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常考题型大通关：第19题统计概率1、2018年10月17日是我国第5个扶贫日，也是第26个国际消除贫困日。
射洪某企业员工共500人参加“精准扶贫”活动，按年龄分组：第一组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）下表是年龄的频数分布表，求正整数a，b的值；（2）根据频率分布直方图，估算该企业员工的平均年龄及年龄的中位数；（3）现在要从年龄较小的第1，2，3组中用分层抽样的方法抽取6人，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求至少有1人年龄在第3组的概率．2、某高校在2014年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.（1）请先求出频率分布表中①、②、③、④位置相应的数据，再在答题纸上完成下列频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？3、随着生活水平的提高,人们对空气质量的要求越来越高,某机构为了解公众对“车辆限行”的态度,随机抽查40人,并将调查情况进行整理后制成下表:年龄(岁) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,60]频数 5 10 10 5 10赞成人数 4 6 8 4 91.完成被调查人员年龄的频率分布直方图,并求被调查人员中持赞成态度人员的平均年龄约为多少岁?15,25,45,55的被调查人员中各随机选取1人进行调查.请写出所有的基2.若从年龄在[)[)本亊件,并求选取2人中恰有1人持不赞成态度的概率.4、某中学为弘扬优良传统,展示80年来的办学成果,特举办“建校80周年教育成果展示月”活动。
现在需要招募活动开幕式的志愿者,在众多候选人中选取100名志愿者,为了在志愿者.组号分组频数频率160,165 5 0.05第1组[)第2组[165,170)0.35第3组[170,175)第4组[175,180)20 0.20第5组[180,185)10合计100 1.001.请补充频率分布表中空白位置相应数据,再完成下列频率分布直方图;2.为选拔出主持人,决定在第3、4、5组中用分层抽样抽取6人上台,求第3、4、5组每组各抽取多少人?3.在2的前提下,主持人会在上台的6人中随机抽取2人表演诗歌朗诵,求第3组至少有一人被抽取的概率?5、某中学组织了一次高三学生数学学业水平模拟测试,学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析,分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图.1.若所得分数大于等于80分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人?2.在1中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意选取2人,求至少有一名男生的概率.6、某乡镇根据中央文件精神，在2014年通过精准识别确定建档立卡的贫困户共有473户，结合当地实际情况采取多项精准扶贫措施，从2015年至2018年该乡镇每年脱贫户数见下表：年份2015 2016 2017 2018 年份代码x 1 2 3 4脱贫户数y55 69 71 85（1）根据2015-2018年的数据，求出y关于x的线性回归方程$$y bx a=+$；（2）利用（1）中求出的线性回归方程，试判断到2020年底该乡镇的473户贫困户能否全部脱贫.附：$$1221,ni iiniix y nxyb a y bxx nx==-==--∑∑$$7、某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种种子发芽数之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日每天昼夜温差大小与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中随机选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验。
题型强化练1 客观题8+4+4标准练(A )一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2020天津滨海新区联考,1)设集合U={x|x ≥-1},A={1,3,5,7},B={x|x>5},则A ∩∁U B=( ) A.{1,3,5} B.{3,5}C.{1,3}D.{1,3,5,7}2.(2020山东日照二模,2)在复平面内,已知复数z 对应的点与复数1+i 对应的点关于实轴对称,则z i=( )A.1+iB.-1+iC.-1-iD.1-i 3.(2020北京西城二模,6)设a=30.2,b=log 32,c=log 0.23,则 ( )A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c4.(2020山东日照一模,3)南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献,他在实践的基础上提出祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.其含义是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等,如图,夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V 1,V 2,被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为S 1,S 2,则“S 1,S 2总相等”是“V 1,V 2相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2019广东深圳适应性考试,文8)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,D ,E 分别是边AB ,BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE=2EF ,则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为 ( ) A.-58 B.118C.14D.186.(2020广东东莞一模,8)函数y=cos x ·2x +12x -1的部分图象大致为( )7.(2020河北石家庄5月检测,8)若双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆x2+y2-4y+2=0所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为()A.√3B.2√33C.2D.√28.(2020山东聊城一模,8)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,为了纪念数学家高斯,人们把函数y=[x],x∈R称为高斯函数,其中[x]表示不超过x的最大整数.设{x}=x-[x],则函数f(x)=2x{x}-x-1的所有零点之和为()A.-1B.0C.1D.2二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.9.(2020海南线上诊断测试,9)如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图,则下列判断正确的是()A.1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了13B.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C.2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率10.(2020山东德州一模,10)1970年4月24日,我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”,从此我国开始了人造卫星的新篇章.人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律:卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时,其运行速度是变化的,速度的变化服从面积守恒规律,即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ,2c ,下列结论正确的是( )A.卫星向径的取值范围是[a-c ,a+c ]B.卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C.卫星向径的最小值与最大值的比值越大,椭圆轨道越扁平D.卫星运行速度在近地点时最大,在远地点时最小11.(2020山东淄博一模,10)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P ,Q 分别为棱BC 和棱CC 1的中点,则下列说法正确的是( ) A.BC 1∥平面AQPB.平面APQ 截正方体所得截面为等腰梯形C.A 1D ⊥平面AQPD.异面直线QP 与A 1C 1所成的角为60°12.(2020海南海南中学月考,12)已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在x=1处取得最大值,且最小正周期为2,则下列说法正确的有( ) A.函数f (x-1)是奇函数B.函数f (x+1)是偶函数C.函数f (x+2)在[0,1]上单调递增D.函数f (x+3)是周期函数三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2020山东泰安考前模拟,14)(x -1x )(1-x )4的展开式中x 3的系数为 .14.《九章算术》中的“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则该竹子最上面一节的容积为 升. 15.(2019四川攀枝花统考,文16)已知函数f (x )=(x -b )2-lnx x (b ∈R ).若存在x ∈[1,2],使得f (x )+xf'(x )>0,则实数b 的取值范围是 .16.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的六个顶点都在球O 的表面上,AB=3,异面直线AC 1与BC 所成角的余弦值为310,则球O 的表面积为 .题型强化练题型强化练1 客观题8+4+4标准练(A )1.A 解析 由题意∁U B={x|-1≤x ≤5},∴A ∩∁U B={1,3,5}. 2.C 解析 由题意得z=1-i,所以zi =1-ii =i+1-1=-1-i .3.B 解析 指数函数y=3x 为R 上的增函数,则a=30.2>30=1;对数函数y=log 3x 为(0,+∞)内的增函数,则log 31<log 32<log 33,即0<b<1;对数函数y=log 0.2x 为(0,+∞)内的减函数,则c=log 0.23<log 0.21=0.故a>b>c.4.A 解析 根据祖暅原理,当S 1,S 2总相等时,V 1,V 2相等,所以充分性成立;当两个完全相同的四棱台,一正一反的放在两个平面之间时,此时体积固然相等但截得的面积未必相等,所以必要性不成立.所以“S 1,S 2总相等”是“V 1,V 2相等”的充分不必要条件.5.D 解析 由DE=2EF ,可得DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ .如图所示,连接AE ,则AE ⊥BC ,所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0+12·|DE ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos π3=0+12×12×1×12=18.故选D .6.A 解析 令f (x )=y=cos x ·2x+12x -1(x ≠0),则f (-x )=cos(-x )·2-x+12-x -1=cos x ·12x +112x -1=cos x ·2x +11-2x =-f (x ),所以函数f (x )为奇函数,可排除B,D; 当x ∈(0,π2)时,cos x>0,2x +12x -1>0,所以f (x )>0,故排除C.7.C 解析 双曲线C :x 2a 2−y 2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±ba x ,由对称性,不妨取y=ba x ,即bx-ay=0.圆x 2+y 2-4y+2=0可化为x 2+(y-2)2=2,其圆心的坐标为(0,2),半径为√2. 圆心(0,2)到渐近线的距离d=√(√2)2-12=1. 由点到直线的距离公式,可得√b +a 2=2a c =2e =d=1,所以e=2.8.A 解析 由题意知,当x=0时,f (x )=-1,所以0不是函数f (x )的零点.当x ≠0时,由f (x )=2x {x }-x-1=0可得,2{x }=1x +1,令y 1=2{x }=2x-2[x ],y 2=1x +1,作出函数y 1=2{x }=2x-2[x ],y 2=1x +1的图象如图所示, 由图象可知,除点(-1,0)外,函数y 1=2{x }=2x-2[x ],y 2=1x +1图象其余交点关于(0,1)中心对称,所以横坐标互为相反数.由函数零点的定义知,函数f (x )=2x {x }-x-1的所有零点之和为-1.9.ABC 解析 1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例,其中西安32例,所以西安所占比例为3287>13,故A 正确;由曲线图可知,1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势,故B 正确;2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了213-116=97(例),故C 正确;2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率为98-8888=544,2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例的增长率为88-7474=737,显然737>544,故D 错误.10.ABD解析根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a-c,a+c],故A正确;当卫星在左半椭圆弧运行时,对应的面积更大,根据面积守恒规律,速度应更慢,故B 正确;a-c a+c =1-e1+e=21+e-1,比值越大,则e越小,椭圆轨道越接近于圆,故C错误.