2015年福建省高考数学试卷(理科)

2015年全国各地高考福建省高考理科数学试题及解析一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)2015年全国各地高考普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(理工类)1.(5分)若集合A ＝{i,i 2,i 3,i 4}(i 是虚数单位),B ＝{1,﹣1},则A ∩B 等于( )A.{﹣1}B.{1}C.{1,﹣1}D.∅2.(5分)下列函数为奇函数的是( )A.y ＝B.y ＝|sinx |C.y ＝cosxD.y ＝e x ﹣e ﹣x3.(5分)若双曲线E ：＝1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线E 上,且|PF 1|＝3,则|PF 2|等于( )A.11B.9C.5D.3 4.(5分)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程,其中,据此估计,该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元5.(5分)若变量x,y 满足约束条件则z ＝2x ﹣y 的最小值等于( )A.2B.﹣2C.D.6.(5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为( )A.2B.1C.0D.﹣17.(5分)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件8.(5分)若a,b是函数f(x)＝x2﹣px＋q(p＞0,q＞0)的两个不同的零点,且a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p＋q的值等于()A.6B.7C.8D.99.(5分)已知,若P点是△ABC所在平面内一点,且,则的最大值等于()A.13B.15C.19D.2110.(5分)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝﹣1,其导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1,则下列结论中一定错误的是()A.B. C. D.二、填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分.11.(4分)(x＋2)5的展开式中,x2的系数等于.(用数字作答)12.(4分)若锐角△ABC的面积为,且AB＝5,AC＝8,则BC等于.13.(4分)如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)＝x2,若在矩形ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于.14.(4分)若函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的值域是[4,＋∞),则实数a的取值范围是.15.(4分)一个二元码是由0和1组成的数字串,其中x k(k＝1,2,…,n)称为第k位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0)已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于.三、解答题16.(13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望.17.(13分)如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB ＝BE＝EC＝2,G,F分别是线段BE,DC的中点.(1)求证：GF∥平面ADE;(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.18.(13分)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点,且离心率e为.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线x＝my﹣1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.19.(13分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cosx的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变,再将所得到的图象向右平移个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0,2π)内有两个不同的解α,β(i)求实数m的取值范围;(ii)证明：cos(α﹣β)＝﹣1.20.(7分)已知函数f(x)＝ln(1＋x),g(x)＝kx,(k∈R)(1)证明：当x＞0时,f(x)＜x;(2)证明：当k＜1时,存在x0＞0,使得对任意x∈(0,x0),恒有f(x)＞g(x);(3)确定k的所有可能取值,使得存在t＞0,对任意的x∈(0,t),恒有|f(x)﹣g(x)|＜x2.四、选修4-2：矩阵与变换21.(7分)已知矩阵A＝,B＝(1)求A的逆矩阵A﹣1;(2)求矩阵C,使得AC＝B.五、选修4-4：坐标系与参数方程22.(7分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴),直线l的方程为ρsin(θ﹣)＝m,(m∈R)(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.六、选修4-5：不等式选讲23.(7分)已知a＞0,b＞0,c＞0,函数f(x)＝|x＋a|＋|x﹣b|＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值;(2)求a2＋b2＋c2的最小值.2015年全国各地高考福建省高考理科数学试题及解析参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每小题5分,共50分)2015年全国各地高考普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)数学(理工类)1.(5分)若集合A＝{i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B＝{1,﹣1},则A∩B等于()A.{﹣1}B.{1}C.{1,﹣1}D.∅【试题分析】利用虚数单位i的运算性质化简A,然后利用交集运算得答案.【试题解答】解：∵A＝{i,i2,i3,i4}＝{i,﹣1,﹣i,1},B＝{1,﹣1},∴A∩B＝{i,﹣1,﹣i,1}∩{1,﹣1}＝{1,﹣1}.故选：C.【试题点评】本题考查了交集及其运算,考查了虚数单位i的运算性质,是基础题.2.(5分)下列函数为奇函数的是()A.y＝B.y＝|sinx|C.y＝cosxD.y＝e x﹣e﹣x【试题分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可.【试题解答】解：A.函数的定义域为[0,＋∞),定义域关于原点不对称,故A为非奇非偶函数.B.f(﹣x)＝|sin(﹣x)|＝|sinx|＝f(x),则f(x)为偶函数.C.y＝cosx为偶函数.D.f(﹣x)＝e﹣x﹣e x＝﹣(e x﹣e﹣x)＝﹣f(x),则f(x)为奇函数,故选：D.【试题点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性定义是解决本题的关键.3.(5分)若双曲线E：＝1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且|PF1|＝3,则|PF2|等于()A.11B.9C.5D.3【试题分析】确定P 在双曲线的左支上,由双曲线的定义可得结论.【试题解答】解：由题意,双曲线E ：＝1中a ＝3. ∵|PF 1|＝3,∴P 在双曲线的左支上,∴由双曲线的定义可得|PF 2|﹣|PF 1|＝6,∴|PF 2|＝9.故选：B.【试题点评】本题考查双曲线的标准方程,考查双曲线的定义,属于基础题.4.(5分)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程,其中,据此估计,该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元【试题分析】由题意可得和,可得回归方程,把x ＝15代入方程求得y 值即可.【试题解答】解：由题意可得＝(8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9)＝10,＝(6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.8)＝8,代入回归方程可得＝8﹣0.76×10＝0.4,∴回归方程为＝0.76x ＋0.4,把x ＝15代入方程可得y ＝0.76×15＋0.4＝11.8,故选：B.【试题点评】本题考查线性回归方程,涉及平均值的计算,属基础题.5.(5分)若变量x,y满足约束条件则z＝2x﹣y的最小值等于()A.2B.﹣2C.D.【试题分析】由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.【试题解答】解：由约束条件作出可行域如图,由图可知,最优解为A,联立,解得A(﹣1,).∴z＝2x﹣y的最小值为2×(﹣1)﹣＝.故选：D.【试题点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.6.(5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为()A.2B.1C.0D.﹣1【试题分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的i,S的值,当i＝6时满足条件i＞5,退出循环,输出S的值为0.【试题解答】解：模拟执行程序框图,可得i＝1,S＝0S＝cos,i＝2不满足条件i＞5,S＝cos＋cosπ,i＝3不满足条件i＞5,S＝cos＋cosπ＋cos,i＝4不满足条件i＞5,S＝cos＋cosπ＋cos＋cos2π,i＝5不满足条件i＞5,S＝cos＋cosπ＋cos＋cos2π＋cos＝0﹣1＋0＋1＋0＝0,i＝6满足条件i＞5,退出循环,输出S的值为0,故选：C.【试题点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确依次写出每次循环得到的i,S的值是解题的关键,属于基础题.7.(5分)若l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【试题分析】利用直线与平面平行与垂直关系,判断两个命题的充要条件关系即可.【试题解答】解：l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”可能“l∥α”也可能l⊂α,反之,“l∥α”一定有“l⊥m”,所以l,m是两条不同的直线,m垂直于平面α,则“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件.故选：B.【试题点评】本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用,充要条件的判断,基本知识的考查.8.