高考抢分36计 第4计 搞定y=asin(wx+e)模型

第28计 三角开门 八面玲珑●计名释义三角函数是沟通平面几何，立体几何、解析几何、向量和函数的重要工具.它具有以下特点：1.公式多，变换多，技巧多；2.思想方法集中，特别是函数方程思想、数形结合思想和特殊一般思想；3.应用广泛，学科内自身应用和跨学科的综合应用.●典例示范【例1】 设a ,b ∈R ，a 2+2b 2=6，则a+b 的最小值是 （ ） A.-22 B.535-C.-3D.27- 【解答】 a 2+2b 2=63262b a +⇒=1. 设⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 3cos 6y x (θ∈［0，2π］)，则 a+b =6cos θ+3sin θ=3cos(θ-φ)，其中cos φ=36，sin φ=33，∴a+b ≥-3，选 C .【点评】 本例实施代数与解析几何、三角函数之间的转换，利用三角函数的有界性破题.【例2】 已知正数x,y 满足3x 2+2y 2=6x ，则x 2+y 2的最大值是 . 【思考】 对于本题，以下解法并不鲜见； 由条件y 2=3x -23x 2. ∴x 2+y 2=x 2+212332-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x 2+3x =21-(x -3)2+29.∴当且仅当x =3时，（x 2+y 2）max =29. 你能发现这种解法有什么毛病吗？ 先检验一下，如x =3,会有什么情况发生，将x =3代入已知条件，得： 3³9+2y 2=18. ∴2y 2=-9.显然，我们得到了一个错误的等式，毛病在哪里呢？是没有分析条件所暗示的变量x,y 的范围，正确的解法是:∵y 2=3x -23x 2≥0，∴x 2-2x ≤0. 得x ∈［0,2］，而x 2+y 2=21-(x -3)2+29. 令z =21-(x-3)2+29，则当x ≤3时，z 为增函数，已求x ∈［0,2］，故当x =2时，z max =21(2-3)2+29= 4，即(x 2+y 2)max = 4.【评注】 本题若用三角代换，可以避开陷阱，达到八面玲珑.由条件得：(x -1)2+32y 2=1. 设⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθ•y •x sin 23cos 1， 则 x 2+y 2=(1+cos θ)2+23sin 2θ=21-cos 2θ+2cos θ+2521-(cos θ-2)2+29. 由于cos θ∈［-1,1］,故当cos θ=1时，(x 2+y 2)max =21-+29=4.此时，x =2，y =0.【例3】 设抛物线y 2=4px (p >0)的准线交x 轴于点M ，过M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，求AB 中点的轨迹方程.【解答】 抛物线y 2=4px 的准线为x = -p ，交x 轴于M (-p ,0), 设过M 的直线参数方程为：⎩⎨⎧=+-=θθsin cos t y t p x (t 为参数)代入y 2=4px ：t 2sin 2θ-4pt cos θ+4p 2=0 (1) 方程(1)有相异二实根的条件是：,1cot 0)sin (cos 160sin 2222>⇒⎩⎨⎧>-=∆≠θθθθp 1, 设方程(1)之二根为t 1，t 2，则t 1+t 2=.sin cos 42θθo设AB 之中点为Q (x,y )， ∵t =θθ221sin cos 22p t t =+. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∙=+-=∙+-=θθθθθθθθcot 2sin sin cos 2cos 2cos sin cos 2222p p y p p p p x ， 消去θ得：y 2=2p (x+p ), ∵|cot θ|>1，∴|y |>2p ，即所求AB 中点的轨迹方程为：y 2=2p (x+p )(|y |>2p ).【点评】 直线的参数方程即直线的三角形式，在处理解析几何中直线与曲线的关系中，常起重要作用，由于它能减少变量(由x,y 两个变量减为一个变量t ).所以其运算过程常比一般方程简便.但在起用直线的参数方程时，必须用其标准式：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00t y y y x x其中P (x 0，y 0)为定点，θ是直线的倾斜角:参数t 表示动点M (x,y )与定点P (x 0，y 0)所连有向线段的数量，若M 在P 上方则t >0，反之t <0.【例4】 两圆O 1与O 2外离，其半径分别为r 1，r 2，直线AB 分别交两圆于 A 、C 、D 、B ,且AC =DB ，过A ，B的切线交于E ，求证：21r r EB EA = . 【思考】 本例是平面几何题吗? 不是，谁要试图仅用平几知识证明，肯定难以成功，但若引入三角，则不然. 【解答】 作两圆直径AF ，BG ，连CF ，DG ，命∠EAB =∠F =∠α,∠EBA =∠G =∠β, 那么AC =2r 1sin α，BD =2r 2sin β,已知AC=BD ，∴2r 1sin α=2r 2sin β， 例4题图αβsin sin 21=r r , △EAB 中，由正弦定理：,sin sin αβ=EB EA ∴21r r EB EA =. 【例5】某矿石基地A 和冶炼厂B 在铁路MN 的两侧，A 距铁路m 千米，B 距铁路n 千米. 在铁路上要建造两个火车站C 与D ，并修两条公路AC 与BD . A 地的矿石先用汽车由公路运至火车站C ，然后用火车运至D ，再用汽车运到冶炼厂B （如图所示）A 、B 在铁路MN 上的投影A ′、B ′距离为l 千米.若汽车每小时行u 公里，火车每小时行v 公里（v>u ）,要使运输矿石的时间最短，火车站C 、D 应建在什么地方？ 【分析】 求的是C 、D 建的地方， 为了将问题简化，暂不考虑车站D ，设法求出从A 经过C 到B ′所需最短时间. 【解答】 ∵AC =,cos AmA ′C =mtanA , ∴CB ′=A ′B ′-A ′C =l-mtanA∴从A 经过C 到B ′所需时间为 例5题图t =A Au vvm v l A v A A u m v l v A m l A u m cos sin cos sin cos 1tan cos -∙+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+ 由于v l ，v m ，a v 为常数，问题转化为求y =A Au vcos sin - 的最小值. ∵y ′=AA u v2cos 1sin -，令y ′=0,得u vA =sin 时， sin A <1. sin A <v u 时，y ′<0, sin A >uv时，y ′>0.故函数y ，从而函数t 当sin A =uv时，取得极小值：.122min uu v v u v u u v y -='⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∵ sin A =v u ，∴A ′C =mtanA =22u v mu -，即车站C 距A ′为22uv mu -千米，它与l 的长短无关.同理，站D 距B ′为22uv nu -千米.【点评】 本例再次映证了求导法在求最值中的重要作用.●对应训练1 已知方程x 2+x sin2θ- sin θcot θ=0(π<θ<23π)之二根为α,β，求使等比数列1,211,11⎪⎪⎭⎫⎝⎛++βαβα•，…前100项之和为零的θ值. 2 设实数对(x,y )满足方程x 2+y 2-2x -2y +1=0，求yx 1+的最小值. 3 已知圆的方程是x 2+y 2=1，四边形P ABQ 为该圆内接梯形，底边AB 为圆的直径且在x 轴上，当梯形ABCD 的周长l 最大时，求P 点的坐标及这个最大的周长. 4 △ABC 中，已知三内角满足关系式y =2+cos C cos (A-B )- cos 2C . (Ⅰ)证明任意交换A 、B 、C 位置y 的值不变； （Ⅱ）求y 的最大值.5.一条河宽1km ，相距4km (直线距离)的两座城市A 与B 分别位于河的两岸，现需铺设一条电缆连通A 与B . 已知地下电缆的修建费为每千米2万元，水下电缆的修建费为每千米4万元. 假定两岸是平行的直线.问应如何铺设电缆可使总的修建费用最少?●参考答案1 由条件：⎩⎨⎧-=-=-=+θθθαβθβαcos cot sin 2sin ,∴θθθαββαβαsin 2cos 2sin 11==+=+，即等比数列的公比q =2sin θ，∴S 100=θθsin 21])sin 2(1[1100--∙ .已知S 100=0，∴(2sin θ)100=1且2sin θ≠1,于是2sin θ= -1, sin θ=21-, ∵θ∈(π，23π), ∴θ=67π. 2 圆(x -1)2+(y -1)2=1的圆心为C (1,1)，半径r=1，此圆在第一象限且与两轴相切，为求yx 1+的最小值，先求1+x y的最大值. 如图，1+x y表示圆上的点(x,y )与 定点P (-1,0)连线的斜率, P A ，PB 为 圆C 的切线，则PB k x y =⎪⎭⎫⎝⎛+max1，连PC, 设∠BPC =∠APC =θ，则tan θ=21, 第2题解图 tan ∠BP A =tan2θ=342112122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯, 即341max =⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y ，从而431=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x . 3 如图所示，有A (1,0),B(-1,0),⊙方程为x 2+y 2=1，∴设P (cos θ，sin θ)为 圆上一点，不妨设P 在第一象限， 则有Q (-cos θ, sin θ).∴|PQ |=2cos θ, Rt △P AB 中∠PBA =2θ, ∴|BQ |=|P A |=|AB | sin2θ=2sin 2θ， l =2+2cos θ+4sin 2θ=2+2(1-2sin 22θ)+4sin 2θ=5-4(sin 2θ21-)2, 第3题解图当且仅当sin 2θ=21，即θ=60°(若θ在四象限则为300°)时，l max =5，此时点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21••. 4 (Ⅰ)y =2+cos C ［cos (A-B ) - cos C ］=2+cos C ［cos (A-B )+cos (A+B )］=2+2cos A cos B cos C此为关于A 、B 、C 的对称轮换式，故任意交换A 、B 、C 的位置，y 的值不变. (Ⅱ)y =2-［cos C 21-cos (A-B )］2 +41cos 2(A-B ),为求y 的最大值必须［cos C 21-cos (A-B )］2取得最小而41cos 2(A-B )取得最大. ∵［cos C 21-cos (A-B ) 2≥0，且41cos+(A-B )≤41当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==-)cos(21cos 1)cos(AB C B A 时以上两条同时成立.∴y max =49，此时C B A C B A ==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==-21cos 1)cos(故△ABC 为正三角形. 5.解法一:如图所示，设OM =x km ，则AM =15-x ，BM =21x +. 总修建费 S=2（15-x ）+421x + =215+21x ++x +3(21x +-x ) =215+（21x ++x ）+xx ++213≥215+23由21x ++x =xx ++213,得当x =33时， S 取最小值 215+23， 此时，AM ≈3.3，BM ≈1.2.故当先沿岸铺设3.3 km 地下电缆，再铺设1.2 km 水下电缆连通A 与B 时， 第5题解图 总的修建费用最少，此时修建费为11.4万元.