抽象函数性质

常见抽象函数类型及解题策略没有给出具体解析式的函数()x f y =，称为抽象函数。

抽象函数问题将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数、周期性等性质和图象集于一身，所以这类问题可以全面综合考查我们对于函数概念和性质的理解。

常见抽象函数类型 具体函数()()()c y f x f y x f +±=±（c 为常数） b kx y +=()()()y f x f xy f =αx y = ()()()y f x f xy f ±= x y a log =()()()y f x f y x f ⋅=±x a y = ()()n x f x f +=（n 为周期） x y sin =，x y cos =，x y tan =. 常用方法：①特殊值法，如()()()1,1,0-f f f ；②“凑”（转化）的方法；③同时借助于函数的单调性、奇偶性等性质.例题：一，()()()c y f x f y x f +±=±型 （b kx y +=）1，函数()x f 的定义域为R ，R y x ∈∀,，有()()()y f x f y x f +=+；且当0)(0<>x f x 时，，且()21-=f ，求()x f 在区间[]3,3-上的最大值和最小值. 2，函数()x f ，R y x ∈∀,，满足条件()()()y x f y f x f ++=+2；2)(0>>x f x 时，； ()53=f ，求不等式()3222<--a a f 的解.二，()()()y f x f xy f =型 （αx y =）3，函数()x f ，R y x ∈∀,，满足()()()y f x f xy f =，且()00≠f ，试判断()x f 的奇偶性.三，()()()y f x f xy f ±=型 （x y a log =）4，已知()x f 的定义域为R ，R y x ∈∀,，()()()y f x f xy f +=.求证：()x f 是偶函数.5，()x f 是定义在()+∞,0上的单调增函数，满足()()()y f x f xy f +=，()13=f ， ① 求()1f ； ② 若()()28≤-+x f x f ，求x 的取值范围. 四，()()()y f x f y x f ⋅=±型 （x a y =）6，函数()x f ，R y x ∈∀,，满足()0≠x f ，()()()y f x f y x f ⋅=+，且当时，0<x ()1>x f ，求当时，0>x ()x f 的取值范围.五，()()n x f x f += （x y sin =，x y cos =，x y tan =.）7，()x f 是定义在R 上的函数，()()()x f x f x f -+=+112，又()221+=f ，求()2001f . 8，函数()x f ，R y x ∈∀,，满足()()()()y f x f y x f y x f 2=-++，并存在实数c ，使得02=⎪⎭⎫ ⎝⎛c f ，试问()x f 是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由.。

抽象函数抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难.解决抽象函数常用的方法有(1)赋值法；（2）模型函数法；（3）代换法；（4）递推法；（5）迭代法等。

一．求函数值紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

【例1】已知f x ()的定义域为R +，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______。

变式：1.设f(x)(x ∈R ）为奇函数，f(1)=21，f(x+2)=f(x)+f(2),则f(5)= _______。

2.定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f = ( ) （A ）-1 （B ）0（C ）1（D ）23.已知函数y=f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)=0，对任意x ∈R ，都有f (x +4)=f (x )+f (4) 成立，则f (2006)= ( )A ．4012B ．2006C ．2008D ．04.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有 )()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是 A. 0 B.21 C. 1 D. 25 5.设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =( ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）2136.定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++（x y ∈R ，），(1)2f =，则(3)f -等于（ C ） A ．2B ．3C ．6D ．9二．比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。

一、教学目标1. 理解抽象函数的概念及其性质。

2. 掌握抽象函数的运算规律，包括极限、连续性、可导性等。

3. 能够运用抽象函数解决实际问题。

二、教学重点1. 抽象函数的概念及性质。

2. 抽象函数的运算规律。

三、教学难点1. 抽象函数的连续性、可导性的判断。

2. 抽象函数在实际问题中的应用。

四、教学过程（一）导入1. 回顾初等函数的概念及性质。

2. 引入抽象函数的概念，提出本节课的学习目标。

（二）新课讲授1. 抽象函数的定义：形如f(x) = y的函数，其中x、y是实数，y是x的函数，且y的解析式不含有具体的函数符号（如sin、cos等）。

2. 抽象函数的性质：a. 奇偶性：若对于任意x，有f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数；若对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数。

b. 单调性：若对于任意x1 < x2，有f(x1) ≤ f(x2)，则称f(x)在区间[a, b]上单调递增；若对于任意x1 < x2，有f(x1) ≥ f(x2)，则称f(x)在区间[a, b]上单调递减。

c. 有界性：若存在实数M，使得对于任意x，有|f(x)| ≤ M，则称f(x)在区间[a, b]上有界。

3. 抽象函数的运算规律：a. 极限：若lim(x→x0)f(x) = A，则称f(x)在x=x0处极限存在，记作lim(x→x0)f(x) = A。

b. 连续性：若对于任意ε > 0，存在δ > 0，使得对于任意x，当|x-x0| < δ时，有|f(x) - f(x0)| < ε，则称f(x)在x=x0处连续。

c. 可导性：若f(x)在x=x0处的导数存在，则称f(x)在x=x0处可导。

（三）课堂练习1. 判断以下函数的奇偶性、单调性和有界性：a. f(x) = x^2b. f(x) = |x|c. f(x) = e^x2. 求以下函数的极限：a. lim(x→0) x^2b. lim(x→1) (1/x - 1)c. lim(x→∞) (1/x^2)（四）案例分析1. 举例说明抽象函数在实际问题中的应用。

