集合考纲思维导图知识点梳理：一：集合的相关概念1、集合（原始概念）：描述为“某些指定的对象集在一起”或“具有某种共同属性的对象的全体”构成一个集合。
集合一般用大写英文字母来表示，记为A 、B 、C2、元素：集合的研究对象叫集合的元素(element)。
元素一般用小写英文字母来表示记为a 、b 、c [说明] 集合中元素的性质（1）确定性：集合中元素的从属性要明确（确定性）反例：大树、好人 （2）互异性：集合中相同元素只写一个代表；如：方程2(2)0x -=的解集{2} （3）集合中元素无序；如：{1,2,3} = {2,1,3} 3、元素与集合的关系：a A ∈、a A ∉空集：不含任何元素的集合叫做空集，记作∅． 4、集合的分类：（1）按元素的属性：数集（构成集合中的元素是数）、点集（构成集合中的元素数点）等． （2）按元素的个数：空集∅、单元素集、有限集、无限集．例题讲解考点1：集合的相关概念【例题1】点的集合{(,)|0}M x y xy =是指( )A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第一、第三象限内的点集D ．不在第二、第四象限内的点集【例题2】（2018东城区期末）已知集合2{|10}A x x =->，那么下列结论正确的是( ) A ．0A ∈ B ．1A ∈ C ．1A -∈ D ．1A ∉【例题3】如果(1,)A =-+∞，那么正确的结论是( ) A ．0A ⊆ B ．{0}A ∈ C ．{0}A ⊆D ．A ∅∈【例题4】下列集合中为空集的是( ) A ．2{|0}x N x ∈ B ．2{|10}x R x ∈-= C ．2{|10}x R x x ∈++= D ．{0}二：集合的表示方法 1、列举法说明：元素一一列举 2、描述法说明：固定的格式，当心“代表元素”3、图象法：用一条封闭曲线围成的图形表示集合的方法。
说明：Venn （文氏图）或数轴，坐标系例如： 表示集合{1,2,3}4、区间法：一般用来表示连续的数集，例如设,a b R ∈且a b >则可以表示为（a ，b ）．5、常用数集及其记法：例题讲解考点2：集合的表示方法【例题1】（2017昌平区期中）表示正整数集的是( )A ．QB ．NC ．*ND ．Z【例题2】方程2x x =的所有实数根组成的集合为( )A ．(0,1)B ．{(0,1)}C ．{0，1}D ．2{}x x =【例题3】用描述法表示图中阴影部分的点（含边界）的坐标的集合为 ．321【例题4】（2017昌平区期中）若集合{|31}x a x a -表示非空集合，则a 的取值范围是 ．三：集合间的基本关系（一）子集定义： 如果集合A 的任何一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作（A B ⊆或B A ⊇），读作“包含于”或“ 包含 ”． 符号表达：A B x A ⊆⇔∀∈有x B ∈注意：A B x A ⊄⇔∃∈但x B ∉ 拓展：（1）A A ⊆ （2）A ∅⊆（3）若,A B B C ⊆⊆则A C ⊆（二）集相等：A B A B =⇔⊆且B A ⊆（三）如果集合A B ⊆，并且存在x B ∈但x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集，记作：AB符号表达：AB A B ⇔⊆且A B ≠拓展：（1）若A 非空，则A ∅⊆（2）A 的子集中除A 外，都是A 的真子集 （3）若,AB BC 则A C（4）设集合A 中元素个数为n ，则： ①子集的个数为2n②真子集的个数为21n- ③非空真子集的个数为22n -例题讲解考点3：集合间的基本关系【例题1】（2018海淀区月考）集合{a ，}b 的子集有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【例题2】（2019海淀区一模）已知集合{|04}P x x =<<，且M P ⊆，则M 可以是( )A ．{1，2}B ．{2，4}C ．{1-，2}D ．{0，5}【例题3】（2018西城区二模）若集合{|01}A x x =<<，2{|20}B x x x =-<，则下列结论中正确的是( )A ．AB =∅B ．A B R =C ．A B ⊆D ．B A ⊆四：集合间的运算1. 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常用U 表示．2. 补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记住作UA ，如图3. 交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集．