江苏省南通市崇川区启秀中学2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0 B．x2+y＝1 C．x2+2＝0 D．＝1 2．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．2x2+3＝0 B．x2＝2x C．x2+4x﹣1＝0 D．x2﹣8x+16＝0 3．（3分）若y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，则m的值为（）A．﹣2 B．1 C．﹣2或1 D．2或14．（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的两个根，下面结论一定正确的是（）A．x1+x2＞0 B．x1≠x2C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0 5．（3分）某商品房原价12000元/m2，经过连续兩次降价后，现价10800元/m2，求平均每次降价的百分率．若设平均每次降价的百分率为x，依题意可列方程为（）A．12000（1﹣2x）＝10800 B．12000（1﹣x）2＝10800C．10800（1﹣2x）＝12000 D．10800（1+x）2＝120006．（3分）把二次函数y＝4x2﹣4x+4的图象，先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，平移后的二次函数解析式为（）A．y＝2x2+4 B．y＝4x2+4x+5 C．y＝4x2﹣4x+5 D．y＝4x2+4x+4 7．（3分）抛物线y＝a（x+2m）2+m（a≠0）的顶点，当m取不同实数时，其顶点在下列（）上移动．A．y＝B．y＝2x C．y＝D．y＝﹣8．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标是（1，n），与y轴的交点在（0，3）和（0，6）之间（包含端点），则下列结论错误的是（）A．3a+b＜0 B．﹣2≤a≤﹣l C．abc＞0 D．9a+3b+2c＞0 9．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k是常数且k≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．10．（3分）已知点B（﹣2，3），C（2，3），若抛物线l：y＝x2﹣2x﹣3+n与线段BC有且只有一个公共点，则整数n的个数是（）A．10 B．9 C．8 D．7二、填空题（每小题3分，共24分）（3分）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是．11．12．（3分）有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73．设每个支干长出x个小分支，根据题意可列方程为．13．（3分）一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+2的根的情况是．14．（3分）若二次函数y＝ax2﹣2x+3的图象的对称轴是经过点（，﹣1）的一条直线，则a的值为．15．（3分）已知x＝2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4＝0的一个根，则k 的值为．16．（3分）若实数a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则a3+的值为．17．（3分）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c，当x＝x1时，函数值为y1：当x＝x2时，函数值为y2，假设|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则y1，y2的大小关系是．18．（3分）已知点A（t，y1），B（t+2，y2）在抛物线y＝﹣x2的图象上，且﹣2≤t≤2，则线段AB长的最大值．三、解答题（共96分）19．（16分）解方程：（1）（x+1）（x﹣7）＝0（2）x2﹣4x+3＝0（3）2x2﹣4x+5＝0（4）x2﹣3x﹣1＝020．（8分）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，求a的值．21．（10分）二次函数的图象顶点是（﹣1，4），且过（2，﹣3）（1）求函数的解析式；（2）求出函数图象与坐标轴的交点．22．（8分）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为多少米？23．（8分）某水果批发商场经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要尽量减少库存，那么每千克应涨价多少元？24．（10分）若实数a使关于x的二次函数y＝x2+（a﹣1）x﹣a+2，当x＜﹣1时，y随x 的增大而减小且使关于y的分式方程﹣＝1有非负数解，求满足条件的所有整数a值的和．25．（10分）如图，抛物线经过点A（4，0）、B（﹣2，0）、C（0，﹣4）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线AC段上是否存在点M，使△ACM的面积为3，求出在此时M的坐标，若不存在，说明理由．26．（12分）如图，二次函数y＝（x﹣3）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．27．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连结AC，BC，D 是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连结BF，交DE于点P．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求证：BF⊥AB；（3）当点D从点O沿x轴正方向移动到点B时，点E所走过的路线长为；（4）探究当点D在何处时，△FBC是等腰三角形，并求出相应的BF的长．参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0 B．x2+y＝1 C．x2+2＝0 D．＝1 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项错误．B、该方程是二元二次方程，故本选项错误．C、该方程是一元二次方程，故本选项正确．D、该方程分式方程，故本选项错误．故选：C．2．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．2x2+3＝0 B．x2＝2x C．x2+4x﹣1＝0 D．x2﹣8x+16＝0 【分析】求出各方程根的判别式，判断小于0即为没有实数根．【解答】解：A、△＝0﹣24＝﹣24＜0，即方程没有实数根，符合题意；B、△＝4﹣0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；C、△＝16+4＝20＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；D、△＝64﹣64＝0，方程有两个相等的实数根，不符合题意，故选：A．3．（3分）若y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，则m的值为（）A．﹣2 B．1 C．﹣2或1 D．2或1【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．【解答】解：∵y＝（m﹣1）x+m是关于x的二次函数，∴m2+m＝2，且m﹣1≠0，解得：m＝﹣2．故选：A．4．（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的两个根，下面结论一定正确的是（）A．x1+x2＞0 B．x1≠x2C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝a2+4＞0，进而可得出x1≠x2，此题得解．【解答】解：∵△＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣3）＝m2+12＞0，∴方程x2﹣mx﹣3＝0有两个不相等的实数根，∴x1≠x2．故选：B．5．（3分）某商品房原价12000元/m2，经过连续兩次降价后，现价10800元/m2，求平均每次降价的百分率．若设平均每次降价的百分率为x，依题意可列方程为（）A．12000（1﹣2x）＝10800 B．12000（1﹣x）2＝10800C．10800（1﹣2x）＝12000 D．10800（1+x）2＝12000【分析】此题利用基本数量关系：商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）＝现在的价格，列方程即可．【解答】解：由题意可列方程是：12000（1﹣x）2＝10800．故选：B．6．（3分）把二次函数y＝4x2﹣4x+4的图象，先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，平移后的二次函数解析式为（）A．y＝2x2+4 B．y＝4x2+4x+5 C．y＝4x2﹣4x+5 D．y＝4x2+4x+4 【分析】先将二次函数化成顶点式，利用平移的规律“左加右减，上加下减”可得到答案．【解答】解：∵y＝4x2﹣4x+4＝，∴把二次函数y＝4x2﹣4x+4的图象，先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，其解析式为y＝4，即y＝4x2+4x+5．故选：B．7．（3分）抛物线y＝a（x+2m）2+m（a≠0）的顶点，当m取不同实数时，其顶点在下列（）上移动．A．y＝B．y＝2x C．y＝D．y＝﹣【分析】求得顶点坐标，然后把顶点坐标分别代入即可判定．【解答】解：由抛物线y＝a（x+2m）2+m（a≠0，a，m为常数）可知：顶点（﹣2m，m），A．当x＝﹣2m时，y＝﹣m≠m，B．当x＝﹣2m时，y＝﹣4m≠m；C．当x＝﹣2m时，y＝﹣≠m；D．当x＝﹣2m时，y＝m，故选：D．8．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标是（1，n），与y轴的交点在（0，3）和（0，6）之间（包含端点），则下列结论错误的是（）A．3a+b＜0 B．﹣2≤a≤﹣l C．abc＞0 D．9a+3b+2c＞0 【分析】根据二次函数图象的性质进行判断即可．【解答】解：A．根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．∵对称轴x＝＝1，∴b＝﹣2a，∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，即3a+b＜0．故A正确；B．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x＝1，∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），∴﹣1×3＝﹣3，∴＝﹣3，则a＝﹣．∵抛物线与y轴的交点在（0，3）、（0，6）之间（包含端点），∴3≤c≤6，∴﹣2≤﹣≤﹣1，即﹣2≤a≤﹣1．故B正确；C．∵抛物线开口方向向下，则a＜0，∵与y轴的交点在（0，3）和（0，6）之间，则c＞0，∵对称轴直线是x＝1，则a与b异号，即b＞0，∴abc＜0，故C错误；D．∵则a＝﹣，即c＝﹣3a，b＝﹣2a，∴9a+3b+2c＝9a+（﹣6a）+（﹣6a）＝﹣3a，、∵a＜0，∴9a+3b+2c＝﹣3a＞0故D正确，故选：C．9．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k 是常数且k≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据一次函数与二次函数的图象的性质，求出k的取值范围，再逐项判断即可．