矩阵的奇异值分解在信号处理中的应用
摘要
机械工程上无论在设计、制造、运行、试验、测试等过程中，经常要处理许多变量和变量之间的关系，这些变量间常存在着线性关系，某些不是线性变量的也可以通过最小二乘法等进行拟合。对于现目前所选择的方向，接触最多的就是对外界信号的测量，当通过传感器接收到信号之后，进行FFT变换。但是还是会有一些频率相近的信号会被丢失，需要一种方法将信号在时域和频域进行分段，对需要进行分析的频率段进行有效分析。这就是基于矩阵的奇异值分解信号的方法。
关键词：微型直流电机，信号处理，奇异值分解
1 前言
微型直流电机的参数包括转速，换向频率等。通过电刷的换向可以检测到一定时间内电机两端的电压出现脉冲尖峰个数，从而得到电机的换向频率[1]。但是由于电机的运转，必然存在一些振动，造成需要的信息信号失真。引起振动的原因很多，例如可能是同轴度不高，造成电机轴的转动不平衡，也可能是实验平台的水平度不够。经典的频谱分析方法对这一问题的解决效果并不是很好，提出采用奇异值分解的方法对信号进行分析[2]。
将奇异值分解应用于信号处理的关键是如何利用信号序列构造出合适的矩阵，即如何确定矩阵的行数m和列数n，这对奇异值分解的分析效果有很大影响。奇异值的大小决定着相应分量信号的信息量，因此综合考虑所有奇异值的信息来确定矩阵结构。
其次奇异值分解分离的各分量信号是两两正交的，而且还是一种零相位分离方法，没有相位失真;同时综合考察所有奇异值的信息来确定矩阵的合理结构。在此基础上，可以比传统的FFT分析更加精确，甚至优于小波基的频谱分析。
2 基于奇异值分解的信号分离原理
奇异值分解是指:对于一个实矩阵m n A R
⨯∈必定存在正交矩阵12[,....]m m
m U u u u R ⨯=∈和正交矩阵12[,....]n n n V v v v R ⨯=∈，使得
T A U S V = (1) 其中12[(...),]p S diag σσσ=O 或者其转置，这取决于m
将奇异值分解应用于信号处理的关键是如何利用信号序列构造出合适的矩阵A ，矩阵构造一般是通过对信号采用连续截断的方式来构造矩阵，其具体构造过程为:对于一个信号序列[(1),(2)...()]X x x x N =，取两个正整数m 和n 。对此序列按每次n 个点连续截取m 段，构造一个m 行n 列的矩阵A 如下:
式中2,2m n ≥≥，且i n t (/)n N m =，N 为采样的点数，一般是1024或者2048等2的幂次方。
仅利用式(1)还不能实现信号的分离，可将其改写成用列矢量i u 和i v ，表示的形式
111222333....T
T T T p p p A u v u v u v u v σσσσ=++++ (2)
式中，1m i u R ⨯∈，1n i v R ⨯∈ i=1,2,3,4…p 由奇异值分解理论可知i u 之间是两两正交的，
i v 之间也是两两正交的。令T i i i i A u v σ∈，则有m n i A R ⨯∈。如果将i A 的各行首尾相接，则可以构成一个信号i S ，它就是从原信号中分离出的一个分量，而所有i A 构成的分量就形成了对原始信号X 的一个分解。
设i A 用行矢量,1i S ,2i S ,3i S …,i k S …,i m S 表示，1,n i k S R ⨯∈。而A 用行矢量1X 2X 3X …k X …p X 表示，11n X R ⨯∈。则根据式(2)可得
1,2,,...k k k p k X S S S =++ k=1,2,3…m (3)
由于原始信号X 是由1X 2X 3X …k X …m X 首尾相接而成，可用矢量形式表示X =（1X ，2X ，3X ，…，m X ），而分量信号i S 由,1i S ,2i S ,3i S …,i k S …,i m S 首尾相接而成，也可用矢
量形式S =（,1i S ，,2i S ，…，…,i m S ）表示，则所有分量信号的和可写为
123...p S S S S ++++= (1,1S +2,1S +3,1S +…+,1p S ,1,2S +2,2S +3,2S +…+,2p S ,…, 1,m S +2,m S +3,m S +…+,p m S )
而根据式(3)，上式的右边可改写为
123...p S S S S ++++ =（1X ，2X ，3X ，…，m X ）=X (4)
(1)()((1)1)()x x n A x m n x mn ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-+⎝⎭
由式(4)可见，利用奇异值分解方法可以将原始信号表示成多个分量信号i S 的简单线性叠加，这种简单线性叠加关系的优点是:一个分量从原信号中被分离的过程就是从原信号中被简单地减去，这种减法运将使得分离出来的各分量信号将保持它们在原信号中的相位不变，即具有零相位偏移特性，不存在相位失真。
3 奇异值分解方法中矩阵结构的确定
在证明了基于连续截断信号构造矩阵的奇异值分解分离算法具有零相位偏移和正交性之后，另一个重要问题就是如何确定矩阵行列m 和n ，这是决定信号分离效果的另一个关键因素。在满足m ≥2, n ≥2的条件下，当数据长度N 较大时，m 和n 的取法相当多，m 和n 的取值不同，则信号的奇异值分解分离效果也有很大区别，因此如何选择m 和n 是一个关键问题。
利用奇异值分解算法分离出来的各个分量信号i S ，其包含的信息量是彼此不同的，具体由相应奇异值i σ 的大小决定，i σ越小，则相应i S 的信息量也越小，可以用下式来综合衡量各1{}i p i S =分量的信息量
1,2,3....i p = （5）
信息量过小的分量信号实际上是没有多少意义的，根据这一结论就可以确定矩阵合理的行列:取一系列不同的行数m 构造矩阵，利用相应矩阵的奇异值根据式(5)计算各分量信号的信息量，并观察它们的变化趋势，如果不论m 取何值，从某一信息i η 开始的后续信息量都趋向于零，则表明因矩阵行数大于i 而产生的第i 个分量之后的其他分量并没有多少意义，此时可确定矩阵行数为:m=i ，而列数则为: int(/)n N m = 。