交集{|A B x x A ⋂=∈且}x B ∈4. 并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集．并集{|A B x x A ⋃=∈或}x B ∈5. 拓展：集合的简单性质总结（1）A A ⊆,A ∅∈；（2）若,A B B C ⊆⊆则A C ⊆，若,A B B C 则A C ；（3）A B B A ⋂=⋂, A B B A ⋃=⋃； （4）A B A ⋂⊆,A B B ⋂⊆ （5）A A B ⊆⋃,B A B ⊆⋃ （6）A ⋂∅=∅,A A ⋃∅= （7）()UA A ⋂=∅,()U A A U ⋃=,()UU A A=例题讲解考点4：集合的基本运算【例题1】（2019西城区二模）已知集合11A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，12,,32B ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，则(AB = )A ．12,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．1,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．φ【例题2】（2019北京高考）已知集合{|12}A x x =-<<，{|1}B x x =>，则(A B = )A ．(1,1)-B ．(1,2)C ．(1,)-+∞D ．(1,)+∞【例题3】（2019海淀区月考）已知集合{1A =-，1}，2{|20}B x x x =+-=，则(A B = )A ．{1}-B ．{1-，1}C ．{2-，1-，1}D ．{1-，1，2}【例题4】（2019昌平区二模）已知集合2{|9}U x Z x =∈<，集合{2A =-，2}，则(UA = )A ．{1-，0，1}B ．{1-，1}C ．[1-，1]D ．(1,1)-练习A【练1】若{(1,2)A =-，(0,0)}，则集合A 中的元素个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【练2】若集合{M a =，b ，}c 中的元素是ABC ∆的三边长，则ABC ∆一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【练3】已知集合{|1}A x x =<，则下列关系正确的是( )A ．0A ⊆B ．{0}A ∈C ．A ∅∈D ．{0}A ⊆【练4】（2018海淀区期中）已知集合{|0}A x x a =-，若2A ∈，则a 的取值范围为( )A ．(-∞，4]B ．(-∞，2]C ．[2，)+∞D ．[4，)+∞【练5】下列结论不正确的是( ) A ．*0N ∈B ．1N -∉C ．32Q ∈D ．R π∈【练6】下列四个集合中，是空集的是( )A ．{|33}x x +=B ．22{(,)|x y y x =-，x ，}y R ∈C ．2{|0}x xD ．2{|10x x x -+=，}x R ∈【练7】设集合2{|10}A x ax ax =-+<，若A =∅，则实数a 取值的集合是( )A ．(0,4)B ．[0，4)C ．(0，4]D ．[0，4]【练8】（2019海淀区一模）已知集合{|02}P x x =，且M P ⊆，则M 可以是( )A ．{0，1}B ．{1，3}C ．{1-，1}D ．{0，5}【练9】若集合{|0A x x =<或1x >，}x R ∈，{|2B x x =>，}x R ∈，则( )A ．AB ⊇B ．A B =C ．A B ⊆D ．AB =∅【练10】（2017海淀区三模）已知集合{|(1)0A x x x =->，}x R ∈，{|2B x x =>，}x R ∈，则( )A ．AB ⊇ B ．A B =C ．A B ⊆D ．AB =∅【练11】（2018海淀区期中）已知集合2{|20)A x x x =--，集合{|}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围为()A ．[2，)+∞B ．(2,)+∞C ．[1，)+∞D ．(1,)+∞【练12】设集合{A x =，}y ，{0B =，2}x ，若A B =，则2x y +等于( )A ．0B ．1C ．2D ．1-【练13】（2019海淀区月考）已知集合{0A =，1，2，3，4}，{|(4)0}B x x x =-<，则(A B = )A ．{|04}x x <<B ．{|13}x x <<C ．{0，1，2，3，4}D ．