函数性质—抽象函数奇偶性、单调性综合解答题参考答案与试题解析一．解答题（共 12 小题）1. 函数 f (x ) 对于任意的实数 x ， y 都有 f (x + y ) = f (x ) + f ( y ) 成立，且当 x > 0 时 f (x ) < 0 恒成立． （1） 求 f (0) 的值，并证明函数 f (x ) 为奇函数；（2） 求证 f (x ) 在 R 上为减函数；（3） 若 f （1） = -2 且关于 x 的不等式 f (x 2 - x + k ) < 4 恒成立，求k 的取值范围．【解答】解：（1）令 x = y = 0 得 f (0) = 0 ．令 y = -x 代入原式得 f (x - x ) = f (x ) + f (-x ) = f (0) = 0 ， 所以 f (-x ) = - f (x ) ，故该函数是奇函数． （2）由已知得 f (x + y ) - f (x ) = f ( y ) = f [(x + y ) - x ] ． 所以任取 x 2 > x 1 ，则f (x 2 - x 1 ) = f (x 2 ) + f (-x 1 ) = f (x 2 ) - f (x 1 ) ，因为 x 2 - x 1 > 0 且当 x > 0 时 f (x ) < 0 ，所以 f (x 2 - x 1 ) < 0 ，即 f (x 2 ) - f (x 1 ) < 0 ，所以 f (x 2 ) < f (x 1 ) ，故该函数在 R 上是减函数．（3）因为 f （1） = -2 ，所以 f (-1) = - f （1） = 2 ，所以 f (-2) = 2 f (-1) = 4 ． 所以原不等式可化为： f (x 2 - x + k ) < f (-2) ． 结合（2）知，函数 f (x ) 在 R 上是增函数．所以 x 2 - x + k > -2 恒成立．即 k > -x 2 + x - 2 = -(x - 1)2 + 9恒成立．24 所以只需k > 9即可．42. 已知函数 f (x ) 对一切 x ， y ∈ R ，都有 f (x + y ) = f (x ) + f ( y ) ，当 x > 0 ，有 f (x ) < 0 ．（1）求： f (0) = 0 ；（2）证明：函数 f (x ) 为奇函数；（3）若 f （1） = -2 ，求 f (x ) 在[-3 ， 3] 上的最值；（4） 若对任意t ∈ R ，不等式 f (t 2 - 2t ) + f (2t 2 - k ) < 0 恒成立，求k 的取值范围．【解答】解：（1）令 x = y = 0 ，可得 f (0) = f (0) + f (0) ， ∴ f (0) = 0 ．（2）证明：令 y = -x 可得： f (0) = f (x ) + f (-x ) ，∴ f (-x ) + f (x ) = 0 ， 又 f (x ) 的定义域为 R ， ∴ f (x ) 是奇函数．（3）设 x 1 ， x 2 是 R 上任意两个数，且 x 1 < x 2 ，则 x 2 - x 1 > 0 ，∴ f (x 2 - x 1) < 0 ，∴ f (x 2 ) - f (x 1 ) = f (x 2 ) + f (-x 1 ) = f (x 2 - x 1 ) < 0 ，∴ f (x ) 在 R 上是减函数，（1） = -2 ，∴ f （2） = 2 f （1） = -4 ， ∴ f （3） = f （1） + f （2） = -6 ． ∴ f (-3) = 6 ．∴ f (x ) 在[-3 ， 3] 上的最小值是 f （3） = -6 ，最大值是 f (-3) = 6 ．（4）由 f (t 2 - 2t ) + f (2t 2 - k ) < 0 得： f (t 2 - 2t ) < - f (2t 2 - k ) = f (k - 2t 2 ) ，∴t 2 - 2t > k - 2t 2 ， 即 k < 3t 2 - 2t ．= 3(t - 1)2- 1- 1 ，∴ k < - 1．33 3 3 3．已知 f (x ) 是定义在[-1 ，1] 上的奇函数，且 f （1） = 3 ，若a ， b ∈[-1 ，1] ， a + b ≠ 0 时，有 f (a ) + f (b ) > 0 成a + b立．（1） 判断 f (x ) 在[-1 ，1] 上的单调性，并证明； （2） 解不等式： f (x + 1) < f (21) ；x - 1（3） 若当a ∈[-1 ，1] 时， f (x ) m 2 - 2am + 3 对所有的 x ∈[-1，1] 恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）任取 x 1 ， x 2 ∈[-1，1] ，且 x 1 < x 2 ，则-x 2 ∈[-1，1] ，f (x ) 为奇函数，∴ f (x ) - f (x ) = f (x ) + f (-x ) = f (x 1 ) + f (-x 2 ) (x- x ) ， 1212x - x 1 2由已知得 f (x 1 ) + f (-x 2 ) > 0 ， x - x 1 2< 0 ，∴ f (x ) - f (x ) < 0 ，即 f (x ) < f (x ) ．x - x1 21 2 1 2 1 2∴ f (x ) 在[-1 ，1] 上单调递增．f 3t 2- 2tf ⎨ 22 ⎪ ⎧x + 1 < 1 ⎪x -1 （2） f (x ) 在[-1 ，1] 上单调递增，∴ ⎪-1 ⎪ ⎪-1 ⎩x + 1 2 1 x - 1 1 ，解得-3 1 x < -1， ∴不等式的解集为{x | - 3 2x < -1} ．（3） （1） = 3 ， f (x ) 在[-1 ，1] 上单调递增，∴在[-1 ，1] 上， f (x ) 3 ，即m 2 - 2am + 3 3 ，∴m 2 - 2am 0 对 a ∈[-1 ，1] 恒成立，求m 的取值范围．设 g （a ） = -2m a + m 2 0 ，①若m = 0 ，则 g （a ） = 0 0 ，自然对a ∈[-1 ，1] 恒成立．②若m ≠ 0 ，则 g （a ）为a 的一次函数，若 g （a ） 0 对 a ∈[-1 ，1] 恒成立， 则必须 g (-1) 0 ，且 g （1） 0 ，∴ m ∴ m 的取值范围是m = 0 或 m - 2 或m - 2 或m 2 ．2 或 m = 0 ． 4. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 对任意 x ， y ∈ R ，总有 f (x ) + f ( y ) = f (x + y ) +1 ，且当 x > 0 时， f (x ) > 1 ．( I ) 若令h (x ) = f (x ) -1 ，证明：函数h (x ) 为奇函数； ( II ) 证明：函数 f (x ) 在 R 上是增函数；( III ) 解关于 x 的不等式 f (x 2 ) - f (3tx ) + f (2t 2 + 2t - x ) < 1 ．其中t ∈ R ．【解答】解： ( I ) 证明：令 x = y = 0 ，则 f (0) = 1 令 y = -x ，即 f (x ) + f (-x ) = f (0) +1 ，即 f (x ) + f (-x ) = 2 所以： f (-x ) -1 = - f (x ) + 1，即h (-x ) = -h (x )故函数h (x ) 为奇函数； （3 分）( II ) 证明：设任意 x 1 ， x 2 ∈ R 且 x 1 > x 2则 f (x 1 ) - f (x 2 ) = f (x 1 ) + f (-x 2 ) - 2 = f (x 1 - x 2 ) +1 - 2 = f (x 1 - x 2 ) -1因为： x 1 > x 2 所以 x 1 - x 2 > 0 ，故 f (x 1 - x 2 ) > 1所以 f (x 1 ) > f (x 2 ) ，故函数 f (x ) 在 R 上是增函数； （7 分）( III ) 因为 f (x 2 ) - f (3tx ) + f (2t 2 + 2t - x ) < 1所以 f (x 2 ) + f (2t 2 + 2t - x ) < f (3tx ) +1即 f (x 2 + 2t 2 + 2t - x ) +1 < f (3tx ) +1即 f (x 2 + 2t 2 + 2t - x ) < f (3tx )又因为函数 f (x ) 在 R上是增函数所以 x 2 + 2t 2 + 2t - x < 3tx即： x 2 - (3t + 1)t + 2t 2 + 2t < 0即： (x - 2t )(x - t -1) < 0 ⅰ ) 当t = 1 时，原不等式无解；ⅱ ) 当t > 1 时，原不等式的解集{x | t + 1 < x < 2t }ⅲ ) 当t < 1 时，原不等式的解集{x | 2t < x < t + 1}⋯ （12 分）5. 已知函数 f (x ) 为奇函数，且当 x 0 时， f (x ) = (x -1)2 - 3x + a ．（1） 求a 的值，并求 f (x ) 在(-∞, 0) 上的解析式；（2） 若函数 g (x ) = f (x ) + kx 在[-3 ， -1] 上单调递减，求k 的取值范围．【解答】解：（1） f (x ) 为奇函数，∴ f (0) = 0 ，即1 + a = 0 ，∴ a = -1 ，令 x < 0 ，则-x > 0 ，∴ f (-x ) = (-x -1)2 + 3x -1 = (x + 1)2 + 3x -1 = - f (x ) ，∴ f (x ) = -(x + 1)2 - 3x + 1 ，故 f (x ) 在(-∞, 0) 上的解析式为 f (x ) = -(x + 1)2 - 3x + 1．（2） g (x ) = f (x ) + kx = -(x +1)2 - 3x +1 + kx = -x 2 + (k - 5)x ，开口向下，对称轴为 x = k - 5 ，2g (x ) 在[-3 ， -1] 上单调递减，∴ k - 52- 3 ，解得k -1． 故 k 的取值范围为(-∞ ， -1] ．6. 设函数 f (x ) 是实数集 R 上的单调增函数，令 F (x ) = f (x ) - f (2 - x ) ． （1） 求证： F (x ) 在 R 上是单调增函数；（2）若 F (x 1 ) + F (x 2 ) > 0 ，求证： x 1 + x 2 > 2 ．【解答】解：（1）任取 x 1 ， x 2 ∈ R ，且 x 1 < x 2 ，则 F (x 1 ) - F (x 2 ) = [ f (x 1 ) - f (2 - x 1 )] -[ f (x 2 ) - f (2 - x 2 )] = [ f (x 1 ) - f (x 2 )] +[ f (2 - x 2 ) - f (2 - x 1 )] ；f (x ) 是实数集 R 上的增函数，且 x 1 < x 2 ，则 f (x 1 ) - f (x 2 ) < 0 ， 由 x 1 < x 2 ，得-x 1 > -x 2 ，∴2 - x 1 > 2 - x 2 ，∴f (2 -x1) >f (2 -x2 ) ，5f ∴ f (2 - x 2 ) - f (2 - x 1) < 0 ，∴[ f (x 1 ) - f (x 2 )] +[ f (2 - x 2 ) - f (2 - x 1 )] < 0 ；即 F (x 1) < F (x 2 ) ；∴ F (x ) 是 R 上的增函数．