【解答】解：A、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴二次函数的图象开口应该向下，故A选项不合题意；B、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，，∴二次函数的图象开口向下，且对称轴在x轴的正半轴，故B选项不合题意；C、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y＝﹣4k＞0，故C选项符合题意；D、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，，∴二次函数的图象开口向上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y ＝﹣4k＞0，故D选项不合题意；故选：C．10．（3分）已知点B（﹣2，3），C（2，3），若抛物线l：y＝x2﹣2x﹣3+n与线段BC有且只有一个公共点，则整数n的个数是（）A．10 B．9 C．8 D．7【分析】根据题意可以将函数解析式化为顶点式，由y＝x2﹣2x﹣3+n与线段BC有且只有一个公共点，可以得到顶点的纵坐标为3或当x＝﹣2时y≥3，当x＝2时y＜3，列不等式组求解可得．【解答】解：①当抛物线的顶点在直线y＝3上时，△＝（﹣2）2﹣4（n﹣6）＝0，解得：n＝7；②当抛物线的顶点在BC下方时，根据题意知当x＝﹣2时y≥3，当x＝2时y＜3，即，解得：﹣2≤n＜6，整数n有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，7共9个，故选：B．二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是．【分析】通过观察原方程可知，常数项是一未知数，而一次项系数为常数，因此可用两根之和公式进行计算，将2﹣代入计算即可．【解答】解：设方程的另一根为x1，又∵x＝2﹣，由根与系数关系，得x1+2﹣＝4，解得x1＝2+．12．（3分）有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73．设每个支干长出x个小分支，根据题意可列方程为1+x+x2＝73 ．【分析】关键描述语是“主干、支干、小分支的总数是73”，等量关系为：主干1+支干数目+小分支数目＝73，把相关数值代入即可．【解答】解：∵主干为1，每个支干长出x个小分支，每个支干又长出同样数目的小分支，∴小分支的个数为x×x＝x2，∴可列方程为1+x+x2＝73．故答案为1+x+x2＝73．13．（3分）一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+2的根的情况是方程有两个不相等的实数根．【分析】把方程整理成一元二次方程的一般形式后，计算根的判别式△的符号，即可判断根的情况．【解答】解：（x﹣1）（x+5）＝3x+2，原方程可化为x2+x﹣7＝0，∵a＝1，b＝1，c＝﹣7，∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣7）＝29＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故答案为：方程有两个不相等的实数根．14．（3分）若二次函数y＝ax2﹣2x+3的图象的对称轴是经过点（，﹣1）的一条直线，则a的值为 2 ．【分析】根据题意确定对称轴，然后根据对称轴方程直接求出a的值．【解答】解：二次函数y＝ax2﹣2x+3的图象的对称轴为直线x＝﹣＝，∵对称轴是经过点（，﹣1）的一条直线，∴＝，∴a＝2，故答案为2．15．（3分）已知x＝2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4＝0的一个根，则k 的值为﹣3 ．【分析】把x＝2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4＝0得4k+2k2﹣4+2k+4＝0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值．【解答】解：把x＝2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4＝0得4k+2k2﹣4+2k+4＝0，整理得k2+3k＝0，解得k1＝0，k2＝﹣3，因为k≠0，所以k的值为﹣3．故答案为﹣3．16．（3分）若实数a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则a3+的值为21 ．【分析】将a代入方程可得a2﹣3a+1＝0，a2＝3a﹣1，a2+1＝3a，1＝3a﹣a2，可得a3+＝a（3a﹣1）+＝3a2﹣a+＝3（3a﹣1）﹣a+＝9a﹣3﹣a+24﹣8a，再代入计算即可求解．【解答】解：∵实数a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，∴a2﹣3a+1＝0，a2＝3a﹣1，a2+1＝3a，1＝3a﹣a2，∴a3+＝a（3a﹣1）+＝3a2﹣a+＝3（3a﹣1）﹣a+＝9a﹣3﹣a+24﹣8a＝21．故答案为：21．17．（3分）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c，当x＝x1时，函数值为y1：当x＝x2时，函数值为y2，假设|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则y1，y2的大小关系是y1＜y2．【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性即可确定出y1与y2的大小关系．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+c，∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝2，∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，∴y1＜y2．故答案为y1＜y2．18．（3分）已知点A（t，y1），B（t+2，y2）在抛物线y＝﹣x2的图象上，且﹣2≤t≤2，则线段AB长的最大值2．【分析】由点A、B在抛物线上，可用t表示y1、y2，根据两点间距离公式用t表示AB2，发现AB2与t是二次函数的关系，由抛物线性质和自变量t的取值范围可知：t在对称轴上时取得最小值；观察t本身的取值范围，看t＝﹣2和t＝2哪个离对称轴更远，即对应的函数值最大．【解答】解：∵点A（t，y1），B（t+2，y2）在抛物线y＝﹣x2的图象上，∴y1＝﹣t2，y2＝﹣（t+2）2＝﹣t2﹣2t﹣2，∴AB2＝（t+2﹣t）2+（y2﹣y1）2＝22+（﹣t2﹣2t﹣2+t2）2＝4+（﹣2t﹣2）2＝4（t+1）2+4∴AB2与t是二次函数的关系，由抛物线性质可知：当t＝﹣1时，AB2取得最小值，AB2＝4，AB＝2当t＝2时，AB2取得最大值，AB2＝4×（2+1）2+4＝40，AB＝2，故答案为2．三、解答题（共96分）19．（16分）解方程：（1）（x+1）（x﹣7）＝0（2）x2﹣4x+3＝0（3）2x2﹣4x+5＝0（4）x2﹣3x﹣1＝0【分析】（1）根据因式分解法，可得答案；（2）根据因式分解法，可得答案；（3）根据公式法，可得答案；（4）根据公式法，可得答案．【解答】解：（1））（x+1）（x﹣7）＝0∴x+1＝0或x﹣7＝0，解得x1＝﹣1，x2＝7；（2）x2﹣4x+3＝0（x﹣1）（x﹣3）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝3；（3）2x2﹣4x+5＝0，a＝2，b＝﹣4，c＝5，△＝b2﹣4ac＝16﹣4×2×5＝﹣24＜0，∴原方程无实数解；（4）x2﹣3x﹣1＝0，a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，△＝b2﹣4ac＝9﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，x＝＝，x1＝，x2＝．20．（8分）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，求a的值．【分析】由两个实数根互为相反数知两根之和等于0，据此列出关于a的方程，解之求出a的值，再检验即可得．【解答】解：∵方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，∴﹣a2+2a＝0，解得a＝0或a＝2．当a＝2时，方程无实数根，舍去；故a＝0．21．（10分）二次函数的图象顶点是（﹣1，4），且过（2，﹣3）（1）求函数的解析式；（2）求出函数图象与坐标轴的交点．【分析】（1）设该函数的顶点式，然后根据该函数过点（2，﹣3），可以求得该函数的解析式；（2）再令y＝0求出相应的x的值，即可写出该函数与x轴的交点坐标，令x＝0求出相应的y的值，即可写出该函数与y轴的交点坐标，本题得以解决．【解答】解：（1）设这个二次函数的解析式为y＝a（x+1）2+4，∵该函数过点（2，﹣3），∴﹣3＝a（2+1）2+4，解得a＝﹣，即该函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+4；（2）当y＝0时，0＝﹣（x+1）2+4，解得，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，当x＝0时，y＝，由上可得，该函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+4，与x轴的交点坐标为（﹣1+，0），（﹣1﹣，0）；与y轴的交点坐标为（0，）．22．（8分）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为多少米？【分析】设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2，列出一元二次方程，再进行求解即可得出答案．【解答】解：设人行道的宽度为x米（0＜x＜3），根据题意得：（18﹣3x）（6﹣2x）＝60，整理得，（x﹣1）（x﹣8）＝0．解得：x1＝1，x2＝8（不合题意，舍去）．答：人行通道的宽度是1米．23．（8分）某水果批发商场经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要尽量减少库存，那么每千克应涨价多少元？【分析】设每千克应涨价x元，根据每千克涨价1元，销售量将减少20千克，每天盈利6000元，列出方程，求解即可．【解答】解：设每千克应涨价x元，由题意列方程得：（10+x）（500﹣20x）＝6000，解得：x＝5或x＝10，要尽量减少库存，那么每千克应涨价5元；答：每千克应涨价5元．24．（10分）若实数a使关于x的二次函数y＝x2+（a﹣1）x﹣a+2，当x＜﹣1时，y随x 的增大而减小且使关于y的分式方程﹣＝1有非负数解，求满足条件的所有整数a值的和．【分析】解分式方程可先确定出a的取值范围，再由二次函数的性质可确定出a的范围，从而可确定出a的取值，可求得答案．【解答】解：解分式方程﹣＝1可得y＝，∵分式方程﹣＝1有非负数解，∴a≥﹣2，∵y＝x2+（a﹣1）x﹣a+2，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝，∴当x＜时，y随x的增大而减小，∵在x＜﹣1时，y随x的增大而减小，∴≥﹣1，解得a≤3，∴﹣2≤a≤3，∴a能取的整数为﹣2，﹣1，0，1，2，3；∴所有整数a值的和为3．25．（10分）如图，抛物线经过点A（4，0）、B（﹣2，0）、C（0，﹣4）（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线AC段上是否存在点M，使△ACM的面积为3，求出在此时M的坐标，若不存在，说明理由．【分析】（1）设交点式为y＝a（x﹣4）（x+2），然后把（0，﹣4）代入求出a即可；（2）设M（a，），连接OM，则S△ACM＝S△OCM+S△OAM﹣S△OAC＝3，可得出关于a的方程，解方程即可求出点M的坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x+2），把（0，﹣4）代入得a×（﹣4）×2＝﹣4，解得a＝，∴抛物线解析式为y＝（2）设M（a，），连接OM，∵S△ACM＝S△OCM+S△OAM﹣S△OAC＝3，∴﹣＝3，∴a2﹣4a+3＝0，解得：a1＝3，a2＝1．