南通市2012届高三第二次调研测试

南通市2012届高三第二次调研测试地 理 试 题一、选择题（一）单项选择题：本大题共18小题，每小题2分，共36分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

图1为“我国某地某月两日太阳高度日变化示意图”。

读图，完成1—3题。

1．该月可能是A ．3月B ．6月C ．9月D ．12月2．该月A ．地球公转速度不断加快B ．北半球昼夜时差逐渐变大C ．南极地区极昼范围不断扩大D ．上海正午太阳高度持续增大3．当该地该月1日日出时，处于1日的范围约占全球的A ．大于4/5B ．大于2/3C ．大于1/2D ．大于1/3图2为“甲城市的位置及其气温和降水月分配图”。

据此完成4—5题。

4．甲城2月的气候特点是A ．高温少雨B ．温和多雨C ．高温多雨D ．低温少雨5．造成甲、乙两城气候差异的主要因素是A ．太阳辐射B ．大气环流C ．地形D ．洋流注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共8页，包括选择题（第1～18题为单项选择题，第19～26题为双项选择题）和综合题（第27～31题）两部分。

本次考试满分为120分，考试时间为100分钟。

考试结束后，请将答题纸交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题纸上。

3．请认真核对答题纸表头规定填写或填涂的项目是否准确。

4．作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

作答综合题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其他位置作答一律无效。

图3为“我国鄂尔多斯（中部某地）地区I、II两历史时期土地利用类型分布变化示意图”。

读图，完成6—8题。

6．下列因素中，影响鄂尔多斯地区土地利用类型分布变化的主要因素是A．海拔 B．水分 C．热量 D．光照7．这种变化体现了自然地理环境的A.整体性B.差异性C.周期性D.地带性8．为遏制“半固定半流动沙地荒漠草原牧业带”向东扩张的趋势，宜采取的措施是A.大力植树造林，防止沙漠侵袭 B.退耕还林还草，稳定生态系统C.实行休耕政策，恢复自然植被D.恢复湿地生态，增强调节能力图4为“某国1960—2060年间出生率与死亡率的变化及预测图”。

