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全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第一套说明：考试时间3个小时，允许使用非编程计算器一、 空间中存在着磁场，满足条件;0;;x y z B x B B z αβ===则,αβ之间应当满足的规律为 ，理由是二、 如图所示，在墙角中放着一个足够长的轻杆，铰接在墙根处。
两个质量为m 的小球如图放置。
上方的小球是光滑的，下方的小球与轻杆和地面之间的摩擦系数均为μ。
求体系保持平衡时，轻杆与地面之前的角度θ应当满足的条件。
三、 “愤怒的小鸟”：一只质量为3m 的小鸟从地面以45度角，速率v 发射，在最高点发生爆炸，变为三只质量为m 的小鸟，爆炸之后瞬间三只小鸟速度均沿水平方向，且中间的一只小鸟速度和爆炸前没有区别。
已知落地的时候，最近和最远的小鸟相距为d 。
（1）求爆炸至少使得小鸟们动能增加了多少？（2）把“爆炸之后瞬间三只小鸟速度均沿水平方向”的条件改为，爆炸之后空中三只小鸟水平方向速度相等，那么当中点的小鸟落地的时候，还在空中的小鸟距离地面有多高？（3）保持爆炸增加的能量不变，中间的小鸟的速度与爆炸前相同，问空间中有可能可以被小鸟经过的范围。
d四、 一颗小行星沿着直线向地球飞来。
某天发现小行星距离地球l ，速度为0v 。
为了避免灾难，人们决定在小行星内部引爆一颗氢弹，将其炸为等质量的两块，设爆炸能量能够全部转为动能。
地球半径为R ，为了保证不小行星碎片不撞击地球，问核燃料质量至少为多少（设反应中有4%的质量专为能量）？如果炸成的两块质量之比可能出现误差，最大偏差为1.1:0.9，在这种情况下核燃料的质量应当至少增加多少？五、 如图，有一个足够长的导体滑轨，电阻为0，光滑。
左半段宽度为2l ，右半段宽度为l 。
上方放着两根相同的金属棒，质量为m ，单位长度上电阻为r 。
整个空间存在垂直于纸面向里的强度为B 的磁场。
初始时刻右方棒子以速度v 向右运动，左边棒子静止。
足够长时间（左边棒子没有进入右方导轨），两棒速度都不随之间发生变化。
考试时间：180分钟 满分：320分，每题40分1. 在斜角为φ的固定斜面上有一与斜面垂直的固定光滑细棍，一条长为L 、质量线密度为λ的匀质细绳平直地放在斜面上，细绳的长度方向与斜面底边垂直，下端尚未接触斜面底边。
细绳的上端绕过细棍连接一个质量为m 的小球，小球几乎贴近细棍，如图所示。
设绳、小球与斜面间的摩擦系数相同，其数值等于12tan φ中，系统开始时处于静止状态。
（1）如果而后小球能沿斜面下滑，试求小球质量m 的可取值，并给出其下限值m o 。
（2）若小球质量为（1）问中的m o ，小球因受扰动而下滑，不考虑绳是否会甩离细棍，试求小球下滑l <L 距离时的下滑速度v 和下滑加速度a 。
（3）接（2）问，再求小球从下滑距离达L 2处到下滑距离达L 处所经历的时间T 。
2. 如图所示，航天飞机P 沿A ≠B 的椭圆轨道绕地球航行。
己知P 在图中D 处（远地点）速度v D =A−C B √GM S A ，其中M S 为地球质量。
（1）试求P 在图中E 处和F 处的速度v E 和v F 。
（2）将P 的质量记为M ，试求P 的轨道能量E （定义为动能和引力势能之和）。
（3）设题图中的椭圆轨道偏心率e =C A =√32，再设P 的主体携带着一个太空探测器。
当P 航行到图中D 处时，P 的主体朝后发射探测器，结果使P 的主体进入圆轨道航行，而探测器相对地球恰好沿抛物线轨道远去。
己知抛物线轨道能量为零，试求P 的主体质量m 1与探测器质量m 2的比。
全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第十套3. 图中所示倾角为θ的斜面，相切地接上一段半径为R 的圆弧曲面，后者又与水平地面相切。