∴M1（1，﹣），M2（3，﹣）．26．（12分）如图，二次函数y＝（x﹣3）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）先将点A（1，0）代入y＝（x﹣3）2+m求出m的值，根据点的对称性确定B点坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式；（2）假设存在点P，设点P（a，a2﹣6a+5），求出三角形ABC的面积，分两种情况画出图形，如图1，当点P在直线AB的下方时，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，如图2，当点P在直线AB的上方时，过点P作PF∥y轴交直线AB于F，根据三角形ABP面积为三角形ABC面积，表示出三角形ABP的面积，列出关于a的方程，求出方程的解得到a 的值，即可确定出满足题意P的坐标．【解答】解：（1）将点A（1，0）代入y＝（x﹣3）2+m得（1﹣3）2+m＝0，解得m＝﹣4．所以二次函数解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，即y＝x2﹣6x+5；当x＝0时，y＝9﹣4＝5，所以C点坐标为（0，5），由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝3，所以B点坐标为（6，5），将A（1，0）、B（6，5）代入y＝kx+b得，，解得：．所以一次函数解析式为y＝x﹣1；（2）假设存在点P，设点P（a，a2﹣6a+5），∵S△ABP＝S△ABC，∵，如图1，当点P在直线AB的下方时，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，∴＝15，∴E（a，a﹣1）∴PE＝﹣a2+7a﹣6，∴，∴a2﹣7a+12＝0解得：a1＝4，a2＝3，∴P1（3，﹣4），P2（4，﹣3），如图2，当点P在直线AB的上方时，过点P作PF∥y轴交直线AB于F，同理可得＝15，∴，解得a＝0（舍去），a＝7，∴P3（7，12）．综合以上可得P点坐标为（3，﹣4）或（4，﹣3）或（7，12）．27．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连结AC，BC，D 是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连结BF，交DE于点P．（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求证：BF⊥AB；（3）当点D从点O沿x轴正方向移动到点B时，点E所走过的路线长为4；（4）探究当点D在何处时，△FBC是等腰三角形，并求出相应的BF的长．【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点的求法求出A、B、C，再求出OA、OB、OC，然后根据等腰直角三角形的判定解答；（2）根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质求出AC＝BC，CD＝CF，∠ACD＝∠BCF，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CBF＝∠CAD＝45°，然后求出∠ABF＝90°，再根据垂直的定义证明即可；（3）过点E作EH⊥x轴于H，连接BE，求出∠OCD＝∠HDE，然后利用“角角边”证明△OCD和△HDE全等，根据全等三角形对应边相等可得EH＝OD，OC＝DH，然后求出△BEH 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质表示出BE，从而判断出点E走过的路线长为BC的长度，然后求解即可；（4）根据全等三角形对应边相等可得AD＝BF，利用勾股定理列式求出AC，然后分AD＝CD，AC＝AD，AC＝BC三种情况讨论求解得到AD，即为FB的长．【解答】（1）解：令x＝0，得y＝4，∴C（0，4），令y＝0，则﹣x2+4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（4，0），∴OA＝OB＝OC＝4，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）证明：如图，∵△ABC是等腰直角三角形，CDEF是正方形，∴AC＝BC，CD＝CF，∠ACD＝∠BCF，在△ACD和△BCF中，，∴△ACD≌△BCF（SAS），∴∠CBF＝∠CAD＝45°，∴∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝90°，∴BF⊥AB；（3）如图，过点E作EH⊥x轴于H，连接BE，∵∠OCD+∠ODC＝∠HDE+∠ODC＝90°，∴∠OCD＝∠HDE，在△OCD和△HDE中，，∴△OCD≌△HDE（AAS），∴EH＝OD，OC＝DH，∵OD+BD＝OB＝OC，BH+BD＝DH，∴OD＝BH＝EH，∴△BEH是等腰直角三角形，∴BE＝EH，∵点D从点O沿x轴正方向移动到点B，∴点E所走过的路线长为为BC的长度，是4；故答案为：4．（4）∵△ACD≌△BCF，∴AD＝BF，由勾股定理得，AC＝＝＝4，①若AD＝CD，则点O、D重合，BF＝AO＝4，②若AC＝AD，则BF＝AD＝4，③若AC＝BC，则BF＝AD＝AB＝8，综上所述，BF＝4或4或8．。

2019-2020年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（4分）（xx秋•启东市校级期中）抛物线y=（x﹣2）2+1的顶点坐标是（）A．（2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，1）D．（2，﹣1）考点：二次函数的性质．分析：已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．解答：解：∵y=（x﹣2）2+1是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，对称轴为直线x=2，故选A．点评：考查了二次函数的性质，顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．2．（4分）（xx•湖州）如图，已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，∠B=40°，则直角边BC的长是（）A．msin40°B．mcos40°C．mtan40°D．考点：锐角三角函数的定义．分析：根据锐角三角函数的定义解答即可．解答：解：∵cos40°=，∴BC=AB•cos40°=mcos40°．故选B．点评：本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．3．（4分）（xx•宁夏）把抛物线y=﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y=﹣（x﹣1）2﹣3 B．y=﹣（x+1）2﹣3 C．y=﹣（x﹣1）2+3 D．y=﹣（x+1）2+3考点：二次函数图象与几何变换．专题：压轴题．分析：利用二次函数平移的性质．解答：解：当y=﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3），则平移后抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+3．故选：D．点评：本题主要考查二次函数y=ax2、y=a（x﹣h）2、y=a（x﹣h）2+k的关系问题．4．（4分）（xx•襄阳）在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cosB的值为（）A．B．C．D．考点：勾股定理；锐角三角函数的定义．专题：压轴题；网格型．分析：先设小正方形的边长为1，然后找个与∠B有关的RT△ABD，算出AB的长，再求出BD 的长，即可求出余弦值．解答：解：设小正方形的边长为1，则AB=4，BD=4，∴cos∠B==．故选B．点评：本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的知识，此题比较简单，关键是找出与角B有关的直角三角形．5．（4分）（xx秋•丰台区期末）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE=2，则AB的长是（）A．4 B．6 C．8 D．10考点：垂径定理；勾股定理．专题计算题．分析：由于半径OC⊥AB，利用垂径定理可知AB=2AE，又CE=2，OC=5，易求OE，在Rt△AOE 中利用勾股定理易求AE，进而可求AB．解答：解：如右图，连接OA，∵半径OC⊥AB，∴AE=BE=AB，∵OC=5，CE=2，∴OE=3，在Rt△AOE中，AE==4，∴AB=2AE=8，故选C．点评：本题考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键是利用勾股定理先求出AE．6．（4分）（xx•重庆）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=﹣．下列结论中，正确的是（）A．abc＞0 B．a+b=0 C．2b+c＞0 D．4a+c＜2b考点：二次函数图象与系数的关系．专题压轴题．分析：由二次函数的性质，即可确定a，b，c的符号，即可判定A是错误的；又由对称轴为x=﹣，即可求得a=b；由当x=1时，a+b+c＜0，即可判定C错误；然后由抛物线与x 轴交点坐标的特点，判定D正确．解答：解：A、∵开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴﹣＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故A选项错误；B、∵对称轴：x=﹣=﹣，∴a=b，故B选项错误；C、当x=1时，a+b+c=2b+c＜0，故C选项错误；D、∵对称轴为x=﹣，与x轴的一个交点的取值范围为x1＞1，∴与x轴的另一个交点的取值范围为x2＜﹣2，∴当x=﹣2时，4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故D选项正确．故选D．点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系．此题难度适中，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．7．（4分）（xx•临沂）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是（）A．6πB．5πC．4πD．3π考点：扇形面积的计算．专题：压轴题．分析：从图中可以看出阴影部分的面积=扇形面积+半圆面积﹣半圆面积，即等于扇形面积，依扇形的面积公式计算即可．解答：解：阴影部分面积==6π．故选：A．点评：本题主要考查了扇形的面积公式．即S=．8．（4分）（xx•婺城区校级自主招生）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P是斜边AB上一动点（不与点A、B重合），PQ⊥AB交△ABC的直角边于点Q，设AP为x，△APQ 的面积为y，则下列图象中，能表示y关于x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．考点动点问题的函数图象；相似三角形的应用．：专题：动点型．分析：分点Q在AC上和BC上两种情况进行讨论即可．解答：解：当点Q在AC上时，y=×AP×PQ=×x×=x2；当点Q在BC上时，如下图所示，∵AP=x，AB=5，∴BP=5﹣x，又cosB=，∵△ABC∽QB P，∴PQ=BP=∴S△APQ=AP•PQ=x•=﹣x2+x，∴该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下．