z变换应用实例

工程实例机械电子工程 谈卓雅一、基于时域有限差分方法求解薛定谔方程 在量子力学理论中一维时域薛定谔方程的具体形式如下:()()()()t x x V x t x m h t t x jh ,,2,222ψψψ+∂∂-=∂∂ (1)式中,参数h-为普朗克常数；m 为粒子质量；()y x ,ψ定义为状态变量;()x V 为势函数。

在求解含时薛定谔方程时,本文将利用时域数值计算方法——时域有限差分(finite difference time domain, FDTD)来差分离散薛定谔方程。

其基本思想是利用微分方程的中心差分离散形式建立空间和时间上的迭代。

时域有限差分法与传统的量子力学计算方法相比更加直观、计算效率更高、操作性更强。

因此,该数值方法在量子力学等其他领域中的应用亟待进一步发展与完善。

在运用FDTD 方法时,数值稳定性条件是首要考虑因素之一,它直接影响着数值计算结果的精度和有效性。

本文主要是分析用FDTD 方法求解薛定谔方程时所需要满足的稳定性要求,又进一步提出了在不同势能情况下从一维到三维的统一的数值稳定性表达方式。

1 薛定谔方程的基本形式将式(1)改写为：()()()()t x x V hj x t x m h j t t x ,,2,22ψψψ-∂∂=∂∂ （2）为了便于计算,将()y x ,ψ复函数的实部和虚部分别考虑： ()()()()t x x V h x t x m h j t t x R R I ,1,2,22ψψψ-∂∂=∂∂ （3a ） ()()()()t x x V h xt x m h j t t x I I R ,1,2,22ψψψ+∂∂=∂∂ （3b ）FDTD 方法在时间上的差分格式如下所示： ()()()()()I or R t t n x t n x t t x t n t =∆∆-∆+=∂∂∆+=ξψψψξξξ,,1,,2/12 (4)及空间上的差分格式为： ()()()()()()()[]t n k x t n xk t n k x x x t x t n t x k x ∆-∆+∆∆-∆+∆∆=∂∂∆=∆=,1,2,11,222ξξξξψψψψ (5)同时记()()k t n x k n ψψ⇔∆∆,,将式(4)与式(5)代入式(3)后化简为：()()()()()()[]()()k k V h t k k k x t m h k k n I n I n I n I n R n R 2/12/12/12/1211212+++++∆+-+-+∆∆-=ψψψψψψ (6a) ()()()()()()[]()()k k V h t k k k x t m h k k n R n R n R n R n I n I 2/12/12/12/1211212+++++∆--+-+∆∆+=ψψψψψψ (6b)由此,利用时间步步的迭代可以算出每时刻的函数值。

常见序列的z变换标题：深入解析常见序列的z变换摘要：本文将详细介绍常见序列的z变换。

通过对不同类型序列的z变换进行探索，我们将深入了解z变换的概念、应用和特性。

我们将以简单明了的方式从基础知识开始，并逐步深入，以帮助您更好地理解和应用z变换。

1. 引言- 介绍z变换的背景和重要性- 提出探索常见序列的z变换的目的与意义2. 离散时间序列和连续时间序列的比较- 解释离散时间序列和连续时间序列的基本概念- 比较两种序列的优势与局限性- 探讨为什么我们要使用z变换来处理离散时间序列3. z变换的定义与性质- 介绍z变换的定义和数学表达式- 解释z平面的含义和使用- 探讨z变换的线性性质与平移性质4. 常见序列的z变换4.1 单位脉冲序列的z变换- 讨论单位脉冲序列的定义和特点- 推导单位脉冲序列的z变换表达式- 分析不同参数下单位脉冲序列的z变换结果4.2 正弦序列的z变换- 研究正弦序列的定义和性质- 导出正弦序列的z变换公式- 探讨正弦序列在z平面中的映射规律4.3 随机序列的z变换- 探讨随机序列的特点和使用场景- 分析随机序列的z变换方法和结果- 讨论随机序列的z变换在信号处理中的应用5. z变换的应用- 介绍z变换在控制系统分析和设计中的重要性 - 探讨z变换在数字滤波器设计中的应用- 简要介绍z变换在图像处理和压缩中的应用6. 总结与回顾- 对本文的主要内容进行总结- 强调z变换在信号处理和系统分析中的关键作用- 提供对z变换的观点和理解，以便读者进一步研究和应用结论：通过本文的深度讨论，我们从基本概念到常见序列的具体例子，全面探索了常见序列的z变换。

