【赢在课堂】(陕西专用)2015-2016学年高中数学 2.3.1 条件语句课后作业 北师大版必修3

【成才之路】2015-2016学年高中数学第1章 4简单计数问题课时作业北师大版选修2-3一、选择题1．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一道作答，选甲答对得100分，答错得－100分；选乙答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是( )A．48种B．36种C．24种D．18种[答案]　B[解析]　本题是考查排列组合及相关分类的问题．4①设4人中两人答甲题，两人答乙题，且各题有1人答错，则有A＝24(种)．242②设4人都答甲题或都答乙题，且两人答对，两人答错，则有2C C＝12(种)．∴4位同学得总分为0分的不同情况有24＋12＝36(种)．故选B.2．将5个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )A．15种B．20种C．25种D．32种[答案]　C[解析]　就编号为1的盒子中所放的球的个数分类：第一类，当编号为1的盒子中放15入一个球时，相应的放法数有C种；第二类，当编号为1的盒中放入2个球时，相应的放2535法数有C＝10种；第三类，当编号为1的盒子中放入3个球时，相应的放法数有C＝10种．根据分类加法计数原理可知，满足题意的放法种数是5＋10＋10＝25.3．(2014·秦安县西川中学高二期中)某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同英文字母可以相同的牌照号码共有( )126410226410A．(C)2A个B．A A个126226C．(C)2104个D．A104个[答案]　A126[解析]　∵前两位英文字母可以重复，∴有(C)2种排法，又∵后四位数字互不相同，410126410∴有A种排法，由分步乘法计数原理知，共有不同牌照号码(C)2A个．4．甲、乙、丙、丁四名同学在一次联欢会上合唱一首歌曲，他们商议：前四句歌词每人唱一句，其中甲和乙唱相邻的两句且甲不能唱第一句，第五句歌词由两人合唱，第六句歌词由另外两人合唱，歌曲的余下部分由四人合唱，则四人唱完这首歌曲的不同唱法的种数是( )A ．24B ．36C ．48D ．60[答案]　D[解析]　由题意，对甲的前4句唱哪句进行分类：①甲唱第2句：C ·A ；②甲唱第1223句：C ·A ；③甲唱第4句：C ·A ；共有C ·A ＋C ·A ＋C ·A ＝10种唱法．然后12212122122122第5句有C 种唱法，第6句有C 种唱法，故共有10×C ×C ＝60种唱法．2422425．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位．现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是( )A ．234B ．346C ．350D ．363[答案]　B[解析]　∵前排中间3个座位不能坐，∴实际可坐的位置前排8个，后排12个．(1)两人一个前排，一个后排，排法数为C C A ；181122(2)两人均在后排，共A 种，需排除两个相邻的情况：A A ，即A －A A ；21211122121112(3)两人均在前排，又分两类：①两人一左一右，为C C A ，②两人同左或同右时，14142有2(A －A A )种．24132综上，不同排法的种数为C C A ＋(A －A A )＋C C A ＋2(A －A A )＝346.18112221211121414224132二、填空题6．将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分赴世博会的三个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)[答案]　90种[解析]　本题考查了排列组合中的平均分组分配问题，先分组，再把三组分配C25C23C11A22乘以A 得：·A ＝90种．3C25C23C11A2237．将数字1、2、3、4、5、6排成一列，记第i 个数为a i (i ＝1,2，…，6)．若a 1≠1，a 3≠3，a 5≠5，a 1<a 3<a 5，则不同的排列方法有________种．(用数字作答)[答案]　30[解析]　本题主要考查用排列知识解决问题的能力．第一类：a 1＝2时，a 3＝4，a 5＝6或a 3＝5，a 5＝6，共有2A ＝12(种)．3第二类：a 1＝3时，a 3＝4，a 5＝6或a 3＝5，a 5＝6，共有2A ＝12(种)．33第三类：a1＝4时，a3＝5，a5＝6，共有A＝6(种)．所以总的排列方法有12＋12＋6＝30(种)．8．如果把2条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有________对(用数字作答)．16[解析]　方法一：第一步：从6条侧棱中任取一条，有C种方法．14第二步：从与该侧棱不相交的4条底边中任取一条，有C种方法．1614根据乘法原理，异面直线有C C＝24种．212方法二：从12条直线中任取2条组成C对直线，求其中异面直线的对数，只需从中减去2条直线共面的情况．2条直线共面的情况有三类：26第一类：任取2条侧棱所在的直线，显然是共面的，有C种取法．第二类：任取1条侧棱所在的直线，再取与它有交点的底边所在直线，有6×2种取法．26第三类：任取2条底边所在的直线，显然是共面的，有C种取法．2122626所以异面直线共有C－C－6×2－C＝24对．三、解答题9．男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男3名，女2名；(2)队长至少有1人参加；(3)至少有1名女运动员；(4)既要有队长，又要有女运动员．[分析]　此题中选的5人与顺序无关，是组合问题．3624[解析]　(1)C×C＝120种不同的选派方法．(2)分为两类：仅1名队长参加和两人都参加：124838共C×C＋C＝196种不同的选派方法．