浙江省绍兴市2019版高二上学期期中数学试卷(理科)(II)卷

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知等差数列}{n a 中，2a ，7a 是函数的两个零点，则}{n a 的前8项和等于（ ）A ． 4B ． 8C ． 16D ． 202、在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为、、，若，则角为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知不等式ax 2+5x+b ＞0的解集是{x|2＜x ＜3}，则不等式bx 2﹣5x+a ＞0的解集是（ ） A ． {x|x ＜﹣3或x ＞﹣2} B ． {x|x ＜21-或x ＞31-} C ． {x|21-＜x ＜31-} D ． {x|﹣3＜x ＜﹣2} 4．已知数列的前项和为，满足，则}{n a 的通项公式（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知集合}03|{2>-=x x x A ，}1|{x y x B -==，则B A ⋂为（ ） A ．B ．C ．D ． φ6、在△ABC 中，内角A 、B 、C的对边分别为、、，32π=A ，b=1,3=∆ABC S ,则CB A cb a sin 2sin sin 2-+-+= （ ）A ．3392 B ． 339C ．72D ．74 7、若直线:10l kx y -+=上不存在坐标满足不等式组020440x y x y x y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩的点(,)x y ，则实数k 的取值范围为 （ ）A ．7(,0][,)4-∞+∞B ．[70,4]C ．7(,0)(,)4-∞+∞ D ．(70,4) 8、已知0x >，0y >，且9x y xy +=，则x y +的最小值为( ) A ．8B ．9C ．12D ．169．以n S ,n T 分别表示等差数列}{n a ,}{n b 的前项和，若37+=n nT S n n ，则55ba 的值为( ) A ． 7 B ．421 C ．837 D ．32 10、在锐角中，，则ACAB的取值范围是（ ）A ．B ．C ． )3,2(D ．11．已知数列}{n a 为等差数列，若11011-<a a ，且它们的前n 项和n S 有最大值，则使得0>n S 的n 的最大值为( )A ． 19B ． 20C ． 21D ． 22 12．若关于的不等式在区间1,5]上有解,则的取值范围是（ ）A ．),523(+∞-B ． ]1,523[-C ．),1(+∞D ． ]523,(-∞ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．13、各项均为正数的等比数列}{n a 的前项和为n S ，已知306=S ，709=S ,则3S =_____. 14、正项等比数列}{n a 中，若，则等比数列}{n a 的公比的取值范围 。

2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨市诸暨中学（实验班）高二上学期期中数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，点()1,2,3A 在xOy 平面上的射影的坐标为( ) A ．()1,2,0B ．()1,0,3C ．()0,2,3D ．()12,0--， 【答案】A【解析】过点()1,2,3A 作平面xOy 的垂线，垂足即为射影，横、纵坐标不变，竖坐标为0，结合图象，从而可求出射影坐标.【详解】空间直角坐标系中，点()1,2,3A ，过点()1,2,3A 作平面xOy 的垂线AQ ， 垂足Q 即为射影，则点Q 的坐标为()1,2,0.故选：A【点睛】本题考查空间中点的射影的求法，属于基础题.2．椭圆221925x y +=的焦点为1F ，2F ，AB 是过焦点1F 的弦，则2ABF ∆的周长为( ) A ．20B ．12C ．10D ．6【答案】A【解析】根据椭圆的标准方程求出a ，再利用椭圆的定义即可求解.【详解】由椭圆的方程221925x y +=得椭圆的焦点在y 上， 225,a = 故5a =，根据椭圆的定义可知：12210F A AF a +==12210F B BF a +==∴2ABF ∆的周长为:22121220AB AF BF F A AF F B BF ++=+++=.故选：A【点睛】本题考查了焦点三角形周长，考查了椭圆的定义，属于基础题.3．设曲线1-1x y x +=在点(3,2)处的切线与直线30ax y ++=垂直,则a 等于( ) A ．2B ．-2C ．12D ．-12 【答案】B【解析】函数的导函数为y′＝()221x --，所以函数在(3,2)处的切线斜率为k ＝－12，直线ax ＋y ＋3＝0的斜率为－a ，所以－a·(－12)＝－1，解得a ＝－2，选B ． 4．已知平面α⊥平面β，直线m 满足m α⊄，则“m αP ”是“m β⊥”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用空间线面、面面垂直与平行的关系即可判断出结论．【详解】平面α⊥平面β，则“m αP ”⇒“βm P 或m ⊂β或m 与β相交”，反之，平面α⊥平面β，令平面α⊥平面β=l ，在l 上任取一点A ，在α内过A 作AB ⊥l ，则AB ⊥平面β，又m ⊥β，可得m AB P ，∴m αP ；则“m αP ”是“m ⊥β”的必要不充分条件．故选B ．【点睛】本题考查了空间线面面面垂直与平行的关系、简易逻辑的判定方法，考查了面面垂直的性质定理的应用，考查了推理能力，属于基础题．5．已知函数()ln cos2f x x =，则()f x 的导函数()f x '=( )A ．1cos 2xB ．2tan 2x -C ．tan 2xD ．cos 22sin 2x x- 【答案】B【解析】根据复合函数求导法则即可求解.【详解】由函数()ln cos2f x x =，令2x μ= 则()()11()cos sin 222tan 2cos cos 2f x x x xμμμ''=⋅⋅=⋅-⋅=-'. 故选：B【点睛】本题考查了复合函数的导数求法，解题的关键是掌握基本初等函数的导数以及复合函数的求导法则，属于基础题. 6．已知双曲线E ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的焦距为2c ，E 的一条渐近线被圆222()3x c y a -+=截得的弦长为2a ，则E 的离心率是( )A ．B ．2CD ．3【答案】C【解析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆222()3x c y a -+=截得的弦长为2a ，可得=，即可求出双曲线的离心率.【详解】双曲线E ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为 0bx ay +=，Q 渐近线被圆222()3x c y a -+=截得的弦长为2a ，222232bc a a a b a ∴=-=+，2b a ∴=，即222b a =，2222c a a ∴-=，解得3e =.故选：C 【点睛】本题考查了求双曲线的离心率，同时考查了双曲线渐近线方程的求法以及点到直线的距离公式，属于基础题.7．若二面角为56π，直线m α⊥，直线n β⊂，则直线,m n 所成角的取值范围是 （ ）A ．(0,)2πB ．[,]62ππC ．[,]32ππD ．[,]63ππ 【答案】C【解析】如图，设m 上一点P 在平面,αβ内的垂足为,A B ，过点A 作,αβ交线l 的垂线，垂足为C ，连接BC ，则可得ACB ∠是二面角l αβ--的平面角，故56ACB π∠=，则6ACD π∠=．因为异面直线所成角最大为2π，而m l ⊥，所以当//n l 时，,m n 所成角取到最大值2π．而β所在平面内的直线与m 所成的角中最小的角是线面角，所以当n 为直线BC 或//n BC 时，因为6ACD π∠=，所以此时,m n 所成角为3π，,m n 所成角的最小值为3π．所以,m n 所成角的取值范围为[,]32ππ，故选C 8．过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线l 与抛物线交于A B ，两点，以AB 为直径的圆的方程为()()223216x y -+-=，则p =A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】设过抛物线22(0)y px p =>的焦点的直线l 与抛物线交于()()1122,,A x y B x y ，两点，则12AB x x p =++，又因为以AB 为直径的圆的方程为()()223216x y -+-=，所以1268AB x x p p =++=+=，解得2p =.故选B. 点睛：涉及过抛物线的焦点的弦的长度问题，往往要借助抛物线的定义转化为抛物线上的点到准线的距离，比联立方程利用弦长公式进行求解减少了计算量.9．已知在矩形ABCD 中，2AD AB =，沿直线BD 将△ABD 折成A BD 'n ，使得点A '在平面BCD 上的射影在BCD n 内（不含边界），设二面角A BD C '--的大小为θ，直线A D ' , A C '与平面BCD 中所成的角分别为,αβ，则（ ）A ．αθβ<<B ．βθα<<C ．βαθ<<D ．αβθ<<【答案】D【解析】由题意画出图形，由两种特殊位置得到点A′在平面BCD 上的射影的情况，由线段的长度关系可得三个角的正弦的大小，则答案可求．【详解】如图，∵四边形ABCD 为矩形，∴BA′⊥A′D ，当A′点在底面上的射影O 落在BC 上时，有平面A′BC ⊥底面BCD ，又DC ⊥BC ，可得DC ⊥平面A′BC ，则DC ⊥BA′， ∴BA′⊥平面A′DC ，在Rt △BA′C 中，设BA′=1，则2，∴A′C=1，说明O 为BC 的中点；当A′点在底面上的射影E 落在BD 上时，可知A′E ⊥BD ，设BA′=1，则'A D =∴， 要使点A′在平面BCD 上的射影F 在△BCD 内（不含边界），则点A′的射影F 落在线段OE 上（不含端点）．