故选C．点评：本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q在BC上这种情况．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2011秋•丰台区期末）若扇形的圆心角为60°，它的半径为3cm，则这个扇形的弧长是πcm．考点：弧长的计算．分析：弧长公式是l=，代入就可以求出弧长．解答：解：弧长是：=πcm．故答案为：π．点评：此题考查了扇形的弧长公式的运用，正确记忆弧长公式是解题的关键．10．（4分）（xx•德庆县二模）如图，是河堤的横断面，堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是 5 米．考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：由堤高BC=5米，迎水坡AB的坡比1：，根据坡度的定义，即可求得AC的长．解答：解：∵迎水坡AB的坡比1：，∴=，∵堤高BC=5米，∴AC=BC=5（米）．故答案为：5．点评：此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意理解坡度的定义是解此题的关键．11．（4分）（xx秋•北碚区期末）已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过O（0，0）、A（2，0）、B（﹣3，y1）、C（4，y2）四点，则y1＞ y2（填“＞”、“＜”或“=”）．考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：先根据抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）过O（0，0）、A（2，0）两点确定此抛物线的对称轴，再根据开口方向，B、C两点与对称轴的远近，判断y1与y2的大小关系．解答：解：∵抛物线过O（0，0）、A（2，0）两点，∴抛物线的对称轴为x=1，∵a＞0，抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，比较可知B点离对称轴较远，对应的纵坐标值大，即y1＞y2．故答案为＞．点评：此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较抛物线上两点纵坐标的大小，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近．12．（4分）（xx秋•驻马店期末）若关于x的一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m有实数根x1，x2，且x1≠x2有下列结论：①x1=2，x2=3；②m＞﹣；③二次函数y=（x﹣x1）（x﹣x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中正确的结论是②③（填正确结论的序号）考点：抛物线与x轴的交点．分析：将已知的一元二次方程整理为一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6﹣m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，整理得到确定出二次函数解析式，令y=0，得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断．解答：解：一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）=m化为一般形式得：x2﹣5x+6﹣m=0，∵方程有两个不相等的实数根x1、x2，∴b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4（6﹣m）=4m+1＞0，解得：m＞﹣，故选项②正确；∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=5，x1x2=6﹣m，而选项①中x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故选项①错误；二次函数y=（x﹣x1）（x﹣x2）+m=x2﹣（x1+x2）x+x1x2+m=x2﹣5x+（6﹣m）+m=x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），令y=0，可得（x﹣2）（x﹣3）=0，解得：x=2或3，∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故选项③正确．综上所述，正确的结论有2个：②③．故答案为：②③．点评：此题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解，根与系数的关系，以及根的判别式的运用，是中考中常考的综合题．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）（2011秋•西城区期末）计算：．考点：特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：将cos30°=，tan60°=，sin45°=代入原式，即可得出答案．解答：解：∵cos30°=，tan60°=，sin45°=，∴原式=+×﹣2×=+3﹣1=2+．点评：此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一些特殊角：30°、45°、60°、90°的三角函数值，难度一般．14．（5分）（2011秋•东城区期末）已知排水管的截面为如图所示的圆O，半径为10，圆心O到水面的距离是6，求水面宽AB．考点：垂径定理的应用；勾股定理．专题：探究型．分析：过O点作OC⊥AB，连接OB，由垂径定理可得出AB=2BC，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出BC的长，进而可得出AB的长．解答：解：过O点作OC⊥AB，连接OB，∴AB=2BC，在Rt△OBC中，BC2+OC2=OB2，∵OB=10，OC=6，∴BC=8，∴AB=16．答：水面宽AB为16．点评：本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．15．（5分）（2011秋•西城区期末）已知抛物线y=x2+4x﹣5．（1）直接写出它与x轴、y轴的交点的坐标；（2）用配方法将y=x2+4x﹣5化成y=a（x﹣h）2+k的形式．考点：抛物线与x轴的交点；配方法的应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的三种形式．分析：（1）设y=0，则函数对应的一元二次方程x2+4x﹣5=0的解即为和x轴的交点横坐标；设x=0则y=﹣5是抛物线和y轴交点的纵坐标；（2）加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式．解答：解：（1）抛物线与x轴的交点的坐标为（﹣5，0）和（1，0）；抛物线与y轴的交点的坐标为（0，﹣5）；（2）y=x2+4x﹣5，=（x2+4x+4）﹣9，=（x+2）2﹣9．点评：本题考查了抛物线和坐标轴的交点以及用配方法将一般式转化为一般式．16．（5分）（xx秋•宣武区校级期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=15，求△ABC 的周长和tanB的值．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：先利用∠A的正弦可计算出BC，再利用勾股定理计算出AC，然后根据三角形周长的定义和正切的定义求解．解答：解：∵sinA==，而AB=15，∴BC=12，∴AC==9，∴△ABC的周长=9+12+15=36，tanB===．点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．17．（5分）（2011秋•海淀区期末）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x …﹣2 ﹣1 0 1 2 …y …0 ﹣4 ﹣4 0 8 …（1）根据上表填空：①抛物线与x轴的交点坐标是（﹣2，0）和（1，0）；②抛物线经过点（﹣3，8 ）；③在对称轴右侧，y随x增大而增大；（2）试确定抛物线y=ax2+bx+c的解析式．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．专题：计算题．分析：（1）①由表格可知：x=﹣2及1时，y的值为0，从而确定出抛物线与x轴的交点坐标；②由x=﹣1及x=0时的函数值y相等，x=﹣2及1时的函数值也相等，可得抛物线的对称轴为x=﹣0.5，由函数的对称性可得x=2及x=﹣3时的函数值相等，故由x=2对应的函数值可得出x=﹣3所对应的函数值，从而得出正确答案；③由表格中y值的变化规律及找出的对称轴，得到抛物线的开口向上，在对称轴右侧为增函数，故在对称轴右侧，y随x的增大而增大；（2）由第一问得出抛物线与x轴的两交点坐标（﹣2，0），（1，0），可设出抛物线的两根式方程为y=a（x+2）（x﹣1），除去与x轴的交点，在表格中再找出一个点坐标，代入所设的解析式即可求出a的值，进而确定出函数解析式．解答：解：（1）①（﹣2，0），（1，0）；②8；③增大（每空1分）…（3分）（2）依题意设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣1），由点（0，﹣4）在函数图象上，代入得﹣4=a（0+2）（0﹣1），…（4分）解得：a=2．∴y=2（x+2）（x﹣1），即所求抛物线解析式为y=2x2+2x﹣4．…（5分）故答案为：（﹣2，0），（1，0）；8；增大．点评：此题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数最值的求法，以及二次函数与不等式的关系，利用了转化及数形结合的数学思想，其中待定系数法确定函数解析式一般步骤为：设出函数解析式，把图象上点的坐标代入所设的解析式，得到方程组，求出方程组的解可得出系数的值，从而确定出函数解析式．18．（5分）（2011秋•西城区校级期末）用尺规作图找出该残片所在圆的圆心O的位置．（保留作图痕迹，不写作法）考点：垂径定理的应用；作图—复杂作图．分析：做圆上任意两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心．解答：解：如图所示：任作两弦给（1分），两条中垂线各（1分），标出并写出点O即为所求给（1分）．点评：此题主要考查了垂径定理的应用，用到的知识点为：弦的垂直平分线经过圆心；两条弦的垂直平分线的交点即为圆心．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）（xx•南通）如图，某测量船位于海岛P的北偏西60°方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处，求测量船从A处航行到B处的路程（结果保留根号）．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．专题：计算题．分析：将AB分为AE和BE两部分，分别在Rt△BEP和Rt△BEP中求解．要利用30°的角所对的直角边是斜边的一半和等腰直角三角形的性质解答．解答：解：∵AB为南北方向，∴△AEP和△BEP分别为直角三角形，在Rt△AEP中，∠APE=90°﹣60°=30°，AE=AP=×100=50海里，∴EP=100×cos30°=50海里，在Rt△BEP中，BE=EP=50海里，∴AB=（50+50）海里．答：测量船从A处航行到B处的路程为（50+50）海里．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣方向角问题，找到题目中的特殊角并熟悉解直角三角形是解题的关键．20．（5分）（xx秋•云梦县期末）如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？