根据面积守恒规律,卫星在近地点时向径最小,故速度最大,在远地点时向径最大,故速度最小,故D正确.11.ABD解析如图,因为P,Q分别为棱BC和棱CC1的中点,所以PQ∥BC1, 又因为BC1⊄平面AQP,PQ⊂平面AQP,由线面平行的判定定理,知BC1∥平面AQP,故A正确;由AD1∥PQ,知平面APQ截正方体所得截面为四边形APQD1,又因为PQ≠AD1,所以四边形APQD1是等腰梯形,故B正确;若A1D⊥平面AQP,则A1D⊥AP,又因为AA1⊥AP,AA1∩A1D=A1,所以AP⊥平面A1AD,而AB⊥平面A1AD,这与垂直于同一平面的两条直线平行矛盾,故C不正确;异面直线QP与A1C1所成的角为∠A1C1B,而△A1C1B为等边三角形,故D正确. 12.BCD解析因为f(x)=A sin(ωx+φ)的最小正周期为2,所以2=2πω,所以ω=π.又因为f(x)=A sin(ωx+φ)在x=1处取得最大值,所以ω+φ=2kπ+π2(k∈Z).所以φ=2kπ-π2(k∈Z).所以f(x)=A sin(ωx+φ)=-A cos πx.设g(x)=f(x-1)=-A cos [π(x-1)]=A cos πx,因为g(-x)=A cos [π(-x)]=A cos πx=g(x),所以g(x)=f(x-1)是偶函数,故A不正确;设h (x )=f (x+1)=-A cos [π(x+1)]=A cos πx ,因为h (-x )=A cos [π(-x )]=A cos πx=h (x ),所以h (x )=f (x+1)是偶函数,故B 正确; 设m (x )=f (x+2)=-A cos [π(x+2)]=-A cos πx ,因为x ∈[0,1],所以πx ∈[0,π],又因为A>0,所以函数m (x )=f (x+2)在[0,1]上单调递增,故C 正确; 设n (x )=f (x+3)=-A cos [π(x+3)]=A cos πx ,函数n (x )最小正周期为2ππ=2,故D 正确.13.5 解析 (1-x )4的通项为T r+1=C 4r 14-r (-x )r =(-1)r C 4r x r ,令r=2,此时x 3的系数为(-1)2C 42=6,令r=4,此时x 3的系数为-(-1)4C 44=-1,则x 3的系数为6-1=5.14.1322 解析 设竹子自上而下各节的容积分别为a 1,a 2,…,a 9,且为等差数列,根据题意得{a 1+a 2+a 3+a 4=3,a 7+a 8+a 9=4,即{4a 1+6d =3,3a 1+21d =4,解得a 1=1322,故最上面一节的容积为1322升.15.-∞,74解析 ∵f (x )=(x -b )2-lnx x ,x>0,∴f'(x )=2x (x -b )-1-(x -b )2+lnxx 2,∴f (x )+xf'(x )=(x -b )2-lnx x +2x (x -b )-1-(x -b )2+lnxx=2x (x -b )-1x. 存在x ∈[1,2],使得f (x )+xf'(x )>0,即2x (x-b )-1>0,∴b<x-12x 在[1,2]上有解. 设g (x )=x-12x (1≤x ≤2),∴b<g (x )max .g (x )=x-12x 在[1,2]上为增函数, 故g (x )max =g (2)=74,∴b<74. 故实数b 的取值范围是-∞,74. 16.28π 解析 由题意BC ∥B 1C 1,所以∠AC 1B 1或其补角为异面直线AC 1与BC 所成的角.设AA 1=b ,在△AC 1B 1中,AB 1=AC 1,则cos ∠AC 1B 1=12B 1C 1AC 1=12·√32+b =310,所以AA 1=b=4.设外接球的半径为R ,底面外接圆的半径为r ,则R 2=r 2+(b 2)2.因为底面为等边三角形,所以2r=3sin π3,即r=√3,所以R 2=3+4=7,所以球O 的表面积为4π×7=28π.。
12＋4“80 分”标准练 11．(2016 ·全国Ⅰ ) 设会合 A ＝ { x | x 2－4x ＋ 3<0} ， B ＝ { x |2 x － 3>0} ，则 A ∩ B 等于 ( )33A. － 3，－ 2B. －3，23 3C. 1，2D. 2， 3答案 D分析由 A ＝ { x | x 2－4x ＋ 3<0} ＝ { x |1< x <3} ，＝ － ＝ 3 ，3>0}xx>B { x |2 x 2得 A ∩ B ＝ x 33< <3＝ ， 3，应选 D.2x25＋m i2．已知实数 m ，n 知足 n －2i ＝ 4＋ 6i ，则在复平面内，复数 z ＝ m ＋ n i 所对应的点位于 ()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案C5＋ m i＝4＋ 6i ，分析由n － 2i 得 5＋ m i ＝ (4 ＋ 6i)( n － 2i) ＝ 4n ＋ 12＋ (6 n －8)i ，4n ＋ 12＝ 5， 377∴6n － 8＝ m ，解得 m ＝－ 2 ， n ＝－ 4.∴复数 z ＝ m ＋ n i 所对应的点的坐标为37 7C.－ 2 ，－ 4 ，位于第三象限．应选x －y －1≤0，3．(2017 届广东省深圳市二模 ) 若实数 x ， y 知足拘束条件 x ＋3≥0，则 z＝ 2 － y 的xy －2≤0， 最大值为 ()A ．－8B ．－6C ．－2D ．4 答案Dx － y －1≤0，分析作出拘束条件x ＋3≥0， 所对应的可行域，y －2≤0如图△ ABC及其内部．变形目标函数可得y ＝ 2x－，平移直线y＝ 2可知，z x当直线经过点(3,2)时，直线的截距最小，z 取最大值，C代值计算可得z＝2x－ y 的最大值为 z＝2×3－ 2＝ 4.max应选 D.4．已知命题p：?x4q：?1) >0，x＋≥4；命题x0>0, 2x0＝ . 以下判断正确的选项是 (x2A．p是假命题 B ．q是真命题C．∧( 綈q ) 是真命题 D ．(綈 )∧q是真命题p p 答案C分析4≥24x＝2时，等号建立，∴命题p 为真命题，綈 p 当 x>0，x＋x·＝4，当且仅当x x为假命题；当 x>0时，2x>1，∴命题 q：?x0>0,1q 为真命题．2x0 ＝为假命题，则綈2∴ p∧(綈 q)是真命题，(綈 p)∧ q 是假命题．应选 C.5．(2017 ·全国Ⅲ ) 履行下边的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N的最小值为 ()A．5B．4C．3D．2答案D分析假定 N＝2，程序履行过程以下：t ＝ 1，M ＝ 100，S ＝ 0，1001≤2， S ＝ 0＋ 100＝ 100， M ＝－ 10 ＝－ 10， t ＝ 2，－ 102≤2， S ＝ 100－10＝ 90， M ＝－ ＝ 1， t ＝3，3＞ 2，输出 S ＝ 90＜ 91. 切合题意．∴ N ＝ 2 建立．明显 2 是 N 的最小值．应选 D.π 5π6．设 ω ＞0，函数 y ＝2cos ω x ＋ 5 － 1 的图象向右平移 4 个单位长度后与原图象重合，则ω 的最小值是 ()86A. 5B. 542C. 5D. 5答案Aπ 5π分析∵ ω ＞ 0，函数 y ＝2cos ω x ＋ 5 － 1 的图象向右平移 4 个单位长度后，可得 y ＝2cos ω x － 5ω π － 1 的图象，4 π ＋ 5再依据所得图象与原图象重合，可得－ 5ω8，π ＝ 2 π ， ∈Z ，即 ω ＝－ k4kk58则 ω 的最小值为5，应选 A.7．已知一个几何体的三视图以下图，则该几何体的体积为()A． 16 3B． 24380C. 33D．263答案C分析该几何体的直观图以下图，它是一底面是菱形的直四棱柱在左上角切去一个三棱锥后形成的几何体．1132803因此 V＝2×43×4×4－34×4×4＝3.应选 C.8．以下图，已知AB， CD是圆 O中两条相互垂直的直径，两个小圆与圆O以及 AB， CD均相切，则往圆O内扔掷一个点，该点落在暗影部分的概率为()A． 12－8 2B． 3－ 22C． 8－5 2D． 6－ 42答案D分析设小圆半径为r ，则圆 O的半径为 r ＋2r，由几何概型的公式得，往圆O内扔掷一个点，该点落在暗影部分的概率为 2π r 22r 2＝ 6－ 4 2. 应选 D.π 1＋29．(2017 届山东省莱芜市二模) 交通管理部门为认识灵活车驾驶员 ( 简称驾驶员 ) 对某新法例的了解状况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样检查．假定四个社区驾驶员的总人数为N ，此中甲社区有驾驶员 96 人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43 ，则这四个社区驾驶员的总人数 N 为 ()A ． 101B ． 808C ．1 212D ．2 012 答案 B分析∵甲社区有驾驶员 96 人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12.12 1∴每个个体被抽到的概率为 96＝ 8.样本容量为 12＋21＋ 25＋43＝ 101.N为101∴这四个社区驾驶员的总人数1 ＝ 808.8应选 B.10． (2017 届安徽省合肥市三模 ) 函数 y ＝－ 2cos 2x ＋cos x ＋ 1， x ∈ － π ， π2 2 的图象大概为( )答案 B分析由于函数y ＝－ 2cos 2 x ＋ cosx＋ 1， ∈ － π ，π，因此函数为偶函数，故清除A ， D.x22y ＝－ 2cos 2x ＋ cos x ＋ 1＝－ 2 cos x －1 29－ π ，π4＋ ， x ∈ 2 2 ，8 由于 0≤cosx ≤1，19因此当 cos x ＝ 4时， y max ＝ 8，当cosx ＝ 1 时， y min ＝ 0，故清除 C ，应选 B.2411． (2017 届四川省泸州市四诊 ) 过抛物线 C ：y ＝ 2px ( p ＞ 0) 的焦点 F 作斜率为 3的直线 l 与 C 及其准线分别订交于， ，三点，则 |AD |的值为 ()A B D| BD |11A ．2 或2B ．3 或31 C ．1 D ．4或4答案D解 析抛 物 线 C ： y 2 ＝ 2px ( p ＞ 0) 的 焦 点 F pA 和B 分别做准线的垂线，垂足分别为′， ′，，0 ，过2AB则直线 AB 的方程为4py ＝ 3 x －2 ，设 A ( x 1， y 1) ， B ( x 2， y 2) ，4 p y ＝ 3 x － 2，y 2＝ 2px ，整理得 y 2－32py － p 2＝0，则 y 1＋ y 2＝3p ， y 1y 2＝－ p 2，2→→设 AF ＝ λFB ，p＝ λ p，则－ y 1＝ λ y 2，－ x 1，－ y 1 x 2－ ， y 2 2212 2y 1y 2 9∵ y ＋ y＝ ＋ ＋2＝－ ，y y2 y2 y141∴－ λ－ 19＋2＝－ ，λ4整理得24λ－ 17λ ＋4＝ 0，解得1λ ＝ 4 或 λ ＝4，当 λ ＝4 时， | AF | ＝ 4| BF | ，则 | AB | ＝ 5| BF |由抛物线的定义可知 | BF | ＝| BB ′| ，，4由直线 AB 的斜率为 3，3 得 sin ∠ BDB ′＝ ，5| BB ′| 3即 sin ∠ BDB ′＝ | BD | ＝5，55∴|BD | ＝ 3| BB ′| ＝ 3| BF | ，20|AD |＝|AB |＋|BD |＝ 3|BF |，| AD |∴ | BD | 的值为 4，1 当 λ ＝ 时， 4| AF | ＝ | BF | ，4则| AB | ＝5| AF | ，由抛物线的定义可知 | AF | ＝| AA ′| ，4由直线 AB 的斜率为 3，3 得 sin ∠ ADA ′＝ ，5| AA ′| 3即 sin ∠ ADA ′＝ | AD | ＝5，55∴|AD | ＝ 3| AA ′| ＝ 3| AF | ，20|BD |＝|AB |＋|AD |＝ 3|AF |，|| 的值为 1∴ AD ，应选 D.| BD |412． (2017 届江西省要点中学联考 ) 设 f ′(x ) 是函数 f ( x ) ( x ∈ R) 的导数，且知足 xf ′(x ) －2f ( x)>0 ，若△ABC是锐角三角形，则 () A．(sin) ·sin2 > (sin) ·sin2f A B f B AB．f (sin A)·sin2B>f (sin B)·sin2AC．f (cos A)·sin2B>f (sin B)·cos2A D．(cos) ·sin2 < (sin) ·cos2f A B f B A答案 Df x xf ′ x －2f x分析令 g( x)＝x2，则 g′(x)＝x3，由题意可知，当x>0时， g′(x)>0，f x因此 g( x)＝x2在(0，＋∞)上单一递加．ππ由于△ ABC是锐角三角形，因此0< 2 －A<B< 2 ，因此sin π － A<sin2B，即 0<cos A<sin B，f x又由于 g( x)＝x2在(0，＋∞)上单一递加，f cos A f sin B因此cos 2A <sin2B，进而f (cos ) ·sin 2 <(sin) ·cos 2 .A B f B A应选 D.13．(2017 届山东省济宁市二模) 为认识某班学生喜爱打篮球能否与性别相关，对本班 50 人进行了问卷检查，获得以下2×2列联表：喜爱打篮球不喜爱打篮球共计男生20525女生101525共计302050经计算获得随机变量K2的观察值为8.333，则有______%的掌握以为喜爱打篮球与性别相关( 临界值参照表以下 ) ．P( K2≥ k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828答案99.5分析依据表中数据计算获得随机变量K2的观察值为8.333 ，比较临界值表知， 8.333 ＞ 7.879 ，因此有 99.5%的掌握以为喜爱打篮球与性别相关．14．(2017 届山东省青岛市二模) 已知向量a，b 的夹角为120°，a＝ (1 ，3) ，| b| ＝ 1，则 | a ＋b|＝________.答案3分析由已知获得向量a，b 的夹角为120°，a＝(1，3) ， | b| ＝ 1，则 | a＋b| 2＝a2＋ 2a·b＋b2＝4＋2×2×1×cos 120 °＋ 1＝ 3，因此 |a＋ b|＝ 3.15．设 a 是一个各位数字都不是0 且没有重复数字的三位数．将构成 a 的3 个数字按从小到大排成的三位数记为I ( a)，按从大到小排成的三位数记为D( a)(比如a＝815，则I ( a)＝158，D( a)＝851)．阅读以下图的程序框图，运转相应的程序，随意输入一个a，输出的结果b＝________.答案495分析取 a1＝815? b1＝851－158＝693≠815 ? a2＝693；由 a2＝693? b2＝963－369＝594≠693 ? a3＝594；由 a3＝594? b3＝954－459＝495≠594 ? a4＝495；由 a4＝495? b4＝954－459＝495＝ a4? b＝495.16．已知等差数列 { a n} ，{ b n} 的前n项和分别为S n，T n，若对随意的自然数n＝2n－ 3，n，都有ST4n－ 3n则a9＋a3＝ ________. b＋ b b＋ b7854答案1941nn nnS2n－ 3分析∵等差数列 { a } ，{ b } 的前n项和分别为S，T，关于随意的自然数n＝，n，都有T 4 － 3n∴a9＋a3a9a3a9＋a32a6a1＋ a11S112×11－ 319＋b＋b＝＋＝2＝＝1＋ 11＝＝4×11－ 3＝ . 5748 2 6266 2 61141 b b b b b b b b T。
