +2﹣（n +1）a n +1+a 1=0，⑥⑥﹣⑤得，na n +2﹣2na n +1+na n =0，即a n +2﹣a n +1=a n +1﹣a n ，∴数列{a n }是等差数列．∵a 3=3，a 9=15，∴公差，∴a n =2n ﹣3．（3）由（2）知数列{a n }是等差数列，∵a 2﹣a 1=2，∴a n =a 1+2（n ﹣1）． 又{a n }是“封闭数列”，得：对任意m ，n ∈N *，必存在p ∈N *使a 1+2（n ﹣1）+a 1+2（m ﹣1）=a 1+2（p ﹣1），得a 1=2（p ﹣m ﹣n +1），故a 1是偶数，又由已知，，故．一方面，当时，S n =n （n +a 1﹣1）＞0，对任意n ∈N *，都有．另一方面，当a 1=2时，S n =n （n +1），，则， 取n=2，则，不合题意．当a 1=4时，S n =n （n +3），，则，当a1≥6时，S n=n（n+a1﹣1）＞n（n+3），，，又，∴a1=4或a1=6或a1=8或a1=10．。

延安中学2017-2018学年高三开学考数学试卷一. 填空题1. 两数2和3的几何平均数是2. 已知矩阵1211A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，51B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，x X y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若AX B =，则y = 3. 若112aii+-（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a = 4. 若函数()3sin(2)f x x ϕ=+，(0,)ϕπ∈为偶函数，则ϕ= 5. 已知集合{||1|3}A x x =-<，3{|1}2B x x=>+，则U A C B =6. 已知幂函数()f x 过点，则()f x 的反函数为1()f x -=7. 已知圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为2π的扇形，则这个圆锥的高为 8. 若二项式2()nx x-展开式中第四项与第八项的二项式系数相等，则其常数项为9. 在暑假期间，甲外出旅游的概率是0.2，乙外出 旅游的概率是0.25，假定甲乙两人的行动相互之间 没有影响，则暑假期间两人中至少有一人外出旅游 的概率是10. 已知一个四棱锥底面是平行四边形，该四棱锥 三视图如图所示，则该四棱锥的体积为11. 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料，生产一件产品A 需要甲 材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ， 用3个工时；生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元，该企业 现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为 元12. 已知1F 、2F 是双曲线2222:1x y C a b -=的左、右焦点，点M 在双曲线C 上，1MF 与x 轴 垂直，212sin 3MF F ∠=，则双曲线C 两条渐近线夹角的正切值为13. 若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则a 的取值范围是14. 在直角坐标系中，当(,)P x y 不是原点时，定义P 的“伴随点”为2222(,)y xP x y x y -'++；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身，平面曲线C 上所有点的“伴随点”所构成 的曲线C '定义为曲线C 的“伴随曲线”，现有下列命题： ① 若点A 的“伴随点”是点A '，则点A '的“伴随点”是点A ； ② 单位圆的“伴随曲线”是它自身；③ 若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C '关于y 轴对称； ④ 一条直线的“伴随曲线”是一条直线；其中的真命题是 （写出所有真命题的序号）二. 选择题15. 我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约（ ） A. 134石 B. 169石 C. 338石 D. 1365石 16. 已知程序框图如图所示，*n N ∈，则该程序框图的功能是（ ）A. 求数列1{}n 的前10项和 B. 求数列1{}n 的前11项和C. 求数列1{}2n 的前10项和D. 求数列1{}2n的前11项和17. 已知数列{}n a ，对于任意的正整数n ，20171,1201712(),20183n n n a n -≤≤⎧⎪=⎨-⋅≥⎪⎩，设n S 表 示数列{}n a 的前n 项和，下列关于n S 极限的结论，正确的是（ ） A. lim 1n n S →∞=- B. lim 2016n n S →∞=C. 2017,12017lim 1,2018n n n S n →∞≤≤⎧=⎨-≥⎩ D. n S 不收敛18. 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A 、B 满足||||2OA OB OA OB ==⋅=，则点集{|,||||1,,}P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（ ）A.B.C.D.三. 解答题19. 已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C的对边，sin cos c C c A =-； （1）求A ；（2）若2a =，△ABCb 、c ；20. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 是边长为4的正方形，3AC =，5BC =； （1）求直线11B C 与平面11A B C 所成的角的大小；（2）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD AC ⊥，并求11B DB C的值；21. 已知0a >且1a ≠，()log (1)a f x x =+，1()log 1a g x x=-，()2()()F x f x g x =+； （1）求函数()F x 的定义域D 及其零点；（2）若关于x 的方程()0F x m -=在区间[0,1)内仅有一解，求实数m 的取值范围；22. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，221n n a a =+； （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足1212112n n n b b b a a a ++⋅⋅⋅+=-（*n N ∈），求{}n b 的通项公式； （3）求第（2）小题中数列{}n b 的前n 项和n T ；23.