4 实验数据
当取m=4，采样点数=2048。通过奇异值分解信号的方法就可以将一个原始信号在时域上线性分离成4等份，每等份有512个点。具体实验结果如下：
123....i i p
σησσσσ=++++
图4.1 原始信号
图4.2 S1段信号
图4.3 S2段信号
图4.4 S3段信号
图4.5 S4段信号
通过数据可以看出经过奇异值分解后的信号，可以看到相当对于原始信号更多的信息量，特别是对于微型电机振动的来源可以给出给出一个更为直观的高频发生段以及其幅值的大小。
5 总结
通过信号连续截断方式构造矩阵，利用奇异值分解方法可将此信号分解为一系列分
量信号的简单线性叠加，这些分量之间两两正交，并且具有零相位偏移特性。另外根据分量信号的信息量可以确定合理的矩阵结构，无需计算和分析各分量信号，而仅利用奇异值进行判断，大大减少了计算量和分析工作，并且能够很好的将信号中频率叠加的地方分离出来。
通过对工程数学—矩阵论的学习，让我终于明白了为什么数学是工程的基础。往往在关键的地方，数学是一把用于突破的利刀。可以通过数学理论的方法，寻找更加适合工程问题的解决办法。
参考文献
[1]陈忠祥.基于稳态电流信号频谱分析的微型直流电机检测系统设计[D].厦门：厦门大学.2014.04
[2]段向阳.王永生.苏永生. 基于奇异值分解的信号特征提取方法研究[J]. 振动与冲击. 2009-11-25
[3］程云鹏.张凯院.徐仲.矩阵论［M］.西安：西北工业大学出版社，1989.15-28。[4］封建湖.数值分析原理［M］.北京：北京科学出版社，1992.2-12。
[5］熊全淹.叶明训.线性代数（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，1987.108-110。[6］吴雄华.陈承东，钱仲范.矩阵论［M］.上海：同济大学出版社，1994.82-85
“矩阵论”课程研究报告 科目：矩阵理论及其应用教师：曾理 姓名：ss 学号：20150xxxxxxx 专业：机械工程类别：学术 上课时间：2015 年9 月至2015 年12 月考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师(签名)
平面四杆机构运动分析 摘要： 采用计算机研究机械结构已成为现代机械设计分析的新方法。本文采用矩阵法研究了平面四杆机构的运动情况，通过MATLAB 计算并输出计算结果及图表，对结果进行分析，得出机构的运行情况。 关键词：矩阵法，平面四杆机构，MATLAB 一、问题描述 机构运动分析的任务是在已知结构尺寸及原动件运动规律的情况下，确定机构中其他构件上某些点的轨迹、位移、速度及加速度和构件的角位移、角速度及角加速度。上述这些内容，无论是设计新的机械，还是为了了解新得机械的运动性能，都是十分必要的，而且它还是研究机械动力性能的必要条件。 本文研究如下图2.1所示的四杆机构，其各构件的长度和原动件杆AB 的运动规律已知，即1θ为已知，而杆DA 固定，故4=0θ，故可求得两个未知方位角2θ及3θ。同时给定1ω可求得在任一1θ下的杆BC 和杆CD 的角速度和角加速度。 二、方法简述 机构运动分析的方法很多，主要有图解法和解析法。采用解析法并借助计算机，不仅可获得很高的计算精度及一系列位置的分析结果，并能绘出机构相应的运动线图，同时还可把机构分析和机构综合问题联系起来，以便机构优化设计。本文采取的矩阵法分析机构运动是一种利于计算机处理的方法，已成为现代机械机构分析的主要方法。 首先需列出机构的封闭矢量方程，如图2.1所示，先建立直角坐标系。
图2.1 机构封闭矢量图 设杆AB 的长度为1l ，其方位角为1θ，1l 为杆AB 的矢量，即1l =AB 。机构中其 余构件均可表示为相应的矢量，这样就形成由各矢量组成的的一个封闭矢量多边形，即ABCDA 。在这个封闭矢量多边形中，有 12430+--=l l l l （2.1） （1）位置分析 将机构的封闭矢量方程向两坐标轴投影，得如下形式： 2233411223311cos cos cos sin sin sin l l l l l l l θθθθθθ-=-? ?-=-? （2.2） 这个方程组为非线性二元方程组，代入已知量1θ，解此方程可得方位角3θ、2θ。 （2）速度分析 将式2.2对时间取一次导数，可得 222333111222333111sin sin sin cos cos cos l l l l l l ωθωθωθωθωθωθ-+=? ?-=-? （2.3） 写成矩阵形式为 22 3321112233311 1sin sin sin cos cos cos l l l l l l θθωωθθ θωωθ-?????? =??????--?????? 通过上式可得 1 2223311132 23311 1sin sin sin cos cos cos l l l l l l ωθθωθωθ θωθ--?????? =??????--?????? （2.4） （3）加速度分析
旋转矩阵在机器人运动学中的应用 摘要： 旋转矩阵是机器人学的重要的数学工具，在机器人运动学中应用甚广，非常适合机器人的机构描述与运动学分析。在介绍有关性质的基础上，本文还给出了部分算例，可为机器人学科的教学与科研提供有一的支持。 关键词：旋转矩阵机器人运动学 引言： 机器人机构的运动学和动力学分析涉及到各个关节的空间位置和姿态以及关节之间的空间关系。矩阵的旋转变换不仅仅应用到机器人上，还涉及到了很多领域，比如彩票，再次不对此进行深入分析。 正文： 首先介绍下机器人坐标系统，刚体运动是指物体上任意亮点之间距离保持不变的运动，机器人运动学、动力学及其控制，实质上就是研究刚体运动的问题。其次介绍下几个概念： 位置和姿态：要全面的确定一个刚体在三位空间的状态就需要有三个位置的自由度和三个姿态自由度。刚体姿态的描述可以是用：横滚、俯仰和侧摆来实现，我们将物体的六个自由度的状态成为物体的位姿。 刚体运动的坐标表示：早在19世纪初期，Chasles已经证明：刚体从一位置到另一位置的运动可通过绕某一直线的转动加上沿平行于该直线的移动得到。在基坐标系B和手坐标系H的原点补充和，且姿态也不同的情况下r0,r,rp,R的含义如下图：：