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高考小题标准练(二)满分75分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若集合A={x ∈Z|2<2x+2≤8}，B={x ∈R|x 2-2x>0}，则A ∩(R B)所含的元素个数为( )A.0B.1C.2D.3【解题提示】求出A 中不等式的解集，找出解集中的整数解确定出A ，求出B 中不等式的解集，确定出B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集，即可确定出元素个数.【解析】选C.由集合A 中的不等式变形得：21<2x+2≤23，得到1<x+2≤3， 解得：-1<x ≤1，且x 为整数，所以A={0，1}；由集合B 中的不等式变形得：x(x-2)>0，解得：x>2或x<0，即B=(-∞，0)∪(2，+∞)，所以R B=[0，2]，所以A ∩(R B)={0，1}，即元素有2个.2.设i 是虚数单位，a 为实数，复数z=1+ai i为纯虚数，则z 的共轭复数为( )A.-iB.iC.2iD.-2i 【解析】选B.由于z=1+ai i=(1+ai)i i 2=−a+i −1=a-i ，由于z 为纯虚数，故a=0，所以z=-i ， 则z ̅=i.3.甲乙两人在一次赛跑中，从同一地点动身，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )A.甲比乙先动身B.乙比甲跑的路程多C.甲，乙两人的速度相同D.甲比乙先到达终点【解析】选D.由图形可知甲，乙两人从同一时间动身，且路程相同，甲用的时间短，故甲比乙先到达终点.4.某高校进行自主招生，先从报名者中筛选出400人参与笔试，再按笔试成果择优选出100人参与面试.现随机调查了24名笔试者的成果，如表所示：分数段 [60，65) [65，70) [70，75) [75，80) [80，85) [85，90)人数234951据此估量允许参与面试的分数线大约是( )A.75B.80C.85D.90【解析】选B.由于参与笔试的400人中择优选出100人，故每个人被择优选出的概率P=100400=14，由于随机调查24名笔试者，则估量能够参与面试的人数为24×14=6，观看表格可知，分数在[80，85)有5人，分数在[85，90)的有1人，故面试的分数线大约为80分，故选B.5.已知等比数列{a n}中，a3=2，a4a6=16，则a10−a12a6−a8的值为( )A.2B.4C.8D.16【解题提示】结合已知条件得到q4=4，再利用等比数列的性质即可. 【解析】选B.由于a3=2，a4a6=16，所以a4a6=a32q4=16，即q4=4，则a10−a12 a6−a8=q4(a6−a8)a6−a8=q4=4.6.当m=6，n=3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A.6B.30C.120D.360【解题提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=3时，满足条件k<m-n+1=4，退出循环，输出S的值为120.【解析】选C.模拟执行程序框图，可得m=6，n=3，k=6，S=1，不满足条件k<m-n+1=4，S=6，k=5；不满足条件k<m-n+1=4，S=30，k=4；不满足条件k<m-n+1=4，S=120，k=3；满足条件k<m-n+1=4，退出循环，输出S的值为120. 7.实数x，y满足{x≥1,y≤a,a>1,x−y≤0,若目标函数z=x+y取得最大值4，则实数a的值为( )A.4B.3C.2D.32【解析】选C.画出可行域得直线y=-x+z过(a，a)点时取得最大值，即2a=4，a=2.8.如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的体积为( )A.83B.43C.4√3D.2√3【解析】选A.结合三视图，借助正方体想象该棱锥的直观图，如图所示.该棱锥是四棱锥P-ABCD.其底面ABCD为一个底边长为2√2和2的矩形，面积S=4√2，高是P点到底面ABCD的距离，即h=√2，故此棱锥的体积V=13Sh=83.9.设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=e x+x-3，则f(x)的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4【解题提示】先由函数f(x)是定义在R上的奇函数确定0是一个零点，再令x>0时的函数f(x)的解析式等于0转化成两个函数，转化为推断两函数交点个数问题，最终依据奇函数的对称性确定答案.【解析】选C.由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)=0，所以0是函数f(x)的一个零点.当x>0时，令f(x)=e x+x-3=0，则e x=-x+3，分别画出函数y=e x，和y=-x+3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在x>0时有一个零点，又依据对称性知，当x<0时函数f(x)也有一个零点.综上所述，f(x)的零点个数为3，故选C.【加固训练】函数f(x)=2x3-6x2+7在(0，2)内零点的个数为( )A.0B. 1C.2D.4 【解析】选B.由于f′(x)=6x2-12x=6x(x-2)，由f′(x)>0，得x>2或x<0；由f′(x)<0得0<x<2.所以函数f(x)在(0，2)上是减函数，而f(0)=7>0，f(2)=-1<0，由零点存在定理可知，函数f(x)=2x3-6x2+7在(0，2)内零点的个数为1.10.已知二次函数y=ax2+bx+c(ac≠0)图象的顶点坐标为(−b2a,−14a)，与x轴的交点P，Q位于y轴的两侧，以线段PQ为直径的圆与y轴交于F1(0，4)和F2(0，-4)，则点(b，c)所在曲线为( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【解析】选B.结合二次函数的顶点坐标为(−b2a,4ac−b24a)，依据题意可得Δ=b 2-4ac=1，①，二次函数图象和x轴的两个交点分别为(−b+12a,0)和(−b−12a,0)，利用射影定理即得：-(−b+12a×−b−12a)=16 1-b2=64a2，结合①先求出a和c之间的关系，代入①可得到，(b，c)所在的曲线为b2+c24=1，表示椭圆.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.已知a=(1，2)，b=(4，2)，设a，b的夹角为θ，则cosθ= .【解析】由平面对量的夹角公式得，cosθ==1212√x1+y1·√x2+y2=√5×√20=45.答案：45【加固训练】已知向量a=(1，√3)，b=(3，m).若向量b在a方向上的投影为3，则实数m= .【解析】依据投影的定义：|b|·cos<a，b>==3+√3m2=3；解得m=√3. 答案：√312.已知函数f(x)={x 3+1,x ≥0,x 2+2,x <0,若f(x)=1，则x= .【解析】若x ≥0则x 3+1=1，所以x=0，若x<0则x 2+2=1无解，所以x=0.答案：013.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b-c)(sin B+ sin C)=(a-√3c)·sinA ，则角B 的大小为 .【解题提示】由正弦定理化简已知等式可得c 2+a 2-b 2=√3ac ，由余弦定理可求 cos B ，结合B 的范围即可得解.【解析】由正弦定理，可得sinB=b2R，sin C=c2R，sinA=a2R， 所以由(b-c)(sin B+sin C)=(a-√3c)·sin A 可得(b- c)(b+c)=a(a-√3c)，即有c 2+a 2-b 2=√3ac ，则cos B=a 2+c 2−b 22ac=√32，由于0°<B<180°，则B=30°. 答案：30°14.已知三棱锥S-ABC 的全部顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA=2√3，AB=1，AC=2，∠BAC=π3，则球O 的表面积为 .【解析】三棱锥S-ABC 的全部顶点都在球O 的球面上，由于SA ⊥平面ABC ，SA=2√3，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，所以BC=√1+4−2×1×2×cos60°=√3，所以∠ABC=90°. 所以△ABC 截球O 所得的圆O ′的半径r=12AC=1，所以球O 的半径R=√12+(2√32)2=2，所以球O 的表面积S=4πR 2=16π. 答案：16π15.已知直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点(1，3)，则b 的值为 . 【解题提示】由于切点在直线与曲线上，将切点的坐标代入两个方程，得到关于a ，b ，k 的方程，再求出在点(1，3)处的切线的斜率的值，即利用导数求出在x=1处的导函数值，结合导数的几何意义求出切线的斜率，再列出一个等式，最终解方程组即可得，从而问题解决.【解析】由于直线y=kx+1与曲线y=x 3+ax+b 相切于点(1，3)， 所以{k +1=3,1+a +b =3,①又由于y=x 3+ax+b ，所以y ′=3x 2+a ，当x=1时，y ′=3+a 得切线的斜率为3+a ，所以k=3+a ， ②所以由①②得：b=3. 答案：3关闭Word 文档返回原板块。
高考小题标准练(二)时间：40分钟 分值：75分 姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x ≤1}，B ＝{x |0<x <4}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |x <4} B ．{x |0<x ≤1} C ．{x |0<x <4} D ．{x |1≤x <4}解析：A ∩B ＝{x |x ≤1且0<x <4}＝{x |0<x ≤1}．故选B. 答案：B2．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2解析：设数列的公比为q ，由已知得a 1q 2·a 1q 8＝2(a 1q 4)2，即q 2＝2.又因为等比数列{a n }的公比为正数，所以q ＝2，故a 1＝a 2q ＝12＝22，故选B.答案：B3．设i 是虚数单位，则复数(2＋i)(1－i)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：(2＋i)(1－i)＝3－i ，其在复平面内对应的点(3，－1)位于第四象限．故选D. 答案：D4．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A.y ^＝－10x ＋200 B.y ^＝10x ＋200 C.y ^＝－10x －200 D.y ^＝10x －200解析：若销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则y 关于x 的函数为递减函数，排除选项B ，D ；由价格的实际意义知，起初价格不能为负数，排除选项C ，故选A.答案：A5．设函数f (x )＝cos x －sin x ，把f (x )的图象按向量a ＝(m,0)(m >0)平移后，图象恰好为函数y ＝－f ′(x )的图象，则实数m 的值可以为( )A.π4B.34π C ．π D.π2解析：因为f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，所以y ＝－f ′(x )＝－⎝⎛⎭⎫－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4′＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π2＋π4，故只需把f (x )的图象向右平移π2个单位长度即得函数y ＝－f ′(x )的图象，所以m ＝π2.故选D.答案：D6．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长等于( )A ．3 3B ．2 3 C. 3 D ．1解析：圆x 2＋y 2＝4的圆心O (0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|－5|5＝1，则弦AB 的长|AB |＝2r 2－d 2＝2 3.故选B.答案：B7．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6解析：因为x ＋3y ＝5xy ，即1y ＋3x ＝5，所以15(3x ＋4y )×⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3x y ＋12y x ＋135≥15×2×36＋135＝5.故选C.答案：C8．已知△ABC 内有一点O ，满足OA →＋OB →＋OC →＝0，且OA →·OB →＝OB →·OC →，则△ABC 一定是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形解析：由题意OA →·(－OC →－OA →)＝(－OC →－OA →)·OC →，所以|OA →|＝|OC →|.又因为OB →＝－(OA →＋OC →)，所以OB 是AC 的中垂线，点B 在AC 的中垂线上，故AB ＝BC ，所以△ABC 是等腰三角形．故选D.答案：D 9.甲、乙两人玩游戏，规则如流程图所示，则甲胜的概率为( ) A.12 B.13 C.34 D.23解析：取出两球为同色球时，甲胜，则甲胜的概率P ＝3×24×3＝12.故选A.答案：A10．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋3y －3≥0，3x ＋y －9≤0，z ＝ax ＋y 的最大值为2a ＋3，则a 的取值范围是( )A ．[－3,1]B ．