{1，2，3}【练14】（2019丰台区二模）若集合2{|4}A x Z x =∈，集合{|13}B x x =-<<，则(A B = )A ．{0，1，2}B ．{1-，0，1，2}C ．{1-，0，1，2，3}D ．{|12}x x -<【练15】（2019朝阳区期末）已知集合{|(1)0}A x x x =+，{|1}B x x =<-，则(A B = )A ．{|1}x x -B ．(|}x x l >-C ．{|0}x xD ．∅【练16】（2019朝阳区二模）已知集合{|1}A x x =>，2{|20}B x x x =-<，则(A B = )A ．{|0}x x >B ．{|1}x x >C ．{|12}x x <<D ．{|02}x x <<【练17】（2018海淀区三模）已知集合{|1}M x lgx =，{|22}N x x =-<<，则(M N = )A ．(2,2)-B ．(0,2)C ．(2-，10]D ．(-∞，10]【练18】（2019顺义区二模）已知全集{0U =，1，2}，集合2{|0}A x x x =-=，则(UA = )A ．{2}B ．{0，1}C ．{0，2}D ．{1，2}【练19】（2019海淀区一模）已知集合{1A =-，0，1，2，3}，{1B =-，1}，则(A B = )A ．{1，2}B ．{0，1，2}C ．{0，2，3}D ．{0，1，2，3}【练20】某校高三（1）班32名学生参加跳远和掷实心球两项测试．跳远和掷实心球两项测试成绩合格的人数分别为26人和23人，这两项成绩均不合格的有3人，则这两项成绩均合格的人数是( )A ．23B ．20C ．21D ．19练习B【练1】下面的结论正确的是( )A ．ax Q ∈，则a N ∈B ．a N ∈，则{a ∈正整数}C ．210x -=的解集是{1-，1}D ．正偶数集是有限集【练2】（2018海淀区期中）已知集合2{|20)A x x x =--，集合{|}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围为()A ．[2，)+∞B ．(2,)+∞C ．[1，)+∞D ．(1,)+∞【练3】（2018房山区期末）已知集合{1A =-，0，1}，{|}B x x a =>，若AB A =，则实数a 的取值可以为()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【练4】（2018丰台区二模）已知U R =，2{|230}A x x x =--<，则(UA = )A ．{|1x x -或3}xB ．{|3x x -或1}xC ．{|1x x <-或3}x >D ．{|3x x <-或1}x >【练5】（2017海淀区模拟）设集合{|(1)0}A x x x =+，集合{|21}x B x =>，则集合A B 等于( )A ．{|0}x xB ．{|1}x x -C ．{|0}x x >D ．{|1}x x >-【练6】（2019西城区一模）设全集U R =，集合{|02}A x x =<<，{3B =-，1-，1，3}，则集合()(U A B =)A ．{3-，1}-B ．{3-，1-，3}C ．{1，3}D ．{1-，1}【练7】（2019东城区二模）已知集合{2A =-，1-，0，1，2}，2{|20}B x x x =--，则(RA B = )A ．{2}-B ．{0，1}C ．{2-，1-，2}D ．{1-，0，1，2}【练8】（2018东城区二模）已知全集U R =，集合{|10}A x x =+<，{|40}B x x =-，则()(UAB = )A ．{|1x x -或4}x >B ．{|1x x -或4}x <C ．{|1}x x -D ．{|4}x x >【练9】（2018朝阳区一模）已知全集为实数集R ，集合2{|30}A x x x =-<，2{|log 0}B x x =>，则()(R A B =)A ．(-∞，0](1,)+∞ B ．(0，1]C ．[3，)+∞D ．∅【练10】（2017海淀区月考）已知{A x y =，{1B =，}m ，若B A ⊆，则( )A ．02m <B ．01m <<或12m <C ．01m <<D ．12m <【练11】（2018海淀区期末）集合{|24k M x x ππ==+，}k Z ∈，{|4k N x x π==，}k Z ∈，则( ) A ．M N ⊆ B ．N M ⊆ C ．M N =∅ D ．M N R=【练12】（2018海淀区月考）若集合{||21|3}A x x =-<，21{|0}3x B x x+=<-，则A B 是( )A ．1{|123}2x x x -<<-<<或B ．