半径r <R 的匀质小球，开始时静止在斜面上，两者接触点距斜面底端的高度为ℎ。
小球自由释放后，可以沿斜面、圆弧面和水平地面作纯滚动。
设小球与斜面间的摩擦因数处处同为常数μ1；小球与圆弧面间的摩擦因数处处同为常数μ2；小球与水平地面间的摩擦因数处处同为常数μ3。
全国第37届中学生物理竞赛预赛试题及答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 物体做直线运动，当速度与加速度的方向相同时，物体的速度（）。
A. 增大B. 减小C. 保持不变D. 无法确定答案：A2. 下列哪种情况下，物体处于平衡状态（）。
A. 加速度不为零B. 受到非平衡力作用C. 速度不变D. 受到平衡力作用答案：D3. 一个物体做匀速圆周运动，下列哪个物理量是不变的（）。
A. 速度大小B. 速度方向C. 加速度大小D. 加速度方向答案：A4. 下列哪种现象是由于光的折射引起的（）。
A. 彩虹B. 平面镜成像C. 太阳光直射D. 水中的鱼看起来更浅答案：A5. 一个物体做自由落体运动，下列哪个物理量与时间成正比（）。
A. 速度B. 加速度C. 位移D. 动能答案：A6. 下列哪种设备是利用电磁感应原理工作的（）。
A. 电吹风B. 电动机C. 发电机D. 电磁铁答案：C7. 在真空中，光速是（）。
A. 299,792,458 m/sB. 149,000,000 m/sC. 98,000,000 m/sD. 300,000,000 m/s答案：A8. 下列哪种现象是由于光的反射引起的（）。
A. 彩虹B. 平面镜成像C. 太阳光直射D. 水中的鱼看起来更浅答案：B9. 下列哪个物理量是标量（）。
A. 速度B. 加速度C. 位移D. 力答案：D10. 一个物体做简谐振动，下列哪个物理量与时间成正比（）。
A. 速度B. 加速度C. 位移D. 动能答案：C二、填空题（每题5分，共25分）1. 一个物体做直线运动，当速度与加速度的方向相同时，物体的速度______（填“增大”、“减小”、“保持不变”或“无法确定”）。
答案：增大2. 下列哪种情况下，物体处于平衡状态______（填“加速度不为零”、“受到非平衡力作用”、“速度不变”或“受到平衡力作用”）。
答案：受到平衡力作用3. 一个物体做匀速圆周运动，下列哪个物理量是不变的______（填“速度大小”、“速度方向”、“加速度大小”或“加速度方向”）。
A．拉力F的大小为120NA．平均速度之比为3︰5①圆柱体的密度小于液体的密度A．细绳的长度为8cm B．物体B的密度为3g/cm3A．到达A点时，小球的动能最大A．0~1s内，地面对物体的支持力为10NA．0~ t，小王的动能不断增大B．0~ t，小王的重力势能不断减少A．>∆∆，F F＜p p∆∆F Fp p∆∆，>∆∆B．>【答案】 1.21:133343A 1000cm 800cm 200cm 210m V V V -''=-=-==⨯排甲排乙此时物体A 因浸入甲液体而受到的浮力为33430.810kg/m 10N/kg 210m 1.6N F gV ρ-'⨯⨯⨯⨯'===甲浮甲液排甲物体A 因浸入乙液体而受到的浮力为33431.810kg/m 10N/kg 810m 14.4N F gV ρ-'⨯⨯⨯⨯='==乙浮乙液排乙故物体A 下降到最低点时，受到的浮力为1.6N 14.4N 16N F F F '''=+=+=浮甲浮乙浮此时物体A 与容器底部接触但不挤压时，受到的浮力最大，此时杆的作用力为向下的压力，则物体A 下降到最低点时，杆对物体A 的压力为A 16N 12N 4N F F G '=-=-=最低浮所以，物体A 处在最高点和最低点时杆的作用力之比为:4N :4N 1:1F F ==最低最高10．如图 所示，边长均为 20cm 的正方体 A 、B 用轻质弹簧相连，弹簧的体积和质量忽略不计，柱形容器底面积为 800cm²。