（2） 证明： F (x 1 ) + F (x 2 ) > 0 ，∴ F (x 1) > -F (x 2 ) > 0 ；由 F (x ) = f (x ) - f (2 - x ) 知，-F (x 2 ) = -[ f (x 2 ) - f (2 - x 2 )] = f (2 - x 2 ) - f (x 2 ) = f (2 - x 2 ) - f [2 - (2 - x 2 )] = F (2 - x 2 ) ，∴ F (x 1) > F (2 - x 2 ) ；又 F (x ) 是实数集 R 上的增函数， 所以 x 1 + > 2 - x 2 ．， 即 x 1 + x 2 > 2 ．7. 已知函数 y = f (x ) 对任意的实数ab 都有： f (a + b ) = f （a ） + f （b ） -1 ，且 x > 0 时， f (x ) > 1 ，（1）求证： f (x ) 是 R 上的增函数；（2）若 f （4） = 5 ，求 f （2）的值，并解不等式 f (3m 2 - m - 2) < 3 ．【解答】解：（1）证明： f (a + b ) = f （a ） + f （b ） -1 ，且 x > 0 时， f (x ) > 1 ，设 x 1 < x 2 ，则 x 2 - x 1 > 0 ， f (x 2 - x 1 ) > 1 ，∴ f (x 2 ) - f (x 1 ) = f [(x 2 - x 1 ) + x 1 ] - f (x 1 ) = f (x 2 - x 1 ) + f (x 1 ) -1 - f (x 1 ) = f (x 2 - x 1 ) -1 > 1 -1 = 0 ，∴ f (x ) 是 R 上的增函数；（2） （4） = f (2 + 2) = f （2） + f （2） -1 = 5 ， ∴ f （2） = 3 ．∴ f (3m 2 - m - 2) < 3 = f （2），又 f (x ) 是 R 上的增函数；∴3m 2 - m - 2 < 2 ，∴-1 < m < 43∴不等式 f (3m 2 - m - 2) < 3 的解集为：{m | -1 < m < 4} ．38. 已知定义域为 R 的函数 f (x ) 对任意的实数a ， b 均有 f (a + b ) = f （a ）（b ），且当 x < 0 时， f (x ) > 1 ．（1） 求 f (0) 的值；（2） 求证：对任意的 x ∈ R 都有 f (x ) > 0 ；ff f （3） 求证： f (x ) 在 R 上为减函数；（4）当 f （4） = 1 16 时，解不等式 f (x - 3) < 1．4【解答】（1）解：由于 f (a + b ) = f （a ） （b ），则 f (0) = f 2 (0) ，即有 f (0) = 0 或 1．若 f (0) = 0 ，则令a = x ， b = 0 ，有 f (x ) = 0 不成立， 故 f (0) = 1．（2）证明：由于 f (a + b ) = f （a ） （b ），可令a = b = x，则 f (x ) = f 2 ( x) 0 ，由当 x < 0 时， f (x ) > 1 ，22则 f (x ) ≠ 0 ，故有对任意的 x ∈ R 都有 f (x ) > 0 ；（3）证明：设 x 1 > x 2 ，则 x 2 - x 1 < 0 ，当 x < 0 时， f (x ) > 1 恒成立，则 f (x 2 - x 1 ) > 1 ，∴ f (x 1 ) + f (x 2 - x 1 ) = f (x 2 ) > f (x 1 ) ，∴函数 y = f (x ) 是 R 上的减函数；（4）解：当 f （4） = 1 16即有 f （2） = 1，4时，则有 f （4） = f 2 （2），不等式 f (x - 3) < 1，即为 f (2 + x - x 2 ) < f （2）， 4由于函数 y = f (x ) 是 R 上的减函数， 则 2 + x - x 2 > 2 ，解得0 < x < 1． 即有解集为(0,1) ．9. 已知 f (x ) 对任意实数a ， b 都有 f (a + b ) = f （a ） + f （b ） -2 且当 x > 2 时，有 f (x ) > 2 ． （1） 求证： f (x ) 在 R 上为增函数；（2） 若 f （1） = 2 ，求满足不等式 f (3t - 2) + f (t - t 2 ) < 4 的实数t 的取值范围．【解答】（1）证明：任取 x 1 ， x 2 ∈ R 且 x 1 < x 2 ， 则 x 2 - x 1 > 0 ， f (x 2 - x 1 ) > 2 ．f (a + b ) = f （a ） + f （b ） -2 ，∴ f (x 2 ) = f [(x 2 - x 1 ) + x 1 ] = f (x 2 - x 1 ) + f (x 1 ) - 2 > 2 + f (x 1 ) - 2 = f (x 1 ) ，∴ f (x 2 ) > f (x 1) ，∴ f (x ) 在 R 上为增函数．f (5 - x 2 ) f (5 - x 2 )1 x （2）解： f (3 - 2) + f (t - t2 ) < 4 ，即 f (3t - 2) + f (t - t 2 ) - 2 < 2 ，∴ f (3t - 2 + t - t 2 ) < 2 ．（1） = 2 ，∴ f (4t - 2 - t 2 ) < f （1），又 f (x ) 在 R 上为增函数， ∴4t - 2 - t 2 < 1， 即t 2 - 4t + 3 > 0 解得t > 3 或t < 1故实数t 的取值范围为(-∞ ，1) ⋃(3 ， +∞) ．10. 已知函数 f (x ) 的定义域为(0, +∞) ，当 x > 1 时， f (x ) > 0 且 f (xy ) = f (x ) + f ( y )（1）求 f （1），并求证： f ( 1) =- f (x )x（2） 证明 f (x ) 在定义域上是增函数．（3） 如果 f (1) = -1求满足不等式 f ( 31 x - 2) 2 的 x 的取值范围．【解答】解：（1） f (xy ) = f (x ) + f ( y ) 令 x = y = 1 ，则 f （1） = f （1） + f （1） 解得 f （1） = 0令 y = 1 ，则 f (x 1) = f (x ) + f ( ) = f （1） = 0xx x故 1f ( ) =- f (x )x（2）设0 < x < x ，则 x 2 > 1 ，则 f ( x2 ) > 0 ，1 211 则令 x = x ， y = x2 ，1则 f (x ) = f (x x 1 x 2 ) = f (x ) + x 2> f (x )2 1 x f ( ) 1 x11 1故 f (x ) 在定义域上是增函数 1f ( ) 3 = -1 ，∴ f （3） = 1， f （9） = f （3） + f （3） = 2 又 f (x ) 在定义域上是增函数， 故不等式 f (即1x - 21x - 2 ) 2 可化为 f ( （9） f 1 ) f x - 29 （3） xf (x + y ) = f (x ) f ( y ) ，解得2 < x即满足条件的 x 的取值范围为(2 ， 19]911. 已知函数 y = f (x ) 满足对任意实数 x ， y 有 f (x + y ) = f (x ) （1）求 f (0) 的值；（2）求证： x < 0 ， f (x ) > 1 ； （3）讨论函数 y = f (x ) 的单调性；（4）解不等式 f (x 2 + x ) < f (3 - x ) ．f ( y ) ，且当 x > 0 ， 0 < f (x ) < 1 ．【解答】解：（1）令 y = 0 ，可得 f (x + 0) = f (x ) （2）设 x < 0 ，则-x > 0 ， 当 x > 0 ， 0 < f (x ) < 1， ∴0 < f (-x ) < 1 ，f (x - x ) = f (x ) f (-x ) = 1，f (0) ，∴ f (0) = 1 ；∴ f (-x ) = 1 ，f (x )∴0 <1f (x )< 1 ， ∴ f (x ) > 1 ；（3）在函数 f (x ) 定义域 R 上任取自变量 x 1 ， x 2 且 x 1 < x 2 ，∴ x 2 - x 1 > 0 ．∴ f (x 2 ) - f (x 1 ) = f [x 1 + (x 2 - x 1 )] - f (x 1 ) = f (x 1 ) f (x 2 - x 1 )] - f (x 1 ) = f (x 1 )[ f (x 2 - x 1 ) -1] ． 当 x > 0 时，有0 < f (x ) < 1， ∴ f (x 2 - x 1) < 1．∴函数 f (x ) 定义域 R 上单调递减．（4） f (x 2 + x ) < f (3 - x ) ，∴ x 2 + x > 3 - x ． ∴ x 2 + 2x - 3 > 0 ，∴ x < -3 或 x > 1 ，∴不等式的解集为： (-∞ ， -3) ⋃(1， +∞) ．12. 已知函数 f (x ) 定义域为[-1 ，1] ，若对于任意的 x ，y ∈[-1 ，1] ，都有 f (x + y ) = f (x ) + f ( y ) ，且x > 0 时，有 f (x ) > 0 ．（Ⅰ）证明函数 f (x ) 是奇函数；19 9⎩ ⎩ （Ⅱ）讨论函数 f (x ) 在区间[-1 ，1] 上的单调性；（Ⅲ）设 f （1） = 1，若 f (x ) < m 2 - 2am + 1，对所有 x ∈[-1，1] ， a ∈[-1 ，1] 恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】证明：（Ⅰ）因为有 f (x + y ) = f (x ) + f ( y ) ，令 x = y = 0 ，得 f (0) = f (0) + f (0) ，所以 f (0) = 0 ， 令 y = -x 可得： f (0) = f (x ) + f (-x ) = 0 ， 所以 f (-x ) = - f (x ) ， 所以 f (x ) 为奇函数．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 f (x ) 是定义在[-1 ，1] 上的奇函数，由题意设-1 x 1 < x 2 1 ，则 f (x 2 ) - f (x 1 ) = f (x 2 ) + f (-x 1 ) = f (x 2 - x 1 )由题意 x > 0 时，有 f (x ) > 0 ，∴ f (x 2 ) > f (x 1 )∴ f (x ) 是在[-1 ，1] 上为单调递增函数；（Ⅲ）根据（Ⅰ）（Ⅱ）结论可得 f (x ) 在[-1 ，1] 上为单调递增函数，所以 f (x ) 在[-1 ，1] 上的最大值为 f （1） = 1，所以要使 f (x ) < m 2 - 2am + 1，对所有 x ∈[-1，1] ， a ∈[-1 ，1] 恒成立， 只要m 2 - 2am + 1 > 1，即m 2 - 2am > 0 ， 令 g （a ） = m 2 - 2am = -2am + m 2⎧g (-1) > 0由⎨g (1) > 0 ⎧2m + m 2 > 0 ，可得⎨-2m + m 2 > 0解得： m > 2 或m < -2故实数m 的取值范围是(-∞ ， -2) ⋃(2 ， +∞)。