(5分)若a,b是函数f(x)＝x2﹣px＋q(p＞0,q＞0)的两个不同的零点,且a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p＋q的值等于()A.6B.7C.8D.9【试题分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a＋b＝p,ab＝q,再由a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列列关于a,b的方程组,求得a,b后得答案.【试题解答】解：由题意可得：a＋b＝p,ab＝q,∵p＞0,q＞0,可得a＞0,b＞0,又a,b,﹣2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,可得①或②.解①得：;解②得：.∴p＝a＋b＝5,q＝1×4＝4,则p＋q＝9.故选：D.【试题点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,考查了等差数列和等比数列的性质,是基础题.9.(5分)已知,若P点是△ABC所在平面内一点,且,则的最大值等于()A.13B.15C.19D.21【试题分析】建系,由向量式的几何意义易得P的坐标,可化＝﹣4(﹣4)﹣(t﹣1)＝17﹣(4•＋t),由基本不等式可得.【试题解答】解：由题意建立如图所示的坐标系,可得A(0,0),B(,0),C(0,t),∵,∴P(1,4),∴＝(﹣1,﹣4),＝(﹣1,t﹣4),∴＝﹣4(﹣4)﹣(t﹣1)＝17﹣(4t＋),由基本不等式可得＋4t≥2＝4,∴17﹣(4t＋)≤17﹣4＝13,当且仅当4t＝即t＝时取等号,∴的最大值为13,故选：A.【试题点评】本题考查平面向量数量积的运算,涉及基本不等式求最值,属中档题.10.(5分)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝﹣1,其导函数f′(x)满足f′(x)＞k＞1,则下列结论中一定错误的是()A.B. C. D.【试题分析】根据导数的概念得出＞k＞1,用x＝代入可判断出f()＞,即可判断答案.【试题解答】解;∵f′(0)＝f′(x)＞k＞1,∴＞k＞1,即＞k＞1,当x＝时,f()＋1＞×k＝,即f()﹣1＝故f()＞,所以f()＜,一定出错,另解：设g(x)＝f(x)﹣kx＋1,g(0)＝0,且g′(x)＝f′(x)﹣k＞0,g(x)在R上递增,k＞1,对选项一一判断,可得C错.故选：C.【试题点评】本题考查了导数的概念,不等式的化简运算,属于中档题,理解了变量的代换问题.二、填空题：本大题共5小题,每小题4分,共20分.11.(4分)(x＋2)5的展开式中,x2的系数等于80.(用数字作答)【试题分析】先求出二项式展开式的通项公式,再令x的幂指数等于2,求得r的值,即可求得展开式中的x2项的系数.【试题解答】解：(x＋2)5的展开式的通项公式为T r＝•x5﹣r•2r,＋1令5﹣r＝2,求得r＝3,可得展开式中x2项的系数为＝80,故答案为：80.【试题点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项式系数的性质,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,属于基础题.12.(4分)若锐角△ABC的面积为,且AB＝5,AC＝8,则BC等于7.【试题分析】利用三角形的面积公式求出A,再利用余弦定理求出BC.【试题解答】解：因为锐角△ABC的面积为,且AB＝5,AC＝8,所以,所以sinA＝,所以A＝60°,所以cosA＝,所以BC＝＝7.故答案为：7.【试题点评】本题考查三角形的面积公式,考查余弦定理的运用,比较基础.13.(4分)如图,点A的坐标为(1,0),点C的坐标为(2,4),函数f(x)＝x2,若在矩形ABCD内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率等于.【试题分析】分别求出矩形和阴影部分的面积,利用几何概型公式,解答.【试题解答】解：由已知,矩形的面积为4×(2﹣1)＝4,阴影部分的面积为＝(4x﹣)|＝,由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于;故答案为：.【试题点评】本题考查了定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的运用;关键是求出阴影部分的面积,利用几何概型公式解答.14.(4分)若函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的值域是[4,＋∞),则实数a的取值范围是(1,2] .【试题分析】当x≤2时,检验满足f(x)≥4.当x＞2时,分类讨论a的范围,依据函数的单调性,求得a的范围,综合可得结论.【试题解答】解：由于函数f(x)＝(a＞0且a≠1)的值域是[4,＋∞),故当x≤2时,满足f(x)＝6﹣x≥4.①若a＞1,f(x)＝3＋log a x在它的定义域上单调递增,当x＞2时,由f(x)＝3＋log a x≥4,∴log a x≥1,∴log a2≥1,∴1＜a≤2.②若0＜a＜1,f(x)＝3＋log a x在它的定义域上单调递减,f(x)＝3＋log a x＜3＋log a2＜3,不满足f(x)的值域是[4,＋∞).综上可得,1＜a≤2,故答案为：(1,2].【试题点评】本题主要考查分段函数的应用,对数函数的单调性和特殊点,属于中档题.15.(4分)一个二元码是由0和1组成的数字串,其中x k(k＝1,2,…,n)称为第k位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0)已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于5.【试题分析】根据二元码x1x2…x7的码元满足的方程组,及“⊕”的运算规则,将k的值从1至7逐个验证即可.【试题解答】解：依题意,二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,①若k＝1,则x1＝0,x2＝1,x3＝0,x4＝1,x5＝1,x6＝0,x7＝1,从而由校验方程组,得x4⊕x5⊕x6⊕x7＝1,故k≠1;②若k＝2,则x1＝1,x2＝0,x3＝0,x4＝1,x5＝1,x6＝0,x7＝1,从而由校验方程组,得x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1,故k≠2;③若k＝3,则x1＝1,x2＝1,x3＝1,x4＝1,x5＝1,x6＝0,x7＝1,从而由校验方程组,得x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1,故k≠3;④若k＝4,则x1＝1,x2＝1,x3＝0,x4＝0,x5＝1,x6＝0,x7＝1,从而由校验方程组,得x1⊕x3⊕x5⊕x7＝1,故k≠4;⑤若k＝5,则x1＝1,x2＝1,x3＝0,x4＝1,x5＝0,x6＝0,x7＝1,从而由校验方程组,得x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0,x2⊕x3⊕x6⊕x7＝0,x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0,故k＝5符合题意;⑥若k＝6,则x1＝1,x2＝1,x3＝0,x4＝1,x5＝1,x6＝1,x7＝1,从而由校验方程组,得x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1,故k≠6;⑦若k＝7,则x1＝1,x2＝1,x3＝0,x4＝1,x5＝1,x6＝0,x7＝0,从而由校验方程组,得x2⊕x3⊕x6⊕x7＝1,故k≠7;综上,k等于5.故答案为：5.【试题点评】本题属新定义题,关键是弄懂新定义的含义或规则,事实上,本题中的运算符号“⊕”可看作是两个数差的绝对值运算,知道了这一点,验证就不是难事了.三、解答题16.(13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定,小王到银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率;(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X,求X的分布列和数学期望.【试题分析】(1)根据概率的公式即可求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (2)随机变量X的取值为：1,2,3,分别求出对应的概率,即可求出分布列和期望.【试题解答】解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A,则P(A)＝.(2)有可能的取值是1,2,3又则P(X＝1)＝,P(X＝2)＝＝,P(X＝3)＝＝,所以X的分布列为：EX＝1×＋2×＋3×＝.【试题点评】本小题主要考查分步计数原理、随机变量的分布列、数学期望等基础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想.17.(13分)如图,在几何体ABCDE中,四边形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB ＝BE＝EC＝2,G,F分别是线段BE,DC的中点.(1)求证：GF∥平面ADE;(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.【试题分析】解法一：(1)取AE的中点H,连接HG,HD,通过证明四边形HGFD是平行四边形来证明GF∥DH,由线面平行的判定定理可得;(2)以B为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,可得平面BEC和平面AEF的法向量,由向量夹角的余弦值可得.解法二：(1)如图,取AB中点M,连接MG,MF,通过证明平面GMF∥平面ADE来证明GF∥平面ADE;(2)同解法一.【试题解答】解法一：(1)如图,取AE的中点H,连接HG,HD,∵G是BE的中点,∴GH∥AB,且GH＝AB,又∵F是CD中点,四边形ABCD是矩形,∴DF∥AB,且DF＝AB,即GH∥DF,且GH＝DF,∴四边形HGFD是平行四边形,∴GF∥DH,又∵DH⊂平面ADE,GF⊄平面ADE,∴GF∥平面ADE.(2)如图,在平面BEG内,过点B作BQ∥CE,∵BE⊥EC,∴BQ⊥BE,又∵AB⊥平面BEC,∴AB⊥BE,AB⊥BQ,以B为原点,分别以的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1)∵AB⊥平面BEC,∴为平面BEC的法向量,设＝(x,y,z)为平面AEF的法向量.又＝(2,0,﹣2),＝(2,2,﹣1)由垂直关系可得,取z＝2可得.∴cos＜,＞＝＝∴平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.解法二：(1)如图,取AB中点M,连接MG,MF,又G是BE的中点,可知GM∥AE,且GM＝AE又AE⊂平面ADE,GM⊄平面ADE,∴GM∥平面ADE.在矩形ABCD中,由M,F分别是AB,CD的中点可得MF∥AD.又AD⊂平面ADE,MF⊄平面ADE,∴MF∥平面ADE.又∵GM∩MF＝M,GM⊂平面GMF,MF⊂平面GMF∴平面GMF∥平面ADE,∵GF⊂平面GMF,∴GF∥平面ADE(2)同解法一.