(3)全部选法中排除无女运动员的情况：41056共C－C＝246种不同的选法．48(4)分三类：①仅女队长：C；4845②仅男队长：C－C；38③两名队长：C；48484538∴共C＋C－C＋C＝191种不同的选派方法．[反思总结]　本题涉及所取元素“至少”问题，一般有两种考虑方法：直接法：“至少”中包含分类，间接法就是从总数中去掉“至少”之外的情况，“至多”也可这样考虑．10.某人手中有5张扑克牌，其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A，他有5次出牌机会，每次只能出一种点数的牌，但张数不限，此人有多少种不同的出牌方法？[解析]　出牌的方法可分为以下几类：5(1)5张牌全部开出，有A种方法；25(2)2张2一起出，3张A一起出，有A种方法；45(3)2张2一起出，3张A分开出，有A种方法；2335(4)2张2一起出，3张A分两次出，有C A种方法；35(5)2张2分开出，3张A一起出，有A种方法；2345(6)2张2分开出，3张A分两次出，有C A种方法．525452335352345因此共有不同的出牌方法A＋A＋A＋C A＋A＋C A＝860种．[反思总结]　全面细致地分类是解决本题的关键．若按出牌次数分类，方法数为52345233525A＋(1＋C)A＋(1＋C)A＋A＝860种．一、选择题1．某旅游团组织的旅游路线有省内和省外两种，且省内路线有4条，省外路线有5条，则参加该旅游团的游客的旅游方案有( )A．4种　B．5种　C．9种　D．20种[答案]　C[解析]　游客的旅游方案分为两类：第一类：选省内路线，有4种方法．第二类：选省外路线，有5种方法．由加法原理可知，游客的旅游方案有4＋5＝9种．2．(2014·重庆理，9)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A．72　B．120　C．144　D．168[答案]　B3[解析]　分两类：(1)先排歌舞类有A＝6种排法，再将其余的三个节目插空，如图333所示▼▽▼▽▼▽，或者▽▼▽▼▽▼，此时有2A A＝72；(2)先排歌舞类有A＝6种312排法，其余的两个小品与歌舞排法如图▼▽△▼▽▼，或者▼▽▼▽△▼，有4A C＝48.所以共有72＋48＝120种不同的排法．解决不相邻的排列问题，一般是运用插空法，解决本题容易忽略了第二类，导致出差．3．现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张．从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为( ) A．232　B．252　C ．472D ．484[答案]　C[解析]　本题考查了利用组合知识来解决实际问题．C －4C －C C ＝－16－72＝560－88＝472.316342411216×15×146另解：C C －3C ＋C C ＝－12＋4×＝220＋264－12＝472.04312341421212×11×10612×112解题时要注意直接求解与反面求解相结合，做到不漏不重4.如图A ，B ，C ，D 为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有( )A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种[答案]　C[解析]　如图，构造三棱锥A －BCD ；四个顶点表示四个小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁．由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法．这可由间接法完成：从六条棱中任取三条棱的不同取法有C 种，任取三条共面棱的不同取法有4种，所36以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法有C －4＝16种．故不同的建桥方案共有1636种．[反思总结]　此例通过构造几何图形使组合问题借助于几何图形展现出来也蕴函着转化思想．二、填空题5．有4张分别标有数字1、2、3、4的红色卡片和4张分别标有数字1、2、3、4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________种(用数字作答)．[答案]　432[解析]　因为10＝1＋2＋3＋4＝2＋2＋3＋3＝1＋1＋4＋4，即数字之和为10的情况有4,4,1,1；4,3,2,1；3,3,2,2，共三种．若为1,2,3,4，先选出标有数字的卡片，有2×2×2×2种可能，然后再排列它们，每一种可能有A 种排法，根据乘法原理，满足题意的排法有2×2×2×2×A ＝384种；44若为2,2,3,3，先选出标有数字的卡片，方法是唯一的，再排列它们有A 种排法；4若为1,4,1,4也有A 种排法．4所以共有384＋A ＋A ＝432种不同的排法．446．今有2个红球、3个黄球、4个白球，若同色球不加以区分，将这9个球排成一列共有________种不同的方法(用数字作答)．[答案]　1260[解析]　方法一：只需找到不同颜色的球所在的位置即可，共有C C C ＝1260种方29374法．方法二：同色球不加以区分(即属相同元素排列的消序问题)，先全排列，再消去各自的顺序即可，则将这9个球排成一列共有＝1260种不同的方法．A99A22A33A44三、解答题7．有四个不同的数字1、4、5、x (x ≠0)组成没有重复数字的所有的四位数的各位数字之和为288，求x 的值．[解析]　因为1、4、5、x 四个数字不同，排成的四位数中1在千位上、百位上、十位上、个位上分别有A 个，所有的1的和共为4×A ＝24.33同理，排成的四位数中4在千位上、百位上、十位上、个位上分别有A 个，所以，所3有的4的和共为4×4×A ＝96.3所有的5的和共为5×4×A ＝120.3所有的x 的和为x ×4×A ＝24x .3即24x ＋120＋96＋24＝288，解得：x ＝2.8.