解法二：如图所示，设∠OBM =α(0<α<arccos 41，则BM =αcos 1， AM=AO-MO =15-tan α，总修建费 S =215-tan α)+αcos 4=215+ααcos )sin 2(2-设t =ααcos sin 2-，则sin α+t cos α=2 ∴ sin(α+φ)=211t+由1122≤+t及t >0，得t ≥3， ∴ S ≥215+23将t =3代入sin α+t cos α=2，解得α=6π∵ 0<6π<arccos 41 ∴ AM =15-33≈3.3，BM =332≈1.2.第29计向量开门数形与共●计名释义非数学问题数学化，说的是数学建模，非运算问题运算化，向量是典型的代表.向量是近代数学的最重要和最基本的概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.同时，它又具有代数运算的功能.因此，它像一个媒婆，牵起了一根线，一头连着代数，另一头连着图形，只要经它轻轻一拉，数形便能结合成一家人.●典例示范【例1】α,β为锐角，且sinα-sinβ=21-, cosα-cosβ=21，求tan(α-β)之值. 【解答】如图，设A(cosα, sinα),B(cosβ, sinβ)为单位圆上两点，由条件知：0<α<β<2π.那么：-==（cosα-cosβ, sinα-sinβ）=⎪⎭⎫⎝⎛-21,21•.∴||=224141=+，||=||=1. 例1题解图△OAB中,由余弦定理：cos(α-β)= cos (β-α) =431124211=∙∙-+.∴ sin(α-β)=471691-=--, tan(α-β)=37-.【点评】如果说本例用向量求三角函数值中没有太大的优越性，那么利用向量模型证明不等式则有其独到的简便之处，再看下例.【例2】设a,b,c,d∈R，证明：ac+bd≤2222dcba+∙+【解答】设m=（a,b），n=（c,d），则mn=ac+bd，|m|²|n|=2222dcba+∙+∵m²n=|m|²n cos（m,n）≤|m|²|n|. ∴ac+bd≤2222dcba+∙+.【点评】难以置信的简明，这正是向量的半功伟绩之一，那么，向量在解析几何中又能起作用吗?【例3】 在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且两两夹角均为60°，则对角线AC 1 之长为 .【思考】 求线段的长度常用的手段是归结为解三角形.利用勾股定理或余弦定理，显然，这种方法需要较大的计算量，例如，确定AC 1与平面ABCD 所成角的大小就不是省油的灯.有无更好的方法呢？这个平行六面体的各个表面不都是边长相等且夹锐角为60°的菱形吗？利用向量岂不更为省事? 向量的数量积公式可以保驾护航. 对！走向量法解题的道路.【解答】 如图所示，11CC AC ++=∴2121)(CC AC ++==2122CC ++)(211CC CC ∙+∙+∙+=1+1+1+2(cos60°+ cos60°+ cos60°)=6∴|1AC |=6. 例2题解图【点评】 向量运算的优越性，由本例已可一览无遗，特别是|1AC |2=21AC 的运用奇妙. 注意：AB 与BC 所成角等于AB 与AD 所成角，是60°而不是120°. ●对应训练1 如图,在棱长为a 的正方体 ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F分别是AB 、AC 上的动点，满足AE=BF . (Ⅰ)求证：F C F A '⊥'；(Ⅱ)当三棱锥B ′—BEF 的体积取得最大值时，求二面角B ′—EF —B 的大小(结果用反三角函数表示). 第1题图 2 已知a ,b ∈R +，且a ≠b ，求证：(a 3+b 3)2<(a 2+b 2)(a 4+b 4).3 在双曲线xy =1上任取不同三点A,B,C ,证明△ABC 的垂心也在该双曲线上.●参考答案1.(1)如图，以B 为原点，直线BC,BA,BB ′分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，并设||||BF AE ==x ,则有:A ′(0,a,a ),C ′(a ,0,a ). E (0,a -x ,0)，F (x ,0,0),∴F A '=(x ,-a ,-a )，C '=(-a ,a-x,-a ).∵F A '²E C '=(x,-a,-a )(-a,a-x,-a )=-ax-a 2+ax+a 2=0，∴ A '⊥C '. (2)V B ′—BEF =31S △EEF ²|B B '|=31²21(a-x )²x ²a =61a (a-x )²x ≤61a ²322412)(a x x a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-， 当且仅当a-x=a ，即x =2a时, (V B ′—BEF )max =3241a ， 此时E 、F 分别为AB,BC 的中点,必EF ⊥BD .设垂足为M ，连B ′M ,∵BB ′⊥平面ABCD , 第1题图 由三垂线定理知B ′M ⊥EF ,∠BMB ′是二面角B ′—EF —B 的平面角, 设为θ,∵||=a 42||41= ∴ tan θ=2242a a . 即θ=arctan22，则二面角B ′—EF —B 的大小为arctan22. 2 设m =(a,b )，n =(a 2,b 2), ∵m ²n ≤|m |²|n |.∴a 3+b 3≤4422b a b a +∙+，即是(a 3+b 3)2≤(a 2+b 2)(a 4+b 4). 3 如图,设A (x 1,11x )，B (x 2,21x ), C (x 3，31x )，△ABC 的垂心为H (x 0，y 0), 则),(122112x x x x •x x --=, )1,(330x •yx x --=, 第3题解图 ∵⊥, ∴(x 0-x 3)(x 2-x 1)+(y 0-31x ²02121=-x x x x . ∵x 1≠x 2，∴x 0-x 30132103=--x x x y x .∴x 0+21033211x x y x x x x += (1)同理：x 0+320131023211x x y x x x y x x x x +=+=.∴x 2-x 1=y 03212103132)(11x x x x x y x x x x -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-.∵x 1≠x 2，∴y 0=-x 1x 2x 3，代入 (1)：x 0-01y =x 321321x x x x x -=0, ∴x 0y 0=1，即H (x 0，y 0)在双曲线xy =1上.第30计 统计开门 存异求同●计名释义甲问：什么是“可能一统”？乙答：就是“可能性”完成大一统. 甲：此话怎讲？乙：排列、组合讲的是“可能状态”，概率讲的是“可能比值”，而统计则是对“各种可能”的计算，故称“可能一统”.甲：这有什么意义呢？乙：现实意义，实际意义，应用意义.你不知道吗，如今的数学应用题几乎全部转入到“可能一统”之中.甲：不错！以往的高考应用题，多在函数、方程、不等式上打主意，自从新课标普及以来，应用题转到概率和统计上了.不过，这是否在实用方面有点偏离高中数学的主干内容呢？ 乙：大概命题人也想到这点，因此近年的概统应用题，似乎都在想方设法往函数、方程、不等式方面拉关系!●典例示范【例1】 假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：x 2 3 4 5 6 y2．23．85．56．57．0若由资料可知y 对x 呈线性相关关系.试求： （1）线性回归方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？【分析】 本题告诉了y 与x 间呈线性相关关系，倘若记住了公式，便可以迅速解答出此题.注：设所求的直线方程为yˆ=bx+a ，其中a 、b 是待定系数． ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===-=---=∑∑∑∑∑∑======xb y a y n y •x n x xxyn yx x x y y x x b n i ni ii n i ini ii n i i ni i i 11121111,1,)())((相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析. i 1 2 3 4 5 x i 2 3 4 5 6 y i 2.2 3．8 5．5 6．5 7．0 x i y i 4．4 11．4 22．0 32．5 42．0 x 2i49162536∑∑==⋅====515123112,90,5,4i i i i i y x •x •y •x于是b =23145905453112552512251⋅=⨯-⨯⨯-⋅=--∑∑==i i i xx xyxiyi ， a ==⨯⋅-=-42315bx y 0.08. ∴线性回归方程为：y ˆ=bx+a =1.23x +0.08. （2）当x =10时，yˆ=1.23³10+0.08=12.38（万元） 即估计使用10年时维修费用是12.38万元.【点评】 本题若没有告诉我们y 与x 间是呈线性相关的，应首先进行相关性检验.如果本身两个变量不具备线性相关关系，或者说它们之间相关关系不显著时，即使求出回归方程也是没有意义的，而且其估计与预测也是不可信的.【例2】 某种灯泡的使用时数在1000小时之上的概率是0.7,求： （1）3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个的概率； （2）3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个的概率.【思考】 本题的实质是检查3个灯泡，可视为3次独立重复试验.(1)中3个灯泡在使用1000小时之后恰坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A 恰好发生2次（事件A 是“灯泡的使用时数在1000小时以上”）；（2）中指“恰好坏1个”与“3个都未坏”这两种情况，即事件A 发生2次和发生3次，可用独立重复试验的方法求解.【解答】 设“灯泡的使用时数在1000小时以上”为事件A ，则P （A ）=0.7,检查3个灯泡可视为3次独立重复试验.(1)3个灯泡在使用1000小时之后恰好坏1个，相当于在3次独立重复试验中事件A 恰好发生2次.∴P 3(2) =C 23(0.7)2(1-0.7)3-2=3³0.49³0.3=0.441.(2)“3个灯泡在使用1000小时之后最多只坏1个”包括了“恰好坏1个”和“3个都未坏”这两种情况，它们彼此互斥，相当于A 发生2次和发生3次的概率和，即所求概率为P 3（2）+P 3(3)=0.441+C 330.73=0.784.【点评】 用独立重复试验的概率公式P n (k )=C k n²P k ²(1-p )n-k来求概率的步骤：①首先判断是不是独立重复试验；②求一次试验中事件A 发生的概率P ；③利用公式计算在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率.【例3】 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.(1)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望; (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.【思考】 本题主要考查概率统计的基础知识，离散变量的概念，数学期望的定义；首先要弄清ξ的取值范围,ξ=0,1,2,3,然后再求概率.