南通市教研室2012年数学全真模拟试卷二试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1． 已知i 为虚数单位，则102i r r ==∑ ▲ ．2． 在区间[]12-, 内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是 ▲． 3． 对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图，若一批电子元件中寿命在100~300小时的电子元件的数量为400，则寿命在500~600小时的电子元件的数量为 ▲ ．4． 设定义在区间()π02, 上的函数sin 2y x =的图象与1cos 2y x =图象的交点横坐标为α，则t a n α的值为 ▲ ．5． 运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是 ▲ ．6． 在△ABC 中，a b c ,, 分别是角A B C , , 的对边，若222a b c , , 成等差数列，则cos B 的最小值为 ▲ ．7． 若定义在R 上的函数23()f x ax =（a 为常数）满足(2)(1)f f ->，则()f x 的最小值是 ▲ ．8． 已知双曲线22221y x a b-=（00a b >>,）的两个焦点为()1302F -, 、()2302F , ，点P400 500 12501400 32000 12000频率组距100 200 300 寿命（h ）600 （第3题图）开始S ←2，i ←1 i ≥201111S S←-i ←i +1结束输出S YN（第5题图）是第一象限内双曲线上的点，且121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-，则双曲线的离心率为 ▲ ．9． 函数e x y =的图象在点()ekak a , 处的切线与x 轴的交点的横坐标为1k a+，其中*k ∈N ，10a =，则135a a a ++= ▲ ．10．如图，在66⨯的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a ,b ,c 满足x +y =c a b （,R ∈x y ），则x y += ▲ .11．记123k k k k k S n =+++⋅⋅⋅+, 当123k =⋅⋅⋅,, , 时，观察下列等式：211122S n n=+，322111326S n n n=++，4323111424S n n n =++， 5434111152330S n n n n =++-，6542515212S An n n Bn =+++， ⋅⋅⋅可以推测，A B -= ▲ ．12．有一个各条棱长均为a 的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能剪裁，但可以折叠，则包装纸的最小边长是 ▲ ．13．定义在[)1+∞, 上的函数()f x 满足：①(2)2()f x f x =；②当[]24x ∈,时，()13f x x =--，则集合{}()(36)x f x f =中的最小元素是 ▲ ．14．已知关于x 的实系数一元二次不等式20 ()a x b x c a b ++<≥的解集为R ，则24a b cM b a++=-的最小值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）已知集合{}2280A x x x =--≤，{}22(23)30B x x m x m m m =--+-∈R ≤, ． （1）若[]24A B = ,，求实数m 的值； （2）设全集为R ，若A B ⊆R ð，求实数m 的取值范围．acb（第10题图）16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABC D -中，PD ⊥平面ABC D ，AD C D BC C D ⊥⊥, ，且2B C A D =．（1）若点E 为线段PC 的中点，求证：//D E 平面PAB ； （2）若二面角P BC A --的大小为π4，求证：平面PAB ⊥平面PBC ．17．（本题满分15分）如图，点P 在A B C ∆内，23A B C P B C ===,, πP B ∠+∠=，记B α∠=．（1）试用α表示AP 的长； （2）求四边形A B C P 的面积的最大值，并写出此时α的值．18．（本题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)16x y -+=，圆2C ：22(1)1x y ++=，点S为圆1C 上的一个动点，现将坐标平面折叠，使得圆心2(10)C -, 恰与点S 重合，折痕与直线1SC 交于点P ． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）过动点S 作圆2C 的两条切线，切点分别为M N 、，求MN 的最小值；（3）设过圆心2(10)C -, 的直线交圆1C 于点A B 、，以点A B 、分别为切点的两条切线交于点Q ，求证：点Q 在定直线上．19．（本题满分16分）ABCDPE（第16题图）α ABCP（第17题图）已知整数列．．．{}n a 满足31a =-，74a =，前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．20．（本题满分16分）已知函数2()f x x =，()ln g x a x =，a ∈R ．（1）若1x ∃≥，()()f x g x <，求实数a 的取值范围；（2）证明：“方程()()f x g x ax -=(0)a >有唯一解”的充要条件是“1a =”．试题Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．答．．若 多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（几何证明选讲）如图，以正方形ABC D 的顶点C 为圆心，C A 为半径的圆交BC 的延长线于点E 、F ，且点B 为线段C G 的中点． 