规定一个过度坐标系C，使C的坐标原点与H系重合，而C的姿态和B保持一致。可得到rp=ro+rc=r0+Rr. 齐次坐标变换：在此我们不再介绍齐次坐标的由来，由齐次坐标得到的上面r到rp的变换的表达式为： T矩阵为齐次变换矩阵，建成齐次矩阵。齐次矩阵T是个4x4的矩阵，一般的能够用来表示平移、旋转、伸缩的变换。可以把T的4部分表示为： 其中R3x3是表示两坐标系间的旋转关系的旋转矩阵，f1x3矩阵表示沿3根坐标轴的透视变换，f3x1=[a b c]的转置，表示两坐标系间的平移，右下角的演艺元素矩阵k1x1为使物体产生总体变换的比例因子，在机器人运动学中，透视变换值总是取零，而比例因子则总是取1，征缴变换都是线性变换，故其次变换是用其次平移变换也可以解释为两个向量之和。 坐标表示的现行变换。 矩阵的平移变换： 旋转矩阵的一些性质如下：两个向量的点积在它们都被一个旋转矩阵操作之后保持不变: 从而得出旋转矩阵的逆矩阵是它的转置矩阵: 这里的是单位矩阵。一个矩阵是旋转矩阵，当且仅当它是正交矩阵并且它的行列式是单位一。正交矩阵的行列式是±1；如果行列式是?1，则它包含了一个反射而不是真旋转矩阵。旋转矩阵是正交矩阵，如果它的列向量形成的一个正交基，就是说在任何两个
矩阵论及其在随机过程中的应用 摘要：本文主要从三方面探讨矩阵论这门课程，水文学研究的一个重要方面即是对水文序列的过程进行模拟。结合自身所学，本篇文章首先分析了矩阵论教学需要改正之处，再者阐述了矩阵论在随机过程、科学研究中的应用情况，最后结合实际展望了矩阵论的发展前景。 关键字：矩阵论随机过程矩阵函数矩阵分解 矩阵的早期发展，除了矩阵理论在内容上的发展，即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念，以及随之引起的相似、对角化和标准型的矩阵分类以外，还有矩阵发展中更深刻的一面，即西尔维斯特、凯莱等人在行列式和矩阵理论上的发展及思想，这为代数不变量理论的创立奠定了理论基础。 1矩阵论课程教学存在的问题 矩阵论是一门发展完善、理论严谨、方法独特的理论基础课程，它对培养学生的逻辑能力、推理能力具有重要作用，但它又能广泛应用于各个领域。现行矩阵论教材基本上是理科数学教材的缩写，过分强调严格的理论证明、抽象思维能力的培养，而实际应用介绍偏少，使学生没有应用意识；忽视与计算机有关的数值计算方面的训练。这些问题的存在，不仅影响了学生学习数学的积极性，使学生缺少对数学实质性的理解，同时影响了后续课程的学习，专业课教师常常感到学生的数学基础不够扎实，联系实际问题的能力欠缺，一些学生在做学位论文时，不会灵活运用学过的理论知识解决问题，因而不利于高素质创新型人才的培养，所有这些都反映了教学改革的迫切性。 2矩阵理论在随机过程和科学研究中的应用概况 矩阵理论主要内容包括线性空间、线性变换、范数理论；矩阵分析；矩阵分解；广义逆矩阵；特征值的估计以及广义特征值等。用矩阵的理论和方法来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍。在随机过程的模拟中引进矩阵理论不仅使模拟过程的表达极为简捷，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是毋庸置疑的。计算机和计算方法的普及发展，不仅为矩阵理论的应用开辟了关阔的前景，也使随机过程的研究发生了新的变化，开拓了崭新的研究途径。因此矩阵的理论与方法已经成为随机过程计算的数学基础。 2.1矩阵函数
研究生矩阵论 矩阵论是数学中的一个重要分支，它研究的对象是矩阵及其性质。研究生在学习矩阵论时，需要深入理解矩阵的基本概念和性质，并掌握一些重要的定理和推论。本文将介绍研究生矩阵论的一些重要内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵论知识。 矩阵是由数个数按照一定的规律排列成的矩形数组。矩阵的行和列分别代表其维度。在矩阵论中，我们通常用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。矩阵中的每个元素用小写字母表示，如a、b、c等。矩阵的运算包括加法、减法、数乘和矩阵乘法等。这些运算满足一定的性质，如结合律、分配律等。 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。转置矩阵的性质有：(A^T)^T = A，(A + B)^T = A^T + B^T，(kA)^T = kA^T，其中A、B是矩阵，k是数。 矩阵的逆是指对于一个可逆方阵A，存在一个方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵。如果一个矩阵没有逆矩阵，我们称其为奇异矩阵。逆矩阵的性质有：(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T，(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}，(kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}，其中A、B是可逆矩阵，k是非零数。 矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）的最大个数。矩阵的秩具有一些
