2020年江苏省南通市崇川区启秀中学九年级(上)第二次月考数学试卷

2020届九年级（上）第二次月考数学试卷一．选择题（满分48分，每小题3分）1．下列二次根式中，与是同类根式的是（）A．B．C．D．2．若＝x﹣5，则x的取值范围是（）A．x＜5B．x≤5C．x≥5D．x＞53．下列方程是一元二次方程的是（）A．x2﹣y＝1B．x2+2x﹣3＝0C．x2+＝3D．x﹣5y＝6 4．下列计算正确的是（）A．+＝B．3﹣＝3C．÷2＝D．＝25．在根式①②③④中，最简二次根式是（）A．①②B．③④C．①③D．①④6．下列的式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．7．已知x＝2是一元二次方程x2﹣ax+6＝0的解，则a的值为（）A．﹣5B．﹣4C．4D．58．方程x2＝4x的根是（）A．x＝4B．x＝0C．x1＝0，x2＝4D．x1＝0，x2＝﹣49．已知1＜x≤2，则|x﹣3|+的值为（）A．2x﹣5B．﹣2C．5﹣2x D．210．化简的结果是（）A．2B．﹣2C．2或﹣2D．411．化简的值为（）A．B．﹣C．±D．12．若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，则（）A．a+b+c＝1B．a﹣b+c＝0C．a+b+c＝0D．a﹣b﹣c＝013．方程（x+1）（x﹣2）＝0的解是（）A．2B．3C．﹣1，2D．﹣1，314．若关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则（）A．m＞﹣1B．m≠0C．m≥0D．m≠﹣115．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5＝0，此方程可变形为（）A．（x+2）2＝9B．（x﹣2）2＝9C．（x+2）2＝1D．（x﹣2）2＝116．方程x2＝x的根是（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣1二．填空题（满分15分，每小题3分）17．将一元二次方程3x（x﹣1）＝2（x+5）﹣4化为一般形式为．18．若＝x﹣4+6﹣x＝2，则x的取值范围为．19．已知等腰三角形的腰与底边的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的解，则该三角形的面积是．20．请你观察，思考下列计算过程：，由此猜想＝．21．已知（m2+n2）（m2+n2+2）＝15，则m2+n2＝．三．解答题22．（16分）．23．（16分）解下列一元二次方程：（1）﹣x2+4x﹣3＝0（配方法）；（2）x2﹣4x﹣2＝0；（3）3x2﹣8x+4＝0；（4）3x（x﹣1）＝2﹣2x．24．（6分）若﹣＝（x﹣y）2，求x﹣y的值．25．（6分）已知关于x的方程x2+ax﹣2＝0的一个根为1，求a的值及该方程的另一根．26．（6分）在进行二次根式化筒时，我们有时会遇上如，，，等的式子，其实我们还可以将其进一步化简：．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．（1）根据上述方法化简：．（2）化简：．27．（7分）（1）已知2x﹣1的平方根是±6，2x﹣y﹣1的算术平方根是5，求2x﹣3y+11的平方根；（2）已知，求的值；四．填空题28．方程x（x﹣3）＝0的解为．29．已知a2+bc＝6，b2﹣2bc＝﹣7，则5a2+4b2﹣3bc的值为．30．若a是的小数部分，则a（a+6）＝．31．函数y＝+中，自变量x的取值范围是．五．解答题32．（5分）当k取何值时，关于x的方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0．（1）是一元一次方程？（2）是一元二次方程？33．（7分）如图，学校准备修建一个面积为48m2的矩形花园．它的一边靠墙，其余三边利用长20m的围栏．已知墙长9m，问围成矩形的长和宽各是多少？34．（6分）如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为a米的墙，另外三边用25米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边CD上留一个1米宽的门，（1）若a＝12，问矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为80米2．（2）问a的值在什么范围时，（1）中的解有两个？一个？无解？（3）若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到90平方米？2020届九年级（上）第二次月考数学试卷参考答案一．选择题1．解：A、＝3，与不是同类根式，故此选项错误；B、＝2，与不是同类根式，故此选项错误；C、＝，与不是同类根式，故此选项错误；D、＝，与，是同类根式，故此选项正确．故选：D．2．解：∵＝x﹣5，∴5﹣x≤0∴x≥5．故选：C．3．解：A、x2﹣y＝1是二元二次方程，不合题意；B、x2+2x﹣3＝0是一元二次方程，符合题意；C、x2+＝3不是整式方程，不合题意；D、x﹣5y＝6是二元一次方程，不合题意，故选：B．4．解：A、与不能合并，所以A选项错误；B、原式＝2，所以B选项错误；C、原式＝，所以C选项错误；D、原式＝＝2，所以D选项正确．故选：D．5．解：①是最简二次根式；②＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；③是最简二次根式；④＝3，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．①③是最简二次根式，故选C．6．解：A、当x＝0时，﹣x﹣2＜0，无意义，故本选项错误；B、当x＝﹣1时，无意义；故本选项错误；C、∵x2+2≥2，∴符合二次根式的定义；故本选项正确；D、当x＝±1时，x2﹣2＝﹣1＜0，无意义；故本选项错误；故选：C．7．解：把x＝2代入x2﹣ax+6＝0得4﹣2a+6＝0，解得a＝5．故选：D．8．解：方程整理得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4，故选：C．9．解：∵1＜x≤2，∴x﹣3＜0，x﹣2≤0，∴原式＝3﹣x+（2﹣x）＝5﹣2x．故选：C．10．解：＝2．故选：A．11．解：＝|﹣|＝，故选：A．12．解：把x＝1代入ax2+bx+c＝0，可得：a+b+c＝0；故选：C．13．解：方程（x+1）（x﹣2）＝0，可得x+1＝0或x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2，故选：C．14．解；根据题意得m+1≠0，解得m≠﹣1．故选：D．15．解：x2+4x﹣5＝0，x2+4x＝5，x2+4x+22＝5+22，（x+2）2＝9，故选：A．16．解：x2＝x，x2﹣x＝0，x（x﹣1）＝0，x＝0，x﹣1＝0，x1＝0，x2＝1，故选：C．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）17．解：原方程化为：3x2﹣5x﹣6＝0，故答案为：3x2﹣5x﹣6＝018．解：∵＝x﹣4+6﹣x＝2，∴x﹣4≥0，x﹣6≤0，解得：4≤x≤6．故答案为：4≤x≤6．19．解：x2﹣6x+8＝0，（x﹣4）（x﹣2）＝0，∴x1＝4，x2＝2，由三角形的三边关系可得：腰长是4，底边是2，∴底边上的高为＝，∴该三角形的面积是×2×＝，故答案为：．20．解：∵，∴＝111 111 111．故答案为：111 111 111．21．解：（m2+n2）（m2+n2+2）＝15，（m2+n2）2+2（m2+n2）﹣15＝0，（m2+n2+5）（m2+n2﹣3）＝0，∵m2+n2+5＞0，∴m2+n2﹣3＝0，m2+n2＝3，故答案为：3．三．解答题（共6小题，满分57分）22．解：x＝＝＝2﹣，∴原式＝＝＝﹣＝﹣＝﹣．23．解：（1）x2﹣4x＝﹣3，x2﹣4x+4＝﹣3+4，即（x﹣2）2＝1，x﹣2＝±1，∴x1＝3，x2＝1；（2）x2﹣4x＝2，x2﹣4x+4＝2+4，即（x﹣2）2＝6，x﹣2＝，∴x1＝2+，x2＝2﹣；（3）3x2﹣8x+4＝0，（3x﹣2）（x﹣2）＝0，∴3x﹣2＝0或x﹣2＝0，∴x1＝，x2＝2；（4）变形为：3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x+2）＝0，∴x﹣1＝0或3x+2＝0，∴x1＝1，x2＝﹣．24．解：由题意得：，解得：x＝3，∴（x﹣y）2＝0，∴x﹣y＝0．25．解：把x＝1代入x2+ax﹣2＝0，得12+a﹣2＝0，解得a＝1．根据根与系数的关系得到方程的另一根为：＝﹣2．综上所述，a的值为1，该方程的另一根是﹣2．26．解：（1）＝＝﹣；（2）原式＝×（﹣1）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣）＝×（﹣1）＝3．27．解：（1）由题意知2x﹣1＝36，2x﹣y﹣1＝25，则2x＝37，y＝11，∴＝±＝±；（2）∵a＝＝2﹣，∴a﹣1＝2﹣﹣1＝1﹣＜0，∴原式＝﹣＝a﹣1+＝2﹣﹣1+2+＝3．四．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）28．解：x（x﹣3）＝0，可得x＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝0，x2＝3．故答案为：x1＝0，x2＝329．解：∵a2+bc＝6 ①，b2﹣2bc＝﹣7 ②，∴①×5+②×4得：5a2+4b2﹣3bc＝30﹣28＝2．故答案为：2．30．解：∵3＜＜4，∴a＝﹣3，∴a（a+6）＝（﹣3）×（﹣3+6）＝（﹣3）×（+3）＝10﹣9＝1，故答案为：1．31．解：由题意得，1﹣x≠0，x+2≥0，解得，x≥﹣2且x≠1，故答案为：x≥﹣2且x≠1．五．解答题（共3小题，满分18分）32．解：（1）（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0，当k﹣5＝0且k+2≠0时，方程为一元一次方程，即k＝5，所以当k＝5时，方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0为一元一次方程；（2）（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0，当k﹣5≠0时，方程为一元一次方程，即k≠5，所以当k≠5时，方程（k﹣5）x2+（k+2）x+5＝0为一元二次方程．33．解：设宽为x m，则长为（20﹣2x）m．由题意，得x•（20﹣2x）＝48，解得x1＝4，x2＝6．当x＝4时，20﹣2×4＝12＞9（舍去），当x＝6时，20﹣2×6＝8．答：围成矩形的长为8m、宽为6m．34．解：（1）设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为xm，则矩形鸡舍的另一边长为（26﹣2x）m．依题意，得x（26﹣2x）＝80，解得x1＝5，x2＝8．当x＝5时，26﹣2x＝16＞12（舍去），当x＝8时，26﹣2x＝10＜12．答：矩形鸡舍的长为10m，宽为8m．（2）由（1）知，靠墙的边长为10或16米，∴当a≤16时，（1）中的解有两个，当10≤a＜16时，（1）中的解有一个，当a＜10时，无解．（3）当S＝90m2，则x（26﹣2x）＝90，整理得：x2﹣13x+45＝0，则△＝b2﹣4ac＝169﹣180＝﹣11＜0，故所围成鸡舍面积不能为90平方米．答：所围成鸡舍面积不能为90平方米．。

