【红对勾】2013-2014学年高中数学 课时作业11 等差数列前n项和的性质及应用 新人教A版必修5

第2讲 等差数列及其前n 项和泊头一中韩俊华 【2013年高考会这样考】1．考查运用基本量法求解等差数列的基本量问题（知三求二问题，知三求一问题）．2．考查等差数列的性质、前n 项和公式及综合应用． 【复习指导】1．掌握等差数列的定义与性质、通项公式、前n 项和公式等．2．掌握等差数列的判断方法，等差数列求和的方法．基础梳理1．等差数列的定义（1）文字定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个叫做 等差数列的 ，通常用字母d 表示（2）符号定义： ①． ② 2．等差数列的通项公式：n a = ，变式：d = ()1n ≠或n a = ，变式：d = ()n m ≠（其中*,m n N ∈）或n a = 。

（函数的一次式） 3．等差中项如果A ＝a ＋b2A 叫做a 与b 的等差中项．4 等差数列的判定方法 ①定义法：②等差中项法： ③通项公式法： 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则 (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别的若：m ＋n ＝2p ，则(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为 的等差数列(4)在有穷等差数列中与首末两项等距离的任意两项的和相等：即： (5)等差数列的单调性：若d ＞0,则数列{a n }为 若d=0,则数列{a n }为 若d ＜0,则数列{a n }为（6）等差数列中公差d= = (7)等差数列中a n =m ,a m =n 则a m+n =(8)若数列{a n } {b n }均为等差数列，则若{c a n +kb n }仍为 ，另外数列 (9)若项数为2n ，则 ①S S -=奇偶； ②S S =偶奇； ③2n S =（用1,n n a a +表示，1,n n a a +为中间两项） (10)若项数为21n +，则 ①S S -=奇偶； ②S S =奇偶； ③21n S +=（用1n a +表示，1n a +为中间项）(11)若等差数列{n a }，{n b }的前n 项和分别为n n S T ，，则2121n n nn a S b T --=（12）.23243m m m m m m m S S S S S S S --- ，，，，为等差数列。

;

.
偶 -

(3)设 Sn,S′n 分别为等差数列{an},{bn}的前 n 项和,则 =
-
′
-
.

(4)数列{an}是等差数列⇔Sn=an +bn(a,b 为常数)⇔数列{ }为等差数列.
2

( + ) ( +-+ )
(5)Sn=

=

取何值时Sn有最大值?并求出最大值.
解:因为 S9=S18,a1=26,
所以 9×26+
×(-)
×(-)


d=18×26+d, Nhomakorabea解得 d=-2.
所以 Sn=26n+

2
(-)


=-(n- ) +

2
×(-2)=-n +27n

*
,所以当 n= 时,Sn 有最大值,又 n∈N ,

(3)已知{an},{bn}均为等差数列,其前 n 项和分别为 Sn,Tn,且 = + ,则 =

.
解析:(3)由等差数列的性质,知


=
+

+

+
×

+
×

=

答案:(3)

×+
= =

+
= .