重要的性质：如果矩阵A的秩为r，则A的任意r阶子式不等于0，而r+1阶子式等于0。 矩阵的特征值和特征向量是矩阵论中的重要概念。对于一个方阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax = \lambda x，其中\lambda是一个数，那么\lambda称为A的特征值，x称为对应于特征值\lambda的特征向量。特征值和特征向量具有一些重要的性质：矩阵A和其转置矩阵A^T具有相同的特征值；A的特征值之和等于A 的迹，即矩阵A的所有特征值之和等于A的主对角线上元素之和。 矩阵的相似性是矩阵论中的一个重要概念。对于两个方阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = B，那么我们称A和B 是相似的。相似矩阵具有一些重要的性质：相似矩阵具有相同的特征值；相似矩阵具有相同的秩。 矩阵论在实际应用中有着广泛的应用。在物理学、工程学、计算机科学等领域，矩阵论被广泛应用于建模和求解问题。例如，线性方程组可以用矩阵的形式表示，矩阵论提供了求解线性方程组的方法。此外，矩阵论还在图论、最优化等领域中有着重要的应用。 矩阵论是研究生数学中的重要内容之一。通过研究和掌握矩阵论的基本概念、性质和应用，研究生可以在数学和其他学科中有更深入的理解和应用。希望本文对研究生矩阵论的学习有所帮助。
矩阵论 1、意义 随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容 《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异： 线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容． 矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富． 3、方法 在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同： 线性代数：引入概念直观，着重计算． 矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将
来正确处理实际问题有很大的作用． 第1讲 线性空间 内容： 1.线性空间的概念； 2.基变换和坐标变换； 3.子空间和维数定理； 4.线性空间的同构 线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象． §1 线性空间的概念 1. 群，环，域 代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数． 代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算． 代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统． 1.1群 定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群． 1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα； 2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；
浅谈正交矩阵与酉矩阵 矩阵是数学中重要的基本概念,是高等代数的重要研究对象之一,也是数学与其它领域研究与应用的一个重要工具.矩阵是线性代数中的核心内容 ,而正交矩阵是一种较常用的矩阵 ,正交矩阵在矩阵论中占有重要地位，有着广泛的应用.对其本身的研究来说是富有创造性的领域.正交矩阵不仅在线性代数中，而且在理工各学科领域的数学方法中，如优化理论、计算方法、信息分析中都有着举足轻重的位置。对矩阵性质的概括、改进和推广，以及对正交矩阵在数值分析中、矩阵分解中和对方程求解、数理统计中的应用的研究，对矩阵的理论研究有重要意义。本文列举了正交矩阵与酉矩阵的一些常见的性质与定理，并对其应用进行了一些列举。 首先认识什么是正交矩阵，什么是酉矩阵。 酉矩阵的定义：n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基，则U 是酉矩阵(Unitary Matrix)。即若n 阶复矩阵A 满足条件：E A A AA H H ==(E 为单位矩阵，H A 表示“矩阵A 的共轭转置矩阵，即T H A A =”)，则此时矩阵A 称为酉矩阵。此时，容易验证，当矩阵 A 、 B 为酉矩阵时，则有如下的结论成立： （1）H A A = -1也为酉矩阵 （2）1det =A （3）n n T U A ?∈,即T A 为酉矩阵 （4）AB,BA 也均为酉矩阵 正交矩阵的定义：正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵。如果实数矩
阵A 满足E A A AA T T ==（E 为单位矩阵，T A 表示“矩阵A 的转置矩阵”），则n 阶实矩阵 A 称为正交矩阵。此时，容易验证，当A 、B 为正交矩阵时，则有如下结论成立： （1）n n T E A A ?-∈= 1，即1-A 、T A 均为正交矩阵 （2）1det ±=A （3）AB,BA 也均为正交矩阵 正交变换的定义：设A 是欧氏空间V 的一个线性变换,若A 保持向量的内积不变，即对于任意的α，β∈V 都有(A α，A β) = (α，β)，则称A 为V 的正交变换。正交变换关于标准正交基的矩阵为正交矩阵。正交矩阵蕴涵了正交变换。 正交基的定义：在线性代数中，一个内积空间的正交基（orthogonal basis ）是元素两两正交的基.称基中的元素为基向量.假若，一个正交基的基向量的模长都是单位长度1，则称这正交基为标准正交基。 对于酉矩阵来说，有如下定理： 设n n C A ?∈，则A 是酉矩阵（正交矩阵）的充要条件是A 的n 个列（或行）向量是标准正交向量组，以及标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵。 此外，也有以下几个结论成立： （1）),2,1,(,0,111n j i j i j i a a a a kj n k ki jk n k ik ，当当?=???≠===∑∑ == （2）设A ，B 都是正交矩阵，则AB ，m A (m 为自然数),A T B ，AB T ，A -1B ，AB -1，A -1BA 等都是正交矩阵。 （3）设A ，B 为正交矩阵，且|A|=-|B|，则A+B 必不可逆；设为A ，