2023-2024学年江苏省南通市崇川区重点中学九年级（上）月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列函数中一定是二次函数的是( )B. y=ax2+bx+cA. y=2x2+1xC. y=3x−1D. y=2x(x−2)+12.下列说法正确的是( )A. 过圆心的线段是直径B. 面积相等的圆是等圆C. 两个半圆是等弧D. 相等的圆心角所对的弧相等3.如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5∘,OC=4，CD的长为( )A. 22B. 4C. 42D. 84.关于二次函数y=(x−1)2+5，下列说法正确的是( )A. 函数图象的开口向下B. 函数图象的顶点坐标是(−1,5)C. 该函数有最大值，最大值是5D. 当x>1时，y随x的增大而增大5.已知抛物线y=−x2+bx+4经过(−2,n)和(4,n)两点，则n的值为( )A. −2B. −4C. 2D. 46.如图，在▵ABC中，∠ACB=90∘，AB=5，BC=4.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是( )A. 2B. 3C. 4D. 57.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与B C相交于点D，若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0,8)，则点D的坐标是( )A. (9,2)B. (9,3)C. (10,2)D. (10,3)8.如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，PD与⊙O相切于点D，连接OE并延长，交PD于点P，则∠P的度数是( )A. 36°B. 28°C. 20°D. 18°9.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出，则其面积S=p(p−a)(p−b)(p−c)的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2.这个公式也被称为海伦−秦九韶公式．若p=5,c=4，则此三角形面积的最大值为( )A. 5B. 4C. 25D. 510.如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为(3,4)，点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为( )A. 3B. 4C. 6D. 8二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.用反证法证明命题“若a2<4，则|a|<2”时，应假设_____．12.已知二次函数y=x2−2mx+1，当x≥2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是_____．13.已知一个圆锥的底面直径为20cm，母线长为30cm，则这个圆锥的表面积是_____．14.已知二次函数y=mx2+x−1的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是______．15.在⊙O中，弦AB的长等于半径，那么弦AB所对的圆周角的度数是__________．16.当−2≤x≤1时，二次函数y=−(x−m)2+m2+1有最大值4，则实数m的值为________．17.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−4ax−1经过点(2,7).若关于x的一元二次方程ax2−4ax−1−t=0(t≤x<4的范围内有实数根，则t的取值范围为________．为实数)在1218.如图，在正方形ABCD中，AB=4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为_____．三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。

2019-2020学年九年级（上）第二次月考数学试卷一．选择题（共10小题）1．下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似D．两个矩形一定相似2．两个相似多边形的相似比是2：3，则这两个多边形的周长比是（）A．4：9 B．C．2：5 D．2：33．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论正确的是（）A．B．C．＝D．4．已知△ABC的三边长为4cm、5cm、6cm，△DEF的一边长为2cm，若两个三角形相似，则△DEF的另两边长不可能是（）A．2.5cm，3cm B．1.6cm，2.4cmC．cm，cm D．1.6cm，2.5cm5．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD•BC＝DE•AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（）A．1个B．2 C．3个D．4个6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，tan∠BCD的值为（）A．B．C．D．7．如图，在△ABC中，点D在BC边上，联结AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．8．如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，点E的坐标为（1，0），若点A、C、D的坐标分别是（3，4）、（2，2）、（3，1）．则点D的对应点B的坐标是（）A．（4，2）B．（4，1）C．（5，2）D．（5，1）9．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，AD：DB＝1：2，则△ADE、△BDF与四边形DECF的面积比为（）A．1：2：3 B．1：3：4 C．1：4：5 D．1：4：410．如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE＝2，OE＝3，则tan∠ACB•tan∠ABC ＝（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题（共8小题）11．如图，小明在A时测得直立于地面的某树的影长为3米，B时又测得该树的影长为12米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为米．12．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC∽矩形BCDA，则EC的长为．13．如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，AD＝10，BD＝6，若△ABD与△BCD相似，则CD的长度为．14．如图，在Rt△OAD中，∠A＝90°，B，C在AD边上，且OA＝AB＝BC＝CD，有下列结论：①△AOB∽△BOD：②△BOC∽△BDO：③△COD∽△BDO，其中成立的有（选填序号）15．在如图的正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则tan∠BOD的值等于．16．如图，在平行四边形ABCD中，DE：EC＝2：3，若△DEF、△EBC的面积分别为S1、S2，则S1：S2＝．17．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），∠ADE＝∠B＝α，DE交AC于点E，且cosα＝，则线段CE的最大值为．18．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长为．三．解答题（共6小题）19．在如图所示的方格中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0）、A（﹣2，﹣1）、B（﹣1，﹣3），△O1A1B1与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形．（1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标及△O1A1B1与△OAB的位似比；（2）以原点O为位似中心，在y轴的左侧画出△OAB的另一个位似△OA2B2，使它与△OAB的位似比为2：1，并写出点B的对应点B2的坐标．20．（1）计算：（﹣1）2018﹣+（π﹣3）0+4cos45°（2）计算：2tan45°﹣|﹣3|+（）﹣2﹣（4﹣π）021．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BE，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE ＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求tan∠DEC．22．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且∠CDE＝∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB＝3BD，CE＝2，求⊙O的半径．23．已知在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，关于x的方程a（1﹣x2）+2bx+c（1+x2）＝0有两个相等实根，且3c＝a+3b（1）试判断△ABC的形状；（2）求sin A+sin B的值．24．[问题提出]在判定两个三角形全等时，除根据一般三角形全等判定定理外，还有“HL”方法．类似的，我们对直角三角形相似的条件进行探索．（1）[提出猜想]除根据一般三角形相似判定的条件外，请你提出类似于“HL”的判定直角三角形相似的方法，并用文字描述为：．（2）[初步思考]其中，我们不妨将问题用符号语言表示为：如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，若，则△ABC∽△DEF，请给予证明．（3）[深入研究]若图中的∠C＝∠F＞90°，其他条件不变，两个三角形是否相似？试利用以上探究的结论解决问题，若相似请证明，若不相似，请画出反例．。

江苏省南通市2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分，在每小题给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的）1．下列各点中，在反比例函数的图象上的是( )4y x =A. B. C. D.(14)--，(14)-，(2)-，2(2)，-22．将抛物线向右平移2 个单位长度，再向下平移5 个单位长度，平移后的抛物线的2y x =解析式为( )A. B. C. D.2(2)5y x =+-2(2)5y x =++2(2)5y x =--2(2)5y x =-+3．如图，O 的半径为10，弦AB=16，点 M 是弦 AB 上的动点且点 M 不与点A 、B 重⊙合，则OM 的长不可能是( )A.5B.6C.8D.94．如图，等腰直角三角板ABC 的斜边AB 与量角器的直径重合，点D 是量角器上 120° 刻度线的外端点，连接CD 交AB 于点E ，则∠CEB 的度数是( )A.100°B.105°C.110°D.120°5．正方形网格中，如图放置，则=（ ）AOB ∠sin AOB ∠C. D.1226．如图，直线，直线m 、n 分别与直线a ，b ，c 相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F ，a ∥b ∥c 若AB =2，AC =5，DE =3，则EF =( )A.2.5B.4C.4.5D.7.57．已知点，，都在反比例函数的图象上，则，A (−4，y 1)B (−2，y 2)C (3，y 3)(0)ky k x =>y 1，的大小关系为( )y 2y 3 A. B. C. D.y 3<y 2<y 1y 2<y 3<y 1y 3<y 1<y 2y 2<y 1<y 38．如图，点D 在△ABC 的边AC 上，添加一个条件，不能判断△ABC 与△BDC 相似的是( )A.∠CBD =∠AB.C.∠CBA =∠C DBD.BC CD AC AB =BC CD AC BC=9．如图，∠B 的平分线 BE 与 BC 边上的中线 AD 互相垂直，并且 BE =AD =4，则BC 值为()A.7B.C. 6D.10．