[－1,3]C ．(－∞，－1]D ．[3，＋∞)解析：由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z .作出可行域知，要使z ＝ax ＋y 的最大值为2a ＋3，即直线y ＝－ax ＋z 经过点(2,3)时取最大值，此时直线y ＝－ax ＋z 的斜率－a 满足－3≤－a ≤1，所以a ∈[－1,3]．故选B.答案：B二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．设函数f (x )＝2x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是奇函数，则实数a ＝__________.解析：由题意得g (x )＝e x ＋a e －x 为偶函数，由g (x )＝g (－x )，得a ＝1. 答案：112．如图，在△ABC 中，AD →＝23AC →，BP →＝13BD →，若AP →＝λAB →＋μAC →，则λμ的值为__________．解析：因为AP →＝AB →＋BP →，BP →＝13BD →，所以AP →＝AB →＋13BD →.因为BD →＝AD →－AB →，AD →＝23AC →，所以BD →＝23AC →－AB →，所以AP →＝AB →＋13⎝⎛⎭⎫23AC →－AB →＝23AB →＋29AC →，又因为AP →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝23，μ＝29.故λμ＝3.答案：313．甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分情况如下面茎叶图所示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别是__________．解析：观察茎叶图易知甲的分数是6,8,9,15,17,19,23,24,26,32,41，共11个，中位数是最中间一个19；乙的分数是5,7,8,11,11,13,20,22,30,31,40，共11个，中位数是最中间一个13.答案：19,1314．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为__________．解析：根据几何体的三视图知，该几何体是四棱锥．其底面为梯形，面积为12(4＋2)×4＝12，四棱锥的高为5，故体积为13×12×5＝20.答案：2015．设函数f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，则下列结论：①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝0 ②⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10<⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5 ③f (x )既不是奇函数也不是偶函数 ④f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) ⑤存在经过点(a ，b )的直线与函数f (x )的图象不相交． 其中正确的是__________(写出所有正确结论的序号)．解析：f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ＝a 2＋b 2·sin(2x ＋φ)≤a 2＋b 2.因为f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对一切x ∈R 恒成立，所以x ＝π6是函数的对称轴．又周期T ＝π，所以函数f (x )的对称轴为x ＝k π＋π6，x ＝k π＋2π3，对称中心为⎝⎛⎭⎫k π＋5π12，0，⎝⎛⎭⎫k π＋11π12，0，因此f ⎝⎛⎭⎫11π2＝0，故①正确；因为7π10－π5＝π2＝T 2，所以⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫7π10＝⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π5，故②错误；因为f (0)≠0，y 轴不是对称轴，所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )上可能递增也可能递减，故④错误；因为b <a 2＋b 2，所以点(a ，b )在直线y ＝±a 2＋b 2之间，过点(a ，b )的直线与f (x )的图象一定相交，故⑤错误．故填①③.答案：①③。
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高考小题标准练(十一)满分75分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|1≤x ≤2}，B={x|x 2-1≤0}，则A ∩B=( ) A.{x|-1<x<1} B{x|-1<x<2} C.{1} D.{-1，1}【解析】选C.由已知，得A={x|1≤x ≤2}，B={x|-1≤x ≤1}，则A ∩B={x|x=1}. 2.已知复数z 满足(2-i)2·z=1，则z 的虚部为( ) A.325i B.325C.425i D.425【解析】选D.设复数z=a+bi ，则由(2-i)2·z=1可得：(4-4i-1)·(a+bi)=1，即3a+4b+(3b-4a)i=1，所以{3a +4b =1,3b −4a =0,解得：a=325，b=425，故z 的虚部为425.3.已知log 2a>log 2b ，则下列不等式肯定成立的是( ) A.1a >1bB.log 2(a-b)>0C.2a-b<1 D.(13)a <(12)b【解析】选D.由log 2a>log 2b 得a>b>0，所以(13)a <(13)b <(12)b，故选D.4.函数f(x)=x 2+bx 的图象在点A(1，f(1))处的切线与直线3x-y+2=0平行，若数列{1f(n)}的前n 项和为S n ，则S 2021=( )A.1B.2 0132 014C.2 0142 015D.2 0152 016【解题提示】由f ′(1)与直线斜率相等可得f(x)的解析式，从而可得数列{1f(n)}的通项公式，计算可得答案.【解析】选D.f ′(x)=2x+b ，由直线3x-y+2=0可知其斜率为3， 依据题意，有f ′(1)=2+b=3，即b=1， 所以f(x)=x 2+x ，从而数列{1f(n)}的通项为1f(n)=1n 2+n =1n -1n+1，所以S 2021=1-12+12-13+…+12 015-12 016=2 0152 016.5.直线x-y+1=0被圆x 2+y 2+2my=0所截得的弦长等于圆的半径，则实数m=( ) A.√6-2或√6+2 B.2+√6或2-√6 C.1 D.√6【解析】选B.圆的方程即x 2+(y+m)2=m 2，圆心(0，-m)到已知直线的距离d=|m+1|√2=√3|m|2，解得m=2+√6或m=2-√6.6.函数f(x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能的是 ( )【解析】选A.由f ′(x)的图象可知f(x)在(-2，0)上是单调递增的， 在(-∞，-2)，(0，+∞)单调递减，故选A.7.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是74，则( )A.a=3B.a=4C.a=5D.a=6【解析】选A.第一次：S=32，k=2；其次次：S=53，k=3；第三次：S=74，k=4，退出循环，故选A.8.已知不等式组{x −y ≥0,x +y ≤1,x +2y ≥1表示的平面区域为D ，若D 内存在一点P(x 0，y 0)，使ax 0+y 0<1，则a 的取值范围为( )A.(-∞，2)B.(-∞，1)C.(2，+∞)D.(1，+∞)【解析】选A.平面区域D 如图所示，先求z=ax+y 的最小值，当a ≤12时，-a ≥-12，z=ax+y 在点A(1，0)取得最小值a ；当a>12，-a<-12，z=ax+y 在点B (13,13)取得最小值13a+13.若D 内存在一点P(x 0，y 0)，使ax 0+y 0<1，则有z=ax+y 的最小值小于1，所以{a ≤12,a <1或{a >12,13a +13<1,解得a<2，故选A.9.在平行四边形ABCD 中，AB →·BD →=0，2AB →2+BD →2-4=0，若将其沿BD 折成直二面角A-BD-C ，则三棱锥A-BDC 的外接球的表面积为( )A.16πB.8πC.4πD.2π【解题提示】由已知中AB →·BD →=0，可得AB ⊥BD ，沿BD 折起后，由平面ABD ⊥平面BDC ，可得三棱锥A-BCD 的外接球的直径为AC ，进而依据2AB 2→+BD 2→-4=0，求出三棱锥A-BCD 的外接球的半径.【解析】选C.平行四边形ABCD 中，由于AB →·BD →=0，所以AB ⊥BD ， 沿BD 折成直二面角A-BD-C ， 由于平面ABD ⊥平面BDC ，三棱锥A-BCD 的外接球的直径为AC ， 所以AC 2=AB 2+BD 2+CD 2=2AB 2+BD 2=4，所以外接球的半径为1，故表面积是4π.10.已知函数f(x)的定义域为[-1，5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y= f ′(x)的图象如图所示.x -1 0 2 4 5 y1221若函数y=f(x)-a 有4个零点，则实数a 的取值范围为( ) A.[1，2) B.[1，2] C.(2，3) D.[1，3)【解析】选A.依据导函数的图象可知：y=f(x)在[-1，0]，[2，4]单调递增，在[0，2]，[4，5]单调递减，将函数的大致图象画出，所以若y=f(x)-a 有4个零点，则a ∈[1，2)，所以答案为A.【加固训练】已知f(x)是定义在(0，+∞)上的单调函数，且对任意的x ∈(0， +∞)，都有f[f(x)-log 2x]=3，则方程f(x)-f ′ (x)=2的解所在的区间是( ) A.(0,12) B.(12,1) C.(1，2) D.(2，3)【解析】选C.对任意的x ∈(0，+∞)，都有f[f(x)-log 2x]=3，又由f(x)是定义在(0，+∞)上的单调函数，则f(x)-log 2x 为定值，设t=f(x)-log 2x ，则f(x)=log 2x+t ，又由f(t)=3，即log 2t+t=3， 解得t=2；则f(x)=log 2x+2，f ′(x)=1xln2，由于f(x)-f ′(x)=2， 所以log 2x+2-1xln2=2，即log 2x-1xln2=0，设h(x)=log 2x-1xln2，可知h(x)在定义域上为单调增函数，又由于h(1)=log 21-1ln2<0，h(2)=log 22-12ln2=1-1ln4>0，所以h(x)=log 2x-1xln2的零点在区间 (1，2)上，即方程f(x)-f ′(x)=2的解所在的区间是(1，2).二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.已知向量a =(x 2-1，2+x)，b =(x ，1)，a ∥b ，则x= .【解析】由于a =(x 2-1，2+x)，b =(x ，1)，a ∥b ，所以x 2-1=(2+x)x ，解得x=-12.答案：-1212.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为 .【解析】由三视图可知，该几何体是底面半径为2，高为4的圆锥的一半，其表面积为：S=12×π×22+12×4×4+12×12×2π×2×√42+22=8+(2+2√5)π.答案：8+(2+2√5)π13.椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右顶点A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2的斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是 .【解析】椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右顶点A 1，A 2的坐标为(-2，0)，(2，0)，设点P的坐标为(x 0，y 0)，由题意x 024+y 023=1，所以y 02x 02−4=-34，又由于k PA 1·k PA 2=y 0x 0+2·y 0x 0−2=y 02x 02−4=-34，k PA 1=−34k PA 2，直线PA 2的斜率的取值范围是[-2，-1]，所以38≤k PA 1≤34.答案：[38,34]14.抛物线y 2=-12x 的准线与双曲线x 26-y 22=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 .【解析】抛物线的准线方程为x=3，双曲线的渐近线方程为y=±√33x ，所以所要求的三角形的面积为12×3×2√3=3√3.答案：3√315.袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球，若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是 .【解析】全部基本大事为(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(黑，红，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)共计8个，总分至少4分的大事可分为“两黑一红”，“一黑两红”，“三红”这三个互斥大事，所以P=38+38+18=78；也可求对立大事“总分少于4分”即“三黑”的概率为18，所以P=1-18=78. 答案：78关闭Word 文档返回原板块。