“抗震救灾，众志成城”在舟曲的救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴灾区救灾，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？[解析]　(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C 种选法，再从除外科专家24的6人中选取4人，有C 种选法，46所以共有C ·C ＝90种抽调方法．2446(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，方法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C ·C 种选法；24463436②选3名外科专家，共有C·C种选法；426③选4名外科专家，共有C·C种选法；根据分类加法计数原理，共有24463436426C·C＋C·C＋C·C＝185种抽调方法．610方法二(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家14566参加，有C·C种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：61014566C－C·C－C＝185种抽调方法．(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．6①没有外科专家参加，有C种选法；1456②有1名外科专家参加，有C·C种选法；2446③有2名外科专家参加，有C·C种选法．614562446所以共有C＋C·C＋C·C＝115种抽调方法．。

2015-2016学年高中数学 第1章 1归纳与类比课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的周长为C ＝πd 类比出球的表面积为S ＝πd 2；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③某次考试，张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，归纳出n 边形的内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③④C ．①②④D ．②④[答案] C[解析] 由合情推理的概念知①②④符合题意． 2．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11， 12×9＋3＝111， 123×9＋4＝1 111， 1 234×9＋5＝11 111， 12 345×9＋6＝111 111， ……A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 113 [答案] B[解析] 利用归纳推理，由已知可推测等号右侧应有7个1.3．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a ，b ，c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为( )A ．V ＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1、S 2、S 3、S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)[答案] C[解析] 设△ABC 的内心为O ，连接OA 、OB 、OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a 、b 、c ；类比：设四面体A －BCD 的内切球的球心为O ，连接OA 、OB 、OC 、OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都是r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .4．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( )A ．r 22B ．l 22C ．lr2D ．不可类比[答案] C[解析] 由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式． 5．平面几何中，有边长为a 的正三角形内任一点到三边距离之和为定值32a ，类比上述命题，棱长为a 的正四面体内任一点到四个面的距离之和为( )A ．43a B ．63a C ．54a D ．64a [答案] B[解析] 将正三角形一边上的高32a 类比到正四面体一个面上的高63a ，由正三角形“分割成以三条边为底的三个三角形面积的和等于正三角形的面积”，方法类比为“将四面体分割成以各面为底的三棱锥体积之和等于四面体的体积”证明．二、填空题6．(2015·陕西文，16)观察下列等式 1－12＝121－12＋13－14＝13＋141－12＋13－14＋15－16＝14＋15＋16 ……据此规律，第n 个等式可为____________________________________________． [答案] 1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n[解析] 观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n.故答案为1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n. 7．观察下列等式： ①cos2α＝2cos 2α－1；②cos4α＝8cos 4α－8cos 2α＋1；③cos6α＝32cos 6α－48cos 4α＋18cos 2α－1；④cos8α＝128cos 8α－256cos 6α＋160cos 4α－32cos 2α＋1；⑤cos10α＝m cos 10α－1 280cos 8α＋1 120cos 6α＋n cos 4α＋p cos 2α－1. 