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常微分方程习题(4)

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一、填空题
1、（ ）称为变量分离方程,它有积分因子( )。

２、当（ ）时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程。

３、函数),(y x f 称为在矩形域Ｒ上关于y 满足利普希兹条件，如果（ ）。

４、对毕卡逼近序列，())()(1≤--x x k k ϕϕ。

５、解线性方程的常用方法有（ ）。

６、若),,2,1)((n i t X i =为齐线性方程的n 个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可表为（ ）。

７、方程组x t A x )(='（ ）。

８、若)(t φ和)(t ψ都是x t A x )(='的基解矩阵，则)(t φ和)(t ψ具有关系：（ ）。

９、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（ ）时，零解是稳定的，对应的奇点称为（ ）。

１０、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（ ）时，零解是渐近稳定的，对应的奇点称为（ ）。

当（ ）时，零解是不稳定的，对应的奇点称为（ ）。

１１、若)(t φ是x t A x )(='的基解矩阵，则x t A x )(=')(t f =满足η=)(0t x 的解（ ）。

二、计算题
求下列方程的通解。

１、
1sin 4-=-x e
dx
dy y。

２、1)(122=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-dx dy y 。

３、求方程
2
y x dx
dy +=通过)0,0(的第三次近似解。

求解下列常系数线性方程。

４、0=+'+''x x x 。

５、t
e x x =-'''。

试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性： ６、
5,
!--=+--=y x dt
dy y x dt
dx 。

三、证明题。

１、设)(t φ为方程Ax x ='（Ａ为n n ⨯常数矩阵）的标准基解矩阵（即))0(E =φ，证明
)(t φ)()(001
t t t -=-φφ其中0t 为某一值。

答案：
一、填空题
１、形如
)()(x g x f dx
dy = 的方程 )
(1y g u =
２、
x
N y
M ∂∂=
∂∂
３、存在常数Ｌ>0，对于所有R y x y x ∈)(),,(2,211都有使得不等式
212,211)(),(y y L y x f y x f -≤-成立
４、
k
k h k ML
!
1
-
５、常数变异法、待定系数法、幂级数解法、拉普拉斯变换法
６、)()(1
t x c
t x i n
i i
∑==
，其中n c c c ,,2,1 是任意常数
７、n 个线性无关的解)(),(),(21t x t x t x n 称之为x t A x )(='的一个基本解组 ８、)(t ψ＝)(t φc
(b t a ≤≤c 为非奇异常数矩阵
９、等于零 稳定中心
１０、两根同号且均为负实数 稳定结点 两根异号或两根同号且均为正实数
不稳定鞍点或不稳定结点
１１、ds s f s t t t t
t )()()()()(0101⎰--+=φφηφφ
二、计算题
１、解：方程可化为
1sin 4-+-=x e
dx
de
y
y
令y
e z =，得x z dx
dz sin 4+-=
由一阶线性方程的求解公式，得
[]x x x dx dx ce
x x c e x x e c dx xe e z -----+-=+-=+⎰⎰=⎰)cos (sin 2)cos (sin 2)sin 4()1()1(所以原方程为：y e ＝x ce x x -+-)cos (sin 2
２、解
：设
t p d x
d y
s i
n
==，则有
t y s e c =，从而
c
g t t t d t c t d t t
g t t x +=+=+⋅=
⎰⎰2
s
e
c s e s
i
n
1
，故方程的解为
2
2
1)(y c x =++，另外1±=y 也是方程的解
３、解：0)(0=x ϕ 2
012
1)(x x d x x x
==⎰
ϕ
5
2
4
220
12
1)4
1()(x x dx x x x x
+
=
+
=⎰
ϕ
dx x x x x dx x x x x x
x
⎰
⎰
⎪⎭⎫
⎝⎛+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
++=
710
40
2523201400141)20121()(ϕ 8
11
5
2
160
14400
120
12
1x x
x x +
+
+
=
４、解：对应的特征方程为：012=++λλ，解得i i 2
3,2
32
122
11-
-=+
-
=λλ
所以方程的通解为：)2
3sin
2
3cos
(212
1
t c t c e x t +=-
５、解：齐线性方程0=-'''x x 的特征方程为013
=-λ，解得2
31,13,21i
±
-=
=λλ，
故齐线性方程的基本解组为：i e
i e
e t
2
3sin
,2
3cos
,2
12
1-
-
，因为1=λ是特征根，
所以原方程有形如t
tAe t x =)(，代入原方程得，t
t t t
e Ate Ate Ae =-+3，所以
3
1=
A ，所以原方程的通解为2
121-
+=e
c e c x t
t
te i e
c i 3
12
3sin
2
3cos
2
13+
+-
６、解： ⎩⎨
⎧=--=+--050
!y x y x 解得⎩
⎨⎧-==23y x 所以奇点为（)2,3- 经变换，⎩⎨⎧+=-=33y Y x X
方程组化为
⎪⎩⎪⎨⎧-=--=Y X dt
dy Y X dt dx
因为
,01
1
11≠---又
01)1(1
1
1
1
2
=++=+-+λλλ 所以i i --=+-=1,121λλ，故奇点为
稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。

