第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
1．正弦定理
在ABC△中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即____________．正弦定理对任意三角形都成立．
2．解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的____________．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________．
K知识参考答案：
1．sinsinsinabc==ABC 2．元素 解三角形
K—重点 正弦定理的变形和推广、正弦定理在解三角形中的应用
K—难点 三角形解的个数的探究、三角形形状的判断
K—易错 解三角形时要明确角的取值范围，同时注意对角的讨论
正弦定理的常见变形及推广
（1）sinsinsin,,,sinsin,sinsin,sinsinsinsinsinAaCcBbaBbAaCcAbCcBBbAaCc．
（2）sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinabcabacbcabcABCABACBCABC．
（3）::sin:sin:sinabcABC．
（4）正弦定理的推广：2sinsinsinabcRABC，其中R为ABC△外接圆的半径．
（1）已知△ABC中，sin:sin:sin=1:2:3ABC，则a:b:c=_____________；
（2）已知△ABC中，A=60，3a，则++sin+sin+sinabcABC=_____________．
【答案】（1）1:2:3；（2）2．
【解析】（1）根据正弦定理的变形，可得=sin:sin:sin=1:2:3a:b:cABC．
（2）方法1：设=sinsinabAB==(>0)sinckkC，则有sinsinsinakAbkBckC，，，
1
高中数学 1.1 正弦定理和余弦定理学案
新人教A版必修5
学习目标
1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；
2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．
学习重难点
1. 重点：正、余弦定理内容
2. 难点：已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时的讨论
一、知识链接
问题1：在解三角形时，已知三边求角，用 定理；
已知两边和夹角，求第三边，用 定理；已知两角和一边，用 定理．
问题2：在△ABC中，已知 A＝6，a＝252，b＝502，解此三角形．
二、试一试
探究1：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.
① A＝6，a＝25，b＝502；② A＝6，a＝5063，b＝502；③ A＝6，a＝50，b＝502.
思考：解的个数情况为何会发生变化？
探究2：用如下图示分析解的情况（A为锐角时）．
babababaa已知边a,b和A仅有一个解有两个解仅有一个解无解abCH=bsinA
试试：
1. 用图示分析（A为直角时）解的情况？ 2．用图示分析（A为钝角时）解的情况？
2
※ 模仿练习
例1. 在ABC中，已知80a，100b，45A，试判断此三角形的解的情况．
变式：在ABC中，若1a，12c，40C，则符合题意的b的值有_____个．
例2. 在ABC中，60A，1b，2c，求sinsinsinabcABC的值．
变式：在ABC中，若55a，16b，且1sin22032abC，求角C．
三、总结提升
※ 学习小结
1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；
2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；
3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；
4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、
第 3 页 高中数学人教A版必修5《113正、余弦定理》课件.ppt
1、复习目标：1、进一步熟识正余弦定理内容;2、能够应用正余弦定理进行边角关系的互相转化;3、能够利用正余弦定理推断三角形的样子;4、能够利用正余弦定理证明三角形中的三角恒等式。复习重点：利用正余弦定理进行边角互换难点：1、利用正余弦定理进行边角互换时的转化方向2、三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求。正、余弦定理复习回顾正弦定理：可以解决几类有关三角形的问题?〔1〕已知两角和任一边。AAS〔2〕已知两边和一边的对角。SSA变形：〔1〕已知三边求三个角；〔SSS〕〔2〕已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.(SAS)余弦定理的作用〔3〕推断三角形的样子，求三角形
2、的面积a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC解三角形中常用的关系式:DCBA12角平分线性质DCBA圆内接四边形对角互补由余弦定理易得:三角形面积计算公式cbaABCcbaaab练习题圆半径A2、在△ABC中，bcosA=acosB,则三角形为A、直角三角形B、锐角三角形C、等腰三角形D、等边三角形C3、在△ABC中，若a=6,b=7,c=8,则△ABC的样子是A、锐角三角形B、钝角三角形C、直角三角形D、无法确定A4、在△ABC中，以下命题正确的选项是C、若a=7,b=6,c=10,则C为锐角D、满足a=18,b=20
3、,A=150o的△ABC肯定不存在5、在△ABC中，cosAcosBsinAsinB,则△ABC为A、等边三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等腰三 第 4 页 角形或直角三角形C〔事实上，C为钝角，只有C项适合〕D6、在△ABC中，sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C,则A等于A、30oB、60oC、120oD、150oA、等边三角形B、直角三角形C、等腰三角形D、等腰三角形或直角三角形DC等腰三角形10、在△ABC中，A、B均为锐角，且cosAsinB,则△ABC是_______________钝角三角形等腰三角形锐例2、已知圆内接四边形ABCD的边
一：基础知识理解
1． 正弦定理
分类
定理
变形
公式
解决的
问题
2．余弦定理
分类
定理
变形
公式 精品文档
正弦定理和余弦定理
内容 a ＝ b ＝ c ＝ 2R(R 是△ ABC 外接圆的半径 )
sin A sin B sin C
① a＝ 2Rsin_A， b＝2Rsin_B， c＝ 2Rsin_C，
② sin A∶ sin B∶sin C＝ a∶ b∶c，
③ sin A＝ a ， sin B＝ b ， sin C＝ c
2R2R2R
①已知两角和任一边，求其他两边和另一角，
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角
内容
在△ ABC 中，有 a2＝ b2＋c2－ 2bccos_A；
b2＝ a2＋ c2－ 2accos_B； c2＝ a2＋ b2－ 2abcos_C
cos A＝ b2 ＋c2 －a2 a2 ＋c2－ b2
； cos B＝ ；
2bc 2ac
cos C＝ a2＋ b2－ c2
2ab
解决的 ①已知三边，求各角；
问题 ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
3．三角形中常用的面积公式
1
(1)S＝ 2ah(h 表示边 a 上的高 )；
1 1 1
(2)S＝ 2bcsin A＝ 2acsin B＝ 2absin C； 1
(3)S＝ 2r(a＋ b＋ c)(r 为三角形的内切圆半径 )．
二：基础知识应用演练
1． (2012 广·东高考 )在△ ABC 中，若∠ A＝60°，∠ B＝ 45°，BC ＝3 2，则 AC＝ ( )
A．4 3 B．2 3
3
C. 3 D. 2
2．在△ ABC 中， a＝ 3， b＝ 1， c＝ 2，则 A 等于 ()
A ．30° B． 45°
C．60° D． 75°