如图甲所示 ，物块 A 的上表面与水面相平，弹簧处于原长； 现用力将物块 A 从水中缓慢提起，当物块 A 刚好完全被拉出水面时，物块 B 对容器底的压力恰好为 0，弹簧弹力大小和其形变量的关系如图乙所示。
整个过程忽略水的阻力，则物块 A 重___________N ，物块 B 重___________N 。
全国初中物理竞赛模拟卷（一）考试时间：90分钟；满分：100分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．往一个烧杯中装满水后总质量为2.55kg ，把正方体甲浸没在烧杯中，并把溢出的水擦干后，测得正方体甲、剩余水和烧杯的总质量为7.85kg 。
把甲取出后，烧杯和剩余水的质量为1.55kg （不考虑取出甲后，甲沾水的情况），另有一个实心正方体乙，其边长为0.2m ，质量为6kg （ρ水＝1×103kg/m 3），则下面说法正确的是（）A ．正方体乙的密度ρ乙=0.8×103kg/m 3B ．正方体甲的密度ρ甲=5.3×103kg/m 3C ．若沿实心正方体乙的上表面向内部挖去一个底面积为0.01m 2，高为h =0.12m 的长方如图所示，并在挖去部分中倒满水，则乙变化后的总质量与甲的质量之比为1∶2D ．正方体甲的体积为1×10﹣3m 3【答案】D【详解】A ．正方体乙的体积：V 乙=L 乙3=(0.2m)3=8×10﹣3m3正方体乙的密度33360.7510/m 0.08mm kg kg V ρ==⨯＝故A 错误；BD ．正方体甲的质量m 甲=m 总﹣m 剩=7.85kg ﹣1.55kg=6.3kg放入正方体甲后烧杯中溢出水的质量m 溢水=m 总水﹣m 剩=2.55kg ﹣1.55kg=1kg 因物体浸没时排开水（溢出水）的体积和自身的体积相等，所以，正方体甲的体积为33310.001m 1.010/m m kg V V kg ρ-====⨯水甲水水则正方体甲的密度3336.3 6.310/m 0.001mm kg kg V ρ===⨯甲甲甲故B 错误，D 正确；C ．挖去后乙的质量为m1=m 乙﹣m 挖=6kg ﹣ρ乙Sh挖去部分中倒满水后的总质量为m2=6kg ﹣ρ乙Sh+ρ水Sh当m2=m 甲时6kg ﹣ρ乙Sh+ρ水Sh=6kg ﹣(ρ乙﹣ρ水)Sh=m 甲即6kg ﹣(0.75×103kg/m3﹣1.0×103kg/m3)×0.01m2×h=6.3kg ，解得h=0.12m<0.2m所以，可能使乙变化后的总质量与甲的质量相等，即乙变化后的总质量与甲的质量之比为1∶1，故C 错误。
初中物理竞赛模拟试题
1. 选择题
1. 电磁波想要有效地透射金属板时，应使用的电磁波是：
A. 可见光
B. 微波
C. X射线
D. 红外线
2. 一个物体在空气中的质量是10kg，在水中浸没时的浮力是多少？
A. 100N
B. 500N
C. 1000N
D. 1500N
3. 当一个物体做匀速圆周运动时，速度和加速度的方向关系是：
A. 垂直
B. 平行
C. 同向
D. 相反
4. 把一个计量瓶中的100ml水倒入一个密封的容器内，然后用封闭的活塞压缩容器，此时瓶内的水表现的物态是？
A. 液态
B. 固态
C. 气态
D. 等离子态
5. 一个物体从10m的高度自由落下，落地时的速度是多少？
A. 10m/s
B. 20m/s
C. 30m/s
D. 40m/s
2. 填空题
6. 根据牛顿第一定律，物体在不受作用力时将保持________状态。
7. 艾滋斯塔尔效应是________和________交付的结果。
8. 机械能守恒定律包括了物体________和________的总和。
3. 简答题
9. 解释为什么在真空中无法传播声音。
10. 说明质量和重力之间的区别及联系。
11. 如果一个物体在匀速直线运动中弯道，半径变小，速度会发生何种变化？