我们深入剖析了z变换的定义、性质和应用，帮助读者建立对这一主题的深刻理解。

我们强调了z变换在信号处理、系统分析和数字滤波器设计中的重要性，并鼓励读者进一步研究和应用这一强大的工具。

simulink z变换传递函数【1.Simulink简介】Simulink是一款由MathWorks公司开发的数学软件，广泛应用于科学计算、控制系统设计、信号处理等领域。

它提供了一套丰富的库和工具，使得用户可以方便地创建、仿真和分析各种动态系统模型。

在Simulink中，有一个重要的概念就是Z变换传递函数。

【2.Z变换传递函数的概念】Z变换传递函数是用来描述线性时不变系统（LTI系统）在Z域中的输入输出关系。

Z变换是将时间域信号转换为频域信号的一种方法，它使得我们能够分析系统的稳定性、动态性能以及系统对输入信号的响应。

【3.Simulink中的Z变换传递函数模块】在Simulink中，Z变换传递函数模块位于Continuous block library 中。

通过拖拽这个模块到模型编辑器中，可以创建一个Z变换传递函数模型。

这个模块有两个输入端口，分别表示系统的输入和输出，还有一个参数窗口，用于设置变换频率、采样频率等参数。

【4.创建和配置Z变换传递函数模型】以下是一个简单的Z变换传递函数模型的创建过程：1.打开Simulink，新建一个模型；2.从Simulink库中拖拽一个Z变换传递函数模块到模型编辑器中；3.双击Z变换传递函数模块，打开参数设置窗口，根据需要设置变换频率、采样频率等参数；4.添加输入输出信号源模块，例如正弦信号模块、阶跃信号模块等；5.使用电缆连接各个模块，形成一个完整的系统模型；6.编译模型，观察系统仿真结果。

【5.Z变换传递函数的应用实例】一个常见的应用实例是使用Z变换传递函数分析滤波器性能。

在Simulink 中，可以创建一个包含有源滤波器和一个阻抗匹配器的系统模型。

通过观察滤波器的频率响应，可以评估其对不同频率信号的抑制能力。

【6.总结与展望】本文介绍了Simulink中的Z变换传递函数，包括其概念、模块的使用以及一个应用实例。

作为一种重要的分析工具，Z变换传递函数可以帮助我们更好地理解线性时不变系统的性能，并为控制系统设计提供依据。

26利用Z变换分析信号和系统的频域特性Z变换是一种用于分析信号和系统的频域特性的数学工具，它将离散时间函数转换为复平面上的函数。

在这篇文章中，我们将利用Z变换来分析信号和系统的频域特性，并了解Z变换在信号处理中的应用。

首先，让我们回顾一下Z变换的定义。

对于一个离散时间信号序列x(n)，其Z变换X(z)可以表示为：X(z)=∑[x(n)·z^(-n)](1)其中，z是复平面上的变量，n表示离散时间的取值。

Z变换的核心思想是将离散时间信号映射到复平面上的一些点，从而能够在频域中进行分析。

Z变换的频域特性由其极点和零点所决定。

对于一个系统的冲击响应h(n)，其Z变换H(z)表示为：H(z)=∑[h(n)·z^(-n)](2)系统的频率响应可以通过Z变换来计算。

假设系统输入为x(n)，那么经过该系统的输出y(n)可以通过信号的卷积运算来计算：y(n)=x(n)*h(n)=∑[x(k)·h(n-k)](3)其中*表示卷积运算。

通过引入Z变换，我们可以得到输入信号X(z)和系统冲击响应H(z)的乘积，从而得到输出信号Y(z)，即：Y(z)=X(z)·H(z)(4)利用Z变换，我们可以方便地在频域中对信号和系统进行分析。