高考小题标准练(九)时间：40分钟 分值：75分 姓名：________ 班级：________一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数2＋i－i＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．－1＋2iD ．－1－2i解析：2＋i －i ＝(2＋i )·i －i·i＝2i ＋i 2＝2i －1.故选C.答案：C2．给出以下三个命题：①若ab ≤0，则a ≤0或b ≤0 ②在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ③在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0中，若b 2－4ac <0，则方程有实数根．其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( ) A ．① B ．② C ．③ D ．②③解析：对于命题①，其原命题和逆否命题为真，但逆命题和否命题为假；对于命题②，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为真；对于命题③，其原命题、逆命题、否命题、逆否命题全部为假．故选B.答案：B3．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0 C.12 D ．1 解析：由题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D. 答案：D4．函数f (x )＝3sin x －cos x ，x ∈R .若f (x )≥1，则x 的取值范围为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪k π＋π3≤x ≤k π＋π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2k π＋π3≤x ≤2k π＋π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ k π＋π6≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z 解析：令3sin x －cos x ≥1，即sin ⎝⎛⎭⎫x －π6≥12，解得2k π＋π3≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，故选B. 答案：B5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C,3b ＝20a cos A ，则sin A ：sin B ：sin C ＝( )A ．：：2B ．：：7C ．：：3D ．：：4解析：由3b ＝20a cos A 及余弦定理得3b ＝20a ·b 2＋c 2－a 22bc ，化简得3b 2c ＝10a (b 2＋c 2－a 2)．又a ，b ，c 为连续的三个正整数，且A >B >C ，所以设a ＝m ＋1，b ＝m ，c ＝m －1.所以3m 2·(m －1)＝10(m ＋1)[m 2＋(m －1)2－(m ＋1)2]，解得m ＝5⎝⎛⎭⎫m ＝－87舍去.故a ＝6，b ＝5，c ＝4，由正弦定理得sin A ：sin B ：sin C ＝：：4，故选D.答案：D6．如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳，则经2 009次跳后它停在的点所对应的数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：按规则：从5开始经1次跳到达数2，经2次跳到达数1，经3次跳到达数3，经4次跳到达数5，…，故它是以4为周期．又2009＝4×502＋1，从而经过2009次跳后到达的数与第1次跳后到达的数是一样的，故对应的数为2.故选B.答案：B7．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ， B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }．若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，2 B.⎣⎡⎦⎤12，2＋2 C.⎝⎛⎭⎫12，2＋1 D ．(0，2＋1] 解析：当m <0时，集合A 是以(2,0)为圆心、以|m |为半径的圆，集合B 是在两条平行线之间的部分，A ∩B ≠∅等价于点(2,0)到直线x ＋y ＝2m ＋1的距离不大于半径|m |，因为2－2m －12＋m ＝(1－2)m ＋22>0，A ∩B ＝∅，不符合题意；当m ＝0时，A ＝{(2,0)}，B ＝{(x ，y )|0≤x ＋y ≤1}，A ∩B ＝∅，不符合题意；当m >0时，集合A 是以(2,0)为圆心、以 m2和|m |为半径的圆环，集合B 是在两条平行线之间的部分，必有⎩⎪⎨⎪⎧|2－2m －1|2≥m ，|2－2m |2≤m ，解得2－2≤m ≤2＋2.又因为m 2≤m 2，所以12≤m ≤2＋2.故选B.答案：B 8．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上是增函数．下面关于f (x )的判断：①f (x )是周期函数 ②f (x )的图象关于直线x ＝1对称 ③f (x )在[0,1]上是增函数 ④f (x )在[1,2]上是减函数 ⑤f (2)＝f (0)．其中正确判断的个数是( )A ．5B ．3C ．2D ．1解析：f (x ＋1)＝－f (x )＝f (x －1)＝f (1－x )，所以f (x )是周期为2的函数且图象关于直线x ＝1对称；偶函数f (x )在[－1,0]上是增函数，所以在[0,1]上是减函数，在[1,2]上是增函数．所以①②⑤正确，故选B.答案：B9．异面直线l 与m 所成角为π3，异面直线l 与n 所成角为π4，则异面直线m 与n 所成角的范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π12，π2B.⎣⎡⎦⎤π6，π2C.⎣⎡⎦⎤π12，7π12D.⎣⎡⎦⎤π6，7π12 解析：平移直线l ，m 到同一平面，故当n 也在同一平面，且在l ，m 之间时，异面直线m 与n 所成的角最小，为π3－π4＝π12.再根据异面直线的性质知，异面直线m 与n 所成的角的最大值为π2.所以异面直线m 与n 所成的角的范围是⎣⎡⎦⎤π12，π2.故选A. 答案：A10．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一点，设点P 到此抛物线准线的距离为d 1，到直线x ＋2y ＋10＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．5B ．4 C.1155 D.115解析：点P 到抛物线准线的距离d 1等于点P 到焦点(1,0)的距离，所以d 1＋d 2的值等于焦点到点P 的距离加上从点P 到直线的距离，因此最小值是焦点到直线的距离，点P 是垂线段和抛物线的交点，即d 1＋d 2的最小值等于焦点到直线的距离115＝1155.故选C.答案：C二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点．若截面△BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为__________．解析：由题意，设AB ＝a ，AA 1＝b .由12BD ·DC 1＝6可得a 2＋b 24＝12.由BC 2＋CC 21＝BC 21，得a 2＋b 2＝24，可得a ＝22，b ＝4，所以V ＝34×(22)2×4＝8 3.答案：8 312．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，已知线段F 1F 2被点(b,0)分成两段，则此双曲线的离心率为__________．解析：双曲线的焦点坐标为(c,0)，(－c,0)，则c ＋b ＝5(c －b )，所以b ＝23c .则e ＝c 2a 2＝c 2c 2－b 2＝355. 答案：35513．设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )．若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为__________．解析：点P 的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)．点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上(2≤n ≤5)，且事件C n 的概率最大．当n ＝3时，点P 可能是(1,2)，(2,1)，当n ＝4时，点P 可能是(1,3)，(2,2)，即事件C 3，C 4的概率最大．答案：3或414．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝x ＋yx的取值范围是__________． 解析：不等式表示的区域是一个三角形，顶点坐标为(3,1)，(1,2)，(4,2)，区域中任一点和原点连线的斜率最大为2，最小为13，u ＝x ＋y x ＝1＋yx＝1＋k ，k ∈⎣⎡⎦⎤13，2，故u ∈⎣⎡⎦⎤43，3. 答案：⎣⎡⎦⎤43，315．我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)．如图，设点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点，A 1，A 2和B 1，B 2是“果圆”与x 轴，y 轴的交点．若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为__________．解析：由题意得点F 0(c,0)，F 1(0，－b 2－c 2)，F 2(0，b 2－c 2)，因为△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，所以OF 0＝32，OF 1＝OF 2＝12，故c ＝3×b 2－c 2＝32，解得b ＝1，c ＝32，所以a ＝b 2＋c 2＝72，a 2－c 2＝74－34＝1＝b 2，b ＝1.答案：72，1。
抛物线【九大题型】专练【题型1 抛物线的定义及其应用】........................................................................................................................3【题型2 抛物线的标准方程】................................................................................................................................5【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】............................................................................................................6【题型4 抛物线的轨迹方程】................................................................................................................................7【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】....................................................................................................9【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】..............................................................................11【题型7 抛物线的焦半径公式】..........................................................................................................................14【题型8 抛物线的几何性质】..............................................................................................................................16【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】 (18)1、抛物线【知识点1 抛物线及其性质】1．抛物线的定义(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.(2)集合语言表示设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.2．抛物线的标准方程与几何性质(0,0)(0,0)3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点；③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点；④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.【知识点2 抛物线标准方程的求解方法】1．抛物线标准方程的求解待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.【知识点3 抛物线的焦半径公式】1．焦半径公式设抛物线上一点P的坐标为，焦点为F.(1)抛物线：；(2)抛物线：(3)抛物线：；(4)抛物线：.注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公式.【知识点4 与抛物线有关的最值问题的解题策略】1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.【方法技巧与总结】1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.2．抛物线P，也称为抛物线的焦半径.【题型1 抛物线的定义及其应用】【例1】（2024·贵州贵阳·二模）抛物线y2=4x上一点M与焦点间的距离是10，则M到x轴的距离是（）A．4B．6C．7D．9【解题思路】借助抛物线定义计算即可得.【解答过程】抛物线y2=4x的准线为x=―1，由抛物线定义可得x M+1=10，故x M=10―1=9，则|y M|===6，即M到x轴的距离为6.故选：B.【变式1-1】（2024·河北·模拟预测）已知点P为平面内一动点，设甲：P的运动轨迹为抛物线，乙：P到平面内一定点的距离与到平面内一定直线的距离相等，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【解题思路】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．【解答过程】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，故甲是乙的充分条件但不是必要条件．故选：A．