{|23}x x <<C ．{|2x x <或3}x >D ．1{2}2x x -<<【练13】（2019海淀区月考）已知集合{21|log ,,|(),02x A y y x x B y y x ⎧⎫====<⎨⎬⎩⎭，则(AB = )A ．(1,)+∞B ．1(0,)2C ．1(,)2+∞D ．1(,1)2【练14】（2018东城区期末）已知非空集合A ，B 满足以下两个条件 (){1i AB =，2，3，4，5，6}，AB =∅；()ii 若x A ∈，则1x B +∈．则有序集合对(,)A B 的个数为( )A ．12B ．13C ．14D ．15【练15】（2017海淀区期中）已知集合2{|1050}A x ax x =--=中至多有一个元素，则a 的取值范围是 ．【练16】（2018海淀区期中）设集合{|1}A x x =>，集合{|}B x x a =>，且A B ⊆，则实数a 的取值范围为 ．【练17】（2017秋•海淀区期中）已知非空集合A ，B 满足以下两个条件： （ⅰ）{1AB =，2，3，4}，AB =∅；（ⅱ）集合A 的元素个数不是A 中的元素，集合B 的元素个数不是B 中的元素．那么用列举法表示集合A 为 ．【练18】（2018海淀区校级月考）集合A ，B 的并集{1A B =，2}，当且仅当A B ≠时，(,)A B 与(,)B A 视为不同的对，则这样的(,)A B 对的个数有 ．【练19】（2018朝阳区期末）设集合{1M =，3，6，9，12，15}．集合N 满足：①有两个元素；②若x N ∈，则3x M +∈且3x M -∈．请写出两个满足条件的集合N ．【练20】（2018海淀区校级期中）非空有限数集S 满足：若a ，b S ∈，则必有ab S ∈．请写出一个满足条件的二元数集S =练习C【练1】设(0,0)A ，(4,0)B ，(4,4)C t +，(D t ，4)()t R ∈．记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为( )A ．{9，10，11}B ．{9，10，12}C ．{9，11，12}D ．{10，11，12}【练2】设集合0{(M x =，22000)|20y x y +，0x Z ∈，0}y Z ∈，则M 中元素的个数为( )A ．61B ．65C ．69D ．84【练3】（2017朝阳区模拟）对于任意两个正整数m ，n ，定义某种运算“※”如下：当m ，n 都为正偶数或正奇数时，m ※n m n =+；当m ，n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m ※n mn =．则在此定义下，集合{(,)|M a b a =※12b =，*a N ∈，*}b N ∈中的元素个数是( )A ．10个B ．15个C ．16个D ．18个【练4】（2019朝阳区一模）某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8．若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【练5】（2019东城区一模）设A ，B 是R 中两个子集，对于x R ∈，定义：0,,0,1,,1,x A x Bm n x A x B ∉∉⎧⎧==⎨⎨∈∈⎩⎩①若A B ⊆．则对任意x R ∈，(1)m n -= ；②若对任意x R ∈，1m n +=，则A ，B 的关系为 ．作业【题1】（2019东城区一模）已知集合2{|20}A x x x =+>，{|210}B x x =+>，则(A B = )A ．12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭B ．12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C ．{|0}x x >D ．R【题2】（2018海淀区三模）已知集合{|24}A x x =<<，{|3B x x =<或5}x >，则(A B = )A ．{|25}x x <<B ．{|4x x <或5}x >C ．{|23}x x <<D ．{|2x x <或5}x >【题3】（2018丰台区二模）已知{|1}A x x =>，2{|230}B x x x =--<，则(A B = )A ．{|1x x <-或1}xB ．{|13}x x <<C ．{|3}x x >D ．{|1}x x >-【题4】（2018北京模拟）已知集合{|03A x x =<，}x N ∈，{|B x y ==，则集合()(R A B =⋂ )A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{0，1，2}D ．