可知∠A′EF 为二面角A′﹣BD ﹣C 的平面角θ，直线A′D 与平面BCD 所成的角为∠A′DF=α，直线A′C 与平面BCD 所成的角为∠A′CF=β，可求得DF ＞CF ，∴A′C ＜A′D ，且'13A E =，而A′C 的最小值为1， ∴sin ∠A′DF ＜sin ∠A′CF ＜sin ∠A′EO ，则α＜β＜θ．故选D ．【点睛】本题考查二面角的平面角，考查空间想象能力和思维能力，考查了正弦函数单调性的应用，是中档题．10．设函数'()f x 是奇函数()f x （x ∈R ）的导函数，(1)0f -=，当0x >时，'()()0xf x f x -<，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-UB ．(1,0)(1,)-??C ．(,1)(1,0)-∞--UD ．(0,1)(1,)⋃+∞【答案】A【解析】【详解】 构造新函数()()f x g x x=,()()()2 'xf x f x g x x -='，当0x >时()'0g x <. 所以在()0,∞+上()()f x g x x=单减，又()10f =，即()10g =. 所以()()0f x g x x=>可得01x <<,此时()0f x >， 又()f x 为奇函数，所以()0f x >在()(),00,-∞⋃+∞上的解集为：()(),10,1-∞-⋃. 故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xf x f x '-，想到构造()()f x g x x=.一般：（1）条件含有()()f x f x '+，就构造()()x g x e f x =,（2）若()()f x f x -'，就构造()()x f x g x e=，（3）()()2f x f x +'，就构造()()2x g x e f x =，（4）()()2f x f x -'就构造()()2x f x g x e =，等便于给出导数时联想构造函数.二、填空题11．双曲线2212x y -=的渐近线方程是____；焦点坐标____.【答案】2y x =± (0) 【解析】直接根据双曲线的简单性质即可求出．【详解】 解：在双曲线222x y -=1中，a 2＝2，b 2＝1， 则c 2＝a 2+b 2＝3，则a =b ＝1，c =故双曲线222x y -=1的渐近线方程是y ＝，焦点坐标（0），故答案为：y ＝±2x ，（0） 【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______2cm ；体积是______3cm .【答案】845+ 4【解析】根据几何体的三视图得该几何体是直三棱柱，由三视图求出几何体中的各个边的长度，利用柱体的表面积公式及体积公式求得结果即可．【详解】根据几何体的三视图得：该几何体是如图所示的直三棱柱，其底面三角形ABC 是正视图中的三角形，底边为2cm ，高为2cm ，由俯视图知直三棱柱的高为2cm ，所以该几何体的体积V 12222=⨯⨯⨯=4（cm 3）， 则该几何体的表面积S 表面积＝21222522⨯⨯⨯+⨯⨯+2×2＝845+（cm 2）， 故答案为845+，4．【点睛】本题考查由三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．13．函数2ln 2x y x =-的单调递增区间为________；最小值为________. 【答案】(1,)+∞ 12【解析】首先求出函数的定义域，然后再求出导函数，令导函数大于零解不等式即可求出单调增区间，再利用函数的单调性即可求出最小值.【详解】函数2ln2xy x=-的定义域为()0,∞+，1y xx'=-，令0y'>，即1xx->，解得1x>，故函数的单调递增区间为(1,)+∞，令0y'<，即1xx-<，解得01x<<，所以函数的单调递减区间为()0,1，所以2min1ln1221y=-=.故答案为：(1,)+∞；12【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性、最值中的应用，解题的关键是求出导函数，属于基础题.14．已知三棱锥O-ABC，点D是BC中点，P是AD中点，设OP xOA yOB zOC=++u u u r u u r u u u r u u u r，则x y z++=________；x=________.【答案】112【解析】利用向量加法的平行四边形法则即可求解.【详解】如图，()()111222OP OA OD OA OB OC⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦uu u r uu r uuu r uu r uu u r uuu r111244OA OB OC xOA yOB zOC=++=++uu r uu u r uuu r uu r uu u r uuu r,所以111,,244x y z ===，所以1x y z ++=，12x =. 故答案为：1；12 【点睛】本题考查了向量加法的几何意义，需掌握平行四边形法则，属于基础题.15．已知函数32()f x x x x a =--+有三个零点，则实数a 的取值范围为________. 【答案】5,127⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】根据题意求出函数的导函数并且通过导数求出原函数的单调区间，进而得到原函数的极值，因为函数存在三个不同的零点，所以结合函数的性质可得函数的极大值大于0，极小值小于0，即可得到答案.【详解】由题意可得：函数32()f x x x x a =--+，所以()2321f x x x '=--， 令()0f x '>，则1x >或13x <-， 令()0f x '<，则113-<<x ， 所以函数的单调增区间为1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()1,+∞，减区间为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ 所以当13x =-时函数有极大值，15327f a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ 当1x =时函数有极小值，()11f a =-，因为函数32()f x x x x a =--+有三个零点， 所以150327f a ⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭且()110f a =-<， 解得5127a -<<，故实数a 的取值范围为5,127⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故答案为：5,127⎛⎫-⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性、极值中的应用，考查了函数的零点个数求参数的取值范围，属于基础题.16．已知抛物线2y x =上存在两点M ，N 关于直线3y x =+对称，则||MN =________.【答案】【解析】设抛物线2y x =上关于直线3y x =+对称两点为M ()11,,x y N ()22,x y ，中点为()00,P x y ，所以1201202,2x x x y y y +=+=，将点代入抛物线两式相减求出中点P ，然后再求出直线MN 的方程，将方程与抛物线联立求出M ，N ，利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】设抛物线2y x =上关于直线3y x =+对称两点为M ()11,,x y N ()22,x y ，中点为()00,P x y ，所以1201202,2x x x y y y +=+=，211222y x y x ⎧=∴⎨=⎩，两式相减得()()()1212120122y y x x x x x x x -=+-=-， 所以1201221y y x x x -==--，解得012x =-，将012x =-代入3y x =+，可得052y =， 所以直线MN 的方程为：51122y x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，即2y x =-+， 由22y x y x ⎧=⎨=-+⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或24x y =-⎧⎨=⎩，所以||MN ==故答案为：【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、直线与抛物线相交求弦长，属于基础题. 17．已知平面α与正方体的12条棱所成角相等，设所成角为θ，则sin θ=______. 【答案】3【解析】棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面之一，设出棱长，即可求出sin θ. 【详解】因为棱11111,,A A A B A D 与平面11AB D 所成的角相等，所以平面11AB D 就是与正方体的12条棱的夹角均为θ的平面，1A AO θ∠=，设棱长为：1，126AO AO ==，易知232sin 6θ==3【点睛】本题考查了线面所成的角，解题的关键是作出线面角，属于基础题.三、解答题18．已知抛物线2:2C y px =的焦点为F ，点()()114,0A y y <在抛物线上，且||5AF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知(1,2)P ，点B 在抛物线C 上，且PA PB ⊥，求B 点坐标. 【答案】（1）24y x =；（2）(9,6)B .【解析】（1）利用抛物线的定义，建立方程即可求出p 的值，进而确定答案. （2）设出点B ，利用向量的数量积即可求解. 【详解】 （1）由题可知452p+=，2p ∴=， 故抛物线C 的方程为：24y x =.（2）将4x =代入抛物线方程，由10y <可得14y =-，故()4,4A -，点B在抛物线C上，不妨设20 ,4yB y⎛⎫⎪⎝⎭，所以()3,6PA=-u u u r，21,24yPB y⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u r，因为PA PB⊥，所以0PA PB⋅=u u u r u u u r,即()()2316204yy⎛⎫-+--=⎪⎝⎭，解得02y=或6y=，又因为B与P不能重合，故06y=，故B点坐标(9,6).