特别是，我们可以通过计算X(z)和H(z)的乘积，得到输出信号Y(z)的频域特性。

例如，我们可以计算系统的频率响应函数H(z)在z所在的点上的值，从而了解系统在该频率上的增益或衰减特性。

除了频率响应函数外，Z变换还可以用于信号和系统的稳定性分析。

对于一个稳定系统，其冲击响应h(n)的Z变换H(z)的所有极点必须位于单位圆内。

如果存在极点位于单位圆外，那么系统就是不稳定的。

Z变换在实际的信号处理中有广泛的应用。

例如，在数字滤波器中，Z变换可以用于设计滤波器的频率响应。

通过选择合适的Z变换函数来实现希望的滤波效果。

此外，Z变换也用于信号采样和量化，以及数字信号传输和压缩等方面。

实验三、Z变换一、实验目的1、学会运用Matlab表示Z变换的方法2、观察并熟悉变换的过程二、实验原理1、定义2、Z变换的收敛域3、逆Z变换4、Z变换的性质5.利用Z变换解差分方程三、实验内容1、解：程序设计如下：num=[0 1];den=[3 -4 1];[r,p,k]=residuez(num,den)MATLAB 计算结果如下： r =0.5000 -0.5000 p =1.0000 0.3333 k =[] （1）、1<|z|<∞：-z R =1；两个极点31,121==z z ，|1z |=1<-z R ,312=z <-z R )1()31(21)(21)]([)(1---==-n u n u z x Z n x n 这是一个右边序列。

2、解：程序设计如下：xn=[2 3 4 ];Xz=[2 3 4 ]; yn=[3 4 5 6]; Yz=[3 4 5 6]; xnCyn=conv(xn,yn)XzMYz=conv(Xz,Yz)；XzMYz 求两个数的卷积 MATLAB 计算结果如下xnCyn =6 17 34 43 38 24 XzMYz =6 17 34 43 38 243、求解系统差分方程Y(n)=x(n)-5x(n-1)+8x(n-3)解：两边求Z 变换得：H(z)=1-51-Z +83-Z 程序设计如下：b=[1 -5 0 8];N=30; n=0:N-1; x=0.8.^n;y=filter(b,1,x); stem(n,y); gridMATLAB 计算结果如下：0510********4、解：两边进行Z 变换得：H(z)=212145.04.014.045.0-------+zz z z 程序设计如下：num=[0.45 0.4 -1];den=[1 -0.4 -0.45]; x0=[1 2]; y0=[0 1]; N=50;n=[0:N-1]'; x=0.8.^nzi=filter(num,den,y0,x0); [y,Zf]=filter(num,den,x,zi); plot(n,x,'r--',n,y,'b--'); title('response') xlabel('n');ylabel('a(n)-y(n)');legend('Input x','Output y',1); grid051015202530354045500.511.522.533.544.5responsena (n )-y (n )x =1.0000 0.8000 0.6400 0.5120 0.4096 0.3277 0.2621 0.2097 0.1678 0.1342 0.1074 0.0859 0.06870.05500.04400.03520.02810.02250.01800.01440.01150.00920.00740.00590.00470.00380.00300.00240.00190.00150.00120.00100.00080.00060.00050.00040.00030.00030.00020.00020.00010.00010.00010.00010.00010.00000.00000.00000.00000.0000五、实验感想在离散信号与系统的理论研究中，Ｚ变换是一种重要的数学工具，他把离散系统的数学模型――差分方程转化为简单的代数方程，使得求解过程简单化，特别是计算机采样数据处理，这也使得用运用MATLAB工具可以实现Ｚ变换。