“矩阵理论及其应用”课程研究报告 科目：矩阵理论及其应用教师：蒋卫生 姓名：学号: 专业：机械设计及理论类别：学术 上课时间：2013 年10 月至2013 年12 月 考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师(签名)
连续梁单元振动特性分析 摘要：由于运用振动的基础理论知识来研究生产实际中的运动构件的动力学问题会遇到许多困难，故对实际的机器或零件进行动力学分析时常采用离散的方法，把它们划分成许多形状简单的单元体以进行动力学分析，然后再组合成整体的机器或零件进行研究分析。本文采用矩阵相似变换以及Jordan标准型的相关知识，介绍了集中质量模型下连续梁单元的横向振动特性。在连续梁单元运动微分方程的基础上建立了动态刚度矩阵，该矩阵不仅能简化计算模型，而且还能获得较高精度的高阶固有频率。在给定力和位移边界条件下，得出了考虑转动惯量和剪切变形影响的空间连续梁单元的运动方程和动态传递方程。由此得出梁的横向振动特性。 关键词：连续梁单元，传递矩阵，横向振动 一、引言 20世纪60年代，随着计算机技术的进步，航空航天技术和综合自动化的发展需要，对于梁单元的振动特性分析也越来越重要。有限元法和边界元法是分析结构动态响应的常用方法. 但是, 对于中高频率响应的计算, 有限元需要将结构划分至很细的单元, 网格的大小也有约束. 对于频率很高的动态分析, 特征值计算会变得很困难。连续单元法在声学频率范围内得到了应用. 近年来, 有一些学者也作了这方面的研究[ 1, 2] . 对于简单的结构, 连续单元法能够得到它的精确解, 且不局限在低频阶段. 特征函数表示成可以描叙无穷多个模态的指数函数的组合, 它是通过定义位移-力关系的矩阵，矩阵相似变换以及Jordan标准型来求解. 本文推导了对于一维结构的连续单元法的一般格式,得出了考虑转动惯量和剪切变形影响的空间连续梁单元的运动方程和动态传递方程，而且所求的特征值是无限的得到了较好的结果。 二、预备知识 1.相似形理论 设A、B均为n阶方阵，若存在n级可逆矩阵C，使-1 C AC B ,称A与B相似,记A B 定理：n维线性空间V上的线性变换在不同的基下的矩阵表示是相似的；反过来，
矩阵的奇异值分解在信号处理中的应用 摘要 机械工程上无论在设计、制造、运行、试验、测试等过程中，经常要处理许多变量和变量之间的关系，这些变量间常存在着线性关系，某些不是线性变量的也可以通过最小二乘法等进行拟合。对于现目前所选择的方向，接触最多的就是对外界信号的测量，当通过传感器接收到信号之后，进行FFT变换。但是还是会有一些频率相近的信号会被丢失，需要一种方法将信号在时域和频域进行分段，对需要进行分析的频率段进行有效分析。这就是基于矩阵的奇异值分解信号的方法。 关键词：微型直流电机，信号处理，奇异值分解 1 前言 微型直流电机的参数包括转速，换向频率等。通过电刷的换向可以检测到一定时间内电机两端的电压出现脉冲尖峰个数，从而得到电机的换向频率[1]。但是由于电机的运转，必然存在一些振动，造成需要的信息信号失真。引起振动的原因很多，例如可能是同轴度不高，造成电机轴的转动不平衡，也可能是实验平台的水平度不够。经典的频谱分析方法对这一问题的解决效果并不是很好，提出采用奇异值分解的方法对信号进行分析[2]。 将奇异值分解应用于信号处理的关键是如何利用信号序列构造出合适的矩阵，即如何确定矩阵的行数m和列数n，这对奇异值分解的分析效果有很大影响。奇异值的大小决定着相应分量信号的信息量，因此综合考虑所有奇异值的信息来确定矩阵结构。 其次奇异值分解分离的各分量信号是两两正交的，而且还是一种零相位分离方法，没有相位失真;同时综合考察所有奇异值的信息来确定矩阵的合理结构。在此基础上，可以比传统的FFT分析更加精确，甚至优于小波基的频谱分析。
2 基于奇异值分解的信号分离原理 奇异值分解是指:对于一个实矩阵m n A R ⨯∈必定存在正交矩阵12[,....]m m m U u u u R ⨯=∈和正交矩阵12[,....]n n n V v v v R ⨯=∈，使得 T A U S V = (1) 其中12[(...),]p S diag σσσ=O 或者其转置，这取决于m
研究生数学研究：线性代数与矩阵论 导论 研究生阶段是对数学学科的深入研究和专业发展的重要时期。在数学领域中，线性代数与矩阵论是一门基础而广泛应用的学科，被广泛用于解决各种实际问题以及其他数学领域的研究中。 什么是线性代数与矩阵论？ 线性代数与矩阵论是研究向量空间和线性变换的数学学科。它研究线性方程组以及线性方程组在向量空间中的几何解释。同时，矩阵论是线性代数的一个重要分支，它主要关注矩阵的代数性质和运算。 线性代数的基础概念 在学习线性代数之前，我们首先需要了解一些基础概念。首先，线性代数是研究向量空间的学科，而向量是具有大小和方向的量。在二维空间中，向量可以用一个二维坐标表示。在三维空间中，向量可以用一个三维坐标表示。此外，线性代数还涉及向量的加法和乘法运算，以及向量之间的点积和叉积等运算。向量空间 向量空间是线性代数的核心概念之一。一个向量空间是具有一组基础向量的集合，它包含了所有由这些基础向量线性组合而成的向量。线性代数通过研究向量空间的性质和结构来解决线性方程组和线性变换等问题。
线性方程组 线性方程组是线性代数中的重要问题之一。一个线性方程组由一组线性方程组成，其中未知量的系数是实数或复数。解线性方程组的问题可以转化为在对应的向量空间中寻找特定的向量或空间。 线性方程组的求解方法 解线性方程组的方法有很多种，包括高斯消元法、矩阵法和向量法等。其中，高斯消元法是一种非常常用和基础的方法，它通过进行一系列的行变换将线性方程组转化为简化的行阶梯形式，从而求解方程组的解。 线性变换 线性变换是线性代数中的重要概念之一。一个线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的映射，它保持向量空间的线性性质。线性变换可以用矩阵表示，其中矩阵的每一列对应于向量空间中的一个基向量。 线性变换的应用 线性变换在实际问题中有广泛的应用。例如，线性变换可以用于图像处理和计算机图形学中的空间变换，也可以用于信号处理和通信系统中的数据编码和解码，还可以用于机器学习和统计学中的数据分析和模型建立等。 矩阵论的基础概念 矩阵论是研究矩阵的代数性质和运算的数学学科。在学习矩阵论之前，我们需要了解一些基础概念。首先，矩阵是一个由数值排列成的矩形阵列。一个矩阵
