自动控制原理一、 非线性系统1、按照平衡状态的定义，在无外作用且系统输出的各阶导数等于0时，系统处于平衡状态。
2、自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动，简称自振。
3、描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化的一种图解分析方法。
对于满足结构要求的一类非线性系统，通过谐波线性化，将非线性特性近似表示为复变增益环节，然后推广应用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。
4、奇点定义以微分方程()x x f x ,=表示的二阶系统，其相轨迹每点切线的斜率为()xx x f dx x d ,=，若在某点处()xx f ,和x 同时为0，即有00=dx xd 的不定形式，则称该点为相平面的奇点。
5、相平面的奇点亦称为平衡点，奇点必与x 轴相交。
6、奇线奇线就是特殊的相轨迹，它将相平面划分为具有不同运动特点的各个区域。
最常见的奇线就是极限环。
极限环是相互孤立的，在任何极限环的邻近都不可能有其他的极限环。
极限环是非线性系统特有的现象，只发生在非守恒系统中，这种周期运动的原因不在于系统无阻尼，而是系统的非线性特性，它导致系统能量做交替变化。
由此就有可能从某种非周期性的能源中获取能量从而维持周期运动。
7、描述函数法的基本思想当系统满足一定假设条件时，系统中非线性环节在正弦信号作用下的输出可用一次谐波分量来近似，由此导出非线性环节的近似等效频率特性，即描述函数。
此时，非线性系统近似等效为一个线性系统，并可应用线性系统理论中的频率法对系统进行频域分析。
8、描述函数的定义设非线性环节输入输出描述为()x f y =，当非线性环节输入为()t A t x ωsin =时，可对非线性环节的稳态输出()t y 进行谐波分析。
一般情况下()t y 为非正弦的周期信号，因而可以展开成傅里叶级数()()()∑∑∞=∞=++=++=1010sin sin cos n n n n n nt n Y A t n B t n AA t y ϕωωω，其中0A 为直流分量；()n n t n Y ϕω+sin 为第n 次谐波分量，且有nnn nn n B A B A Y arctan22=+=ϕ，式中n n B A ，为傅里叶系数，用下式描述 ()()()()td t y A n t td n t y B ttd n t y A n n ωπωωπωωππππ⎰⎰⎰====2002020212,1sin 1cos 1若00=A ，且当n>1时，n Y 均很小，则可近似认为非线性环节的正弦响应仅有一次谐波分量：()()1111sin sin cos ϕωωω+=+≈t Y t B t A t y上式表明，非线性环节可以近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式。
为此，定义正弦输入信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用()A N 表示：()()()AjA B e A Y e A N A N j A N j 1111+===∠ϕ 一般情况下，描述函数N 是输入信号幅值A 和频率ω的函数，当非线性环节中不包含储能元件时，其输出的一次谐波分量的幅值和相位与ω无关，故描述函数只与输入信号幅值有关。
9、特殊情况下的简化计算①对于直流分量0A ，若非线性环节的正弦响应为关于t 的奇对称函数，即()()()()0sin 0=⎪⎭⎫⎝⎛+-==-=-A t y t A f t y x f x f 则ωπω②若()t y 为奇函数，即()()t y t y --=，则01=A ③若()t y 为奇函数，且为半周期对称，即()⎪⎭⎫⎝⎛-=t y t y ωπ 则()t td t y B A ωωππsin 402011⎰== 线性部分阶次越高，低通滤波性能越好，而欲具有低通滤波性能，线性部分的极点应位于复平面的左半平面10、定积分的重要结论()()()()()()()()⎰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅⨯⨯--⨯⨯⨯--+=⨯⨯⨯--⨯⨯--==202224421353112135422431sin ππωωk n n n n n n k n n n n n n t td I n n11、化非线性系统为典型结构形式当系统由多个非线性环节组成时，在一些情况下，可通过等效变换，使系统简化为典型结构形式。
等效变换的原则是在()0=t r 的条件下，根据非线性特性串、并联，简化非线性部分为一个等效非线性环节，再保持等效非线性环节的输入输出关系不变，简化线性部分。
12、当非线性特性采用描述函数近似等效时，闭环系统的特征方程为()()()()A N j G j G A N 101-==+ωω 称()A N 1/-为非线性环节的负倒描述函数。
在复平面上绘制G Γ曲线和()A N 1/-曲线时，()A N 1/-曲线上箭头表示随A 增大，()A N 1/-的变化方向。
13、非线性系统的稳定性判据若G Γ曲线不包围()A N 1/-曲线，则非线性系统稳定； 若G Γ曲线包围()A N 1/-曲线，则非线性系统不稳定。
14、非线性系统存在周期运动时的稳定性分析当G Γ曲线和()A N 1/-曲线有交点时，()()A N j G /1-=ω 即有()()()()()()[]()()[]0Im 1Re 1=-=∠-=∠-=A N j G A N j G A N j G A N j G ωωπωω由上两式可解得交点处频率ω和幅值A 。
系统周期运动时，非线性环节输入近似为等幅振荡()t A t x ωsin =。
每一个交点对应着一个周期运动。