求证：2G E G F BE BF ⋅=⋅．B ．（矩阵与变换）若直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到的直线过点(41)P ,，求实数k 的值． C ．（极坐标与参数方程）在极坐标系() (02π)ρθθ<≤, 中，求曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=的交点Q 的极坐标．ABDCEGF（第21 —A 题）D ．（不等式选讲）设a b , 为互不相等的正实数，求证：3334()()a b a b +>+．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，11 (01)A P A C λλ=<<． （1）若12λ=，求直线PB 与PD 所成角的正弦值；（2）是否存在实数λ，使得直线1A C ⊥平面PBD ？并说明理由．23．我们知道，对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同可以构造等式，这是一种非常有用的思想方法——“算两次”（G.Fubini 原理），如小学有列方程解应用题，中学有等积法求高⋅⋅⋅请结合二项式定理，利用等式2(1)(1)(1) (*)n n n x x x n +⋅+=+∈N 证明：（1）220(C )C nrn nnr ==∑； （2）20(C C )C mr m r mn nn r -==∑．南通市教研室2012年数学全真模拟试卷二参考答案1．1-； 2．23； 3．300； 4．1515； 5．2； 6．12； 7．0；8．355； 9．-6； 10．197； 11．14； 12．622a +； 13．12； 14．8．答案解析：1． 102i r r ==∑i 2+(i 3+i 4+i 5+i 6)+(i 7+i 8+i 9+i 10)=i 2=1-；ABCD1A1B 1C1DP（第22题）2． 易得正数的取值区间长度是2，总长度是3，由几何概型得所求概率为23；3． 寿命在100~300小时的电子元件的频率是()1311002002005+⨯=，故样本容量是140020005÷=，从而寿命在500~600小时的电子元件的数量为()320001003002000⨯⨯=； 4． 易得锐角α满足1sin 2cos 2αα=，即12s i n c o s c o s 2ααα=，所以151sin cos 44αα==，，于是15tan 15α=．5． 变量i 的值分别取1，2，3，4，…时，变量S 的值依次为111 2 22-，，，，…，不难发现变量S 的值是以3为周期在变化，当i 的取值为2010时，2S =，而后i 变为2011退出循环．6． 易得222222222212 cos 222a c b b b b a c B ac ac a c+-=+===+，≥（当且仅当a c =时等号成立）． 7． 由(2)(1)f f ->得23(2)a a ->，即0a >，所以偶函数()f x 在[)0 +∞，上是单调增函数，在(] 0-∞，上是单调减函数，所以min ()(0)0f x f ==； 8． sin ∠PF 1F 2==55，sin ∠PF 1F 2==255，由正弦定理得122P FP F =，又易得tan ∠F 1PF 2=34，所以cos ∠F 1PF 2=45，由利用余弦定理得122151533PF PF ==，，所以12153PF PF -=，故1523a =，又23c =，所以离心率355e =；9． 易求得切线方程为()e e kka a k y x a -=-，令y =0得，x =1k a -，即11k k a a +-=-，故数列{}k a 是等差数列，所以1356a a a ++=-；10．由向量坐标的引入可以认为()()()1 2 2 3 3 4a b c ==-=，，，，，，代入x +y =c a b 得17277x y ==，， 故197x y +=；11．易观察出A =16，对于5S ，可令n =1得51S =，即有11516212B +++=，所以112B =；12．如图，是某正四棱锥的平面展开图，等腰△ABC 的底边BC 即为所求正方形包装纸的边长的最小值，由余弦定理得222622cos1502BC a a a a +=+-=；13．易得()()991(36)2(18)4(9)816164244f f f f f =====⨯=， 由条件可知，[][][]()2 4 4 8 8 16f x ⋅⋅⋅在，，，，，上的最大值依次为1，2，4…，即最大值构成一个以2为公比的等比数列，结合图象 不难发现()=4f x 时x 的最小值是12；14．由题意得240 0b ac a ->≤，，所以2222242()a ab ac a ab b M a b a ab a++++=--≥()2121b ba ab a+⋅+=-，令 (1)b t t a =>，，则()22+1414244811t t M t t t +=-+++=--≥≥（当且仅当3 3t b a ==，即时等号成立）．15．命题立意：本题主要考查集合的交、并、补集运算以及一元二次不等式等基础知识，考查运算求解能力．解：（1）易得集合{}24A x x =-≤≤，集合{}3B x m x m =-≤≤，（4分）由[]2 4A B = ，得32 4 m m -=⎧⎨⎩，≥，所以m =5．（7分）（2）由（1）得{}3 R B x x m x m =<->，或ð，（10分）因为A B ⊆R ð，所以342m m -><或，解得72m m ><-或．（14分）16．命题立意：本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识，考查空间想象、推理论证能力． 证明：（1）取BP 得中点F ，连结AF ，EF ， 又点E 为线段PC 的中点，且AD C D BC C D ⊥⊥,，且2BC AD =， 所以EF //12BC //AD ，所以四边形ADEF 是平行四边形，(2分) 故ED //AF ，ABCDPE（第16题图）FABC（第12题图）又因为D E ⊄平面PAB ，AF ⊂平面PAB ，所以//D E 平面PAB ．