【解答】 （1）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：ξ 0123P301 103 21 61 甲答对试题数ξ的数学期望. E ξ=0³301+1³103+2³21+3³61=59(2)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则P (A )=321202060C C C C 310361426=+=+ P (B )=151********C C C C 310381228=+=+∙ 因为事件A 、B 相互独立,方法一：∴甲、乙两人考试均不合格的概率为451)15141)(321()()()(=--=∙=∙B P A P B A P∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率P =1-P （B A ∙）=1-4544451= 方法二：∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为P =P (A ²B )+P （A ²B ）+P (A ²B )=P (A )P (B )+P (A )²P (B )+P (A )P (B )=32³151+31³1514+32³1514=4544 【点评】 ①要分清对立事件与互斥事件的关系，独立事件、互斥事件的相互区别.②在数学中必须强调随机变量的概念，分布列的定义与求法，熟悉常用的分布列：0~1分布、二项分布，数学期望与方差的计算等.●对应训练1.在袋里装30个小球，其彩球中有n (n ≥2)个红球，5个蓝球，10个黄球，其余为白球.若从袋里取出3个都是相同颜色的彩球（无白色）的概率是40013，求红球的个数，并求从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率.2.某突发事件，在不采取任何预防措施情况下发生的概率为0.3,一旦发生，将造成400万元的损失.现在甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用，单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件突不发生的概率分别为0.9和0.85，若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少.(总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值)3.公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ～N （173，72）（cm ），问车门应设计多高？广告费用（千元） 1．0 4．0 6．0 10．0 14．0 销售额 （千元）19．044．040．052．053．0现要使销售额达到6万元，则需广告费用为 （保留两位有效数字）. ●参考答案1.取3个小球的方法数为C 230=4060.设“3个小球全是红球”为事件A ，“3个小球全是蓝球”为事件B ，“3个小球全是黄球”为事件C ，则P (B )=406010C C 33035=，P (C )=4060120C C 330310=.∵A 、B 、C 为互斥事件，∴P (A+B+C )=P (A )+P (B )+P (C ). 即40613=P (A )+406010+⇒4060120P (A )=0. ∴红球的个数≤2，又∵n ≥2，故n =2. 记“3个小球至少有一个是红球”为事件D ，则D 为“3个小球没有一个红球”.P (D )=1-P (D )=114528C C 330328=-. 2.①不采取任何预防措施时，总费用即损失期望值为400³0.3=120(万元);②若单独采取措施甲，则预防措施费用为45万元，发生突发事件的概率为1-0.9=0.1,损失期望值为400³0.1=40(万元)，所以总费用为45+40=85（万元）.③若单独采取预防措施乙，则预防措施费用为30万元，发生突发事件的概率为1-0.85=0.15,损失期望值为400³0.15=60(万元)，所以总费用为30+60=90（万元）④若联合采取甲、乙两种措施，则预防措施费用为45+30=75(万元)，发生突发事件的概率为（1-0.9）(1-0.85)=0.015，损失期望值为400³0.015=6(万元)，所以总费用为75+6=81(万元) 综合①、②、③、④，比较其总费用可知，应选择甲、乙两种预防措施联合采用，可使总费用最少.3.设公共汽车门的设计高度为x cm ，由题意，需使P （ξ≥x ）＜1%. ∵ξ～N （173，7 2），∴P （ξ≤x ）=Φ（7173-x ）＞0.99. 查表得7173-x ＞2.33，∴x ＞189.31，即公共汽车门的高度应设计为190 cm ，可确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞.点评：本题将正态分布的计算带入实际生活中，但本质上仍然是考查对正态分布的掌握.4.类似于例1，根据公式，先求出回归方程yˆ=bx+a ，令y ˆ=6，得x =1.5万元. 答案：1.5万元点评：仍然是运用公式求回归直线的例子，只要掌握了例4中提到有关回归直线的公式，便可迅速解答并且最终求出结果.第31计 解几开门 轨迹遥控●计名释义求动点的轨迹图形及轨迹方程是解析几何中的核心，体现了用代数方法研究几何问题的数学思想.轨迹是解析几何的灵魂，它就象一个遥控器，指挥着我们行动的方向.由方程研究曲线和已知曲线求其方程是解析几何的两大研究方向，在图形与方程问题遇到困难的人，往往疏忽了“轨迹”二字.正是“轨迹”二字告诉了动点的性质，动点的性质才是图形性质和方程性质的根基.●典例示范【例1】 动椭圆过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率e =21. (1)求动椭圆左顶点的轨迹方程；（2）求椭圆长轴长的最大值和最小值.【思考】 如M （1，2）为右顶点，则左顶点为 P （1-2a ,2）. 椭圆中心为(1-a ,2)，左准线为y 轴. ∴12+-ca -a =0， 而e =21=a c . ∴c a =2，有-3a +1=0，a =31. 得点P 1(31,2)；如M （1，2）为左顶点，有 P 2（1，2）， ∴P 1P 2中点为（32，2）. 由以上可以预见,所求轨迹是中心为O ′(32,2)的椭圆. 【解答】 （1）设椭圆左顶点为M (x,y )，则左焦点为F （x 0，y 0）=F (x+a-c ，y )，∵e =21=a c ，且左准线为y 轴, ∴a x ca ++-2=0, 得a=x ，c =a 21=2x ，有：F ⎪⎭⎫⎝⎛•y x •,23，由椭圆第二定义：1||MF = e =21. ∴21)2(12322=-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ，化简得：22)1(4329-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x ①(2)椭圆①的长半轴a ′=31，∴-31≤x -32≤31，得x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,31••. 原椭圆长半轴为a=x ，∴2a =2x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,32••. 故原椭圆长轴最大值为2，最小值为32.【例2】 已知双曲线的两个焦点分别为F 1，F 2，其中F 1又是抛物线y 2=4x 的焦点，点A （-1，2），B （3，2）在双曲线上，（1）求点F 2的轨迹方程；（2）是否存在直线y=x+m 与点F 2的轨迹有且只有两个公共点，若存在，求出实数m 的值，不存在，说明理由. 【思考】 F 1（1，0）为定点，∴|AF 1|=22=|BF 1|为定值，设F 2(x ，y )，则|F 2A |-22=±(F 2B-22).得|F 2A |=|F 2B |或|F 2A |+|F 2B |= 42，知动点F 2的轨迹为直线AB 的垂直平分线或以A 、B 为焦点的椭圆.【解答】 （1）点F 2的轨迹方程为直线l ：x =1或椭圆14)2(8)1(22=-+-y x .(不含短轴两端，即不含（1，0），（1，4）解法略).（2）如图，当椭圆与直线y=x+m 相切时，直线与所求轨迹恰有两交点（-为切点，另-为切线与直线x =1的交点），其他情况下，若直线y=x+m 过椭圆短轴端点时与所求轨迹仅有一个公共点，若不过短轴两端点而经过椭圆内部时则有三个公共点，由.8])2()2(2[2)12(8)2(2)1(22222=-+-+++-⇒⎩⎨⎧=-+-+=m x m x x x y x m x y ∴3x 2+(4m -10)x +2m 2-8m +1=0. 此方程应有相等二实根，∴Δ=(4m -10)2-12(2m 2-8m +1)=0. 化简得：m 2-2m -11=0,∴m =1±23.【小结】 探求轨迹，一要注意 其完备性也就是充分性：只要符合 条件的点都适合轨迹方程；二要 注意其纯粹性也就是必要性：只要适合轨迹方程的点都符合轨迹条件. 例3题图 以例2为例：若忽视了直线x =1(不含（1，0），（4，0）)则不完备，若不除去（1，0），（4，0）则又不纯粹.●对应训练1.已知双曲线过坐标原点O ，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F 1（6,0），另一个焦点F 2为动点.(1)求双曲线中心的轨迹方程;(2)双曲线离心率最大时，求双曲线方程.2.已知定直线l 和线外一定点O ，Q 为直线l 上一动点，△OQP 为正三角形（按逆时针方向转），求点P 的轨迹方程.3.已知双曲线过坐标原点O ，实轴长为2，其中一个焦点坐标为F 1（6，0），另一个焦点F 2为动点.(1)求双曲线中心的轨迹方程；（2）双曲线离心率最大时，求双曲线方程.4.已知抛物线C ：y 2=4x ，(1)若椭圆左焦点及相应准线与抛物线C 的焦点及相应准线分别重合.(1)求椭圆短轴端点B 与焦点F 所连线段的中点P 的轨迹方程；（2）若M （m ,0）是x 轴上的一个定点，Q 是（1）中所求轨迹上任意一点，求|MQ |的最小值.●参考答案1.设F 2(x 0，y 0), ∵O (0,0)在双曲线上, ∴|OF 2| - |OF 1| =±2，|OF 1|=6,∴|OF 2|=6±2，如|OF 2|=8，则x 20+y 20=64 ① 如|OF 2|=4，则x 20+y 20=16 ② 当O 、F 1、F 2共线时，F 1、F 2应在点O 两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0） 设双曲线中心为M （x ，y ）,则⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=y y x x y y x x 2622260000 ③ ③代入①：(2x -6)2+(2y )2=64， 即(x -3)2+y 2=16(x ≠7) ③代入②：（2x -62+(2y )2=16， 即(x -3)2+y 2=4(x ≠5) (2)∵a =1，∴e =ac = c ，且c =|MF 1|=22)6(y x +-, 如M 的轨迹为(x -3)2+y 2=16， 则c =436)3(16)6(22+-=--+-x x x∵-4≤x -3<4，∴-1≤x <7 当x =-1时，c max =7.如M 的轨迹为(x -3)2+y 2=4，则316)3(4)6(22+-=--+-=x x x c∵-2≤x -3<2，∴1≤x <5，当x =1时，c max =5,于是取c =7，a =1，∴b 2=48，又当x =-1时，由（x -3）2+y 2=16，得y=0,即双曲线中心为(-1,0),一个焦点为F 1(6,0),故实轴在x 轴上，则所求方程为：(x +1)2-482y =1. 2.如图作OA ⊥l 于A ，以直线OA 为x 轴， 过O 且垂直于OA 的直线为y 轴建立 如图的直角坐标系，设A （a ,0），则有 直线l ：x =a ，设|OQ |=|OP |=d ∠AOQ=θ，则∠AOP=θ+3π 设P (x,y )，∵d =θcos a， ∴x = d cos (θ+3π)=θcos a (21cos θ-23sin θ) 第2题解图 =2a(1-3tan θ), y =d sin(θ+3π)=θcos a (21sin θ+23cos θ)= 2a (tan θ+3).于是得点P 的参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=)3(tan 2)tan 31(2θθa y a x （θ为参数） 消去参数得：x +3y =2a .3.(1)设F 2(x 0，y 0)，∵O (0,0)在双曲线上，∴|OF 2| - |OF 1|=±2，|OF 1|=6，∴|OF 2|=6±2，如|OF 2|=8，则x 20+y 20=64 ①；如|OF 2|=4，则x 20+y 20=16 ②，当O ，F 1，F 2共线时，F 1，F 2应在点O 两侧，故上述轨迹中应分别不含（8，0），（4，0）.