可以推测，m －n ＋p ＝________. [答案] 962[解析] 观察每一个等式中最高次幂的系数：2,8,32,128，m ，构成一个等比数列，公比为4，故m ＝128×4＝512.观察每一个等式中cos 2α的系数：2，－8,18，－32，p ，规律是1×2，－2×4,3×6，－4×8，故p ＝5×10＝50.每一个式子中的系数和为1，故m －1 280＋1 120＋n ＋p －1＝1， 代入m 和p ，可求得n ＝－400， 故m －n ＋p ＝512＋400＋50＝962. 8．设函数f (x )＝xx ＋2(x >0)，观察：f 1(x )＝f (x )＝xx ＋2，f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x3x ＋4， f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x7x ＋8， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x15x ＋16，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝f (f n －1(x ))＝________. [答案]x2n－1 x ＋2n[解析] 本题主要考查了归纳推理及分析解决问题的能力． 依题意：f 1(x )＝x x ＋2＝x2－1 x ＋2， f 2(x )＝x 3x ＋4＝x 22－1 x ＋22， f 3(x )＝x 7x ＋8＝x 23－1 x ＋23， f 4(x )＝x 15x ＋16＝124－1 x ＋24.∴当n ∈N *且n ≥2时，f n (x )＝x2n －1 x ＋2n .三、解答题9．已知S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n n ＋1 ，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值，并由此归纳出S n 的表达式．[分析] 在S n 中分别令n ＝1,2,3,4，可以求得S 1，S 2，S 3，S 4的值，再进行归纳推测． [解析] S 1＝11×2＝1－12＝12；S 2＝11×2＋12×3＝(1－12)＋(12－13)＝1－13＝23； S 3＝11×2＋12×3＋13×4＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＝1－14＝34； S 4＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝(1－12)＋(12－13)＋(13－14)＋(14－15)＝1－15＝45； 由此猜想：S n ＝nn ＋1(n ∈N ＋)．[点评] 本题利用归纳猜想的思想求得了S n 的表达式，有两点应注意：①正确理解与把握数列求和中S n 的含义；②在对特殊值进行规律观察时，有时需要将所得结果作变形处理，以显示隐藏的规律性．10．在△ABC 中，余弦定理可叙述为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，其中a 、b 、c 依次为角A 、B 、C 的对边，类比上述定理，给出空间四面体性质的猜想．[解析]如图，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α、β、γ依次表示平面PAB 与平面PBC 、平面PBC 与平面PCA 、平面PCA 与平面ABP 之间所成二面角的大小．故猜想余弦定理类比推理到三维空间的表现形式为：S 2＝S 21＋S 22＋S 23－2S 1S 2cos α－2S 2S 3cos β－2S 2S 1cos γ.[点评] 我们常将空间几何体与平面图形之间的性质进行类比：如四面体↔三角形，长方体↔矩形，圆↔球．注意：线↔面，平面角↔空间角，面积↔体积之间具有类比关系．一、选择题1．(2014·三峡名校联考)观察式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可归纳出第n －1个式子为( )A ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n －1B ．1＋122＋132＋…＋1n 2<12n ＋1C ．1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1nD ．1＋122＋132＋…＋1n 2<n 2n ＋1[答案] C[解析] 观察可得第n －1个式子中不等式的左边为数列{1i2]的前n 项的和，右边为分式2n －1n.2．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N ＋)的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则a 2 009＋a 2 010＋a 2 011等于( )A ．1 003B ．1 005C ．1 006D ．2 011[答案] B[解析] 观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半． 则a 4n －3＝n ，a 4n －1＝－n ，a 2n ＝n .又2 009＝4×503－3,2 011＝4×503－1， ∴a 2 009＝503，a 2 011＝－503，a 2 010＝1 005， ∴a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＝1 005.3．数列2，5，22，11，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝3n －3 B ．a n ＝3n －1 C ．a n ＝3n ＋1 D ．