(5分) （2）因为PD ABC D ⊥平面，且BC ABC D ⊂平面， 所以PD BC ⊥，又C D BC ⊥， PD CD D PD CD PCD =⊂ ，、平面， 所以B C P C D ⊥平面． 于是P C D P B C A ∠--是二面角的平面角，即有π4PC D ∠=，(7分)此时，P C D △是等腰三角形， 又E P C 是的中点，故D E PC ⊥，(9分)因为B C P C D ⊥平面， 又D E PC D ⊂平面， 所以D E BC ⊥， 又//D E AF ， 所以AF PC ⊥，且AF BC ⊥，又 PC BC C = ，P C B C P B C ⊂、平面， 所以A F P B C ⊥平面，(12分) 又A F P A B ⊂平面， 所以P A B P B C ⊥平面平面．(14分)17．命题立意：本题主要考查三角形的余弦定理与面积公式以及三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力．解：（1）△ABC 与△APC 中，由余弦定理得，22223223cos AC α=+-⨯⨯， ①()222222cos AC AP AP α=+-⨯⨯π-，②（4分） 由①②得()24cos 12cos 90 0 AP AP ααα++-=∈π，，，解得34cos AP α=-；（7分）（2）()()1123sin 2sin 0 22ABC APC S S S AP ααα∆∆=-=⨯⨯-⨯⨯π-∈π,， 由（1）得4si n cos S αα=⋅2sin2 α=，()0 α∈π，（13分）所以当4απ=时，max 2S =．（15分）18． 命题立意：本题主要考查直线、圆、椭圆基础知识，考查运算求解、综合应用能力． 解：（1）由题意得121124PC PC PC PS C C +=+=>，故P 点的轨迹是以C 1、C 2为焦点，4为长轴长的椭圆，则24 1a c ==，，所以2a =，3b =， 故P 点的轨迹方程是22143y x +=．（5分）（2）法1（几何法） 四边形SMC 2N 的面积=211222SC M N SM M C SM ⋅=⋅⨯=，所以222222212cos 21sin 21SM M N M SC M SC SC SC ==∠=-∠=-，（9分）从而SC 2取得最小值时，MN 取得最小值， 显然当(3 0)S -，时，SC 2取得最大值2， 所以min 12134M N =-=．（12分）法2（代数法） 设S (x 0，y 0)，则以SC 2为直径的圆的标准方程为()()()()22220000112222x y x y x y -+-+-=+，该方程与圆C 2的方程相减得，()00010x x y y x +++=，（8分） 则圆心2C 到直线MN 的距离()220011d x y ==++22000121x y x +++，因为()2200116x y -+=，所以22000152x y x +=+， 从而01164d x =+，[]03 5x ∈-，，故当03x =-时d max 12=，因为221MN d =-，所以()2m in1212M N =-=3．（12分）（3）设( )Q m n ，，则“切点弦”AB 的方程为()1(1)16m x ny --+=，将点（-1，0）代入上式得7m =-， R n ∈， 故点Q 在定直线7x =-上．（16分）19．命题立意：本题主要考查等差、等比数列的定义与通项公式等基础知识，考查灵活运用基本量进行探索求解、推理分析能力．解：（1）设数列前6项的公差为d ，则512a d =-+，613a d =-+，d 为整数． 又a 5，a 6，a 7成等比数列，所以()()231421d d -=-，解得1d =，当n ≤6时，4n a n =-，（3分）由此51a =，62a =，数列从第5项起构成的等比数列的公比为2，所以，当n ≥5时，52n n a -=. 故54 4 25.n n n n a n --⎧=⎨⎩≤，，，≥（7分）（2）由（1）知，数列{}n a 为：-3，-2，-1，0，1，2，4，8，16，… 当m =1时等式成立，即-3-2-1=-6=(-3)⨯(-2)⨯(-1)；当m =3时等式成立，即-1+0+1=0；（11分） 当m =2或4时，等式均不成立；（13分）当m ≥5时，312122m m m m a a a -++=，535122(21)72m m m m m a a a --++++=-=⨯， 因为31227522772m m m ---=⨯，而5m m ∈Z ≥，，所以272m -是偶数，所以3125272m m --≠⨯，于是1212m m m m m m a a a a a a ++++++≠，故m =1，或m =3．（16分）20．命题立意：本题主要考查利用导数研究函数的图像与性质等基础知识，考查灵活运用数形结合、化归与转化、分类与讨论思想进行运算求解、推理论证的综合能力．解：（1）记()()()F x f x g x =-，则22()2a x a F x x x x -'=-=，1x ≥，当0a ≤时，()0F x '>恒成立，故()F x '为[)1+∞, 上的单调增函数，所以min ()(1)1F x F ==，（2分）当0a >时，由()0F x '=得2ax =（负值已舍），若12a≤，即20a <≤时，()0F x '≥恒成立，故()F x 为[)1+∞, 上的单调增函数，所以min ()(1)1F x F ==，（4分）若12a >，即2a >时，()F x '在)12a ⎡⎢⎣,上恒小于0，在()2a∞, +上恒大于0，所以()F x 在)12a ⎡⎢⎣, 上的单调递减，在)2a ⎡∞⎢⎣, +上的单调递增，故()()min ()1ln 222a a a F x F ==-， 综上所述，()min 21()1ln 222a F x a a a ⎧⎪=⎨->⎪⎩≤,, , , （6分）所以()1ln <22a a -0, 且2a >,解得2ea >．