【点睛】本题考查了抛物线的定义，同时考查了向量数量积的坐标运算，属于中档题.19．如图，正三棱柱111ABC A B C-中，1AA AB=，D为AC中点.（1）求异面直线1AB与BD所成角的余弦值；（2）求直线1A B与平面1BC D所成角的正弦值.【答案】（1）64（2）105.【解析】（1）取11A C的中点E，连接1,B E AE,可得1AB E∠为异面直线1AB与BD所成角，设正三棱柱的棱长为1，在1AB E∆中，利用余弦定理即可求解.（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DE为z轴建立空间直角坐标系，求出平面1BC D的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.【详解】（1）取11A C 的中点E ，连接1,B E AE ,根据题意可得1//BD B E ，1AB E ∠为异面直线1AB 与BD 所成角， 设正三棱柱111ABC A B C -的底边边长为1，则11AA AB ==，所以12AB =,13B E =,215122AE ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 在1AB E ∆中，由余弦定理可得1352644cos 3222AB E +-∠==⨯⨯. （2）以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，DE 为z 轴建立空间直角坐标系，则11,0,1 2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,,02B⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()0,0,0D，11,0,12C⎛⎫-⎪⎝⎭，所以113,,12A B⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭u u u r，30,,0DB⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u u r，11,0,12DC⎛⎫=-⎪⎝⎭u u u u r，设平面1BC D的一个法向量(),,n x y z=r，则1n DBn DC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u vvu u u u vv，即3212yx z⎧⋅=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令2x=，则1z=，所以()2,0,1n=r，设直线1A B与平面1BC D所成角为θ，1110sin131544A B nA B nθ⋅===++⋅u u u r ru u u r r【点睛】本题考查了异面直线所成的角、空间向量法求线面角，解题的关键是建立恰当的坐标系，属于基础题.20．已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，且2AD=，1AB=，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB、BC的中点.（1）证明：PF FD⊥；（2）点G在线段PA上，且//EG平面PFD，求PGGA【答案】（1）证明见解析；（2）3；【解析】（1）连接AF，根据勾股定理可得AF DF⊥，利用线面垂直的性质可得PA DF⊥，再利用线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAF，从而证出PF FD⊥. （2）取AD的中点O，连接OB，过点E作//EH DP交AD于点H，过点H作//HG DP交PA于点G，//HG平面PFD，利用面面平行判定定理可得平面//EHG平面PFD，进而可得//EG平面PFD，由上可知14AG AP=，从而可证出PGGA.【详解】（1）连接AF，Q底面ABCD是矩形，且2AD=，1AB=，F是线段BC的中点，2AF DF∴==，222AF DF AD∴+=，AF DF∴⊥又PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，PA DF∴⊥，又PA AF A⋂=，DF⊥∴平面PAF，∵PF⊂平面PAF，∴PF FD⊥（2）取AD的中点O，连接OB，则//OB FD，过点E作//EH DF交AD于点H，则//EH平面PFD.EQ为AB的中点，14AH AD∴=，再过点H作//HG DP交PA于点G，则//HG平面PFD且14AG AP=，所以平面//EHG平面PFD，进而可得//EG平面PFD，所以34PG AP=，所以34314APPGGA AP==【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、面面平行的判定定理、性质定理，属于基础题.21．已知函数2()1xe f x ax=+，a R ∈. （1）求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； （2）当43a =时，求()f x 的极值点； （3）若()f x 为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1y x =+；（2）极大值点为12，极小值点为32；（3）01a ≤≤【解析】（1）首先求出切点()0,1，再求出()0f '，利用导数的几何意义以及点斜式方程即可求解.（2）先求导数，再讨论满足()0f x '=的点附近的导数的符号的变化情况，通过列表来确定极值点即可.（3）根据导函数，由()f x 为R 上的单调函数，若()f x 为R 上的单调增函数，故()0f x '≥恒成立，根据二次函数的性质，得到00a >⎧⎨∆≤⎩，()f x 为R 上的单调递减函数时，则()0f x '≤恒成立，得到0a <⎧⎨∆≤⎩，进而可求解.【详解】()()()()()222222122111x x xe ax e axax ax e f x ax ax +-⋅-+'==++（1）()01f =Q ，所以切点为()0,1，()01f '=∴曲线()y f x =在0x =处的切线方程：()110y x -=⨯-，即1y x =+，故曲线()y f x =在0x =处的切线方程为1y x =+.（2）当43a =时，()2222248413133322441133x x x x e x x e f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由()0f x '=，得112x =，232x =，当x 变化时，()f x '与()f x 的相应变化如下表：，所以12x =是()f x 的极大值点，32x =是()f x 的极小值点.（3）当()f x 为R 上的单调递增函数时，则()0f x '≥恒成立，即2210ax ax -+≥恒成立， 当0a =时，则10≥恒成立， 当0a ≠时，2440a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，解得01a <≤， 当()f x 为R 上的单调递减函数时， 则()0f x '≤恒成立，即2210ax ax -+≤， 当0a =时，则10≤不恒成立， 当0a ≠时，2440a a a <⎧⎨∆=-≤⎩，a 无解. 综上所述，01a ≤≤. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、有导数求函数的极值点以及由函数的单调性求参数的取值范围，属于基础题.22．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，其左焦点到点(2,1)P 10，不过原点O 的直线:l y kx m =+与C 交于A,B 两点，且线段AB 被直线OP 平分. （1）求椭圆C 的方程； （2）求k 的值；（3）求ABP △面积取最大值时直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（2）32k =-；（3）3172y x =-+. 【解析】（1）利用两点间的距离公式以及离心率求出,a c ，再由2223b a c =-=，即可求解.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消元利用韦达定理求得线段AB 的中点，再根据线段AB 的中点M 在OP 上，可求出解.（3）由（2）求出AB ，P 到直线AB 的距离，即可求得ABP △的面积，从而问题得解. 【详解】（1）由题意可得()2211012c c a ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，解得21a c =⎧⎨=⎩，2223b a c ∴=-=，∴椭圆C 的方程22143x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，由直线l 不过原点，可得0m ≠.由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，消元可得()2223484120k x kmx m +++-=①, ∴21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++, ∴线段AB 的中点M 2243,3434kmm k k⎛⎫- ⎪++⎝⎭， Q M 在OP 上，易知直线OP 的解析式为12y x =， 22323434m kmk k ∴=-++，32k ∴=-.（3）由（2），将①化为223330x mx m -+-=， 又Q 直线l 与椭圆相交，0∴∆>，212123,3m x x m x x -+== ()(m ∴∈-⋃，126AB x =-=又P 到直线AB 的距离d =，APB ∴∆的面积12S AB d =⋅⋅=，令()()()22412m m mμ=--，则()()(4411m m m m μ'=----，()(m ∈-⋃Q ，1m ∴=()m μ取得最大值，即S 取得最大值，∴所求直线的方程为312y x =-+. 【点睛】本题考查了由离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系以及直线与椭圆中围成三角形面积范围问题，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于难题.。

