垂径定理典型例题及练习

《垂径定理》专题

【知识考点】

1、垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。这五个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。

2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。

【精典例题】

1、如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A、B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为

．

解：∵OC⊥AP，OD⊥PB，

∴由垂径定理得：AC=PC，PD=BD，

∴CD是△APB的中位线，

∴CD=21AB=21×8=4，

2、如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点B，交⊙O于点C，AB=24，则CD的长是 ．

解：连接OA，

∵OC⊥AB，AB=24，

∴AD=21AB=12，

在Rt△AOD中，∵OA=13，AD=12，∴OD=5，

∴CD=OC-OD=13-5=8．

3、把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米．

解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN的中点O，连接OF，

设OF=x，则OM=16-x，MF=8，

在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2

即：（16-x）2+82=x2

解得：x=10

4、当宽为3cm的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm），那么该圆的半径为 cm。

解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，

∵OD⊥AB，

∴AD=21AB=21（9-1）=4，

设OA=r，则OD=r-3，

在Rt△OAD中，利用勾股定理

解得r=625 cm．

5、工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm．

1

圆的垂径定理习题

一 . 选择题

1．如图 1，⊙ O的直径为 10，圆心 O到弦 AB的距离 OM的长为 3，那么弦 AB的长是（ ）

2．如图，⊙O的半径为 5，弦AB的长为 8，M是弦AB上的一个动点，则线段 OM长的最小值为（ ）

3.过⊙ 0内一点 M的最长弦为 10cm，最短弦长为 8cm，则 OM的长为（ ）

4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 OA、OB在 O 点钉在一起，并使

它们保持垂直，在测直径时，把 O点靠在圆周上，读得刻度 OE=8个单位， OF=6个单位，则圆的直

位 D． 15 个单位

5．如图，O⊙的直径 AB垂直弦 CD于P，且P是半径 OB的中点，6cmCD ，则直径 AB的长是（ ）

6．下列命题中，正确的是（ ）

A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径

B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C ．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心

D ．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心

7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧） ，其跨度为 24 米，拱的半径为 13 米，则拱高为 A．4 B．6 C．7 D．8

B．3 C．4 D．5

B． 10 个单位 C． 1 个单 A ． 2

12 个单位 2

3

8．⊙ O的半径为 5cm，弦 AB//CD，且 AB=8cm,CD=6cm则, AB与 CD之间的距离为 ( )

A ． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或 4 cm D． 1cm 或 7cm

9．已知等腰△ ABC的三个顶点都在半径为 5 的⊙ O上，如果底边 BC的长为 8，那么 BC边上的高为 ( ) A ．2 B．8 C．2或 8 D．3

二、填空题

1．已知 AB是⊙O的弦，AB＝8cm，OC⊥AB与 C，OC=3cm，则⊙ O的半径为 cm

2．在直径为 10cm的圆中，弦 AB的长为 8cm，则它的弦心距为 cm

垂径定理

一.选择题

★1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（ ）

A．4 B．6 C．7 D．8

★★2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

★★3．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（ ）

A．9cm B．6cm C．3cm D．cm41

★★4．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（ ）

A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位 D．15个单位

★★5．如图，O⊙的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，6cmCD，则直径AB的长是（ ）

A．23cm B．32cm C．42cm D．43cm

★★6．下列命题中，正确的是（ ）

A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径

B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦

C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心

D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 ★★★7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( )

A．5米 B．8米 C．7米 D．53米

★★★8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( )

A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm

垂径定理专项练习--- 1 垂径定理专项练习60题（有答案）

1．如图，已知⊙O的直径AB=6，且AB⊥弦CD于点E，若CD=2，求BE的长．

2．已知：如图，⊙O的直径PQ分别交弦AB，CD于点M，N，AM=BM，AB∥CD．

求证：DN=CN．

3．如图，AB为⊙O的弦，C、D分别是OA、OB延长线上的点，且CD∥AB，CD交⊙O于点E、F，若OA=3，AC=2．

（1）求OD的长；

（2）若，求弦EF的长．

4．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交弧BC于D．

（1）请写出四个正确的结论；

（2）若BC=6，ED=2，求⊙O的半径．

垂径定理专项练习--- 2 5．如图，⊙O的弦AB=8，M是AB的中点，且OM=3，求⊙O的半径．

6．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E，连接OC，OC=5，CD=8，求BE的长．

7．如图，过▱ABCD中的三个顶点A、B、D作⊙O，且圆心O在▱ABCD外部，AB=8，OD⊥AB于点E，AB=8的半径为5，求▱ABCD的面积．

8．已知：如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=2cm，DB=6cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，又OM⊥AP于M．求OM及EF的长．

9．如图，已知弦CD⊥直径AB于E，CD=2，BD=，求直径AB的长．

垂径定理专项练习--- 3 10．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD、BC，AB=5，AC=4，

求：BD的长．

11．如图，在⊙O中，=，半径OA交BC于点D．若BC=24，AD=8，求⊙O的半径R．