一些常见的Z变换－互联网类在咱们这个互联网时代，Z 变换这个东西听起来好像有点高大上，让人摸不着头脑。

但其实呀，它就像咱们生活里的小秘密，一旦揭开，也没那么神秘。

我先给您说说 Z 变换是啥。

简单来讲，Z 变换就像是给数字信号穿上了一件特别的衣服，让我们能更清楚地看到它的特点和规律。

比如说，我们在网上看视频的时候，那些视频的数据在传输过程中，就可以用 Z 变换来分析和处理。

就拿我之前遇到的一件事儿来说吧。

有一次，我正在家里看一部超级精彩的电影，正看到关键情节，突然画面卡住了。

我这心里那个急呀，就开始琢磨这到底是咋回事。

后来我才知道，原来是网络传输过程中的数据处理出了问题，这里面就涉及到了 Z 变换的知识。

那 Z 变换在互联网里都有哪些常见的应用呢？比如说在图像压缩里，Z 变换能帮助把大大的图像文件变小，这样传输起来就更快，咱们看图片的时候就能更快加载出来。

还有在音频处理中，Z 变换可以让声音更清晰，没有杂音。

再比如说，在网络控制系统中，Z 变换能对系统的稳定性进行分析。

就像我们建房子，得先看看地基稳不稳，Z 变换就是帮我们看看这个网络控制系统的“地基”怎么样。

还有啊，在数字滤波器的设计里，Z 变换也起着重要作用。

它能把不需要的信号过滤掉，留下我们想要的。

就好比我们在一堆水果里挑出好的，扔掉坏的。

说到这，您可能会想，这 Z 变换跟我有啥关系呢？其实关系大着呢！咱们每天用手机、电脑上网，背后都有 Z 变换在默默工作。

它让我们的网络体验更流畅，更高效。

总之，Z 变换虽然听起来有点复杂，但在互联网的世界里，它可是个不可或缺的小能手。

就像我那次看电影遇到的卡顿问题，要是能更好地运用 Z 变换相关的技术，也许这种情况就能少发生，咱们就能更愉快地畅游在互联网的海洋里啦！希望通过我的这番介绍，能让您对 Z 变换在互联网中的常见应用有个大概的了解。

虽然它可能不会直接出现在我们的眼前，但它一直在背后为我们的互联网生活保驾护航呢！。

一些常见的Z变换－互联网类哎呀，说起 Z 变换，这在互联网领域里可真是个有点神奇又让人有点头疼的家伙。

先来说说 Z 变换到底是个啥吧。

想象一下，你在网上看视频，那视频里的每一帧图像其实都可以看作是一个数字信号。

Z 变换呢，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们分析和处理这些数字信号，让我们更好地理解和优化视频的传输和播放。

比如说，在网络通信中，数据像一群调皮的小猴子，到处乱窜。

Z变换就能把这些乱窜的数据给“抓”住，整理得规规矩矩，方便我们进行处理和分析。

我记得有一次，我们团队在优化一个在线教育平台的视频播放功能。

用户老是抱怨视频卡顿，画面不清晰。

我们就用 Z 变换来分析数据的传输情况。

那过程可真是费了好大的劲！我们盯着那些密密麻麻的数据，眼睛都快花了。

但通过 Z 变换，慢慢地找出了问题所在。

原来是网络中的某些节点数据传输出现了延迟，就像道路上突然出现了堵车一样。

在互联网的世界里，Z 变换还能用于音频处理。

比如说，你在网上听歌，有时候声音会突然变得怪怪的，这可能就是音频信号在传输过程中出了岔子。

Z 变换就能帮我们找出这些问题，让你能顺顺利利地享受美妙的音乐。

还有啊，在图像压缩方面，Z 变换也大有用处。

现在大家都喜欢在网上分享照片和图片，要是没有好的压缩技术，那得占用多少网络资源啊！Z 变换就能帮助我们把图像数据进行高效压缩，同时又尽量不损失图像的质量。

总之，Z 变换在互联网领域里就像是一个默默工作的小能手，虽然它不那么起眼，但却发挥着至关重要的作用。

从视频播放到音频处理，再到图像压缩，它都在背后悄悄地努力着，为我们带来更流畅、更清晰、更高效的互联网体验。

所以啊，下次当你在网上愉快地冲浪，享受着高清视频、动听音乐和清晰图片的时候，别忘了在这背后，Z 变换可是出了一份力的哟！。

实验五 Z 变换一、实验目的利用MATLAB 进行序列的Z 变换及Z 反变换的计算。

二、实验原理及实验内容z 变换是时域离散信号和系统分析及设计的重要数学工具。

对于一个序列x(n)，其z 变换定义为()()nn X z x n z∞-=-∞=∑这是个无穷级数，它存在着是否收敛和收敛条件的问题。

MA TLAB 作数值分析时，是无法求无限长度序列的z 变换的，这个问题要靠MATLAB 中的符号运算（Symbolic ）工具箱才能解决。

如果z 变换是z 的有理分式，虽然其逆z 变换是无限序列，但求它的系数和指数都是数值计算的范畴，可以用MATLAB 解决。

如果序列x 的长度，即length(x)有限，其n=ns:nf ，则其z 变换为()()nfnn nsX z x n z-==∑它是一个z 的多项式，不存在收敛问题。