2019-2020年高二上学期期中考试数学试卷 含答案数 学 试 卷注 意：1．本试题满分160分，考试时间：120分钟．2．答题前请将试卷答题卷密封线内的有关项目填写清楚，密封线内不能答题． 3．将答案填写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束只交答题卷．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。

只填结果，不要过程！） 1、过点(2,3)-且与直线210x y -+=垂直的直线的方程为 ▲ ；2、过三点(4,0),(0,2)A B -和原点(0,0)O 的圆的标准方程为 ▲ ；3、已知ABC ∆中，(2,4),(1,3),(2,1),A B C --则BC 边上的高AD 的长为 ▲ ；4、已知两条直线12:(3)453,:2(5)8.l m x y m l x m y ++=-++= 若直线1l 与直线2l 平行，则实数m = ▲ ；5、已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m ； ②若l ⊂α，l ∥β，α∩β＝m ，则l ∥m ； ③若l ∥m ，m ⊂α，，则l ∥α； ④若l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 其中真命题是 ▲ (写出所有真命题的序号)． 6、若两圆224x y +=，222210xy mx m +-+-=相外切，则实数m = ▲ ；7、若,x y 满足约束条件023,23x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则zx y =-的最小值是 ▲ ；8、过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线,切点分别为,A B ,记APB α∠=,当α最小时,此时点P 坐标为 ▲ ； 9、右图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 ▲ 米；10、已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点(1,2)，则该双曲线的离心率的值为 ▲ ；11、已知点P 在抛物线24x y =上运动，F 为抛物线的焦点，点A 的坐标为(2,3)，若PA PF +的最小值为,M 此时点P 的纵坐标的值为,n 则M n += ▲ ； 12、在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为22(4)1x y -+=,若直线3y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心, 2为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是 ▲ ；13、已知等腰三角形腰上的中线长为2，则该三角形的面积的最大值是 ▲ ；14、已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 是椭圆的左右焦点，l 是右准线，若椭圆上存在点P ，使1PF 是P 到直线l 的距离的2倍， 则该椭圆离心率的取值范围是 ▲ ；二、解答题（共6题，90分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（14分） 如图,已知斜三棱柱111ABC A B C -中,AB AC =,D 为BC 的中点.(1) （7分）若1AA AD ⊥，求证:1AD DC ⊥； (2) （7分）求证:1A B // 平面1ADC16、（14分）如图,在四棱锥P ABCD -中, AB ∥DC ,2DC AB =,AP AD =,,,PB AC BD AC ⊥⊥E 为PD 的中点.求证:(1) （7分）AE ∥平面PBC ;(2) （7分）PD ⊥平面ACE .ABCDA 1B 1C 1(第15题) DCBA E P （第16题图）17、（14分）（1）（7分）已知椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为4，焦距为2，求椭圆的标准方程；(2) （7分）已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，准线方程为516±=x ， 求该双曲线的标准方程.18、（16分）已知ABC ∆三个顶点坐标分别为：(1,0),(1,4),(3,2)A B C ，直线l 经过点(0,4)．(1) （5分）求ABC ∆外接圆M 的方程；(2) （5分）若直线l 与M 相切，求直线l 的方程；(3) （6分）若直线l 与M 相交于,A B 两点，且AB =l 的方程．19、（16分）已知直线l 与圆22:240C xy x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为(0,1)M ，（1）（4分）求实数a 的取值范围以及直线l 的方程；（2）（4分）若圆C 上存在四个点到直线l a 的取值范围；（3）（8分）已知(0,3)N -，若圆C 上存在两个不同的点P ，使PM=，求实数a 的取值范围.20、（16分）在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率3e =，且椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3. (1) （6分）求椭圆C 的方程;(2) （10分）在椭圆C 上,是否存在点(),M m n ,使得直线l :1mx ny +=与圆O :221x y +=相交于不同的两点,A B ,且OAB ∆的面积最大? 若存在,求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积; 若不存在,请说明理由.高二数学期中考试数学参考答案及评分标准：1、课本（必修2）130P —11改编！答案：210x y ++=2、课本（必修2）111P —1（4）改编！答案：22(2)(1)5x y ++-=3、课本(必修2)91P —例4改编！答案：54、课本(必修2)96P —7改编！答案：7-5、课本(必修2)35P —3改编！答案：②、④6、3±7、－38、()2,4--9、（选修1—1—50页练习3改编！答案：10、11、（选修1—1—55页练习6改编！答案：512、247 13、83 14、3[2-解答题：15、【答案】证明:(1)因为AB =AC ,D 为BC 的中点,所以AD ⊥BC . …… 2分因为1AA AD ⊥，11AA CC ，所以1AD CC ⊥，…… 4分1CC BC C =，所以AD ⊥平面BCC 1B 1 ，…… 6分因为DC 1⊂平面BCC 1B 1,所以AD ⊥DC 1 …… 7分(2) 连结A 1C ,交AC 1于点O ,连结OD , 则O 为A 1C 的中点. 因为D 为BC 的中点,所以OD//A 1B …… 9分因为OD ⊂平面ADC 1,A 1B /⊂平面ADC 1, …… 12分 所以A 1B//平面ADC 1 …… 14分16、证明:(1)取PC 中点F ,连结EF ,BF ,∵E 为PD 中点,∴EF ∥DC 且EF =12DC .…… 2分∵AB ∥DC 且12AB DC =,∴EF ∥AB 且EF =AB .ABCDA 1B 1C 1（第15题图）O∴四边形ABFE 为平行四边形. ∴AE ∥BF . …… 4分 ∵AE ⊄平面PBC ,BF ⊂平面PBC , ∴AE ∥平面PBC . …… 7分(2)∵PB ⊥AC ,BD ⊥AC ,PBBD B =,∴AC ⊥平面PBD . (9)分∵PD ⊂平面PBD ,∴AC ⊥PD . ...... 10分 ∵AP AD =,E 为PD 的中点,∴PD AE ⊥. ...... 12分 ∵AE AC A =,∴PD ⊥平面ACE . (14)分17．解：（1）设椭圆的标准方程为：22221(0)x y a b a b +=>>，由题意得22,1,3a c b ==⇒=，…………… 3分所以所求椭圆的标准方程为22143x y +=． …………… 7分（选修1—135页5（1）！ （2）由题意知双曲线标准方程为：12222=-by a x ，所以43=a b ，2165a c = ，…………… 9分 又222b a c +=，解得4,3a b ==，…………… 11分 所以所求双曲线标准方程为221169x y -=. …………… 14分18． 解：（1）解法1：设M 的方程为：220,x y Dx Ey F ++++=FPE A BCD（第16题图）则由题意得101740,13320D F DEF D E F ++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解得24,1D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴M 的方程为222410x y x y +--+=，或22(1)(2)4x y -+-=．………… 5分解法2：(1,0),(1,4)A B 的横坐标相同，故可设(,2)M m ，由22MA MC = 得22(1)4(3)m m -+=-，解得1m =，∴M 的方程为22(1)(2)4x y -+-=，或222410x y x y +--+=．解法3：(1,0),(1,4),(3,2)A B C ，(2,2),(2,2)CA CB ∴==-，0,CA CB CA CB ∴⋅==，则ACB ∆是等腰直角三角形， 因而ACB ∆圆心为(1,2)，半径为2，∴M 的方程为22(1)(2)4x y -+-=．(2)当直线l 与x 轴垂直时，显然不合题意，因而直线l 的斜率存在，设:4l y kx =+，2=，解得0k =或43k =，………… 8分 故直线l 的方程为4y =或43120x y -+=．………… 10分 （3）当直线l 与x 轴垂直时，l 方程为0x=，它截M 得弦长恰为… 12分当直线l 的斜率存在时，设:4l y kx =+，∵圆心到直线4y kx=+，由勾股定理得224+=，解得34k =-，…… 14分故直线l 的方程为0x =或34160x y +-=． ………… 16分19、课本必修—2130P —15改编！