（1）设椭圆22122:1x y C a b+=与双曲线2229:918y C x -=有相同的焦点1F 、2F ，M 是 椭圆1C 与双曲线2C 的公共点，且△12MF F 的周长为6，求椭圆1C 的方程；我们把具有公共 焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”； （2）如图，已知“盾圆D ”的方程为24(03)12(4)(34)x x y x x ≤≤⎧=⎨--<≤⎩，设“盾圆D ”上的任意一点M 到(1,0)F 的距离为1d ，M 到直线:3l x =的距离为2d ，求证：12d d +为定值；（3）由抛物线21:4E y x =（203x ≤≤）与第（1）题椭圆圆弧22222:1x y E a b +=（23x a ≤≤）所合成的封闭曲线为“盾圆E ”，设过点(1,0)F 的直线与“盾圆E ”交于A 、B 两点， 1||FA r =，2||FB r =且AFx α∠=（0απ≤≤），试用cos α表示1r ，并求12r r 的取值范围；参考答案一. 填空题1.2. 23.12 4. 2π5. [1,4)6. 2y x =(0)x ≥7. 8. 8064- 9. 25 10. 2 11. 216000 12. 4313. 3[2,)2- 14. ②③二. 选择题15. B 16. C 17. B 18. D三. 解答题 19.（1）3A π=；（2）2b c ==；20.（1）12arcsin25；（2）证明略，111625B D BC =； 21.（1）定义域(1,1)-，零点为0x =；（2）若1a >，则0m ≥；若01a <<，则0m ≤； 22.（1）21n a n =-；（2）212n n n b -=；（3）2332nnn T +=-； 23.（1）22143x y +=；（2）124d d +=；（3）当11cos 5α-≤≤-，121cos r α=-； 当1cos 15α-≤≤，132cos r α=+；12911[,]119r r ∈；。

2017-2018学年上海市十二校联考高三（上）12月月考数学试卷一.填空题1．双曲线x2﹣y2=1的焦距为．2．若等差数列{a n}的前5项和为25，则a3=．3．=．4．如果函数y=f（x）的反函数为f﹣1（x）=3x+1，则f（1）的值为．5．二元一次方程组的增广矩阵通过矩阵变换可得，则代数式a+b的值为．6．函数y=asinx+bcosx的一个对称轴方程为x=，则直线l：ax+by+c=0的倾斜角为．7．满足不等式arccos2x＜arccos（1﹣x）的x的取值范围为．8．已知集合A={x||3﹣2x|≤1}，，若A⊆B，则实数a的取值范围为．9．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线y2=2bx 的焦点为F，若，则=．10．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D为线段BC上任一点（包含端点），则的最大值为．11．已知函数，在8行8列的矩阵中，（1≤i≤8，1≤j≤8且i，j∈N），则这个矩阵中所有数之和为．12．用C（A）表示非空集合A中元素的个数，设A={x||x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|=0}，若C（A）=5，则实数a的取值范围．二.选择题13．函数f（x）=的图象（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称14．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c．命题甲：∠A+∠C=2∠B，且a+c=2b．命题乙：△ABC是正三角形．则命题甲是命题乙的（）条件．A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要15．若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m 的值为（）A．﹣3 B．1 C．D．316．已知函数（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围为（）A． B． C．D．三.解答题17．已知f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）当f（1）=﹣1，且f（x）＜0的解集为（0，2），求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的不等式对一切实数恒成立，求实数a的取值范围．18．设{a n}是首项为a1，公比为q的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．（1）已知a2=2，且a3是S1，S3的等差中项，求数列{a n}的通项公式；（2）当a1=1，q=2时，令b n=log4（S n+1），求证：数列{b n}是等差数列．19．在平面直角坐标系内，已知点P及线段l，在线段l上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为“点P到线段l的距离”，记为d（P，l）．（1）设点P（2，0），线段l：y=x（﹣1≤x≤2），求d（P，l）；（2）设A（﹣2，1），B（0，1），C（﹣2，﹣1），D（2，﹣1），线段l1=AB，线段l2=CD，若点P（x，y）满足d（P，l1）=d（P，l2），求y关于x的函数解析式，并写出该函数的值域．20．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的任一点，且∠AON=60°，点B在射线ON上运动．（1）若点A（2，0），当△ABO为直角三角形时，求|AB|的值；（2）若点A（2，0），求点A关于射线ON的对称点P的坐标；（3）若|AB|=2，C为线段AB的中点，若Q为点C关于射线ON的对称点，求点Q（x，y）的轨迹方程，并指出x、y的取值范围．21．给出集合M={f（x）|f（x+2）=f（x+1）﹣f（x），x∈R}．（1）若，求证：函数g（x）∈M；（2）由（1）分析可知，是周期函数且是奇函数，于是张三同学得出两个命题：命题甲：集合M中的元素都是周期函数．命题乙：集合M中的元素都是奇函数．请对此给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例；（3）若f（x）∈M，数列{a n}满足：a n=f（n）+1，且a1=2a2=3，数列{a n}的前n项和为S n，试问是否存在实数p、q，使得任意的n∈N*，都有成立，若存在，求出p、q的取值范围，若不存在，说明理由．2017-2018学年上海市十二校联考高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．双曲线x2﹣y2=1的焦距为．【分析】直接利用双曲线的方程，求出实半轴与虚半轴的长，然后求解截距的长即可．解：双曲线x2﹣y2=1，可得a=b=1，则c=，所以双曲线x2﹣y2=1的焦距为：2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．2．若等差数列{a n}的前5项和为25，则a3=5．【分析】利用等差数列{a n}的通项公式求和公式及其性质即可得出．解：由题意可得：S5==5a3=25，解得a3=5．故答案为：5．【点评】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．=6．【分析】把要求的式子利用等差数列的前n项和公式化为，整理得，即，运用列极限的运算法则求出结果．解：====6，故答案为6．【点评】本题考查数等差数列的前n项和公式，列极限的运算法则的应用，属于基础题．4．如果函数y=f（x）的反函数为f﹣1（x）=3x+1，则f（1）的值为﹣1．【分析】由题意可得f（x）=log3x﹣1，代值计算即可．解：∵函数y=f（x）的反函数为f﹣1（x）=3x+1，∴y=f（x）=log3x﹣1，∴f（1）=log31﹣1=﹣1．