考点：二次函数的应用．专题：应用题．分析：（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据写出函数解析式．（2）计算出本问可用两种方法求得，求x=3米时求出水面求出此时y的值，A、B点的横坐标减去y此时的值到正常水面AB的距离与3.6相比较即可得出答案．解答：解：（1）设抛物线解析式为y=ax2，因为抛物线关于y轴对称，AB=20，所以点B的横坐标为10，设点B（10，n），点D（5，n+3），n=102•a=100a，n+3=52a=25a，即，解得，∴；（2）∵货轮经过拱桥时的横坐标为x=3，∴当x=3时，∵﹣（﹣4）＞3.6∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．答：在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．点评：此题考查了坐标系的建立，以及抛物线的性质与求值．21．（5分）（xx•大兴区一模）如图，四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=，BC=5﹣，CD=6，求AD．考点：勾股定理．专题：计算题．分析：作出辅助线，构建直角三角形，使AD成为直角三角形的一条边，根据勾股定理求解．解答：解：如图，过A作AE∥BC交CD于E，过B作BF⊥AE于F，作CG⊥AE于G，则∠1=45°，∠2=60°，则Rt△ABF为等腰直角三角形，BCGF为矩形，又因为AB=，BC=5﹣，所以BF=AF=AB=，所以CG=BF=，所以CE=CG=2，EG=CG=1所以AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6DE=CD﹣EC=6﹣2=4过D作DM⊥AE延长线于M∠MED=180°﹣∠AED=180°﹣∠BCD=180°﹣120°=60°所以EM=DE=2，DM=DE=2在Rt△AMD中，AD=点评：本题考查的是直角三角形中勾股定理的运用，作辅助线构建可以运用勾股定理的直角三角形是解题的关键．22．（5分）（xx秋•宣武区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E．（1）若AD=10，sin∠ADC=，求AC的长和tanB的值；（2）如图，若∠B=a，AD=BD=1，则可以利用该图求出sin2a与a的三角函数之间的等量关系（用sina和cosa的值表示）．考点：解直角三角形；线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：（1）在Rt△ACD中利用∠ADC的正弦即可得到AC=8，再利用勾股定理计算出CD=6，接着根据折叠的性质得DB=DA=10，所以BC=CD+DB=16，然后在Rt△ABC中利用正切的定义求解；（2）先得到∠ADC=2∠B=2α，由sin∠ADC=得到AC=sin2α，在Rt△BDE中由cosB=得到BE=cosα，所以AB=2BE=2cosα，然后在Rt△ABC中利用∠B的正弦即可得到sin2α=2cosα•sinα．解答：解：（1）在Rt△ACD中，∵sin∠ADC==，而AD=10，∴AC=8；∴CD==6，∵AB的垂直平分线与BC，AB的交点分别为D，E，∴DB=DA=10，∴BC=CD+DB=16，在Rt△ABC中，tanB===；（2）∵DA=DB，∴∠DAB=∠B=α，∴∠ADC=2∠B=2α，∵sin∠ADC=，∴AC=sin2α，在Rt△BDE中，∵cosB=，∴BE=cosα，∴AB=2BE=2cosα，在Rt△ABC中，∵sinB=，∴AC=ABsinB，∴sin2α=2cosα•sinα．点评：本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了线段的垂直平分线．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2011秋•朝阳区期末）某超市销售一款进价为50元/个的书包，物价部门规定这款书包的售价不得高于70元/个，市场调查发现：以60元/个的价格销售，平均每周销售书包100个；若每个书包的销售价格每提高1元，则平均每周少销售书包2个．（1）求该超市这款书包平均每周的销售量y（个）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；（2）求该超市这款书包平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；（3）当每个书包的销售价为多少元时，该超市这款书包平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？考点：二次函数的应用；二次函数的最值．专题：销售问题．分析：（1）每提高1元，则平均每周少销售书包2个，从60元到x元，提高了（x﹣60）元，销售量y=原销售量﹣提高价格后减少的销售量；（2）平均每周的销售利润w=每个书包的利润×每周的销售量；（3）易得抛物线的对称轴，那么根据售价x的取值范围可得离抛物线的对称轴最近的数是可获得最大利润的销售量．解答：解：（1）由题意，有 y=100﹣2（x﹣60），即y=﹣2x+220；（2）由题意，有 w=（x﹣50）（﹣2x+220），即w=﹣2x2+320x﹣11000；（3）∵抛物线w=﹣2x2+320x﹣11000的开口向下，在对称轴x=80的左侧，w随x的增大而增大．由题意可知60≤x≤70，∴当x=70时，w最大为1600．因此，当每个书包的销售价为70元时，该超市可以获得每周销售的最大利润1600元．点评：考查二次函数的应用；得到每周书包的销售量是解决本题的易错点；根据二次函数的对称轴得到离抛物线的对称轴最近的数是可获得最大利润的销售量是解决本题的难点．24．（7分）（xx•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知抛物线．（1）k取什么值时，此抛物线与x轴有两个交点？（2）此抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点（点A在点B左侧），且x1+|x2|=3，求k的值．考点：抛物线与x轴的交点．分析：（1）此题转化为关于x的一元二次方程=0的根的判别式的符号问题，即△＞0时，k 的取值范围；（2）利用求根公式x=求得该方程的两根，然后根据已知条件“点A在点B左侧”、x1+|x2|=3即可求得k的值．解答：解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，∴…（1分）k2+4k+4﹣k2﹣4＞04k＞0∴k＞0，即k＞0时，此抛物线与x轴有两个交点；（2）∵抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点∴，∵点A在点B左侧，即x1＜x2，又∵k＞0，∴，，∴|x2|=x2．∵x1+|x2|=3，∴x1+x2=3，即，解得k=1．点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．在利用求根公式x=求得该方程的两根时，要熟悉该公式中的字母a、b、c所代表的意义．25．（8分）（xx•丰台区一模）已知：关于x的一元二次方程：x2﹣2mx+m2﹣4=0．（1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣4与x轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等时，求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形C1，将图形C1向右平移一个单位，得到图形C2，当直线y=x+b（b＜1）与图形C2恰有两个公共点时，写出b的取值范围．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据要证方程有两个不相等的实数根，只要证出△=b2﹣4ac＞0，即可得出答案；（2）利用二次函数的对称性得出对称轴是y轴，进而得出m的值即可；（3）画出翻转后新的函数图象，由直线y=x+b，b＜1确定出直线移动的范围，求出b 的取值范围．解答：（1）证明∵△=（﹣2m）2﹣4（m2﹣4）=16＞0．∴该方程总有两个不相等的实数根．（2）由题意可知y轴是抛物线的对称轴，故﹣2m=0，解得m=0．∴此抛物线的解析式为y=x2﹣4．（3）如图，当直线y=x+b经过A（﹣1，0）时﹣1+b=0，可得b=1，又因为b＜1，故可知y=x+b在y=x+1的下方，当直线y=x+b经过点B（3，0）时，3+b=0，则b=﹣3，由图可知符合题意的b的取值范围为﹣3＜b＜1时，直线y=x+b；（b＜3）与此图象有两个公共点．点评：本题考查了根的判别式以及二次函数的对称性和由函数图象确定坐标、直线与图象的交点问题，综合体现了数形结合的思想．-----如有帮助请下载使用，万分感谢。

2019-2020学年江苏省南通市崇川区新桥中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）（2017秋•晋安区期中）下列图案是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（3分）（2017秋•晋安区期中）用配方法解方程2620x x ++=，配方正确的是( ) A ．2(3)9x +=B ．2(3)9x -=C ．2(3)6x +=D ．2(3)7x +=3．（3分）（2017秋•晋安区期中）如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了80︒，小林的位置也从A 点运动到了A '点，则OAA '∠的度数为( )A ．40︒B ．50︒C ．70︒D ．80︒4．（3分）（2015秋•襄城区期末）将抛物线221y x =-，先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后其顶点坐标是( ) A ．(2,1)B ．(1,2)C ．(1,1)-D ．(1,1)5．（3分）（2019•成都模拟）如图，在O 中50O ∠=︒，则A ∠的度数为( )A ．50︒B ．20︒C ．30︒D ．25︒6．（3分）（2018秋•龙海市期中）已知抛物线21y x x =+-经过点(,5)P m ，则代数式22018m m ++的值为( )A ．2021B ．2022C ．2023D ．20247．（3分）（2019•英德市一模）如图，点A ，B ，C ，D 都在O 上，BD 为直径，若65A ∠=︒，则DBC ∠的值是( )A ．15︒B ．25︒C ．35︒D ．65︒8．（3分）（2017秋•晋安区期中）如图，O 的半径为6cm ，将圆沿着弦AB 折叠，圆弧AB 正好经过圆心O ，则弦AB 的长度为( )A ．3B ．C ．D ．9．（3分）（2017秋•仓山区期中）下表是一组二次函数235y x x =+-的自变量x 与函数值y 的对应值：那么方程2350x x +-=的一个近似根是( ) A ．1B ．1.1C ．1.2D ．1.310．（3分）（2019•港南区四模）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，有下列5个结论：①0abc >；②b a c <+；③当0x <时，y 随x 的增大而增大；④23c b <；⑤()a b m am b +>+（其中1)m ≠其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程） 11．（3分）（2015秋•亭湖区期末）抛物线22(3)5y x =-+的顶点坐标为 ． 12．（3分）（2014•北海）若一元二次方程260x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为 ．13．（3分）（2019春•南关区校级月考）已知点1(2,)y ，2(3,)y -均在抛物线21y x =-上，则1y 、2y 的大小关系为 ．14．（3分）（2019春•南关区校级月考）如图，在ABC ∆中，70BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转，得到△ABC ''，连接C C '．