设双曲线中心为O ′(x ，y )，则⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=y y x x y y x x 2622260000 ③ ③代入①：(2x -6)2+(2y )2=64, 即 (x -3)2+y 2=16 (x ≠7).③代入②：(2x -6)2+(2y )2=16, 即 (x -3)2+y 2=4 (x ≠5). (2)∵a =1，∴e =ac = c ，且c =|MF 1|=22)6(y x +-, 如M 的轨迹为（x -3）2+y 2=16,则c =436)3(16)6(22+-=--+-x x x .∵-4≤x -3<4, ∴ -1≤x <7, 当x = -1时，c max =7.如M 的轨迹为(x -3)2+y 2=4，则c=316)3(4)6(22+-=--+-x x x .∵-2≤x -3<2，∴1≤x <5当x =1时，c max =5.于是取c =7，a =1. ∴b 2=48，又当x = -1时，由(x -3)2+y 2=16，得y =0，即双曲线中心为（-1，0），一个焦点为F 1（6，0），故实轴在x 轴上，则所求方程为：(x +1)2482y -=1.4.（1）如图设椭圆中心为O ′(x 0,0)， 由于左焦点F （1，0），左准线x = -1，∴x 0=c +1，且x 0+1=ca 2.∴a 2=c (x 0-1)=x 20-1，b 2=a 2-c 2=(x 20-1) - (x 0-1)2=2x 0-2，得椭圆短轴端点B （x 0，220-x ）. 第4（1）题解图 设FB 的中点为P (x ，y )，则：⎩⎨⎧+=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=2421222212120000y x x x x y x x 消去x 0：y 2=x -1(x ≥1).(2)曲线y 2=x -1(x ≥1)的图形如图中虚线所示，其顶点为F （1，0）. 显然当m ≤1时，|MQ | min =1-m ，即点M （m ,0）到抛物线顶点F 最近，当m >1时，以M （m ,0）为圆心，R 为半径的圆的方程为： (x-m )2+y 2=R 2.(*)由⇒⎪⎩⎪⎨⎧-==+-1)(2222x y Ry m x x 2+(1-2m )x+m 2-1-R 2=0. 命Δ≥0，即（1-2m ）2-4(m 2-1-R 2)=0, ∴R 2≤454-m . (1) 当m ≥45时，R min =454-m ， 即|MQ |的最小值为454-m . 当1<m <45时，不等式（1）无解，说明圆（*）与抛物线y 2=x -1不可能有交点，此时抛物线顶点与M 距离最近,即|MQ | min =m -1.注：此题选自陕西师大“中学数学教学参考”04²1～2期P72，63题，原题答案为： 当212-m ≤1，即m ≤23时，|MQ |无最小值；当212-m >1，即m >23时， |MQ | min =45-m .笔者以为不妥，故重解如上，不当之处，请各位同仁指正.第32计 立几开门 平面来风●计名释义空间型试题感到困难怎么办？退到平面去，平面是立体几何的基础，“空间几何平面化”是我们的基本手段.“平面化”的主要形式有：（1）展开图，把空间展到平面；（2）三视图，从不同的角度看平面；（3）射影图，把一个平面放到另一个平面去；（4）截面图，把我们关心的平面进行特写.如此等等，可以把直观图中的错觉或误差分别转移到平面上作“真实分析”.●典例示范【例1】 “神舟六号”飞船上 使用一种非常精密的滚球轴承， 如图所示，该滚球轴承的内外圆的半径分别为1mm 、3mm ， 则这个轴承里最多可放滚珠 个. 例1题图 【解答】 6如图，设两滚球P ，Q 相切 于点T ，轴承中心为O ，连接OT ， 设滚球半径为d ，内、外圆半径 分别为r 、R ，则R =3，d =r=1. 在Rt △OTP 中，∠POT =2α，OP =2，PT =1,则有sin2α=21=OP PT ， 得α=2³6π=3π，即在圆心角为3π的轨道内， 例1题解图可放一个滚珠，故圆心角为周角（2π弧度） 时可放的滚珠为322ππαπ==6个.【点评】 本题考查了球体知识的相切问题，把复杂的空间立体图形简化成平面图形来解决.【例2】 在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 边长为3，高为4，在棱C 1B 1，C 1D ，CC 上分别取一点M 、N 、L 使C 1M ＝C 1N ＝1，C 1L ＝43. (1)求证：对角线AC 1⊥面MNL ； （2）求四面体D —MNL 的体积； （3）求AM 和平面MNL 所成夹角的正弦值. 【思考】 (1)本题并不难，但其手法还是“退”，由证线面垂直退到证线线垂直.根据对称性，只需证AC 1与LM 、LN 之一垂直即可; (2)四面体D —MNL 的体积不好求，可退而求四面体C 1—MNL 的体积，这两个四面体等底不等高，再退而求四面体对应高之比，然后将所求四面体C 1—MNL 的体积适当扩大即可； （3）AM 与面MAC 1夹角的正弦不好求，可退而求AM 、AC 1夹角的余弦.【解答】 （1）如图所示，以D 1为原点，直线D 1A 1，D 1C 1，D 1D 分别为x,y ，z 轴建立空间坐标系，则有：A （3，0，4），C 1（0，3，0） ∴1AC =(-3,3,-4)；L ⎪⎭⎫ ⎝⎛43,3,0••••，N (0,2,0),∴NL =⎪⎭⎫ ⎝⎛43,1,0••••∵1AC ²NL =0+3-3=0, ∴1AC ⊥,根据图形对称性，同理有1AC ⊥，故AC 1⊥平面MNL . 例2题解图(2)四面体D —MNL 与C 1—MNL 同底不等高，设其高分别为h 1，h 2，连C 1D 交NL 于E . ∵D (0,0,4),∴D C 1=(0,-3,4),且D C 1²=(0,-3,4)²⎪⎭⎫ ⎝⎛43,1,0••••=0.∴C 1⊥，知L 、E 、D 、C 在同一个圆上，|C 1|² |C 1| =|C 1|²|C 1|, 即43²4=|E C 1|²5.∴|C 1|=53，从而|C 1|=5-53=522. h 1∶h 23221=. 易求V C 1－MNL ＝61²C 1M ²C 1N ²C 1L =61³1³1³8143=，∴V D-MNL =32281⨯=1211(立方单位).(3)设AM 与平面AC 1成θ角，已证AC 1⊥平面MNL ，∴∠MAC 1=90°-θ. ∵M (1,3,0),∴=(-2,3,-4), ²1AC =(-2,3,-4)²(-3,3,-4)=6+9+16=31.又｜AM ｜=29)4(3)2(222=-++-,｜1AC ｜=34)4(3)3(222=-++-.∴cos (90°-θ98631342931||||11=∙=∙AC AM . 从而 sin θ=98631，即AM与平面MNL 所成角的正弦值为98631.【评注】 本题第（2)问另一解法：∵V D-MNL =V M-DNL ，而S △DNL 易求，且MC 1⊥面DNL ，从而V D-MNL =31²S △DNL ²MC 1也不失为另一有效解法. 【例3】 （04²全国卷Ⅲ）如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形， AB =8，AD =43，侧面P AD 为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°. (Ⅰ)求四棱锥P —ABCD 的体积； （Ⅱ）求证：P A ⊥BD .【分析】 1.题目没有讲是“正”四棱锥， 不要粗心地乱加条件“按正棱锥”解题， 否则是“瞎子点灯”——白费蜡，因此，顶点在底面的射影不一定是底面的中心. 例3题图2.图中的三角因素很多，证垂直的最好办法是利用向量.因而制定三角加向量的解题策略. 【解答】 （Ⅰ）设O 为P 在底面的射影，作OE ⊥AD 于E ，连PE ，则∠PEO 是二面角P —AD —O 的平面角，有∠PEO =60°.已知△P AD 为正三角形，且边长为43. ∴|PE |=43sin60°=6，PO =6sin60°=33. ∴V P —ABCD =31²S □ABCD ²PO =31²8²43²33]=96(立方单位).(Ⅱ)以O 为原点，平行于AD 的直线为x 轴，平行于AB 的直线为y 轴，垂线OP 所在直线为z 轴建立如图的空间直角坐标系. 则有P (0,0,33)，A (23,-3,0)，B (23,5,0),D (-23,-3,0),∴=(23,-3,-33), =(-43,-8,0),∵²=-24+24+0=0. ∴⊥.●对应训练1.如图所示，ABCD 是边长 为2a 的正方形， PB ⊥平面ABCD ，MA ∥PB ，且PB =2MA =2a ， E 是PD 的中点(1)求证：ME ∥平面ABCD ; (2)求点B 到平面PMD 的距离; (3)求平面PMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值 第1题图2.在正三棱锥S —ABC 中，底面是边长为a 的正三角形，点O 为△ABC 的中心，点M 为边BC 的中点，AM =2SO ，点N 在棱SA 上，且SA =25SN . (Ⅰ)求面SBC 与底面ABC 所成二面角的大小； （Ⅱ）证明：SA ⊥平面NBC .3.如图,边长为2的正方形ADEF 所在的 平面垂直于平面ABCD ，AB=AD ， AB ⊥AD ，AC =32，AC ⊥BD ，垂足为M ，N 为BF 的中点. (1)求证：MN ∥平面ADEF ；（2）求异面直线BD 与CF 所成角的大小；（3）求二面角A-CF-D 的大小. 第3题图 ●参考答案1.(1)延长PM 、BA 交于F ，连接FD ，FD 、BC 延长交于G ，连接PG ， ∵MA21PB =a ， ∴M 为PF 中点，又E 为PD 中点， ∴ME 为△PFD 中位线，ME ∥FD ， 而FD 平面ABCD , ∴ME ∥平面ABCD . (2)MA21PB 时，A 为FB 的中点. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，DC ∥AB ，∴D 、C 分别为FG 、BG 的中点. 第1题解图∵AB=BC =2a . ∴BF=BG =4a . ∴BD ⊥FG ，∵PB ⊥平面ABCD ，∴PB ⊥FG ，故FG ⊥平面PBD . 作BH ⊥PD 于H ，必FG ⊥BH ，故BH ⊥平面PFG ，BH 之长是点B 到平面PFG (也就是平面PMD)的距离. Rt △PBD 中，PB =2a ，BD =22a. ∴PD =22BC PB +=23a ，BH =632=∙PD BD PB a ，即所求距离为632a .(3)由(2)知FG ⊥DB ，FG ⊥DP . ∴∠PDB 是二面角P-FG-B 的平面角，且 cos ∠PDB =363222==a a DP DB ，即所求二面角的余弦值为36. 点评： (1)解立体几何题有两句格言:一是空间问题平面化，一是不规则图形规则化.本解中“规则化”的手段是补形，最终补成底面为等腰直角三角形且高与底面垂直的规则四面体，以下的分析计算也就方便了.(2)将正方体截下一个角，所得四面体由于有三条侧棱两两垂直，我们称这样的四面体为直角四面体，直角四面体有许多重要性质，其中最重要的有3条：①若用S ，S 1，S 2，S 3分别表示直角四面体的底面积和三个侧面积,那么：S 2=S 21+S 22+S 23 ②若直角四面体的三条侧棱之长依次为a ，b ，c ，则其底面积：S =21222222a c c b b a ++③若直角四面体的三条侧棱之长，依次为a ，b ，c ，且直角顶点到底面的距离为h ，那么 h =2221111c b a ++.根据公式③本题第2问可轻而易举地解决：图中B —PFG 为直角四面体，且BP =2a ，BF=BG =4a ∴BH =.6321144)4(1)4(1)2(11222a a a a a =++=++ 2.(1)如图，正△ABC 边长为a 时， AM =23a ，OM =31AM =63a .SO =21AM =43a . ∠SMA 是二面角S —BC —A 的平面角，设为α，则tan α=23=OM SO . ∴面SBC 与面ABC 成arctan 23的角. 第2题解图。