故答案是：﹣1．【点评】本题考查反函数，得出f（x）的解析式是解决问题的关键，属基础题．5．二元一次方程组的增广矩阵通过矩阵变换可得，则代数式a+b的值为9．【分析】由二元一次方程组的增广矩阵通过矩阵变换可得，得到x=3，y=﹣1，由此能求出代数式a+b的值．解：∵二元一次方程组的增广矩阵通过矩阵变换可得，∴x=3，y=﹣1，∴，解得a=5，b=4，∴代数式a+b=5+4=9．故答案为：9．【点评】本题考查代数式的值的求法，考查线性方程及其增广矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．函数y=asinx+bcosx的一个对称轴方程为x=，则直线l：ax+by+c=0的倾斜角为．【分析】由对称性可得f（0）=f（），可得ab的关系式，进而可得直线的斜率，可得倾斜角．解：令y=f（x）=asinx+bcosx，∵函数y=asinx+bcosx的一个对称轴方程为x=，∴f（0）=f（），代值可得f（0）=b，f（）=a，∴a=b，∴直线ax+by+c=0的斜率k=﹣=﹣1，设其倾斜角为α，则k=tanα=﹣1．∴α=，故答案为：．【点评】本题考查三角函数的对称性，涉及直线的斜率和倾斜角，属中档题．7．满足不等式arccos2x＜arccos（1﹣x）的x的取值范围为（，] ．【分析】由y=arccosx在[﹣1，1]递减，可得﹣1≤1﹣x＜2x≤1，解不等式即可得到所求范围．解：arccos2x＜arccos（1﹣x），由y=arccosx在[﹣1，1]递减，可得﹣1≤1﹣x＜2x≤1，即为x≤2且x＞且x≤，可得＜x≤，则x的取值范围是（，]．故答案为：（，]．【点评】本题考查反三角函数的定义和性质，考查定义法的运用，以及不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．8．已知集合A={x||3﹣2x|≤1}，，若A⊆B，则实数a的取值范围为．【分析】求出集合A={x||3﹣2x|≤1}={x|1≤x≤2}，由A⊆B，当x+1＞0时，B={x|x ＞﹣1}，当x+1＜0时，A⊆B不成立，由此能求出实数a的取值范围．解：集合A={x||3﹣2x|≤1}={x|1≤x≤2}，，A⊆B，∴当x+1＞0时，B={x|x＞﹣1}，且a＞0，∵A⊆B，∴＜1，解得a＞；当x+1＜0时，ax＜1﹣a，当a=0时，B={x|x＜﹣1}，不满足A⊆B；当a＞0时，B={x|x＜，且x＜﹣1}，不满足A⊆B；当a＜0时，B={x|x＞，且x＜﹣1}，不满足A⊆B．综上实数a的取值范围为（，+∞）．故答案为：（）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查不等式性质、交集、子集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线y2=2bx 的焦点为F，若，则=．【分析】先根据椭圆和抛物线的方程分别求得其焦点坐标，根据，建立等式求得b和a的关系，即可求出结论．解：依题意可知抛物线的焦点为（，0），椭圆的焦点为（±，0），∵，∴+=（﹣），整理得a=b∴a：b=，故答案为：．【点评】本题主要考查了椭圆和抛物线的简单性质．考查了学生基础知识的理解和应用以及基本的运算能力．10．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D为线段BC上任一点（包含端点），则的最大值为2．【分析】由于D是边BC上的一点（包括端点），利用向量共线定理可设=λ+（1﹣λ）（0≤λ≤1）．代入利用数量积运算性质即可得出•=﹣7λ+2．再利用一次函数的单调性即可得出解：∵D是边BC上的一点（包括端点），∴可设=λ+（1﹣λ）（0≤λ≤1）．∵∠BAC=120°，AB=2，AC=1，∴•=2×1×cos120°=﹣1．∴•=[λ+（1﹣λ）]•（﹣）=（2λ﹣1）•﹣2+（1﹣λ）= =﹣（2λ﹣1）﹣4λ+1﹣λ=﹣7λ+2．∵0≤λ≤1，∴（﹣7λ+2）∈[﹣5，2]，则的最大值为2，故答案为：2【点评】本题考查了向量共线定理、数量积运算性质、一次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．11．已知函数，在8行8列的矩阵中，（1≤i≤8，1≤j≤8且i，j∈N），则这个矩阵中所有数之和为32．【分析】推导出a11=a88=f（1）==，f（x）+f（）=1，从而a ij+a ji=1，由此能求出在8行8列的矩阵中，所有数之和．解：a11=a88=f（1）==，∵，∴f（x）+f（）=+=1，∵（1≤i≤8，1≤j≤8且i，j∈N），=1，∴a ij+a ji=1，∴在8行8列的矩阵中，所有数之和为：S===32．故答案为：32．【点评】本题考查8行8列的矩阵中所有数之和的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．12．用C（A）表示非空集合A中元素的个数，设A={x||x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|=0}，若C（A）=5，则实数a的取值范围．【分析】由题意可得：|x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|=0有5个不同实数解．必然a＜0，方程化为：|x（x+1）（x+3）|+a|（x﹣1）（x+1）|=0，可得x=﹣1是此方程的一个实数根，x≠﹣1时，化为：|x（x+3）|=﹣a|（x﹣1）|，分别作出函数y=|x （x+3）|，y=﹣a|（x﹣1）|的图象．P（1，0），Q．由于函数y=|x（x+3）|，y=﹣a|（x﹣1）|的图象必须有四个交点，当y=﹣a|（x﹣1）|的图象经过点Q时，有=﹣a×，解得a，进而得出．解：A={x||x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|=0}，C（A）=5，则|x3+4x2+3x|+a|x2﹣1|=0有5个不同实数解．必然a＜0，方程化为：|x（x+1）（x+3）|+a|（x﹣1）（x+1）|=0，x=﹣1是此方程的一个实数根，x≠﹣1时，化为：|x（x+3）|=﹣a|（x﹣1）|，分别作出函数y=|x（x+3）|，y=﹣a|（x﹣1）|的图象．P（1，0），Q．由于函数y=|x（x+3）|，y=﹣a|（x﹣1）|的图象必须有四个交点，当y=﹣a|（x﹣1）|的图象经过点Q时，有=﹣a×，解得a=﹣．∴0．∴实数a的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查了方程的解法、集合运算性质、分类讨论方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二.选择题13．函数f（x）=的图象（）A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．关于直线y=x对称【分析】将函数进行化简，利用函数的奇偶性的定义进行判断．解：因为═，所以f（﹣x）=2﹣x+2x=2x+2﹣x=f（x），所以函数f（x）是偶函数，即函数图象关于y轴对称．故选：A．【点评】本题主要考查函数奇偶性和函数图象的关系，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性是解决本题的关键．14．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c．命题甲：∠A+∠C=2∠B，且a+c=2b．