若//C C AB '，则BAB '∠= ︒．15．（3分）（2017秋•晋安区期中）如图，A 、B 、C 三个点都在O 上，130AOC ∠=︒，则ABC ∠的度数是 ．16．（3分）（2019•越秀区校级一模）抛物线2y ax bx c =++过点(2,0)A -，且0a b c ++=，则抛物线的对称轴是 ．17．（3分）（2019秋•崇川区校级月考）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于D ，若6AC =，8BC =，则AD = ．18．（3分）（2019•长春模拟）已知二次函数22()1(y x m m m =--++为常数），当21m -剟时，函数值y 有最大值为4，则m 的值为 ．三、解答题（本大题共9小题，共96分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（2018秋•花都区期中）解方程： （1）2410x x +-=（2）3(2)5(2)x x x -=-20．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，经过(1,0)-、(3,0)、(0,3)-． （1）求二次函数的解析式；（2）不等式20ax bx c ++>的解集为 ；（3）方程2ax bx c m ++=有两个实数根，m 的取值范围为 ．21．（2018秋•花都区期中）已知：关于x 的方程222(1)20x m x m -+++=． （1）若方程总有两个实数根，求m 的取值范围； （2）若两实数根1x 、2x 满足1212x x x x +=，求m 的值．22．（2019秋•崇川区校级月考）如图，已知AB是O的直径，CD是O的弦，AB CD⊥，垂足为点E，16==，试求O的半径．BE CD23．（2018秋•槐荫区期末）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．24．（2018秋•龙海市期中）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量是售价的一次函数，且相关信息如下表：已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是()元；（2）求月销量y与售价x的一次函数关系式：（3）设销售该运动服的月利润为W元，那么售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少元？25．如图1，在ABC ∆中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，//DE BC ，AD AE =，（1）求证：B C ∠=∠；（2）若90BAC ∠=︒，把A D E ∆绕点A 逆时针旋转到图2的位置，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，连接MN ，PM ，PN ．①判断PMN ∆的形状，并说明理由；②把ADE ∆绕点A 在平面内自由旋转，若4AD =，10AB =，试问PMN ∆面积是否存在最大值；若存在，求出其最大值．若不存在，请说明理由．26．（2019秋•崇川区校级月考）已知抛物线22y x bx c =-++经过点(1,3)A --和点(2,3)B （1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y 在这抛物线上，当211x x <…时，比较1y 与2y 的大小． （3）点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y 在这抛物线上，若11t x t +剟，当23x …时，均有12y y …，直接写出t 的取值范围．27．（2016•江东区一模）我们把“有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形”叫做“同族三角形”，如图1，在ABC ∆和ABD ∆中，AB AB =，AC AD =，B B ∠=∠，则ABC ∆和ABD ∆是“同族三角形”．（1）如图2，四边形ABCD 内接于圆，点C 是弧BD 的中点，求证：ABC ∆和ACD ∆是同族三角形；（2）如图3，ABC ∆内接于O ，O 的半径为6AB =，30BAC ∠=︒，求AC 的长； （3）如图3，在（2）的条件下，若点D 在O 上，ADC ∆与ABC ∆是非全等的同族三角形，AD CD >，求ADCD的值．2019-2020学年江苏省南通市崇川区新桥中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．（3分）（2017秋•晋安区期中）下列图案是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、是中心对称图形，故此选项正确；B 、不是中心对称图形，故此选项错误；C 、不是中心对称图形，故此选项错误；D 、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：A ．2．（3分）（2017秋•晋安区期中）用配方法解方程2620x x ++=，配方正确的是( ) A ．2(3)9x +=B ．2(3)9x -=C ．2(3)6x +=D ．2(3)7x +=【解答】解：262x x +=-， 26929x x ++=-+，2(3)7x +=， 故选：D ．3．（3分）（2017秋•晋安区期中）如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了80︒，小林的位置也从A 点运动到了A '点，则OAA '∠的度数为( )A ．40︒B ．50︒C ．70︒D ．80︒【解答】解：秋千旋转了80︒，小林的位置也从A 点运动到了A '点， 80AOA ∴'=︒，OA OA ='， 1(18080)502OAA '∴∠=︒-︒=︒．故选：B ．4．（3分）（2015秋•襄城区期末）将抛物线221y x =-，先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后其顶点坐标是( ) A ．(2,1)B ．(1,2)C ．(1,1)-D ．(1,1)【解答】解：将抛物线221y x =-向上平移2个单位再向右平移1个单位后所得抛物线解析式为22(1)1y x =-+，所以平移后的抛物线的顶点为(1,1)． 故选：D ．5．（3分）（2019•成都模拟）如图，在O 中50O ∠=︒，则A ∠的度数为( )A ．50︒B ．20︒C ．30︒D ．25︒【解答】解：11502522A BOC ∠=∠=⨯︒=︒．故选：D ．6．（3分）（2018秋•龙海市期中）已知抛物线21y x x =+-经过点(,5)P m ，则代数式22018m m ++的值为( )A ．2021B ．2022C ．2023D ．2024【解答】解：抛物线21y x x =+-经过点(,5)P m ， 215m m ∴+-=， 26m m ∴+=，22018620182024m m ∴++=+=．故选：D ．7．（3分）（2019•英德市一模）如图，点A ，B ，C ，D 都在O 上，BD 为直径，若65A ∠=︒，则DBC ∠的值是( )A ．15︒B ．25︒C ．35︒D ．65︒【解答】解：BD 为直径， 90BCD ∴∠=︒，由圆周角定理得，65D A ∠=∠=︒， 906525DBC ∴∠=︒-︒=︒，故选：B ．8．（3分）（2017秋•晋安区期中）如图，O 的半径为6cm ，将圆沿着弦AB 折叠，圆弧AB 正好经过圆心O ，则弦AB 的长度为( )A ．3B ．C ．D ．【解答】解：如图；过O 作OC AB ⊥于D ，交O 于C ，连接OA ，Rt OAD ∆中，132OD CD OC cm ===，6OA cm =；根据勾股定理，得：)AD cm =；故2AB AD ==．故选：C ．9．（3分）（2017秋•仓山区期中）下表是一组二次函数235y x x =+-的自变量x 与函数值y 的对应值：那么方程2350x x +-=的一个近似根是( )A ．1B ．1.1C ．1.2D ．1.3【解答】解：观察表格得：方程2350x x +-=的一个近似根为1.2，故选：C ．10．（3分）（2019•港南区四模）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图，有下列5个结论：①0abc >；②b a c <+；③当0x <时，y 随x 的增大而增大；④23c b <；⑤()a b m am b +>+（其中1)m ≠其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：①由图象可知：抛物线对称轴位于y 轴右侧，则a 、b 异号，所以0ab <．抛物线与y 轴交于正半轴，则0c >，所以0abc <，故①错误；②当1x =-时，0y a b c =-+<，即b a c >+，故②错误；③由图可知，0x <时，y 随x 的增大而增大，故③正确；④当3x =时函数值小于0，930y a b c =++<，且12b x a=-=， 即2b a =-，代入得9()302b bc -++<，得23c b <，故④正确；⑤当1x =时，y 的值最大．此时，y a b c =++，而当x m =时，2y am bm c =++，所以2a b c am bm c ++>++，故2a b am bm +>+，即()a b m am b +>+，故⑤正确．综上所述，③④⑤正确．故选：C ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需要写出解答过程）11．（3分）（2015秋•亭湖区期末）抛物线22(3)5y x =-+的顶点坐标为 (3,5) ．【解答】解：因为22(3)5y x =-+是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(3,5)；故答案为(3,5)．12．（3分）（2014•北海）若一元二次方程260x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为 9 ．【解答】解：关于x 的一元二次方程260x x m -+=有两个相等的实数根，∴△243640b ac m =-=-=，解得：9m =，故答案为：9．13．（3分）（2019春•南关区校级月考）已知点1(2,)y ，2(3,)y -均在抛物线21y x =-上，则1y 、2y 的大小关系为 12y y < ．【解答】解：二次函数的解析式为21y x =-，∴抛物线的对称轴为直线0x =，1(2,)y 、2(3,)B y -，∴点2(3,)y -离直线0x =远，点1(2,)y 离直线0x =近，而抛物线开口向上，12y y ∴<．故答案为12y y <．14．（3分）（2019春•南关区校级月考）如图，在ABC ∆中，70BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转，得到△AB C ''，连接C C '．若//C C AB '，则BAB '∠= 40 ︒．【解答】解：ABC ∆绕点A 逆时针旋转到△AB C ''的位置，AC AC ∴'=，B AB C AC ∠'=∠'，AC C ACC ∴∠'=∠'，//CC AB '，70ACC CAB ∴∠'=∠=︒，70AC C ACC ∴∠'=∠'=︒，18027040CAC ∴∠'=︒-⨯︒=︒，40B AB ∴∠'=︒，故答案为40．15．（3分）（2017秋•晋安区期中）如图，A 、B 、C 三个点都在O 上，130AOC ∠=︒，则ABC ∠的度数是 115︒ ．【解答】解：如图，在优弧AC 上取点D ，连接AD ，CD ，130AOC ∠=︒，1652ADC AOC ∴∠=∠=︒， 180115ABC ADC ∴∠=︒-∠=︒．故答案为：115︒．16．（3分）（2019•越秀区校级一模）抛物线2y ax bx c =++过点(2,0)A -，且0a b c ++=，则抛物线的对称轴是 12x =- ． 