2013高考数学 夺分法宝 函数、三角函数、立体几何（解析版）【2011高考真题——新课标卷】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只需一项是符合标题要求的。

(1)复数212ii +-的共轭复数是 （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i 解析：212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C （2）以下函数中，既是偶函数又在+∞（0，）单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= 解析:由影像知选B（3）履行左面的程序框图，如果输出的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ）720 （C ）1440 （D ）5040解析：框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720 选B（4）有3个兴味小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相反，则这两位同学参加同一个兴味小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23（D ）34解析;每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只需3种，所求的概率为p=3193=选A（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=解析：由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++选B （A ）45- （B ）35- （C ）35（D ）45（6）在一个几何体的三视图中，重视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。

故选D（7）设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，AB为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A（B （C ）2 （D ）3解析：通径|AB|=222b a a =得2222222b a a c a =⇒-=，选B（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40解析1.令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-。

秘籍04立体几何1．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．20πB．24πC．28πD．32π【答案】C【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为圆柱，下半部分为圆锥，圆柱的底面半径为1，高为2，圆锥底面半径均为3，高均为4，则其表面积：S=π×32+π×3×5+2π×1×2=28π．故选：C．对于体积或表面积问题，一般先根据三视图准确还原几何体，再利用常规的几何体的体积公式或表面积公式求解.2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．163B．203C．169D．209【答案】B【解答】解：由题意可知几何体是组合体，左侧是四棱锥右侧是三棱柱，如图：棱锥的高为2，底面正方形的边长为2，三棱柱的底面等腰三角形的底边长为2，高为2．所以几何体的体积为：13×2×2×2+12×2×2×2=203．故选：B．求解几何体的表面积或体积的方法：(1)对于规则几何体，可直接利用公式计算．(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解.对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用．3．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为2√2，则这个四棱锥的外接球的体积为（ ） A ．16π3B ．32π3C ．16πD ．32π【答案】B【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为O ，则在直角三角形ABC 中，AC=√2×AB=4， ∴AO=CO=2，在直角三角形PAO 中，PO=√PA 2−AO 2=√(2√2)2−22=2， ∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为2， ∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径r=2， 球的体积V=43πr 3=323π.故选：B ．解决与球有关的“切”“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．4．如图所示的几何体是由以等边三角形ABC 为底面的棱柱被平面DEF 所截而得，已知FA ⊥平面ABC ，AB=2，AF=2，CE=3，O 为BC 的中点，AO ∥面EFD ． （1）求BD 的长；（2）求证：面EFD ⊥面BCED ；（3）求平面DEF 与平面ACEF 相交所成锐角二面角的余弦值．【解答】解：（1）取ED 的中点P ，连接PO ，PF ，则PO 为梯形BCED 的中位线， PO=BD+CE 2=BD+32，又PO ∥BD ，AF ∥BD ，所以PO ∥AF ，所以A ，O ，P ，F 四点共面， 因为AO ∥面EFD ，且面AOPF ∩面EFD=PF ， 所以AO ∥PF ，所以四边形AOPF 为平行四边形， PO=AF=2，所以BD=1. 证明：（2）由题意可知平面ABC ⊥面BCED ，又AO ⊥BC ，且AO ⊂平面ABC ，所以AO ⊥面BCED ， 因为AO ∥PF ，所以PF ⊥面BCED ，又PF ⊂面EFD ， 所以面EFD ⊥面BCED ． 解：（3）以O 为原点，OC ，OA ，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， A （0，√3，0），B （﹣1，0，0），C （1，0，0）．P （0，0，2），E （1，0，3），F （0，√3，2）. 设Q 为AC 的中点，则Q （12，√32，0），由题意得BQ ⊥平面ACEF ，平面ACEF 的法向量为BQ →=（32，√32，0）.设平面DEF 的法向量为n →=（x ，y ，z ）， PE →=（1，0，1），PF →=（0，√3，0）， 则{n →⋅PF →=√3y =0n →⋅PE →=x +z =0，取x=﹣1，得n →=（﹣1，0，1）， 所以cos ＜BQ →，n →＞=BQ →⋅n→|BQ →|⋅|n →|=﹣√64，所以平面DEF 与平面ACEF 相交所成锐角二面角的余弦值为√64．利用向量求二面角求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．注意：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角．运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤(1)建立恰当的空间直角坐标系；(2)求出相关点的坐标；(3)写出向量坐标；(4)结合公式进行论证、计算；(5)转化为几何结论．平面与平面的夹角计算公式设平面α，β的法向量分别为μ=(a3，b3，c3)，v=(a4，b4，c4)，平面α，β的夹角为θ(0≤θ≤π)，则|cos θ|=|μ·v||μ||v| =|cos〈μ，v〉|.1．若一个空间几何体的三视图如图所示，且已知该几何体的体积为4√33π，则其表面积为（）A．6π+4√3B．6πC．34π+2√3D．34π+√3【答案】A【解答】解：几何体是半圆锥，底面半径为r，高为：√3r，该几何体的体积为4√33π，可得：12×13×r2×√3rπ=4√33π，解得r=2，半圆锥的表面积为：12×22×π+12×4×2√3+12×124π×4=6π+4√3．故选：A．此类问题对考生的空间想象能力要求较高，会根据三视图作出空间几何体的直观图，然后根据条件结合表面积公式求得空间几何体的表面积，①画三视图的原则：长对正、高平齐、宽相等.②圆锥的表面积2ππS rl r =+.2．已知三棱锥P ﹣ABC 所有顶点都在球O 的球面上，底面△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，AB=2√2，PA=PB=PC=√3，则球O 的表面积为（ ） A ．9π B ．9π4C ．4πD ．π【答案】A【解答】解析：设AB 中点为D ，则D 为△ABC 的外心，因为PA=PB=PC=√3，易证PD ⊥面ABC ， 所以球心O 在直线PD 上， 又PA=√3，AB=2√2，算得PD=1，设球半径为R ，则△AOD 中，（R ﹣1）2+2=R 2，可得：R=32． 则球O 的表面积S=4πR 2=9π， 故选：A ．对于空间几何体的外接球问题，首先根据几何体的结构特征利用勾股定理求得球的半径，然后利用公式求解，球的表面积公式24πS R =，体积公式34π3V R =.3．如图，已知多面体ABC -A 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC=120°，A 1A=4，C 1C=l ，AB=BC=B 1B=2．（Ⅰ）证明：AB 1⊥平面A1B1C1；（Ⅰ）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．【解答】（I ）证明：∵A 1A ⊥平面ABC ，B 1B ⊥平面ABC ，∴AA 1∥BB 1， ∵AA 1=4，BB 1=2，AB=2，∴A 1B 1=√(AB)2+(AA 1−BB 1)2=2√2， 又AB 1=√AB 2+BB 12=2√2，∴21AA =21AB +211A B ，∴AB 1⊥A 1B 1， 同理可得：AB 1⊥B 1C 1，又A 1B 1∩B 1C 1=B 1，∴AB 1⊥平面A 1B 1C 1．（II ）解：取AC 中点O ，过O 作平面ABC 的垂线OD ，交A 1C 1于D ， ∵AB=BC ，∴OB ⊥OC ，∵AB=BC=2，∠BAC=120°，∴OB=1，OA=OC=√3，以O 为原点，以OB ，OC ，OD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示： 则A （0，﹣√3，0），B （1，0，0），B1（1，0，2），C1（0，√3，1）， ∴AB →=（1，√3，0），BB 1→=（0，0，2），AC 1→=（0，2√3，1）， 设平面ABB1的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅AB →=0n →⋅BB 1→=0，∴{x +√3y =02z =0，令y=1可得n →=（﹣√3，1，0）， ∴cos ＜n →，AC 1→＞=n →⋅AC 1→|n →||AC 1→|=2√32×√13=√3913．设直线AC 1与平面ABB 1所成的角为θ，则sinθ=|cos ＜n →，AC 1→＞|=√3913． ∴直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值为√3913．直线与平面所成角的向量公式：直线a 的方向向量与平面α的法向量分别为m u r 和n r ，若m u r 与n r的夹角不大于90︒，直线a 与平面α所成的角等于m u r 与n r 夹角的余角，若m u r 与n r 的夹角大于90︒，直线a 与平面所成的角等于m u r 与n r夹角的补角的余角，所以直线a 与平面α所成的角θ的正弦值为m n m n⋅u r ru r r ．1．设 m ，n ，l 是三条不同的直线，α 是一个平面，l ⊥m ，则下列说法正确的是 ( ) A. 若 m ⊄α，l ⊥α，则 m ∥α B. 若 l ⊥n ，则 m ⊥nC. 若 l ⊥n ，则 m ∥nD. 若 m ∥n ，n ⊂α，则 l ⊥α2．已知 m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线 l 满足 l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则 ( ) A. α∥β，且 l ∥αB. α⊥β，且 l ⊥βC. α 与 β 相交，且交线垂直于 lD. α 与 β 相交，且交线平行于 l3．已知直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的顶点都在球O 的球面上，AB =AC =2，BC =2√2，若球O 的表面积为72π，则这个直三棱柱的体积是A．16B．15C．8√2D．834．已知三棱锥P−ABC的高为PO，O为垂足，若P到底面△ABC三边所在的直线的距离相等，则O （假设O在△ABC内部）是△ABC的( )A. 外心B. 内心C. 垂心D. 重心5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则( )A. A1E⊥DC1B. A1E⊥BDC. A1E⊥BC1D. A1E⊥AC6．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=√2，AA1=2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为A．23B．56C．33D．667．如图，P为△ABC所在平面α外一点，PB⊥α，PC⊥AC，则△ABC的形状为( )A.锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定8．如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画的是某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为（）A．4B．3√2C．2√2D．2√39．中国古代第一部数学名著《九章算术》中，将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形，其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥Q ABC -为鳖臑，QA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥， 3QA BC ==， 5AC =，则三棱锥Q ABC -外接球的表面积为A ．16πB ．20πC ．30πD ．34π10．如图所示，扇形AOB 的半径为2，圆心角为90︒，若扇形AOB 绕OA 旋转一周，则图中阴影部分绕OA旋转一周所得几何体的体积为( )A ．3πB ．5πC ．83πD ．163π11．用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底是下底的12，若原平面图形的面积为32，则OA 的长为( )A ．2B ．2C ．3D ．32212．已知四棱锥P −ABCD 的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱PA ⊥平面ABCD ，PA =2，若在四棱锥P −ABCD 的内部有一个半径为R 的球，则R 的最大值为A ．2−√2B ．1C ．√2−1D ．2√313.如图，在以下四个正方体中，直线AB 与平面CDE 垂直的是( )A．①②B．②④C．①③D．②③14．如图，AB是Oe的直径，C是圆周上不同于A，B的任意一点，PA⊥平面ABC，则四面体P ABC-的四个面中，直角三角形的个数有()A．4个B．3个C．2个D．1个15．已知球O半径为3√2，设S、A、B、C是球面上四个点，其中∠ABC=90°，AB=BC=4√2，则棱锥S ﹣ABC的体积的最大值为（）A．64√23B．64√29C．32√23D．32√2916．已知三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱与底面垂直，底面是边长为√3的正三角形，且该三棱柱外接球的表面积为7π，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为_________.17．如图，正方形ABCD的边长为3，点E , F分别在边AD , CD上，且AE=DF=2．将此正方形沿BE,BF,EF 切割得到四个三角形，现用这四个三角形作为一个三棱锥的四个面，则该三棱锥的内切球的体积为_________．18．如图，在几何体ABC﹣A1B1C1中，点A1，B1，C1在平面ABC内的正投影分别为A，B，C，且AB⊥BC，AA1=BB1=4，AB=BC=CC1=2，E为AB1中点，（Ⅰ）求证；CE∥平面A1B1C1，（Ⅱ）求证：求二面角B1﹣AC1﹣C的大小．19．如图，梯形ABCD中，AD=BC，AB∥CD，AC⊥BD，平面BDEF⊥平面ABCD，EF∥BD，BE⊥BD．