研究生课程论文 西尔维斯特及其矩阵理论 课程名称矩阵论 姓名郭辉 学号1000203040 专业检测技术与自动化装置 任课教师刘强 开课时间2009.09——2010.01 教师评阅意见： 论文成绩评阅日期 课程论文提交时间：10年 3 月 4 日
西尔维斯特及其矩阵理论 摘要矩阵是伴随着其他理论的研究而产生的，众多数学家为其早期的发展做了大量的工作。在此基础上，西尔维斯特创用了矩阵一词，引进了与矩阵有关的一些基本概念，给出了矩阵的一些重要结论和著名定理，为矩阵理论的发展做出了重要贡献。 关键词矩阵的早期发展西尔维斯特矩阵名词矩阵理论 矩阵思想的萌芽由来已久，早在公元前一世纪，我国最重要的数学经典著作《九章算术》已能够相当成熟地运用矩阵形式解方程组，魏晋时期的数学家刘徽又在《九章算术注》中进一步完善，给出了完整的演算程序[1]。但那时矩阵概念仅是用来作为线性方程组系数的排列形式解决实际问题，并没有建立独立完善的矩阵理论。从18世纪早期到19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛。在逻辑上，矩阵的概念先于行列式的概念，而在历史上次序正相反[2]，因此在矩阵引进的时候它的许多基本性质就已经非常清楚了。行列式以及代数型的发展为矩阵理论进一步的发展提供了条件。在矩阵发展的早期，矩形阵列本身并没有引起单独的注意但是，19世纪数学家们在其他数学领域的研究工作导致了矩形阵列更加形式的计算，促进了矩阵理论的诞生。西尔维斯特在矩阵理论方面的贡献，不仅体现在对矩阵理论内容上的发展，即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念，以及随之引起的相似、对角化和标准型的矩阵分类等等，还有其更深刻的地方:一方面他的工作使得当时比较零散的矩阵知识趋于系统化、理论化，为凯莱创立矩阵理论提供了有利条件；另一方面，西尔维斯特的行列式和矩阵的思想，为代数不变量理论的创立奠定了重要基础。 1.矩阵的早期发展 矩阵的早期发展是伴随其他理论的研究而产生的。截至西尔维斯特和凯莱的时代，数学家们已经在矩阵领域做出了许多重要工作，但仍没有给出矩阵的确切定义，更没有将矩阵理论系统化。矩阵早期的一些重要概念及思想，是在矩阵理论本身产生之前从不同领域及思想的研究发展而来，并最终包含在矩阵理论之中。 1.1 二次型理论研究中孕育的矩阵思想 18世纪，二次型的系统研究即已开始，它源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。从18世纪末到19世纪初，数学家们是用二次型的形式来表示矩阵的阵列形式的，矩阵理论的发展及思想的形成渗透在二次型理论之中。1773年，法国数学家拉格朗日在讨论齐次多项式时引入了线性变换1801年高斯在《算术研究》中，系统地推广了瑞士数学家欧拉与拉格朗日的二次型理论，其中给出了两个线性变换的复合，该复合的新变换的系数矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积。 1.2微分方程研究中孕育的矩阵思想[4] 18世纪，物理问题促进了微分方程的研究，使之成为一门独立的学科。到18世纪中期，微分方程的求解成为微分方程课题的主要研究目标。18世纪中叶，达朗贝尔在研究二阶微分方程组时引入了矩阵的特征值和特征向量。1815年，法国数学家柯西在研究微分方程问题时证明所有对角矩阵的特征向量(至少在不等的情况下)都是实的，从而得出矩阵可以通过正交变换而对角化的推论，并于1829—1830年间证明实对称矩阵的特征根是实数，这孕育了对称矩阵、特征方程、正交变换等基本的矩阵概念。1854年，约当指出:如果特征方程错误！未找到引用源。所有的根不同，线性变换下的矩阵可取对角阵，对角线的元素就是特征值，同时他研究了矩阵化为标准型的问题 1.3行列式计算中孕育的矩阵思想 矩阵和行列式作为工具，都是伴随线性方程组的求解而产生的。行列式的研究开始于
西安理工大学 研究生课程论文报告 课程名称：矩阵论 课程代号： 任课教师： 论文报告题目：矩阵函数在线性定常系统 状态转移矩阵求解中的应用完成日期：2015 年10 月25 日学科：电力电子与电力传动 学号： 姓名： 成绩：
矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵 求解中的应用 摘 要 控制系统的运动是系统性能定量分析的重要内容。“运动”是物理学上的一个概念，它是通过求系统方程的解)(t x 、)(t y 来分析研究的。由于状态方程是矩阵微分（差分）方程，输出方程式为矩阵代数方程，因此求系统方程的解主要是求状态方程的解。而求状态方程的解的关键是求状态转移矩阵。本文主要介绍了矩阵对角化标准型，约当标准型，凯莱-哈密顿定理及矩阵函数知识在线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵求解中的应用。 关键词：状态转移矩阵，约当标准型，凯莱-哈密顿定理，矩阵函数. 1.问题提出 线性系统有线性定常系统和线性时变系统，最为基本的是线性定常系统。而线性定常系统根据有无初始输入，分为线性定常齐次方程，和线性定常非齐次方程。本文只给出线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵的求解。 线性定常系统齐次方程的解亦即系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。 线性定常系统齐次状态方程为 ()()t Ax t x = ()1-1 其中，x 是n 维状态向量；A 为n n ⨯系数矩阵。设初始时刻00=t ，系统的初始状态()()00x t x =。仿照标量微分方程求解的方法求方程()1-1的解。 设方程()1-1的解为t 的向量幂级数形式，即 )(t x = ++++++k k t b t b t b t b b 332210 ()2-1 式中，() ,2,1,0=i b i 为n 维向量。 式()2-1代入方程()1-1得 () +++++=+++++-k k k k t b t b t b b b A t kb t b t b b 3322101232132 ()3-1 既然式()2-1是方程()1-1的解，则式()3-1对任意的t 都成立。因此，式()3-1的等式两边t 的同次幂项的系数应相等，有