用MATLAB 的表达式可写成：()(1)^(1)(2)^(2)()^()X z x z n x z n x end z n end =*-+*-++*-这是MATLAB 中信号序列z 变换的典型形式。

它的逆z 变换一目了然，就是其系数向量x 和指数向量n 。

这也是和连续系统拉氏变换的不同之处。

在s 域，纯粹分子上的s 多项式属于非物理系统，分母上的s 的次数必定高于分子。

在z 域，有限长信号序列的z 变换必定是（纯粹分子上的）z 的多项式，无限长信号序列的z 变换则是z 的有理分式，而且其分母上的z 的次数可以低于分子。

用z 变换很容易求离散信号X(z)通过线性离散系统H(z)的输出Y(z)：()()()()()B z Y z X z H z A z == 它必然是z 的有理分式1(1)1(1)()(1)(2)()(1)()()(1)(2)()(1)M MN NB z B B z B N z B N z Y z A z A A z A N z A N z --------+++++==+++++ （1） 通过长除或逆z 变换可求出其对应的时域序列。

数字信号处理第四章Z变换授课教师：胡双红QQ:79274544长沙理工大学计算机与通信工程学院教学内容Z变换意义Z变换定义Z变换性质Z反变换Z域系统描述差分方程Z变换意义总结DTFT：)便于计算正弦稳态响应；＋利用H(e jw)乘以H(e jw)，可计算LTI系统对绝对可加序列x(n)的响应＋将X (e jw－有用信号u(n)、nu(n)，由于不是绝对可加，DTFT不存在－系统由初始条件或者变化输入引起的暂态响应不能应用DTFT计算针对上述特点，我们引入DTFT的推广：Z变换。

其双边形式提供另一种域：Z域，使很大一类序列和系统都能在其中分析；其单边形式能用于在初始条件或变化输入下求系统响应。

§4.1 双边Z变换定义要点Z变换计算ROC性质定义：要点①复频率z=|z|e jw ，其中|z|为幅度，w 是实频率。

②ROC 是用幅度|z|定义的，所以其形状为圆环。

③如果R x+< R x-，则ROC 是一个零空间，z 变换不存在。

④函数|z|=1(即z=e jw )是z 平面内的单位圆，如果ROC 包括单位圆，在单位圆上对X(z)求值因此离散时间傅里叶变换X(e jw )也称为z 变换X(z)的特例. ⑤ROC 是一个鉴别特征，保证z 变换的唯一性。

()[]n x e n x e X z X n jw jw e z jw Ζ===∑∞−∞=−=)()(|)(例1变换求小结：ROC性质ROC总被某个圆所界定，因收敛条件由幅度|z|决定ROC是一个连通的区域，不会分成几片。

ROC内不包含极点；至少有一个极点位于ROC的边界上;右序列(n>n0)的ROC总是位于半径为Rx-的圆外；左序列(n<n0)的ROC总是位于半径为Rx+的圆内；双边序列的ROC总是一个位于Rx-<|z|< Rx+的圆环。

有限长序列(n2<n<n1)的ROC是整个z平面；若n1<0 ，ROC 不包括z=∞，若n2>0，ROC 不包括z=0；§4.2 z变换的性质性质常见信号Z变换利用conv_m计算表达式乘积 复杂信号z变换简单计算复共轭1 zz ∀变换3⎦⎣解：应用样本移位性质，ROC不变matlab确认>> b=[0,0,0,0.25,-0.5,0.0625];>>a=[1,-1,0.75,-0.25,0.0625];>> [delta,n]=impseq(0,0,8);x =1 0 0 0 0 0 0 0 0>> x=filter(b,a,delta)x =0 0 0 0.2500 -0.2500 -0.3750 -0.1250 0.0781 0.0938 >>x=[(n-2).*(0.5).^(n-2).*cos(pi*(n-2)/3)].*stepseq(2,0,8) x =0 0 0 0.2500 -0.2500 -0.3750 -0.1250 0.0781 0.0938例：设X1(z)=z+2+3z-1和X2(z)=2z2+3z+4+5z-1，求X3(z)=X1(z)X2(z)。