【试题点评】本题考查空间线面位置关系,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,建系求二面角是解决问题的关键,属难题.18.(13分)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点,且离心率e为.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线x＝my﹣1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.【试题分析】解法一：(1)由已知得,解得即可得出椭圆E的方程.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为H(x0,y0).直线方程与椭圆方程联立化为(m2＋2)y2﹣2my﹣3＝0,利用根与系数的关系中点坐标公式可得：y0＝.|GH|2＝.＝,作差|GH|2﹣即可判断出.解法二：(1)同解法一.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则＝,＝.直线方程与椭圆方程联立化为(m2＋2)y2﹣2my﹣3＝0,计算＝即可得出∠AGB,进而判断出位置关系.【试题解答】解法一：(1)由已知得,解得,∴椭圆E的方程为.(2)设点A(x1y1),B(x2,y2),AB中点为H(x0,y0).由,化为(m2＋2)y2﹣2my﹣3＝0,∴y1＋y2＝,y1y2＝,∴y0＝.G,∴|GH|2＝＝＋＝＋＋.＝＝＝,故|GH|2﹣＝＋＝﹣＋＝＞0.∴,故G在以AB为直径的圆外.解法二：(1)同解法一.(2)设点A(x1y1),B(x2,y2),则＝,＝.由,化为(m2＋2)y2﹣2my﹣3＝0,∴y1＋y2＝,y1y2＝,从而＝＝＋y1y2＝＋＝﹣＋＝＞0.∴＞0,又,不共线,∴∠AGB为锐角.故点G在以AB为直径的圆外.【试题点评】本小题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系、点与圆的位置关系、向量数量积运算性质等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想,属于难题.19.(13分)已知函数f(x)的图象是由函数g(x)＝cosx的图象经如下变换得到：先将g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变,再将所得到的图象向右平移个单位长度.(1)求函数f(x)的解析式,并求其图象的对称轴方程;(2)已知关于x的方程f(x)＋g(x)＝m在[0,2π)内有两个不同的解α,β(i)求实数m的取值范围;(ii)证明：cos(α﹣β)＝﹣1.【试题分析】(1)由函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换规律可得：f(x)＝2sinx,从而可求对称轴方程.(2)(i)由三角函数中的恒等变换应用化简解析式可得f(x)＋g(x)＝sin(x＋φ)(其中sinφ＝,cosφ＝),从而可求||＜1,即可得解.(ii)由题意可得sin(α＋φ)＝,sin(β＋φ)＝.当1≤m＜时,可求α﹣β＝π﹣2(β＋φ),当﹣＜m＜0时,可求α﹣β＝3π﹣2(β＋φ),由cos(α﹣β)＝2sin2(β＋φ)﹣1,从而得证.【试题解答】解：(1)将g(x)＝cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y＝2cosx的图象,再将y＝2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y＝2cos(x﹣)的图象,故f(x)＝2sinx,从而函数f(x)＝2sinx图象的对称轴方程为x＝k(k∈Z).(2)(i)f(x)＋g(x)＝2sinx＋cosx＝()＝sin(x＋φ)(其中sinφ＝,cosφ＝)依题意,sin(x＋φ)＝在区间[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当||＜1,故m的取值范围是(﹣,).(ii)因为α,β是方程sin(x＋φ)＝m在区间[0,2π)内的两个不同的解,所以sin(α＋φ)＝,sin(β＋φ)＝.当1≤m＜时,α＋β＝2(﹣φ),即α﹣β＝π﹣2(β＋φ);当﹣＜m＜1时,α＋β＝2(﹣φ),即α﹣β＝3π﹣2(β＋φ);所以cos(α﹣β)＝﹣cos2(β＋φ)＝2sin2(β＋φ)﹣1＝2()2﹣1＝.【试题点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想.20.(7分)已知函数f(x)＝ln(1＋x),g(x)＝kx,(k∈R)(1)证明：当x＞0时,f(x)＜x;(2)证明：当k＜1时,存在x0＞0,使得对任意x∈(0,x0),恒有f(x)＞g(x);(3)确定k的所有可能取值,使得存在t＞0,对任意的x∈(0,t),恒有|f(x)﹣g(x)|＜x2.【试题分析】(1)令F(x)＝f(x)﹣x＝ln(1＋x)﹣x,x≥0,求导得到F′(x)≤0,说明F(x)在[0,＋∞)上单调递减,则x＞0时,f(x)＜x;(2)令G(x)＝f(x)﹣g(x)＝ln(1＋x)﹣kx,x∈(0,＋∞),可得k≤0时,G′(x)＞0,说明G(x)在(0,＋∞)上单调递增,存在x0＞0,使得对任意x∈(0,x0),恒有f(x)＞g(x);当0＜k＜1时,由G′(x)＝0,求得.取,对任意x∈(0,x0),恒有G′(x)＞0,G(x)在上单调递增,G(x)＞G(0)＝0,即f(x)＞g(x);(3)分k＞1、k＜1和k＝1把不等式|f(x)﹣g(x)|＜x2的左边去绝对值,当k＞1时,利用导数求得|f(x)﹣g(x)|＞x2,满足题意的t不存在.当k＜1时,由(2)知存在x0＞0,使得对任意的任意x∈(0,x0),f(x)＞g(x).令N(x)＝ln(1＋x)﹣kx﹣x2,x∈[0,＋∞),求导数分析满足题意的t不存在.当k＝1,由(1)知,当x∈(0,＋∞)时,|f(x)﹣g(x)|＝g(x)﹣f(x)＝x﹣ln(1＋x),令H(x)＝x﹣ln(1＋x)﹣x2,x∈[0,＋∞),则有x＞0,H′(x)＜0,H(x)在[0,＋∞)上单调递减,故H(x)＜H(0)＝0,说明当x＞0时,恒有|f(x)﹣g(x)|＜x2,此时,满足t＞0的实数t存在.【试题解答】(1)证明：令F(x)＝f(x)﹣x＝ln(1＋x)﹣x,x≥0,则有F′(x)＝﹣1＝﹣,∵x≥0,∴F′(x)≤0,∴F(x)在[0,＋∞)上单调递减,∴当x∈(0,＋∞)时,有F(x)＜F(0)＝0,∴x＞0时,f(x)＜x;(2)证明：令G(x)＝f(x)﹣g(x)＝ln(1＋x)﹣kx,x∈(0,＋∞),则有G′(x)＝﹣k＝,当k≤0时,G′(x)＞0,∴G(x)在(0,＋∞)上单调递增,∴G(x)＞G(0)＝0,故对任意正实数x0均满足题意.当0＜k＜1时,令G′(x)＝0,得.取,对任意x∈(0,x0),恒有G′(x)＞0,∴G(x)在(0,x0)上单调递增,G(x)＞G(0)＝0,即f(x)＞g(x).综上,当k＜1时,总存在x0＞0,使得对任意的x∈(0,x0),恒有f(x)＞g(x);(3)解：当k＞1时,由(1)知,对于任意x∈(0,＋∞),g(x)＞x＞f(x),故g(x)＞f(x),|f(x)﹣g(x)|＝g(x)﹣f(x)＝kx﹣ln(1＋x),令M(x)＝kx﹣ln(1＋x)﹣x2,x∈(0,＋∞),则有,故当时,M′(x)＞0,M(x)在[0,)上单调递增,故M(x)＞M(0)＝0,即|f(x)﹣g(x)|＞x2,∴满足题意的t不存在.当k＜1时,由(2)知存在x0＞0,使得对任意的x∈(0,x0),f(x)＞g(x).此时|f(x)﹣g(x)|＝f(x)﹣g(x)＝ln(1＋x)﹣kx,令N(x)＝ln(1＋x)﹣kx﹣x2,x∈[0,＋∞),则有,故当时,N′(x)＞0,N(x)在[0,)上单调递增,故N(x)＞N(0)＝0,即f(x)﹣g(x)＞x2,记x0与中较小的为x1,则当x∈(0,x1)时,恒有|f(x)﹣g(x)|＞x2,故满足题意的t不存在.当k＝1,由(1)知,当x∈(0,＋∞)时,|f(x)﹣g(x)|＝g(x)﹣f(x)＝x﹣ln(1＋x),令H(x)＝x﹣ln(1＋x)﹣x2,x∈[0,＋∞),则有,当x＞0,H′(x)＜0,∴H(x)在[0,＋∞)上单调递减,故H(x)＜H(0)＝0,故当x＞0时,恒有|f(x)﹣g(x)|＜x2,满足t＞0的实数t存在.综上,k＝1.【试题点评】本小题主要考查导数及其应用等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想、数形结合思想,是压轴题.四、选修4-2：矩阵与变换21.(7分)已知矩阵A＝,B＝(1)求A的逆矩阵A﹣1;(2)求矩阵C,使得AC＝B.【试题分析】(1)求出矩阵的行列式,即可求A的逆矩阵A﹣1;(2)由AC＝B得(A﹣1A)C＝A﹣1B,即可求矩阵C,使得AC＝B.【试题解答】解：(1)因为|A|＝2×3﹣1×4＝2,所以;(2)由AC＝B得(A﹣1A)C＝A﹣1B,故.【试题点评】本小题主要考查矩阵、逆矩阵等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.五、选修4-4：坐标系与参数方程22.(7分)在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与平面直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴),直线l的方程为ρsin(θ﹣)＝m,(m∈R)(1)求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程;(2)设圆心C到直线l的距离等于2,求m的值.【试题分析】(1)直接利用极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普通方程的互化求解即可.(2)直接利用点到直线的距离个数求解即可.【试题解答】解：(1)消去参数t,得到圆的普通方程为(x﹣1)2＋(y＋2)2＝9,由ρsin(θ﹣)＝m,得ρsinθ﹣ρcosθ﹣m＝0,所以直线l的直角坐标方程为：x﹣y＋m＝0.(2)依题意,圆心C(1,﹣2)到直线l：x﹣y＋m＝0的距离等于2,即,解得m＝﹣3±2.【试题点评】本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、圆的参数方程等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.六、选修4-5：不等式选讲23.(7分)已知a＞0,b＞0,c＞0,函数f(x)＝|x＋a|＋|x﹣b|＋c的最小值为4.(1)求a＋b＋c的值;(2)求a2＋b2＋c2的最小值.【试题分析】(1)运用绝对值不等式的性质,注意等号成立的条件,即可求得最小值;(2)运用柯西不等式,注意等号成立的条件,即可得到最小值.【试题解答】解：(1)因为f(x)＝|x＋a|＋|x﹣b|＋c≥|(x＋a)﹣(x﹣b)|＋c＝|a＋b|＋c,当且仅当﹣a≤x≤b时,等号成立,又a＞0,b＞0,所以|a＋b|＝a＋b,所以f(x)的最小值为a＋b＋c,所以a＋b＋c＝4;(2)由(1)知a＋b＋c＝4,由柯西不等式得,(a2＋b2＋c2)(4＋9＋1)≥(•2＋•3＋c•1)2＝(a＋b＋c)2＝16,即a2＋b2＋c2≥当且仅当＝＝,即a＝,b＝,c＝时,等号成立.所以a2＋b2＋c2的最小值为.【试题点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算能力,属于中档题.。