a n ＝3n ＋3 [答案] B[解析] 因为a 1＝3×1－1，a 2＝3×2－1，a 3＝3×3－1，a 4＝3×4－1，…，所以a n ＝3n －1.4．(2014·湖北理，8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A ．227B ．258C ．15750D ．355113[答案] B[解析] 设圆锥的底面圆半径为r ，则L ＝2πr ，由136L 2h ≈13sh ，代入s ＝πr 2化简得π≈3；类比推理，若V≈275L2h时，π≈258.本题的关键是理解“若V≈136L2h，π近似取为3”的意义，类比求解，这是高考考查新定义型试题的一种常见模式，求解此类试题时，关键是要理解试题所列举的例子．二、填空题5．在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系为________．[答案]S2△ABC＝S△OBC·S△DBC[解析]将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S2△ABC＝S△OBC·S△DBC．6．(2014·陕西理，14)观察分析下表中的数据：[答案]F＋V－E＝2[解析]5＋6－9＝2，6＋6－10＝2，6＋8－12＝2，∴F＋V－E＝2.三、解答题7．把下面在平面内成立的结论类比推广到空间中，并判断类比的结论是否成立；(1)如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交；(2)如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行．[解析]平面几何与空间几何的类比中，点的类比对象是线，线的类比对象是面，面的类比对象是体．(1)的类比结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交．由空间几何的知识易得此结论成立．(2)的类比结论为：如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．由空间几何的知识易得此结论不成立，如果两个平面同时垂直于第三个平面，这两个平面还可能相交．8．(2014·洛阳市高二期中)观察等式： sin50°＋sin20°＝2sin35°cos15° sin66°＋sin32°＝2sin49°cos17°猜想符合以上两式规律的一般结论，并进行证明． [解析] 猜想：sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.下面证明：左边＝sin(α＋β2＋α－β2)＋sin(α＋β2－α－β2)＝(sinα＋β2cos α－β2＋cos α＋β2sin α－β2)＋(sin α＋β2cos α－β2－cos α＋β2sin α－β2)＝2sin α＋β2cos α－β2＝右边．所以原等式成立.。

第一章 §2 第1课时一、选择题1．(2015·四川文，4)设a ，b 为正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b ＞0”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] a ＞b ＞1时，有log 2a ＞log 2b ＞0成立，反之也正确．选A. 2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本题考查两条直线垂直的充要条件．当a ＝1时，直线x －ay ＝0化为直线x －y ＝0，∴直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直； 当直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直时，有1－a ＝0， ∴a ＝1，故选C.3．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 本题考查充要条件，解一元二次不等式．由2x 2＋x －1>0得(x ＋1)(2x －1)>0，即x <－1或x >12，所以x >12⇒2x 2＋x －1>0，而2x 2＋x－1>0⇒/x >12，选A.4．(2014·郑州市质检)设向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，则“a ∥b ”是“x ＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 [答案] B[解析] a ∥b ⇔x 2－4＝0⇔x ＝±2，故a ∥b 是x ＝2的必要不充分条件． 5．(2014·甘肃省三诊)设a ，b ∈R ，则(a －b )·a 2<0是a <b 的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] (a －b )a 2<0⇒a －b <0⇒a <b ， 而a <b ，a ＝0时(a －b )·a 2＝0， ∴a <b ⇒/ (a －b )a 2<0 ∴选A.6．(2014·豫东、豫北十所名校联考)已知数列{a n }为等比数列，则p ：a 1<a 2<a 3是q ：a 4<a 5的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由a 1<a 2<a 3可知等比数列{a n }为递增的，所以a 4<a 5，充分性成立，但a 4<a 5时，不能确定{a n }为递增数列，也可能是正负交替数列，例如a n ＝2·(－1)n －1，所以必要性不成立．二、填空题7．命题p ：x 1、x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根，命题q ：x 1＋x 2＝－5，那么命题p 是命题q 的________条件．[答案] 充分不必要[解析] ∵x 1，x 2是方程x 2＋5x －6＝0的两根， ∴x 1＋x 2＝－5.当x 1＝－1，x 2＝－4时，x 1＋x 2＝－5，而－1，－4不是方程x 2＋5x －6＝0的两根． 