【关键字】研究 研究生“矩阵论”课程课外作业姓名：学号： 学院：专业： 类别：上课时间： 成绩： 矩阵论在人口迁移问题中的应用 摘要 本文根据矩阵论的理论解决实际中的人口迁移问题，做出简单的分析和概括。文中运用方阵函数的相关基本理论来解决这一实际问题，使得实际问题得到简弥合决，最终得出人口迁移问题的最终结论。 1、待解决问题内容： 假设有两个地区—如北方和南方，之间发生人口迁移，每一年北方50%的人口迁移到南方，同时有25%的南方人口迁移到北方，直观上可由下图表示： 问题：这个移民过程持续下去，北方的人会不会全部搬到南方？如果会请说明理由；如果不会，那北方的人最终人口分布会怎样？ 2、基本术语解释 方阵函数：最简单的方阵函数是矩阵多项式 ，其中。一般运用复变幂级数的和函数定义方阵幂级数和函数—方阵函数。 3、基本理论阐述： 1、Hamilton-Cayley定理： 设矩阵A的特征多项式为，则有。 设A的特征多项式为： Hamilton-Cayley定理表明： ，即方阵函数可以由的线性组合表示。 方阵函数是多项式，其中。 2、最小多项式的相关理论： 定义1：A是n阶方阵，是方阵A的特征多项式。如果有，则称是方阵A的零化多项式。由Hamilton-Cayley定理知一个矩阵的零化多项式一定存在。 定义2：在n阶方阵A的所有零化多项式中，次数最低的首一多项式，称为A的最小多项式。 设的最小多项式为 其中，，而方阵函数是收敛的方阵幂级数的和函数，即 设，使 ，则 3、运用在A上的谱值计算方阵函数的理论： 设n阶方阵A的最小多项式为，其中是A的互不相同的特征根。如果复函数及其各阶
重庆大学 题目：矩阵理论与方法在人口迁移问题分析中的应用 学院： 专业： 学号： 姓名： 指导老师 2011-12-05
摘要 矩阵的理论与方法被广泛的用来处理现代工程技术和日常经济生活中遇到的各种问题，是其成为了研究这些问题的重要工具之一。通过在研究工程技术和日常经济生活中的问题引入矩阵的理论和方法和采用计算机技术使得我们研究问题简化，产生了巨大的经济效益和理论研究意义，本文用矩阵论的理论和方法来研究实际的人口迁移问题，使得研究问题简化，在本文中主要用到了矩阵理论的方阵函数和方阵对角化的相关理论知识。通过本例使我们对矩阵的理论与方法有了具体的认识。 题目：假设有两个地区——如南方和北方，之间发生人口迁移。每一年北方 50%的人口迁移到南方，同时有25%的南方人口迁移到北方，直观上可由下图表示： 问题：如果这个移民过程持续下去，北方的人会不会全部都到南方？如果会请说明理由；如果不会，那么北方的最终人口分布会怎样？
一、相关的矩阵理论知识 1、相关基本术语： （1）特征多项式和特征方程及其特征值 设n n K A ⨯∈，λ是一个字母，A E -λ称为A 的特征矩阵；方程 0=-A E λ称 为A 的特征方程，多项式A E -λ叫作A 的特征多项式，记为)(λA f 。即 A E f A -=λ,事实上)(λA f 的根就是A 的特征值或特征根。 （2）零化多项式和最小多项式 设A 是n 阶方阵，若存在多项式)(λf ，使得0)(=A f ，即)(A f 是零矩 阵，称 )(λf 是矩阵A 的零化多项式。 在n 阶方阵A 的所有零化多项式中，次数最低的首一多项式，称为矩阵A 的最小多项式（Minimal Polynomaial ），记为)(λm 。 2、 相关基本理论 （1）Hamliton-Cayley 定理 设 n n n n a a a A E f ++++=-=--λλλλλ111)(Λ 则0...)(111=++++=--E a A a A a A A f n n n n （2）方阵函数)(A f 的幂级数收敛理论 n n C X ⨯∈的幂级数 k k k X a ∑∞ =0 收敛，并记)(X f = k k k X a ∑∞ =0 ，则当),...,(21t X X X diag X =时，有 ))(,),(),(()),,,(()(2121t t X f X f X f diag X X X diag f X f ΛΛ==
研究生课程论文/研究报告 课程名称：矩阵论 任课教师： 论文/研究报告题目：矩阵论的应用—线性定常系统建模和线性定常系统状态方程求解完成日期：年月日 学科： 学号： 姓名： 成绩：
矩阵论的应用—线性定常系统建模和线性定常系统状 态方程求解 摘要 我们知道在进行系统的分析和设计时，首先要建立数学模型然后再进行求解分析。根据系统分析、设计所用方法不同，或所要解决的问题不同，描述同一系统的数学模型亦有所不同。本文先介绍描述系统内部特性和端部特性的状态空间表达式及其在s 域分析得到传递函数，然后再利用系统状态转移矩阵求线性定常系统状态方程的解。 关键词：数学模型、状态空间表达式、传递函数、线性定常系统状态方程的解 一、线性定常系统的状态空间表达式及其传递函数 如下图1所示电路图，电压u(t)为电路的输入量，电容上的电压uc(t)为电路的输出量。R 、L 、C 分别为电路的电阻、电感、电容。由电路知识可知，回路中的电流i(t)和电容上电压uc(t)的变化规律满足如下方程： ()()()()di t L Ri t uc t u t dt ++= 1 ()()i t dt uc t C =⎰ 其中i(t)和uc(t)为该电路系统的状态变量（状态变量就是确定系统状态的最小一组变量）。 状态空间：以选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交空间，成为正交空间。系统在任意时刻的状态可以用状态空间中的一个点来表示。 图1 将上式方程组改写成状态空间表达式为： ()11()()1 ()()00di t R i t dt L L u t L duc t uc t C dt --⎡⎤⎛⎫ ⎡⎤ ⎪⎢⎥⎡⎤⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥ ⎪⎣⎦⎢⎥ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭ ⎣⎦① 如将电容上的电压uc 作为电路的输出量，则 []()()01()i t uc t uc t ⎡⎤ =⎢⎥ ⎣⎦ ②