2015年福建卷高考数学计算题真题解析2015年福建卷高考数学试题中，计算题是考察学生数学计算能力的一部分。

本文将对2015年福建卷高考数学计算题进行解析，并分析解题思路。

第一题：已知函数f(x)满足f(2x)=2f(x)+x，且 f(1)=1，若f(2015)=a的值，则a为多少？解析：根据题目中已知条件，我们可以得到一些等式：f(2)=2f(1)+1=3f(4)=2f(2)+2=8f(8)=2f(4)+4=20...f(2^k)=2f(2^(k-1))+2^(k-1)，其中k为正整数我们可以观察到一个规律，f(2^k)=2^k+k-1，这个规律可以通过数学归纳法证明。

所以，f(2015)=2^11+11-1=2048+11-1=2058所以a=2058。

第二题：已知函数y=2^x在点A(0,1)的切线方程为y=lx+m，求整数l与m的和。

解析：题目中已知点A(0,1)是曲线y=2^x上的一个点，并且切线方程为y=lx+m。

由切线的定义，切线的斜率等于函数在切点的导数值。

所以我们需要求得函数y=2^x在点A(0,1)的导数值。

函数y=2^x的导数可以用指数函数的性质求得：y'=ln(2) * 2^x所以在点A(0,1)处的斜率为ln(2)。

切线方程为y=lx+m，带入切点的坐标(0,1)，得到1=l * 0 + m，所以m=1。

所以l+m=ln(2)+1。

综上所述，整数l与m的和为ln(2)+1。

第三题：函数y=ax^2+bx+c的图象经过点(1,3)，且在x轴上的两个交点横坐标之和为2，求a、b、c的值。

解析：根据题目中已知条件，我们可以得到一些等式：3=a*1^2+b*1+c=a+b+c2=a*(-1)+b*(-1)+c=a-b+c通过解这个方程组，我们可以求得a、b、c的值。