【变式1-2】（2024·北京大兴·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F且斜率为―1的直线与直线x=―1交于点A，点M在抛物线上，且满足|MA|=|MF|，则|MF|=（）A．1B C．2D．【解题思路】由题意先求出过F且斜率为―1的直线方程，进而可求出点A，接着结合点M在抛物线上且|MA|=|MF|可求出x M，从而根据焦半径公式|MF|=x M+1即可得解.【解答过程】由题意可得F(1,0)，故过F且斜率为―1的直线方程为y=―(x―1)=―x+1，令x=―1⇒y=2，则由题A(―1,2)，因为|MA|=|MF|，所以MA垂直于直线x=―1，故y M=2，又M 在抛物线上，所以由22=4x M ⇒x M =1，所以|MF |=x M +1=2.故选：C.【变式1-3】（2024·福建莆田·模拟预测）若抛物线C 的焦点到准线的距离为3，且C 的开口朝左，则C 的标准方程为（ ）A ．y 2=―6xB ．y 2=6xC ．y 2=―3xD ．y 2=3x【解题思路】根据开口设抛物线标准方程，利用p 的几何意义即可求出.【解答过程】依题意可设C 的标准方程为y 2=―2px(p >0)，因为C 的焦点到准线的距离为3，所以p =3，所以C 的标准方程为y 2=―6x .故选：A.【题型2 抛物线的标准方程】【例2】（2024·山东菏泽·模拟预测）已知点A (a,2)为抛物线x 2=2py (p >0)上一点，且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3，则p =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【解题思路】由题意,根据抛物线的性质,抛物线x 2=2py (p >0),则抛物线焦点为F 0,M (x 1,y 1)为 抛物线上一点,有|MF |=y 1+p 2,可得|AF |=2+p2=3,解得p =2.【解答过程】因为抛物线为x 2=2py (p >0),则其焦点在y 轴正半轴 上,焦点坐标为由于点A (a,2)为抛物线x 2=2py ,(p >0)为上一点,且点A 到抛物线的焦点F 的距离为3, 所以点A 到抛物线的焦点F 的距离为|AF |=2+p2=3,解得p =2,故选：C.【变式2-1】（2024·陕西安康·模拟预测）过点(2,―3)，且焦点在y 轴上的抛物线的标准方程是（ ）A ．x 2=―3yB ．x 2=―43yC ．x 2=―23yD ．x 2=―4y【解题思路】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.【解答过程】设抛物线的标准方程为x 2=ay (a ≠0)，将点点(2,―3)代入，得22=―3a，解得a=―43，所以抛物线的标准方程是x2=―43y.故选：B.【变式2-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则抛物线的标准方程为（）A．y2=x B．y2=2x C．y2=4x D．y2=8x【解题思路】根据抛物线的定义求解．【解答过程】由题意抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点F的距离与它到直线x=―1的距离相，因此―p2=―1，p=2，抛物线方程为y2=4x．故选：C．【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于两点A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若|BC|=2|BF|,|AE|=3，则此抛物线的方程为（）A．y2=3x2B．y2=9xC．y2=9x2D．y2=3x【解题思路】过点A,B作准线的垂线，设|BF|=a，得到|AC|=3+3a，结合抛物线的定义，求得a=1，再由BD//FG，列出方程求得p的值，即可求解.【解答过程】如图所示，分别过点B作准线的垂线，垂足为D，设|BF|=a，则|BC|=2|BF|=2a，由抛物线的定义得|BD|=|BF|=a，在直角△BCD中，可得sin∠BCD=|BD||BC|=12，所以∠BCD=30∘，在直角△ACE中，因为|AE|=3，可得|AC|=3+3a，由|AC |=2|AE |，所以3+3a =6，解得a =1，因为BD //FG ，所以1p =2a3a ，解得p =32，所以抛物线方程为y 2=3x .故选：C.【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】【例3】（2024·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线C 的方程为 x =―116y 2, 则此抛物线的焦点坐标为（ ）A ．(-4,0)B ．―14,C ．(-2,0)D ．―12,【解题思路】由抛物线的几何性质求解．【解答过程】依题意得：y 2=―16x ，则此抛物线的焦点坐标为：―4，0，故选：A.【变式3-1】（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知抛物线C:y =6x 2，则C 的准线方程为（ ）A ．y =―32B ．y =32C ．y =―124D ．y =124【解题思路】根据抛物线的准线方程直接得出结果.【解答过程】抛物线C ：y =6x 2的标准方程为x 2=16y ，所以其准线方程为y =―124.故选：C.【变式3-2】（2024·河南·三模）抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为（ ）A ．(0,―14)B ．(0,―7)C ．(―14,0)D ．(―7,0)【解题思路】根据抛物线的标准方程直接得出结果.【解答过程】∵2p =28,∴p =14,∴抛物线y 2=―28x 的焦点坐标为(―7,0).故选：D.【变式3-3】（2024·福建厦门·模拟预测）若抛物线y 2=mx 的准线经过双曲线x 2―y 2=2的右焦点，则m的值为（）A．―4B．4C．―8D．8【解题思路】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为双曲线x2―y2=2的右焦点为(2,0)，又抛物线y2=mx的准线方程为x=―m4，则―m4=2，即m=―8.故选：C.【题型4 抛物线的轨迹方程】【例4】（2024·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x=―2相切，记动圆圆心P点的轨迹为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（）A．y2=2x B．y2=4x C．y2=8x D．y2=12x【解题思路】分析题意，利用抛物线的定义判断曲线是抛物线，再求解轨迹方程即可.【解答过程】由题意知，点P到点F的距离和它到直线x=―2的距离相等，所以点P的轨迹是以(2,0)为焦点的抛物线，所以Γ的方程为y2=8x，故C正确.故选：C.【变式4-1】（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1的动点且动点不在x轴的负半轴的轨迹方程是（）A．y2=8x B．y2=C．y2=2x D．y2=x【解题思路】根据抛物线的定义即可得解.【解答过程】因为动点到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1，所以动点到定点F(1,0)的距离等于到x=―1的距离，所以动点的轨迹是以F(1,0)为焦点，x=―1为准线的抛物线，所以动点的轨迹方程是y2=4x.故选：B.【变式4-2】（23-24高二上·重庆·期末）已知点P(x,y)=|x+1|，则点P的轨迹为（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆【解题思路】根据已知条件及抛物线的定义即可求解.P(x,y)到点(1,0)的距离；|x+1|表示点P(x,y)到直线x=―1的距离.=|x+1|，所以点P(x,y)到点(1,0)的距离等于点P(x,y)到直线x=―1的距离，所以P的轨迹为抛物线.故选：C.【变式4-3】（23-24高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）一个动圆与定圆F：(x+2)2+y2=1相内切，且与定直线l:x=3相切，则此动圆的圆心M的轨迹方程是（ ）A．y2=8x B．y2=4x C．y2=―4x D．y2=―8x【解题思路】先利用圆与圆的位置关系，直线与圆的位置关系找到动点M的几何条件，再根据抛物线的定义确定动点M的轨迹，最后利用抛物线的标准方程写出轨迹方程．【解答过程】设动圆M的半径为r，依题意：|MF|=r―1，点M到定直线x=2的距离为d=r―1，所以动点M到定点F(―2,0)的距离等于到定直线x=2的距离，即M的轨迹为以F为焦点，x=2所以此动圆的圆心M的轨迹方程是y2=―8x.故选：D．【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】【例5】（2024·全国·模拟预测）已知A是抛物线C：y2=4x上的点，N(4,0)，则|AN|的最小值为（）A．2B．C．4D．【解题思路】由抛物线的方程，利用二次函数的性质求最值【解答过程】设,t，则|AN|===≥当且仅当t=±故选：D．【变式5-1】（2024高三·全国·专题练习）已知P是抛物线y2=2x上的点，Q是圆(x―5)2+y2=1上的点，则|PQ |的最小值是（ ）A ．2B ．C ．D ．3【解题思路】将问题转化为求|PC|的最小值，根据两点之间的距离公式，求得|PC|的最小值再减去半径即可.【解答过程】如图，抛物线上点P (x,y )到圆心C (5,0)的距离为|PC |,|CP |≤|CQ |+|PQ |，因此|PQ |≥|CP |―1，当|CP |最小时，|PQ |=|CP |―1最小，而|CP |2=(x ―5)2+y 2=―52+y 2=2―82+9，当y =±|CP |min =3，因此|PQ |的最小值是2．故选：A.【变式5-2】（2024·湖南益阳·三模）已知M 是抛物线y²=4x 上一点，圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1关于直线y =x ―1对称的圆为C 2，N 是圆C 2上的一点，则|MN |的最小值为（ ）A ．1B ―1C―1D ．37【解题思路】根据对称性求出圆C 2的方程，设y 0，求出|MC 2|的最小值，即可求出|MN |的最小值.【解答过程】圆C 1:(x ―1)2+(y ―2)2=1圆心为C 1(1,2)，半径r =1，设C 2(a,b )，=―1―1=0，解得a =3b =0，则C 2(3,0)，所以圆C2 :(x ―3)2+y 2=1，设y 0，则|MC 2|==所以当y 20=4，即y 0=±2时，|MC 2|min=所以|MN |的最小值是―1.故选：A.【变式5-3】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知抛物线C:y2=8x的焦点为F，M为C上的动点，N为圆A:x2+ y2+2x+8y+16=0上的动点，设点M到y轴的距离为d，则|MN|+d的最小值为（）A．1B C D．2【解题思路】作出图形，过点M作ME垂直于抛物线的准线，垂足为点E，利用抛物线的定义可知d=|MF|―2，分析可知，当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，|MN|+d取最小值，即可得解.【解答过程】根据已知得到F(2,0)，圆A:(x+1)2+(y+4)2=1，所以A(―1,―4)，圆A的半径为1，抛物线C的准线为l:x=―2，过点M作ME⊥l，垂足为点E，则|ME|=d+2，由抛物线的定义可得d+2=|ME|=|MF|，所以，|MN|+d=|MN|+|MF|―2≥|AM|+|MF|―1―2≥|AF|―1―2=1―2=2.当且仅当N、M为线段AF分别与圆A、抛物线C的交点时，两个等号成立，因此，|MN|+d的最小值为3.故选：D.【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】【例6】（2024·四川成都·模拟预测）设点A(2,3)，动点P在抛物线C:y2=4x上，记P到直线x=―2的距离为d，则|AP|+d的最小值为（）A．1B．3C1D【解题思路】根据抛物线的定义，P到焦点F的距离等于P到准线的距离，可得d=|PF|+1，从而转化为求|AP|+|PF|+1的值，当A,P,F三点共线时，d=|PF|+1取得最小值，即可求解.【解答过程】由题意可得，抛物线C的焦点F(1,0)，准线方程为x=―1，由抛物线的定义可得d=|PF|+1，所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1，因为|AP|+|PF|≥|AF|==所以|AP|+d=|AP|+|PF|+1≥+1.当且仅当A,P,F三点共线时取等号，所以|AP|+d+1.故选：D.【变式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知抛物线方程为:y2=16x，焦点为F.圆的方程为(x―5)2+(y―1)2 =1，设P为抛物线上的点，Q|PF|+|PQ|的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【解题思路】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即|PF|=|PN|，从而得到|PF|+ |PQ|=|PN|+|PQ|，P、Q、N三点共线时和最小；再由Q在圆上，|QN|min=|MN|―r得到最小值.【解答过程】由抛物线方程为y2=16x，得到焦点F(4,0)，准线方程为x=―4，过点P做准线的垂线，垂足为N，因为点P在抛物线上，所以|PF|=|PN|，所以|PF|+|PQ|=|PN|+|PQ|，当Q点固定不动时，P、Q、N三点共线，即QN垂直于准线时和最小，又因为Q在圆上运动，由圆的方程为(x―5)2+(y―1)2=1得圆心M(5,1)，半径r=1，所以|QN|min=|MN|―r=8，故选：C.【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）在直角坐标系xOy中，已知点F(1,0)，E(―2,0)，M(2,2)，动点P满足线段PE的中点在曲线y2=2x+2上，则|PM|+|PF|的最小值为（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】设P(x,y)，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将|PM|+|PF|的最小值转化为M 到直线l的距离，即可求得答案.