(0,1)【题5】（2019海淀区校级月考）已知全集U R =，集合{|21}x A x =，2{|1}B y y x ==+，则(UA B = )A ．{|0}x xB ．{|0}x xC ．{|1}x x <D ．{|01}x x <【题6】（2017丰台区二模）S （A ）表示集合A 中所有元素的和，且{1A ⊆，2，3，4，5}，若S （A ）能被3整除，则符合条件的非空集合A 的个数是( )A ．10B ．11C ．12D ．13【题7】已知集合A ，B 都是数集，1，b ，a b +都是A 中的元素，a b -，ab 都是B 中的元素，且{1AB =-，0}，则有序数对(,)a b = (1,0)- ．集合考纲思维导图讲义导航知识点梳理：一：集合的相关概念1、集合（原始概念）：描述为“某些指定的对象集在一起”或“具有某种共同属性的对象的全体”构成一个集合。
集合的交集并集子集全集补集第二时子集、全集、补集、交集知识网络学习要求1．了解集合之间包含关系的意义；2．理解子集、真子集的概念和掌握它们的符号表示；3．子集、真子集的性质；4．了解全集的意义，理解补集的概念．【课堂互动】自学评价1．子集的概念及记法：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（），则称集合 A 为集合B 的子集（subset ）,记为___________或___________读作“________________”或“__________________”用符号语言可表示为：____________________________________________________如右图所示：______________________注意：（1）A 是B 的子集的含义：任意x ∈A ，能推出x ∈B ；（2）不能理解为子集A 是B 中的“部分元素”所组成的集合.2．子集的性质：① A ? A ② A??③ ,A B B C ??,则A C ?思考:A B ?与B A ?能否同时成立？【答】 _________3．真子集的概念及记法：如果A B ?，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集（proper set ）,记为_________或_________读作“____________________”或“__________________”4．真子集的性质：①?是任何非空集合的真子集符号表示为___________________②真子集具备传递性符号表示为___________________5．全集的概念：如果集合U 包含我们所要研究的各个集合，这时U 可以看做一个全集（universal set ）全集通常记作_____6．补集的概念：设____________，由U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为U 的子集A 的补集（complementary set ）, 记为___________读作“__________________________”即：U C A =_______________________ U C A 可用右图阴影部分来表示： __________________7．补集的性质：① U C ?=__________________② U C U =__________________集合的关系包含全集相等子集真子集补集③ ()U U C C A =______________学习要求1．理解交集的概念及其交集的性质；2．会求已知两个集合的交集；3．理解区间的表示法；4．提高学生的逻辑思维能力.【课堂互动】自学评价1．交集的定义：一般地，_________________________________________________，称为A 与B 交集(intersection set)，记作____________读作“___________”.交集的定义用符号语言表示为：__________________________________交集的定义用图形语言表示为：_________________________________注意：（1）交集（A ∩B ）实质上是A 与B 的公共元素所组成的集合.（2）当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A ∩B=?.2．交集的常用性质：（1）A ∩A = A ；（2）A ∩?=?；（3）A ∩B = B ∩A ；（4）(A ∩B)∩C =A ∩(B ∩C)；（5）A ∩B ?A ，A ∩B ?B3．