大学物理之牛顿定律的应用
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F mg f mg kv =--=--
(1) 根据牛顿第二定律可得
d d v mg kv ma m
t
--== d()
d d mg kv m v m t mg kv k mg kv
+=-
=-
++ 积分得：
00d()
d v mg kv m k mg kv
+=-
+⎰
⎰t
t 0
0ln()ln
v mg kv m m t mg kv k k mg
+=-
+= (2) 根据牛顿第二定律可得 d d v
mg kv ma m t
--== 由d d x v t =
得d d x t v = 故 d d mv v mg kv x
--= ()d d d()d d d mg kv v mg v mg mg kv mv v m m x v mg kv k mg kv k k mg kv ⎡
⎤+-+=-
=-=--⎢⎥+++⎣⎦
000
d()d d x
v mg mg kv m x v k k mg kv ⎡⎤+=--⎢⎥+⎣⎦
⎰⎰ []022000220
ln(ln v m g m g mg m m
x v mg kv v k k k k mg kv =++=++
f x
O
例2 如图摆长为l 的圆锥摆，细绳一端固定在天花板上，另一端悬挂质量为m 的小球，小球经推动后，在水平面内绕通过圆心O 的铅直轴作角速度为ω的匀速率圆周运动．
问绳和铅直方向所成的角度θ为多少？空气阻力不计．
解：+= T F P ma θωθ⎧==⎨
-=⎩2T n T
sin cos 0F ma m r
F G 另有θ=sin r l
θ⎧=⎨
=⎩2T T
cos F m ωl
F G
θωω=
=
22cos mg g
m l l
=2arccos g
θωl
ω越大，θ也越大。
例3 如图长为l 的轻绳，一端系着为m 的小球，另一端系于定点O ，0t =时小球位于最
低位置，并具有水平速度0v
，求小球在任意位置的速率及绳的张力。
【解】：对小球进行受力分析，并由牛顿第二定律，得
cos sin T n t F mg ma mg ma θθ-= ⎧⎨
-= ⎩
①
② 其中 2n v a l = ，t dv a dt
=
由②得
③
sin sin v dv
g vdv gl d l d θθθ
θ
-= ⇒ =-⇒
sin v
v vdv gl d θ
θθ=-⎰
⎰
v sin dv mg m dt θ-=
02220011cos ()(cos cos0)22
v
v v gl v v gl θθθ=⇒-=- ⇒
v =222
00
2(cos 1)cos cos (23cos )T v gl v v F mg m mg m m g g l l l
θθθθ+-=+=+=-+
【解题思路】：
A. 处理一般曲线运动的动力学问题，首先要根据受力分析由牛顿第二定律列出列出切向和
法向的两个方程。
B. 题目要解决的是速率/受力与位置θ的关系，与时间无关，所以时间t 只能作为求解过
程的过渡变量，最终结果不能含有t 。
所以找出t 与θ的关系l
dt d v
θ=非常重要。
C. 一般积分形式
2
2
1
1
()()x y x y f x dx g y dy =⎰
⎰，本题已知条件0θ=时0v v =，所以求位置θ
时小球速率v ，自然就联想到找出v 和θ形如()()f v dv g d
θθ=的这种关系，这里 sin vdv gl d θθ =-和0
sin v
v vdv gl d θ
θθ=-⎰⎰（其中()f v v =，()sin g gl θθ =-）。
D. 圆周运动经常要用到弧长公式l r θ=（r 是半径，θ是弧对应的圆心角），本题的思路
是取极小的一段弧ds （元弧，微分思想），因为ds 极小所以可以认为v 不变化（匀速），所以有ds vdt =，而根据弧长公式知道ds ld θ= ，这样就为去掉过渡变量t 找到了非
常重要的一个关系l
dt d v
θ=。
代入③式消去dt 就得到关系()()f v dv g d θθ=了。
E. 本题用到了微分和积分的思想，这是大学物理解决问题的基本思想之一。
要通过做题加
深理解，认真总结。
例4 设空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比，
即r F kv =-
，k 为比例系数，抛体的质量为m 、初度为0v 、抛射角为α，求物体运动的轨迹方程。
【分析】：（1）由()
()x x t y y t =⎧⎨
=⎩
后消去t 即可得到轨
迹方程()y f x = ，而()
()x x t y y t =⎧⎨=⎩可由x y dx v dt dy v dt =⎧⎨=⎩
对时间t 积分得到。
所以本题思路是先得
到x v ，y v 与时间t 的函数关系，再根据题设条件找出积分区间将()x v t 和()y v t 对t 积分。
（2）善于从题目条件找出积分区间，并熟练掌握常用积分公式。
【解】：取如图所示的Oxy 平面坐标系
x x y y
dv m kv dt
dv
m mg kv dt
⎧=- ⎪⎪⎨⎪=-- ⎪⎩①②
变形得
x x
y
y
dv k dt v m kdv
k dt mg kv m ⎧=- ⎪⎪⎨⎪=- ⎪+⎩③④ 由③得 0000ln ln ln x x
kt v t m x x x x x v k kt
v t v v v v e m m
-=- ⇒-=-⇒=
由④得
00000ln()
ln()ln()ln
()y y
v t
y v y y y y
kt y y k mg kv t m
kt mg kv mg kv m
mg kv kt mg kv m
mg mg
v v e k k
-+=-
⇒+-+=-
+⇒=-
+⇒=+-
由题设条件知0t =时，0000cos sin x y v v v v αα=⎧⎨=⎩ ，代入得 00cos (sin )kt
m
x kt
m y v v e
mg mg v v e k k αα--⎧=⎪⎨⎪=+-⎩
由x y dx v dt dy v dt =⎧⎨=⎩
积分并代入初始条件000
0x y =⎧⎨=⎩ 得
00
cos (1)(sin )(1)kt
m kt
m m
x v e k mg mg m y v e t k k k αα--⎧=- ⎪⎪⎨⎪=+-- ⎪⎩
⑤⑥
由⑤⑥消去t 得抛体轨迹方程 20200(sin )ln(1)cos cos mg m g kx
y v x kv k mv ααα
=+
+- 【注意】：由⑤⑥消去t 的技巧 --- 由⑤得到1kt m
e --和t ，再分别代入⑥的前后两项即可。
例5 一质量m ，半径r 的球体在水中静止释放沉入水底。
已知阻力6r F r v πη=-，η为粘滞系数，求()v t 。
【解】：取坐标如图，由牛顿第二定律
6B mg F r v ma πη--=
为计算方便，先简化常数项，令0B F mg F =-，6b r πη=，则
0dv
F bv m dt
-=
⇒
0()dv b F
v dt m b =--⇒ 0dv b dt F m v b
=-- ⇒000v t dv b dt F m v b =--⎰⎰⇒000ln()v
t F b v t b m -=-⇒0
ln F v bt b F m b
-
=-- ⇒0
(1)bt
m F v e b
-=-。
【结果讨论】： 当t →∞时，0
L F v b
= （极限速度） 当3m
t b
=
时，(10.05)0.95L L v v v =-= （已接近极限速度） 一般认为3m
t b
≥，L v v →。
若球体在水面具有竖直向下的速率0v ，且在水中B F G =，则球在水中仅受阻力r F bv =-的作用
dv m bv dt =- ⇒ 00
v t
v dv b dt v m =-⎰⎰ ⇒ 0bt
m v v e -=
0v。