抽象函数的定义是什么抽象函数的定义我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。

由于这类问题可以全面考查学生对函数概念和性质的理解，同时抽象函数问题又将函数的定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性和图象集于一身，所以在高考中不断出现;如2002年上海高考卷12题，2004年江苏高考卷22题，2004年浙江高考卷12题等。

抽象函数形式幂函数：f(xy)=f(x)f(y)f(x/y)=f(x)/f(y)正比例函数：f(x+y)=f(x)+f(y)f(x-y)=f(x)-f(y对数函数：f(x)+f(y)=f(xy)f(x/y)=f(x)-f(y)三角函数：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y) f(x)=cosx指数函数：f(x+y)=f(x)f(y)f(x-y)=f(x)/f(y)周期为n的周期函数：f(x)=f(x+n)抽象函数的解法举例特殊值法特殊值法是处理抽象函数选择题的有力方法。

根据抽象函数具有的性质，选择一个熟悉的函数作为特殊值代入验证，可以解决大部分选择题。

例1 定义在R上的函数f(x)满足f (x + y) = f (x) + f (y)(x，y∈R)，当x<0时， f (x)>0，则函数f (x)在[a,b]上 ( )A 有最小值f (a)B 有最大值f[(a+b)/2]C 有最小值f (b)D 有最大值f (b)分析：许多抽象函数是由特殊函数抽象背景而得到的，如正比例函数f (x)= kx(k≠0)，可抽象为f (x + y) = f (x) +f (y)，与此类似的还有此题作为选择题可采用特殊值函数f (x)= kx(k≠0)∵当x <0时f (x) > 0即kx > 0。

.∴k < 0，可得f (x)在[a,b]上单调递减，从而在[a,b]上有最小值f(b)。

赋值法根据所要证明的或求解的问题使自变量取某些特殊值，从而解决问题。

例2 除了用刚才的方法外,也可采用赋值法解:令y = -x，则由f (x + y) = f (x) + f (y) (x，y∈R)得f (0) = f (x) +f (-x)…..①,再令x = y = 0得f(0)= f(0)+ f(0)得f (0)=0，代入①式得f (-x)= -f(x)。

高中抽象函数的基本性质作者：王红博来源：《考试周刊》2013年第102期（宜春市第三中学，江西宜春 336000）摘要：抽象函数集函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性、对称性、周期性和图像等性质于一身，题型丰富多样，方法灵活巧妙，是高考的常客.学生在解决这类问题时，往往会感觉无从下手，思路受阻，尤其是高一新生，答题正确率很低.作者就抽象函数这类问题，根据高一学生的学习情况和学习特点，谈谈对抽象函数的看法.关键词：抽象函数高一新生函数性质对于刚刚步入高中的新生而言，在各科学习中，以数学学习为最难，而数学中又以函数为最难，而函数中又以抽象函数最为难.学生普遍感觉抽象函数实在是太“抽象”了，无法捕捉住它的性质和特点规律，解题是往往会感觉无从下手，障碍重重.本文将从七个方面对抽象函数进行分析，概括高一阶段对常考的抽象函数的一些基本性质和基本题型.一、定义域解决抽象函数的定义域问题，一定要明确定义域的含义，通常采用等价转换的方法予以解决.例1：若函数f（x）的定义域为（0，1），则函数f（x+1）的定义域为？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇.分析：因为f（x）的定义域为（0，1），所以x+1整体的范围也为（0，1），从而x∈（-1，0），所以函数f（x++1）的定义域为（-1，0）.例2：若函数f（x+1）的定义域为（0，1），则函数f（x）的定义域为？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇.分析：因为f（x+1）的定义域为（0，1），所以x+1整体的范围也为（1，2），所以函数f（x）的定义域为（1，2）.二、值域解决抽象函数的值域问题，通常抓住函数的定义域和对应法则，进而确定值域，有时也可借助图像的平行移动进行分析.例3：若函数f（x）的值域为（0，1），则函数f（x+1）的值域为？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇.分析：（法1）因为函数f（x）的x与函数f（x+1）的x+1的范围是一样的，且对应法则也相同，所以函数f（x+1）的值域也是（0，1）.（法2）将f（x）的函数图像水平向左移动1个单位，会得到函数f（x+1）的图像，因此函数的值域相同.三、解析式观察条件中变量的形式，寻找关联性，采用赋值等形式建立方程组，从而解出解析式.例4：若函数f（x）满足：f（x）+2f（■）=x，则函数f（x）的解析式为？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇.分析：在f（x）+2f（■）=x中，以■代替x，得到f（■）+2f（x）=■，建立方程组f（x）+2f（■）=xf（■）+2f（x）=■，解得f（x）=■-■.四、利用某些函数为背景，类比迁移某些抽象函数可以寻找出相应的初等函数作为背景，从而起到启发思维的作用，进而成功地解决函数的单调性、奇偶性等性质.幂函数：f（xy）=f（x）f（y）正比例函数：f（x+y）=f（x）+f（y）指数函数：f（x+y）=f（x）+f（y）对数函数：f（xy）=f（x）+f（y）例5：若函数f（x）满足以下条件：①当x>0时，f（x）>0；②对任意的x，y，都有f （x+y）=f（x）+f（y）成立，试判断函数f（x）的单调性.分析：（这类抽象函数，可以用正比例函数为背景，如f（x）=x，启发思维.）任取x■，x■∈R，且x■因为x■-x■>0，所以f（x■-x■）>0，故-f（x■-x■）五、对称性、周期性1.对称性重要结论（1）y=f（-x）与y=f（x）的图像关于y轴对称；（2）y=-f（x）与y=f（x）的图像关于x轴对称；（3）y=-f（-x）与y=f（x）的图像关于原点对称；（4）若f（m+x）=f（m-x）恒成立，则y=f（x）的图像关于直线x=m对称；（5）若f（a+x）=f（b-x），对任意x∈R恒成立，则y=f（x）的图像关于x=■对称.2.周期性重要结论（1）对于非零常数A，若函数y=f（x）满足f（x+A）=-f（x），则函数y=f（x）必有一个周期为2A；（2）对于非零常数A，函数y=f（x）满足f（x+A）=±■，则函数y=f（x）的一个周期为2A；（3）函数y=f（x）有两根对称轴x=a，x=b时，那么该函数必是周期函数，T=2|a-b|.高一数学教材知识量比起初中明显增加，理论性明显增强，尤其是抽象函数内容，对理解要求很高，不动一番脑子，就难以掌握知识间的内在联系和区别.所以，对于高一新生而言，在学习这一块内容时，一定要多学多练多想多问，这样，才能更好地掌握抽象函数的常见性质及基本解题思路和方法.参考文献：[1]蔡亲鹏.数学教育学.浙江：浙江大学出版社，2008.10.01.[2]郑晓玲.教材完全解读.南宁：接力出版社，2011.9.[3]邱家福.高考调研.石家庄：河北教育出版社，2010.3.。