集合的交集与子集：思考:A ∩B=A ，可能成立吗？【答】________________________________________________结论：A ∩B = A ? A ?B4．区间的表示法：设a ，b 是两个实数，且a[a ，b] = _____________________（a ， b ）= _____________________[a ， b ）= _____________________（ a ，b] = ______________________（ a ，+∞）=______________________（-∞， b ）=______________________（-∞，+∞）=____________________其中 [a ， b]，（a ， b ）分别叫闭区间、开区间；[a ，b ），（a ，b] 叫半开半闭区间；a ，b 叫做相应区间的端点.注意：（1）区间是数轴上某一线段或数轴上的点所对应的实数的取值集合又一种符号语言.（2）区间符号内的两个字母或数之间用“，”号隔开.（3）∞读作无穷大，它是一个符号，不是一个数.交集定义集合的运算运用性质【精典范例】例1．① 写出集合{a ，b }的所有子集及其真子集；② 写出集合{a ，b ，c }的所有子集及其真子集；二、判断元素与集合之间、集合与集合之间的关系例2：以下各组是什么关系，用适当的符号表示出来．（1）a 与{a} 0 与 ?（2）?与{20，35，2，?} （3）S={-2，-1，1，2}，A={-1，1}，B={-2，2}；（4）S=R ，A={x|x ≤0，x ∈R }，B={x|x>0 ，x ∈R }；（5）S={x|x 为地球人 }，A={x|x 为中国人}，B={x|x 为外国人 }追踪训练一1．判断下列表示是否正确：(1) a ?{a } (2) {a }∈{a ，b }(3) {a ，b } ?{b ，a }(4) {-1，1} {-1，0，1}(5) ? {-1，1}2．指出下列各组中集合A 与B 之间的关系．(1) A={-1，1}，B=Z ；(2)A={1，3，5，15}，B={x|x 是15的正约数}；(3) A = N*，B=N(4) A ={x|x=1+a 2,a ∈N*}B={x|x=a 2-4a+5,a ∈N*}≠ ? ? ≠4．以下各组是什么关系，用适当的符号表来．(1) ?与{0} (2) {-1，1}与{1，-1} (3) {(a,b)} 与{(b,a)}(4) ?与{0，1，?}三、运用子集的性质例3：设集合A={x|x2+4x=0，x∈R}，B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0，x∈R}，若B?A，求实数a的取值范围．四、补集的求法例4：①方程组210360xx+>-≤的解集为A，U=R，试求A及uC A．②设全集U=R，A={x|x>1}B={x|x+a<0}，B是RC A的真子集，求实数a的取值范围．1．若U=Z，A={x|x=2k，k∈Z}，B={x|x=2k+1，k∈Z}，则UC A___________UC B___________：2．设全集是数集U={2，3，a2+2a-3}，已知A={b，2}，UC A={5}，求实数a，b的值．3．已知集合A={x|x=a+16，a∈Z}，B={x|x=123b-，b∈Z}，C={x|x=126c+，c∈Z}，试判断A、B、C满足的关系一、求已知两个集合的交集例1．（1）设A={-1，0，1}，B={0，1，2，3}，求A∩B；（2）设A={x|x>0}，B={x|x≤1}，求A∩B；（3）设A={x|x=3k，k∈Z}，B={y|y=3k+1 k∈Z }，C={z|z=3k+2，k∈Z}，D={x|x=6k+1，k∈Z}，求A∩B；A∩C；C∩B；D∩B；已知数集A={a2，a+1，-3}，数集B={a-3,a-2，a2+1}，若A∩B={-3}，求a的值．追踪训练一1. 设集合A={小于7的正偶数}，B={-2，0，2，4}，求A∩B；2. 设集合A={x|x≥0}，B={x|x≤0,x∈R}，求A∩B；3.设集合A={(x,y)|y=-4x+6，x∈R}，B={(x,y)|x=y2-1}求A∩B；4.设集合A={x||x=2k+1，k∈Z}，B={y|y=2k-1，k∈Z}，C={x|x=2k ，k∈Z}，求A∩B，B∩C．二、运用交集的性质解题例4：已知集合A={2，5}，B={x|x2+px+q=0，x∈R}（1）若B={5}，求p，q的值．（2）若A∩B= B ，求实数p，q满足的条件．家长意见__________________________________家长签名____________。