以上是初中物理竞赛模拟试题，请同学们认真作答，并在规定时间内完成。
祝各位考试顺利！。
2023全国中学生物理竞赛模拟题第一部分：选择题1. 下列哪项不是粒子物理学的基本粒子？A. 电子B. 质子C. 中子D. 中微子2. 以下哪个物理量是标量？A. 力B. 加速度C. 位移D. 动量3. 一辆汽车以匀速行驶，做一个完整的圆周运动时，以下哪项描述是正确的？A. 汽车的速度保持不变B. 汽车的加速度为0C. 汽车的动能始终不变D. 汽车的力沿着圆周方向4. 将一块铁加热至一定温度时，以下哪项现象是正确的？A. 铁的体积减小B. 铁的电阻变大C. 铁的导热性减弱D. 铁的磁性增强5. 一辆小汽车以5 m/s的速度匀速行驶10s后，突然踩下刹车，停下来需要的时间是多少？A. 1 sB. 2 sC. 3 sD. 5 s第二部分：计算题1. 一位学生正在玩一台弹球机，弹球从离地面2m的高度自由落下，每次弹起的高度是下落高度的70%，求弹球在第5次落地时的总共运动路程。
2. 一辆小汽车以30 m/s的速度通过一个长度为100 m的隧道，汽车长度为4 m，求汽车通过隧道的时间。
3. 一颗质量为0.1 kg的子弹以400 m/s的速度击中静止的木块，子弹穿透木块并以100 m/s的速度射出，求木块的质量。
4. 若一根铜棒的长度为1 m，温度升高1℃时，长度增加0.0015 m，求铜的线性膨胀系数。
5. 一束光通过一块玻璃偏振片，透过光强为100 W/m²，光的偏振方向与偏振片的方向垂直，偏振片的透过率为60%，求通过偏振片后光的强度。
第三部分：简答题1. 简述牛顿第三定律的内容。
2. 什么是平抛运动？简述平抛运动的特点。
3. 简述功率的定义及其单位。
4. 如何判断两个平面镜组成的光路系统是否产生虚像？5. 解释什么是光的全反射，并给出一个实际应用的例子。
第四部分：证明题证明公式：F = m * a假设物体质量为 m，加速度为 a，则根据牛顿第二定律，物体所受的力等于质量与加速度的乘积，即 F = m * a。
【题号】1 【解析】(1)如图，刚刚释放时，整根链子贴着球面以相同速率下滑。
考虑整根链子滑动一段微小位移l ∆时的速度v ∆，此速度对应的动能应由链子下滑过程中的部分重力势能转化而来。
计算重力势能变化时，可等效地认为链子顶端长为l ∆的一小段直接转移到了末端。
记链子线密度为λ，则该段的质量为l λ∆，重力势能变化为1lg (1cos60)2P E R gR l λλ∆=-∆-=-∆， 则由机械能守恒()0K P E E ∆+=, 以及动能22126K E L v R v πλλ=∆=∆， 得到23gv l π∆=∆，另一方面，链子上每一点均做圆周运动，由于刚刚释放时速度为零，向心加速度均为零，只有大小处处相等的切向加速度T a 。
而在讨论一段微小过程中的速度变化时，总可视为匀加速直线运动，满足：全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第九套（解析与评分标准）满分32022T v a l ∆=∆， 比较上两式，即可得到32T g a π=.(2)设刚刚释放时，相对顶端转过θ角处的链条张力为()F θ，其下方的链条质量为 ()()3m R πθλθ=-，假设链条整体向下有一微小位移l ∆，根据第一小问已知，链条获得的下滑速度v ∆满足 23gv l π∆=∆.而具体对该段链条而言，受到重力、球面支持力与()F θ三个力，其中支持力处处垂直于位移方向，不做功，因此其动能增量来源于重力势能减小与力()F θ所做的功，即21()()2P m v F l E θθ∆=-∆-∆, 计算重力势能变化量时，与第一小问一样，视为顶端l ∆的部分直接移到底端，则 1lg (cos cos60)lg (cos )2P E R R λθλθ∆=-∆-=-∆-， 代入前式，并将2v ∆表达式代入，整理得3()(cos +1)2F gR θλθθπ=-， 其极值点通过0dFd θ=确定，此时 3(sin )02m gR λθπ-+=， 解得3arcsin28.522m θπ=≈， 此时()0.1163m F gR θλ≈,链条顶端，底端显然张力均为零，否则顶端、底端极小范围内的链条将有无穷大的加速度。