将第一个等式变形为a+b+c=3将第二个等式变形为a-b+c=2将两个等式相加得到2a+2c=5，即a+c=5/2。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）理科数学试题解析1.解析 由已知得{}i,1,i,1A =--，故{}1,1A B =-．故选C ．2.解析函数y =是非奇非偶函数；sin y x =和cos y x =是偶函数；e e x xy -=-是奇函数．故选D ．3.解析 由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =． 故选B ．4.解析 由已知得8.28.610.011.311.9105x ++++==（万元），6.27.58.08.59.885y ++++==（万元），故ˆ80.76100.4a=-⨯=，所以回归直线方程为ˆ0.760.4yx =+．当社区一户年收入为15万元，家庭年支出为ˆ0.7615y =⨯+0.411.8=（万元）．故选B ．5.解析 画出可行域，如图所示．目标函数变形为2y x z =-，当z 最小时，直线2y x z =-的纵截距最大，故将直线2y x =经过可行域，尽可能向上移到过点11,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，z 取最小值，最小值为()152122z =⨯--=-．故选A ．6.解析 分析程序框图可得2cos cos 22S ππ=++345cos cos cos 0222πππ++=． 故选C ．7.解析 若l m ⊥，又因为m ⊥α，则//l α或l α⊂；若//l α，又因为m ⊥α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α”的必要不充分条件．故选B ．x-8.解析 由韦达定理得a b p +=，ab q =，则0a >，0b >，当a ，b ，2-适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4q ab ==，此时4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，则当a 是等差中项时，422a a=-，解得1a =，所以4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，所以1b =．综上所述，5a b p +==，所以9p q +=．故选D ．9.解析 以点A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 则1,0B t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,C t ，()()()1,040,11,4AP =+=， 即()1,4P ，所以11,4PB t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()1,4PC t =--， 因此111416174PB PC t t tt ⎛⎫⋅=--+=-+ ⎪⎝⎭．由题可得0t >，所以144t t +=…， 所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t=， 即12t =时，等号成立．故选A ． 10.解析 由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则()()0g x f x k ''=->，故函数()g x 在R 上单调递增．因为1k >，所以101k >-，故()()10011g g f k ⎛⎫>==- ⎪-⎝⎭，所以11f k ⎛⎫-⎪-⎝⎭11k k >--，所以1111f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭，所以结论中一定错误的是C ，选项D 不确定；构造函数()()h x f x x =-，则()()10h x f x ''=->，所以函数()h x 在R 上单调递增．因为1k >，所以10k >，所以()10h h k ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即111f k k⎛⎫->- ⎪⎝⎭，所以111f k k⎛⎫>- ⎪⎝⎭，选项A ，B 无法判断．故选C ． 11.解析 ()52x +的展开式中2x 项为33225C 280x x =，所以2x 的系数等于80．x12.解析 由已知得ABC △的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅==sin 2A =．由题可得0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=，所以由余弦定理可得2BC =22AB AC +-2cos 49AB AC A =，所以7BC =．13.解析 由已知得阴影部分面积为221754d 433x x -=-=⎰，所以此点取自阴影部分的概率553412P ==．14.解析 当2x …时，64x -+…，要使得函数()f x 的值域为[)4,+∞，只需函数()()13log 2a f x x x =+>的值域包含于[)4,+∞，故1a >，所以()13log 2a f x >+，所以3log 24a +…，解得12a <…，所以实数a 的取值范围是(]1,2． 15.解析 由题意得相同数字经过运算后为0，不同数字运算后为1．由45670x x x x ⊕⊕⊕=可判断后4个数字出错；由23670x x x x ⊕⊕⊕=可判断后2个数字没错，即出错的是第4个或第5个；由13570x x x x ⊕⊕⊕=可判断出错的是第5个．综上所述，第5位发生码元错误，即5k =．16.解析 （1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ，则()54316542P A =⨯⨯=． （2）依题意得，X 的所有可能的取值是1,2,3．()116P X ==，()2P X ==511656⨯=，()54231653P X ==⨯⨯=，所以X 的分布列为：所以()111236632E X =⨯+⨯+⨯=． 17.解析 （1）解法一：如图所示，取AE 的中点H ，连接HG ，HD ．又点G 是BE 的中点，所以//GH AB ，且1=2GH AB ．又点F 是CD 的中点，所以12DF CD =．由四边形ABCD 是矩形得，//AB CD ，AB CD =，所以//GH DF ，且GH DF =，从而四边形HGFD 是平行四边形，所以//GF DH ．又DH ⊂平面ADE ，GF ⊄平面ADE ，所以//GF 平面ADE ．（解法一图） （解法二图）解法二：如图所示，取AB 的中点M ，连接MG ，MF ．又点G 是BE 的中点，所以//GM AE ．又AE ⊂平面ADE ，GM ⊄平面ADE ，所以//GM 平面ADE ．在矩形ABCD 中，由M ，F 分别是AB ，CD 的中点得//MF AD ．又AD ⊂平面ADE ，MF ⊄平面ADE ，所以//MF 平面ADE ．又因为GMMF M =，GM ⊂平面GMF ，MF ⊂平面GMF ，所以平面//GMF 平面ADE ．又因为GF ⊂平面GMF ，所以//GF 平面ADE ．（2）如图所示，在平面BEC 内，过点B 作//BQ EC ． 因为BE CE ⊥，所以BQ BE ⊥．因为AB ⊥平面BEC ，所以AB BE ⊥，AB BQ ⊥，所以BE ，BQ ，BA 两两互相垂直．以点B 为坐标原点，分别以BE ，BQ ，BA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系B xyz -，则()0,0,2A ，()0,0,0B ，()2,0,0E ，()2,2,1F ． 因为AB ⊥平面BEC ，所以()0,0,2BA =为平面BEC 的法向量．设(),,x y z =n 为平面AEF 的法向量，则0AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ．又()2,0,2AE =-，AF =()2,2,1-，所以220220x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，取2z =，得()2,1,2=-n ，从而cos ,BA =n 42323BABA ⋅==⨯n n ，所以平面AEF 与平面BEC 所成锐二面角的余弦值为23． HAB C DEFG MABCDEFG18.解析 （1）由已知得222b ca abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E 的方程为22142x y +=． （2）解法一：设点()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点为()00,H x y ．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222230m y my +--=，所以12222m y y m +=+，12232y y m =-+， 从而022m y m =+，所以2220094GH x y ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭220054my y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭()2201m y ++0525216my +，24AB =()()()()2222121212144m y y x x y y +--+-==()()221212144m y y y y ⎡⎤++-⎣⎦=()()220121m y y y +-，故220542AB GH my -=+ ()21225116m y y ++=()()()22222231525172021622162m m m m m m ++-+=>+++，所以2AB GH >．故点9,04G ⎛⎫-⎪⎝⎭在以AB 为直径的圆外． 解法二：设点()11,A x y ，()22,B x y ，则119,4GA x y ⎛⎫=+⎪⎝⎭，229,4GB x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由221142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222230m y my +--=，所以12222m y y m +=+，12232y y m =-+，从而12129944GA GB x x y y ⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭125544my my ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12y y =()()212125251416m y y m y y ++++=()22225312522216m m m m -+++=++()221720162m m +>+，所以cos ,0GA GB >．又GA ，GB 不共线，所以AGB ∠为锐角．故点9,04G ⎛⎫- ⎪⎝⎭在以AB为直径的圆外．19.解析 （1）将()cos g x x =的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到2cos y x =的图像，再将2cos y x =的图像向右平移2π个单位长度后得到2cos 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，故()2sin f x x =，从而函数()2sin f x x =图像的对称轴方程为()2x k k π=π+∈Z ． （2）①()()2sin cos f x g x x x +=+=x x ⎫=⎪⎭()x ϕ+，其中sin ϕ=cos ϕ=．依题意，()sin x ϕ+=在[)0,2π内有两个不同的解α，β1<，故m的取值范围是(． ②解法一：因为α，β()x m ϕ+=在[)0,2π内的两个不同的解， 所以()sin αϕ+=，()sin βϕ+=．当1m <…时，22αβϕπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 即()2αββϕ-=π-+；当1m <<时，322αβϕπ⎛⎫+=-⎪⎝⎭， 即()32αββϕ-=π-+，所以()()cos cos2αββϕ-=-+=()22sin 1βϕ+-=2222115m -=-． 解法二：因为α，β()x m ϕ+=在[)0,2π内的两个不同的解， 所以()sin αϕ+=，()sin βϕ+=．当1m <…时，22αβϕπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 即()αϕβϕ+=π-+；当1m <<时，322αβϕπ⎛⎫+=-⎪⎝⎭， 即()3αϕβϕ+=π-+，所以()()cos cos αϕβϕ+=-+， 于是()()()cos cos αβαϕβϕ-=+-+=⎡⎤⎣⎦()()()()cos cos sin sin =αϕβϕαϕβϕ+++++()()()2cos sin sin βϕαϕβϕ-++++=2222115m ⎡⎤--+=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦．20.解析 （1）令()()()ln 1F x f x x x x =-=+-，[)0,x ∈+∞，则有()1111xF x x x -'=-=++．当()0,x ∈+∞时，()0F x '<，所以()F x 在[)0,+∞上单调递减，故当0x >时，()()00F x F <=，即当0x >时，()f x x <． （2）令()()()()ln 1G x f x g x x kx =-=+-，[)0,x ∈+∞，则有()()1111kx k G x k x x -+-'=-=++．当0k …时，()0G x '>，故()G x 在[)0,+∞上单调递增，()()00G x G >=，故任意正实数0x 均满足题意；当01k <<时，令()0G x '=，得1110k x k k -==->，取011x k=-，对任意()00,x x ∈，有()0G x '>，从而()G x 在[)00,x 上单调递增，所以()()00G x G >=，即()()f x g x >．综上所述，当1k <时，总存在00x >，使得对任意()00,x x ∈，恒有()()f x g x >． （3）解法一：当1k >时，由（1）知，对于()0,x ∀∈+∞，()()g x x f x >>，故()()g x f x >，()()()()()ln 1f x g x g x f x kx x -=-=-+．令()()2ln 1M x kx x x =-+-，[)0,x ∈+∞，则有()121M x k x x'=--=+()22211x k x k x -+-+-+，故当x ⎛ ∈ ⎝⎭时，()0M x '>，()M x在⎡⎢⎢⎣⎭上单调递增，故()()00M x M >=，即()()2f x g x x ->，所以满足题意的t 不存在．当1k <时，由（2）知，存在00x >，使得当()00,x x ∈时，()()f x g x >，此时()()()()f x g x f x g x -=-=()ln 1x kx +-．令()()2ln 1N x x kx x =+--，[)0,x ∈+∞，则有()()22211211x k x k N x k x x x --++-'=--=++， 当x ⎛ ∈ ⎝⎭时，()0N x '>， ()N x在⎡⎢⎢⎣⎭上单调递增， 故()()00N x N >=，即()()2f x g x x ->． 记0x1x ，则当()10,x x ∈时，恒有()()2f x g x x ->，故满足题意的t 不存在．当1k =时，由（1）知，当0x >时，()()()()()ln 1f x g x g x f x x x -=-=-+．令()()2ln 1H x x x x =-+-，[)0,x ∈+∞，则有()2121211x x H x x x x --'=--=++． 当0x >时，()0H x '<，所以()H x 在[)0,+∞上单调递减，故()()00H x H <=．故当0x >时，恒有()()2f xg x x -<，此时，任意正实数t 均满足题意．综上所述，1k =．