【解答过程】设P(x,y)，则PE y2=2x+2，可得y2=4x，故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l：x=―1为准线的抛物线，由于22<4×2，故M(2,2)在抛物线y2=4x内部，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，则|PM|+|PF|=|PM|+|PQ|，（抛物线的定义），故当且仅当M，P，Q三点共线时，|PM|+|PQ|最小，即|PM|+|PF|最小，最小值为点M到直线l的距离，所以(|PM|+|PF|)min=2―(―1)=3，故选：B．【变式6-3】（2024·陕西西安·一模）设P为抛物线C：y2=4x上的动点，A(2,6)关于P的对称点为B，记P到直线x=―1、x=―4的距离分别d1、d2，则d1+d2+|AB|的最小值为（）A B．C+3D．+3【解题思路】根据题意得到d1+d2+|AB|=2d1+3+2|PA|=2(d1+|PA|)+3，再利用抛物线的定义结合三角不等式求解.【解答过程】抛物线C：y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，如图，因为d 2=d 1+3，且A (2,6)关于P 的对称点为B ，所以|PA |=|PB |，所以d 1+d 2+|AB |=2d 1+3+2|PA |=2(d 1+|PA |)+3 =2(|PF |+|PA |)+3≥2|AF |+3 ==.当P 在线段AF 与抛物线的交点时，d 1+d 1+|AB |取得最小值，且最小值为.故选：D.【题型7 抛物线的焦半径公式】【例7】（2024·青海西宁·一模）已知F 是抛物线C:x 2=4y 的焦点，点M 在C 上，且M 的纵坐标为3，则|MF |=（ ）A ．B ．C ．4D ．6【解题思路】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解.【解答过程】由x 2=4y ，得2p =4，解得p =2.所以抛物线C:x 2=4y 的焦点坐标为F (0,1)，准线方程为y =―1，又因为M 的纵坐标为3，点M 在C 上，所以|MF |=y M +p2=3+22=4.故选：C.【变式7-1】（2024·河南·模拟预测）已知抛物线C:y 2=2px (p >0)上的点(m,2)到原点的距离为为F ，准线l 与x 轴的交点为M ，过C 上一点P 作PQ ⊥l 于Q ，若∠FPQ =2π3，则|PF |=（ ）A ．13B ．12C D ．23【解题思路】根据点(m,2)到原点的距离为再设点P 坐标，利用抛物线的定义和等腰三角形的性质列出方程即可求解.【解答过程】因为点(m,2)到原点的距离为所以m 2+22=8，解得m =2，（负值舍），将点(2,2)代入抛物线方程y 2=2px (p >0)，得4=4p ，所以p =1，所以C:y 2=2x,F(12,0),l:x =―12.由于抛物线关于x 轴对称，不妨设，因为|PQ|=|PF|=x +12，∠FPQ =2π3，所以△PQF 为等腰三角形，∠PQF =π6，所以|QF|=+12)，所以|QF|==+12)，解得x =16或x =―12(舍)，所以|PF |=16+12=23.故选：D.【变式7-2】（2024·新疆·三模）已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，在抛物线C 上存在四个点P ，M ，Q ，N ，若弦PQ 与弦MN 的交点恰好为F ，且PQ ⊥MN ，则1|PQ |+1|MN |=（ ）A B ．1C D ．2【解题思路】由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，应用抛物线焦点弦性质|PF |=p1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，|MF |=p1+sin θ，|NF |=p1―sin θ，结合三角的恒等变换的化简可得1|PQ |+1|MN |=12p ，即可求解.【解答过程】由抛物线C:y 2=x 得2p =1，则p =12，F(14,0)，不妨设PQ 的倾斜角为θ0<θ<则由|PF |cos θ+p =|PF |，p ―|QF |cos θ=|QF |，得|PF |=p 1―cos θ，|QF |=p1+cos θ，所以|MF |==p1+sin θ，|NF |==p1―sin θ，得|PQ |=|PF |+|QF |=p1―cos θ+p1+cos θ=2psin 2θ，|MN |==2pcos 2θ，所以1|PQ |+1|MN |=12p =1.故选：B.【变式7-3】（2024·北京西城·三模）点F 抛物线y 2=2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若FA +FB +FC =0，则|FA |+|FB |+|FC |=（ ）A ．2B ．C ．3D ．【解题思路】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由FA +FB +FC =0可得F 为△ABC 的重心，从而可求出x 1+x 2+x 3，再根据抛物线的定义可求得结果.【解答过程】设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)，由y 2=2x ，得p =1，所以F(12,0)，准线方程为x =―12，因为FA +FB +FC =0，所以F 为△ABC 的重心，所以x 1+x 2+x 33=12，所以x 1+x 2+x 3=32，所以|FA |+|FB |+|FC |=x 1+12+x 2+12+x 3+12=x 1+x 2+x 3+32=32+32=3，故选：C.【题型8 抛物线的几何性质】【例8】（2024·重庆·模拟预测）A,B 是抛物线y 2=2px(p >0)上的不同两点，点F 是抛物线的焦点，且△OAB 的重心恰为F ，若|AF|=5，则p =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解题思路】根据重心可得x 1+x 2=3p 2y 1=―y 2，结合对称性可得x 1=3p4，再根据抛物线的定义运算求解.【解答过程】设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，因为△OAB 的重心恰为F=p2=0，解得x 1+x 2=3p2y 1=―y 2，由y 1=―y 2可知A,B 关于x 轴对称，即x 1=x 2，则x 1+x 2=2x 1=3p2，即x 1=3p 4，又因为|AF |=x 1+p2=5p 4=5，解得p =4.故选：D.【变式8-1】（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2=2x 上，则这个等边三角形的边长为（ ）A ．2B ．C ．4D．【解题思路】正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，设另外两个顶点坐标分别是A ),B―a)，把顶点代入抛物线方程化简即可求解.【解答过程】设正三角形得边长为2a ，由图可知正三角形的另外两个顶点关于x 轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是A),B―a )，把顶点代入抛物线方程得a 2=解得a =所以正三角形的边长为故选：D.【变式8-2】（23-24高三下·北京·阶段练习）设抛物线C 的焦点为F ，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，点P 在C 上，若∠PEF =30°，则sin ∠PFE =（ ）A B C D 【解题思路】先设P(x 0,y 0)，根据图形分别表示出tan ∠ P EF 和sin ∠ P FE 即可得解.【解答过程】由于抛物线的对称性，不妨设抛物线为C:y 2=2px(p >0)，则其焦点为F(p2,0)，点E 是C 的准线与C 的对称轴的交点，其坐标为E(―p2,0)，点P 在C 上，设为P(x 0,y 0)，若∠ P EF =30∘，则tan ∠ P EF =|y 0|x 0+p 2=且|PF|=x 0+p 2，则sin ∠ P FE =sin (π―∠ P FE )=|y 0||PF|=故选：B.【变式8-3】（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知x 轴上一定点A (a,0)(a >0)，和抛物线y 2=2px (p >0)上的一动点M ，若|AM |≥a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．B ．(0,p ]C ．D ．(0,2p ]【解题思路】设M (x 0,y 0) (x 0≥0)，表示出|AM |，依题意可得x 20―(2a ―2p )x 0≥0恒成立，分x 0=0和x 0>0两种情况讨论，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，即可得到2a―2p≤0，从而求出a的取值范围.【解答过程】设M(x0,y0)(x0≥0)，则y20=2px0，所以|AM|====因为|AM|≥a恒成立，所以x20―(2a―2p)x0+a2≥a2恒成立，所以x20―(2a―2p)x0≥0恒成立，当x0=0时显然恒成立，当x0>0时x0≥2a―2p恒成立，所以2a―2p≤0，则a≤p，又a>0，所以0<a≤p，即实数a的取值范围为(0,p].故选：B.【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】【例9】（2024·江西新余·二模）已知点Q(2,―2)在抛物线C：y2=2px上，F为抛物线的焦点，则△OQF （O为坐标原点）的面积是（）A．12B．1C．2D．4【解题思路】将点Q代入抛物线C的方程，即可求解p，再结合抛物线的公式，即可求解【解答过程】∵点Q(2,―2)在抛物线C:y2=2px上，F为抛物线C的焦点，∴4=4p，解得p=1，故抛物线C的方程为y2=2x，F(12,0)，则△OQF的面积S△OQF=12×12×2=12．故选：A．【变式9-1】（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，直线l与C相交于A、B两点，与y轴相交于点E．已知|AF|=5，|BF|=3，若△AEF的面积是△BEF面积的2倍，则抛物线C的方程为（）A ．y 2=2xB ．y 2=4xC ．y 2=6xD ．y 2=8x【解题思路】过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，根据抛物线定义可得|AM |=5―p2，|BN |=3―p 2，再由S △AEF S △BEF=|AE ||BE |=|AM ||BN |即可求参数p ，进而可得抛物线方程.【解答过程】如图，过A,B 分别作C 的准线的垂线交y 轴于点M,N ，则AM //BN ，故|AE ||BE |=|AM ||BN |，因为C 的准线为x =―p2，所以|AM |=|AF |―p2=5―p2，|BN |=|BF |―p2=3―p2，所以S △AEFS △BEF=12|EF ||AE |sin ∠AEF 12|EF ||BE |sin ∠BEF =|AE ||BE |=|AM ||BN |=5―p 23―p 2=2，解得p =2，故抛物线C 的方程为y 2=4x .故选：B.【变式9-2】（23-24高二上·广东广州·期末）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A,B,C 为该抛物线上不同的三点，且FA +FB +FC =0,O 为坐标原点，若△OFA 、△OFB 、△OFC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 21+S 22+S 23=（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解题思路】设点A,B,C 的坐标，再表示出△OFA,△OFB,△OFC 的面积，借助向量等式即可求得答案.【解答过程】设点A,B,C 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)，而抛物线的焦点F(1,0)，|OF|=1，FA =(x 1―1,y 1),FB =(x 2―1,y 2),FC =(x 3―1,y 3)，由FA +FB +FC =0，得x 1+x 2+x 3=3，于是S 1=12|y 1|,S 2=12|y 2|,S 3=12|y 3|，所以S 21+S 22+S 23=14(y 21+y 22+y 23)=x 1+x 2+x 3=3.故选：A.【变式9-3】（23-24高二·全国·课后作业）已知抛物线C：y2=8x，点P为抛物线上任意一点，过点P向圆D：x2+y2―4x+3=0作切线，切点分别为A，B，则四边形PADB的面积的最小值为（）A．1B．2C D【解题思路】由题意圆的圆心与抛物线的焦点重合，可得连接PD，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|，而|PA|=|PD|最小时，四边形PADB的面积最小，再抛物线的定义转化为点P到抛物线的准线的距离的最小值，结合抛物线的性质可求得结果【解答过程】如图，连接PD，圆D：(x―2)2+y2=1，该圆的圆心与抛物线的焦点重合，半径为1，则S四边形PADB=2S Rt△PAD=|PA|．又|PA|=PADB的面积最小时，|PD|最小．过点P向抛物线的准线x=―2作垂线，垂足为E，则|PD|=|PE|，当点P与坐标原点重合时，|PE|最小，此时|PE|=2．==故S四边形PADBmin故选：C.一、单选题1．（2024·江西·模拟预测）若抛物线x 2=8y 上一点(x 0,y 0)到焦点的距离是该点到x 轴距离的2倍．则y 0=（ ）A ．12B ．1C ．32D ．2【解题思路】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛物线的定义，得到抛物线上的点(x 0,y 0)到焦点的距离，根据题意得到关于y 0的方程，求解即可．【解答过程】已知拋物线的方程为x 2=8y ，可得p =4．所以焦点为F (0,2)，准线为l ：y =―2．抛物线上一点A (x 0,y 0)到焦点F 的距离等于到准线l 的距离，即|AF |=y 0+2，又∵A 到x 轴的距离为y 0，由已知得y 0+2=2y 0，解得y 0=2．故选：D ．2．（2024·四川·模拟预测）已知抛物线C:x 2=8y 的焦点为F,P 是抛物线C 上的一点，O 为坐标原点，|OP |=4|PF |=（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【解题思路】求出抛物线焦点和准线方程，设P (m,n )(m ≥0)，结合|OP |=n =4，由焦半径公式得到答案.