解：（1）圆22:(1)(2)5,(1,2),5)C x y a C r a ++-=--=<…… 1分据题意：3CM a =<<…… 2分 因为,1,1,1CM AB CM AB CM AB k k k k ⊥⇒=-=-⇒= 所以直线l 的方程为10x y -+=…… 4分（2）与直线l 1:30l x y -+=过圆心，有两个交点，…… 6分2:10l x y --=与圆相交，3;a ⇒⇒<-…… 8分（3）设22(,),(5)12P x y PM x y =⇒++=…… 12分 据题意：两个圆相交：5757a <--<…… 14分且573<，所以：5757a --<< …… 16分20.解析:（1）因为e =所以2223c a =,于是223a b =.………… 1分设椭圆C 上任一点(),P x y ,则()()2222222222122443y PQ x y a y y y b b ⎛⎫=+-=-+-=--++ ⎪⎝⎭(b y b -≤≤). … 2分当01b <<时,2PQ 在y b =-时取到最大值,且最大值为244b b ++, 由2449b b ++=解得1b =,与假设01b <<不符合,舍去. ………… 4分 当1b ≥时,2PQ 在1y =-时取到最大值,且最大值为236b +,由2369b +=解得21b =.于是23a =,椭圆C 的方程是2213x y +=. ………… 6分(2)圆心到直线l 的距离为d =,弦长AB =所以OAB ∆的面积为12S AB d =⋅=,于是()2222211124S d d d ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭.………… 8分而(),M m n 是椭圆上的点,所以2213m n +=,即2233m n =-,于是22221132d m n n==+-,而11n -≤≤,所以201n ≤≤,21323n ≤-≤, 所以2113d ≤≤,………… 10分于是当212d =时,2S 取到最大值14,此时S 取到最大值12, 此时212n =,232m =. ………… 12分综上所述,椭圆上存在四个点⎝⎭、⎛ ⎝⎭、⎝⎭、⎛ ⎝⎭,使得直线与圆相交于不同的两点A 、B ,且OAB ∆的面积最大,且最大值为12. （每一个点坐标写出各1分，计4分！）………… 16分。

2023-2024学年浙江省绍兴一中高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知向量a →=(1，2，6)，b →=(2，y ，−1)，若a →⊥b →，则y ＝（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．22．已知过A （3，1）、B （1，﹣3）的直线与过C （﹣3，m ）、D （n ，2）的直线互相垂直，则点（m ，n ）有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个3．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形洞门高为2.5m ，底面宽为1m ，则该门洞的半径为（ ）A ．1.2mB ．1.3mC ．1.4mD ．1.5m4．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点在圆x 2+y 2＝4上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．85．已知A （﹣2，﹣2），B （﹣2，6），C （4，﹣2）三点，直线l 1：kx ﹣y ﹣2k ＝0与直线l 2：x +ky +2＝0相交于点P ，则|P A |2+|PB |2+|PC |2的最大值（ ） A ．72 B ．80C ．88D ．1006．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F 1，M 为C 的渐近线上一点，M 关于原点的对称点为N ，若∠MF 1N ＝90°，且|F 1N |=√3|F 1M |，则C 的渐近线方程为（ ） A ．y =±√33x B ．y =±√3x C ．y =±√66x D ．y =±√6x7．如图，由点P （﹣3，0）射出的部分光线被椭圆C ：x 24+y 2=1挡住，图中光线照不到的阴影区域（包括边界）为椭圆C 的“外背面”．若⊙O ：（x ﹣5）2+（y ﹣t ）2＝1位于椭圆C 的“外背面”，则实数t 的取值范围为（ ）A ．−√30+8√55≤t ≤8√5+√305B ．√30−8√55≤t ≤8√5−√305C ．−√30+55≤t ≤8√5+55D ．√30−55≤t ≤8√5−558．教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量u →=(a ，b ，c)(abc ≠0)，点P 0（x 0，y 0，z 0），点P （x ，y ，z ）．（1）若直线l 经过点P 0，且以u →为方向向量，P 是直线l 上的任意一点，求证：x−x 0a=y−y 0b=z−z 0c；（2）若平面α经过点P 0，且以u →为法向量，P 是平面α内的任意一点，求证：a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为x ﹣y +z ﹣7＝0，直线l 是平面x +2y ﹣3＝0与x +z +1＝0的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（ ） A ．√39B ．√75C ．√715D ．√1455二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线√3x +y +1=0的倾斜角为120°B ．经过点P （2，1），且在x ，y 轴上截距互为相反数的直线方程为x ﹣y ﹣1＝0C ．直线l ：mx +y +2﹣m ＝0恒过定点（1，﹣2）D ．直线l 1：x +2ay +1＝0，l 2：（a ﹣1）x ﹣y ﹣4＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝﹣1 10．已知点P 在⊙O ：x 2+y 2＝4上，点A （3，0），B （0，4），则（ ） A ．线段AP 长度的最大值是5B ．满足∠PBO ＝15°的点P 有且仅有2个C ．过直线AB 上任意一点作⊙O 的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点（12，1）D ．2|P A |+|PB |的最小值为2√1011．如图，已知抛物线y 2＝4x ，过抛物线焦点F 的直线l 自上而下，分别交抛物线于圆（x ﹣1）2+y 2＝1于A ，C ，D ，B 四点，则（ ）A ．OA →•OB →=−3B ．|AC |•|BD |＝1C ．当直线l 斜率√3为时，|AB |•|AF |=643D ．4|AF |+|BF |≥1812．已知棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内及表面上一点，且AP →=mAB →+nAD 1→，其中m ∈[0，1]，n ∈[0，1]，则下列说法正确的是（ ） A ．当n =12时，B 1P 与平面ABCD 所成角的最大值为π3B ．当m +n ＝1时，A 1C 1⊥B 1P 恒成立C ．存在n ∈[0，1]，对任意m ∈[0，1]，CP ∥平面ABB 1A 1恒成立D ．当m +n ＝1时，P A +PC 的最小值为23√6三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分）13．两条平行线3x ﹣2y ﹣1＝0与3x ﹣2y +1＝0间的距离为 ．14．已知a →=（2，4，x ），b →=（2，1，2），c →=（﹣2，2，1），且a →，b →，c →共面，则x 的值为 ． 15．已知点A （0，0），B （2，0），圆M ：（x ﹣4）2+（y ﹣4）2＝r 2（r ＞0）上恰有两点P i （i ＝1，2）满足P 1A →•P 1B →=3，则r 的取值范围是 ． 16．已知椭圆x 2m 2+y 2=1(m ＞1)和双曲线x 2n 2−y 2=1(n ＞0)有共同的焦点F 1，F 2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则1e 12+1e 22的值为 ．四、解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BM →=2MA 1→，C 1N →=NB 1→．设AB →=a →，AC →=b →，AA 1→=c →． （1）试用a ，b ，c 表示向量MN →；（2）若∠BAC ＝∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．18．（12分）如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点C的坐标分别是（3，0）、（1，3），D为线段AB上的动点．（1）当D运动到AB中点时，求直线CD的一般式方程；（2）求线段CD的中点M的轨迹方程．19．（12分）已知圆C过点A（8，1），且圆C与两坐标轴均相切．（1）求圆C的标准方程；（2）若半径小于6的圆C与直线l：x﹣y+m＝0交于A，B两点，_____，求m的值．从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：∠ACB＝120°；条件②：|AB|=5√3．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．20．（12分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为√2，点A(3，√5)在双曲线上．（1）求双曲线C的方程；（2）双曲线C上是否存在点B，使得对双曲线C上任意一点P（其中x P≠±3），都有k P A•k PB为定值？若存在，请求出该定值；若不存在，请说明理由．21．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN=a(0＜a＜√2)．