如图，菱形OABC 的一边OA 在x 轴的负半轴上，O 是坐标原点，A 点坐标为，50-（，）对角线 AC 和 OB 相交于点D ，且AC OB =40．若反比例函数的图象经过 ∙(0)k y x x =<点D ，并与BC 的延长线交于点E ，则值等于()CDE S ∆A. 2 B.1.5 C.1 D.0.5二、（本大题共8小题，第11～12每小题3分，13～18每小题4分，共30分）11．抛物线y =2(x +1)2 +3的顶点坐标是.12．在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =5，BC =4，则tanA=．13．正八边形的中心角是 度.14．圆锥的底面半径是3，母线长为4，则圆锥的侧面积为.15．如图，△ABC 和△DEF 是以点O 为位似中心的位似图形，若 OA ∶AD =2∶3，则△ABC 与DEF 的面积比是 .16．如图，有一个测量小玻璃管口径的量具ABC ，AB 的长为18 mm ，AC 被分为60 等份.如果小玻璃管口径DE正好对应量具上20 等份处(DE ∥AB )，那么小玻璃管口径DE = mm.17． 已知，，若 m ≤n ，则实数 a 的23236m n a +=++22324m n a +=++值为．18． 线段AB =，M 为AB 的中点，动点 P 到点 M 的距离是1，连接 PB ，线段 PB绕点P 逆 时针旋转 90° 得到线段 PC ，连接 AC ，则线段 AC 长度的最小值是．三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（1）计算：tan45°﹣sin30°cos60°﹣cos 245°；（2）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC ，BC ，解这个直角三角形．20．(本小题满分10分)如图，是三角形的外接圆，是的直径，AD ⊥BC 于点E ．O ABC AD O (1)求证：；BAD CAD ∠=∠(2)若长为8，，求的半径长．BC 2DE =O 21．(本小题满分10分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y =2x +b 经过点 A (-2，0)与 y 轴交于点 B ，与反比例函数的图象交于点 C (m ，6)，过 B 作 BD ⊥y 轴，交反比例函数(0)k y x x =>的图象于点D ．连接AD 、CD ．(0)k y x x=>(1)b =，k =，不等式 >2x +b (x >0)的解集是；k x(2)求△ACD 的面积．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BD，交AB于点E，(1) 求证：△ADE∽△ABD；(2)若AB=10，BE=3AE，求线段AD长．23．(本小题满分12分)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，(1)求证：AC平分∠BAD；(2)若∠BAD=60°，AB=4，求图中阴影部分的面积．24．(本小题满分12分)某商品进货价为每件40 元，将该商品每件的售价定为50 元时，每星期可销售250 件.现在计划提高该商品的售价增加利润，但不超过58 元.市场调查反映：若该商品每件的售价在50元基础上每上涨1元，其每星期的销售量减少10 件.设该商品每件的售价上涨x元(x为整数且x≥0)时，每星期的销售量为y 件．(1)求y与x之间的函数解析式；(2)当该商品每件的售价定为多少元时，销售该商品每星期获得的利润最大?最大利润是多少?(3)若该商品每星期的销售利润不低于3000 元，求商品售价上涨x元的取值范围．在矩形ABCD 中，AB <BC ，AB =6，E 是射线CD 上一点，点C 关于BE 的对称点F 恰好落在射线DA 上．如图，当点 E 在CD 边上时，①若BC =10，DF 的长为；②若AF ·FD =9时，求 DF 的长；(2)作∠ABF 的平分线交射线 DA 于点M ，当 时，求 DF 的长．12MF BC =26．(本小题满分13分)在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标比横坐标大k ，则称该点为“k 级差值点”．例如，(1，4)为“3级差值点” ，(﹣3，2)为“5级差值点”．(1) 点(x ，y )是“4级差值点”，则y 与x 的函数关系式是；(2) 若反比例函数的图象上只有一个“k 级差值点”(﹣3≤ k ≤2)，t =4m +2k +4，求t 的取m y x=值范围；(3) 已知直线l ： y =nx +3与抛物线y =a (x ﹣h )²+h +3交于A ，B 两点，且AB ≥3．若 k ≠3时，2直线 l 上无“k 级差值点”，求a 的取值范围．答案一、选择题1. A2. C3.A4.B4.B5.B6.C7.D8.B9.D 10.C二填空题、11. (-1，3)12.4 513. 4514. 12π15. 4∶2516.1218.三、解答题（本大题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．(本小题满分10分)（1）计算：tan45°﹣sin30°cos60°﹣cos 245°；解：原式= (2)分211122-⨯-…………………………………………………………………… 4分11142=--…………………………………………………………………… 5分14=（2）解：在在Rt △ABC 中，∠C =90°………………………………………………………… 7分∴∠A =60°…………………………………………………………………… 8分∠B =90°-∠A =90°-60°=30°………………………………………………… 9分 (10)分2AB AC ==20．(本小题满分10分)解：(1)∵AD 是的 ⊙O 直径∵AD ⊥BC∴弧BD =弧CD ，…………………………………… 2分∴∠BAD =∠CAD …………………………………… 4分C BAtan BC A AC ==(2) 连接OC∵AD 是的 ⊙O 直径∵AD ⊥BC∴CE =BE =BC…………………………………… 5分12∵BC =8∴CE =4…………………………… 6分在Rt △OEC 中，由勾股定理得，222OE EC OC +=设圆的半径长为r ，∵DE =2∴…………………8分222(2)4r r -+=∴5r =∴⊙O 的半径长为5…………………10分21．(本小题满分10分)(1) b =4，k =6，0<x<1…………………6分 (2)在y =2x +4中，令x =0，则y =4，∴B (0，4) ，在中，令y =4则x =1.56(0)y x x=>∴ D (1.5，4)，∴BD =1.5…………………8分∴S △ACD =S △ABD +S △BCD ==…………………10分111.54 1.56422⨯⨯+⨯⨯-（）9222．(本小题满分10分)(1)证明：∵BD 是∠ABC 的平分线∴∠ABD =∠DBC……………………………1分∵DE ⊥BD∴∠BDE =90°∵∠C =90°∴∠ADE + ∠BDC =90°，∠CBD +∠BDC =90°∴∠CBD = ∠ADE ……………………………………3分∴∠ADE = ∠ABD ……………………………………4分又∵∠A =∠A∴△ADE ∽△ABD ………………………………5分(2)解：∵AB =10，BE =3AE∴AE =2.5，BE =7.5………………………………6分由(1)得△ADE ∽△ABD ，∴………………………………8分AD AE AB AD∴AD 2=AB ·AE =10×2.5=25∴AD =5∴线段AD 长为5.………………………………10分23. (本小题满分12分)(1)证明：如图1，连接OC ，∵CD 为⊙O 切线，∴OC ⊥CD………………………………1分∵AD ⊥CD∴OC // AD ………………………………2分∴∠OCA =∠CAD ， ………………………………3分又∵OA =OC∴∠OCA =∠OAC ………………………………4分∴∠CAD =∠OAC ，………………………………5分∴AC 平分∠DAB . ………………………………6分(2)解:如图所示，过点O 作OE ⊥AC 于点E ，则AE =EC =AC ，12∵∠BAD =60°，AC 平分∠DAB∴∠CAB =30°，∠COB =2∠CAB =60°，………………………………8分在Rt △AOE 中，AO =AB =2，12∴OE =OA =1，AE 12=∴AC =2AE =………………………………10分∴AOC BOCS S S ∆=+阴影扇形=2160212360π⨯⨯⨯+……………………………12分23π24．(本小题满分12分)解:(1)由题意可得， y =250－10x=﹣10x+250，y 与x 之间的函数解析式是y =﹣10x +250；……………………………2分(2)设当该商品每件的售价上涨x 元时，销售该商品每星期获得的利润为w 元.由题意可得:w=……………………………4分(5040)(10250)x x +--+=2101502500x x -++=210(7.5)3062.5x --+∵，0≤x ≤25且x 为整数100-<∴当x =7或8时，w 取得最大值3060，此时50+x =57或58.……………………6分答:当该商品每件的售价为57或58元时，每星期获得的利润最大，最大利润为3060元.……………………………7分(3)由题意得：……………………………8分21015025003000x x -++=解得……………………………10分12510x x ==，当x =5或10时，此时50+x =55或60又∵售价不超过58元∴5≤x ≤8且x 为整数…………………………12分25．(本小题满分13分)(1) ①DF 的长为 2 …………………………2分②解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠BCD =∠A =∠ABC =∠D = 90°，CD =AB =6由对称可知∠BFE =∠BCD =90°， BF =BC∴∠AFB +∠DFE =90°，∠DEF +∠DFE =90°，∴∠AFB =∠DEF又:∠D =∠A =90°∴△FAB ∽△EDF . ………………………4分∴………………………5分AFBADE FD =∴AB ·DE =AF .DF =9.又∵AB =6，∴DE =……………………………………………6分32∴CE =CD －DE =6 -=………………………7分3292(2)分两种情况讨论.①当点F 在线段 AD 上时，如图(1)，过点M 作 MN ⊥BF 于点N ，则∠MNF =∠A =90°.又∵∠AFB =∠NFM∴△FMN ∽△FBA∴MN MF FNAB BF AF==又∵，BF =BC12MF BC =∴12MNMFFNAB BF AF ===∴MN =3，AF =2FN …………………………………………8分∵BM 平分∠ABF ，∠BNM =∠A =90°，∴AM = MN =3.∴AM +MF =2FN∴13()22BN FN FN++=∴13(6)22FN FN++=∴FN =4…………………………………………9分∴AD =BF =BC =6+4=10∴AF =8∴DF =AD - AF =10-8=2…………………………………10分②当点F 在线段 DA 的延长线上时如图(2)，过点M 作 MN ⊥BF 于点 P .同①可得AM =MN =AB =3，BN =AB =6，BC = AD =10，12MF =BC =5，12∴AF =8，∴DF =18.综上可知，DF 的长为2或18.…………………………………13分26．(本小题满分13分)26.(1)…………………………………3分4y x =+(2)解：由题意得：mx kx =+∴20x kx m +-=∵图象上只有一个“k 级差值点”∴方程 有两个相等的实数根20x kx m +-=∴△=0∴240k m +=∴…………………………………4分24m k =-∵424t m k =++∴…………………………………5分224t k k =-++=2(1)5k --+当k =1时，t 有最大值5，当t =-3时，t 有最小值-11-11≤t ≤5…………………………………7分（3）由题意得若 k =3时，直线 l 上有“k 级差值点”∴y =x +3∴n =1…………………………………8分∴x +3= a (x -h )²+h +3∴x 1=h ，x 2=…………………………………9分1h a+∵AB ≥利用两点间距离公式或根据够勾股定理得出≥3即≥3………………………………11分12x x -1a ∴或，即………………………………13分103a <≤103a >≥-11,033a a ≥≥-≠。