（1）求证：平面AFC⊥平面BDFE；（2）若AB=2CD=2√2，BE=EF=2，求BF与平面DFC所成角的正弦值．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PAD⊥底面ABCD，E，F分别为PA，BD中点，PA=PD=AD=2．（1）求证：EF∥平面PBC；（2）求二面角F﹣ED﹣P的正弦值；（3）在棱PC上是否存在一点G，使GF⊥平面EDF？若存在，指出点G的位置；若不存在，说明理由．21．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为√2的正方形，PA ⊥BD ． （Ⅰ）求证：PB=PD ；（Ⅱ）若E ，F 分别为PC ，AB 的中点，EF ⊥平面PCD ，求点B 到平面PCD 的距离．22．如图①所示，已知四边形SBCD 是由Rt SAB △和直角梯形ABCD 拼接而成的，其中AD DC ⊥，且点A 为线段SD 的中点，21,AD DC AB SD ===，现沿AB 进行翻折，使得二面角S AB C --的大小为90o，连接,SC SD ，得到的图形如图②所示，点E 、F 分别在线段SB 、SC 上.（1）证明：BD AF ⊥；（2）若三棱锥E ABC -的体积是四棱锥S ABCD -体积的25，求二面角E AC B --的余弦值.1. 【答案】A【解析】若l⊥m，l⊥n，则m与n可能平行，也可能相交或异面，即B、C都不正确；由l⊥m，m∥n，可得l⊥n，不一定有l⊥α，即D不正确；对A，可在l上取一点P，过P作mʹ∥m，则mʹ⊥l，mʹ与l确定一个平面β，β∩α=a，由l⊥α，得l⊥a，又mʹ，a，l同在平面β内，则由l⊥mʹ，l⊥a得mʹ∥a，于是m∥a，又m⊄α，所以m∥α．2.【答案】D【解析】由题意作图得故选D．3．【答案】A【解析】设球O的半径为r，由题意知S=4πr2=72π,r=3√2，△为等腰直角三角形，因为AB=AC=2，BC=2√2，易知ABCBC)2=8，故三棱柱的高ℎ=2√r2−(12×2×2×8=16.故这个直三棱柱的体积是V=12故选A.【名师点睛】对于求解球的组合体问题常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径.4.【答案】B【解析】因为P到△ABC三边所在直线的距离相等，所以O点到三边的距离相等，所以O为△ABC的内心．故选B．5．【答案】C【解析】：连B1C，由题意得BC1⊥B1C，因为A1B1⊥平面B1BCC1，且BC1⊂平面B1BCC1，所以A1B1⊥BC1，因为A1B1∩B1C=B1，所以BC1⊥平面A1ECB1，因为A1E⊂平面A1ECB1，所以A1E⊥BC1．故选C6．【答案】A【解析】画出图形，如图所示．连接AD1,B1D1，则AD1//BC1，所以∠B1AD1即为AB1与BC1所成的角或其补角．在∆B1AD1中，AB1=AD1=√6，B1D1=2，所以由余弦定理得cos∠B1AD1=6+6−42×6=23，所以异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为23．故选A．7.【答案】B【解析】由 PB ⊥α，AC ⊂α 得 PB ⊥AC ，又 AC ⊥PC ，PC ∩PB =P ，所以 AC ⊥平面PBC ，AC ⊥BC ，故选B ． 8【答案】D【解答】解：利用“三线交汇得顶点”的方法，该几何体位四棱锥P ﹣ABCD 如图所示，其中，正方体棱长为2， 所以最长棱为PC=2√3． 故选：D ．9．【答案】D【解析】将三棱锥Q ABC -补全为长方体，如图，则外接球的直径为2223534R =+=,所以342R =，故外接球的表面积为24π34πR =.【名师点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法：(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解．10.【答案】C【解答】解：扇形AOB 的半径为2，圆心角为90︒， 扇形AOB 绕OA 旋转一周，图中阴影部分绕OA 旋转一周所得几何体为：半径为2R =的半球去掉一个底面半径为2r =，高为2h =的圆锥，∴图中阴影部分绕OA 旋转一周所得几何体的体积为：3214182222333V πππ=⨯⨯-⨯⨯⨯=．故选：C ． 11.【答案】B【解答】解：由题意，原平面图形与斜二测画法得到的直观图的面积比为21:4，设OA x =，则直观图的面积为213()224x x x x +=g ， 2322324x ∴⨯=，∴2x =．故选：B ．12．【答案】A【解析】根据题意，当满足R 最大时，对应的球是四棱锥的内切球，根据条件可以求得该四棱锥的表面积为S =2×2+2×(12×2×2)+2×(12×2×2√2)=8+4√2， 而该四棱锥的体积为V =13×2×2×2=83，结合13SR =V ， 解得R =3×838+4√2=22+√2=2−√2.故选A.【名师点睛】该题考查的是有关几何体的内切球半径的求解问题，在解题的过程中，需要时刻关注各个量之间的关系，最关键的就是等量关系从哪里入手来寻找，即V =13S 表R 是解决该题的根本，注意对题的条件的转化和有效利用. 13.【答案】B【解答】解：在①中，AB 与CE 的夹角为45︒，∴直线AB 与平面CDE 不垂直，故①错误； 在②中，AB BC ⊥，AB CD ⊥，AB ∴⊥平面CDE ，故②正确；在③中，AB 与EC 的夹角为60︒，∴直线AB 与平面CDE 不垂直，故③错误； 在④中，AB DE ⊥，AB CE ⊥，AB ∴⊥平面CDE ，故④正确．故选：B ． 14.【答案】A【解答】证明：AB Q 是圆O 的直径90ACB ∴∠=︒即BC AC ⊥，三角形ABC 是直角三角形又PA ⊥Q 圆O 所在平面，PAC ∴∆，PAB ∆是直角三角形．且BC 在这个平面内， PA BC ∴⊥ 因此BC 垂直于平面PAC 中两条相交直线， BC ∴⊥平面PAC ，PBC ∴∆是直角三角形．从而PAB ∆，PAC ∆，ABC ∆，PBC ∆中，直角三角形的个数是：4． 故选：A ． 15.【答案】A【解答】解：当S 在经过AC 与球心的连线上时，由于：AC=√(4√2)2+(4√2)2=8，球心到AC 的中点的连线，d=√(3√2)2−42=√2， 所以：锥体的最大高度为：h=3√2+√2=4√2，所以：V=13⋅12⋅4√2⋅4√2⋅4√2=64√23．故选：A ．16．【答案】π3【解析】如图所示，P 为正三角形A 1B 1C 1的中心，设O 为ΔABC 的中心，由题意知：PO ⊥平面ABC ，连结OA ，则∠PAO 即为PA 与平面ABC 所成的角.由题易知OP 中点为外接球的球心，设三棱柱外接球的半径为r ， ∵7π=4πr 2，∴r 2=74， ∴AO 2+(OP 2)2=74.在正三角形ABC 中，AB =BC =AC =√3， ∴AO =√33×√3=1，∴PO =√3.∴tan∠PAO =POAO =√3， ∴∠PAO =π3.17．【答案】4π81【解析】如图所示，在长、宽、高分别为1,2,3的长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中， 三棱锥B 1−ABC 即为题中所给的四个面组成的三棱锥， 该三棱锥的体积：V =13×(12×1×2)×3=1，在△AB 1C 中，由勾股定理易得AC =√5,AB 1=√13,CB 1=√10， 由余弦定理可得：cos∠B 1CA =5+10−132√5×√10=√210， 则sin∠B 1CA =√1−(√210)2=7√210，故S △B 1CA =12×√5×√10×7√210=72，该三棱锥的表面积为：S =12×(1×2+1×3+2×3)+72=9， 设三棱锥B 1−ABC 内切球的半径为R ,则V =13SR ，即：1=13×9×R,∴R =13，该三棱锥B 1−ABC 内切球的体积为V =43πR 3=4π81.【名师点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.18.【解答】（Ⅰ）证明：∵点A 1，B 1，C 1在平面ABC 内的正投影分别为A ，B ，C ，∴AA 1∥BB 1∥CC 1，取A 1B 1中点F ，连接EF ，FC ，则EF ∥12A 1A ，EF=12A 1A ，∵AA 14，CC 1=2，∴CC 1∥12A 1A ，CC 1=12A 1A ，∴CC 1∥EF ，CC 1=EF ， ∴四边形EFC 1C 为平行四边形，∴CE ∥C 1F ，∵CE ⊄平面A 1B 1C 1，C 1F ⊂平面A 1B 1C 1，∴CE ∥平面A 1B 1C 1；（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，则A （2，0，0），C （0，2，0），B 1（0，0，4），C 1（0，2，2）， ∴AC →=（﹣2，2，0），CC 1→=（0，0，2），AB 1→=（﹣2，0，4），B 1C 1→=（0，2，﹣2）．设平面ACC 1的法向量为n →=（x ，y ，z ），则{−2x +2y =02z =0， 令x=1，则n →=（1，1，0）．同理可得平面AB 1C 1的法向量为m →=（2，1，1），∴cos ＜n →，m →＞=m →⋅n →|m →||n →|=√32．由图可知二面角B 1﹣AC 1﹣C 为钝角，∴二面角B 1﹣AC 1﹣C 的大小为150°．19.【解答】解：（1）证明：∵平面BDFE ⊥平面ABCD ，平面BDFE ∩平面ABCD=BD ，AC ⊂平面ABCD ，AC ⊥BD ， ∴AC ⊥平面BDFE ．又AC ⊂平面AFC ，∴平面AFC ⊥平面BDFE ．（2）设AC ∩BD=O ，∵四边形ABCD 为等腰梯形，AC ⊥BD ，AB=2CD=2√2，∴OD=OC=1，OB=OA=2，∵EF ∥OB 且EF=OB ，∴四边形FEBO 为平行四边形，∴OF ∥BE ，且OF=BE=2，又∵BE ⊥平面ABCD ，∴OF ⊥平面ABCD ．以O 为原点，向量OA →，OB →，OF →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B （0，2，0），D （0，﹣1，0），F （0，0，2），C （﹣1，0，0），∴DF →=（0，1，2），CD →=（1，﹣1，0），BF →=（0，﹣2，2），设平面DFC 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ），则有{n →⋅DF →=0n →⋅CD →=0，即{y +2z =0x −y =0，不妨设z=1，得x=y=﹣2．即n →=（﹣2，﹣2，1），于是cos ＜n →，BF →＞=n →⋅BF →|n →||BF →|=62√2×3=√22．设BF 与平面DFC 所成角为θ，则sin θ=|cos ＜n →，BF →＞|=√22．∴BF 与平面DFC 所成角的正弦值为√22．20.【解答】证明：（1）如图，连结AC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC 与BD 互相平分，又∵F 是BD 中点，F 是AC 中点，∴EF ∥PC ，又∵在△PAC 中，E 是PA 中点，F 是AC 中点， ∴EF ∥PC ，又∵EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，∴EF ∥平面PBC ．解：（2）取AD 中点O ，在△PAD 中，∵PA=PD ，∴PO ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD=AD ，∴PO ⊥平面ABCD ，∵OF ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥OF ，∵F 是AC 的中点，∴OF ⊥AD ，如图，以O 为原点，OA ，OF ，OP 分别为x ，y ，z 轴，|OA →|为单位长度建立空间直角坐标系，∵PA=PD=AD=2，∴OP=√3，则O （0，0，0），A （1，0，0），B （1，2，0），C （﹣1，2，0），D （﹣1，0，0），P （0，0，√3），E （12，0，√32），F （0，1，0）， ∴AB →=（0，2，0），DE →=（32，0，√32），DF →=（1，1，0）， ∵OF ⊥平面PAD ，∴OF →=（0，1，0）是平面PAD 的一个法向量，设平面EFD 的一个法向量是n →=（x ，y ，z ），则{n →⋅DF →=x +y =0n →⋅DE →=32x +√32y =0，取x=1，得n →=（1，﹣1，﹣√3）， ∴|cos ＜DF →，n →＞|=|OF →⋅n →||OF →|⋅|n →|=1√5=√55，∴二面角F ﹣ED ﹣P 的正弦值为：√1−(√55)2=2√55． （3）假设在棱PC 上存在一点G ，使得GF ⊥平面EDF ，设G （x 1，y 1，z 1），则FG →=（x 1，y 1﹣1，z 1），由（2）知平面EDF 的一个法向量n →=（1，﹣1，﹣√3），∵GF ⊥平面EDF ，∴设FG →=λn →=（λ，−λ，−√3λ），则x 1=λ，y 1=1−λ，z 1=−√3λ，∵点G 在棱PC 上，∴CG →与PC →共线，∵PC →=（﹣1，2，﹣√3），CG →=（x 1+1，y 1﹣2，z 1），∴x 1+2−1=y 1−22=z 1−√3，即1+λ−2=−λ−12=−√3λ−√3，无解，∴在棱PC 上不存在一点G ，使得GF ⊥平面EDF ．21.【解答】证明：（1）连接AC ，BD 交于点O ，连结PO ．解：（1）连接AC ，BD 交于点O ，连结PO ． ∵底面ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OB=OD ．又PA ⊥BD ，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，PA ∩AC=A ，∴BD ⊥平面PAC ，∵PO ⊂平面PAC ，∴BD ⊥PO ．又OB=OD ，∴PB=PD ．解：（2）设PD 的中点为Q ，连接AQ ，EQ ， 则EQ ∥CD ，EQ=12CD ，又AF ∥CD ，AF=12AB=12CD ，∴EQ ∥AF ，EQ=AF ，∴四边形AQEF 为平行四边形，∴EF ∥AQ ，∵EF ⊥平面PCD ，∴AQ ⊥平面PCD ，∴AQ ⊥PD ，∵Q 是PD 的中点，∴AP=AD=√2．∵AQ ⊥平面PCD ，∴AQ ⊥CD ，又AD ⊥CD ，AQ ∩AD=A ，∴CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA ．又BD ⊥PA ，BD ∩CD=D ，∴PA ⊥平面ABCD ．以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B （√2，0，0），P （0，0，√2），A （0，0，0），Q （0，√22，√22），∵AQ ⊥平面PCD ，∴AQ →=（0，√22，√22）为平面PCD 的一个法向量．∴PB →=（﹣√2，0，√2），∴点B 到平面PCD 的距离：d=|PB →⋅AQ →||AQ →|=1√12+12=1．22．【解析】（1）因为二面角S AB C --的大小为90o ，且SA AB ⊥，平面SAB I 平面ABCD AB =，所以SA ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以SA BD ⊥；在直角梯形ABCD 中，90BAD ADC ∠=∠=o ，21AD CD ==，2AB =， 所以1tan tan 2ABD CAD ∠=∠=，即ABD CAD ∠=∠. 又90CAD BAC ∠+∠=o ，所以90ABD BAC ∠+∠=o ，即AC BD ⊥；又AC SA A =I ，所以BD ⊥平面SAC ，因为AF ⊂平面SAC ，所以BD AF ⊥.（2）如图，分别以,,AD AB AS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,0)A ，(0,0,1)S ，(0,2,0)B ，1(1,,0)2C ，(1,0,0)D .设三棱锥E ABC -的高为h ，因为25E ABC S ABCD V V --=，所以511215321122132ABCD S ABCDE ABC ABC S SA V V S h h --⨯⋅⨯===⋅⨯⨯⨯四边形△， 故12h =， 故E 为SB 中点，即1(0,1,)2E .设平面EAC 的法向量为(,,)x y z =m ， 又1(1,,0)2AC =u u u r ，1(0,1,)2AE =u u u r ， 由0,0,AC AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r m m 得10,210,2x y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩取2y =-，得平面EAC 的一个法向量为(1,2,4)=-m ，又(0,0,1)AS ==u u u r n 是平面ABCD 的一个法向量， 所以421cos ,||||21⋅==⋅m n m n m n ， 由图可知二面角E AC B --为锐角，所以二面角E AC B --的余弦值为42121.。

