1、直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1 求函数y = 的值域
解：x ≠0 ，≠0
显然函数的值域是：（-∞，0 ）∪（0 ，+∞）。
例2 求函数y = 3 - 的值域。
解：≥0 - ≤0 3- ≤3
故函数的值域是：[ -∞，3 ]
2 、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3 、求函数y= -2x+5，x [-1，2]的值域。
解：将函数配方得：y=（x-1）+4，x [-1，2]，由二次函数的性质可知：
当x = 1时，y = 4
当x = - 1，时= 8
故函数的值域是：[ 4 ，8 ]
3 、判别式法
例4 求函数y = 的值域。
解：原函数化为关x的一元二次方程（y-1 ) +（y - 1 ）x= 0
（1）当y≠1时，x R ,△= (-1) -4(y-1)(y-1) ≥0
解得：≤y≤
（2）当y=1，时，x = 0,而1 [ , ]
故函数的值域为[ ，]
例5 求函数y=x+ 的值域。
解：两边平方整理得：2 -2（y+1）x+y =0 （1）
x R，△=4（y+1）-8y≥0
解得：1- ≤y≤1+
但此时的函数的定义域由x（2-x）≥0，得：0≤x≤2。
由△≥0，仅保证关于x的方程：2 -2（y+1）x+y =0在实数集R有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由△≥0求出的范围可能比y的实际范围大，故不能确定此函数的值域为[ ，]。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
0≤x≤2，y=x+ ≥0，
=0，y=1+ 代入方程（1），解得：= [0，2]，即当= 时，原函数的值域为：[0，1+ ]。注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4、反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6 求函数y= 值域。
解：由原函数式可得：x =
则其反函数为：y =
其定义域为：x ≠
故所求函数的值域为：（- ∞，）
5 、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例7 求函数y = 的值域。
解：由原函数式可得：=
＞0，＞0
解得：- 1＜y＜1。
故所求函数的值域为( - 1 , 1 ) .
例8 求函数y = 的值域。
解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y
可化为：sinx（x+β）=3y
即sinx（x+β）=
∵x∈R，∴sinx（x+β）∈[-1，1]。即-1≤ ≤1
解得：- ≤y≤ 故函数的值域为[- ，]。
6 、函数单调性法
例9 求函数y = （2≤x≤10）的值域
解：令y = ，= ，则y ，在[ 2，10 ]上都是增函数。
所以y= y + 在[ 2 ，10 ]上是增函数。
当x = 2 时，y = + = ，
当x = 10 时，= + =33。
故所求函数的值域为：[ ，33]。
例10 求函数y= - 的值域。
解：原函数可化为：y=
令y = ，= ，显然y ，在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y= y + 在[1，+∞）上也为无上界的增函数。所以当x = 1时，y=y + 有最小值，原函数有最大值= 。
显然y＞0，故原函数的值域为( 0 , ]。
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11 求函数y = x + 的值域。
解：令x-1=t，（t≥0）则x= +1
∵y= +t+1= + ，又t≥0，由二次函数的性质可知
当t=0时，y = 1，当t →0时，y →+∞。
故函数的值域为[ 1 ，+∞）。
例12 求函数y =x+2+ 的值域
解：因1- ≥0 ，即≤1
故可令x+1=cosβ，β∈[ 0 ，∏] 。
∴y=cosβ+1+ =sinβ+cosβ+1 = sin（β+∏/ 4 ）+1
∵0≤β≤∏，0 ≤β+∏/4≤5∏/4
∴- ≤sin（β+∏/4）≤1
∴0 ≤ s in（β+∏/4）+1≤1+ 。
故所求函数的值域为[0，1+ ]。
例13 求函数y= 的值域
解：原函数可变形为：y=-
可令x=tgβ，则有=sin2β，=cos2β
∴y=- sin2β cos2β= - sin4β
当β= k∏/2-∏/8时，= 。
当β= k∏/2+∏/8时，y = -
而此时tgβ有意义。
故所求函数的值域为[- ，] 。
例14 求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x∈[-∏/12∏/2]的值域。
解：y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1
令sinx+cosx=t，则sinxcosx= （-1）
y = （-1）+t+1=
由t=sinx+cosx= sin（x+∏/4）且x∈[- ∏/12，∏/2]
可得：≤t≤
∴当t= 时，= + ，当t= 时，y= +
故所求函数的值域为[ + ，+ ] 。
例15 求函数y=x+4+ 的值域
解：由5-x≥0 ，可得∣x∣≤
故可令x = cosβ，β∈[0，∏]
y= cosβ+4+ sinβ= sin（β+∏/4）+ 4
∵0 ≤β≤∏，∴∏/4≤β+∏/4≤5∏/4
当β=∏/4时，=4+ ，当β=∏时，y =4- 。
故所求函数的值域为：[4- ，4+ ]。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例16 求函数y= + 的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点P（x ）到定点A（2 ），B（- 8 ）间的距离之和。
由上图可知：当点P在线段AB上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10
当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，
y=∣x-2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10
故所求函数的值域为：[10，+∞）
例17 求函数y= + 的值域
解：原函数可变形为：y= +
上式可看成x轴上的点P（x，0）到两定点A（3，2），B（-2 ，-1 ）的距离之和，
由图可知当点P为线段与x轴的交点时，y =∣AB ∣= = ，