第37届全国中学生物理竞赛预赛试题以及答案参考一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列哪个物理量是标量？A. 速度B. 加速度C. 力D. 位移答案：（请在此处填写答案）2. 在自由落体运动中，物体的速度与时间之间的关系是怎样的？A. 成正比B. 成平方关系C. 成反比D. 无关答案：（请在此处填写答案）3. 一个物体在平直轨道上做匀速直线运动，以下哪个物理量是不变的？A. 速度B. 加速度C. 动量D. 动能答案：（请在此处填写答案）4. 下列哪种现象可以用光的折射来解释？A. 彩虹B. 镜子中的反射C. 太阳光的直射D. 光的干涉答案：（请在此处填写答案）5. 一个物体做简谐振动，其位移与时间的关系是怎样的？A. 正弦关系B. 余弦关系C. 直线关系D. 指数关系答案：（请在此处填写答案）二、填空题（每题5分，共25分）1. 在真空中，光速的大小为______。
答案：（请在此处填写答案）2. 物体做匀加速直线运动时，其速度与时间的关系为______。
答案：（请在此处填写答案）3. 一个物体做简谐振动，其加速度与位移的关系为______。
答案：（请在此处填写答案）4. 电容器充电后，两板间的电势差为______。
答案：（请在此处填写答案）5. 一个电阻值为R的电阻丝，其长度为L，横截面积为S，其电阻率称为______。
答案：（请在此处填写答案）三、计算题（每题10分，共30分）1. 一个物体从静止开始沿斜面向下滑动，已知斜面倾角为30°，摩擦系数为0.2，求物体滑下斜面5m时的速度。
答案：（请在此处填写答案）2. 一个频率为f的单色光波，在真空中传播速度为c，介质折射率为n，求该光波在介质中的波长。
答案：（请在此处填写答案）3. 一个电阻值为R的电路中，串联一个电容器，电容值为C，求该电路的固有频率。
答案：（请在此处填写答案）四、实验题（每题10分，共20分）1. 设计一个实验，验证光的折射定律。
考试时间：180分钟满分：320分，每题40分1. 如图所示，将长度为L的均匀链子的顶端固定在半径为R的光滑球面上，其中L=πR3。
现在，释放链子的顶端。
（1）在刚刚释放的时候，链子上的每一点的加速度的数值等于多少？（2）在刚刚释放的时候，链子上的什么位置的张力最大？2. 如图所示，按阿基米德螺线方程r=r0θ/π设置的水平固定细长管道，内壁光滑。
质量为m的小球在管道内以v0速度，从r=0、θ=0位置开始运动，直到θ=2kπ(k=1,2,3,…)为止。
（1）求全过程所经时间T k。
（2）将小球在运动过程中受管壁弹力的大小记为N，试求全过程时间段内N的平均值N̅，再给出k很大时N的近似表达式。
提示：平面极坐标系中无限小曲线段长度dl=√(dr)2+(rdθ)2。
积分参考公式∫√a2+x2dx=x2√a2+x2+a22ln(x+√a2+x2)+C全国中学生物理竞赛复赛模拟试题第九套3. 如图所示，半径为R的长直圆柱形几何空间区域内，有轴向的匀强磁场，磁感应强度⃗ 的方向垂直于纸面向里，其大小随变化，且变化率始终为k，k0。
圆柱形空间区域外没有磁场。
在圆柱形空间区域内的一个正截面内，有一个用金属丝连接而成的圆内接正三角形 C ，其中段、 C段和C 段的电阻分别记为r、r2和r3。
（1）试求段从到方向的电动势；（2）设r=r2=r3，试求段从到的电压U；（3）改设r=r0、r=2r0、r=3r0，再求段从到的电压U。
4. 如图所示，在x 平面上有场强为⃗平行于x轴方向的匀强电场，还有垂直于x 平面朝里的磁场，磁感应强度的值仅随x变化。