解法二：当1k >时，由（1）知，对于()0,x ∀∈+∞，()()g x x f x >>， 故()()()()f x g x g x f x -=-=()()ln 11kx x kx x k x -+>-=-．令()21k x x ->，解得01x k <<-．从而得到，当1k >时，对于()0,1x k ∈-，恒有()()2f x g x x ->，故满足题意的t 不存在；当1k <时，取112k k +=，从而11k k <<．由（2）知，存在00x >，使得()00,x x ∈，()()1f x k x kx g x >>=，此时()()f x g x -=()()f x g x ->()112k k k x x --=．令212kx x ->， 解得102k x -<<，此时()()2f xg x x ->． ()ln 1x x -+．令()()2ln 1M x x x x =-+-，[)0,x ∈+∞，则有()1M x '=-11x-+记0x 与12k -的较小者为1x ，当()10,x x ∈时，恒有()()2f xg x x ->，故满足题意的t 不存在．当1k =时，由（1）知，0x >，()()f x g x -=()()f x g x -=2221x x x x --=+．当0x >时，()0M x '<，所以()M x 在[)0,+∞上单调递减，故()()00M x M <=，故当0x >时，恒有()()2f xg x x -<，此时，任意正实数t 均满足题意．综上所述，1k =．21.（1）解析 ① 因为23142=⨯-⨯=A ，所以131312222422122-⎛⎫-⎛⎫ ⎪- ⎪==⎪⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭A ．② 由=AC B 得()11--=A A C A B ，故1-==C A B 3111220121⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝⎭32223⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭． （2）解析 ① 消去参数t ，得到圆C 的普通方程为()()22129x y -++=．sin 4m θπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 0m ρθρθ--=， 所以直线l 的直角坐标方程为0x y m -+=． ② 依题意，圆心C 到直线l 的距离等于22=，解得3m =-±（3）解析 ① 因为()f x x a x b c =++-+…()()x a x b c a b c +--+=++， 当且仅当a xb -剟时，等号成立．又0a >，0b >，所以a b a b +=+，所以()f x 的最小值为a b c ++．又已知()f x 的最小值为4，所以4a b c ++=． ② 由①知4a b c ++=，由柯西不等式得()2221149149a b c ⎛⎫++++⎪⎝⎭…()222311623a b c a b c ⎛⎫⨯+⨯+⨯=++= ⎪⎝⎭，即222118497a b c ++…，当且仅当1132231b ac ==，即87a =，187b =，27c =时等号成立，故2221149a b c ++的最小值为87．。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）⨯-=个.即77445【答案】9【解析】由OA AB ⊥，得0OA AB =，即()0OA OB OA -=，3OA =，2||9OA AB OA ∴==.【考点】平面向量数量积的运算 【答案】2个.AB=，）圆，||2AB=，，M ）圆心又||2α(cos,sin2-1)]PB PC，又BC AC PA PB221299n -⎛⎫ ⎪⎝⎭1299n -⎛⎫⎪⎝⎭.1n -，n b =2341111113579(21)22222n n -+++++-， 23411111111357(23)(21)222222n n n n -+++++-+- 234211111123(21)32222222n n nn n -+++--=- 23n +PC CB C=，所以⊂平面PBC=，所以EF⊥，DE FE E⊥平面PBC，PB⊥平面是一个鳖臑，其四个面的直角分别为（Ⅱ）如图，在面BPC内，延长=，所以PD PB P⊥，DG DFBDF是面DEF==，1DC轴的正半轴，建立空间直角坐标系，(,1,PB λ=，0,DE ⎛= 于是0PB DE =，即又已知EF ⊥，而EDEF E =，所以因(0,1,1)PC =-，0DE PC =，则⊥平面DEF 即四面体BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为，所以(0,0,DP =，所以(,BP λ=-31=DEFE E =，的四个面都是直角三角形，确定的交线，利用直线平面的垂直判断出，所以(0,0,1)DP=所以(,BPλ=-【答案】（Ⅰ）见解析因此，()81600.3102000.5108000.29708E Z=⨯+⨯+⨯=.由题意得2MD DN=，且||||1DN ON==，22)1y+=22x x t-=-⎧111111⎛⎫+= ⎪⎝⎭2121212212b a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭3233223133143b a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭； 1212(1)n nnb b b n a a a =+②下面用数学归纳法证明②，时，=左边右边，②成立.22(kk b k a =+11k a +，2112121121(k k k k k k k k b b b b b b k a a a a a a ++++==+时，②也成立.11212312112()1122334(1)nn n b b b b b bb b b b b b n n n ++++++++≤+++++⨯⨯⨯+211111(1)2334(1)(1)nb b n n n n n n ⎤⎡⎤++++++++⎥⎢⎥+⨯⨯++⎦⎣⎦12111121112n n b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫-++-<+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭L L 1211e e e nn n a a a a n ⎛⎫+++<+++ ⎪⎝⎭。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学理第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B I 等于 ( ) A ．{}1- B ．{}1 C ．{}1,1- D ．φ 【答案】C 【解析】试题分析：由已知得{},1,,1A i i =--，故A B =I {}1,1-，故选C ． 考点：1、复数的概念；2、集合的运算． 2．下列函数为奇函数的是( ) A ．y x = B ．sin y x = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-【答案】D考点：函数的奇偶性．3．若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．考点：双曲线的标准方程和定义．4．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x（万元） 8.28.610.011.311.9支出y （万元）6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )]A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元 【答案】B考点：线性回归方程．5．若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =- 的最小值等于 ( )A ．52-B ．2-C ．32- D ．2 【答案】A 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为2y x z =-，当z 最小时，直线2y x z=-的纵截距最大，故将直线2y x =经过可行域，尽可能向上移到过点1(1,)2B -时，z 取到最小值，最小值为152(1)22z =⨯--=-，故选A ． 考点：线性规划．6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A ．2B ．1C ．0D ．1- 【答案】C 【解析】试题分析：程序在执行过程中,S i 的值依次为：0,1S i ==；0,2S i ==；1,3S i =-=；1,4S i =-=；0,5S i ==；0,6S i ==，程序结束，输出0S =，故选C ．考点：程序框图．7．若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α ，则“l m ⊥ ”是“//l α 的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．8．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】D 【解析】试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ． 考点：等差中项和等比中项．9．已知1,,AB AC AB AC t t⊥==u u u r u u u r u u u r u u u r，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则PB PC ⋅u u u r u u u r 的最大值等于（ ）A ．13B ．15C ．19D ．21 【答案】Axy BCAP考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．10．若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ） A ．11f k k ⎛⎫<⎪⎝⎭ B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭ C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭【答案】C考点：函数与导数．第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 11．()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 ．（用数字作答）【答案】80 【解析】试题分析：()52x + 的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．考点：二项式定理．12．若锐角ABC ∆的面积为103 ，且5,8ABAC == ，则BC 等于________． 【答案】7 【解析】试题分析：由已知得ABC ∆的面积为1sin 20sin 2AB AC A A ⋅=103=，所以3sin A =，(0,)2A π∈，所以3A π=．由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =．考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理．13．如图，点A 的坐标为()1,0 ，点C 的坐标为()2,4 ，函数()2f x x = ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．【答案】512【解析】试题分析：由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．考点：几何概型． 14．若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩ （0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是 ．【答案】(1,2]考点：分段函数求值域．15．一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈L ，其中()1,2,,k x k n =L 称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码127x x x L 的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩其中运算⊕ 定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕= ．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于 ． 【答案】5．考点：推理证明和新定义．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）A．1B．C．D．22．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．3．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648B．0.432C．0.36D．0.3125．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5B．6C．7D．810．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10B．20C．30D．6011．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1B．2C．4D．812．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=．14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为．15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为．16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是．三、解答题：17．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i﹣）2（w i﹣）2（x i﹣）（y i﹣）（w i﹣）（y i﹣）46.6563 6.8289.8 1.61469108.8表中w i=i，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．选修4一1:几何证明选讲22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．2015年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设复数z满足=i，则|z|=（）A．1B．C．D．2【考点】A8：复数的模．【专题】11：计算题；5N：数系的扩充和复数．【分析】先化简复数，再求模即可．【解答】解：∵复数z满足=i，∴1+z=i﹣zi，∴z（1+i）=i﹣1，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础．2．（5分）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故选：D．【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．3．（5分）设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则￢p为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【考点】2J：命题的否定．【专题】5L：简易逻辑．【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．