蔡子星模拟题-第二届物理竞赛贴吧排位赛第1次比赛-试卷

第二届物理竞赛贴吧排位赛第1次比赛时间180分钟 满分160分 收卷截止5月26日中午12:00命题人：蔡子星 审题人：唐鹏考试说明1、比赛旨在提升物理学习兴趣，发现和培养物理青年人才，促进竞赛教学交流。

2、响应国内物理竞赛改革方向，本次比赛选题除大部分保留经典题型外，还增加了部分新题型，期望增加同学们对由科研问题逐步改编出来的问题的适应，增强探求能力。

3、为了贴合国内大部分省市的复赛阅卷实际状况，本卷采分点落在关键结论上，请只提交答题纸，并将答案写在对应方框内，同时可以另附详细过程，当关节结论不正确时，会参考详细过程给出部分过程分。

这也是国际比赛通用的评分办法。

4、考虑参赛同学所在各地实际状况不同，方便吧友们参赛，本次比赛与5月22日下午18:00在贴吧发卷并发送报名邮箱，请自觉闭卷独立完成考试，时间180分钟，允许使用非编程类计算器。

请务必填写好答题纸，并以【邮件主题格式】交卷+省份+高中+手机号（必须与报名手机号一致，请务必遵从此格式，不要漏加号）将答题纸的照片或扫描件发送至XX 。

收卷时间截止5 月26 日中午12:00。

5、本次比赛由学而思培优冠名并提供奖品。

题一为了纪念找死的兔子，我们还是先欣赏一幅Andy Riley 的漫画，漫画中的兔子精通各种物理原理从而成功自杀。

图1a(a) 如图1a 假设拱顶由21N +块相同的重力为G 的等腰梯形砖头搭成。

最顶上一块记为0号转头，它的两面都是光滑的，顺次往左记为第1、2、3…块砖头。

其他的转头之间以及砖头和底座之间均有摩擦。

写出第i 和1i +块砖头之间的支持力i N 和摩擦力i f 。

i N = ，i f = ，用,,i G N 表达。

(b) 接(a)，所有摩擦面摩擦系数均为μ。

对于6N =写出保持平衡需要μ的最小值m μ。

m μ= ，用数值表达，精确到3位有效数字。

(c) 接(a)，但是假设第0块砖头也具有相同的摩擦系数，并假设左右受力对称，则兔子要想破坏平衡，至少需要多大多大的向上推力T ？取6N =，0.65μ=/T G = ，用数值表达，精确到3位有效数字。

题二 洛仑兹共振是指，对于恒星或者大行星周围做圆周运动的小颗粒，如果中心星体自转的周期和小颗粒的环绕周期达到某些有理数比的时候，由于恒星自身磁场的作用，颗粒会持续受到作用从而能量不断增加，继而离开原有的轨道。

最后结果是在这些轨道上，不会稳定存在大量的小颗粒。

下面我们通过一个简单的模型来说明其工作机制。

(a) 设中心星体质量为M ，万有引力常数为G ，中心星体自转角速度为0ω，则同步轨道半径0r 为多少？（偶尔高考一下，有益身心健康）0r = ，用,,o G M ω表达。