（8分）（2）1 充分性：当1a =时，方程2ln x x x -=，即2ln 0x x x --=，记2()ln G x x x x =--，x >由2(1)(21)121()210x x x x G x x xxx-+--'=--===得1x =（负值已舍），所以()G x 在(01), 上单调递减，在[)1+∞,上单调递增， 故min ()(1)0G x g ==，即2()ln G x x x x =--在(0)+∞, 有唯一解1x =，即证．（11分）2 必要性：因为方程2ln x a x ax -=(0)a >有唯一解，记2()ln h x x a x ax =--，0x > 由22()20a x ax a h x x a x x--'=--==得2084a a ax ++=（负值已舍），所以()h x 在0(0)x , 上单调递减，在[)0x +∞, 上单调递增，故min 0()()0h x h x ==，且0()0h x '=（13分）即2000200ln 020x a x ax x ax a ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩,,②-①⨯2得002ln 10x x +-=，00x >，记000()2ln 1s x x x =+-，00x >，则函数0()s x 为(0)+∞, 上的单调增函数，且(1)0s =，所以方程002ln 10x x +-=有唯一解01x =，将01x =代入②式得1a =，即证．由1 、2 得，“方程()()f x g x ax -=(0)a >有唯一解”的充要条件是“1a =”．（16分） 21．A ．命题立意：本题主要考查相似三角形、圆的相关几何知识，考查推理论证能力． 证明：连结AG ，AE 、AF ， 因为AB 垂直且平分CG ，所以AG =AC ，由切割线定理得2AG GE GF =⋅ ①，（3分） 由R t R t ABE FBA △∽△得到2AB BE BF =⋅ ②，（5分）因为2AG AB =，所以222AG AB = ③，（7分） 由①②③得，2G E G F BE BF ⋅=⋅．（10分）B ．命题立意：本题主要考查二阶矩阵的变换，考查运算求解能力．解：设变换T ：x x y y '⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦， 则0110x x y y y x '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，（5分） 即 x x y y '=⎧⎨'=⎩，，代入直线y kx =得x ky ''=， 将点(41)P , 代入得k =4．（10分） （注：本题亦可将点(41)P , 在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵作用下得到点的坐标代入直线y kx =，从而求出k 的值．）C ．命题立意：本题主要考查直线与圆的极坐标方程，考查运算求解能力．解：将直线cos 1ρθ=与圆2sin ρθ=分别化为普通方程得， 直线1x =与圆22(1)1x y +-=，① ②（6分）易得直线1x =与圆22(1)1x y +-=切于点Q ()1 1，， 所以交点Q 的极坐标是()π24，．（10分） D ．命题立意：本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证能力．证明：因为a >0，b >0， 所以要证3334()()a b a b +>+，只要证2234()()()a b a a b b a b +-+>+， 即要证2224()()a ab b a b -+>+，（5分）只需证()230a b ->， 而a ≠b ，故()230a b ->成立．（10分） （注：本题亦用“作差法”证明．）22．命题立意：本题主要考查空间向量的应用，考查运算求解能力．解：（1）如图，分别以DA ，DC ，D D 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -， 则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，1，0)，D (0，0，0)，A 1(1，0，1)，B 1(1，1，1)，C 1(0，1，1)，D 1(0，0，1)，由12λ=得()111 222P ，，， 所以()()111111 222222PB PD =-=---，，，，，， 所以1111444cos 33322PB PD --+⋅==-⋅，所以，直线PB 与PD 所成角的正弦值为223．（5分）（2）假设存在符合条件的实数λ，因为()()11 1 1 1 1 0A C BD =--=--，，，，，， 所以10A C BD ⋅=，故1A C BD ⊥．要使1A C P B D ⊥平面，只需1B P A C⊥， 由11(1 1 1)A P A C λλ==--，，得(1 1)P λλλ--，，，此时( 1 1)BP λλλ=---，，，由10A C BP ⋅=得23λ=．（10分）23．命题立意：本题主要考查二项式定理等基础知识，考查推理论证能力．证明：（1）考虑等式()()()2111nnnx x x +⋅+=+， 等式左边n x 的系数是A BCD 1A 1B 1C 1D P（第xy zO()()()22201122001C C C C C C C C C C C nn n nnnn n n nnn nnnn --++++=+++ =()2C nrn r =∑， 等式右边nx 的系数是2C nn， 根据对应项系数相等得，()2C n r n r =∑=2C n n．（5分） （2）仍考虑等式()()()2111n n nx x x +⋅+=+， 等式左边mx 的系数是011220C C C CC CC C m m m m nnnnn nnn--++++ =()0C C mrm rn nr -=∑，等式右边mx 的系数是2C mn， 根据对应项系数相等得，()0C C mr m r n n r -=∑=2C mn ．（10分）。