命题乙：△ABC是正三角形．则命题甲是命题乙的（）条件．A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要【分析】根据三角函数的余弦定理，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：在三角形中若∠A+∠C=2∠B，得∠A+∠C+∠B=3∠B=180°，则∠B=60°，则b2=a2+c2+2accosB=a2+c2﹣ac，∵a+c=2b∴b=，即（）2=a2+c2﹣ac，整理得a2+c2﹣2ac=0，得（a﹣c）2=0，得a=c，则三角形ABC为正三角形．则命题甲是命题乙的充要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用余弦定理以及充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．15．若不等式组，表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m 的值为（）A．﹣3 B．1 C．D．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．解：作出不等式组对应的平面区域如图：若表示的平面区域为三角形，由，得，即A（2，0），则A（2，0）在直线x﹣y+2m=0的下方，即2+2m＞0，则m＞﹣1，则A（2，0），D（﹣2m，0），由，解得，即B（1﹣m，1+m），由，解得，即C（，）．则三角形ABC的面积S△ABC =S△ADB﹣S△ADC=|AD||y B﹣y C|=（2+2m）（1+m﹣）=（1+m）（1+m﹣）=，即（1+m）×=，即（1+m）2=4解得m=1或m=﹣3（舍），故选：B．【点评】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解决本题的关键．16．已知函数（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（π，2π）内没有零点，则ω的取值范围为（）A． B． C．D．【分析】求出f（x）的零点，根据条件得出区间（ω﹣，2ω﹣）内不存在整数，再根据≥π可得（ω﹣，2ω﹣）为（0，1）或（﹣1，0）的子集，从而得出ω的范围．解：f（x）=2sin xcos x﹣cosωx=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣）．令f（x）=0可得ωx﹣=kπ，∴x=+，k∈Z．令π＜+＜2π，解得ω﹣＜k＜2ω﹣，∵函数f（x）在区间（π，2π）内没有零点，∴区间（ω﹣，2ω﹣）上没有整数，由f（x）在（π，2π）内没有零点可得≥π，0＜ω≤1．∴（ω﹣，2ω﹣）⊆（﹣1，0）或（ω﹣，2ω﹣）⊆（0，1），∴或，解得0＜ω≤或≤ω≤．故选：D．【点评】本题考查了正弦函数的性质，函数零点的计算，属于中档题．三.解答题17．已知f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）．（1）当f（1）=﹣1，且f（x）＜0的解集为（0，2），求函数f（x）的解析式；（2）若关于x的不等式对一切实数恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）利用二次函数与二次不等式的解集的关系，列出方程求解即可．（2）转化指数不等式为代数不等式，利用二次函数的性质列出不等式求解即可．【解答】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分，第2小题满分．解：（1）由f（x）＜0的解集为（0，2）可知：a＞0且f（x）=ax（x﹣2）…当f（1）=﹣1⇒a=1⇒f（x）=x2﹣2x…（2）⇔ax2﹣2ax+2＞0的解集为R …当a=0时，满足题意；…当a≠0时，由，综上a∈[0，2）…【点评】本题考查函数与方程的应用，二次函数以及二次不等式的简单性质的应用，考查计算能力．18．设{a n}是首项为a1，公比为q的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和．（1）已知a2=2，且a3是S1，S3的等差中项，求数列{a n}的通项公式；（2）当a1=1，q=2时，令b n=log4（S n+1），求证：数列{b n}是等差数列．【分析】（1）利用已知条件求出数列的公比与首项，然后求解数列的通项公式．（2）利用数列的递推关系式，化简数列的通项公式，然后证明数列是等差数列．【解答】（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分，第2小题满分．解：（1）由题意，…或…所以或…（2）证明：由题意得……n≥2时，因为所以数列{b n}是公差为的等差数列．…【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的判断以及数列求和，考查计算能力．19．在平面直角坐标系内，已知点P及线段l，在线段l上任取一点Q，线段PQ 长度的最小值称为“点P到线段l的距离”，记为d（P，l）．（1）设点P（2，0），线段l：y=x（﹣1≤x≤2），求d（P，l）；（2）设A（﹣2，1），B（0，1），C（﹣2，﹣1），D（2，﹣1），线段l1=AB，线段l2=CD，若点P（x，y）满足d（P，l1）=d（P，l2），求y关于x的函数解析式，并写出该函数的值域．【分析】（1）利用两点间的距离公式，化简利用二次函数的最值求解即可．（2）利用已知条件通过x与0，2的大小讨论，转化求解函数的解析式即可．【解答】（本题满分，第1小题满分，第2小题满分8分）．解：（1）在线段l：y=x（﹣1≤x≤2）任取一点Q（x，x）则（当且仅当x=1∈[﹣1，2]时取等号）所以…注：若用点到直线的距离求出答案，给（2）数形结合可知：当x≤0时，y=0；…当0＜x＜2时，点P的轨迹是以点B为焦点，直线l2为准线开口向上的抛物线的一段，从而x2=4y；…当x≥2时，点P的轨迹是线段BD的中垂线的一部分射线，从而y=x﹣1；…综上：，其值域为[0，+∞）…【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的解析式的求法，二次函数的性质以及距离公式的应用，考查转化思想以及计算能力．20．如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的任一点，且∠AON=60°，点B在射线ON上运动．（1）若点A（2，0），当△ABO为直角三角形时，求|AB|的值；（2）若点A（2，0），求点A关于射线ON的对称点P的坐标；（3）若|AB|=2，C为线段AB的中点，若Q为点C关于射线ON的对称点，求点Q（x，y）的轨迹方程，并指出x、y的取值范围．【分析】（1）通过△ABO中，|OA|=2，∠AON=60°，解直角三角形推出结果即可．（2）利用三角函数的定义，通过三角比的定义求解即可；（3）点A（a，0）关于射线ON的对称点P（acos120°，asin120°），即，设A（a，0），，求出AB，通过点Q为线段PB的中点，求解即可．【解答】（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分，第2小题满分，第3小题满分．解：（1）△ABO中，|OA|=2，∠AON=60°，若∠OAB=90°，则；…若∠OBA=90°，则．…（2）易知点A关于射线ON的对称点P一定在1200角的终边上，且OP=2．…按三角比的定义可知P（2cos120°，2sin120°）从而所求的点P为（﹣1，）．