三、证明题
１、证明：)(t φ为方程Ax x ='的基解矩阵)(01t -φ为一非奇异常数矩阵，所以
)
(t φ)
(01
t -φ
也是方程Ax x ='的基解矩阵，且)(0t t -φ也是方程Ax x ='
的基解矩阵，且都满足初始条件)
(t φ)
(01
t -φ
E =，E t t ==-)0()(00φφ
所以)(t φ)()(001
t t t -=-φφ。

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河北专接本数学(常微分方程)模拟试卷4(题后含答案及解析)

河北专接本数学(常微分方程)模拟试卷4(题后含答案及解析)

河北专接本数学（常微分方程）模拟试卷4(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．方程xy’+3y=0的通解是( )．A．Cx—3B．CxexC．x—3+CD．x—3正确答案：A 涉及知识点：常微分方程2．xdy—ydx=0的通解是( )．A．y=B．y=CxC．y=CexD．y=Clnx正确答案：B 涉及知识点：常微分方程3．方程y”+4y’=x2一1的待定特解形式可设为( )．A．y=x(ax2+b)B．y=x(ax2+bx+c)C．y=ax2+bx+cD．y=ax2+b正确答案：B 涉及知识点：常微分方程4．微分方程y”=y的通解是( )．A．y=C1e2x+C2e—xB．y=C1ex+C2e—xC．y=C1x+C2e—xD．y=(C+x)e—x正确答案：B 涉及知识点：常微分方程5．函数y=3e2x是微分方程y”一4y=0的( )．A．通解B．特解C．是解，但既非通解也非特解D．不是解正确答案：B 涉及知识点：常微分方程6．方程y”+y=cosx的待定特解形式可设为( )．A．y=axcosxB．y=acosxC．y=acosx+bsinxD．y=x(acosx+bsinx)正确答案：D 涉及知识点：常微分方程7．若某二阶常系数齐次徽分方程的通解为y=C1e—2x+C2ex．则该微分方程为( )．A．y”+y’=0B．y”+2y’=0C．y”+y’—2y=0D．y”一y’—2y=0正确答案：C 涉及知识点：常微分方程填空题8．微分方程xy’一ylny=0的通解为__________．正确答案：y=eCx 涉及知识点：常微分方程9．微分方程y”=2y’的通解为__________．正确答案：y=C1+C2e2x 涉及知识点：常微分方程10．微分方程(y+1)2+x3=0的通解为__________．正确答案：3x4+4(y+1)3=C 涉及知识点：常微分方程11．若f(x)=∫03xf()dt+ln2，则f(x)=__________．正确答案：f(x)=e2xln2 涉及知识点：常微分方程12．方程y”+5y’+4y=3—2x的待定特解形式为__________．正确答案：y*=ax+b 涉及知识点：常微分方程13．方程2y”+y’—y=2ex的待定特解形式为__________．正确答案：y*=aex 涉及知识点：常微分方程14．方程y”—7y’+6y=sinx的待定特解形式为__________．正确答案：y*=Asinx+Bcosx 涉及知识点：常微分方程15．方程2y”+5y’=5xx一2x一1的待定特解形式为__________．正确答案：y*=x(ax2+bx+c) 涉及知识点：常微分方程16．方程y”+3y=2sinx的待定特解形式为．正确答案：y*=Asinx+Bcosx 涉及知识点：常微分方程综合题17．