南通市2012届高三第二次调研测英语第I卷（三部分共85分）第一部分听力 (满分20分)做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节 (共5小题；每小题1分，满分5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1. What is the man going to do?A. Identify some colors.B. Learn to use a machine.C. Have the clothes washed.2. How will the woman go to Europe?A. By air.B. By land.C. By water.3. What is the man trying to do?A. Defend himself.B. Make an apology.C. Comfort the woman.4. What do you know about Mary?A. She has few friends.B. She enjoys going out.C. She dislikes shopping.5. What does the woman want the man to do?A. Make another phone call.B. Make something clear.C. Make a brief explanation.第二节 (共15小题；每小题1分，满分15分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

（第3题）南通市2012届高三第一次调研测试数学Ⅰ参考答案及评分建议一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共70分． 1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为 ▲ .2． 若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲ . 答案：1 + 2i3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是 ▲ . 答案：2，14． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ . 答案：0.025． 设全集U =Z ，集合{}220A x x x x =--∈Z ≥，，则U A =ð ▲ （用列举法表示）. 答案：{0，1}6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲ .答案：07． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ . 答案：298. 设P是函数1)y x +图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ . 答案：)ππ32⎡⎢⎣，9． 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数y x =，12y x =，xy =的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则 点D 的坐标为 ▲ . 答案：()1124，（第9题）(第13题)10．观察下列等式： 311=， 33129+=， 33312336++=， 33331234100+++=，……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）. 答案：2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为 ▲ . 答案：1212．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 ▲ .答案：21π-13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆 的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D . 若 127cos 25F BF ∠=，则直线CD 的斜率为 ▲ .答案：122514．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ . 答案： {}58 37，二、解答题15．本题主要考查正、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的基本关系式等基础知识，考查 运算求解能力．满分14分．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .A（第16题）BCDD 1 C 1B 1A 1M（1）若2sin cos sin A C B =，求a c 的值；（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan A C 的值.解：（1）由正弦定理，得sin A a =．从而2sin cos sin A C B =可化为2cos a C b =． …………………………………………3分由余弦定理，得22222a b c a b ab+-⨯=．整理得a c =，即1a c =. …………………………………………………………………7分（2）在斜三角形ABC 中，A B C ++=π，所以sin(2)3sin A B B +=可化为()()sin 3sin A C A C π+-=π-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()sin 3sin A C A C --=+．…………………………………………………………10分 故sin cos cos sin 3(sin cos cos sin )A C A C A C A C -+=+．整理，得4sin cos 2cos sin A C A C =-， ………………………………………………12分 因为△ABC 是斜三角形，所以sin A cos A cos C 0≠，所以tan 1tan 2A C =-．………………………………………………………………………14分16．本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分 14分．如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证：（1）1AA BD ⊥； （2）11//BB DD .证明：（1）取线段BD 的中点M ，连结AM 、1A M ， 因为11A D A B =，AD AB =，所以BD AM ⊥，1BD A M ⊥．………………………………………………………3分又1AM A M M = ，1AM A M ⊂、平面1A AM ，所以BD ⊥平面1A AM ． 而1AA ⊂平面1A AM ，所以1AA BD ⊥.…………………………………………………………………………7分 （2）因为11//AA CC ，1AA ⊄平面11D DCC ，1CC ⊂平面11D DCC ，所以1//AA 平面11D DCC ．……………………………………………………………9分 又1AA ⊂平面11A ADD ，平面11A ADD 平面111D DCC DD =，……………………11分 所以11//AA DD ．同理得11//AA BB ，所以11//BB DD ．