【解答】解：抛物线2y ax bx c =++中0a b c ++=，∴该抛物线必过点(1,0)B ，点(2,0)A -，(1,0)B 纵坐标都是0，∴此抛物线的对称轴是直线21122x -+==-． 故答案为：直线12x =-； 17．（3分）（2019秋•崇川区校级月考）如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，以C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于D ，若6AC =，8BC =，则AD = 7.2 ．【解答】解：作CE AB ⊥于E ，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，10AB ∴==，ABC ∆的面积1122AC BC AB CE =⨯⨯=⨯⨯， 6810CE ∴⨯=⨯，解得， 4.8CE =，由勾股定理得， 3.6AE ==，CE AB ⊥，27.2AD AE ∴==．故答案为7.2．18．（3分）（2019•长春模拟）已知二次函数22()1(y x m m m =--++为常数），当21m -剟时，函数值y 有最大值为4，则m 的值为 0或【解答】解：22()1(y x m m m =--++为常数），①若2m -…，当2x =-时，22(2)14y m m =---++=，解得：74m =-； 724m =->-（舍去）； ②若1m …，当1x =时，22(1)14y m m =--++=，解得：0m =；③若21m -剟，当x m =时，214y m =+=，即：214m +=，解得：m 或m =21m -剟，m ∴=，故答案为：0或三、解答题（本大题共9小题，共96分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2018秋•花都区期中）解方程：（1）2410x x +-=（2）3(2)5(2)x x x -=-【解答】解：（1）2410x x +-=，241x x ∴+=， 则24414x x ++=+，即2(2)5x +=，2x ∴+=12x ∴=-+22x =-（2）3(2)5(2)x x x -=-，3(2)5(2)0x x x ∴---=，(2)(35)0x x ∴--=，则20x -=或350x -=，解得：12x =，253x =． 20．（2019秋•崇川区校级月考）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，经过(1,0)-、(3,0)、(0,3)-．（1）求二次函数的解析式；（2）不等式20ax bx c ++>的解集为 1x <-或3x > ；（3）方程2ax bx c m ++=有两个实数根，m 的取值范围为 ．【解答】解：（1）把(1,0)-、(3,0)、(0,3)-代入2y ax bx c =++得09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，解得：123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，∴二次函数的解析式为223y x x =--；（2）由函数图象可知抛物线和x 轴的两个交点横坐标为1-，3，所以不等式20ax bx c ++>的解集为1x <-或3x >；（3）设2y ax bx c =++和y m =，方程2ax bx c m ++=有两个实数根，则二次函数图象与直线y m =有两个交点或一个交点， 所以4m -…．故答案为：（2）1x <-或3x >；（3）4m -…．21．（2018秋•花都区期中）已知：关于x 的方程222(1)20x m x m -+++=．（1）若方程总有两个实数根，求m 的取值范围；（2）若两实数根1x 、2x 满足1212x x x x +=，求m 的值．【解答】解：（1）△22[2(1)]41(2)m m =-+-⨯⨯+2248448m m m =++--840m =->，12m ∴>； （2）122(1)x x m +=+，2122x x m =+， ∴由1212x x x x +=得22(1)2m m +=+，解得：10m =，22m =， 12m >， 2m ∴=．22．（2019秋•崇川区校级月考）如图，已知AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足为点E ，16BE CD ==，试求O 的半径．【解答】解：连接OD ，设OB OD R ==，则16OE R =-，直径AB CD ⊥，16CD =，90OED ∴∠=︒，182DE CD ==， 由勾股定理得：222OD OE DE =+则222(16)8R R =-+解得：10R =，O ∴的半径为10．23．（2018秋•槐荫区期末）如图，方格纸中有三个点A ，B ，C ，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．【解答】解：（1）甲图：平行四边形，（2）乙图：等腰梯形，（3）丙图：正方形．24．（2018秋•龙海市期中）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量是售价的一次函数，且相关信息如下表：已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是(60x-)元；（2）求月销量y与售价x的一次函数关系式：（3）设销售该运动服的月利润为W元，那么售价为多少元时，当月的利润最大？最大利润是多少元？【解答】解：（1）销售该运动服每件的利润是：(60)x-元，故答案为：60x-；（2）设月销量y与x的关系式为y kx b=+，由题意得，100200 110180k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得2400kb=-⎧⎨=⎩．则2400y x=-+；（3）由题意得，(60)(2400)y x x=--+2252024000x x=-+-∴当130x=时，利润最大值为9800元，故售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．25．（2018秋•花都区期中）如图1，在ABC∆中，点D、E分别在AB、AC上，//DE BC，AD AE=，（1）求证：B C∠=∠；（2）若90BAC∠=︒，把A D E∆绕点A逆时针旋转到图2的位置，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点，连接MN，PM，PN．①判断PMN∆的形状，并说明理由；②把ADE∆绕点A在平面内自由旋转，若4AD=，10AB=，试问PMN∆面积是否存在最大值；若存在，求出其最大值．若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）//DE BC，∴AD AE AB AC=，AD AE=，AB AC∴=，B C∴∠=∠，（2）①PMN∆是等腰直角三角形，理由：点P，M分别是CD，DE的中点，12PM CE ∴=，//PM CE ， 点N ，M 分别是BC ，DE 的中点，12PN BD ∴=，//PN BD ， BD CE =，PM PN ∴=，PMN ∴∆是等腰三角形，//PM CE ，DPM DCE ∴∠=∠，//PN BD ，PNC DBC ∴∠=∠，DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，MPN DPM DPN ∴∠=∠+∠DCE DCB DBC =∠+∠+∠BCE DBC =∠+∠ACB ACE DBC =∠+∠+∠ACB ABD DBC =∠+∠+∠ACB ABC =∠+∠，90BAC ∠=︒，90ACB ABC ∴∠+∠=︒，90MPN ∴∠=︒，PMN ∴∆是等腰直角三角形，②由①知，PMN ∆是等腰直角三角形，12PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，∴点D 在AB 的延长线上，14BD AB AD ∴=+=，7PM ∴=，2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大．故答案为49226．（2019秋•崇川区校级月考）已知抛物线22y x bx c =-++经过点(1,3)A --和点(2,3)B（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y 在这抛物线上，当211x x <…时，比较1y 与2y 的大小．（3）点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y 在这抛物线上，若11t x t +剟，当23x …时，均有12y y …，直接写出t 的取值范围．【解答】解：（1）抛物线22y x bx c =-++经过点(1,3)A --和点(2,3)B ，∴23823b c b c --+=-⎧⎨-++=⎩， 解得：43b c =⎧⎨=⎩， ∴这条抛物线所对应的函数表达式为：2243y x x =-++；（2）4124b x a =-=-=，0a <， 1x ∴>时，y 随x 的增大而减小，∴当211x x <…时，12y y <．（3）抛物线开口向下，对称轴为直线1x =，∴当3x =和1x =-时，函数值相等．13t ∴+…且1t -…，12t ∴-剟；则t 的取值范围是12t -剟．27．（2016•江东区一模）我们把“有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形”叫做“同族三角形”，如图1，在ABC ∆和ABD ∆中，AB AB =，AC AD =，B B ∠=∠，则ABC ∆和ABD ∆是“同族三角形”．（1）如图2，四边形ABCD 内接于圆，点C 是弧BD 的中点，求证：ABC ∆和ACD ∆是同族三角形；（2）如图3，ABC ∆内接于O ，O 的半径为6AB =，30BAC ∠=︒，求AC 的长；（3）如图3，在（2）的条件下，若点D 在O 上，ADC ∆与ABC ∆是非全等的同族三角形，AD CD >，求ADCD 的值．【解答】（1）证明：点C 是弧BD 的中点，即BC CD =， BC CD ∴=，BAC DAC ∠=∠，AC AC =，ABC ∴∆和ACD ∆是同族三角形；（2）解：如图1，连接OA ，OB ，作点B 作BE AC ⊥于点E ，OA OB ==，6AB =，222OA OB AB ∴+=，AOB ∴∆是等腰直角三角形，且90AOB ∠=︒， 1452C AOB ∴∠=∠=︒，30BAC ∠=︒，132BE AB ∴==，AE ∴=3CE BE ==，3AC AE CE ∴=+=；（3）解：1801803045105B BAC ACB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，18075ADC B ∴∠=︒-∠=︒，如图2，当CD CB =时，30DAC BAC ∠=∠=︒，75ACD ∴∠=︒，3AD AC ∴==，CD BC ===，∴AD CD == 如图3，当CD AB =时，过点D 作DF AC ⊥，交AC 于点F ，则45DAC ACB ∠=∠=︒，18060ACD DAC ADC ∴∠=︒-∠-∠=︒，sin 606DF CD ∴=︒==，AD ∴==∴AD CD ==．综上所述：AD CD ．。