在x=a、=a处，质量为m、电量q0的质点具有初速度v0，使得之后的运动轨道恰好是在x 平面上以为圆心的圆周。
已知在运动过程中速度达最小值（不为零）时，所受磁场力为零。
（过程中不考虑重力的影响。
）（1）试求速度v0的方向和大小；（2）将圆半径记为R，试在 R x R范围内确定随x变化的函数。
2014年高中物理竞赛复赛模拟训练卷一．（20分）在用质子)(11P轰击固定锂)(73Li靶的核反应中，（1）计算放出α粒子的反应能。
（2）如果质子能量为1兆电子伏特，问在垂直质子束的方向观测到α粒子的能量大约有多大？有关原子核的质量如下：H11，1.007825；He42，4.002603；Li73，7.015999。
二．（20分）2mol初始温度为270C，初始体积为20L的氦气，先等压膨胀到体积加倍，然后是绝热膨胀回到初始温度。
（1）在P—V图上画出过程方程；（2）在这一过程中系统总吸收热量等于多少？（3）氦气对外界做的总功等于多少？其中绝热膨胀过程对外界做功是多少？三．（15分）观测者S测得两个事件的空间和时间间隔分别为600m和8×10-7s，而观测者S1测得这两个事件同时发生。
试求S1相对S的速度，以及S1测得这两个事件的空间距离。
四．（20分）神奇的自聚焦透镜：自聚焦透镜依靠折射率的恰当变化对近轴光线成像。
该透镜呈圆柱状，截面半径为R，长为l。
其折射率在截面内延半径方向呈抛物线状连续变小，可表示为)211(22202r a n n r -=式中n 0为中心的折射率，a 为比1小得多的正数。
(1) 求从圆心入射与圆柱平面夹角为0θ的光线在自聚焦透镜内传播的轨迹方程。
(2) 平行于z 轴的平行入射光经过自聚焦透镜后交汇于一点，求自聚焦透镜的焦距。
五．（20分）如图所示，有二平行金属导轨，相距l ，位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感应强度为B 的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）．质量均为m 的两金属杆ab 和cd 放在导轨上，与导轨垂直．初始时刻， 金属杆ab 和cd 分别位于x = x 0和x = 0处。
假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为L 。
今对金属杆cd 施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速v 0．设导轨足够长，x 0也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距x 0，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数L 是恒定不变的。
杆与导轨之间摩擦可不计。
求两杆之间的距离第一次达到最大值时导轨构成的回路中的电流i 。
（由第21届复赛试题改编）六．（20分）两个相同质量为M ，半径为a的粗糙的均质圆柱体置于粗糙的水平面上，两轴线相距，第三个半径为a 、质量为2M 的粗糙均质圆柱体对称地置于上述两个圆柱体上面。
要使三圆柱体保持平衡状态，圆柱体之间的摩擦因数1μ和圆柱体与水平面之间的摩擦因数2μ应满足什么条件？大题典力学上 P425七．（20分）如图所示，两平行的电极板之间形成一均匀的电场E ϖ，在此电场上另加有一均匀的磁场B ϖ，其方向为向内垂直于纸面，两者构成一均匀的正交电磁场。
现有一质量为m ，带有正电量q的粒子，从左方沿着平行于两极板之间的中央平分线（即向着+x 方向），且垂直于磁场的方向，以速度v 射入此正交电磁场内。
回答下列问题：1．若入射粒子的速度值恰好等于某一特定值0v ，则此粒子将沿同一直线作等速度运动，试求此0v 值。