………………………………………………………………………14分17．本题主要考查函数的概念、最值等基础知识，考查数学建模、数学阅读、运算求解及解决实际问 题的能力．满分14分．将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆 沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？（2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时， 而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B 组继续种植，求植树活动所持续的时间.解：（1）设A 组人数为x ，且052x <<，x ∈*N ，则A 组活动所需时间2150605()f x x x ⨯==；……………………………………………2分 B 组活动所需时间12001002()5252g x x x ⨯==--．……………………………………………4分 令()()f x g x =，即6010052x x=-，解得392x =．所以两组同时开始的植树活动所需时间**6019()10020.52x x F x x x x ⎧∈⎪=⎨⎪∈-⎩N N ≤， ，，，≥， ………………………………………………………6分 而60(19)19F =，25(20)8F =，故(19)(20)F F >． 所以当A 、B 两组人数分别为20 32，时，使植树活动持续时间最短．………………8分（第18题）（2）A 组所需时间为1+21502016532067⨯-⨯=-（小时），……………………………………10分 B 组所需时间为220032123133263⨯-⨯+=+（小时）， …………………………………12分 所以植树活动所持续的时间为637小时． ……………………………………………14分18．本题主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系等基础知识，考 查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分16分．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=．（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为 65，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的 坐标；若不经过，请说明理由．解：（1）设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=．因为直线l 被圆2C 截得的弦长为65，而圆2C的半径为1，所以圆心2(3 4)C ，到l ：0kx y k -+=45=．…………………………3分化简，得21225120k k -+=，解得43k =或34k =．所以直线l 的方程为4340x y -+=或3430x y -+=．…………………………………6分 （2）①证明：设圆心( )C xy ，，由题意，得12CC CC =， 化简得30x y +-=，即动圆圆心C 在定直线30x y +-=上运动．…………………………………………10分②圆C 过定点，设(3)C m m -，，则动圆C于是动圆C 的方程为2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-．整理，得22622(1)0x y y m x y +----+=．…………………………………………14分 由2210 620x y x y y -+=⎧⎨+--=⎩，，得1 2x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩或1 2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以定点的坐标为(1，(1．………………………16分19．本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方 法进行探究、分析与解决问题的能力．满分16分．已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0； （2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π02⎡⎤⎣⎦，上恒成立．解：（1）由题意，得()1cos 0f x x '=+≥．所以函数()sin f x x x =+在R 上单调递增．设11( )P x y ，，22( )Q x y ，，则有12120y y ->，即0PQ k >． ………………………………6分 （2）当0a ≤时，()sin 0cos f x x x ax x =+≥≥恒成立．………………………………………8分 当0a >时，令()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-， ()1cos (cos sin )g'x x a x x x =+-- 1(1)cos sin a x ax x =+-+．①当10a -≥，即01a <≤时，()()11cos sin 0g'x a x ax x =+-+>， 所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．所以()(0)0sin 00cos00g x g a =+-⨯⨯=≥，符合题意． ……………………………10分 ②当10a -<，即1a >时，令()()1(1)cos sin h x g'x a x ax x ==+-+， 于是()(21)sin cos h'x a x ax x =-+． 因为1a >，所以210a ->，从而()0h'x ≥． 所以()h x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．所以()π(0)()2h h x h ≤≤，即π2()12a h x a -+≤≤，亦即π2()12a g'x a -+≤≤．……………………………………………………………12分（i ）当20a -≥，即12a <≤时，()0g'x ≥，所以()g x 在π0⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．于是()(0)0g x g =≥，符合题意．…………14分（ii ）当20a -<，即2a >时，存在()0π0x ∈，，使得当0(0 )x x ∈，时，有()0g'x <，此时()g x 在0(0)x ，上为单调减函数， 从而()(0)0g x g <=，不能使()0g x >恒成立．综上所述，实数a 的取值范围为2a ≤．……………………………………………………16分20．本题主要考查数列的通项公式、等比数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及推理论证 的能力．满分16分．设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称 数列{n a }为“J k 型”数列．（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列. 