（1）求MN长度的最小值；（2）在（1）的条件下，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．22．（12分）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为e =12，且过点P(−1，32)．点P 到抛物线C 2：y 2＝﹣2px （p ＞0）的准线的距离为32． （1）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；（2）如图过抛物线C 2的焦点作F 作斜率为k （k ＞0）的直线交抛物线C 2于A ，B 两点（点A 在x 轴下方），直线PF 交椭圆C 1于另一点Q 记△FBQ ，△APQ 的面积分别记为S 1、S 2．当PF 恰好平分∠APB 时，求S 1S 2的值．2023-2024学年浙江省绍兴一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．已知向量a →=(1，2，6)，b →=(2，y ，−1)，若a →⊥b →，则y ＝（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2解：因为向量a →=(1，2，6)，b →=(2，y ，−1)，a →⊥b →， 所以a →⋅b →=1×2+2y +6×(−1)=0，解得y ＝2， 故选：D ．2．已知过A （3，1）、B （1，﹣3）的直线与过C （﹣3，m ）、D （n ，2）的直线互相垂直，则点（m ，n ）有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个解：由A （3，1）与B （1，﹣3），则直线AB 的斜率k AB =1+33−1=2， 由AB ⊥CD ，则直线CD 的斜率存在，即n ≠﹣3，且k CD =−1k AB =−12，由C （﹣3，m ）与D （n ，2），则2−m n+3=−12，整理化简可得n ＝2m ﹣7，显然该方程有无数个解． 故选：D ．3．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形洞门高为2.5m ，底面宽为1m ，则该门洞的半径为（ ）A ．1.2mB ．1.3mC ．1.4mD ．1.5m解：设半径为R ，(2.5−R)2+(12)2=R 2，解得254+14=5R ，解得R ＝1.3．故选：B ．4．已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点在圆x 2+y 2＝4上，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8解：由于抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为x 轴正半轴上， x 2+y 2＝4与x 轴正半轴的交点为（2，0）， 故抛物线的焦点为（2，0），所以p2=2⇒p =4，因此抛物线的焦点到准线的距离为p ＝4． 故选：C ．5．已知A （﹣2，﹣2），B （﹣2，6），C （4，﹣2）三点，直线l 1：kx ﹣y ﹣2k ＝0与直线l 2：x +ky +2＝0相交于点P ，则|P A |2+|PB |2+|PC |2的最大值（ ） A ．72B ．80C ．88D ．100解：直线l 1：kx ﹣y ﹣2k ＝0变形为k （x ﹣2）﹣y ＝0直线恒过定点（2，0）， 直线l 2：x +ky +2＝0直线恒过定点（﹣2，0），直线l 1：kx ﹣y ﹣2k ＝0与直线l 2：x +ky +2＝0相交于点P ， 联立{kx −y −2k =0x +ky +2=0，消去k ，得x 2+y 2＝4所以P 是以（0，0）为圆心，半径为2的圆上一点，设P （x ，y ）且﹣2≤y ≤2， |P A |2+|PB |2+|PC |2＝（x +2）2+（y +2）2+（x +2）2+（y ﹣6）2+（x ﹣4）2+（y +2）2 ＝3x 2+3y 2﹣4y +68＝12﹣4y +68＝80﹣4y ∈[72，88]， 所以|P A |2+|PB |2+|PC |2的最大值为88， 故选：C ．6．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F 1，M 为C 的渐近线上一点，M 关于原点的对称点为N ，若∠MF 1N ＝90°，且|F 1N |=√3|F 1M |，则C 的渐近线方程为（ ） A ．y =±√33x B ．y =±√3x C ．y =±√66x D ．y =±√6x解：根据对称性，不妨设M 在左支，因为∠MF 1N ＝90°，且|F 1N|=√3|F 1M|， 所以∠F 1MN ＝60°，|MN |＝2|MF 1|，因为M ，N 关于原点对称， 所以|OM |＝|ON ， 又∠MF 1N ＝90°， 可得|F 1O |＝|OM |＝|ON |， 所以∠MOF 1＝60°，可得渐近线MN 的倾斜角为60°， 则双曲线C 的渐近线方程为y =±√3x ． 故选：B ．7．如图，由点P （﹣3，0）射出的部分光线被椭圆C ：x 24+y 2=1挡住，图中光线照不到的阴影区域（包括边界）为椭圆C 的“外背面”．若⊙O ：（x ﹣5）2+（y ﹣t ）2＝1位于椭圆C 的“外背面”，则实数t 的取值范围为（ ）A ．−√30+8√55≤t ≤8√5+√305B ．√30−8√55≤t ≤8√5−√305C ．−√30+55≤t ≤8√5+55D ．√30−55≤t ≤8√5−55解：不妨设过点P 的切线方程为y ＝k （x +3），联立{y =k(x +3)x 24+y 2=1，消去y 并整理得（1+4k 2）x 2+24k 2x +36k 2﹣4＝0， 此时Δ＝（24k 2）2﹣4（1+4k 2）（36k 2﹣4）＝0， 解得k =±√55，所以切线PM 的方程为y =√55(x +3)，即√5x ﹣5y +3√5=0，切线PN 的方程为y =−√55(x +3)， 即√5x +5y +3√5=0，若⊙O ：（x ﹣5）2+（y ﹣t ）2＝1位于椭圆C 的“外背面”， 此时其与PN 相切时t 取得最小值，即√2+5t+3√5|√25+5=1，解得t =−√30+8√55或t =√30−8√55，易得t 的最小值为√30−8√55， 其与PM 相切时t 取得最大值， 即√5−5t|+3√5√25+5=1，解得t =8√5+√305或t =8√5−√305， 易得t 的最大值为8√5−√305，综上，√30−8√55≤t ≤8√5−√305． 故选：B ．8．教材44页第17题：在空间直角坐标系中，已知向量u →=(a ，b ，c)(abc ≠0)，点P 0（x 0，y 0，z 0），点P （x ，y ，z ）．（1）若直线l 经过点P 0，且以u →为方向向量，P 是直线l 上的任意一点，求证：x−x 0a=y−y 0b=z−z 0c；（2）若平面α经过点P 0，且以u →为法向量，P 是平面α内的任意一点，求证：a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0．利用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面α的方程为x ﹣y +z ﹣7＝0，直线l 是平面x +2y ﹣3＝0与x +z +1＝0的交线，则直线l 与平面α所成角的正弦值为（ ） A ．√39B ．√75C ．√715D ．√1455解：∵平面α的方程为x ﹣y +z ﹣7＝0， ∴平面α的一个法向量m →=(1，−1，1)，同理，可得平面x +2y ﹣3＝0的一个法向量n →=(1，2，0)，平面x +z +1＝0的一个法向量p →=(1，0，1)， 设平面x +2y ﹣3＝0与平面x +z +1＝0的交线的方向向量为q →=(x ，y ，z)，则{q →⋅n →=x +2y =0q →⋅p →=x +z =0，取y ＝1，则q →=(−2，1，2)， 设直线l 与平面α所成角为θ，则sinθ=|cos〈m →，q →〉|=|m →⋅q →||m →||q →|=√39．故选：A ．二、选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分.在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是（ ）A ．直线√3x +y +1=0的倾斜角为120°B ．经过点P （2，1），且在x ，y 轴上截距互为相反数的直线方程为x ﹣y ﹣1＝0C ．直线l ：mx +y +2﹣m ＝0恒过定点（1，﹣2）D ．直线l 1：x +2ay +1＝0，l 2：（a ﹣1）x ﹣y ﹣4＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝﹣1解：对于A ，由直线方程√3x +y +1=0，可得其斜率k 1=−√3，设其倾斜角为θ， 则tanθ=−√3，由θ∈[0，π），则解得θ＝120°，故A 正确；对于B ，由题意，直线斜率一定存在，可设为k 2（k 2≠0），由过P （2，1），则y ﹣1＝k 2（x ﹣2）， 令y ＝0，则x =2−1k 2，令x ＝0，则y ＝1﹣2k 2，由题意可得2−1k 2=−(1−2k 2)， 整理可得2k 22−3k 2+1=0，解得k 2=12或1，所以直线方程为x ﹣2y ＝0或x ﹣y ﹣1＝0，故B 错误；对于C ，由直线方程mx +y +2﹣m ＝0，整理可得（x ﹣1）m +y +2＝0， 令{x −1=0y +2=0，解得{x =1y =−2，所以直线过定点（1，﹣2），故C 正确； 对于D ，当a ＝1时，直线l 1：x +2y +1＝0，则A 1＝1，B 1＝2，直线l 2：y +4＝0，则A 2＝0，B 2＝1， 由A 1A 2+B 1B 2＝1×0+2×1＝2≠0，则此时不符合题意；当a ≠1时，直线l 1：x +2ay +1＝0，则A 1＝1，B 1＝2a ，直线l 2：（a ﹣1）x ﹣y ﹣4＝0，则A 2＝a ﹣1，B 2＝﹣1，由l 1⊥l 2，则A 1A 2+B 1B 2＝1×（a ﹣1）+2a ×（﹣1）＝0，解得a ＝﹣1，则此时符合题意，故D 正确． 故选：ACD ．10．已知点P 在⊙O ：x 2+y 2＝4上，点A （3，0），B （0，4），则（ ） A ．