专题06利用函数性质解决抽象函数不等式【高考地位】函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。

而抽象函数的单调性解函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。

因此，我们应该掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。

确定抽象函数单调性解函数不等式万能模板内容使用场景几类特殊函数类型解题模板第一步（定性）确定函数)(x f 在给定区间上的单调性和奇偶性；第二步（转化）将函数不等式转化为)()(N f M f <的形式；第三步（去f ）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组；第四步（求解）解不等式或不等式组确定解集；第五步（反思）反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范.例1已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的实数12,x x ，且12x x ≠，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，则不等式()()1120x f x +-<的解集为__________．【答案】11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】第一步，（去f ）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f ”，转化成一般的不等式或不等式组：若对于任意给定的实数12,x x ，且12x x ≠，，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，等价为()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦恒成立，即()f x 是定义在R 上的减函数，第二步，（定性）确定函数)(x f 在给定区间上的单调性和奇偶性：又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，第三步，（求解）解不等式或不等式组确定解集：当10x +>时，()120f x -<，所以120x ->，联立解得112x >>-，当10x +<时，()120f x ->，所以120x -<，无解，综上应填11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭.【变式演练1】若定义在R 上的奇函数()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，则不等式()10xf x -≤的解集为（）A ．(][),13,-∞-+∞B ．(][],11,3-∞- C ．[][]1,01,3- D ．[][)1,03,-+∞ 【答案】C【分析】首先将()10xf x -≤转化为()010x f x ≤⎧⎨-≥⎩或()010x f x ≥⎧⎨-≤⎩，根据函数单调性解()10f x -≥和()10f x -≤，进而可以求出结果.【详解】因为()10xf x -≤，所以()010x f x ≤⎧⎨-≥⎩或()010x f x ≥⎧⎨-≤⎩，因为()f x 在()0,∞+上单调递增，且()20f =，所以()001310012x x x f x x ≥≥⎧⎧⇒⇒≤≤⎨⎨-≤≤-≤⎩⎩，因为()f x 在R 上为奇函数，所以()f x 在(),0-∞上单调递增，且()20f -=，因此()001010211x x x f x x ≤≤⎧⎧⇒⇒-≤≤⎨⎨-≥-≤-≤-⎩⎩，综上：不等式()10xf x -≤的解集为[][]1,01,3- .故选：C.【变式演练2】已知定义在[1,)+∞上的函数()f x 满足()ln ()0f x x xf x '+<且(2021)0f =，其中()'f x 是函数()f x 的导函数，e 是自然对数的底数，则不等式()0f x >的解集为（）A ．(1,2021)B ．(2021,)+∞C ．(1,)+∞D ．[1,2021)【答案】A【分析】令()ln ()g x xf x =，1≥x ，利用导数可知()g x 在[1,)+∞上为单调递减函数，将不等式()0f x >化为1x >且()(2021)g x g >，再利用()g x 的单调性可解得结果.【详解】令()ln ()g x xf x =，1≥x ，则1()ln ()()()()ln f x x xf x g x f x f x x x x'+''=+=，因为1≥x ，()ln ()0f x x xf x '+<，所以()0g x '<，所以()g x 在[1,)+∞上为单调递减函数，当1x =时，由()ln ()0f x x xf x '+<可知(1)0f <，不满足()0f x >；当1x >时，ln 0x >，所以()0f x >可化为()ln 0f x x >(2021)ln 2021f =，即()(2021)g x g >，因为()g x 在(1,)+∞上为单调递减函数，所以12021x <<，所以不等式()0f x >的解集为(1,2021).故选：A【变式演练3】定义在非零实数集上的函数()f x 满足()()()f xy f x f y =+，且()f x 是区间(0,)+∞上的递增函数．（1）求(1),(1)f f -的值；（2）求证：()()f x f x -=；（3）解不等式1(2)(02f f x +-≤．【答案】（1）(1)0f =,(1)0f -=；（2）证明见解析；（3）⎥⎦⎤ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡1,2121,0 ．【解析】试题分析：（1）利用赋值法可求)1(f ,)1(-f ；（2）根据函数的奇偶性定义即可证明函数是偶函数；（3）根据函数奇偶性,利用数形结合可解得不等式的解集．试题解析：解：（1）令1x y ==，则(1)(1)(1)f f f =+，∴(1)0f =，令1x y ==-，则(1)(1)(1)f f f =-+-，∴(1)0f -=（2）令1y =-，则()()(1)()f x f x f f x -=+-=，∴()()f x f x -=（3）据题意可知，函数图象大致如下：1(2)()(21)02f f x f x +-=-≤，∴1210x -≤-<或0211x <-≤，∴102x ≤<或112x <≤.考点：抽象函数及应用．【变式演练4】定义在(1,1)-上的函数()f x 满足下列条件：①对任意,(1,1)x y ∈-，都有()()()1x y f x f y f x y++=++；②当(1,0)x ∈-时，有()0f x >，求证：（1）()f x 是奇函数；（2）()f x 是单调递减函数；（3）21111((()()1119553f f f f n n +++>++ ，其中*n N ∈．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）由奇函数的定义及特殊值0)0(=f 即可证明；（2）由单调性的定义,做差证明；（3）先由题中已知的恒等式赋值,得出要求数列的通项,再利用裂项求和的方法求得不等式左边的最简形式,最后比较左右两边的大小关系,即可得证．试题解析：证明：（1）令0x y ==代入()()()1x y f x f y f xy++=+，得到(0)0f =．令y x =-，得()()(0)0f x f x f +-==，即()()f x f x -=-．∴()f x 在(1,1)-上是奇函数．（2）设1211x x -<<<，则12121212()()()()()1x x f x f x f x f x f x x --=+-=-∵1211x x -<<<，∴1212||||||1x x x x =<，1211x x -<<．又120x x -<，∴121201x x x x -<-且12121212(1)(1)1011x x x x x x x x -+++=>--，∴1212101x x x x --<<-，∴1212(01x x f x x ->-，∴12()()0f x f x -<，∴12()()f x f x <所以()f x 在(1,1)-上是单调递减函数．（3）211(1(3)(2)23([][]1155(2)(3)11()23n n n n f f f n n n n n n +-+-+++==++++-+-++1111(()((2323f f f f n n n n =+-=-++++∴2111(()(111955f f f n n +++++ 111111[(([()()][()()]344523f f f f f f n n =-+-++-++ 1111()()()(3333f f f f n n =-=+-++∵1013n <<+，∴1()03f n ->+，∴111(()()333f f f n +->+．故21111(()((1119553f f f f n n +++>++ ．考点：1．抽象函数；2．函数的单调性,奇偶性；3．数列求和．。