【解答过程】抛物线C:x 2=8y 的焦点为F (0,2)，准线方程为y =―2，设P (m,n )(m ≥0)=，解得n =4或n =―12（舍去），则|PF |=n +2=6．故选：B ．3．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆C 与x 轴相切且与圆x 2+y 2=4外切，则圆C 的圆心的轨迹方程为（ ）A ．x 2=4y +4B ．x 2=―4y +4C ．x 2=4|y |+4D ．x 2=4y ―4【解题思路】设圆心坐标为(x,y )=2+|y |，化简整理即可得解.【解答过程】设圆心坐标为(x,y)=2+|y|，化简得x2=4|y|+4，即圆C的圆心的轨迹方程为x2=4|y|+4.故选：C.4．（2024·北京海淀·三模）已知抛物线y2=4x的焦点为F、点M在抛物线上，MN垂直y轴于点N，若|MF|=6，则△MNF的面积为（）A．8B．C．D．【解题思路】确定抛物线的焦点和准线，根据|MF|=6得到M.【解答过程】因为抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x=―1，所以|MF|=x M+1=6，故x M=5，不妨设M在第一象限，故M×(5―0)×=所以S△MNF=12故选：C.5．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线y2=8x上一点P到准线的距离为d1，到直线l:4x―3y+12=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，利用抛物线的定义得|PF|=|PB|，当A，P和F共线时，点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案.【解答过程】由抛物线y2=8x知，焦点F(2,0)，准线方程为l:x=―2，根据题意作图如下；点P到直线l:4x―3y+12=0的距离为|PA|，到准线l1:x=―2的距离为|PB|，由抛物线的定义知：|PB|=|PF|，所以点P到直线l:4x―3y+12=0和准线l1:x=―2的距离之和为|PF|+|PA|，=4，且点F(2,0)到直线l:4x―3y+12=0的距离为d=|8―0+12|5所以d1+d2的最小值为4.故选：D.6．（2024·四川雅安·三模）已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与拋物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则p=（）B．1C．2D．4A．12【解题思路】根据圆的通径的上端点就是抛物线通径的上右端点，可得抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，从而可得答案.【解答过程】因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的一条直径与抛物线x2=2py(p>0)的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，而抛物线x2=2py(p>0)的通径与y轴垂直，所以圆(x―2)2+(y+1)2=4的这条直径与x轴垂直，且圆的直径的上端点就是抛物线通径的右端点，因为圆(x―2)2+(y+1)2=4的圆心为(2,―1)，半径为2，所以该圆与x轴垂直的直径的上端点为(2,1)，即抛物线x2=2py(p>0)经过点(2,1)，则4=2p，即p=2.故选：C.7．（2024·山西运城·三模）已知抛物线C:y 2=4x 的焦点为F ，动点M 在C 上，点B 与点A (1,―2)关于直线l:y =x ―1对称，则|MF ||MB |的最小值为（ ）AB ．12CD ．13【解题思路】根据对称性可得B(―1,0)，即点B 为C 的准线与x 轴的交点，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，结合抛物线的定义可知|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ(∠MBF =θ)，结合图象可得当直线MB 与C 相切时，cos θ最小，求出切线的斜率即可得答案.【解答过程】依题意，F(1,0)，A(1,―2)，设B(m,n)=―1m+12―1，解得m =―1n =0，即B(―1,0)，点B 为C 的准线与x 轴的交点，由抛物线的对称性，不妨设点M 位于第一象限，作MM ′垂直于C 的准线于点M ′，设∠MBF =θ,θ∈ (0,π2)，由抛物线的定义得|MM ′|=|MF |，于是|MF ||MB |=|MM ′||MB |= cos θ，当直线MB 与C 相切时，θ最大，cos θ最小，|MF||MB|取得最小值，此时直线BM 的斜率为正，设切线MB 的方程为x =my ―1(m >0)，由x =my ―1y 2=4x消去x 得y 2―4my +4=0，则Δ=16m 2―16=0，得m =1，直线MB 的斜率为1，倾斜角为π4，于是θmax =π4，(cos θ)min =，所以|MF||MB|的最小值为故选：A.8．（2024·江西九江·二模）已知抛物线C:y 2=2px 过点A (1,2)，F 为C 的焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，则（ ）A ．C 的准线方程为x =―2B ．△AFO 的面积为1C ．不存在点P ，使得点P 到C 的焦点的距离为2D ．存在点P ，使得△POF 为等边三角形【解题思路】求解抛物线方程，得到准线方程，判断A ；求解三角形的面积判断B ；利用|PF|=2．判断C ；判断P 的位置，推出三角形的形状，判断D ．【解答过程】由题意抛物线C:y 2=2px 过点A(1,2)，可得p =2，所以抛物线方程为C:y 2=4x ，所以准线方程为x =―1，A 错误；可以计算S △AFO =12×1×2=1，B 正确；当P(1,2)时，点P 到C 的焦点的距离为2，C 错误；△POF 为等边三角形，可知P 的横坐标为：12，当x =12时，纵坐标为：则12×=≠则△POF 为等腰三角形，不是等边三角形，故等边三角形的点P 不存在，所以D 错误．故选：B ．二、多选题9．（2024·湖南长沙·二模）已知抛物线C 与抛物线y 2=4x 关于y 轴对称，则下列说法正确的是（ ）A ．抛物线C 的焦点坐标是(―1,0)B ．抛物线C 关于y 轴对称C ．抛物线C 的准线方程为x =1D ．抛物线C 的焦点到准线的距离为4【解题思路】依题意可得抛物线C 的方程为y 2=―4x ，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性。
高考小题标准练(四)小题强化练，练就速度和技能，掌握高考得分点！ 姓名：________ 班级：________ 一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数a ＋i 1－2i 是纯虚数，则实数a ＝( )A ．2B ．－12C.15 D ．－25 解析：由a ＋i 1－2i ＝a ＋＋5＝a －＋＋2a5是纯虚数，得a －2＝0,1＋2a ≠0，所以a ＝2.故选A.答案：A2．设集合A ＝{1,2,3}，则满足A ∪B ＝{1,2,3,4,5}的集合B 有( ) A ．2个 B ．4个 C ．8个 D ．16个解析：A ＝{1,2,3}，A ∪B ＝(1,2,3,4,5)，则集合B 中必含有元素4和5，即此题可转化为求集合A ＝{1,2,3}的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有23＝8(个). 故选C.答案：C3．已知命题p ：直线a 与平面α内无数条直线垂直；命题q ：直线a 与平面α垂直．则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由题意知p ⇒/ q ，但q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件. 故选B. 答案：B4．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由题意可得x ＋y ＝20，(x －10)2＋(y －10)2＝8，设x ＝10＋t ，y ＝10－t ，则|t |2＋|t |2＝8，即|t |＝2，故|x －y |＝2|t |＝4.故选D.答案：D5．已知圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的圆心为抛物线y 2＝4x 的焦点，且与直线3x ＋4y ＋2＝0相切，则该圆的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝6425B ．x 2＋(y －1)2＝6425C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1解析：因为抛物线的焦点为(1,0)，所以a ＝1，b ＝0.而(1,0)到直线3x ＋4y ＋2＝0的距离d ＝3＋232＋42＝1，所以r ＝1，故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1.故选C.答案：C6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝( ) A ．9 B.19C ．－9D ．－19解析：f ⎝⎛⎭⎫14＝log 214＝－2，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫14＝f (－2)＝3－2＝19.故选B. 答案：B7．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α＝( ) A.22 B.33C. 2D. 3解析：因为sin 2α＋cos2α＝14，所以sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14，即cos 2α＝14.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos α＝12(负根舍去)，故α＝π3，所以tan α＝tan π3＝ 3.故选D.答案：D8．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．记r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则( )A ．r 2＜r 1＜0B ．0＜r 2＜r 1C ．r 2＜0＜r 1D ．r 2＝r 1 解析：r＝∑i ＝1nx i －x －y i －y－∑i ＝1nx i －x－2∑i ＝1ny i －y－2，计算可知r 1正相关，r 2负相关．故选C .答案：C9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c.若c ＝3a ，B ＝30°，那么角C ＝( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°解析：由正弦定理a sin A ＝c sin C 得a sin －＝3asin C，解得tan C ＝－3，故C ＝120°. 故选A .答案：A10．在数列{a n }中，a 1＝2，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2(n ∈N *)，则a 10＝( ) A ．34 B ．36 C ．38 D ．40解析：由na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2得(n －1)a n ＝na n －1＋2，则有a n n －a n －1n －1＝2⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ，a n －1n －1－a n －2n －2＝2⎝⎛⎭⎫1n －2－1n －1，…，a 22－a 11＝2⎝⎛⎭⎫11－12，累加得an n －a 1＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ，所以a n ＝4n －2，所以a 10＝38.故选C.答案：C二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上)11．二项式⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋12x n的展开式中，前三项系数依次组成等差数列，则展开式中的常数项等于________．解析：前三项系数依次为1，n 2，n 2－n8，由题意n ＝1＋n 2－n 8，解得n ＝8(n ＝1舍去)，所以展开式中的通项为T r ＋1＝C r 8(6x )8－r ⎝⎛⎭⎫12x r ＝⎝⎛⎭⎫12r C r 8x 8－r 6－r 2.令8－r 6－r2＝0，得r ＝2，所以常数项是T 3＝⎝⎛⎭⎫122C 28＝7.答案：712．设函数f (x )＝x ·2x ＋x ，A 0的坐标原点，A n 为函数y ＝f (x )图像上横坐标为n (n ∈N *)的点，向量a n ＝k ＝1n A k －1A k ，i ＝(1,0)．设θn 为a n 与i 的夹角，则∑k ＝1ntan θk ＝________.解析：a n ＝A 0A n →＝(n ，n ·2n ＋n )，θn 即为向量A 0A n →与x 轴的夹角，所以tan θn ＝2n ＋1，所以∑k ＝1ntan θk ＝2＋22＋…＋2n ＋n ＝2n ＋1＋n －2.答案：2n ＋1＋n －213．如图，在多面体ABCDEF 中，已知底面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝32，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为________．解析：分别过点F 作FG ∥EA ，FH ∥ED.连接GH ，则该多面体被分成一个三棱柱和一个四棱锥，则所求体积为V ＝V ADE －GHF ＋V F －GHCB ＝12×3×2×32＋13×32×3×2＝152.答案：15214．已知|a |＝3，|b |＝4，(a ＋b )·(a ＋3b )＝33，则a 与b 的夹角为________． 解析：设a 与b 的夹角为θ，由(a ＋b )·(a ＋3b )＝33可得a 2＋4a ·b ＋3b 2＝33，即9＋4×3×4cos θ＋3×16＝33，所以cos θ＝－12，解得θ＝120°.答案：120°15．按右图所示的程序框图运算，若输入x ＝8，则输出的k ＝________.解析：执行循环如下：x ＝2×8＋1＝17，k ＝1；x ＝2×17＋1＝35，k ＝2；x ＝2×35＋1＝71，k ＝3；x ＝2×71＋1＝143＞115，k ＝4，此时满足条件．故输出k 的值为4.答案：4。