江苏省南通市启秀中学2020年中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．4的算术平方根等于（）A．±2B．2C．﹣2D．±16a≠0，化简下列各式，正确的个数有（ 2. 若）????331243622?055aa??-2a6a?aa a?a?a?a a?=（1（）））4）（3（2 D．4个 B． 2个 C． 31A．个个3．若一组数据1，2，3，4，x的平均数与中位数相同，则实数x的值不可能是（）A．0B．2.5C．3D．54．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（）． cm3cm D． cm A C． cmB．﹣1≤2﹣x5．的解集中若不等式x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，则m的取值范围是（）＞﹣m D＜﹣C．m．A．m＜﹣＞﹣B．m6．如果函数y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是（）A．k≥0且b≤0B．k＞0且b≤0C．k≥0且b＜0D．k＞0且b＜07．2019年某市实现地区生产总值约6622亿元，将6622用科学记数法表示为（）43211×10D．C．66.22×10．A0.6622×10．B6.622×106.622232+17的值为（x）﹣4x x．若，x是一元二次方程x+x﹣3＝0的两个实数根，则81212A．﹣2B．6C．﹣4D．422x?4x?4b的值为﹣4，则x＝﹣a时，多项式已知9. x＝a时，该多项式的值为（）．A.0B.6C.12D.1810.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与△ABC相111似的是（）．DA．．C．B分．不需写出解答过程，请把正确答3分，共计248二、填空题（本大题共小题．每小题案直接填在答题卡相应的位置上）．．．．．．．．2均为整数，、5x+17x﹣12可因式分解成（x+a）（bx+c），其中ab、c11.若多项式则a+c之值为.12.某数学研究性学习小组制作了如下的三角函数计算图尺：在半径为1的半圆形量角器中，画一个直径为1的圆，把刻度尺CA的0刻度固定在半圆的圆心O处，刻度尺可以绕点O旋转．从图中所示的图尺可读出sin∠AOB的值是 .13．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数22＝12，则k的值为，若y＝在第一象限的图象经过点BOA﹣AB14．由几个小正方体组成的几何组合体的主视图、左视图如图所示，那么这几何组合体至少由个小正方体组成 .15．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上一点，以AB为直径在正方形内作半圆O，将△DCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆O的点F处，则CE的长为.16．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线y ＝kx交于点C（4，n），则tan∠OCB的值为.17．如图，在∠MON中，以点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OM于点A，交射线ON于点B，再分别以A，B为圆心，OA的长为半径作弧，两弧在∠MON的内部交于点C，作射线OC．若OA＝5，AB＝6，则点B到AC的距离为.2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且经过点（﹣1，0）y18．抛物线＝x．若关于x的一元二次方2+bx+c﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则程xt的取值范围是.分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字96小题，共10三、解答题（本大题共．说明、证明过程或演算步骤）°．+（．（10分）1﹣）计算：2tan4519）﹣1a+12（）化简：（a+1）﹣a（2．4?2)?x?(3x?? 2）（8．（分）解方程组和不等式组：（1）20?x?21x??1?4?棵．由于志题者的支援，实际工作效分）为了改善生态环境，某乡村计划植树400021.（8 棵，原计划植树多少天？3天完成，并且多植树80，结果比原计划提前率提高了20%1个黑球和个白球，这些球除颜色外无其他差别．.（8分）在一个不透明的盒中有m22个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验）若每次将球充分搅匀后，任意摸出1（1；的值应是后，发现摸到黑球的频率稳定在0.75左右，则m（2）在（1）的条件下，用m个黑球和1个白球进行摸球游戏．先从盒中随机摸取一个球，再从剩下的球中再随机摸取一个球，求事件“先摸到黑球，再摸到白球”的概率．（分）解答下列问题：923．2xmx??2x. （1）已知关于的方程x?3x?3mm为何值时，方程的解为负数？为何值时，方程无解？②①24．（8分）京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A、B和点C、D，先用卷尺量得AB=160m，CD=40m，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH的长）．25.（9分）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，连接BE、BF、EF，且有AF+CE＝EF．（1）求（AF+1）（CE+1）的值；（2）探究∠EBF的度数是否为定值，并说明理由；）某地政府计划为农户购买农机设备提供补贴．其中购买Ⅰ型、Ⅱ型设备农民所10分26.（投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系．Ⅰ型设备Ⅱ型设备型号金额4投资金额x（万元）x5x2222.8补贴金额y（万元）40）y＝ax（+0kxy＝（k≠）bxa≠21y和的函数解析式；y（1）分别求21万元购买Ⅰ型、Ⅱ型两种设备，两种设备的投资均为整数万元，102）有一农户共投资（要想获得最大补贴金额，应该如何购买？能获得的最大补贴金额为多少？13分）．27（1BC.DE∥BC，DE=ACABC（1）如图，已知△中，D、E分别是AB、的中点，求证：2）题的结论，解决下列问题：（2）利用第（1 AB、CD的中点，E①如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，、F分别是1（AD+BC）求证：EF∥BC，FE=2，AD＝3，点M，N分别在边AB，BC②如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，求EF长度的最大值．（13，则PB|=2B，不重合CP1），是圆内与圆心分）在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r（r＞28．满足|PA﹣C的“完美点”的定义如下：若直线CP与⊙C交于点A，的点，⊙的示意图．的“完美点”，如图为⊙C及其“完美点”P称点P为⊙C 的半径为O2时，（1）当⊙的“完美点”是；，﹣1，N（0，），T）中，⊙（﹣O①在点M，（0）x上，求PO的长及点P的坐标； O②若⊙的“完美点”P在直线y=C的“完美点”，求圆心C轴上存在⊙y的圆心在直线（2）⊙Cy=，若2上，半径为x+1 t的取值范围．的纵坐标年数学试卷参考答案与试题解析2020 一、 B 8.A 9. C 10.B 2. B 3.C 4.A 5.C 6. A7. B1.二、18.﹣4 17.≤t＜ 12. 13.6、 14. 4 、 15.5. 16. 11.1、、、、、三、2+22+3﹣2+1﹣；2+2＝19.解：（1）原式＝22 a﹣a﹣1=a．+2a+1（2）原式=a﹣3??1?x 2））；20. 解：（1（221. 解：设原计划每天种x棵树，则实际每天种（1+20%）x棵，依题意得：﹣=3=20．答：原计划植树20天．解得x=200，经检验得出：x=200是原方程的解．所以22.解：（1）解：根据题意得＝0.75，解得：m＝3，经检验：m＝3是分式方程的解，故答案为：3；（2）画树状图如下：从树状图可知，“先从盒子中随机取出一个球，再从剩下的球中再随机摸取一个球”共12种等可能的结果，其中“先摸到黑球，再摸到白球”的结果有3种，∴P（先摸到黑球，再摸到白球）＝＝．??x?46m?m?4m?2m?4m?2）①②或且23. 解：（124. 解：过D作DE⊥AB，可得四边形CHED 为矩形，∴HE=CD=40m，设CH=DE=xm，在Rt△BDE中，∠DBA=60°，∴BE=xm，在Rt△ACH中，∠BAC=30°，∴AH=xm，m，由x=160，解得：x=30AH+HE+EB=AB=160m，得到，即CH=30x+40+25.解：（1）设CE＝x，AF＝y，则DE＝1﹣x，DF＝1﹣y，∵AF+CE＝EF，222，EF+＝DEDFy＝x+，∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∴∴EF2221，x+y1（﹣y）＝，xy∴（x+y）＝（1﹣x）++；1+1＝2xxy++y+1＝+1AF∴（+1）（CE+1）＝（y）（x+1）＝的度数为定值，理由是：2）∠EBF（，°得到△BCGABF绕点B顺时针旋转90如图1，将△．＝A90°，∠BGABF＝∠CBG，∠BCG＝∠，重合．由旋转可得此时AB与CBAB ＝BCBF＝E在同一条直线上．G、C、°．∴点°∠∴∠BCG+BCD＝90+90°＝180 ，EF=EG，BE=BE，BF=BG中，∵GBE和△FBE，在△EG＝CE+CG＝EF＝CE+AF∵．，+∠CBECBG+∠CBE＝∠ABF＝∠∴△FBE≌△GBE（SSS），∴∠EBF＝∠EBG°；EBF＝45∵∠ABC＝90°，∴∠，购买Ⅱ型设备补贴的金额的kx）设购买Ⅰ型设备补贴的金额的解析式为：y＝26.解：（112，，或，解得：k，解析式为y＝ax＝+bx，由题意，得：2＝5k22+＝﹣xx．∴y的解析式为：yx＝，y的函数解析式为：y2211）万元，补贴金额为W万元：a 万元，Ⅰ型设备（10﹣a（2）设投资Ⅱ型设备22﹣（﹣aa）+a+）＝﹣+所以W＝yy（＝（10﹣a）+21时，W，所的最大值＝3所以当a＝或4万元，万元，Ⅱ型设备4万元，Ⅱ型设备3万元；或投资Ⅰ型设备6以投资Ⅰ型设备7获得最大补贴金额，最大补贴金额为万元．，＝DE，连接CF到点）证明：（1）如图，延长DEF，使得EF27.（1，CFE（SASADE和△CFE）中，，∴△ADE≌△在△，＝BDCF＝，∴CF∥AB，又∵AD∴∠A＝∠ECF，ADDF=BC, ，∴四边形BCFD是平行四边形，∴∴CF＝BD1）①略．（DE=2BCDF∵EF＝DE，∴＝2的中点，MN，DNDM，∵点E，F分别为②解：连接＝DM，∴由（1）知EF DM最大，∵M与B重合时最大，∴DM最大时，EF=6，DM＝DB＝＝此时3．EF的最大值为3．故答案为：∴，，∵⊙O的半径为2，∴设⊙O与x轴的交点为A，B28. 解：1（）①∵点M（，0）2，≠）﹣（2﹣），B（20）|=3，∴|MA﹣MB|=|（+2，2∴取A（﹣，0）；，O的“完美点”．故答案为NT的“完美点”，同理：点∴点M不是⊙ON，T是⊙OP=1．）|OP+2﹣（2﹣OP|=2，∴﹣②如图1，根据题意，|PAPB|=2，∴，PQ⊥x轴于点Q在第一象限内，作若点P（P，）．，OP=1P∵点在直线上，，∴OQ=PQ=．∴，﹣在第三象限内，根据对称性可知其坐标为（﹣P若点．）．，﹣）P）或（﹣的坐标为（．，综上所述，PO的长为1，点（2）对于⊙C的任意一个“完美点”P都有|PA﹣PB|=2，∴|CP+2﹣（2﹣CP）|=2．∴CP=1．，）|=2﹣（2﹣CP，满足∴对于任意的点PCP=1，都有|CP+2 C的“完美点”．，故此时点﹣PB|=2P 为⊙∴|PA 1为半径的圆．C的“完美点”是以点C为圆心，因此，⊙2，轴交于点D，如图与设直线y t的值最小．轴相切且切点在点D的下方时，当⊙C移动到与y上，y=x+1E，连接CE，∵⊙C的圆心在直线设切点为OF，OD=1，∵CEF，∴（﹣，0）∥OF=，）（轴，∴此直线和yx轴的交点D0，1，﹣．1，t的最小值为DOF∴△∽△DEC，∴1，∴，∴DE=．∴OE=﹣的值最大．D轴相切且切点在点的上方时，tC当⊙移动到与y≤≤的取值范围为．综上所述，t同理可得的最大值为1+t1﹣t1+。