（5分）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（）A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），该同学通过测试的概率为=0.648．故选：A．【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．5．（5分）已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．【点评】本题考查向量的数量积公式，考查双曲线方程，考查学生的计算能力，比较基础．6．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？“其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？“已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】根据圆锥的体积公式计算出对应的体积即可．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则r=8，解得r=，故米堆的体积为××π×（）2×5≈，∵1斛米的体积约为1.62立方，∴÷1.62≈22，故选：B．【点评】本题主要考查椎体的体积的计算，比较基础．7．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【考点】96：平行向量（共线）．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．【解答】解：由已知得到如图由===；故选：A．【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．8．（5分）函数f（x）=cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ+），k∈z B．（2kπ﹣，2kπ+），k∈zC．（k﹣，k+），k∈z D．（，2k+），k∈z【考点】HA：余弦函数的单调性．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．【解答】解：由函数f（x）=cos（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f（x）=cos（πx+ϕ）．再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cos （πx+）．由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，故选：D．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（）A．5B．6C．7D．8【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=，m=，n=1，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=2，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=3，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=4，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=5，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=6，不满足退出循环的条件；再次执行循环体后，S=，m=，n=7，满足退出循环的条件；故输出的n值为7，故选：C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．10．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10B．20C．30D．60【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】利用展开式的通项，即可得出结论．=，【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为T r+1令r=2，则（x2+x）3的通项为=，令6﹣k=5，则k=1，∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为=30．故选：C．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．11．（5分）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1B．2C．4D．8【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5Q：立体几何．【分析】通过三视图可知该几何体是一个半球拼接半个圆柱，计算即可．【解答】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，∴其表面积为：×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2，又∵该几何体的表面积为16+20π，∴5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故选：B．【点评】本题考查由三视图求表面积问题，考查空间想象能力，注意解题方法的积累，属于中档题．12．（5分）设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）【考点】51：函数的零点；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用．【分析】设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g （x0）在直线y=ax﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g （0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得．【解答】解：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D．【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．二、填空题（本大题共有4小题，每小题5分）13．（5分）若函数f（x）=xln（x+）为偶函数，则a=1．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由题意可得，f（﹣x）=f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．【解答】解：∵f（x）=xln（x+）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）=xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）=ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）=0，∴ln（+x）（﹣x）=0，∴lna=0，∴a=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．14．（5分）一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．则该圆标准方程为（x﹣）2+y2=．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用椭圆的方程求出顶点坐标，然后求出圆心坐标，求出半径即可得到圆的方程．【解答】解：一个圆经过椭圆=1的三个顶点．且圆心在x轴的正半轴上．可知椭圆的右顶点坐标（4，0），上下顶点坐标（0，±2），设圆的圆心（a，0），则，解得a=，圆的半径为：，所求圆的方程为：（x﹣）2+y2=．故答案为：（x﹣）2+y2=．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，圆的方程的求法，考查计算能力．15．（5分）若x，y满足约束条件．则的最大值为3．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．设k=，则k的几何意义为区域内的点到原点的斜率，由图象知OA的斜率最大，由，解得，即A（1，3），k OA==3，即的最大值为3．故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及直线的斜率，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．16．（5分）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°．BC=2，则AB的取值范围是（﹣，+）．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】15：综合题；2：创新题型；58：解三角形．【分析】如图所示，延长BA，CD交于点E，设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，求出x+m=+，即可求出AB的取值范围．【解答】解：方法一：如图所示，延长BA，CD交于点E，则在△ADE中，∠DAE=105°，∠ADE=45°，∠E=30°，∴设AD=x，AE=x，DE=x，CD=m，∵BC=2，∴（x+m）sin15°=1，∴x+m=+，∴0＜x＜4，而AB=x+m﹣x=+﹣x，∴AB的取值范围是（﹣，+）．故答案为：（﹣，+）．方法二：如下图，作出底边BC=2的等腰三角形EBC，B=C=75°，倾斜角为150°的直线在平面内移动，分别交EB、EC于A、D，则四边形ABCD即为满足题意的四边形；当直线移动时，运用极限思想，①直线接近点C时，AB趋近最小，为﹣；②直线接近点E时，AB趋近最大值，为+；故答案为：（﹣，+）．【点评】本题考查求AB的取值范围，考查三角形中的几何计算，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：17．（12分）S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a n}的通项公式：（Ⅱ）求出b n=，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（I）由a n2+2a n=4S n+3，可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3两式相减得a n+12﹣a n2+2（a n+1﹣a n）=4a n+1，即2（a n+1+a n）=a n+12﹣a n2=（a n+1+a n）（a n+1﹣a n），∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，∵a12+2a1=4a1+3，∴a1=﹣1（舍）或a1=3，则{a n}是首项为3，公差d=2的等差数列，∴{a n}的通项公式a n=3+2（n﹣1）=2n+1：（Ⅱ）∵a n=2n+1，∴b n===（﹣），∴数列{b n}的前n项和T n=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．18．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE=2DF，AE丄EC．（Ⅰ）证明：平面AEC丄平面AFC（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值．【考点】LM：异面直线及其所成的角；LY：平面与平面垂直．【专题】5F：空间位置关系与距离；5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，运用线面垂直的判定定理得到EG⊥平面AFC，再由面面垂直的判定定理，即可得到；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，求得A，E，F，C的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG、EF、FG，在菱形ABCD中，不妨设BG=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=，BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，可知AE=EC，又AE⊥EC，所以EG=，且EG⊥AC，在直角△EBG中，可得BE=，故DF=，在直角三角形FDG中，可得FG=，在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，FD=，可得EF==，从而EG2+FG2=EF2，则EG⊥FG，（或由tan∠EGB•tan∠FGD=•=•=1，可得∠EGB+∠FGD=90°，则EG⊥FG）AC∩FG=G，可得EG⊥平面AFC，由EG⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以GB，GC为x轴，y轴，|GB|为单位长度，建立空间直角坐标系G﹣xyz，由（Ⅰ）可得A（0，﹣，0），E（1，0，），F（﹣1，0，），C（0，，0），即有=（1，，），=（﹣1，﹣，），故cos＜，＞===﹣．则有直线AE与直线CF所成角的余弦值为．【点评】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法：向量法，考查运算能力，属于中档题．19．（12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．（x i ﹣）2（w i ﹣）2（x i ﹣）（y i ﹣）（w i ﹣）（y i ﹣）46.6563 6.8289.8 1.61469108.8表中w i =i ，=（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据散点图，即可判断出，（Ⅱ）先建立中间量w=，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．【解答】解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；（Ⅱ）令w=，先建立y关于w的线性回归方程，由于==68，=﹣=563﹣68×6.8=100.6，所以y关于w的线性回归方程为=100.6+68w，因此y关于x的回归方程为=100.6+68，（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值=100.6+68=576.6，年利润z的预报值=576.6×0.2﹣49=66.32，（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值=0.2（100.6+68）﹣x=﹣x+13.6+20.12，当==6.8时，即当x=46.24时，年利润的预报值最大．【点评】本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题．20．（12分）在直角坐标系xOy中，曲线C：y=与直线l：y=kx+a（a＞0）交于M，N两点．（Ⅰ）当k=0时，分別求C在点M和N处的切线方程．（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？（说明理由）【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【分析】（I）联立，可得交点M，N的坐标，由曲线C：y=，利用导数的运算法则可得：y′=，利用导数的几何意义、点斜式即可得出切线方程．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．直线方程与抛物线方程联立化为x2﹣4kx﹣4a=0，利用根与系数的关系、斜率计算公式可得k1+k2=．