南通市启秀中学2023—2024学年度第一学期暑期作业检测初三数学一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．中国航天科技的蓬勃发展，已在世界航天领域占据重要地位．中国航天的下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．抛物线的顶点坐标是（）A ．B ．C ．D ．3．下列说法正确的是（）A ．“打开电视，正在播放动画片”是必然事件B ．“掷一枚质地均匀的骰子落地时有数1的面向上”是不可能事件C ．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件D ．调查三道河水库水质问题采用全面调查4．能判定四边形为平行四边形的是（）A ．，B ．，C ．，D ．，5．平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（）A ．4和6B ．6和8C ．8和12D ．20和306．如图，把绕着点顺时针方向旋转36°，得到，点刚好落在边上，则（ ）A ．54°B ．62°C ．68°D ．72°7．如果一次函数的图象经过第一、三、四象限，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D．()223y x =+-()2,3--()2,3()2,3-()3,2-ABCD AB CD ∥AD BC=AB CD =AD BC =A B ∠=∠C D∠=∠AB AD =CB CD =ABC △A AB C ''△C B C ''ACC ∠'=()1y kx k =+-k 0k >0k <0k 1<<1k >8．若关于的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则的值为（）A ．9或B ．1或8C ．9D ．9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（）A ．B ．C ．且D ．且10．如图所示，已知二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题，每小题4分，共30分）11．函数的取值范围是______．12．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的顶点坐标为______13．已知，则______14．已知二次函数，当时有最小值10，则的值为______15．在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则______16．如图，正方形纸板中每一块小正方形除颜色外其他都相同，在该图形中随机撒一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分的概率是______x 222410x mx m m -+--=1x 2x ()()121222240x x x x ++-+=m 1-1-x ()22230k x x -++=k 73k ≤73k >73k <2k ≠73k ≤2k ≠2y ax bx c =++x A B y C OA OC =1x =0abc <10ac b -+=420a b c ++=2c +x 20ax bx c ++=y =x ()234y x =--2230x x --=3252012x x x --+=()21y x m =-+24x ≤≤m ()2,1A a a b -+(),1B b a +ab +=17．如图，在菱形中，，，点在边上，且．若过点的直线，将该菱形的面积平分，且与菱形的另一边交于点，则线段的长为___．18．如图，在中，，，以为边在三角形外作正方形，连接，交于点，则线段的最大值为______．三、解答题（本大题共8小题，共90分）19．解方程．（1）；（2）．20．已知与成正比例，且当时，．（1）求与之间的函数关系式；（2）求当时，的值；（3）求当时，的值．21．已知抛物线经过、两点．（I ）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标．22．有同型号的，两把锁和同型号的，，三把钥匙，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁．（1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于______；（2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．23．如图，在矩形中，点、、、，分别是四边的中点；ABCD 8AB =60B ∠=︒E AD 3AE =E l F EF ABC △6AB =4AC =BC BCDE BD CE O AO ()2290x --=22410x x --=y 3x -2x =3y =-y x 1x =y 6y =-x 2y x bx c =-+()1,0A -()3,0B P 10PAB S =△P A B a b c a A b B c c ABCD E F G H（1）判断四边形的形状，并给出理由；（2）当，时，四边形的面积等于______．24．平面直角坐标系中，一次函数（）的图象与函数的图象交于点．（1）求，的值；（2）当时，对于的每一个值，函数（）的值大于函数的值，直接写出的取值范围．25．已知四边形是正方形，以为顶点作等腰直角三角形，，连接．（1）如图1，当点在上时，请判断和的关系，并说明理由．（2）如图2，点是延长线与直线的交点，连接，将绕点旋转，当点在直线右侧时，求证：；（3）将绕点旋转一周，当时，若，，直接写出线段的长．26．在平面直角坐标系中，如果点到原点的距离为，点到点的距离是的倍（为正整数），那么称点为点的倍关联点．（1）当点的坐标为时，①如果点的2倍关联点在轴上，那么点的坐标是______；如果点的2倍关联点在轴上，那么点的坐标是______；EFGH 6AB =8AD =EFGH xOy y x b =+0k ≠2y x =()1,m b m 2x <x y x b =+0k ≠2y x n =+n ABCD B BEF BE BF =AE E BC AE CF H AE CF BH BEF △B FBC AH CH -=BEF △B 45CFB ∠=︒3AB=BE =CH xOy P O a M P a k k M P k 1P ()0,11P M y M 1P M x M②如果点是点的倍关联点，且满足，，那么的最大值为______；（2）如果点的坐标为，且在函数的图象上存在的2倍关联点，直接写出的取值范围．南通市启秀中学2023～2024学年度第一学期暑期作业检测答案一、选择题1～5 BACBD 6～10 DCCCC二、填空题11．且 12． 13．2015 14．7或15．16． 17． 18．三、解答题19．（1），；（2）20．（1）与成正比例，设出一次函数的关系式为：（），把当时，代入得：，，与之间的函数关系是：，故；（2）把代入得，；（3）把代入得，，解得．21．（1）把、代入得，解得，所以抛物线解析式为，(),M x y 1P k 2y =-14x -≤≤k 2P ()1,1y x b =+2P b 2x ≤3x ≠()4,2-1-124910x =24x =1x =2x =y 3x -()3y k x =-0k ≠2x =3y =-()323k -=-3k ∴=y ∴x ()33y x =-39y x =-1x =39y x =-3196y =⨯-=-6y =-39y x =-639x -=-1x =()1,0A -()3,0B 2y x bx c =++10930b c b c -+=⎧⎨++=⎩23b c =-⎧⎨=-⎩()222314y x x x =--=--顶点的坐标为；（2）、，，设点坐标为，，，当，解得，，此时点坐标为或；当，方程没有实数解，综上所述，点坐标为或．22．（1）有同型号的，，三把钥匙，.从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于，故答案为：；（2）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁的结果有2种，即、，取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率为．23．（1）四边形为菱形，理由如下：连接、，四边形为矩形，，点、、、，分别是四边的中点，，，四边形为菱形；（2）如图，连接，，∴()1,4-()1,0A - ()3,0B ()314AB ∴=--=P ()2,23t t t --10PAB S = △21423102t t ∴⨯⨯--=2235t t --=12t =-24t =P ()2,5-()4,52235t t --=-P ()2,5-()4,5 a b c ∴c 1313Aa Bb ∴2163=EFGH AC BD ABCD AC BD ∴= E F G H 12EF HG AC ∴==EF FG GH HE ∴===∴EFGH EG HF四边形为矩形，，，，，点、、、，分别是四边的中点，，，四边形、都是平行四边形，，，四边形是菱形，四边形的面积为，故答案为：24．24．（1）函数的图象过点，，一次函数（）的图象与函数的图象交于点，，；（2）如图：当时，，把代入得，，解得：，观察图象，当时，对于的每一个值，函数（）的值大于函数的值，则．25．（1），，理由：如图1，延长交于点，四边形是正方形，点在上，ABCD AB CD ∴∥AD BC ∥AB CD =AD BC = E F G H AE DG ∴=AH BF =∴ADGE AHFB 8EG AD ∴==6HF AB == EHGF ∴EHGF 11862422EG HF ⋅=⨯⨯= 2y x =()1,m 212m ∴=⨯= y x b =+0k ≠2y x =()1,221b ∴=+1b ∴=2x =13y x =+=()2,32y x n =+43n +=1n =-2x <x y x b =+0k ≠2y x n =+1n ≤-AE CF =AE CF ⊥AE CF G ABCD E BC，，，，，，，，，．（2）证明：如图2，在上截取，连接，，，，，，，，，，，．，．（3）当，且点在直线右侧时，如图3，，，，，∴点在上，点与点重合，作于点，则，，，，，，AB CB ∴=90ABE ∠=︒BE BF = 90EBF ∠=︒90ABE CBF ∴∠=∠=︒()SAS ABE CBF ∴△≌△BE CF ∴=BAE BCF∠=∠AEB CEG ∠=∠ 90BCF CEG BAE AEB ∴∠+∠=∠+∠=︒90CGE ∠=︒∴AE CF ∴⊥AH AL CH =BL AB CB = 90ABE CBF CBE ∠=∠=︒-∠BE BF =()SAS ABE CBF ∴△≌△BAE BCF ∴∠=∠BAL BCH ∴∠=∠()SAS BAL BCH ∴△≌△BL BH ∴=ABL CBH ∠=∠90LBH LBC CBH LBC ABL ABC ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒LH ∴===AH AL LH ∴-==AH CH ∴-=45CFB ∠=︒F BC BE BF = 90EBF ∠=︒45EFB FEB ∴∠=∠=︒EFB CFB ∴∠=∠E CF H E BN CF ⊥N 90BNF BNC ∠=∠=︒3BC AB ==BF BE ==2EF ∴===112BN EN FN EF ∴====CN ∴===；当，且点在直线左侧时，如图4，设与交于点，，，，，，，．，，点在上，点与点重合，作于点，则，，，，，综上所述，线段的长为或．26．（1）当点的坐标为时，①点的2倍关联点在轴上，设，根据题意可得，解得或，或，点的2倍关联点在轴上，设，，解得或，或，故答案为：或；或；②的坐标为且的纵坐标为，根据题意，可知当时，的值最大，1CH CECN EN ∴==-=-45CFB ∠=︒F BC CF AB P AB CB = 90ABE CBF ABF ∠=∠=︒+∠BE BF =()SAS ABE CBF ∴≌△△BAE BCF ∠=∠∴AE CF =APF BPC ∠=∠ 90BAE APF BCF BPC ∠+∠=∠+∠=︒∴90AFC ∴∠=︒180AFC CFB BFE ∴∠+∠+∠=︒∴F AE H F BQ AE ⊥Q 90BQE BQA ∠=∠=︒3AB = 112BQ FQ EQ EF ====AQ ∴===1CH CF AE AQ EQ ∴===+=+CH 1-1+1P ()0,11P M y ()0,M n 121n -=⨯1n =-3n =()0,1M ∴-()0,31P M x (),0M m 21=⨯m =m =()M ∴)()0,1-()0,3())1P ()0,1M 2y =-4x =k，解得，故答案为：5；（2）设在函数的图象上的点是的2倍关联点，，化简得，，解得.的取值范围是：．1k =⨯5k =y x b =+(),N n n b +2P 2=()()22212180n b n b ---+-=()()22Δ24280b b =--⨯⨯-≥ 44b -≤≤-b ∴44b -≤≤-。