…（3）点A（a，0）关于射线ON的对称点P（acos120°，asin120°），即…设A（a，0），，则…（*）…易知点Q为线段PB的中点，所以，．…代入上式（*）化简整理可得：．…其中…（16分）（椭圆上半部分夹在两直线之间的一段曲线）亦可满分．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，轨迹方程的求法，三角函数的定义的应用，考查计算能力．21．给出集合M={f（x）|f（x+2）=f（x+1）﹣f（x），x∈R}．（1）若，求证：函数g（x）∈M；（2）由（1）分析可知，是周期函数且是奇函数，于是张三同学得出两个命题：命题甲：集合M中的元素都是周期函数．命题乙：集合M中的元素都是奇函数．请对此给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举反例；（3）若f（x）∈M，数列{a n}满足：a n=f（n）+1，且a1=2a2=3，数列{a n}的前n 项和为S n，试问是否存在实数p、q，使得任意的n∈N*，都有成立，若存在，求出p、q的取值范围，若不存在，说明理由．【分析】（1）g（x）∈M转化证明g（x+1）﹣g（x）=g（x+2），利用两角和与差是三角函数化简求解即可．（2）命题甲正确．集合M中的元素都是周期为6的周期函数，验证f（x+6）=f （x）即可，命题乙不正确．集合M中的元素不都是奇函数，列举反例即可．（3）假设存在实数p，q满足题设，则⇒a n+a n=2⇒a n+6=a n，+3推出数列{a n}是周期为6的周期数列，写出，然后转化求解即可．【解答】（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分，第2小题满分，第3小题满分．解：（1）证明：g（x）∈M转化证明g（x+1）﹣g（x）=g（x+2）…左边==…==右边…（2）命题甲正确．集合M中的元素都是周期为6的周期函数．…验证f（x+6）=f（x）即可；…命题乙不正确．集合M中的元素不都是奇函数．…如是奇函数；不是奇函数．…（3）f（n）=a n﹣1∈M，则a n+2﹣1=a n+1﹣1﹣（a n﹣1）⇒a n+2=a n+1﹣a n+1假设存在实数p，q满足题设，则⇒a n+a n=2⇒a n+6=a n+3所以数列{a n}是周期为6的周期数列，且前6项依次为2，3，2，0，﹣1，0…k∈N*…当n=6k，k∈N*时，；当n=6k﹣1，n=6k﹣5，k∈N*时，∈[﹣2，﹣1）；当n=6k﹣2，n=6k﹣4，k∈N*时，；当n=6k﹣3k∈N*时，；综上…（17分）要使对任意的n∈N*，都有恒成立，只要即可．…（18分）【点评】本题考查数列与函数的应用，数列求和，周期数列，考查分类讨论，转化思想的应用．。

陕西省延安中学2017-2018学年高三上学期第五次月考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的（每小题5分，共60分）1．已知集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+2}，若A⊆B，则a的值为( )A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：本题的关键是集合A={0，1}，B={﹣1，0，a+2}，若A⊆B，根据集合元素的互异性与唯一性，求出a的值解答：解：∵A={0，1}，B={﹣1，0，a+2}，且A⊆B∴a+2=1∴a=﹣1故选：B点评：题主要考查集合的相等等基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征．2．“若x＞﹣3，则x＞﹣6”以及它的逆、否、逆否中，真有( )A．1个B．2个C．3个D．4个考点：四种间的逆否关系；的真假判断与应用．专题：规律型．分析：根据四种的关系以及互为逆否的等价性进行判断即可．解答：解：根据互为逆否的等价性只需判断原和逆的真假性即可．原：若x＞﹣3，x＞﹣6成立，∴原正确，逆否也正确．逆：若x＞﹣6，则x＞﹣3，不成立，∴逆错误，否也错误．故四个中，真的个数为2．故选：B．点评：本题主要考查四种之间的关系以及真假的判断，利用互为逆否的等价性是解决本题的捷径．3．已知等差数列{a n}中，a5+a9﹣a7=10，记S n=a1+a2+…+a n，则S13的值为( ) A．260 B．168 C．156 D．130考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用a5+a9﹣a7=10求出a7的值，把S13的13项中项数相加为14的项结合在一起，根据等差数列的性质化简后，将a7的值代入即可求出值．解答：解：根据等差数列的性质可知a5+a9=2a7，根据a5+a9﹣a7=10，得到a7=10，而S13=a1+a2+…+a13=（a1+a13）+（a2+a12）+（a3+a11）+（a4+a10）+（a5+a9）+（a6+a8）+a7=13a7=130 故选D点评：考查学生灵活运用等差数列性质的能力．本题的突破点是项数相加为14的结合在一起．4．由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为( )A．B．C．D．考点：定积分在求面积中的应用．专题：函数的性质及应用．分析：要求曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求∫01（x2﹣x3）dx即可．解答：解：由题意得，两曲线的交点坐标是（1，1），（0，0）故积分区间是[0，1]所求封闭图形的面积为∫01（x2﹣x3）dx═，故选A．点评：本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积．5．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则( )A．ω=1，φ=B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ=D．ω=2，φ=﹣考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；综合题．分析：通过图象求出函数的周期，再求出ω，由（，1）确定φ，推出选项．解答：解：由图象可知：T==π，∴ω=2；（，1）在图象上，所以2×+φ=，φ=﹣．故选D．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查视图能力，逻辑推理能力．6．若函数f（x）=x3﹣bx，（b∈R）在区间（1，2）上有零点，则b的取值范围是( ) A．（4，+∞）B．（1，4）C．（﹣4，﹣1）D．（﹣∞，1）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：由根的存在性定理，令f（1）•f（2）＜0，解不等式，求出b的取值范围．解答：解：∵函数f（x）=x3﹣bx在区间（1，2）上有零点，∴f（1）•f（2）＜0，即（1﹣b）（8﹣2b）＜0；∴（b﹣1）（b﹣4）＜0，解得1＜b＜4，∴b的取值范围是（1，4）．故选：B．点评：本题考查了函数零点的应用问题，解题的关键是由根的存在性定理列出不等式，是基础题目．7．设O为坐标原点，点M的坐标为（1，1），若点N（x，y）的坐标满足，则的最大值为( )A．B．2 C．3 D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：根据向量的数量积关系结合线性规划的内容进行求解即可．