k1+k2=0⇔直线PM，PN的倾斜角互补⇔∠OPM=∠OPN．即可证明．【解答】解：（I）联立，不妨取M，N，由曲线C：y=可得：y′=，∴曲线C在M点处的切线斜率为=，其切线方程为：y﹣a=，化为．同理可得曲线C在点N处的切线方程为：．（II）存在符合条件的点（0，﹣a），下面给出证明：设P（0，b）满足∠OPM=∠OPN．M（x1，y1），N（x2，y2），直线PM，PN的斜率分别为：k1，k2．联立，化为x2﹣4kx﹣4a=0，∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4a．∴k1+k2=+==．当b=﹣a时，k1+k2=0，直线PM，PN的倾斜角互补，∴∠OPM=∠OPN．∴点P（0，﹣a）符合条件．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）当a为何值时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】2：创新题型；53：导数的综合应用．【分析】（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0解出即可．（ii）对x分类讨论：当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，可得函数h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零点的个数．当x=1时，对a分类讨论：a≥﹣，a＜﹣，即可得出零点的个数；当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．对a分类讨论：①当a≤﹣3或a≥0时，②当﹣3＜a＜0时，利用导数研究其单调性极值即可得出．【解答】解：（i）f′（x）=3x2+a．设曲线y=f（x）与x轴相切于点P（x0，0），则f（x0）=0，f′（x0）=0，∴，解得，a=．因此当a=﹣时，x轴为曲线y=f（x）的切线；（ii）当x∈（1，+∞）时，g（x）=﹣lnx＜0，∴函数h（x）=min { f（x），g（x）}＜0，故h（x）在x∈（1，+∞）时无零点．当x=1时，若a≥﹣，则f（1）=a+≥0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函数h（x）的一个零点；若a＜﹣，则f（1）=a+＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1不是函数h（x）的零点；当x∈（0，1）时，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考虑f（x）在（0，1）内的零点个数即可．①当a≤﹣3或a≥0时，f′（x）=3x2+a在（0，1）内无零点，因此f（x）在区间（0，1）内单调，而f（0）=，f（1）=a+，∴当a≤﹣3时，函数f（x）在区间（0，1）内有一个零点，当a≥0时，函数f（x）在区间（0，1）内没有零点．②当﹣3＜a＜0时，函数f（x）在内单调递减，在内单调递增，故当x=时，f（x）取得最小值=．若＞0，即，则f（x）在（0，1）内无零点．若=0，即a=﹣，则f（x）在（0，1）内有唯一零点．若＜0，即，由f（0）=，f（1）=a+，∴当时，f（x）在（0，1）内有两个零点．当﹣3＜a时，f（x）在（0，1）内有一个零点．综上可得：a＜时，函数h（x）有一个零点．当时，h（x）有一个零点；当a=或时，h（x）有两个零点；当时，函数h（x）有三个零点．【点评】本题考查了导数的运算法则、利用导数的几何意义研究切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．选修4一1:几何证明选讲22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E．（Ⅰ）若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；（Ⅱ）若OA=CE，求∠ACB的大小．【考点】N9：圆的切线的判定定理的证明．【专题】5B：直线与圆．【分析】（Ⅰ）连接AE和OE，由三角形和圆的知识易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由射影定理可得关于x的方程x2=，解方程可得x 值，可得所求角度．【解答】解：（Ⅰ）连接AE，由已知得AE⊥BC，AC⊥AB，在RT△ABC中，由已知可得DE=DC，∴∠DEC=∠DCE，连接OE，则∠OBE=∠OEB，又∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切线；（Ⅱ）设CE=1，AE=x，由已知得AB=2，BE=，由射影定理可得AE2=CE•BE，∴x2=，即x4+x2﹣12=0，解方程可得x=∴∠ACB=60°【点评】本题考查圆的切线的判定，涉及射影定理和三角形的知识，属基础题．选修4一4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．选修4一5：不等式选讲24．（10分）已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；（Ⅱ）若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=1时，把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化简函数f（x）的解析式，求得它的图象与x轴围成的三角形的三个顶点的坐标，从而求得f（x）的图象与x轴围成的三角形面积；再根据f（x）的图象与x轴围成的三角形面积大于6，从而求得a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1，即①，或②，或③．解①求得x∈∅，解②求得＜x＜1，解③求得1≤x＜2．综上可得，原不等式的解集为（，2）．（Ⅱ）函数f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|=，由此求得f（x）的图象与x轴的交点A （，0），B（2a+1，0），故f（x）的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C（a，a+1），由△ABC的面积大于6，可得[2a+1﹣]•（a+1）＞6，求得a＞2．故要求的a的范围为（2，+∞）．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2015年全国各地高考数学试题（福建卷）数 学（理工类）第I 卷一、选择题：本题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位）,{}1,1B =- ,则AB 等于 （ ）A.{}1-B.{}1C.{}1,1-D.φ 【答案】C【解析】{1,1,,}A i i =--,{1,1}B =-,所以{1,1}A B =-2.下列函数为奇函数的是（ ）A.y =B.sin y x =C.cos y x =D.x x y e e -=-【答案】D【解析】y =是非奇非偶函数,|sin |y x =,cos y x =是偶函数,x x y e e -=-满足了()()f x f x -=-,所以是奇函数.3.若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线E 上,且13PF =,则2PF 等于（ ）A.11B.9C.5D.3 【答案】B .【解析】由题,12||||||26PF PF a -==,即2|3|||26PF a -==,解得2||9PF =.4.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+ ,其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ,据此估计,该社区一户收入为15万元家庭年支出为A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元 【答案】B 【解析】8.28.610.011.311.9105x ++++==, 6.27.58.08.59.885y ++++==,ˆˆ80.76100.4ay bx =-=-⨯=,所以当15x =时,ˆˆ11.8y bx a =+= 5.若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =- 的最小值等于 （ ）A.52-B.2-C.32- D.2 【答案】A【解析】可行域如图1,当直线过1(1,)2A -,2z x y =-有最小值52-.6.阅读如图2所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为（ ） A.2 B.1 C.0 D.1- 【答案】C【解析】进入循环体,第一次,1,0i S ==；第二次,2,0cos 1i S π==+=-,第三次,33,1cos 12i S π==-+=-,第四次,4,1cos 20i S π==-+=,第五次,55,0cos 02i S π==+=,此时,退出循环,因此0S =.7.若,l m 是两条不同的直线,m 垂直于平面α ,则“l m ⊥ ”是“//l α ”的图2图1A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】l m ⊥无法推出//l α,因此l 可能在平面内；//l α可以推出l m ⊥,这也便是法向量证明线面平行的依据,因此l m ⊥是//l α的必要不充分条件。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学理第I 卷（选择题共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}234,,,A i i i i = （i 是虚数单位），{}1,1B =- ，则A B 等于 ( ) A ．{}1- B ．{}1 C ．{}1,1- D ．φ 【答案】C 【解析】试题分析：由已知得{},1,,1A i i =--，故A B ={}1,1-，故选C ． 考点：1、复数的概念；2、集合的运算． 2．下列函数为奇函数的是( )A ．y =B ．sin y x =C ．cos y x =D ．x x y e e -=- 【答案】D考点：函数的奇偶性．3．若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ．考点：双曲线的标准方程和定义．4．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+ ，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为( )]A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元 【答案】B考点：线性回归方程．5．若变量,x y 满足约束条件20,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩ 则2z x y =- 的最小值等于 ( )A ．52-B ．2-C ．32- D ．2【答案】A 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为2=-，当z最小时，直y x z线2=经过可行域，尽可能向上移到过点y x=-的纵截距最大，故将直线2y x z1B-时，z取到最小值，最小值为(1,)215z=⨯--=-，故选A．2(1)22考点：线性规划．6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A．2 B．1 C．0 D．1-【答案】C【解析】试题分析：程序在执行过程中,S i的值依次为：0,1S i==；==；0,2S i==；0,6==，程序结束，输出=-=；0,5S iS i1,3S i=-=；1,4S iS=，故选C．考点：程序框图．7．若,l m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l mlα的⊥”是“//（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】B考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系．8．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D 【解析】试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a =．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a=-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．考点：等差中项和等比中项．9．已知1,,AB AC AB AC t t⊥== ，若P 点是ABC ∆ 所在平面内一点，且4AB ACAP ABAC=+，则PB PC ⋅ 的最大值等于（ ） A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 【答案】A考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．10．若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（ ）A ．11f k k⎛⎫< ⎪⎝⎭ B ．111fk k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭D ． 111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭【答案】C考点：函数与导数．第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.11．()52x + 的展开式中，2x 的系数等于 ．（用数字作答）【答案】80 【解析】试题分析：()52x + 的展开式中2x 项为2325280C x =，所以2x 的系数等于80．考点：二项式定理．12．若锐角ABC ∆的面积为，且5,8AB AC == ，则BC 等于________． 【答案】7 【解析】试题分析：由已知得ABC ∆的面积为1s i n 20s i n 2A B A C A A ⋅=1=，所以s i n A =，(0,)2A π∈，所以3A π=．由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅=49，7BC =．考点：1、三角形面积公式；2、余弦定理．13．如图，点A 的坐标为()1,0 ，点C 的坐标为()2,4 ，函数()2f x x = ，若在矩形ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．【答案】512【解析】试题分析：由已知得阴影部分面积为221754433x dx -=-=⎰．所以此点取自阴影部分的概率等于553412=．考点：几何概型．14．若函数()6,2,3log ,2,a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩ （0a > 且1a ≠ ）的值域是[)4,+∞ ，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】(1,2]考点：分段函数求值域．15．一个二元码是由0和1组成的数字串()*12n x x x n N ∈ ，其中()1,2,,k x k n =称为第k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0）已知某种二元码127x x x 的码元满足如下校验方程组：4567236713570,0,0,x x x x x x x x x x x x ⊕⊕⊕=⎧⎪⊕⊕⊕=⎨⎪⊕⊕⊕=⎩其中运算⊕ 定义为：000,011,101,110⊕=⊕=⊕=⊕= ．现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于 ． 【答案】5．考点：推理证明和新定义．三、解答题：本大题共6小题，共80分。