matlab z反变换一、Matlab中的Z变换Z变换是一种将离散时间信号转换为复平面上的函数的方法，可以用于分析和处理数字信号。

在Matlab中，可以使用ztrans函数来进行Z变换。

1. ztrans函数的基本用法ztrans函数的基本语法如下：syms z nf = input('Enter the sequence: ');F = ztrans(f, n, z);其中，syms用于声明符号变量，n代表离散时间变量，z代表复平面上的变量。

input函数用于输入离散时间序列，ztrans函数则将其转换为复平面上的函数。

2. Z变换的性质Z变换具有许多重要的性质，包括线性性、时移性、频移性、卷积定理等。

这些性质可以帮助我们更好地理解和处理数字信号。

二、Matlab中的Z反变换Z反变换是一种将复平面上的函数转换为离散时间信号的方法。

在Matlab中，可以使用iztrans函数来进行Z反变换。

1. iztrans函数的基本用法iztrans函数的基本语法如下：syms z nF = input('Enter the function: ');f = iztrans(F, z, n);其中，syms用于声明符号变量，n代表离散时间变量，z代表复平面上的变量。

input函数用于输入复平面上的函数，iztrans函数则将其转换为离散时间序列。

2. Z反变换的性质Z反变换具有许多重要的性质，包括线性性、时移性、频移性、卷积定理等。

这些性质可以帮助我们更好地理解和处理数字信号。

三、Z反变换的实例分析下面以一个简单的实例来演示如何使用Matlab进行Z反变换。

假设有一个复平面上的函数：F(z) = (z-0.5)/(z-1)现在需要将其转换为离散时间序列。

首先，使用syms声明符号变量：syms z n然后输入复平面上的函数：F = (z-0.5)/(z-1);接着使用iztrans函数进行Z反变换：f = iztrans(F, z, n)得到离散时间序列：f(n) = 0.5^n - delta(n)其中，delta(n)代表Kronecker delta函数。