8．已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )，都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的______条件．[答案] 充分不必要[解析] 点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上， 即a n ＝2n ＋1，∴{a n }为等差数列，但是{a n }是等差数列时却不一定有a n ＝2n ＋1. 三、解答题9．是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围．[答案] p ≥4[解析] x 2－x －2>0的解是x >2或x <－1，由4x ＋p <0得x <－p 4.要想使x <－p 4时，x >2或x <－1成立，必须有－p 4≤－1，即p ≥4，所以当p ≥4时，x <－p4⇒x <－1⇒x 2－x －2>0.所以p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．10．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件． [答案] a ≤1[解析] ①a ＝0时适合．②当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a <0；若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧1a>0，－2a <0，Δ＝4－4a ≥0.解得0<a ≤1.综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1；反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.一、选择题1．“m ＝12”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 由于直线方程中含有字母m ，需对m 进行讨论．(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0互相垂直的充要条件是(m ＋2)(m －2)＋3m (m ＋2)＝0，即(m ＋2)(4m －2)＝0，所以m ＝－2或m ＝12.显然m ＝12只是m 取值的一种情况．故为充分不必要条件．2．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] “tan x ＝1”的充要条件为“x ＝k π＋π4(k ∈Z )”，而“x ＝2kx ＋π4(k ∈Z )”是“x ＝kx ＋π4(k ∈Z )”的充分不必要条件，所以“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的充分不必要条件，故选A.3．设α∈R ，则“α＝0”是“sin α<cos α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 由α＝0可以得出sin α＝0，cos α＝1，sin α<cos α，但当sin α<cos α时，α不一定为0，所以α＝0是sin α<cos α的充分不必要条件，选A.4．(2014·江西临川十中期中)已知平面向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则“m ＝1”是“(a －m b )⊥a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] ∵|a |＝1，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，∴a ·b ＝1×2×cos60°＝1，(a －m b )⊥a ⇔(a －m b )·a ＝0⇔|a |2－m a ·b ＝0⇔m ＝1，故选C.二、填空题5．“a ＝12”是“y ＝cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为2π”的________条件．[答案] 充分不必要[解析] 由a ＝12，得y ＝cos 212x －sin 212x ＝cos x ，T ＝2π；反之，y ＝cos 2ax －sin 2ax ＝cos2ax ，由T ＝2π|2a |＝2π，得a ＝±12.故是充分不必要条件． 6．下列说法正确的是________． ①x 2≠1是x ≠1的必要条件； ②x >5是x >4的充分不必要条件； ③xy ＝0是x ＝0且y ＝0的充要条件；④x2<4是x<2的充分不必要条件．[答案]②④[解析]“若x2≠1，则x≠1”的逆否命题为“若x＝1，则x2＝1”，易知x＝1是x2＝1的充分不必要条件，故①不正确．③中，由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则③不正确．②④正确．三、解答题7．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.[证明](1)充分性：∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0，方程x2＋mx＋1＝0有实根，设x2＋mx＋1＝0的两根为x1、x2，由韦达定理知：x1x2＝1>0，∴x1、x2同号，又∵x1＋x2＝－m≤－2，∴x1、x2同为负根．(2)必要性：∵x2＋mx＋1＝0的两个实根x1，x2均为负，且x1·x2＝1，需Δ＝m2－4≥0且x1＋x2＝－m<0，即m≥2.综上可知，命题成立．8．求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.[证明]必要性：∵关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0.∴a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)(ax＋a＋b)＝0.因此，方程有一个根为x＝1.故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.。