抽象函数的性质专题训练1,写出一个最小正周期为2的奇函数。

2，（多选）已知f(x)是定义域为R的奇函数，满足f(1−x)=f(1+x),f(1)=2,正确结论是（）A，f(x）的周期是4B，B，f(x−1)是偶函数C，f(x)在【2016,2020】有2个零点D，f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(50)=23,（多选）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x−1)=f(x+1)，当x∈[0,1]时，f(x)=x，设函数g(x)=f(x)−kx−k，下列结论成立的是（）A，函数f(x)的一个周期为2B，f(43)=−23C，当实数k>−1时，函数g(x)在区间[1,2]上为单调递减函数D，在区间[−1,3]内，若函数g(x)有4个零点，则实数k的取值范围是(0,14]4，对于正整数k，记g(k)表示k的最大奇数因数，例如g(1)=1,g(2)=1,g(10)=5。

设S n=g(1)+g(2)+g(3)+⋯+g(2n)。

则S2020= .5，（多选）设函数f(x)的定义域为R，满足3f(x)=f(x+1)，且当x∈(0,1]时，f(x)=x2−x，若对任意x∈(−∞,a]，都有f(x)≥−5425，则实数a的可能取值为（）A，3 B，125C，2 D，16，（多选）定义在（0，+∞）上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且f′(x)<f(x)x，则对任意x1,x2∈(0,+∞)，其中x1≠x2，则下列不等式中一定成立的有（）A ， f (x 1+x 2)<f (x 1)+f(x 2)B ， f (x 1)+f (x 2)<x 2x 1f (x 1)+x 1x 2f （x 2)C ， f (2x 1)<2x 1f(1)D ，f (x 1x 2)<f (x 1)f(x 2)7， 定义在R 上的函数f(x)满足f (x )+f ′(x )<2，则下列不等式一定成立的是（ ）A ， ef (3)+2<f (2)+2eB ， ef (3)+2>f (2)+2eC ， f (3)+2e <ef (2)+2D ， f (3)+2e >ef (2)+28，请你举出与曲线f (x )=sin2x 在原点(0,0)处具有相同切线的一个函数 。

在Banach空间中取值的抽象函数类性质的研究的开题报告一、选题背景Banach空间是数学分析中的重要概念，其理论在几何、物理、工程等领域有着广泛的应用。

抽象函数类是一类在Banach空间中取值的特殊函数类，研究其性质对于理解Banach空间的基本理论具有重要意义。

因此，本文选取在Banach空间中取值的抽象函数类性质的研究作为研究对象，旨在深入探究其基本性质和应用价值。

二、选题目的1. 探究在Banach空间中取值的抽象函数类的基本性质，如完备性、可分性和一致有界性等，为理论推导和实际应用提供基础知识。

2. 分析抽象函数类的相对紧性质，探究其在实际问题中的应用及其对Banach空间的重要性。

3. 研究线性算子在抽象函数类上的作用及其性质，为变分法、偏微分方程等领域的研究提供理论支持。

三、选题内容1. Banach空间和抽象函数类的概述。

2. 抽象函数类完备性、可分性和一致有界性的定义和辨析。

3. 抽象函数类的相对紧性质及其在实际问题中的应用。

4. 线性算子在抽象函数类上的作用和性质。

5. 抽象函数类及其性质在变分法、偏微分方程等领域的应用。

四、研究方法本文主要采用文献研究法和数学分析法，对相关文献进行综合分析，借助现有数学工具和理论，深入探究在Banach空间中取值的抽象函数类性质的本质和基本特征。