矩阵分析在-------机械振动中的应用 摘要：随着科学技术的迅速发展，古典的线性代数知识已不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业已成为现代科技领域必不可少的工具。诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、控制论、力学、电子学、网络等学科领域都与矩阵理论有着密切的联系，甚至在经济管理、金融、保险、社会科学等领域，矩阵理论和方法也有着十分重要的应用。本文采用了矩阵论中所学的矩阵相似变换、矩阵正交化及特征方程等相关知识，对多自由度系统的自振动的运动微分方程进行了研究分析，引入正则坐标并采用坐标变化法求得了振动系统的自由响应。 关键词：多自由度系统，正则坐标，自由响应 一、引言 20世纪60年代，随着计算机技术的进步，航空航天技术和综合自动化的发展需要，对于复杂的机械结构特性分析也越来越重要。而对于像航天器等复杂的机械结构需要用更多的自由度来描述，多自由度系统的振动方程式二阶常微分方程组。建立系统方程是振动分析的前提，但随着自由度的增多，所建立的系统运动微分方程也越来越复杂，对于离散系统运用牛顿第二定律的方式来对方程进行求解也越来越困难，为此发展了柔度系数法和刚度系数法，而拉尔朗日方程是建立系统控制方程的最通用方法，他使用功、能和广义力等物理量，得到了完全刻画系统的最少方程。本文只考虑阻尼矩阵能够被无阻尼振形矩阵对角化的情形，分析其基本理论方程，并用实例进行论证求解。 二、多自由度系统的自由振动理论 本文主要对多自由度系统的自由振动进行求解，在介绍多自由度系统的振动之前，先介绍单自由度无阻尼的自由振动以便了解机械振动理论的基本原理。 1.单自由度无阻尼系统的自由振动
浅析矩阵分解在计算分析中的应用 【摘要】矩阵作为一种重要的代数工具，其出现的历史可以追溯至公元前，然而矩阵真正成为一个独立的概念并被加以研究的历史开始于19世纪50年代。如今，矩阵理论的发展越来越迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已基本形成。到20世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它己经发展成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科有大量应用的数学分支。本文所剖析的矩阵分解，是矩阵理论的一个重要分支。它是将一个矩阵分解为较为简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或者乘积，一方面用来反映矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据。它是应用于解最优化问题、特征值问题、最小二乘方问题的主要数学工具，在广义逆矩阵问题和统计学方面也有重要应用。本文首先介绍了矩阵与矩阵分解的相关知识，随后阐述了应用矩阵分解解方程组的原理，以及利用矩阵范数判断方程组解的稳定性的方法，最后介绍了一种改进的斜量法。 关键词：矩阵分解计算分析解方程组稳定性斜量法 一、矩阵理论的介绍 在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。 1850年，英国数学家西尔维斯特(SylveSter，1814--1897)在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了矩阵的概念。 1855年，英国数学家凯莱(Caylag，1821--1895)在研究线性变换下的不变量时，为了简洁、方便，引入了矩阵的概念。 1858年，凯莱在《矩阵论的研究报告》中，定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩阵的数乘等运算和算律，同时，定义了零矩阵、单位阵等特殊矩阵，更重要的是在该文中他给出了矩阵相乘、矩阵可逆等概念，以及利用伴随阵求逆阵的方法，证明了有关的算律，如矩阵乘法有结合律，没有交换律，两个非零阵乘积可以为零矩阵等结论，定义了转置阵、对称阵、反对称阵等概念。 1878年，德国数学家弗罗伯纽斯(Frobeniws，1849一1917)在他的论文中引入了λ矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子等概念，证明了两个λ矩阵等价当且仅当它们有相同的不变因子和初等因子，同时给出了正交矩阵的定义,1879年，他又在自己的论文中引进矩阵秩的概念。 矩阵的理论发展非常迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已基本形成。到20世纪，矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它己经发展成为在物理、控制论、机器人学、生物学、经济学等学科有大量应用的数学分支。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。 二、矩阵分解的概念与常用方法 矩阵分解 (decomposition, factorization)是将矩阵拆解为数个矩阵的乘积，这些特殊的分解形式，一方面反映了矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵的分