求微分方程的通解或特解，y｜x=π=1正确答案：涉及知识点：常微分方程18．求微分方程的通解或特解y’+ycotx=5ecosx，=一4正确答案：ysinx+5ecosx=1 涉及知识点：常微分方程19．求微分方程的通解或特解y”一2y’—y=0正确答案：涉及知识点：常微分方程20．求微分方程的通解或特解y”一4y’=0正确答案：y=C1+C2e4x 涉及知识点：常微分方程21．求微分方程的通解或特解y”—9y=0正确答案：y=C1e—3x+C2e3x 涉及知识点：常微分方程22．求微分方程的通解或特解y”=x2正确答案：涉及知识点：常微分方程23．求微分方程的通解或特解y”—2y’+y=0正确答案：y=C1ex+C2xex 涉及知识点：常微分方程24．求微分方程的通解或特解y”一e3x=sinx正确答案：y=e3x—sinx+C1x+C2 涉及知识点：常微分方程25．求微分方程的通解或特解(x3+xy2)dx+(x2y+y3)dy=0正确答案：x4+2x2y2+y=C 涉及知识点：常微分方程26．求微分方程的通解或特解(x2一1)y’+2xy一cosx=0正确答案：涉及知识点：常微分方程27．求微分方程的通解或特解正确答案：x=Cesiny一2(1+siny) 涉及知识点：常微分方程28．求微分方程的通解或特解y’+2xy=，y｜x=0=1正确答案：涉及知识点：常微分方程29．求微分方程的通解或特解y’=e2x—y，y｜x=0=0正确答案：涉及知识点：常微分方程30．已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个特征根为0和1，求该方程的通解．正确答案：y=C1+C2ex 涉及知识点：常微分方程31．设y1=3，y2=3+x2，y3=3+x2+ex是某二阶常系数线性非齐次方程的三个解，求该微分方程的通解．正确答案：y=C1ex+C2x2+3 涉及知识点：常微分方程32．设曲线积分∫Lyf(x)dx+[2xf(x)一x2]dy在右半平面(x＞0)内与路径无关，其中f(x)在x＞0时有连续导数，且f(1)=1，求f(x)．正确答案：涉及知识点：常微分方程33．求微分方程y”一4y’+3y=0的解，使得该解所表示的曲线在点(0，2)处与直线x—y+2=0相切．正确答案：涉及知识点：常微分方程34．设函数f(x)可微且满足关系式∫0x[2f(t)一1]df=f(x)一1，求f(x)．正确答案：涉及知识点：常微分方程35．设f(x)为可微函数，可由∫0xtf(t)dt=f(x)+x2所确定，求f(x)．正确答案：涉及知识点：常微分方程。

常微分课后答案第四章

常微分课后答案第四章

第四章 高阶微分方程§4.1 线性微分方程的一般理论习题4．11．设)(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上的连续函数，证明：若在区间[]b a ,上有≠)()(t y t x 常数或≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．（提示：用反证法） 证明 )(t x 和)(t y 是区间[]b a ,上线性相关，则存在不全为0的常数21,c c 使得0)()(21≡+t y c t x c ，[]b a t ,∈，若)0(,021≠≠c c 或得12)()(c c t y t x -≡（或21)()(c c t x t y -≡）[]b a t ,∈∀成立。