(b) 假设一块小物体质量为m ，电量为q ，在星球赤道上方的轨道绕星体做圆周运动。

假设在轨道附近星体产生的磁场垂直于纸面向内恒定为B ，满足o qBmω<<。

则这个物体逆时针旋转的同步轨道半径1r 为多少？10r r r -= ，用,,,o q B m ω表达，精确到一阶小量。

(c) 接(b)，如果在同步轨道附近做微小的径向扰动，体系就会偏离原有的运动。

用极坐标表达位置为(),()t t ρθ。

这时候体系的角动量不守恒，但是运算角动量随时间变化率可以发现，角动量L 加上一部分r L 之后就变成了守恒量。

求r L 。

r L = ，用,,()q B t ρ表达。

(d) 接(c)，如果磁场还随时间，各处均匀的随时间缓慢变化，角动量仍然会增加一项'r L 后是守恒量，求'r L 。

并由此写出θ应当满足方程，由此忽略高阶小量后轨道仍然基本是椭圆。

'r L = ，用,(),()q B t t ρ表达。

θ= ，用,(),(),q B t t m ρ，以及微绕前的01,r ω表达。

(e) 假设小物体就在01,r ω的轨道附近做离心率远小于1的椭圆运动，可以近似表达为10(1cos )r t ραω=+，其中1α<<。

但是如果中心星体的自转角速度变为1ω，磁场会随着星体一起变化。

纸面为赤道面，角速度方向垂直于纸面向外。

假设某时刻不同角度θ处磁感应强度为0cos B B B θ=-∆，其中1BB∆<<。

由于磁场跟星体一起旋转，在原参照系种观察，变化的磁场产生电场。

请在一张图中定性画出在小物体运动轨道附近波动的磁场变化率Bt∆∆和感应出来的电场方向。

图2e在右边的图中定性画出(f) 接上一问，假设在电场在半径为1r 的位置，电场可以近似写为0ˆcos E E nθ=，其中ˆn 随着中心星体以1ω一起转动。

写出在小物体在一个公转周期内的平均功率P 的积分表达式（不需要计算，可以使用你认为需要物理量），并指出在1ω和0ω满足什么条件的时候，小物体会因为吸收能量而离开原来轨道，并附简要理由（给出一个解就行）P = ，1ωω= ，理由 。

题三如图3a 一个密封的绝热气缸，底面积为0S ，用一个绝热活塞密封住一些理想气体，气体初态压强为0P ，气柱长度为0x ，外部大气压强恒定为0/2P 。

初态气体温度为0T 。

气体定体摩尔热容量为32V R C =。

绝热方程为pV γ=常数，其中V V C R C γ+=。

从静止开始释放活塞。

在所有问题中，活塞运动的速度都远远小于分子热运动速度。

图3ax 1x 0P 0S 02P?Bt∆=∆xy ?E =B∆xyθ1ω(a) 假设活塞和气壁之间有轻微的摩擦，发热都被密封的气体吸收，求末态活塞平衡的位置1x 和0x 的比值。

1x x = ，用数值表达，精确到三位有效数字。

(b) 假设活塞和气壁之间没有摩擦，求活塞释放后第一次速度为0时的位置2x2x x = ，用数值表达，精确到三位有效数字。

(c) 假设活塞和气壁之间有恒定的阻力04P Sf =，求活塞释放后第一次速度为0时的位置3x ，和(a)一样，发热都被密封的气体吸收。

3x x = ，用数值表达，精确到三位有效数字。

题四表面张力是指，在液体表面，不同部分之间会有相互吸引力，相互作用力在液面平面内，垂直于分界线，单位长度的作用力记为表面张力系数Flσ∆=∆。

σ受很多因素的影响，例如溶液中溶质的浓度。

某天黄俏老师在湖边发呆，把手里的鲜橙多慢慢倒入水中，水中的叶子就因为表面张力动起来了(a) 如图4a 考虑一个边长为l 的正方形叶子，停在液面上，假设表面张力系数随着不同位置的变化关系为012(,)x y k x k y σσ=++。

写出这个叶子受到的合力FF = ，用12,,k k l 以及单位向量ˆˆ,xy 表达图4a 图4b(b) 如图4b ，假设表面张力系数随到达原点距离r 的关系为20()r br σσ=+，求距离原点距离为r 处的一个面积为S 圆形叶子的受力大小F 。