中考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.一枚硬币抛向空中，落地时正面朝上的概率是（）A. 0B. 1C.D.2.如图所示的几何体的左视图是（）A. B. C. D.3.如图，直线a∥b，直线c与a、b分别交于A、B两点，若∠1=46°，则∠2=（）A. 44°B. 46°C. 134°D. 54°4.下列事件是必然事件的是（）A. 某种彩票中奖率是1%，则买这种彩票100张一定会中奖B. 一组数据1，2，4，5的平均数是4C. 三角形的内角和等于180°D. 若a是实数，则|a|＞05.则这名队员身高的众数和中位数分别是（）（单位：）A. 180，182B. 180，180C. 182，182D. 3，26.若正六边形的半径长为4，则它的边长等于（）A. 4B. 2C. 2D. 47.下列运算正确的是（）A. 3x+2y=5xyB. （m2）3=m5C. （a+1）（a-1）=a2-1D. =28.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（）A. 2B. 3C. 4D. 59.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）A. m sin35°B. m cos35°C.D.10.如图，P，Q分别是双曲线y=在第一、三象限上的点，PA⊥x轴，QB⊥y轴，垂足分别为A，B，点C是PQ与x轴的交点．设△PAB的面积为S1，△QAB的面积为S2，△QAC的面积为S3，则有（）A. S1=S2≠S3B. S1=S3≠S2C. S2=S3≠S1D. S1=S2=S3二、填空题（本大题共8小题，共29.0分）11.92000用科学记数法表示为______．12.计算：|-4|-（）-2=______．13.某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是______．14.如图，在▱ABCD中，AB=2cm，AD=4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长______cm．15.如图，正方形ABCD中，点E、F分别为AB、CD上的点，且AE=CF=AB，点O为线段EF的中点，过点O作直线与正方形的一组对边分别交于P、Q两点，并且满足PQ=EF，则这样的直线PQ（不同于EF）有______条．16.如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是______．17.如图，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，点D在线段AB上运动（不与A、B重合），将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，给出下列结论：①CD=CP=CQ；②∠PCQ的大小不变；③△PCQ面积的最小值为；④当点D在AB的中点时，△PDQ是等边三角形，其中所有正确结论的序号是______．18.有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4，6，小红随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率为______．三、计算题（本大题共1小题，共3.0分）19.如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60°角时，第二次是阳光与地面成30°角时，两次测量的影长相差8米，求树高AB多少米．（结果保留根号）四、解答题（本大题共9小题，共88.0分）20.先化简，再求值：（a-b）2+b（3a-b）-a2，其中a=，b=．21.解方程：=1-．22.某校为了解学生的安全意识情况,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,根据调查结果,把学生的安全意识分成“淡薄”、“一般”、“较强”、“很强”四个层次,并绘制成如下两幅尚不完整的统计图．根据以上信息,解答下列问题：(1)这次调查一共抽取了______名学生,其中安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是______；(2)请将条形统计图补充完整；(3)该校有1800名学生,现要对安全意识为“淡薄”、“一般”的学生强化安全教育,根据调查结果,估计全校需要强化安全教育的学生约有______名.23.如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AD、BC的中点，对角线AC分别交BE，DF于点G、H．求证：AG=CH．24.如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段DE的长．25.一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg．且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：设与的关系是我们所学过的某一种函数关系．（1）直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（2）当销售单价为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？26.如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（-1，-2），抛物线F：y=x2-2mx+m2-2与直线x=-2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y p，求y p的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤-2，比较y1与y2的大小.27.【图形定义】如图，将正n边形绕点A顺时针旋转60°后，发现旋转前后两图形有另一交点O，连接AO，我们称AO为该正n边形的“叠弦”；再将“叠弦”AO所在的直线绕点A逆时针旋转60°后，交旋转前的图形于点P，连接PO，我们称∠OAB为该正n边形的“叠弦角”，△AOP为其“叠弦三角形”．【探究证明】（1）请利用图1，证明：“叠弦三角形”（即△AOP）是等边三角形；（2）如图2，求证：∠OAB=∠OAE'．【归纳猜想】（3）图1、图2中“叠弦角”的度数分别为______，______；（4）正n边形的“叠弦三角形”______等边三角形（填“是”或“不是”）；（5）正n边形的“叠弦角”的度数为______（用含n的式子表示）．28.如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm．（1）填空：AD=______（cm），DC=______（cm）；（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B的方向运动，当N点运动到B点时，M，N两点同时停止运动，连结MN，求当M，N点运动了x秒时，点N到AD的距离（用含x的式子表示）；（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连结MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值．（参考数据：sin75°=，sin15°=）答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵掷一枚硬币的情况有2种，满足条件的为：正面一种，∴正面朝上的概率是P=；故选：C．掷一枚硬币有2种情况，满足条件的有一种，用1除以2即可得出概率的值．此题考查了概率公式，考查等可能条件下的概率计算．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．2.【答案】A【解析】解：从左面看可得到一个三角形．故选：A．左视图是从物体左面看，所得到的图形．本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．3.【答案】B【解析】解：如图所示：∵直线a∥b，∠1=46°，∴∠1=∠3=46°．∵∠2与∠3是对顶角，∴∠2=∠3=46°．故选：B．先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由对顶角的定义即可得出结论．本题考查的是平行线的性质、对顶角相等的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解决问题的关键．4.【答案】C【解析】解：A、某种彩票中奖率是1%，则买这种彩票100张一定会中奖为随机事件，不符合题意；B、一组数据1，2，4，5的平均数是4是不可能事件，不符合题意；C、三角形的内角和等于180°为必然事件，符合题意；D、若a是实数，则|a|＞0为随机事件，不符合题意．故选：C．必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．据此判断即可解答．本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5.【答案】B【解析】解：∵180出现的次数最多，∴众数是180．将这组数据按照由小到大的顺序排列：176、178、178、180、180、180、182、182、186、188、192．所以中位数为180．故选：B．依据众数和中位数的定义求解即可．本题主要考查的是众数和中位数的定义，掌握众数和中位数的定义是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，故正六边形的外接圆半径等于4，则正六边形的边长是4．故选：A．根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．此题主要考查了正多边形和圆，利用正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形得出是解题关键．7.【答案】C【解析】解：A、3x+2y≠5xy，此选项错误；B、（m2）3=m6，此选项错误；C、（a+1）（a-1）=a2-1，此选项正确；D、≠2，此选项错误；故选：C．根据同类项、幂的乘方、平方差公式以及约分的知识进行判断即可．本题主要考查了平方差公式、合并同类项、幂的乘方以及约分等知识，解题的关键是掌握运算法则．8.【答案】A【解析】解：∵OC⊥AB，∴AD=BD=AB=×8=4，在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，∴OD==3，∴CD=OC-OD=5-3=2．故选：A．根据垂径定理由OC⊥AB得到AD=AB=4，再根据勾股定理可求出OD，然后用OC-OD即可得到DC．本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念解决问题，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：sin∠A=，∵AB=m，∠A=35°，∴BC=m sin35°，故选：A．根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．此题主要考查了锐角三角函数，关键是掌握正弦定义．10.