解答：解：∵M的坐标为（1，1），∴•=x+y，设z=x+y，则y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A（3，0）或B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．代入目标函数z=x+y得z=3+0=3．即的最大值为3．故选：C点评：本题主要考查线性规划的应用，利用平面向量的数量积结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强．8．若f（x）为奇函数且在（0，+∞）上递增，又f（2）=0，则的解集是( )A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）考点：奇偶性与单调性的综合；抽象函数及其应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，且f（2）=0，得到当0＜x＜2时，f（x）＜0；当x≥2时，f（x）≥0．再结合函数为奇函数证出：当x≤﹣2时，f（x）≤0且﹣2＜x＜0时，f（x）＞0，最后利用这个结论，将原不等式变形，讨论可得所求解集．解答：解：∵f（x）在（0，+∞）上为单调递增函数，且f（2）=0，∴当0＜x＜2时，f（x）＜0；当x≥2时，f（x）≥0又∵f（x）是奇函数∴当x≤﹣2时，﹣x≥2，可得f（﹣x）≥0，从而f（x）=﹣f（﹣x）＜0．即x≤﹣2时f（x）≤0；同理，可得当﹣2＜x＜0时，f（x）＞0．不等式可化为：，即∴或，解之可得x＞2或x＜﹣2所以不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．故选：D．点评：本题以抽象函数为例，在已知f（x）的单调性和奇偶性的基础之上求解关于x的不等式，着重考查了函数的单调性与奇偶性的知识点，属于中档题．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，分别求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，可得答案．解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱锥，其底面面积S=2×2=4，高h=2×=，故该几何体的体积V=Sh=×4×=，故选：D点评：根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是2015届高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．10．已知双曲线和椭圆的离心率之积大于1，那么以a，b，m为边的三角形是( )A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等边三角形考点：圆锥曲线的共同特征；三角形的形状判断．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线、椭圆的离心率之积大于1，建立不等式，结合余弦定理，即可求得结论．解答：解：由题意，∴﹣a2b2+b2m2﹣b4＞0∴a2+b2﹣m2＜0∴∴m所对的角为钝角∴以a，b，m为边的三角形是钝角三角形故选B．点评：本题考查双曲线、椭圆的离心率，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．11．△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，则sinB+sinC的最大值为( )A．0 B．1 C．D．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，利用余弦定理表示出cosA，把得出关系式代入求出cosA的值，进而确定出A的度数，得到B+C的度数，用C表示出B，代入原式中利用两角和与差的正弦函数公式整理为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出sinB+sinC的最大值即可．解答：解：把2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，利用正弦定理化简得：2a2=b（2b+c）+c（2c+b），整理得：b2+c2﹣a2=﹣bc，∴cosA==﹣，∴A=120°，即B+C=60°，∴C=60°﹣B，∴sinB+sinC=sinB+sin（60°﹣B）=sinB+cosB﹣sinB=sinB+cosB=sin（B+60°），∵0＜B＜60°，∴60°＜B+60°＜120°，∴＜sin（B+60°）≤1，即＜sinB+sinC≤1，则sinB+sinC的最大值为1，故选：B．点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．12．若函数f（x）=﹣e ax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是( )A．4 B．2C．2 D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求函数的导数，求出切线方程根据直线和圆相切得到a，b的关系式，利用换元法即可得到结论．解答：解：函数的f（x）的导数f′（x）=，在x=0处的切线斜率k=f′（0）=，∵f（0）=﹣，∴切点坐标为（0，﹣），则在x=0处的切线方程为y+=x，即切线方程为ax+by+1=0，∵切线与圆x2+y2=1相切，∴圆心到切线的距离d=，即a2+b2=1，∵a＞0，b＞0，∴设a=sinx，则b=cosx，0＜x＜，则a+b=sinx+cosx=sin（x），∵0＜x＜，∴＜x＜，即当x=时，a+b取得最大值为，故选：D点评：本题主要考查导数的几何意义，以及直线和圆的位置关系，综合考查了换元法的应用，综合性较强．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2，则|BF|=2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的．已知|AF|=2，则到准线的距离也为2，根据图形AFKA1是正方形．则易得AB⊥x轴，即可得答案．解答：解：由抛物线的定义．抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的．已知|AF|=2，则到准线的距离也为2．根据图形AFKA1，是正方形．可知|AF|=|AA1|=|KF|=2∴AB⊥x轴故|AF|=|BF|=2．故填|BF|=2．点评：活用圆锥曲线的定义是解决圆锥曲线最基本的方法．到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化到准线的距离求解．14．已知点A（a，1）和曲线C：x2+y2﹣x﹣y=0，若过点A的任意直线都与曲线C至少有一个交点，则实数a的取值范围是[0，1]．考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：求出圆的圆心，利用直线和圆的位置关系进行判断．解答：解：∵圆的标准方程为（x﹣）2+（y﹣）2=，∴圆心坐标为（，），半径r=．当y=1时，方程x2+y2﹣x﹣y=0为x2+1﹣x﹣1=0，即x2﹣x=0，解得：x=0或x=1，要使过点A的任意直线都与曲线C至少有一个交点，则点A应该在圆上或者在圆内，则a满足0≤a≤1，故答案为：[0，1]．