方法总结
公差为d的等差数列{an}的前n项和Sn的常用性质小结
所以(a5+a6)-(a3+a4)=(a3+a4)-(a1+a2)=4d,

2
(4)设Sn＝An2＋BnA，B为常数，A＝d2，B＝a1－d2， nS＋n＋11＝An＋1n2＋＋1Bn＋1＝A(n＋1)＋B， Snn＝An2＋n Bn＝An＋B.
∴nS＋n＋11－Snn＝A(n＋1)＋B－An－B＝A＝d2.
∴Snn是首项为a1，公差为d2的等差数列.
讲重点 讨论等差数列前n项和Sn最值问题的方法及注意事 项
利用不等式组
an≤0， an＋1≥0
或
an≥0， an＋1≤0，
可以确定正整数n，
使得等差数列{an}的前n项和Sn最小或最大．用这一方法解决这
类问题时要注意两点：①n是正整数；②求出n后需验证an是否
为零，若an为零，则最值Sn＝Sn－1；若an不为零，则最值为Sn.
a1>a2>a3>…>ak≥0>ak＋1>…，则 S1<S2<S3<…≤Sk>Sk＋1>Sk＋2>…， 所以，此时Sn存在最大值，且最大值为Sk＝a1＋a2＋a3＋… ＋ak.
此时，可以用不等式组aakk≥ ＋1≤0，0 确定正整数k的值．
③当公差d<0、首项a1>0时，等差数列{an}为正项递增数 列，故0<S1<S2<S3<…，所以不需要讨论其最值问题；同样，当 公差d<0、首项a1<0时，等差数列{an}是负项递减数列，故 0>S1>S2>S3>…，所以也不需要讨论其最值问题．
变式训练2 递减的等差数列{an}的前n项和Sn满足S5＝S10， 则欲使Sn取最大值，n的值为( )
A．10
B．7
C．9
D．7或8
解析：方法一：∵S5＝S10， ∴a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝0，∴a8＝0.由于数列递减，故数列 前7项为正，从第9项开始为负． ∴Sn取最大值时，n＝7或8.