【答案】D【解析】解：延长QB与PA的延长线交于点D，如右图所示，设点P的坐标为（a，b），点Q的坐标为（c，d），∴DB=a，DQ=a-c，DA=-d，DP=b-d，∵DB•DP=a•（b-d）=ab-ad=k-ad，DA•DQ=-d（a-c）=-ad+cd=-ad+k=k-ad，∴DB•DP=DA•DQ，即，∵∠ADB=∠PDQ，∴△DBA∽△DQP，∴AB∥PQ，∴点B到PQ的距离等于点A到PQ的距离，∴△PAB的面积等于△QAB的面积，∵AB∥QC，AC∥BQ，∴四边形ABQC是平行四边形，∴AC=BQ，∴△QAB的面积等于△QAC，∴S1=S2=S3，故选：D．根据题意可以证明△DBA和△DQP相似，从而可以求出S1，S2，S3的关系，本题得以解决．本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．11.【答案】9.2×104【解析】解：将92000用科学记数法表示为：9.2×104．故答案为：9.2×104．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12.【答案】-2【解析】解：|-4|-（）-2=|2-4|-4=2-4=-2．故答案为：-2．直接利用立方根的性质以及绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简求出答案．此题主要考查了实数运算，根据相关运算法则正确化简是解题关键．13.【答案】10%【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的（1-x），那么第二次降价后的售价是原来的（1-x）2，根据题意列方程解答即可．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得100×（1-x）2=81，解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍去）．答：这两次的百分率是10%．故答案为：10%．14.【答案】4【解析】解：在▱ABCD中，∵AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，∵AC⊥BC，∴AC==6cm，∴OC=3cm，∴BO==5cm，∴BD=10cm，∴△DBC的周长-△ABC的周长=BC+CD+BD-（AB+BC+AC）=BD-AC=10-6=4cm，故答案为：4．根据平行四边形的性质得到AB=CD=2cm，AD=BC=4cm，AO=CO，BO=DO，根据勾股定理得到OC=3cm，BD=10cm，于是得到结论．本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．15.【答案】3【解析】解：这样的直线PQ（不同于EF）有3条，①如图1，过O作PQ⊥EF，交AD于P，BC于Q，则PQ=EF；②如图2，以点A为圆心，以AE为半径画弧，交AD于P，连接PO并延长交BC于Q，则PQ=EF；③如图3，以B为圆心，以AE为半径画弧，交AB于Q，连接QO并延长交DC于点P，则PQ=EF．能画3条：①与EF互相垂直且垂足为O，构建直角三角形，可以证明两直角三角形全等得EF=PQ；AP=AD，连接PO延长得到PQ；②在AD上截取③同理在AB了截取BQ=AB，连接QO并延长得到PQ．本题考查了正方形的性质和全等三角形的性质与判定，本题虽然是做一条线段与EF相等，实际上是做好两件事：①画线段PQ，②能证明这两条线段相等，这比证明更为复杂，因此首先要构建直角三角形全等，找到与EF相等的边长的位置，本题的线段不止一条，容易丢解，要思考周全．16.【答案】6≤MN≤4【解析】解：（解法一）如图1，当点P为BC的中点时，MN最短．此时E、F分别为AB、AC的中点，∴PE=AC，PF=AB，EF=BC，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=6；如图2，当点P和点B（或点C）重合时，此时BN（或CM）最长．此时G（H）为AB（AC）的中点，∴CG=2（BH=2），CM=4（BN=4）．故线段MN长的取值范围是6≤MN≤4．故答案为：6≤MN≤4．（解法二）连接PM交AB于点E，连接PN交AC于点F，过点M作MD⊥PN于点D，如图3所示．设BP=x（0≤x≤4），则PE=x，CP=4-x，PF=（4-x），∴PM=x，PN=（4-x）．∵∠B=∠C=60°，∴∠BPE=∠CPF=30°，∴∠MPD=∠BPE+∠BPD=∠BPE+∠CPF=60°，∴DP=PM=x，MD=PM=x．在Rt△MDN中，MD=x，ND=PN+PD=（4-x）+x=（8-x），∴MN2=MD2+ND2=3（x-2）2+36，∴当x=2时，MN取最小值6；当x=0或x=4时，MN取最大值4．故答案为：6≤MN≤4．（解法三）连接AM、AN、AP，过点A作AD⊥MN于点D，如图所示．∵点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，∴AM=AP=AN，∠MAB=∠PAB，∠NAC=∠PAC，∴△MAN为顶角为120°的等腰三角形，∴∠AMD=30°，∴AD=AM，MD=AM，MN=AM．∵AM=AP，2≤AP≤4，∴6≤MN≤4．故答案为：6≤MN≤4．（方法一）当点P为BC的中点时，MN最短，求出此时MN的长度，当点P与点B（或C）重合时，BN（或CM）最长，求出此时BN（或CM）的长度，由此即可得出MN的取值范围．（方法二）连接PM交AB于点E，连接PN交AC于点F，过点M作MD⊥PN于点D，设BP=x（0≤x≤4），则PE=x，CP=4-x，PF=（4-x），根据等边三角形的性质结合轴对称的性质即可得出PM、PN的长度，由角的计算可得出∠MPD=60°，进而可得出MD、PD的长度，在Rt△MDN中，利用勾股定理即可得出MN2=MD2+ND2=3（x-2）2+36，再根据二次函数的性质即可解决最值问题．（方法三）连接AM、AN、AP，过点A作AD⊥MN于点D，由对称性可知AM=AP=AN、△MAN为顶角为120°的等腰三角形，进而即可得出MN=AP，再根据AP的取值范围即可得出线段MN长的取值范围．本题考查了轴对称的性质以及等边三角形的性质，解题的关键是找出MN最短和最长时点P的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，确定MN取最值时，点P的位置是关键．17.【答案】①②④【解析】解：①∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，∴CP=CD=CQ，∴①正确；②∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，∴∠PCQ=360°-（∠ACP+∠BCQ+∠ACB）=360°-（120°+120°）=120°，∴∠PCQ的大小不变；∴②正确；③如图，过点Q作QE⊥PC交PC延长线于E，∵∠PCQ=120°，∴∠QCE=60°，在Rt△QCE中，sin∠QCE=，∴QE=CQ×sin∠QCE=CQ×sin60°=CQ，∵CP=CD=CQ∴S△PCQ=CP×QE=CP×CQ=CD2，∴CD最短时，S△PCQ最小，即：CD⊥AB时，CD最短，过点C作CF⊥AB，此时CF就是最短的CD，∵AC=BC=4，∠ACB=120°，∴∠ABC=30°，∴CF=BC=2，即：CD最短为2，∴S△PCQ最小=CD2=×22=，∴③错误，④∵将△CAD与△CBD分别沿直线CA、CB翻折得到△CAP与△CBQ，∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，∵∠DAC=30°，∴∠APD=60°，∴△APD是等边三角形，∴PD=AD，∠ADP=60°，同理：△BDQ是等边三角形，∴DQ=BD，∠BDQ=60°，∴∠PDQ=60°，∵当点D在AB的中点，∴AD=BD，∴PD=DQ，∴△DPQ是等边三角形．∴④正确，故答案为：①②④．①由折叠直接得到结论；②由折叠的性质求出∠ACP+∠BCQ=120°，再用周角的意义求出∠PCQ=120°；③先作出△PCQ的边PC上的高，用三角函数求出QE=CQ，得到S△PCQ=CD2，判断出△PCQ面积最小时，点D的位置，求出最小的CD=CF，即可；④先判断出△APD是等边三角形，△BDQ是等边三角形，再求出∠PDQ=60°，即可．此题是几何变换综合题，主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，锐角三角函数，极值的确定，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出∠PCQ=120°是个定值；（其实这个题目中还有∠PDQ=60°也是定值），解本题的难点是确定出△PCQ 面积最小时，点D的位置．18.【答案】【解析】解：画树状图为：共有16种等可能的结果数，其中小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的结果数为7，所以小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率=．故答案为．画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出小红第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．19.【答案】解：在Rt△ABD中，∵tan∠ADB=，∴BD==，在Rt△ACB中，∵tan∠ACB=，∴BC===，∵BC-BD=8，∴-=8，∴AB=4（m）．答：树高AB为4米．【解析】利用正切的定义分别在两个直角三角形中有AB表示出BD和BC，然后利用BC-BD=8列方程，再解关于AB的方程即可．本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．20.【答案】解：（a-b）2+b（3a-b）-a2=a2-2ab+b2+3ab-b2-a2=ab，当a=，b=时，原式=×=2．【解析】原式去括号合并得到最简结果，将a与b的值代入计算即可求出值．此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21.【答案】解：=1-方程两边同乘以x-2，得1-x=x-2-3解得，x=3，检验：当x=3时，x-2≠0，故原分式方程的解是x=3．【解析】根据解分式方程的方法先将分式方程转化为整式方程，然后解答即可，最好要验根．本题考查解分式方程，解题的关键是明确分式方程的解法，注意最后要验根．22.【答案】(1)120 30% ;(2)安全意识“较强”的人数是：120×45%=54（人），(3)450.【解析】解：（1）调查的总人数是：18÷15%=120（人），安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比是：=30%．故答案是：120，30%；（2）安全意识“较强”的人数是：120×45%=54（人），；（3）估计全校需要强化安全教育的学生约1800×=450（人），故答案是：450．（1）根据安全意识一般的有18人，所占的百分比是15%，据此即可求得调查的总人数，然后利用百分比的意义求得安全意识为“很强”的学生占被调查学生总数的百分比；（2）利用总人数乘以对应的百分比即可求解；（3）利用总人数1800乘以对应的比例即可．本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．23.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，∵E、F分别为AD、BC边的中点，∴AE=DE=AD，CF=BF=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BE∥DF，∴∠AEG=∠ADF，∴∠AEG=∠CFH，在△AEG和△CFH中，，∴△AEG≌△CFH（ASA），∴AG=CH．【解析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，得出∠ADF=∠CFH，∠EAG=∠FCH，证出四边形BFDE是平行四边形，得出BE∥DF，证出∠AEG=∠CFH，由ASA证明△AEG≌△CFH，得出对应边相等即可．