点评：本题主要考查直线和圆位置关系的判断，根据条件判断出点A在圆上或者在圆内是解决本题的关键．15．设二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为3．考点：基本不等式；二次函数的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：先判断a、c是正数，且ac=4，把所求的式子变形使用基本不等式求最小值．解答：解：∵二次函数f（x）=ax2﹣4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），∴a＞0，△=16﹣4ac=0，∴ac=4，则c＞0，∴≥2=2=3，当且仅当，=时取到等号，∴的最小值为3．故答案为：3．点评：本题考查函数的值域及基本不等式的应用，求解的关键就是求出a与c的关系，属于基础题．16．将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有24种．考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．分析：根据题意，首先分析甲，易得甲可以放在B、C班，有2种情况，再分两种情况讨论其他三名同学，即①A、B、C每班一人，②、B、C中一个班1人，另一个班2人，分别求出其情况数目，由加法原理可得其他三人的情况数目，由分类计数原理计算可得答案．解答：解：甲同学不能分配到A班，则甲可以放在B、C班，有A21种方法，另外三个同学有2种情况，①、三人中，有1个人与A共同分配一个班，即A、B、C每班一人，即在三个班级全排列A33，②三人中，没有人与甲共同参加一个班，这三人都被分配到甲没有分配的2个班，则这三中一个班1人，另一个班2人，可以从3人中选2个为一组，与另一人对应2个班，进行全排列，有C32A22种情况，另外三个同学有A33+C32A22种安排方法，∴不同的分配方案有A21（A33+C32A22）=24，故答案为24．点评：本题考查计数原理的应用，解题注意优先分析排约束条件多的元素，即先分析甲，再分析其他三人．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共5小题，共70分）17．已知函数f（x）=2sin（x﹣），x∈R（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若cosθ=，θ∈（0，），求f（2θ﹣）．考点：正弦函数的图象；两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由已知及正弦函数的图象和性质即可求得函数f（x）的值域．（Ⅱ）由已知即可求得sinθ，sin2θ，cos2θ的值，代入=即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为所以函数f（x）的值域为[﹣2，2]（Ⅱ）因为所以，所以，所以=====点评：本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式的应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．18．设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n．考点：等比数列的通项公式；数列的求和．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由{a n}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{a n}的通项公式（Ⅱ）由{b n}是首项为1，公差为2的等差数列可求得b n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{a n+b n}的前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）∵设{a n}是公比为正数的等比数列∴设其公比为q，q＞0∵a3=a2+4，a1=2∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1∵q＞0∴q=2∴{a n}的通项公式为a n=2×2n﹣1=2n（Ⅱ）∵{b n}是首项为1，公差为2的等差数列∴b n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1∴数列{a n+b n}的前n项和S n=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2点评：本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题．19．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；证明题．分析：（1）证明线面垂直可以利用面面垂直进行证明，即若两个平面垂直并且其中一个平面内的一条直线a与两个平面的交线操作时则直线a与另一个平面垂直，即可证明线面垂直．（2）建立空间坐标系，根据坐标表示出两个平面的法向量，结合向量的有关运算求出二面角的余弦的表达式，再利用函数的有关知识求出余弦的范围．解答：解：（I）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，∴AB=2∴AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°=3∴AB2=AC2+BC2∴BC⊥AC∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD=AC，BC⊂平面ABCD∴BC⊥平面ACFE（II）由（I）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令，则，B（0，1，0），M（λ，0，1）∴设为平面MAB的一个法向量，由得取x=1，则，∵是平面FCB的一个法向量∴∵∴当λ=0时，cosθ有最小值，当时，cosθ有最大值．∴．点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，以便于找到线面之间的平行、垂直关系，并且对建立坐标系也有一定的帮助，利用向量法解决空间角空间距离是最好的方法．20．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知条件推导出e=，a﹣c=1．由此能求出椭圆C的标准方程．（2）存在直线l，使得||=||成立．设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．解答：解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．依题意e=，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c=1．解得c=1，a=2．所以=4﹣1=3．所以椭圆C的标准方程是．（2）解：存在直线l，使得||=||成立．理由如下：设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．若||=||成立，即||2=||2，等价于．所以x1x2+y1y2=0．x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）•，化简得7m2=12+12k2．将代入3+4k2＞m2中，3+4（）＞m2，解得．又由7m2=12+12k2≥12，得，从而，解得或．