【题组设计】2014届高考数学（人教版）总复习“提高分”课时作业 5.5数列的综合应用（含2013年模拟题）【考点排查表】考查考点及角度 难度及题号错题记录基础 中档 稍难 等差、等比数列综合 1,3 7,9 10 数列的实际应用 2 8 11 数列与其它知识的综合 45,612,13一、选择题1．(2013·某某模拟)已知数列{a n }是首项为a 1＝4的等比数列，且4a 1，a 5，－2a 3成等差数列，则其公比q 等于( )A ．1B ．－1C ．1或－1 D. 2【解析】 依题意有2a 5＝4a 1－2a 3，即2a 1q 4＝4a 1－2a 1q 2，整理得q 4＋q 2－2＝0，解得q 2＝1(q 2＝－2舍去)，所以q ＝1或－1.【答案】 C2．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N ＋)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了( )A ．600天B ．800天C ．1000天D ．1200天【解析】 设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为3.2×104＋n 5＋n ＋49102n＝3.2×104n＋n20＋4.95，当且仅当3.2×104n ＝n20时，取得最小值，此时n ＝800.【答案】 B3．(2013·某某模拟)已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16【解析】 因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.【答案】 D 4．设曲线y ＝xn ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 等于( )A.1nB.1n ＋1C.nn ＋1D ．1【解析】f ′(x )＝(n ＋1)x n，f (x )在点(1,1)处的切线斜率k ＝n ＋1，则切线方程：y －1＝(n ＋1)(x －1)．令y ＝0得切线与x 轴交点横坐标x n ＝nn ＋1，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×…×nn ＋1＝1n ＋1. 【答案】 B5．已知{a n }是递增数列，且对任意n ∈N *都有a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值X 围是( )A ．－72，＋∞ B．(0，＋∞)C ．[－2，＋∞) D．(－3，＋∞) 【解析】∵{a n }是递增数列，∴a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ， ∴λ>－2n －1对于n ∈N *恒成立． 而－2n －1在n ＝1时取得最大值－3， ∴λ>－3，故选D. 【答案】 D6．(2012·某某高考)设a n ＝1n sin n π25，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n .在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数是( )A ．25B ．50C ．75D ．100【解析】 结合三角函数性质，寻求数列前n 项和的符号特点． ∵a n ＝1n sin n π25，∴1≤n ≤24时，sin n π25>0，即a 1，a 2，…，a 24>0；n ＝25时，a 25＝0；当26≤n ≤49时，a n ＝1n sin n π25＝－1n sin n －25π25<0，且|a n |<1n －25sin n －25π25＝a n －25；当n ＝50时，a 50＝0.∴S 1，S 2，S 3，…，S 50>0， 同理可知S 51，S 52，S 53，…，S 100>0.∴在S 1，S 2，…，S 100中，正数的个数为100. 【答案】 D 二、填空题7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的第1,5,17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是________．【解析】 由题意知a 25＝a 1·a 17， 即a 25＝(a 5－4d )·(a 5＋12d )， ∴8a 5d －48d 2＝0，∵d ≠0，∴a 5＝6d ， ∴公比q ＝a 5a 1＝a 5a 5－4d ＝6d6d －4d＝3.【答案】 38．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒(假设病毒不繁殖)，问细菌将病毒全部杀死至少需要________秒钟．【解析】 设至少需n 秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n －1≥100，∴1－2n1－2≥100，∴n ≥7.【答案】 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝ 23a n －13，若1＜S k ＜9(k ∈N *)，则k 的值为________． 【解析】∵S n ＝23a n －13，∴S 1＝23a 1－13＝a 1，a 1＝－1.a n ＝S n －S n －1(n ＞1)，即a n ＝(23a n －13)－(23a n －1－13)＝23a n －23a n －1，整理得：a na n －1＝－2，∴{a n }是首项为－1，公比为－2的等比数列，S k ＝a 11－q k 1－q ＝－2k －1，3，∵1＜S k ＜9，∴1＜－2k －13＜9，即4＜(－2)k＜28，当且仅当k ＝4时不等式成立．【答案】 4 三、解答题10．(2012·某某市高三调研)已知等差数列{a n }的公差大于0，且a 3，a 5是方程x 2－14x ＋45＝0的两个根，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝1－b n 2(n ∈N *)． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)若＝a n ·b n ，求数列{}的前n 项和T n .【解】 (1)∵a 3，a 5是方程x 2－14x ＋45＝0的两根，且数列{a n }的公差d >0，∴a 3＝5，a 5＝9，公差d ＝a 5－a 35－3＝2.∴a n ＝a 5＋(n －5)d ＝2n －1.又当n ＝1时，有b 1＝S 1＝1－b 12，∴b 1＝13，当n ≥2时，有b n ＝S n －S n －1＝12(b n －1－b n )，∴b n b n －1＝13(n ≥2)． ∴数列{b n }是首项b 1＝13，公比q ＝13的等比数列，∴b n ＝b 1qn －1＝13n . (2)由(1)知＝a n b n ＝2n －13n ，∴T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －13n ，①13T n ＝132＋333＋534＋…＋2n －33n ＋2n －13n ＋1，② ①－②得23T n ＝13＋232＋233＋…＋23n －2n －13n ＋1＝13＋2132＋133＋…＋13n －2n －13n ＋1， 整理得T n ＝1－n ＋13n.11．某商场因管理不善及场内设施陈旧，致使年底结算亏损，决定从今年开始投入资金进行整修，计划第一个月投入80万元，以后每月投入将比上月减少15.第一个月的经营收入约为40万元，预计以后每个月收入会比上个月增加14.(1)设n 个月内的总投入为a n 万元，总收入为b n 万元，写出a n ，b n ； (2)问经过几个月后商场开始扭亏为盈．