其中2S r <<F = ，用,,b r S 表达xyOrxyO(c) 在水中加入糖后，表面张力系数会增加，表面张力系数σ和糖的摩尔浓度n 的关系近似为0()n an σσ=+，这样在原点滴入一滴糖水后，上一问的叶子会被吸引还是排斥？ 填入吸引还是排斥(d) 糖在水中的扩散系数为D ，即在沿着浓度降低方向排布的两个相邻面上，浓度之差为n ∆，厚度为h ∆，面积为S ∆，则在时间t ∆内通过这个面的糖的摩尔数为nN D S t h∆∆=⋅⋅∆⋅∆∆。

在原点处持续滴入糖水，单位时间内滴入糖的摩尔量为J ，假设糖向各个方向均匀扩散，直到各处的浓度达到稳定。

计算在表面距离原点x 处的浓度()n x 。

()n x = ，用,,J D x 表达(e) 综合以上(c)和（d ），再假设叶子质量非常小，且受到正比速度的阻力f kv =-。

计算叶子从距离原点1r 到距离原点2r 的位置需要的时间t 为多少t = ，用12,,,,,,J D r r k a S 表达题五 理想的凸透镜成像能满足这样的性质：过光心的光线保持不变，过焦点的光变成平行光，点光源成像为点光源或者变成平行光。

下面我们来考虑理想透镜在成像中的一些有趣行为。

(a) 如图5a ，左焦点1F 发出的光线能变成平行光，平行光会聚在右焦点2F 。

左右焦点到光心的距离为12f f f ==，分别以左右焦点为原点，分别对于物和像建立平面直角坐标架，利用理想透镜性质推导物点11(,)x y 和像点22(,)x y 之间的坐标关系。

2x = ，2y = ，用11,,x y f 表达图5a 图5b(b) 如图5b 一个圆心坐标1x h =，半径为r 的圆成像之后居然得到了一个等大的圆。

求圆半径、位置、以及焦距应当满足的关系。

，用,,h r f 表示(c) 一个质点沿着(b)中以恒定角速度ω旋转，当旋转角度为θ时（以1x 轴方向为初始方向，1F 2F 1y 1x 2y 2xh r f 'h f 'rθ11n =21n =1F 2F S 1y 1x 2y 2x 'S顺时针旋转），求像点的运动速度（以2x ，2y 为正方向）x v = ，y v = ，用,,,f h θω表达(d) 假设(b)中的圆是透明的均匀发光的圆环，则在成像的圆上最亮的点的坐标是多少，并简述理由2x = ，2y = ，用,f h 表达理由 （不要长篇大论…写几个字说清楚就行了…为国家节约一点墨水…为世界减少一点熵增）(e) 若凸透镜左方和右方折射率不一样，导致左右焦距分别为12,f f ，要求(b)中的圆成像之后还是圆，则成像的圆的圆心在22,x y 坐标系中的坐标(',0)h 和半径'r 应当为多少?'h = ，'r = ，用12,,f f h 表达题六光在静止的介质中速度为cv n=，其中n 为介质的折射率。

如果介质在运动，则需要使用相对论变换公式。

这样在运动的介质中折射定律就会发生变化，虽然可以使用波矢四维矢量秒解这个问题，但是为了熟悉狭义相对论基本概念，我们还是从头推导。

(a) 根据洛仑兹变换，在S 系中一个事件A 在时间为t ，位置为(,,)x y z 的地点发生，记为(,,,)A ct x y z ，另一个参照系'S 中同一个事件发生的时间地点为(',',',')A ct x y z 。

参照系'S 相对于原参照系以速度u 沿着x 方向匀速运动，其中满足'()'()''ct ct x x x ct y y z z γβγβ=-⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩其中21,1u c γββ==-。

一个参照系S 中，一个质点的速度为(,,)x y z v v v ，则这个质点经过事件(0,0,0,0)A 和(,,,)x y z B c v v v ττττ，利用上面的洛仑兹变换可以写出对应事件在以速度u 沿着x 方向匀速运动的'S 系中出现的时间和位置，从而推导出在'S 系中的速度。