回扣3 三角函数、平面对量1．精确 记忆六组诱导公式对于“k π2±α，k ∈Z ”的三角函数值，与α角的三角函数值的关系可按口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限．2．同角三角函数的基本关系式 sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α(cos α≠0)． 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.(4)a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝ba )．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α.(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.5．三种三角函数的性质函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象单调性在[－π2＋2k π，π2＋2k π] (k ∈Z )上单调递增；在[π2＋2k π，3π2＋2k π] (k ∈Z )上单调递减 在[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上单调递增；在[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上单调递减在(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )上单调递增对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝π2＋k π (k ∈Z ) 对称中心：(π2＋k π，0)(k ∈Z )；对称轴：x ＝k π(k ∈Z )对称中心：(k π2，0)(k ∈Z )6.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，A >0)的图象 (1)“五点法”作图：设z ＝ωx ＋φ，令z ＝0，π2，π，3π2，2π，求出相应的x 的值与y 的值，描点、连线可得．(2)由三角函数的图象确定解析式时，一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口． (3)图象变换： y ＝sin x――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)错误!y ＝sin(ωx ＋φ)――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．7．正弦定理及其变形a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C . 8．余弦定理及其推论、变形a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .推论：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 9．面积公式S △ABC ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C .10．解三角形(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解．(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的状况可能不唯一． (3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解． (4)已知三边，利用余弦定理求解． 11．平面对量的数量积(1)若a ，b 为非零向量，夹角为θ，则a·b ＝|a||b |cos θ. (2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.12．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 13．利用数量积求长度(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 14．利用数量积求夹角若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b|a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.15．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A .(2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0.1．利用同角三角函数的平方关系式求值时，不要忽视角的范围，要先推断函数值的符号． 2．在求三角函数的值域(或最值)时，不要忽视x 的取值范围．3．求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要留意A 与ω的符号，当ω<0时，需把ω的符号化为正值后求解．4．三角函数图象变换中，留意由y ＝sin ωx 的图象变换得y ＝sin(ωx ＋φ)时，平移量为⎪⎪⎪⎪φω，而不是φ. 5．在已知两边和其中一边的对角时，要留意检验解是否满足“大边对大角”，避开增解．6．要特殊留意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意非零向量平行． 7．a·b >0是〈a ，b 〉为锐角的必要不充分条件； a·b <0是〈a ，b 〉为钝角的必要不充分条件．1． 2sin 45°cos 15°－sin 30°的值等于________． 答案32解析 2sin 45°cos 15°－sin 30°＝2sin 45°cos 15°－sin(45°－15°)＝2sin 45°cos 15°－(sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°)＝sin 45°cos 15°＋cos 45°sin 15°＝sin 60°＝32. 2．要得到函数y ＝sin 2x 的图象，可由函数y ＝cos(2x －π3)向________平移________个单位长度．答案 右π12解析 由于函数y ＝sin 2x ＝cos(π2－2x )＝cos(2x －π2)＝cos[2(x －π12)－π3]，所以可由函数y ＝cos(2x －π3)向右平移π12个单位长度得到函数y ＝sin 2x 的图象． 3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________．答案332解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，① ∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ，②由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.4．(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)的值是________．答案 2解析 由题意得，tan(18°＋27°)＝tan 18°＋tan 27°1－tan 18°tan 27°，即tan 18°＋tan 27°1－tan 18°tan 27°＝1，所以tan 18°＋tan 27°＝1－tan 18°tan 27°，所以(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝2.5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的外形为________三角形． 答案 直角解析 ∵b cos C ＋c cos B ＝a sin A ， ∴sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，∴sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝1，∴A ＝π2，三角形为直角三角形．6．(2022·天津)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连结DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为________． 答案 18解析 如图，由条件可知BC →＝AC →－AB →， AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →， 所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·(12AB →＋34AC →)＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2. 由于△ABC 是边长为1的等边三角形， 所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°， 所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.7．已知a ，b 为同一平面内的两个向量，且a ＝(1,2)，|b |＝12|a |，若a ＋2b 与2a －b 垂直，则a 与b 的夹角为________． 答案 π解析 |b |＝12|a |＝52，而(a ＋2b )·(2a －b )＝0⇒2a 2－2b 2＋3a·b ＝0⇒a·b ＝－52，从而cos 〈a ，b 〉＝a·b|a|·|b |＝－1，〈a ，b 〉＝π.8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 有下列命题： ①若A >B >C ，则sin A >sin B >sin C ；②若cos A a ＝cos B b ＝cos Cc ，则△ABC 为等边三角形；③若sin 2A ＝sin 2B ，则△ABC 为等腰三角形； ④若(1＋tan A )(1＋tan B )＝2，则△ABC 为钝角三角形； ⑤存在A ，B ，C 使得tan A tan B tan C <tan A ＋tan B ＋tan C 成立． 其中正确的命题为________．(写出全部正确命题的序号)答案 ①②④解析 若A >B >C ，则a >b >c ⇒sin A >sin B >sin C ； 若cos A a ＝cos B b ＝cos C c ，则cos A sin A ＝cos Bsin B⇒sin(A －B )＝0⇒A ＝B ⇒a ＝b ，同理可得a ＝c ，所以△ABC 为等边三角形；若sin 2A ＝sin 2B ，则2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，因此△ABC 为等腰或直角三角形；若(1＋tan A )(1＋tan B )＝2，则tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B ，因此tan(A ＋B )＝1⇒C ＝3π4，△ABC 为钝角三角形；在△ABC 中，tan A tanB tanC ＝tan A ＋tan B ＋tan C 恒成立，因此正确的命题为①②④.9．若△ABC 的三边a ，b ，c 及面积S 满足S ＝a 2－(b －c )2，则sin A ＝________. 答案817解析 由余弦定理得S ＝a 2－(b －c )2＝2bc －2bc cos A ＝12bc sin A ，所以sin A ＋4cos A ＝4，由sin 2A ＋cos 2A ＝1，解得sin 2A ＋(1－sin A 4)2＝1，sin A ＝817(0舍去)．10．若tan θ＝3，则cos 2θ＋sin θcos θ＝________. 答案 25解析 ∵tan θ＝3， ∴cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θtan 2θ＋1＝1＋332＋1＝25.11．已知单位向量a ，b ，c ，且a ⊥b ，若c ＝t a ＋(1－t )b ，则实数t 的值为________． 答案 1或0解析 c ＝t a ＋(1－t )b ⇒c 2＝t 2＋(1－t )2＝|c |2＝1⇒t ＝0或t ＝1.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b cos A ＝(2c ＋a )cos(A ＋C )． (1)求角B 的大小；(2)求函数f (x )＝2sin 2x ＋sin(2x －B )(x ∈R )的最大值． 解 (1)由已知，b cos A ＝(2c ＋a )cos(π－B )， 即sin B cos A ＝－(2sin C ＋sin A )cos B ， 即sin(A ＋B )＝－2sin C cos B ， 则sin C ＝－2sin C cos B ，∴cos B ＝－12，即B ＝2π3.(2)f (x )＝2sin 2x ＋sin 2x cos2π3－cos 2x sin 2π3＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin(2x －π6)， 当2x －π6＝π2＋2k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值，即x ＝π3＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值 3.13．已知函数f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且锐角A 满足f (A )＝1，b ＝2，c ＝3，求a 的值． 解 (1)f (x )＝2sin x cos x －2cos 2x ＋1 ＝sin 2x －cos 2x ＝2sin(2x －π4)，所以f (x )的最小正周期为π.由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，所以f (x )的单调增区间为[k π－π8，k π＋3π8](k ∈Z )．(2)由题意知f (A )＝2sin(2A －π4)＝1，sin(2A －π4)＝22，又∵A 是锐角，∴2A －π4＝π4，∴A ＝π4，由余弦定理得a 2＝2＋9－2×2×3×cos π4＝5，∴a ＝ 5.。