线段AP 长度的最大值是5B ．满足∠PBO ＝15°的点P 有且仅有2个C ．过直线AB 上任意一点作⊙O 的两条切线，切点分别为M ，N ，则直线MN 过定点（12，1）D ．2|P A |+|PB |的最小值为2√10解：对于A ，x 2+y 2＝4圆心O （0，0），半径r ＝2， |OA|=√(3−0)2+(0−0)2=3， 所以|AP |max ＝|OA |+r ＝5，故A 正确；对于B，由题意知，当∠PBO＝15°时，O（0，0）到PB直线距离等于4sin15°=√6−√2＜2，此时符合要求PB一共两条，且直线与⊙O相交，故满足∠PBO＝15°的点P有4个，故B错误；对于C，如图，显然过直线AB上任意一点作⊙O的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN不过定点（12，1），故C错误；对于D，2|P A|+|PB的最小值，即为2(|PA|+12|PB|)的最小值，假设存在定点C（0，t），使得点P在⊙O任意移动时均有|PC|=12|PB|，设P（x；y），则有√x2+(y−1)2=12√x2+(y−4)2化简得3x2+3y2+8（1﹣t）y＝16﹣4t2，因为x2+y2＝4，则有2（1﹣t）y＝1﹣t2，即（1﹣t）（2y﹣1﹣t）＝0，所以t＝1，C（0，1），所以2|P A|+|PB|＝2（|P A|+|PC|）≥2|AC|，所以D正确．故选：AD．11．如图，已知抛物线y2＝4x，过抛物线焦点F的直线l自上而下，分别交抛物线于圆（x﹣1）2+y2＝1于A，C，D，B四点，则（）A ．OA →•OB →=−3B ．|AC |•|BD |＝1C ．当直线l 斜率√3为时，|AB |•|AF |=643D ．4|AF |+|BF |≥18解：由题意可得F （1，0），设直线l 的方程为x ＝ty +1， A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{y 2=4x x =ty +1，可得y 2﹣4ty ﹣4＝0， 所以y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝﹣4，对于A ，OA →⋅OB →=x 1x 2+y 2y 2=(y 1y 2)216+y 2y 2=1−4=−3，故A 正确； 对于B ，|AC |．|BD |＝（|AF |﹣1）．（|BF |﹣1）=(x 1+1−1)⋅(x 2+1−1)=x 1x 2=(y 1y 2)216=1，故B 正确；对于C ，当直线l 斜率为√3时，直线l 的方程为y =√3(x −1)， 联立直线与抛物线方程可得3x 2﹣10x +3＝0，解得x 1＝3，x 2=13， 所以x 1+x 2=√33(y 1+y 2)+2=103， 所以|AB|⋅|AF|=(x 1+x 2+2)(x 1+1)=163×4=643，故C 正确； 对于D ，1|AF|+1|BF|=1x 1+1+1x 2+1=x 1+x 2+2(x 1+1)(x 2+1)=t(y 1+y 2)+4(ty 1+2)(ty 2+2)，将y 1+y 2＝4t ，y 1y 2＝﹣4代入可得：1|AF|+1|BF|=t(y 1+y 2)+4(ty 1+2)(ty 2+2)=4t 2+4t 2y 1y 2+2t(y 1+y 2)+4=1，所以4|AF|+|BF|=(4|AF|+|BF|)(1|AF|+1|BF|)=5+|BF||AF|+4|AF||BF|≥5+4=9，故D 错误． 故选：ABC ．12．已知棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为正方体内及表面上一点，且AP →=mAB →+nAD 1→，其中m ∈[0，1]，n ∈[0，1]，则下列说法正确的是（ ） A ．当n =12时，B 1P 与平面ABCD 所成角的最大值为π3B ．当m +n ＝1时，A 1C 1⊥B 1P 恒成立C ．存在n ∈[0，1]，对任意m ∈[0，1]，CP ∥平面ABB 1A 1恒成立D ．当m +n ＝1时，P A +PC 的最小值为23√6解：由题意，以点D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴， DD 1所在直线为z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A （1，0，0），A 1（1，0，1），B （1，1，0），B 1（1，1，1），C （0，1，0）， C 1（0，1，1），D 1（0，0，1），AB →=0，1，0），AD 1→=（﹣1，0，1）， 由AP →=mAB →+nAD 1→，可得AP →=（﹣n ，m ，n ），故P （1﹣n ，m ，n ），对于A 项：当n =12时，P （12，m ，12），B 1P →=(12，m −1，12)，平面ABCD 的一个法向量为m →=(0，0，1)， 设B 1P 与平面ABCD 所成的角为θ， 则有sin θ＝|cos ＜B 1P →，m →＞||12√4+4+(m−1)2|12√12+(m−1)2，当m ∈[0，1]时，12≤12+(m −1)2≤32，所以当m ＝1时，sin θ有最大值√22，此时θ=π4，故A 错误；对于B 项：A 1C 1→=(−1，1，0)，BP →=(−n ，m −1，n)， 当m +n ＝1时，有A 1C 1→⋅BP →=n +m −1=0， 所以A 1C 1⊥BP ，故B 正确；对于C 项：由题意知，平面ABB 1A 1的一个法向量为n →=(1，0，0)， CP →=(1−n ，m −1，n)，故CP →⋅n →=1−n ，所以当n ＝1时，CP →⋅n →=1−n =0，即CP →⊥n →，且CP 不在平面ABB 1A 1内， 因此，对任意m ∈[0，1]，CP ∥平面ABB 1A 1恒成立，故C 正确； 对于D 项：当m +n ＝1时，有P （m ，m ，1﹣m ），此时PA →=(m −1，m ，1−m)，PC →=(m ，m −1，1−m)， 所以|P A |+|PC |＝|PA →|+|PC →|=2√3m 2−4m +2=2√3(m −23)2+23，当m =23时，|P A |+|PC |有最小值2√63，故D 正确．故选：BCD ．三、填空题（本大题共4题，每小题5分，共20分） 13．两条平行线3x ﹣2y ﹣1＝0与3x ﹣2y +1＝0间的距离为2√1313．解：两条平行线3x ﹣2y ﹣1＝0与3x ﹣2y +1＝0间的距离d =√3+2=2√1313．故答案为：2√1313． 14．已知a →=（2，4，x ），b →=（2，1，2），c →=（﹣2，2，1），且a →，b →，c →共面，则x 的值为 5 ． 解：因为a →，b →，c →共面，所以存在实数对（λ，μ），使得a →=λb →+μc →，因为a →=（2，4，x ），b →=（2，1，2），c →=（﹣2，2，1）， 所以{2=2λ−2μ4=λ+2μx =2λ+μ，解得：{λ=2μ=1x =5，所以x 的值为5． 故答案为：5．15．已知点A （0，0），B （2，0），圆M ：（x ﹣4）2+（y ﹣4）2＝r 2（r ＞0）上恰有两点P i （i ＝1，2）满足P 1A →•P 1B →=3，则r 的取值范围是 （3，7） ．解：设P （x ，y ），则由PA →⋅PB →=(−x ，−y)⋅(2−x ，−y)=x 2−2x +y 2=3， 可得x 2﹣2x +y 2＝3，即（x ﹣1）2+y 2＝4，故点P 的轨迹为以点（1，0）为圆心，半径为2的圆，要使圆M ：（x ﹣4）2+（y ﹣4）2＝r 2（r ＞0）上恰有两点P i （i ＝1，2）满足P i A →⋅P i B →=3， 则圆（x ﹣1）2+y 2＝4与M ：（x ﹣4）2+（y ﹣4）2＝r 2（r ＞0）两圆有两个交点， 故|r −2|＜√(4−1)2+42＜r +2，解得3＜r ＜7．故答案为：（3，7）． 16．已知椭圆x 2m 2+y 2=1(m ＞1)和双曲线x 2n 2−y 2=1(n ＞0)有共同的焦点F 1，F 2，记椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则1e 12+1e 22的值为 2 ．解：不妨设椭圆与双曲线的半焦距为c ， 因为椭圆x 2m 2+y 2=1(m ＞1)和双曲线x 2n 2−y 2=1(n ＞0)有共同的焦点F 1，F 2，所以m 2﹣1＝n 2+1＝c 2，此时e 12=c 2m 2，e 22=c 2n2， 可得m 2＝c 2+1，n 2＝c 2﹣1， 则1e 12+1e 22=m 2c 2+n 2c 2=c 2+1c 2+c 2−1c 2=2．故答案为：2．四、解答题（本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BM →=2MA 1→，C 1N →=NB 1→．设AB →=a →，AC →=b →，AA 1→=c →． （1）试用a ，b ，c 表示向量MN →；（2）若∠BAC ＝∠BAA 1＝∠CAA 1＝60°，AB ＝AC ＝AA 1＝1，求MN 的长．解：（1）由题意得，MA 1→=13BA 1→，由C 1N →=NB 1→得B 1N →=12B 1C 1→，则MN →=MA 1→+A 1B 1→+B 1N →=13BA 1→+AB →+12B 1C 1→=13(c →−a →)+a →+12(b →−a →)=16a →+12b →+13c →；（2）由题设条件：a →⋅b →=|a →||b →|cos∠BAC =cos60°=12，同理可得a →⋅b →=b →⋅c →=12，则|MN →|2＝（16a →+12b →+13c →）2=136（a →2+9b →2+4c →2+6a →⋅b →+12b →⋅c →+4a →⋅c →）=136（1+9+4+3+6+2）=2536， ∴|MN →|=56．18．（12分）如图，在平行四边形OABC 中，点O 是原点，点A 和点C 的坐标分别是（3，0）、（1，3），D 为线段AB 上的动点．（1）当D运动到AB中点时，求直线CD的一般式方程；（2）求线段CD的中点M的轨迹方程．解：（1）易知k CD=−35．则由点斜式化简可得CD所在直线方程一般式是3x+5y﹣18＝0．