《偏微分方程数值解法》试题
（专业：凝聚态物理 学号：2013201260 姓名：鄢建军）
1. 考虑定解问题
（1） 用迎风格式（P.45）求解01,0(,0)0,0t x u u x u x x +=⎧⎪≤⎧⎨=⎨⎪>⎩⎩
。
利用迎风格式编写Fortran 程序语言，运行结果如下：
Fig1.迎风格式求解结果
（2） 用Beam-Warming 格式（P.51）求解。
利用Beam —Warming 格式编写Fortran 程序语言，运行结果如下：
Fig 2. Beam —Warming 格式求解结果
（3） 比较两种方法结果的异同。
将两种格式运行的结果绘制在一起，要求时间步长和空间步长在两种格式中都相同，运行结果如下图所示：
Fig 3. 迎风格式和Beam-Warming 格式求解结果比较
从两种格式的运行结果来看，都存在边缘的误差现象，相比而言，Beam-Warming 格式的运行结果差一些。但是理论上分析，迎风格式的截断误差为()h οτ+，而Beam-Warming 格式的截断误差为22()h h οττ++。稳定性上来分析，迎风格式的稳定性较好，要求1(/)a h λλτ≤=，Beam-Warming 格式的稳定性条件为2(/)a h λλτ≤=。
2. 考虑定解问题2121110,04(,0)sin ,0(0,)(,)0u u a x l t t u x x x l l u t u l t π⎧∂∂-=<<⎪∂∂⎪⎪=<<⎨⎪⎪==⎪⎩
实际计算时，取下列参数：a=1；1l =2.计算进行到合适的时刻为止。要求：
（1） 用加权隐式格式（P.83）求解该问题，研究不同θ值对解的影响。
用加权隐式格式求解该问题，研究不同θ值对解的影响。采用的差分格式为
12212[(1)]0n n j j
n
n x j x j u u a u u h
θδθδτ++---+=，
其截断误差为：2221(),21(),2o h o h τθτθ⎧+≠⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，稳定性条件为：112,(0),1221,(1).2
a λθθθ⎧≤≤<⎪⎪-⎨⎪≤≤⎪⎩绝对稳定 当θ取不同值，得出的结果不同。当θ=0.1，0.3，05，0.7，0.9时，得出的结果如下如所示：
Fig 4. 不同的θ值对结果影响
从运行结果来看，取不同的θ时，图像的周期性没有发生改变，在节点处的值都相同；当θ变大时，图像的振幅变大，u 在峰值处越接近于1。
（2） 针对所得研究结果，写一封报告。
研究报告 分析上述定解问题，为抛物型的常系数扩散方程，初始条件为
1
4(,0)sin u x x l π=，其中10x l <<，边界条件为1(0,)(,)0u t u l t ==，由于题目中给出了1l =2，所以边界条件可以化为(0,)(2,)0u t u t ==。解决此种问题可以采用多种方法进行求解，如：向前差分格式，向后差分格式，加权隐式格式，三层显式格式，三层隐式格式，三层CN 格式，跳点格式和预测校正格式等，采用不同的方法，所产生的截断误差不同，同时，稳定性条件和相容性条件也有所不同。
在这里，我采用了加权隐式格式求解次问题，这种格式的截断误差为：
2221(),21(),2o h o h τθτθ⎧+≠⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，稳定性条件为：112,(0),1221,(1).2
a λθθθ⎧≤≤<⎪⎪-⎨⎪≤≤⎪⎩绝对稳定。由于在这种格式中，当1=2
θ时，加权隐式格式变为CN 格式，即CN 格式是加权隐式格式的特例。为了研究方便，分别取不同的θ值，为0.1，0.3，0.5，0.7，0.9。根据稳定性条件，当=0.5θ，=0.7θ和=0.9θ时，格式是绝对稳定的。
初始条件进行分析，应该是周期为1的正弦方程，所绘制的图形应该是两个周期。与图4进行对比，发现实验结果与理论结果相符。对边界条件进行分析，在两端点处u=0，此结果也与实验结果相符合。
对不同的θ，实验结果也不同。当θ越小时，问题的解偏离真实值越大，误差越大；当θ越接近与1时，问题的解与实验结果符合的很好。因此，可以通过调节θ的值来调节实验结果，使之能最大程度的符合理论结果。
所以，利用加权隐式这种格式可以很好地对抛物型的扩散问题进行求解。