高三数学考试抢分技巧讲解在人类历史进展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，查字典数学网为大伙儿举荐了高三数学考试抢分技巧，请大伙儿认真阅读，期望你喜爱。

1.特值检验法关于具有一样性的数学问题，我们在解题过程中，能够将问题专门化，利用问题在某一专门情形下不真，则它在一样情形下不真这一原理，达到去伪存确实目的。

例：△ABC的三个顶点在椭圆4x2+5y2=6上，其中A、B两点关于原点O对称，设直线AC的斜率k1，直线BC的斜率k2，则k1k2的值为A.-5/4B.-4/5C.4/5D.2√5/5解析：因为要求k1k2的值，由题干暗示可明白k1k2的值为定值。

题中没有给定A、B、C三点的具体位置，因为是选择题，我们没有必要去求解，通过简单的画图，就可取最容易运算的值，不妨令A、B分别为椭圆的长轴上的两个顶点，C为椭圆的短轴上的一个顶点，如此直截了当确认交点，可将问题简单化，由此可得，故选B。

2.极端性原则将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。

极端性多数应用在求极值、取值范畴、解析几何上面，专门多运算步骤繁琐、运算量大的题，一但采纳极端性去分析，那么就能瞬时解决问题。

3.剔除法利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。

这是一种常用的方法，专门是答案为定值，或者有数值范畴时，取专门点代入验证即可排除。

4.数形结合法由题目条件，作出符合题意的图形或图象，借助图形或图象的直观性，通过简单的推理或运算，从而得出答案的方法。

数形结合的好处确实是直观，甚至能够用量角尺直截了当量出结果来。

5.递推归纳法通过题目条件进行推理，查找规律，从而归纳出正确答案的方法。

6.顺推破解法利用数学定理、公式、法则、定义和题意，通过直截了当演算推理得出结果的方法。

7.逆推验证法将选择支代入题干进行验证，从而否定错误选择支而得出正确选择支的方法。

高中数学抢分小技巧大放送！数学想在不会的情况下再多拿一些分，还需要在大题上多拿分● 大题文科第一题一般是三角函数题，第一步一般都是需要将三角函数化简成标准形式Asin(wx+fai)+c，接下来按题做就行了，注意二倍角的降幂作用以及辅助角(合一)公式，周期公式，对称轴、对称中心、单调区间、最大值、最小值都是用整体法求解。

求最值时通过自变量的范围推到里面整体u=wx+fai的范围，然后可以直接画sinu的图像，避免画平移的图像。

这部分题还有一种就是解三角形的问题，运用正弦定理、余弦定理、面积公式，通常有两个方向，即角化成边和边化成角，得根据具体问题具体分析哪个方便一些，遇到复杂的题就把未知量列成未知数，根据定理列方程组，然后解方程组即可。

● 理科如果考数列题的话，注意等差、等比数列通项公式、前n项和公式;证明数列是等差或等比直接用定义法(后项减前项为常数/后项比前项为常数)，求数列通项公式，如为等差或等比直接代公式即可，其它的一般注意类型采用不同的方法(已知Sn求an、已知Sn与an关系求an(前两种都是利用an=Sn-Sn-1，注意讨论n=1、n>;1)，累加法、累乘法、构造法(所求数列本身不是等差或等比，需要将所求数列适当变形构造成新数列lamt，通过构造一个新数列使其为等差或等比，便可求其通项，再间接求出所求数列通项);数列的求和第一步要注意通项公式的形式，然后选择合适的方法(直接法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等)进行求解。

如有其它问题，注意放缩法证明，还有就是数列可以看成一个以n为自变量的函数。

● 第二题是立体几何题，证明题注意各种证明类型的方法(判定定理、性质定理)，注意引辅助线，一般都是对角线、中点、成比例的点、等腰等边三角形中点等等，理科其实证明不出来直接用向量法也是可以的。

计算题主要是体积，注意将字母换位(等体积法);线面距离用等体积法。

理科还有求二面角、线面角等，用建立空间坐标系的方法(向量法)比较简单，注意各个点的坐标的计算，不要算错。