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量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 λνc =， （2）||λνρρλd d v =， （3）有(),118)(|)(||52-⋅=⋅===kThc v v ehc cd c d d dvλνλλπλλρλλλρλρρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kThce kT hc ehcd d λλλλλπλρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯≈-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1.2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解：根据德布罗意波粒二象性的关系，可知λh P =。
所考虑的粒子是非相对论性的电子（动能eV c m E e k 621051.0⨯=<<），满足ek m p E 22=， 因此利用非相对论性的电子的能量—动量关系式，有nmm mE c m hc E m h ph e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯====--λ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1， eV c m e 621051.0⨯=。
2.7 线性谐振子 一维空间中运动的粒子,势能为：221()2U x m x ω= 许多体系可近似地看成线性谐振子 ,在平衡位置附近作往复运动的粒子。
Hamilton 量222122x p H m x ωμ=+满足的薛方程定态 为了方便设2E xξααλω====定态薛方程可写为：()2220d d ψλξψξ+-= 这是一个变系数二阶常微方程 不好解 碰到此类问题可以考虑： （1）将方程化为某个已知解的方程 （2）特殊函数，已知的，自己定义的 （3）数值解先看波函数在ξ→∞时渐近行为 即2x λξ→∞数学上方程变为2220d d ψξψξ-= λ 远小于 ξ2 不表示 E 远小于 U 方程的解是22Aeξψ±=当ξ→±∞有限，所以 ξ→∞渐近解 求一般解，整个区间都适应，我们把写成如下形式求求方程()H ξ为待定函数，要求ξ在有限时有限，且，在ξ→±∞时，波函数有限。
更需要满足定态方程问题归结为求满足以上条件的待定函数()H ξ将上式代入定态方程求出满足一上条件的波函数将上式代入定态方程()2220d d ψλξψξ+-= 得222222(2)()0eHH H H Heξξξξλξ--'''--+++-=化简，得222(1)0d H dHH d d ξλξξ-+-= 此方程有解的条件是 这个级数必须只会有限项，才能在ξ→±∞时()ψξ有限，而只含有限项的条件是为λ为奇数方程变为22220n nn d H dH nH d d ξξξ-+=厄米方程，用级数法求解(厄米多项式)，令代入厄米方程，得到系数ck 的递推式比较系数，第一项ck+2,三四项 含ck 系数ck 的递推式 注意：c(n,k) 和k,n 相关 c0, c1 如何知道？ C0=1c(n,k)=0 if k>n c1=2这样就得到()n H ξ()22()n n eH ξψξξ-= 波函数厄米多项式 H 的三种表示 级数表示[/2]20(1)!()(2)!(2)!k n n k n k n H k n k ξξ-=-=-∑积分表示()2()nn t n H it e dt ξξ∞--∞=+⎰微分表示()22(1)nn n nd He e d ξξξξ-=-厄米多项式 有如下性质 递推关系 111()()()2n n n H H nH ξξξξ+-=+微分性质()1()2n n dH nH d ξξξ-=完备性()0()n n n f c H ξξ∞==∑正交归一2''()()2n n n nn eH H d n ξξξξ∞--∞=⎰能量221,0,1,2,3En n λω==+= 特点：能量分立，等间隔，基态能不为零本征波函数()22,()i E t n n n n t N eH eξψξξ--=粒子出现的范围经典物理范围 2212nm E m X ω= 在经典中,粒子在ξ到d ξξ+之间出现的几率是在此区间逗留的时间除周期T量子物理范围2*2[,]()n n n n nN eH ξψξψψ-∞-∞=2.9 一维方势阱 所谓一维方势阱指的是在一维空间中运动的微观粒子，其势能在一定的区间内，为一负值，而在此区间之外为零，即对应实际问题？所有局部区域势能低于去他区域的问题和势垒相似此时，描述粒子运动状态的波函数()x φ所满足的定态薛定谔方程为（1）E>0的情形2221122222022222221122202()020l l m m r r d mE k k dx m E U d k k dx d mE k k dxφφφφφφ=+=+=+==+=为了方便，令k1、k2都大于零实数解为112211(1)'(2)'(3)ik x ik x l ik xik xm ik x ik xr AeA eBe B e CeC eφφφ---'=+=+=+含时间的波函数以上式各项都是平面波对③式，只有向右传播，向左传播为零 ∴C ’=0波函数及其微商在 x=0, x=a 连续 四个方程线性，五个未知数 有一个常数归一化确定计算 入射波 几率流密度**()2i J ψψψψμ=∇-∇ 正值向右 负值向左透射系数 22212222222122124()sin 4T C J k k T J k k k a k k A λ===-+反射系数222212222222212212'()sin 1()sin 4R A J k k k aR D J k k k a k k A λ-===-=-+经典物理 粒子 E>U 0 时越过势阱到右 （100%）量子物理 粒子 E>U 0 可能穿过，也可能反射能量相关，a 相关p2522012222()2m E U mEk k +==显然，在22(1,2,)sin 0k an n k a π=== 特定情形下，其透射系数T 等于1。