与假设矛盾，故)(t x 和)(t y 在区间[]b a ,上线性无关．2．证明非齐次线性方程的叠加原理：设)(1t x ，)(2t x 分别是非齐次线性方程)()()(1111t f x t a dt xd t a dt x d n n n n n =+++-- （1） )()()(2111t f x t a dtxd t a dt x d n n n nn =+++-- （2） 的解，则)()(21t x t x +是方程)()()()(21111t f t f x t a dtxd t a dt x d n n n n n +=+++-- （3） 的解．证明 因为)(1t x ，)(2t x 分别是方程（1）、（2）的解，所以)()()(1111111t f x t a dt x d t a dt x d n n n n n =+++-- ， )()()(2212112t f x t a dtx d t a dt x d n n n nn =+++-- ， 二式相加得，)()())(()()()(21211211121t f t f x x t a dt x x d t a dt x x d n n n n n +=++++++-- ，即)()(21t x t x +是方程（3）的解．3.（1）．试验证022=-x dt x d 的基本解组为tt e e -,，并求方程t x dtx d cos 22=-的通解。

常微分方程第4章答案【精选】

常微分方程第4章答案【精选】

习 题 4—11．求解下列微分方程1） 22242x px p y ++=(dxdy p =解 利用微分法得 0)1)(2(=++dx dpp x 当时，得10dpdx+=p x c =-+从而可得原方程的以P 为参数的参数形式通解22242y p px x p x c ⎧=++⎨=-+⎩或消参数P ，得通解)2(2122x cx c y -+=当 时，则消去P ，得特解 20x p +=2x y -=2）； 2()y pxlnx xp =+⎪⎭⎫ ⎝⎛=dx dy p 解 利用微分法得(2)0dplnx xp x p dx⎛⎫++= ⎪⎝⎭当时，得 0=+p dxdpxc px =从而可得原方程以p 为参数的参数形式通解：或消p 得通解 2()y pxln xp px c ⎧=+⎨=⎩2y Clnx C =+当时，消去p 得特解 20lnx xp +=21()4y lnx =-3） ()21p p x y ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛=cx dy p 解 利用微分法，得两边积分得xdxp p p -=+++2211()cx P P P=+++2211由此得原方程以P 为参数形式的通解： ，21(p p x y ++=().11222c x p p p =+++或消去P 得通解222)(C C X y =-+1．用参数法求解下列微分方程1）45222=⎪⎭⎫⎝⎛+dx dy y 解 将方程化为令221542=⎪⎭⎫ ⎝⎛+dx dy yy t=dy t dx =由此可推出从而得)dx t===ct x +=25因此方程的通解为，x c =+y t =消去参数t ，得通解)y x C =-对于方程除了上述通解，还有，，显然2±=y 0=dxdy和是方程的两个解。

2=y 2-=y 2）223()1dy x dx-=解：令，u x csc =u dx dy cot 31-=又令 则tan 2ut =tt u x 21sin 12+==活。

常微分方程习题及解答

常微分方程习题及解答

常微分方程习题及解答常微分方程习题及解答常微分方程习题及解答一、问答题：1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。

常微分方程，自变量的个数只有一个。

偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。

常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。

2．举例阐述常数变易法的基本思想。

答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。

例：求()()dy P x y Q x dx=+的通解。

首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dxy c ?=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dxy c x ?=l ，微分之，得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x c x P x dx dx=+l l ，将上述两式代入方程中，得到()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dxdc x c x P x dxc x P x Q x ??+?=+l l l即 ()()()P x dxdc x Q x dx-?=l积分后得到()()()P x dxc x Q x dx c-?=+?%l进而得到方程的通解()()(())P x dxP x dxy Q x dx c -?=+?%l l3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()n n n n n nx a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? 其中12()(),...(),()na t a t a t f t ，是区间a tb ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈，12,,...,nηηη是已知常数。