【成才之路】2015-2016学年高中数学 4.1.1导数与函数的单调性练习 北师大版选修1-1一、选择题1．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数C ．在(0，1e )上是减函数，在(1e ，6)上是增函数D ．在(0，1e )上是增函数，在(1e ，6)上是减函数[答案] A[解析] ∵0<x <6，∴f ′(x )＝1＋1x>0，∴函数在(0,6)上单调递增．2．设f (x )＝x 2(2－x )，则f (x )的单调增区间是( ) A ．(0，43)B ．(43，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(43，＋∞)[答案] A[解析] f (x )＝x 2(2－x )＝2x 2－x 3，f ′(x )＝4x －3x 2，令f ′(x )>0，得0<x <43，故选A.3．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且当x >0，有f ′(x )>0，g ′(x )>0，则当x <0时，有( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0′，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0 [答案] B[解析] 由已知f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∵x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0， ∴f (x )，g (x )在(0，＋∞)上递增． ∴x <0时，f (x )递增，g (x )递减．∴x<0时f′(x)>0，g′(x)<0.4．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图像如图所示，则y＝f(x)的图像最有可能的是( )[答案] C[分析]由导函数f′(x)的图像位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图像，用排除法求解．[解析]由f′(x)的图像知，x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C.5．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为( )[答案] D[解析] 函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，则f ′(x )在(－∞，0)上恒大于0，排除A 、C ；函数f (x )在(0，＋∞)上先增加，再减少，最后又增加，则f ′(x )在(0，＋∞)上先为正，再为负，最后又为正，故D 选项符合．6．(2014·新课标Ⅱ文，11)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)[答案] D[解析] 由条件知f ′(x )＝k －1x≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴k ≥1.把函数的单调性转化为恒成立问题是解决问题的关键． 二、填空题7．函数f (x )＝x 3－5x 2＋3x ＋6的单调递减区间为________． [答案] (13，3)[解析] f ′(x )＝3x 2－10x ＋3＝(3x －1)(x －3)，令f ′(x )<0，得13<x <3，故函数f (x )的单调递减区间为(13，3)．8．函数f (x )＝x 3－mx 2＋m －2的单调递减区间为(0,3)，则m ＝____________. [答案] 92[解析] 令f ′(x )＝3x 2－2mx ＝0，解得x ＝0或x ＝23m ，所以23m ＝3，m ＝92.三、解答题9．求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝2x －ln x ； (2)f (x )＝x2＋cos x ；(3)f (x )＝x ＋bx(b >0)．[答案] (1)f (x )在(12，＋∞)上为增函数，在(0，12)上为减函数 (2)f (x )在(2k π＋π6，2k π＋5π6)(k ∈Z )上为减函数，在(2k π－7π6，2k π＋π6)(k ∈Z )上为增函数 (3)单调递增区间为(－∞，－b )和(b ，＋∞) 单调递减区间为(－b ，0)和(0，b )[解析] (1)函数的定义域为(0，＋∞)，其导函数为f ′(x )＝2－1x.令2－1x >0，解得x >12；令2－1x <0，解得0<x <12.故函数f (x )在(12，＋∞)上为增函数，在(0，12)上为减函数．(2)函数的定义域为R ，f ′(x )＝12－sin x .令12－sin x >0，解得2k π－7π6<x <2k π＋π6(k ∈Z )； 令12－sin x <0，解得2k π＋π6<x <2k π＋5π6(k ∈Z )． 故函数f (x )在(2k π＋π6，2k π＋5π6)(k ∈Z )上为减函数，在(2k π－7π6，2k π＋π6)(k∈Z )上为增函数.(3)函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝(x ＋b x )′＝1－bx2，令f ′(x )＞0，则1x2(x ＋b )(x －b )＞0，∴x ＞b ，或x ＜－b .∴函数的单调递增区间为(－∞，－b )和(b ，＋∞)． 令f ′(x )＜0，则1x2(x ＋b )(x －b )＜0，∴－b ＜x ＜b ，且x ≠0.