2．若粒子的入射速度v ，不等于0v ，则该粒子的运动轨迹将不会是一条直线，那么粒子的入射速度v 为何值时，有可能使该粒子在整个运动过程中，会出现逆转向左方运动的情形（即向着-x 方向运动）？3．承2小题，分成下列两种情况，分别导出带电粒子的运动轨迹方程式，并画出其图形：(i) 若0v v >； (ii) 若00v v <<。
八．（25分）一宇宙飞船围绕质量为M 的恒星作半径为r 0的圆周运动，宇宙飞船的发动机可以迅速点燃起动，使速度瞬间改变v ∆，点燃的方位用飞船速度v 和v ∆之间的夹角θ来说明（如图所示）。
为了节省燃料，在连续N 次点燃中，希望v ∆=1||Nii v =∆∑减至最小，称v ∆叫做比冲量。
（1）假设我们要利用飞船的发动机逃离这个恒星，且发动机只点燃一次，需要的最少的比冲量有多大？在什么方位点燃？（2）假设我们希望在半径r 1（r 1>r 0）圆轨道上视察一颗行星，让发动机再次点燃，达到该行星轨道所需要的最小比冲量多大？（3）假如我们要使飞船撞上恒星（假定恒星的半径可忽略），对下列两种点火策略计算最小比冲量：A 、在θ=1800一次迅速点燃；B 、在θ=00第一次迅速点燃，然后在晚些时候在θ=1800第二次点燃，为使总的比冲量最小，如何选择第二次点燃的时间和每次点燃的强度（即速度的改变量）。
2011年高中物理竞赛复赛模拟训练卷参考答案一．解：（1）核反应方程如下：He He P Li 42421173+→+静质量 0M 1M 3M 2M动 能0E 1E 3E 2E由总质量和总能量守恒：233222211200c E M c E M c E M c E M +++=+++由反应能Q 的定义得：)()(1032E E E E Q +-+=23210)]()[(c M M M M +-+=5.931]002603.42)007825.1015999.7[(⨯⨯--=35.17=MeV[其中：28272)/10997925.2()1066.1(1秒米千克⨯⨯⨯=⋅-c u6105.931⨯=MeV=931.5MeV（2）设锂靶是静止的，根据动量守恒，可知，反应所产生的两个相同的α粒子（He 42核），应沿入射质子的方向对称分开，如图51-21所示。
由动量守恒定律有321p p p +=矢量321,,p p p 合成的三角形，两底角皆为θ，又因32M M =，因而有32E E =已知反应能Q=17.35 MeV ，且132E E E Q -+=其中11=E MeV ，可得1p)(21132E Q E E +==)135.17(21+⨯==9.175 MeV即反应所生成的α粒子其能量为9.175 MeV 。
α粒子飞出方向与入射质子的方向之间的夹角为θ，因此θcos 221222123p p P P P -+=由于ME P22=，得：θcos 22121221133E E M M E M E M E M -+=代入反应能Q 的定义式：132E E E Q -+=θcos 21132121131232M E E M M E M M E M M -⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=将上式中质量数改为质量比得θcos 21132121131232A E E A A E A A E A A Q -⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=其中11=A ，432==A A ，代入上式：θcos 4322112E E E E Q --=所以 2112432cos E E E Q E --=θ0825.0175.9114335.17175.92=⨯⨯--⨯=所以 6185'=οθ由此可知，在垂直于质子束的方向上观察到He42的能量近似就是9.175 MeV。