本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．24.【答案】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，∵OD=OA，∴∠A=∠ODA，∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠ODA+∠EDB=90°，∴∠ODE=180°-90°=90°，∴直线DE与⊙O相切；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8-x，∵∠C=∠ODE=90°，∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，∴42+（8-x）2=22+x2，解得：x=4.75，则DE=4.75．【解析】（1）直线DE与圆O相切，理由如下：连接OD，由OD=OA，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到∠ODE为直角，即可得证；（2）连接OE，设DE=x，则EB=ED=x，CE=8-x，在直角三角形OCE和ODE中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的得到x的值，即可确定出DE的长．此题考查了直线与圆的位置关系，以及线段垂直平分线定理，熟练掌握直线与圆相切的性质是解本题的关键．25.【答案】解：（1）∵由表格可知：销售单价每涨10元，就少销售5kg，∴y与x是一次函数关系，∴y与x的函数关系式为：y=100-0.5（x-120）=-0.5x+160，∵销售单价不低于120元/kg．且不高于180元/kg，∴自变量x的取值范围为：120≤x≤180；（2）设销售利润为w元，则w=（x-80）（-0.5x+160）=-x2+200x-12800=-（x-200）2+7200，∵a=-＜0，∴当x＜200时，y随x的增大而增大，∴当x=180时，销售利润最大，最大利润是：w=-（180-200）2+7200=7000（元），答：当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元．【解析】（1）首先由表格可知：销售单价每涨10元，就少销售5kg，即可得y与x是一次函数关系，则可求得答案；（2）首先设销售利润为w元，根据题意可得二次函数，然后求最值即可．此题考查了二次函数与一次函数的应用．注意理解题意，找到等量关系是关键．26.【答案】解：（1）∵抛物线F经过点C（-1，-2），∴-2=1+2m+m2-2，∴m=-1，∴抛物线F的表达式是y=x2+2x-1．（2）当x=-2时，y P=4+4m+m2-2=（m+2）2-2，∴当m=-2时，y P的最小值=-2．此时抛物线F的表达式是y=（x+2）2-2，∴当x≤-2时，y随x的增大而减小．∵x1＜x2≤-2，∴y1＞y2．【解析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.（1）根据待定系数法即可求得；（2）把x=-2代入解析式得到P点的纵坐标y P=4+4m+m2-2=（m+2）2-2，即可得到当m=-2时，y P的最小值=-2，然后根据二次函数的性质即可判断y1与y2的大小.27.【答案】解：（1）如图1，∵四ABCD是正方形，由旋转知：AD=AD'，∠D=∠D'=90°，∠DAD'=∠OAP=60°∴∠DAP=∠D'AO，∴△APD≌△AOD'（ASA），∴AP=AO，又∠OAP=60°，∴△AOP是等边三角形．（2）如图2中，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．类似（1）可证△APE≌△AOE'（ASA），由AAS证Rt△AEM≌Rt△ABN，∴∠EAM=∠BAN，AM=AN．由HL证Rt△APM≌Rt△AON．∴∠PAM=∠OAN，∴∠PAE=∠OAB∴∠OAE'=∠OAB（等量代换）．（3）15°，24°；（4）是；（5）60°-.【解析】解：（1）见答案；（2）见答案；（3）如图1中，“叠弦角”的度数=（90°-60°）÷2=15°，如图2中，“叠弦角”的度数=（108°-60°）÷2=24°，故答案为15°，24°．（4）观察图1，图2，图3，可知“叠弦三角形”是等边三角形，故答案为是．（5）正n边形的“叠弦角”的度数为=[（-60°]÷2=60°-．故答案为：60°-．【分析】（1）证明△APD≌△AOD'（ASA），即可解决问题．（2）如图2中，作AM⊥DE于M，作AN⊥CB于N．利用全等三角形的性质解决问题即可．（3）（4）（5）探究规律，利用规律解决问题即可．本题属于四边形综合题，考查了中小板和，正多边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．28.【答案】（1）2；2；（2）过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延长线于F，则四边形NEDF是矩形，∴NE=DF，如图所示：∵∠CAD=30°，∴∠ACD=60°，∵AB=BC，∴∠ACB=45°，∴∠NCF=180°-60°-45°=75°，∠FNC=15°，∴sin15°=，∵sin15°=，NC=x，∴FC=x，∴NE=DF=FC+DC=x+2，∴点N到AD的距离为：x+2cm；（3）∵NC=x，sin75°=sin∠NCF=，且sin75°=，∴FN=x，∵点P为DC的中点，∴PD=CP=DC=，∴PF=FC+CP=x+，MD=AD-AM=2-x，∴y=S梯形NFDM-S△MPD-S△NFP=（FN+MD）•NE-MD•PD-FN•PF=（x+2-x）（x+2）-（2-x）×-（x）（x+），即：y=x2+x+2，∵＜0，∴y的二次函数图形开口向下，顶点为最大值，∴当x=-=时，y有最大值为．【解析】解：（1）∵在Rt△ABC中，AB=BC=4cm，∴AC=AB=4cm，在Rt△ADC中，∵∠CAD=30°，∴DC=AC=2cm，AD===2（cm），故答案为：2，2；（2）见答案；（3）见答案．【分析】（1）由等腰直角三角形得出AC=AB=4cm，由含30°的直角三角形得出DC=AC=2cm，再由勾股定理即可求出AD=，即可得出结果；（2）过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延长线于F，则四边形NEDF是矩形，得出NE=DF，求出∠FNC=15°，则sin15°=，即可得出FC=x，NE=DF=FC+DC，即可得出结果；（3）先求出FN=x，由点P为DC的中点，得出PD=CP=DC=，PF=x+，MD=2-x，y=S梯形NFDM-S△MPD-S△NFP=（FN+MD）•NE-MD•PD-FN•PF，代入数值得出y=x2+x+2，由二次函数图象及其性质即可得出结果．本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、含30°直角三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积与梯形面积计算、三角函数、二次函数图象及其性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质、二次函数图象性质是解题的关键．第21页，共21页。

江苏省南通市启秀中学2020-2021学年九年级上学期11月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．平面直角坐标系内的点A(-2，3)关于x 轴对称点的坐标是( )A ．(3,-2)B ．(2,-3)C ．(-3,-2)D ．(-2,-3) 2．国旗上的五角星需要旋转多少度后才能与自身重合？（ ）A ．36︒B ．60︒C ．45︒D ．72︒ 3．下列图形中只是轴对称图形，而不是中心对称图形的是（ ）．A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等边三角形 4．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A 、B 、O 是小正方形顶点，⊙O 的半径为1，P 是⊙O 上的点，且位于右上方的小正方形内，则∠APB 等于（ ）．A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 5．如图，把菱形ABOC 绕点O 顺时针旋转得到菱形DFOE ，则下列角中不是旋转角的为（ ）A ．∠BOFB ．∠AODC ．∠COED ．∠COF 6．一条弦把圆分成1：3的两部分，则该弦所对的圆周角的度数是（ ） A ．45︒B ．135︒C ．30和150︒D ．45︒和135︒ 7．如图，AB 是O 的直径，C 、D 为O 上的点，P 为圆外一点，PC 、PD 均与圆相切，设A B α∠+∠=，CPD β∠=，则α与β满足的关系式为（ ）A ．αβ=B ．11802αβ+=︒C ．11802αβ+=︒ D ．以上都不对 8．如图，AB 是O 的直径，C 、D 为O 上的点，若6AC =，8BC =，若CD 平分ACB ∠，则CD 长为（ ）A ．10B ．7C ．D ．9．有下列命题中：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；④长度相等的弧是等弧；⑤平分弦的直径垂直于这条弦；⑥弦的垂直平分线经过圆心；⑦相等的圆周角所对的弧相等.其中正确的有（ ）A ．1个B ．3个C ．5个D ．7个10．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC ， BE ⊥AC ，AD ，BE 相交于点M ，若AC ＝8，BM ＝4，则⊙O 的半径等于（ ）A ．B ．C ．D ．6二、填空题 11．已知圆中最长的弦为6，则这个圆的半径为________.12．设点I 为ABC ∆的内心，若100A ∠=︒，则BIC ∠=________.13．如果点(1,82)P m m +-关于原点的对称点Q 在第四象限，则m 的取值范围是________.14．已知点P 为O 内一点，过点P 的弦中，最长为10，最短为6，则OP =________. 15．如图所示，在ABC ∆中，70CAB ∠=︒，在同一平面内，将ABC ∆绕A 点逆时针旋转到△AB C ''的位置，使//CC AB '，则BAB ∠'=___．16．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，E 是平面内的一个动点，且满足90AEB =︒∠，连接CE ，则线段CE 长的最大值为________.17．以点(1,2)P 为圆心，r 为半径画圆，与坐标轴有四个交点，则r 的取值范围是________.18．如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，90ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，BD =6AB =，则ABC ∆的内心与外心之间的距离为________.三、解答题19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点 A 的坐标为（2，2）请解答下列问题：(1)画出△ABC 关于 y 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出 A 1 的坐标．(2)画出△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°后得到的△A 2B 2C 2，并写出 A 2 的坐标．(3)画出△A 2B 2C 2 关于原点 O 成中心对称的△A 3B 3C 3，并写出 A 3 的坐标．20．如图所示，AC 、AB 是O 的弦，AC AB =，且AC AB ⊥，若⊥OD AB ，OE AC ⊥，垂足分别为D ，E .求证：四边形ADOE 是正方形.21．如图，在半径为50的O 中，弦AB 的长为50，() 1求AOB ∠的度数；()2求点O 到AB 的距离．22．如图，PA ，PB 是O 的切线，A ，B 为切点，AC 是O 的直径，25BAC ∠=︒.