所以实数m的取值范围是．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地加以运用．21．已知向量=（lnx，1﹣alnx），=（x，f（x）），∥，f′（x）为函数f（x）的导函数（Ⅰ）若函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，求实数a的最小值；（Ⅱ）若存在x1，x2∈[e，e2]，使得f（x1）≤f′（x2）+a，求实数a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；导数的运算；平行向量与共线向量．专题：导数的综合应用；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）由∥得f（x）=﹣ax，然后求导数，再由函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，可得f′（x）=≤0对x＞1恒成立，转化为求最值，（Ⅱ）“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）﹣a成立”，等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max ﹣a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想能求出实数a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵向量=（lnx，1﹣alnx），=（x，f（x）），∥，∴lnx•f（x）=x（1﹣alnx）（x＞0），∴f（x）==﹣ax，∴f′（x）=，∵函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴f′（x）=≤0对x＞1恒成立，即a≥对x＞1恒成立，令g（x）==﹣，令=t，x＞1，lnx＞0，t∈（0，+∞），g（t）=﹣t2+t，为二次函数，图象开口向下，对称轴为t=，则t=时，g（t）取得最大值，所以a≥，∴实数a的最小值为，（Ⅱ）“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（Ⅰ）知，当x∈[e，e2]时，lnx∈[1，2]，∈[，1]，f′（x）═﹣﹣a=﹣（﹣）2+﹣a≤﹣a，f′（x）max+a=，则问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤”，①当a≤﹣时，由（Ⅰ），f（x）在[e，e2]上为减函数，则f（x）min=f（e2）=﹣ae2≤，∴a≥﹣，与a≤﹣矛盾，②a＞﹣时，∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[1，2]，∵f′（x）=，由复合函数的单调性知f′（x）在[e，e2]上为增函数，∴存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）=0且满足：f（x）min=f（x0）=﹣ax0，要使f（x）min≤，∴a≥﹣＜﹣=，∴此时a≥，综上，实数a的取值范围为[，+∞）．点评：本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．请考生从第22、23、24题中任选一题作答，则按所做的第一题计分．选修1-4：几何证明选讲22．已知：如图，在Rt△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，连接EA交⊙O于点F．求证：（Ⅰ）DE是⊙O的切线；（Ⅱ）BE•CE=EF•EA．考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．专题：推理和证明．分析：（Ⅰ）连结OD，由已知得∠ODA=∠OAD，∠OAD=∠C，从而∠ODA=∠C，进而DO∥BC，由此能证明DE是⊙O的切线．（Ⅱ）连接BD，由已知得∠BDA=90°，∠BDC=90°，DE2=BE•CE，由此利用切割线定理能证明BE•CE=EF•BA．解答：证明：（Ⅰ）连接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，又∵AB=BC，∴∠OAD=∠C，∴∠ODA=∠C，∴DO∥BC，又∵DE⊥BC，∴DO⊥DE，∴DE是⊙O的切线．（Ⅱ）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=90°，∴∠BDC=90°，∵DE⊥BC，∴DE2=BE•CE，又∵DE切⊙O于点D，EFA是⊙O的割线．∴DE2=EF•BA，∴BE•CE=EF•BA．点评：本小题主要考查与圆有关的比例线段、三角形相似、弦切角定理、切割线定理等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C．（Ⅰ）写出C的参数方程；（Ⅱ）设直线l：2x+y﹣2=0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），再根据点（x，）在圆x2+y2=1上，求出C的方程，化为参数方程．（Ⅱ）解方程组求得P1、P2的坐标，可得线段P1P2的中点坐标．再根据与l垂直的直线的斜率为，用点斜式求得所求的直线的方程，再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程．解答：解：（Ⅰ）在曲线C上任意取一点（x，y），由题意可得点（x，）在圆x2+y2=1上，∴x2+=1，即曲线C的方程为x2+=1，化为参数方程为（0≤θ＜2π，θ为参数）．（Ⅱ）由，可得，，不妨设P1（1，0）、P2（0，2），则线段P1P2的中点坐标为（，1），再根据与l垂直的直线的斜率为，故所求的直线的方程为y﹣1=（x﹣），即x﹣2y+=0．再根据x=ρcosα、y=ρsinα可得所求的直线的极坐标方程为ρcosα﹣2ρsinα+=0，即ρ=．点评：本题主要考查求点的轨迹方程的方法，极坐标和直角坐标的互化，用点斜式求直线的方程，属于中档题．选修4-5：不等式选讲24．已知定义在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若a，b，c是正实数，且满足a+b+c=m，求证：a2+b2+c2≥3．考点：不等式的证明；绝对值不等式的解法．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）|x+1|+|x﹣2|≥（x+1）（x﹣2）=3，即可求m的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b+c=3，再由三元柯西不等式即可得证．解答：（Ⅰ）解：因为|x+1|+|x﹣2|≥（x+1）（x﹣2）=3当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，所以f（x）的最小值等于3，即m=3（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a+b+c=3，又a，b，c是正实数，所以（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=9，所以a2+b2+c2≥3点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查函数的最值的求法，考查柯西不等式的运用：证明不等式，属于中档题．。