§2.3 Z 变换0000Z 变换作用. (1)机控00000(2)‘差方’→z 的’代方’.000001. Z 变换定义00000()x t (0)t ≥T 采样后→采样信号ˆ()xt , 00000 0ˆ()()()k xt x kT t kT δ∞==-∑, 00000由[()]e nTst nT δ--=L , 得0000O()x t tT kT3T 2Tˆ[()]()e kTsk xt x kT ∞-==∑L ,0000令ˆ()[()]X z xt =L , e Tsz =, 则0000 0()()kk X z x kT z ∞-==∑,0000一般{,0}k x k ≥的Z 变换为:00000kkk x z∞-=∑也记00000()[]kk k k X z Z x x z ∞-===∑.0000例2.7 求Z 变换,00000(1)1,00,0k k k δ=⎧=⎨≠⎩； (2)1,010,0k k k ≥⎧=⎨<⎩；00000(3){},0k b k ≥； (4){e },0aTkk -≥； (5){},0kT k ≥.000解 (1)1011[]k Z z δδδ -=++=；000(2)121111[1]1k z z z Z z z ---+++==-=-；00000 (3)11)]1(1[kk k z Z z b b b bz z ∞--===-=-∑；00000 (4)110[e 1(e )e ]e 1aT kaT k aTk aTz z z Z z ∞----=--==--=∑；00000(5)0[]()kkk k Z kT T kzTz z ∞∞--=='=-=∑∑000011122(111))(1Tz T Tz z z z z ---'⎛⎫=-== ⎪---⎝⎭. 000002. 性质(0k x =,<k 0)00000 性质1(滞后)0000011[][]k k Z x z Z x --=.0000 因000001(1)111[]kk k k k k k Z x x zzxz∞∞-------====∑∑1(1)1111[](0,0).k k k k k zxzx z Z x x k ∞------==+==<∑一般0000[]()mk m Z x z X z --=.00000性质2(超前)0000010[]()k Z x zX z zx +=-.0000因00000(1)1110[]kk k k k k k Z x x zz x z∞∞--++++====∑∑ 000[]kk k k z x zzx zZ x zx ∞-==-=-∑.00000一般000010[]()m mm ik m i i Z x z X z zx --+==-∑.00000性质3(初值)若lim ()z X z →∞存在, 则0000(0)lim ()z x X z →∞=.0000因00000120120()z X z x x z x z x --→∞=+++−−−→. 00000性质4(终值) 若 lim k k x →∞收敛 , 则000001lim(1)()z x z X z ∞→=-.0000因可设lim k k x x ∞→∞=. 由(1), 得000001(1)()()()[][]k k z X z zX z X z zx Z x Z x +-=-=+- 010101()()kk k k k k k z zx x x zx x x x ∞∞-++∞==→=+-−−−→+-=∑∑.00000性质5(卷积定理) 0000 称000000110k k k x y x y x y -+++为{}k x 与{}k y 的卷积, 记为00000kk k i k i i x y x y -=*=∑.0000与L 类似有 00000[][][]()()k k k k Z x y Z x Z y X z Y z *==. 00000(2.25)也可写为 00000k k i k i i x y x y ∞-=*=∑,00000故0000000[]kk k i k i k i Z x y x y z ∞∞--==*=∑∑()()()i k i ik ii k ix zyzX z Y z ∞∞----====∑∑.0000§2.4 离散系统的描述0000输入—输出模型(时域差分方程、复域传递函数)00000输入—状态—输出模型. 00001. 输入—输出模型0000(1)差分方程模型00000取t kT =, 得0000()()u kT y kT 和, 0,1,2,k =,00000省T 后,0000()()u k y k 和, 0,1,2,k =,0000一般n 阶线性差分方程()m n ≤00000110()(1)(1)()n y k n a y k n a y k a y k -+++-++++ 110()(1)(1)()m m b u k m b u k m b u k b u k -=+++-++++ 简写为0000011110k n n k n k k y a y a y a y +-+-+++++11110m k m m k m k k b u b u b u b u +-+-+=++++例 设初存0y , 月存k u ,月利m , 本利k y ,0000则第k+1月时的本利为:000001(1)k k k y m y u +=++, 0,1,2,k =.00000这是纯离散时间模型. 0000(2)传递函数模型00000设0110110 0n m y y y u u u 和--========0000作Z 变换, 得00000111010()()()()n n mm n m m z a za Y zb z b zb U z ----+++=+++,00000整理0000 110110()()()()m m m m n n n b z b z b Y z U z G z U z z a z a ----+++==+++, 00000其中0000110110()mm m m n n n b z b z b G z z a z a ----+++=+++,0000称为(离散时间系统的)传递函数. 00000 差分方程模型 传递函数模型0000单位脉冲响应()y k δ: 系统对k k u δ=的响应.0000G(z)=’单脉响应Z 变换’, 因()()()()kY z G z U z G z δ==.00002．(离散时间系统的)状态模型00000(1)若仅有0()(0)b u k m =, 则可0000123()()()(1)()(2)()(1)n x k y k x k y k x k y k x k y k n =⎧⎪=+⎪=+⎨⎪=+-⎪⎩⇒ 12231011210(1)(),(1)(),(1)(),(1)()()()(),n n n n n x k x k x k x k x k x k x k a x k a x k a x k b u k--+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪+=----+⎪⎩令0000012()[()()()]Tn x k x k x k x k =,0000及000000110010000,,0010n G H a a a b-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦[]100C =,000 则有0000(1)()()x k Gx k Hu k +=+,0000()()y k C x k =,0000(2)对n m =, 类似地有00001101000001n G a a a ，-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦0001H ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,0000[]001111n n n n n C b b a b b a b b a --=---,[]n D b =0000为00000(1)()()x k Gx k Hu k +=+,0000()()()y k Cx k Du k =+.0000(时变系统方法类似)0000例2.8 设(2)(1)2()(1)3()y k y k y k u k u k ++++=++,0000 则状态方程为00001122(1)()010()(1)()211x k x k u k x k x k +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,00000[]12()()31()x k y k x k ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. 00000易得()G z →状态模型.000003．状态模型→输入-输出模型0000设(0)0x =, 可得00000()()()zX z GX z HU z =+, 00000()()()Y z CX z DU z =+,0000 整理00001()()()X z zI G HU z -=-,00000⇒11()()()()[()]()()(),Y z C z I G H U z D U zC z I G HD U z G z U z --=-+=-+= ⇒ 1()()G z C z IG H D-=-+ 阶差分方程⇔z 域传递函数⇔离散状态模型000状态流程图00000。