解：（1）由题意，得2a ，4a ，6a ，8a ，…成等比数列，且公比()138212aq a ==， 所以()412212n n n a a q--==． ………………………………………………………………4分（2）证明：由{n a }是“4J 型”数列，得1a ，5a ，9a ，13a ，17a ，21a ，…成等比数列，设公比为t . …………………………6分由{n a }是“3J 型”数列，得1a ，4a ，7a ，10a ，13a ，…成等比数列，设公比为1α； 2a ，5a ，8a ，11a ，14a ，…成等比数列，设公比为2α； 3a ，6a ，9a ，12a ，15a ，…成等比数列，设公比为3α；则431311a t a α==，431725a t a α==，432139at a α==． 所以123ααα==，不妨记123αααα===，且43t α=． ……………………………12分 于是(32)113211k k k a a aα----==，2(31)1223315111k k k k k a a a t a a ααα------====，131323339111k k k k k a a a t a a ααα----====，所以11n n a a -=，故{n a }为等比数列．……………………………………………16分南通市2012届高三第一次调研测试数学Ⅱ附加题参考答案及评分建议21．【选做题】A ．选修4—1：几何证明选讲本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC =CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足 为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长． 解：连接AD 、DO 、DB ．由AE ∶EB =3∶1，得DO ∶OE =2∶1． 又DE ⊥AB ，所以60DOE ∠= ．故△ODB 为正三角形．……………………………5分 于是30DAC BDC ∠==∠ ．而60ABD ∠= ，故30C BDC ∠==∠ ． 所以DB BC ==在△OBD 中，32DE =．……………………………………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换本小题主要考查二阶矩阵的变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到的直线过点(41)P , ， 求实数k 的值．解：设变换T ：x x y y '⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦，则0110x x y y y x '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即 . x y y x '=⎧⎨'=⎩，…………………………5分 代入直线y kx =，得x ky ''=．将点(4 1)P ，代入上式，得k =4．……………………………………………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线与圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．解：将圆sin a ρθ=化成普通方程为22x y ay +=，整理，得()22224aa x y +-=． 将直线()cos 1ρθπ+=4化成普通方程为0x y -． ……………………………………6分2a =．解得4a =+ 10分D ．选修4—5：不等式选讲本小题主要考查均值不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥．证明：(2)(2)(2)a b c +++(11)(11)(11)a b c =++++++ …………………………………………4分333≥27= 27=（当且仅当1a b c ===时等号成立）． ……………………………………………10分22．【必做题】本题主要考查数学归纳法等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分10分．（第23题）已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1nn n a a n a +=∈+N ．（1）求2a ，3a 的值；（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立．（1）解：由题意，得2324 35a a ==，． ……………………………………………………………2分 （2）证明：①当1n =时，由（1），知120a a <<，不等式成立．……………………………4分 ②设当*()n k k =∈N 时，10k k a a +<<成立，………………………………………6分则当1n k =+时，由归纳假设，知10k a +>．而()()1111211112121222()011(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++-+--=-==>++++++，所以120k k a a ++<<，即当1n k =+时，不等式成立．由①②，得不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 成立．…………………………10分23．【必做题】本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、推理 论证的能力．满分10分．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上 方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ． （1）求抛物线的标准方程； （2）求证：MN ⊥x 轴；（3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0）， 求证：直线AB 过定点．解：（1）设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>， 由题意，得12p=，即2p =． 所以抛物线的标准方程为24y x =．……………………………………………………3分数学I 参考答案及评分建议 第 11 页 （共 11 页） （2）设11( )A x y ，，22( )B x y ，，且10y >，20y >． 由24y x =（0y >），得y =y '=． 所以切线AC的方程为11)y y x x -=-，即1112()y y x x y -=-． 整理，得112()yy x x =+， ①且C 点坐标为1( 0)x -，． 同理得切线BD 的方程为222()yy x x =+，②且D 点坐标为2( 0)x -，． 由①②消去y ，得122112M x y x y x y y -=-．……………………………………………………5分 又直线AD 的方程为1212()y y x x x x =++，③ 直线BC 的方程为2112()y y x x =+． ④ 由③④消去y ，得122112N x y x y x y y -=-． 所以M N x x =，即MN ⊥x 轴． …………………………………………………………7分（3）由题意，设0(1 )M y ，，代入（1）中的①②，得0112(1)y y x =+，0222(1)y y x =+． 所以1122( ) ( )A x y B x y ，，，都满足方程02(1)y y x =+． 所以直线AB 的方程为02(1)y y x =+．故直线AB 过定点(1 0)-，．………………………………………………………………10分。