（2）设点M的坐标是（x，y），点D的坐标是（x0，y0），由平行四边形的性质得点B的坐标是（4，3），∵M是线段CD的中点，∴x=x0+12，y=y0+32，于是有x0＝2x﹣1，y0＝2y﹣3，∵点D在线段AB上运动，∴3x0﹣y0﹣9＝0，（3≤x0≤4），∴3（2x﹣1）﹣（2y﹣3）﹣9＝0即6x﹣2y﹣9＝0，（2≤x≤52）．19．（12分）已知圆C过点A（8，1），且圆C与两坐标轴均相切．（1）求圆C的标准方程；（2）若半径小于6的圆C与直线l：x﹣y+m＝0交于A，B两点，_____，求m的值．从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：∠ACB＝120°；条件②：|AB|=5√3．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．解：（1）圆C过点A（8，1），且圆C与两坐标轴均相切．设圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，∵圆C过点A（8，1），∴（8﹣a）2+（1﹣b）2＝r2，又∵圆C两坐标轴均相切，∴得a＞0，b＞0且a＝b＝r，则（8﹣r）2+（1﹣r）2＝r2，解得r＝13或r＝5，即a＝b＝r＝13或者a＝b＝r＝5，∴圆C：（x﹣13）2+（y﹣13）2＝169或（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25．（2）∵圆C的半径小于6，∴圆C：（x﹣5）2+（y﹣5）2＝25．选择条件①：由∠ACB＝120°，|CA|＝|CB|＝5，得∠CAB＝∠CBA＝30°，过点C作CD⊥AB于点D，则|CD|=12|AC|=52，所以圆心C到直线l的距离d=5 2，则d=|5−5+m|√2=52，解得m=±5√2 2；选择条件②：|AB|=5√3，在△ABC中，|CA|＝|CB|＝5，由余弦定理得cos∠ACB=|AC|2+|BC|2−|AB|22|AC||BC|=52+52−(5√3)22×5×5=−12，所以∠ACB＝120°，过点C作CD⊥AB于点D，则|CD|=12|AC|=52，所以圆心C到直线l的距离d=5 2，则d=|5−5+m|2=52，解得m=±5√2 2．20．（12分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的离心率为√2，点A(3，√5)在双曲线上．（1）求双曲线C的方程；（2）双曲线C上是否存在点B，使得对双曲线C上任意一点P（其中x P≠±3），都有k P A•k PB为定值？若存在，请求出该定值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为双曲线C的离心率为√2，且经过点A(3，√5)，所以{ca =√29a 2−5b 2=1c 2=a 2+b 2，解得{a =2b =2c =2√2，则双曲线C 的方程为x 24−y 24=1；（2）不妨设定点B （x 0，y 0），点P （x P ，y P ）是双曲线x 24−y 24=1上任意一点P （其中x P ≠±3），此时x P24−y P24=1，即x P 2−y P 2=4，此时k PA k PB=y P −√5x P −3⋅y P −y 0x P −x 0=y P 2−(√5+y 0)y P +√5y 0x P 2−(3+x 0)x P +3x 0=y P 2−(√5+y 0)y P +√5y 0y P 2−(3+x 0)x P +3x 0+4，因为x P 2=y P 2+4，而y P 是任意的实数，要使其为常数， 此时这个常数只能为1，因为{√5+y 0=03+x 0=0，解得{x 0=−3y 0=−√5，其满足√5y 0=3x 0+4，所以存在定点B(−3，−√5)，使得k P A k PB 为定值且定值为1．21．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记CM =BN =a(0＜a ＜√2)． （1）求MN 长度的最小值；（2）在（1）的条件下，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．解：（1）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1， 且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记CM ＝BN ＝a (0＜a ＜√2)．因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，BC ⊥AB ，BE ⊥AB ， 根据面面垂直的性质定理知CB ⊥平面ABEF ，∴BC ⊥BE ，从而BC ，AB ，BE 两两垂直，如图建立空间直角坐标系，设A （1，0，0），C （0，0，1），F （1，1，0），E （0，1，0）， ∵CM ＝BN ＝a ，∴M(a 20，1−a 2)，N(a 2a20)． MN =√(a 2a 2)2+(0−a 2)2+(1−a2)2=√a 2−√2a +1， MN =√a 2−√2a +1=√(a −22)2+12，当a =√22时，MN 最小，最小值为√22；（2）由（1）可知，当M ，N 为中点时，MN 最短，则M(12，0，12)，N(12，12，0)，取MN 的中点G ，连接AG ，BG ， 则G(12，14，14)，∵AM =AN =√22，BM =BN =√22，∴AG ⊥MN ，BG ⊥MN ，∴∠AGB 是平面MNA 与平面MNB 的夹角或其补角．∵GA →=(12，−14，−14)，GB →=(−12，−14，−14)， ∴cos〈GA →，GB →〉=GA →⋅GB→|GA →|⋅|GB →|=−18√(12)+(−14)+(−14)⋅√(−12)+(−14)+(−14)=−13．∴平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值是13．22．（12分）已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为e =12，且过点P(−1，32)．点P 到抛物线C 2：y 2＝﹣2px （p ＞0）的准线的距离为32． （1）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程；（2）如图过抛物线C 2的焦点作F 作斜率为k （k ＞0）的直线交抛物线C 2于A ，B 两点（点A 在x 轴下方），直线PF 交椭圆C 1于另一点Q 记△FBQ ，△APQ 的面积分别记为S 1、S 2．当PF 恰好平分∠APB 时，求S 1S 2的值．解：（1）由于椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为e =12，则a 2：b 2：c 2＝4：3：1， 故设C 1：x 24+y 23=λ（λ＞0），由于椭圆C 1经过点P(−1，32)， 从而λ=14+34=1， 故椭圆C 1的方程为C 1：x 24+y 23=1；由于点P 到抛物线C 2：y 2＝﹣2px （p ＞0）的准线x =p2的距离为32， 则1+p 2=32，故p ＝1， 从而抛物线C 2：y 2＝﹣2x ；（2）由于F(−12，0)，设AB ：y =k(x +12)，A(−2t 12，2t 1)，B(−2t 22，2t 2)，设直线P A ，PB 的斜率为k 1，k 2，由于P(−1，32)，则k 1=2t 1−32−2t 12+1=4t 1−3−4t 12+2，k 2=4t 2−3−4t 22+2， 由于k AB =2t 1−2t 2−2t 12+2t 22=1−(t 1+t 2)，k AF =2t 1−2t 12+12，且A ，F ，B 共线k AB ＝k AF ， 故1−t 1−t 2=2t 1−2t 12+12，第21页（共21页） 从而t 1t 2=−14，t 12+t 22=(t 1+t 2)2−2t 1t 2=(t 1+t 2)2+12， 从而k 1+k 2=4t 1−3−4t 12+2+4t 2−3−4t 22+2=−4t 1t 2(t 1+t 2)+3(t 12+t 22)+2(t 1+t 2)−34t 12t 22−2(t 12+t 22)+1=12(t 1+t 2)2+12(t 1+t 2)−6−8(t 1+t 2)2+1，k 1k 2=4t 1−3−4t 12+2⋅4t 2−3−4t 22+2=16t 1t 2−12(t 1+t 2)+916t 12t 22−8(t 12+t 22)+4=−12(t 1+t 2)+5−8(t 1+t 2)2+1， 由于P(−1，32)，则直线PF 的斜率k 0=32−1+12=−3， 当PE 平分∠APB 时，则k 0−k 11+k 0k 1=k 2−k 01+k 0k 2，即(k 1+k 2)k 02+(2−2k 1k 2)k 0−(k 1+k 2)=0，即9×12(t 1+t 2)2+12(t 1+t 2)−6−8(t 1+t 2)2+1−3×[2−2×−12(t 1+t 2)+5−8(t 1+t 2)2+1]−12(t 1+t 2)2+12(t 1+t 2)−6−8(t 1+t 2)2+1=0， 即6(t 1+t 2)2+(t 1+t 2)−1=0，从而t 1+t 2=−12或t 1+t 2=13，从而k =k AB =1−(t 1+t 2)=2或﹣3， 由于k ＞0，故k ＝2，由此直线AB ：y ＝2x +1，PQ ：y =−3x −32，由于t 1+t 2=−12，t 1t 2=−14，|AF||BF|=−t 1t 2， 考虑到t 1t 2+t 2t 1=(t 1+t 2)2−2t 1t 2t 1t 2=14+24−14=−3， 从而t 1t 2=−3+√52，从而|AF||BF|=3+√52， 联立{PQ ：y =−3x −32C 1：x 24+y 23=1，即13x 2+12x ﹣1＝0， 从而x Q =113，则y Q =−3x Q −32=−4526， 从而|PF||QF|=y P−y Q =324526=1315，因此S △APFS △AFQ =|PF||FQ|=1315=2630，S △AFQS △QFB =|AF||BF|=3+√52=3−√5=15(3−√5)， 从而S △APF ：S △AFQ ：S △BFQ =26：30：15(3−√5)， 从而S 1S 2=S △FBQ S △APQ =S △FBQ S △APF +S △AFQ =15(3−√5)26+30=15(3−√5)56．。