五解：设在任意时刻t ，ab 杆和cd 杆的速度分别为v 1和v 2（相对地面参考系S ），当v 1、v 2为正时，表示速度沿x 轴正方向；若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向，则因两杆作切割磁力线的运动而产生的感应电动势()21v v -=Bl E(1)当回路中的电流i 随时间的变化率为t i ∆∆时，回路中的自感电动势ti LL ∆∆-=E (2)根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有0=+L E E(3)金属杆在导轨上运动过程中，两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零，系统的质心作匀速直线运动．设系统质心的速度为V C ，有 C mV m 20=v(4)得2v =C V (5)V C 方向与v 0相同，沿x 轴的正方向．现取一新的参考系S '，它与质心固连在一起，并把质心作为坐标原点O '，取坐标轴x O ''与x 轴平行．设相对S '系，金属杆ab 的速度为u ，cd 杆的速度为u '，则有 u V C +=1v (6)u V C '+=2v(7)因相对S '系，两杆的总动量为零，即有 0='+u m mu (8)由(1)、(2)、(3)、(5)、(6) 、(7) 、(8)各式，得ti LBlu ∆∆=2 (9) 在S '系中，在t 时刻，金属杆ab 坐标为x '，在t ＋∆t 时刻，它的坐标为x x '∆+'，则由速度的定义tx u ∆'∆=(10) 代入 (9) 式得 i L x Bl ∆='∆2(11) 若将x '视为i 的函数，由（11）式知i x ∆'∆为常数，所以x '与i 的关系可用一直线方程表示b i BlLx +='2 (12)式中b 为常数，其值待定．现已知在t ＝0时刻，金属杆ab 在S '系中的坐标x '＝021x ，这时i = 0，故得0212x i Bl L x +=' (13)或⎪⎭⎫ ⎝⎛-'=0212x x L Bl i (14)021x 表示t ＝0时刻金属杆ab 的位置．x '表示在任意时刻t ，杆ab 的位置，故⎪⎭⎫ ⎝⎛-'021x x 就是杆ab 在t 时刻相对初始位置的位移，用X 表示，021x x X -'=(15) 当X >0时，ab 杆位于其初始位置的右侧；当X <0时，ab 杆位于其初始位置的左侧．代入(14)式，得X LBli 2=(16) 这时作用于ab 杆的安培力X Ll B iBl F 222-=-=(17) ab 杆在初始位置右侧时，安培力的方向指向左侧；ab 杆在初始位置左侧时，安培力的方向指向右侧，可知该安培力具有弹性力的性质．金属杆ab 的运动是简谐振动，振动的周期()Ll B mT 222π2=(18)在任意时刻t ， ab 杆离开其初始位置的位移⎪⎭⎫⎝⎛+=ϕt T A X π2cos (19) A 为简谐振动的振幅，ϕ 为初相位，都是待定的常量．通过参考圆可求得ab 杆的振动速度⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ϕt T T A u π2sin π2 (20)(19)、(20)式分别表示任意时刻ab 杆离开初始位置的位移和运动速度．现已知在t ＝0时刻，ab 杆位于初始位置，即X = 0 速度00002121v v v v =-=-=C V u 故有ϕcos 0A =ϕsin π220⎪⎭⎫⎝⎛-=T A v 解这两式，并注意到(18)式得2π3=ϕ(21)22400mLBlT A vv ==π (22)由此得ab 杆的位移t TmL Bl t TmL BlX π2sin 222π3π2cos 2200v v =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=（23）由参考圆可以知道，经过t=3T/4时间，两杆距离第一次达到最大值。