五、预期成果1. 对在Banach空间中取值的抽象函数类的基本性质进行系统总结，深入理解其定义及各种性质之间的关系。

2. 研究抽象函数类的相对紧性质，阐明其在实际问题中的应用及其对Banach空间的重要性。

3. 探究线性算子在抽象函数类上的作用及其性质，为变分法、偏微分方程等领域的研究提供理论支持。

4. 发表1-2篇与选题内容相关的论文和报告，对相关学科领域做出一定贡献。

六、进度安排第一阶段（1-2周）：调研文献，确定选题和研究方向。

第二阶段（3-4周）：研读相关文献，深入掌握在Banach空间中取值的抽象函数类的基本性质。

抽象函数的周期性、对称性和奇偶性及其应用周金国江苏省盐城市伍佑中学(224041)抽象函数是指只给出函数的某些性质而未给出具体表达式的函数，解决这类问题与解决具体函数问题的思路和方法并不完全相同，对抽象思维能力有着较高的要求，因而一直是高考考查的热点之一．本文在关于抽象函数的周期性、对称性和奇偶性讨论的基础上，通过几个例题的研究，为解决此类抽象函数问题提供一些常用方法，力求使此类问题的解法有“章”可循.1几个重要性质性质1定义在R 上的函数()f x ，若()f a x +=()f bx ，则函数()f x 的图象关于直线()/2x a b =+对称.反之，若函数()f x 的图象关于直线()/2x a b =+对称，则必有()()f a x f b x +=成立．当a b =时，()f x 的图象关于直线x a =对称.特别地当0a b ==时，函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称.简证：若()()f a x f b x +=.设(,())P m f m 为()f x 的图象上的任一点,而P 关于直线()/2x a b =+的对称点为(,())Q a b m f m +，因为()[()]f m f b b m =[()]()f a bm f a bm =+=+，所以点Q 也在()f x 的图象上，即函数()f x 的图象关于直线()/2x a b =+对称.若函数()f x 的图象关于直线()/2x a b =+对称，设(,())P m f m 为()f x 的图象上的任一点,而P 关于直线()/2x a b =+的对称点为(,())Q a b m f m +也在()f x 的图象上，所以()()f m f a b m =+，令b m x =，则m b x =，所以()()f a x f b x +=.性质2定义在实数集R 上的函数()f x ，若()()(0)f x a f x b a b +=+≠恒成立，则()f x 是以a b +为一个周期的周期函数.反之，若0a b +≠为函数V 的一个周期，则必有()()f x a f x b +=成立.特别当a b =时，()f x 是以2a 为一个周期的周期函数.简证：因为()()f x a f x b +=，令t x b =，则x t b =+，所以()()f t f t a b =++,故()f x 是以a b+为一个周期的周期函数.同理，若0a b +≠为函数()f x 的一个周期，则()()f t f t a b =++，令t x b =，则x t b =+，所以()()f x a f x b +=.性质3定义在R 上的函数()f x ，若()()f x f x a b ++=恒成立，则()f x 是以2a 为一个周期的周期函数.简证：在()()f x f x a b ++=中，将x 用x a +来代替，得()(2)f x a f x a b +++=,联立()()f x f x a b++=与()(2)f x a f x a b +++=，消去()f x a +得()(2)f x f x a =+，所以2a 为()f x 的周期.性质4定义在R 上的函数()f x ，若()f x =1()f x a ±+恒成立，则()f x 是以2a 为一个周期的周期函数.简证：在1()()f x f x a =±+中，将x 用x a +来代替，得1()(2)f x a f x a +=±+,联立1()()f x f x a =±+与1()(2)f x a f x a +=±+，消去()f x a +得()(2)f x f x a =+，所以2a 为()f x 的周期.性质5定义在R 上的函数()f x 若满足()()f a x f bx +=,且()()f c x f dx +=，则()f x 是一个周期函数,它的一个周期为|()()|a b c d ++.简证：由()()f a x f b x +=,得()()f x f a b x =+,由()()f c x f d x +=，得()()f x f c d x =+,所以()()f c d x f a b x +=+即()()f x f x a b c d =++,故()f x 是一个周期函数,它的一个周期为|()()|a b c d ++.性质6定义在R 上的函数()f x ，若()f a x ++()2f a x b =恒成立，则()y f x =的图象关于点(,)a b 对称.特别当0b =时，()y f x =的图象关于点(,0)a 对称.当0a b ==时，()y f x =是奇函数，图象2008年第5期福建中学数学17关于点(0,0)对称.简证若()()2f a x f a x b++=,设(,())P m f m为()f x的图象上的任一点，而P关于直线点(,)a b的对称点为(2,2())Q a m b f m，令x a m=，则()()2f a a m f m b++=，故(2)2()f a m b f m=，所以点Q也在()y f x=的图象上，即()y f x=的图象关于点(,)a b对称.推论1定义在R上的函数()f x，若()f a x+= ()f a x且()()2f b x f b x c++=恒成立，则()y f x=为周期函数，4()b a是函数的一个周期.简证：因为()()f a x f a x+=，所以()(2)f x f a x=，①又由()()2f b x f b x c++=，得()(2)2f x f b x c+=，②用2a x代换x，得(2)(22)2f a x f b a x c++=，③由①②③得(2)(22)f b x f b a x=+而[4()][22(22)]f b a x f b a b a x+=++[2(22)](2)()f b b a x f a x f x=+==，所以()y f x=为周期函数，4()b a是函数的一个周期.推论2定义在R上的函数()f x，若()f a x++ ()2f a x c=且()()2f b x f b x c++=恒成立，则()y f x=为周期函数，2()b a是函数的一个周期.简证：由()()2f a x f a x c++=，得()(2)2f x f a x c+=，①又()()2f b x f b x c++=，得()(2)2f x f b x c+=，②由①②得(2)(2)f b x f a x=而[2()][2(2)]f b a x f b a x+=[2(2)]()f a a x f x==，所以()f x为周期函数,2()b a是函数的一个周期.性质7定义在R上的函数()f x，若()(f x f x= )()a f x a++恒成立，则()y f x=是周期函数，且6a是它的一个周期.简证：由()()()f x f x a f x a=++，得()(2)()f x a f x a f x+=++，两式相加得(2)()f x a f x a+=，所以()(3)(6)f x f x a f x a=+=+，故()y f x=是周期函数，且6a是它的一个周期.应用举例例1设函数2()(,,,0)f x ax bx c a b c R a=++∈≠满足：(1)当x R∈时，(4)(2)f x f x=且()f x x≥(2)()f x在R上的最小值为0；(3)当(0,2)x∈时，2()(1)/4f x x≤+，求()f x的表达式.解：由(4)(2)f x f x=知，()f x的图象关于1x=对称，所以/(2)1b a=,即2b a=；①由(2)知1x=时，0y=,即0a b c+=；②由(1)知(1)1f≥，又由(3)知(1)1f≤，所以(1)1f=即1a b c++=.③由①、②、③得1/4,1/2,1/4a b c===，因此2()/4/21/4f x x x=++.例2定义在R上的偶函数()f x，恒有(1)f x+(1)f x=成立，且当[2,3]x∈时，()f x x=，则当[2,0]x∈时，()f x的表达式为()A.4x+ B.2xC.3|1|x+ D.2|1|x++解析：根据题意,()f x是以2为周期的函数..当[2,1]x∈时，4[2,3]x+∈，所以()(4)4f x f x x=+=+；当[0,1]x∈时，2[2,3]x+∈，所以()(2)2f x f x x=+=+；又()f x为偶函数,当[1,0,]x∈时，[0,1]x∈，所以()()2f x f x x==+;故当[2,0,]x∈时，合并得,()3|1|f x x=+,选C.例3设()f x是定义在实数集R上的奇函数，且满足()(2)f x f x a++=，(1)0f=，其中a为常数，试判断方程()0f x=在(3，7)内至少有几个根？解析：根据性质3，4为()f x的周期，于是(5)(1)0,(3)(1)0f f f f====，(4)(0)0f f==.所以1，0，1，3，4，5是方程()0f x=在(3，7)内的6个根;另一方面，在()(4)()f x f x f x=+=中，令4x x+=，得2,(2)0x f==.于是(6)(2)(2)0f f f===，所以2，2，6是方程()0f x=在(3，7)内的3个根.因此方程()0f x=在(3，7)内至少有9个根.例4定义在实数集R上的函数()f x，若()f x= 1/(2)f x+，且当[2,2)x∈时，()f x=/21x+，则当[2,24)x n n∈+时，试求函数()f x的解析式.解析：因为()1/(2)(4)f x f x f x=+=+，所以函数()f x是以4为周期的周期函数.()当为奇数时，()+=+为的倍数18福建中学数学2008年第5期21n2221n n4.当[2,24)x n n ∈+时，22[2,2)x n ∈，所以(22)(22)/21f x n x n =+，于是有()(22)f x f x n =(22)/21/2x n x n =+=.(2)当n 为偶数时，可知2n 、24n +为4的倍数.当[2,22)x n n ∈+时，有2[0,2)x n ∈，于是(2)(2)/21f x n x n =+，从而有2()(2)1122xn x f x f x n n ==+=+；当[22,24)x n n ∈++时，有24[2,0)x n ∈，于是有(24)(24)/21f x n x n =+，所以()(24)f x f x n =(24)/21/21x n x n =+=.综合(1)(2)可得：当n 为奇数时，()/2,[2,24);f x x n x n n =∈+当n 为偶数时，/21,[2,22),()/21,[22,24).x n x n n f x x n x n n +∈+=∈++例5设函数()f x 在(,)∞+∞上满足(2)f x +=(2)f x ,(7)(7)f x f x +=且在闭区间[0,7]上，只有(1)(3)0f f ==.试求方程()0f x =在闭区间[2008,2008]上的根的个数.解:根据题意,由性质5知,函数()f x 为周期函数,它的一个周期为|(2+2)-(7+7)|=10又(1)(3)0f f ==,所以(11)(13)(7)(9)0f f f f ====,故()f x 在[0,10]和[10,0]上均有两个解,从而可知函数()f x 在[0,2008]上有402个解,在[2008,0]上有401个解,所以()f x 在闭区间[2008,2008]上803个解.例6已知()f x 是定义在R 上的函数，若(2)(2)f x f x +=且(3)(3)2f x f x ++=，又函数()f x 在[0，4]上的最小值为2，最大值为9.求()f x 在[2004，2008]区间上的最小值和最大值.解：由(2)(2)f x f x +=且(3)(3)2f x f x ++=知，()y f x =为周期函数，4(32)4=是函数的一个周期，又函数()f x 在[0，4]上的最小值为2，最大值为9.所以()f x 在[2004，2008]区间上也有最小值2和最大值9.例7已知()f x 是定义在R 上的函数，若对任意的x R ∈，有(2007)(2006)(2008)f x f x f x +=+++，且(3)2f =，(5)4f =，则(2008)f =().解：由(2007)(2006)(2008)f x f x f x +=+++，得()(1)(1)f x f x f x =++，故6是它的一个周期，所以(2008)(63344)f f =×+(4)(3)(5)246f f f ==+=+=.参考文献[1]李昭平.破解抽象函数问题“六法”.中学理科,2006,8.[2]王光炎.函数对称性与周期及其应用.中学数学教学，1999,1.怎样把实验带进数学课堂邓云云谭晓琴陕西宝鸡文理学院数学系(721013)通常认为，数学是一门严谨的学科，数学活动只是高度的抽象思维活动．因而，对于数学教学中是否需要实验，还存在一些认识上的偏差．历史表明，数学不只是逻辑推理，还有实验．新型的人才不仅需要传统意义上的逻辑思维能力、几何直观能力和运算能力，而且还需要数学建模能力和数据处理能力，数学实验正是为了综合培养这些能力而设置的[1]．数学学习无论是知识还是能力和方法的掌握都不可忽视实验的作用．“动手实践”是学生学习数学的重要方式之一，“实验操作”使以往的“学数学”变为“做数学”，使学生有兴趣、有信心地学习数学．因此，把实验带进数学课堂引起了现代教育专家的重视，特别是在课标课程背景下，已经成为一种必然趋势．1数学实验的概念中学数学实验是根据具体教学内容的需要，人为地、有目的地、模拟地创设一些有利于观察的数学对象，在典型的实验环境中或特定的实验条件下，经过某种预先的组织、设计，让学生借助一定的物质仪器和技术手段，并在数学思想和数学理论的指2008年第5期福建中学数学19。