二、线性离散系统1、开环采样系统：采样器位于闭合回路之外，或者系统无闭合回路； 闭环采样系统：采样器位于闭合回路之内。
2、z 变换理论①z 变换的思想源于连续系统；②线性离散系统的性能，可用z 变换的方法获得；③z 变换是采样函数拉氏变换的变形，称为采样拉氏变换。
3、后向位移定理()[]()z E z kt t e Z k-=-；前向位移定理()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+∑-=-10k n n kz nT e z E z kt t e Z ；复数位移定理()[]()aT atze E t e eZ ±=终值定理 若()nT e 为有限值，且极限()nT e n ∞→lim 存在，则()()()()z E z nT e e z n ss 1lim lim 1-==∞→∞→卷积定理定义离散卷积：()()()()[]T k n y kT x nT y nT x k -=*∑∞=0若 ()()()()()()z Y z X z G nT y nT x nT g =*=则 卷积是沟通时域和z 域的桥梁4、z 反变换方法①部分分式法（查表法）()()()()()()∑∑∑∑∞==*-==-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=⇒-=01111,,2,1n ni i i i i ni ii n i iinT t nT e t e ni z z z A Z nT e z z zA z E z z A z z E δ②幂级数法（综合除法）()()∑∞=----------=+++++=≤++++++++=221102*********n nn n n nn mm z c z c z c z c c z E nm z a z a z a z b z b z b b z E如果无穷幂级数收敛，则()∞=,,1,0 n c n 是采样脉冲序列()t e *的脉冲强度()nT e 。
()()∑∞=*-=0n n nT t c t e δ③反演积分法（留数法）()()[]iz z ki n z z E s nT e →=-∑=11Re留数计算方法若()k i z i ,,2,1 =为单极点，则()[]()()[]11lim Re -→→--=n i z z z z n z z E z z z z E s ii若()1-n zz E 有n 阶重极点i z ，则()[]()()()[]1111lim !11Re ---→→---=n n ni n z z z z n dzz z E z z d n zz E s i i5、脉冲传递函数零初始条件：t<0时，()()()() ,2,,,2,T c T c T r T r ----均为0当线性定常离散系统满足零初始条件时，定义其脉冲传递函数为()()()()()∑∑∞=-∞=-==0n nn nznt r z nt c z R z C z G6、修正z 变换法()()()()()()()z E z G z C z G z G z C z C n n nTT z z n nTT z z n n n =======,,11采样间隔之间需要补插q 个点时，则n=q+17、离散系统的稳定性与稳态误差若离散系统在有界输入序列作用下，其输出序列也是有界的，则称该离散系统是稳定的。
线性定常离散系统稳定的充要条件是：当且仅当（后向）差分方程所有特征根模n i i ,,2,1,1 =<α。
双线性变换 1111-+=-+=z z w w w z特征方程双线性变换后可用劳斯判据判定系统的稳定性8、影响离散系统稳定性的因素：开环增益k 、零极点分布、传输延迟和采样周期T 。
k 增加或者T 增加都会使离散系统稳定性变差9、线性定常离散系统的稳态误差，不但与系统本身的结构和参数有关，而且与输入序列的形式及幅值有关，也与采样周期T 有关。
10、离散系统的型别与静态误差系数①零阶保持器不影响开环系统脉冲传递函数的极点 ②()z G 的极点与()s G 的极点是一一对应的③()s G 根据s=0极点个数确定连续系统型别，()z G 根据z=1极点个数确定离散系统型别。
（1）单位阶跃输入时的稳态误差()()()()()[]()pz z ss K z G z G z z R z e z zz R 111lim 11lim111=+=+-=∞-=→→ 其中()[]z G K z p +=→1lim 1称为静态位置误差系数 （2）单位斜坡输入时的稳态误差()()()()()()[]()()[]()()vz z z ss K Tz G z T z G z T z G z z R z e z Tzz R =-=+-=+-=∞-=→→→1lim 11lim 11lim11112其中()()z G z K z v 1lim 1-=→称为静态速度误差系数 （3）单位加速度输入时的稳态误差()()()()()()()[]()()()[]()()az z z ss K Tz G z T z G z z z T z G z z R z e z z z z T z R 22212211321lim 111lim 11lim11=-=+-+=+-=∞-+=→→→其中()()z G z K z a 211lim -=→称为静态加速度误差系数11、采样器和保持器对动态性能的影响①采样器和保持器不影响开环脉冲传递函数的极点，仅影响其零点②对于闭环离散系统，开环脉冲传递函数零点的变化，必然引起闭环脉冲传递函数极点的变化③因此，采样器和保持器影响闭环离散系统的动态性能12、闭环极点的位置对输出的影响①闭环实极点在z 平面左半单位圆内，输出衰减脉冲交替变号，动态质量很差 ②闭环复极点在左半单位元内，输出衰减高频脉冲，动态欠佳③设计离散系统，应把闭环极点安置在z 平面右半单位圆内，且尽量靠近原点13、最少拍系统设计（求控制器()z D ）在采样过程中，称一个采样周期为一拍。