∴函数的单调递减区间为(－b ，0)和(0，b )．10．(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx (a 、b ∈R )的图像过点P (1,2)，且在点P 处的切线斜率为8.(1)求a 、b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．[答案] (1)a ＝4，b ＝－3 (2)增区间(－∞，－3)，(13，＋∞)，减区间(－3，13)[解析] (1)∵函数f (x )的图像过点P (1,2)， ∴f (1)＝2. ∴a ＋b ＝1.①又函数图像在点P 处的切线斜率为8， ∴f ′(1)＝8，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， ∴2a ＋b ＝5.②解由①②组成的方程组，可得a ＝4，b ＝－3. (2)由(1)得f ′(x )＝3x 2＋8x －3， 令f ′(x )>0，可得x <－3或x >13；令f ′(x )<0，可得－3<x <13.∴函数f (x )的单调增区间为(－∞，－3)，(13，＋∞)，单调减区间为(－3，13).一、选择题1．下面4个区间中，函数y ＝x sin x ＋cos x 在上面为增函数的是( ) A ．(π2，3π2)B ．(π，2π)C ．(3π2，5π2)D ．(2π，3π)[答案] C[解析] y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ，当x ∈(3π2，52π)时，y ′>0；函数单调增．2．函数y ＝x ln x 的单调递减区间是( ) A ．(－∞，e －1) B ．(e －1，＋∞) C ．(e ，＋∞) D ．(0，e －1)[答案] D[解析] 函数的定义域为x ∈(0，＋∞)，令y ′＝ln x ＋1<0，ln x <－1，解得x <e －1，所以单调递减区间为(0，e －1)．3．若函数y ＝f (x )的导函数．．．在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像可能是( )[答案] A[解析] ∵导函数f ′(x )是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A.4．函数y ＝f (x )的图像如图所示，则y ＝f ′(x )的图像可能是( )[答案] D[解析] 由f (x )的图像知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D.二、填空题5．若函数f (x )＝ax 3＋x 恰有三个单调区间，则a 的取值范围是____________． [答案] a ＜0[解析] 由题知f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝－12a >0，∴a <0.6．已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递减，则a 的取值范围是________． [答案] (－∞，12)[解析] f ′(x )＝a x ＋－ax －1x ＋2＝2a －1x ＋2， 由题意得x >－2时，f ′(x )≤0恒成立， ∴2a －1≤0，∴a ≤12.又当a ＝12时，f (x )＝12x ＋1x ＋2＝12，此时，函数f (x )在(－2，＋∞)上不是减函数， ∴a ≠12.综上可知，a 的取值范围为(－∞，12)．三、解答题7．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11). (1)求a 、b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．[答案] (1)a ＝1，b ＝－3 (2)增区间(－∞，－1)，(3，＋∞) 减区间(－1,3) [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .因为f (x )的图像与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3.(2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)． 令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3； 又令f ′(x )<0，解得－1<x <3.故当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数； 当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数． 8．已知f (x )＝e x－ax －1.(1)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；(2)是否存在实数a 使f (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．[答案] (1)a ≤0 (2)a ＝1 [解析] (1)∵f (x )＝e x－ax －1， ∴f ′(x )＝e x－a . ∵f (x )在R 上单调递增，∴f ′(x )＝e x－a ≥0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，即a ≤e x，x ∈R 恒成立． ∵x ∈R 时，e x ∈(0，＋∞)，∴a ≤0. (2)f ′(x )＝e x －a .若f(x)在(－∞，0]上是单调递减函数⇒e x－a≤0在x∈(－∞，0]时恒成立⇒a≥(e x)max. 当x∈(－∞，0]时，e x∈(0,1]，∴a≥1.①若f(x)在[0，＋∞)上是单调递增函数⇒e x－a≥0在x∈[0，＋∞)时恒成立⇒a≤(e x)min.当x∈[0，＋∞)时，e x∈[1，＋∞)，∴a≤1.②由①②知a＝1，故存在a＝1满足条件．。