【解】 (1)由题意，得a n ＝80＋80×45＋80×452＋…＋80×45n －1＝80×1－45n 1－45＝4001－45n.b n ＝40＋40×54＋40×542＋ (40)54n －1＝40×1－54n 1－54＝16054n－1.(2)由题意，令a n <b n ， ∴4001－45n <16054n－1.设t ＝54n ，则51－1t <2(t －1)，即2t 2－7t ＋5>0.∵t >1，∴解得t >52，即54n >52.取n ＝4，则544＝52×125128<52；取n ＝5，则545＝52×625512>52.∴第5月开始扭亏为盈．12．(文)已知函数f (x )＝a x 的图象过点1，12，且点n －1，a n n 2(n ∈N *)在函数f (x )＝ax的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n ＋1－12a n ，若数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：S n <5.【解】 (1)∵函数f (x )＝a x的图象过点1，12，∴a ＝12，f (x )＝12x.又点n －1，a n n 2(n ∈N *)在函数f (x )＝a x 的图象上，从而a n n 2＝12n －1，即a n ＝n 22n －1(n ∈N *)．(2)由b n ＝n ＋122n－n 22n ＝2n ＋12n 得， S n ＝32＋522＋…＋2n ＋12n ， 则12S n ＝322＋523＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1， 两式相减得12S n ＝32＋2122＋123＋…＋12n －2n ＋12n ＋1，∴S n ＝5－2n ＋52n (n ∈N *)，∴S n <5(理)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)．求证：S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n. 【解】∵a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)， ∴S n －S n －1＝－2S n ·S n －1.两边同除以S n ·S n －1，得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，∴数列1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以d ＝2为公差的等差数列．∴1S n ＝1S 1＋(n －1)·d ＝2＋2(n －1)＝2n .∴S n ＝12n .∵S 2n ＝14n 2<14n n －1＝141n －1－1n (n ≥2)，S 21＝14， ∴当n ≥2时，S 21＋S 22＋…＋S 2n ＝14＋14×2×2＋…＋14·n ·n<14＋141－12＋…＋141n －1－1n ＝12－14n ； 当n ＝1时，S 21＝14＝12－14×1.综上，S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n .四、选做题13．(文)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N )． (1)试判断数列{1a n}是否为等差数列；(2)设{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项和为S n ；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ，对任意n ≥2的整数恒成立，某某数λ的取值X 围．【解】 (1)∵a 1≠0，∴a n ≠0， ∴由已知可得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，故数列{1a n}是等差数列．(2)由(1)可得b n ＝1＋(n －1)×3，所以b n ＝3n －2，∴S n ＝n 1＋3n －22＝n 3n －12.(3)将a n ＝1b n ＝13n －2代入λa n ＋1a n ＋1≥λ并整理得λ(1－13n －2)≤3n ＋1， ∴λ≤3n ＋13n －23n －3，原命题等价于该式对任意n ≥2的整数恒成立．设＝3n ＋13n －23n －3，则＋1－＝3n ＋13n －43n n －1＞0，故＋1＞，∴的最小值为C 2＝283，∴λ的取值X 围是(－∞，283]． (理)(2013·四中模拟)已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－2x ，x ≠12－1，x ＝12的图象上的任意两点(可以重合)，点M 在直线x ＝12上，且AM →＝MB →.(1)求x 1＋x 2的值及y 1＋y 2的值；(2)已知S 1＝0，当n ≥2时，S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ，求S n；(3)在(2)的条件下，设a n ＝2S n ，T n 为数列{a n }的前n 项和，若存在正整数c ，m ，使得不等式T m －c T m ＋1－c <12成立，求c 和m 的值．【解】 (1)∵点M 在直线x ＝12上，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y M ， 又AM →＝MB →，即AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 1，y M －y 1，MB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－12，y 2－y M ，∴x 1＋x 2＝1，①当x 1＝12时，x 2＝12，y 1＋y 2＝f (x 1)＋f (x 2)＝－1－1＝－2；②当x 1≠12时，x 2≠12，y 1＋y 2＝2x 11－2x 1＋2x 21－2x 2＝2x 11－2x 2＋2x 21－2x 11－2x 11－2x 2＝2x 1＋x 2－8x 1x 21－2x 1＋x 2＋4x 1x 2＝21－4x 1x 24x 1x 2－1＝－2.由①②得y 1＋y 2＝－2.(2)由(1)知，当x 1＋x 2＝1时，y 1＋y 2＝－2.故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫k n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －k n ＝－2，k ＝1,2,3，…n －1. n ≥2时S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ，①S n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，② ①＋②得，2S n ＝－2(n －1)，则S n ＝1－n .n ＝1时S 1＝0也满足S n ＝1－n ，∴S n ＝1－n .(3)a n ＝2S n ＝21－n，T n ＝1＋12＋…＋12n －1＝2－22n ，T m －c T m ＋1－c <12得2T m －c －T m ＋1－c2T m ＋1－c<0，故c －2T m －T m ＋1c －T m ＋1<0，T m ＋1＝2－12m ，2T m －T m ＋1＝4－42m －2＋12m ＝2－32m ，∴12≤2－32m <c <2－12m <c ，c 、m 为正整数， ∴c ＝1，当c ＝1时，⎩⎪⎨⎪⎧2－32m <1，2－12m>1.∴1<2m<3， ∴m ＝1.。