第六讲i一、 周期函数（a ）概念：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。

（b ）函数周期性的几个重要结论：2、()()f x a f x b +=+ ⇔)(x f y =的周期为a b T -=3、)()(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2=4、)(1)(x f a x f =+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 5、)(1)(x f a x f -=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 7、 1)(1)(+-=+x f a x f ⇔)(x f y =的周期为a T 2= 6、)(1)(1)(x f x f a x f +-=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 3= 8、)(1)(1)(x f x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 4= 9、)()()2(x f a x f a x f -+=+ ⇔)(x f y =的周期为a T 6=10、若.2, )2()(,0p T p px f px f p =-=>则推论：偶函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 2=推论：奇函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+⇔)(x f y = 周期a T 4=二、函数对称性（一） 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。

数学解题方法（抽象函数）。

抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数，它是中学数学函数部分的难点.因为抽象，学生难以理解，接受困难；因为抽象，教师对教材难以处理，何时讲授，如何讲授，讲授哪些内容，采用什么方式等等，深感茫然无序.其实，大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“背景”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，常可觅得解题思路，本文就上述问题作一些探讨.1. 正比例函数型的抽象函数例1已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>0，f(－1)＝－2求f(x)在区间[－2,1]上的值域.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（注意到f（x2）＝f[（x2－x1）＋x1]＝f（x2－x1）＋f（x1））；再根据区间求其值域.例2已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（x＋y）＋2＝f（x）＋f（y），且当x>0时，f(x)>2，f(3)＝ 5，求不等式 f（a2－2a－2）<3的解.分析：先证明函数f（x）在R上是增函数（仿例1）；再求出f（1）＝3；最后脱去函数符号.2. 幂函数型的抽象函数例3已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当0≤x＜1时，f（x）∈[0，1].（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在[0，＋∞]上的单调性，并给出证明；（3）若a≥0且f（a＋1）≤，求a的取值范围.分析：（1）令y＝－1；（2）利用f（x1）＝f（·x2）＝f（）f（x2）；（3）0≤a≤2.3. 指数函数型的抽象函数例4设函数f（x）的定义域是（－∞，＋∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2）；对任何x和y，f（x＋y）＝f（x）f（y）成立.求：（1） f（0）；（2）对任意值x，判断f（x）值的符号.分析：（1）令y＝0；（2）令y＝x≠0.例5是否存在函数f（x），使下列三个条件：①f（x）>0,x∈N；②f（a＋b）＝ f（a）f（b），a、b∈N；③f（2）＝4.同时成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，说明理由.分析：先猜出f（x）＝2x；再用数学归纳法证明4. 对数函数型的抽象函数例6设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足f（x·y）＝f（x）＋f（y），f（3）＝1，求：（1） f（1）；（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围.分析：（1）利用3＝1×3；（2）利用函数的单调性和已知关系式.例7设函数y＝ f（x）的反函数是y＝g（x）.如果f（ab）＝f（a）＋f（b），那么g（a＋b）＝g（a）·g （b）是否正确，试说明理由.分析：设f（a）＝m，f（b）＝n，则g（m）＝a，g（n）＝b，进而m＋n＝f（a）＋f（b）＝ f（ab）＝f [g（m）g（n）]….5. 三角函数型的抽象函数例8已知函数f（x）的定义域关于原点对称，且满足以下三个条件：① x1、x2是定义域中的数时，有f（x1－x2）＝；② f（a）＝－1（a＞0，a是定义域中的一个数）；③当0＜x＜2a时，f（x）＜0. 试问：（1） f（x）的奇偶性如何？说明理由；（2）在（0，4a）上，f（x）的单调性如何？说明理由. 分析：（1）利用f [－（x1－x2）]＝－f [（x1－x2）]，判定f（x）是奇函数；（3）先证明f（x）在（0，2a）上是增函数，再证明其在（2a，4a）上也是增函数. 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题.例9已知函数f（x）（x≠0）满足f（xy）＝f（x）＋f（y），（1）求证：f（1）＝f（－1）＝0；（2）求证：f（x）为偶函数；（3）若f（x）在（0，＋∞）上是增函数，解不等式f（x）＋f（x－）≤0.分析：函数模型为：f（x）＝loga|x|（a＞0）（1）先令x＝y＝1，再令x＝y＝－1；（2）令y＝－1；（3）由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（|x|）. 例10已知函数f（x）对一切实数x、y满足f（0）≠0，f（x＋y）＝f（x）·f（y），且当x＜0时，f（x）＞1，求证：（1）当x＞0时，0＜f（x）＜1；（2） f（x）在x ∈R上是减函数.分析：（1）先令x＝y＝0得f（0）＝1，再令y＝－x；（3）受指数函数单调性的启发：由f（x＋y）＝f（x）f（y）可得f（x－y）＝，进而由x1＜x2，有＝f（x1－x2）＞1.高一数学抽象函数的经典题定义域（0，+∞）上的增函数f（x）满足：f（x/y）=f(x)-f(y)，（1）求证：f(x^n)=nf(x)（2）求证：f(xy)=f(x)+f(y)分析：做这题的时候，先要证明（2）再证（1）（2）证明：因为y∈(0,+∞)所以1/y∈(0,+∞)f(xy)-f(y)=f(x/(1/y))-f(y)因为f（x/y）=f(x)-f(y)所以f(x/(1/y))-f(y)=f{[x/(1/y)]/y}=f(x)也就是f(xy)-f(y)=f(x)所以 f(xy)=f(x)+f(y) (证毕)（1）证明：由上述证明结论可知,f(xy)=f(x)+f(y)则f(x^2)=f(x*x)=f(x)+f(x)=2f(x)f(x^3)=f(x^2*x)=f(x^2)+f(x)=2f(x)+f(x)=3f(x)f(x^4)=f(x^3*x)=f(x^3)+f(x)=3f(x)+f(x)=4f(x)…….同理可求得f[(x^(n-1)]=f[x^(x-2)*x]=f[x^(x-2)]+f(x)=(n-2)f(x)+f(x)=(n-1)f(x)f(x^n)=f[x^(n-1)*x]=f[x^(x-1)]+f(x)=(n-1)f(x)+f(x)=nf(x)综上所述得：f(x^n)=nf(x) (证毕)希望对你有帮助补充：（1）证明时，第一步应包括n=1的情况，即则f(x^1)=1*f(x)f(x^2)=f(x*x)=f(x)+f(x)=2f(x)f(x^3)=f(x^2*x)=f(x^2)+f(x)=2f(x)+f(x)=3f(x)以下同，另结论时补上：对于n∈N+时，f(x^n)=nf(x) 恒成立，对于n∈N-的情况，有兴趣的可以讨论一下高一函数解题思路，首先把握定义和题目的叙述2，记住一次函数与坐标轴的交点坐标，必须很熟3，掌握问题的叙述，通法通则是连立方程（当然是有交点的情况）如果你是中学生的话，就参考一下我的回答吧。