求P ∠的度数.23．如图，C 为O 的劣弧AB 的中点，D ，E 分别为OA ，OB 的中点，求证：CD CE =.24．如图，P 是正三角形ABC 内的一点，且6PA =，8PB =，10PC =，求APB ∠的度数.25．已知，如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，4cm AE =，6cm BE =，60BED ∠=︒，求CD 的长.26．如图，四边形ABCD 内接于O ，点E 在对角线AC 上，若EC BC =，且12∠=∠.求证：DC BC =.27．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，1BC =，以边AC 上一点O 为圆心，OA 为半径的O 经过点B .（1）求O的半径；，垂足为Q，求OQ的长.（2）点P为劣弧AB中点，作PQ AC28．如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为1，圆心A点的坐标为（2，1）．直线OM是一次函数y=－x的图象．将直线OM沿x轴正方向平行移动．（1）填空：直线OM与x轴所夹的锐角度数为°；（2）求出运动过程中⊙A与直线OM相切时的直线OM的函数关系式；（可直接用（1）中的结论）（3）运动过程中，当⊙A与直线OM相交所得的弦对的圆心角为90°时，直线OM的函数关系式．参考答案1．D【分析】根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点解答．【详解】根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，点P（-2，3）关于x轴的对称点坐标为（-2，-3）．故选D．【点睛】主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．2．D【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．【详解】根据旋转对称图形的概念可知：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而国旗上的每一个正五角星绕着它的中心至少旋转72度能与自身重合．故选D．【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．3．D【解析】【分析】根据中心对称图形的概念结合选项所给的图形即可得出答案．【详解】A、平行四边形是中心对称图形，故A选项错误；B、矩形是中心对称图形，故B选项错误；C、菱形是中心对称图形，故C选项错误；D、等边三角形不是中心对称图形，故D选项正确；故选D．4．B【解析】根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求解．解：根据题意∠APB=12∠AOB，∵∠AOB=90°，∴∠APB=90°×12=45°．故选B．5．D【解析】分析：两对应边所组成的角都可以作为旋转角，结合图形即可得出答案．详解：A.OB旋转后的对应边为OF，故∠BOF可以作为旋转角，故本选项错误；B. OA旋转后的对应边为OD，故∠AOD可以作为旋转角，故本选项错误；C. OC旋转后的对应边为OE，故∠COE可以作为旋转角，故本选项错误；D. OC旋转后的对应边为OE不是OF，故∠COF不可以作为旋转角，故本选项正确；故选D.点睛：考查旋转的性质，对应边与旋转中心之间的夹角就是旋转角.6．D【分析】首先根据题意画出图形，然后由圆的一条弦把圆周分成1：3两部分，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，求得∠ACB的度数，然后根据圆的内接四边形的对角互补，求得∠ADB 的度数，继而可求得答案．【详解】如图，∵弦AB把⊙O分成1：3两部分，∴∠AOB=14×360°=90°，∴∠ACB=12∠AOB=45°，∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠ADB=180°-∠ACB=135°．∴这条弦所对的圆周角的度数是：45°或135°．故选D．【点睛】此题考查了圆周角定理与圆的内接四边形的性质，以及圆心角与弧的关系．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．7．B【分析】连结OC，OD，则∠PCO=90°，∠PDO=90°，可得∠CPD+∠COD=180°，根据OB=OC，OD=OA，可得∠BOC=180°-2∠B，∠AOD=180°-2∠A，则可得出α与β的关系式．【详解】连结OC，OD，∵PC、PD均与圆相切，∴∠PCO=90°，∠PDO=90°，∵∠PCO+∠COD+∠ODP+∠CPD=360°，∴∠CPD+∠COD=180°，∵OB=OC ，OD=OA ，∴∠BOC=180°-2∠B ，∠AOD=180°-2∠A ， ∴∠COD+∠BOC+∠AOD=180°，∴180°-∠CPD+180°-2∠B+180°-2∠A=180°． ∴11802αβ+=︒． 故选B ．【点睛】本题利用了切线的性质，圆周角定理，四边形的内角和为360度求解，解题的关键是熟练掌握切线的性质．8．D【分析】作DF ⊥CA ，垂足F 在CA 的延长线上，作DG ⊥CB 于点G ，连接DA ，DB ．由Rt △AFD ≌Rt △BGD （HL ），推出AF=BG ，由Rt △CDF ≌Rt △CDG （HL ），推出CF=CG ，由△CDF 是等腰直角三角形，得CF ，求出CF 即可解决问题．【详解】作DF ⊥CA ，垂足F 在CA 的延长线上，作DG ⊥CB 于点G ，连接DA ，DB ．∵∠AFD=∠BGD=90°，在Rt △ADF 和Rt △BDG ，AD BD DF DG ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △AFD ≌Rt △BGD （HL ），∴AF=BG ．同理：Rt △CDF ≌Rt △CDG （HL ），∴CF=CG ．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AC=6，BC=8，∴，∴6+AF=8-AF，∴AF=1，∴CF=7，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=45°，∵△CDF是等腰直角三角形，∴．故选D．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质．9．B【分析】利用弦的定义，构成圆的条件，外心性质以及垂径定理逆定理判断即可．【详解】①直径是弦，是真命题；②不在同一直线上的三个点一定可以作圆，原命题是假命题；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，是真命题；④在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原命题是假命题；⑤平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，原命题是假命题；⑥弦的垂直平分线经过圆心，是真命题；⑦在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，原命题是假命题；故选B．【点睛】此题考查了命题与定理，熟练掌握性质及定义是解本题的关键．10．A【解析】试题解析：作直径AH ,连接HB 、HC ,作OF ⊥AC 于F ,连接CM ,延长CM 交AB 于点N ,则CN ⊥AB ,如图所示：∵AH 为直径，90HCA HBA ∴∠=∠=，∵CN ⊥AB ，BE ⊥AC ，A BEA ∴∠=∠=∴∠HBA =∠CNA ，∠HCA =∠BEA ，,HB CN HC BE ∴，∴四边形HBMC 为平行四边形，∴BM =HC =4，∵OF ⊥CC ，OF 过O ，∴根据垂径定理：142CF FA AC ===， ∵AO =OH ，∴OF 为△ACH 的中位线， 122OF HC ∴==， ∴在Rt AOF △中,222222420OA OF AF =+=+=，AC ∴=故选A.11．3【分析】根据直径为圆的最长弦求解．【详解】∵圆中最长的弦为6，∴⊙O的直径为6，∴圆的半径为3．故答案为3．【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．12．140【分析】如图，利用三角形内心的定义得到∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12∠ACB，根据三角形内角和得到∠BIC=180°-12（∠ABC+∠ACB），而∠ABC+∠ACB=80°，从而可计算出∠BIC的度数．【详解】如图，∵点I为△ABC的内心，∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，∴∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12∠ACB，∴∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB=180°-12（∠ABC+∠ACB），而∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-100°=80°，∴∠BIC=180°-12×80°=140°．故答案为：140°．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．13．1m<-【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点求出点Q的坐标，根据第四象限点的坐标特征列出不等式组，解不等式组即可．【详解】点P（m+1，8-2m）关于原点的对称点Q的坐标为（-m-1，-8+2m），由题意得，-m-1＞0且-8+2m＜0，解得：m＜-1且m＜4，∴m＜-1．故答案为：m＜-1．【点睛】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点和点的坐标，掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）是解题的关键．14．4【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10；最短弦即是过点P且垂直于过点P的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．【详解】如图所示，CD⊥AB于点P．根据题意，得AB=10，CD=6．∵CD ⊥AB ，∴CP=12CD=3．根据勾股定理，得故答案为：4．【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．准确找到过一点的最长的弦和最短的弦是关键． 15．40°【分析】由旋转性质可知AC AC ='，C AB CAB ∠''=∠，从而可得出ACC ∆'为等腰三角形，且CAC BA B ∠'=∠'和已知//CC AB '，得出ACC ∠'的度数．则可得出答案．【详解】解：ABC ∆绕A 点逆时针旋转到△AB C ''的位置AC AC C AB CAB ∴='∠''=∠AC C ACC C AC B AB ∴∠'=∠'∠'=∠'//CC AB '70C CA CAB ∴∠'=∠=︒18070240CAC ∴∠'=︒-︒⨯=︒40BAB ∴∠'=︒【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解题的关键是抓住旋转变换过程中不变量，判断出ACC ∆'是等腰三角形．16．2【分析】根据E 是平面内的一个动点，如图，当CE 在圆O 的直径所在的直线上时，CE 最长，利用勾股定理可得答案．【详解】如图，∵AB=4，BC=6，∠AEB=90°，∴AB是⊙O的直径，∴OE=2，在Rt△OBC中，∴CE的最大值.故答案为：【点睛】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质，根据E是平面内的一个动点，线段CE取得最大值是解题的关键．r>且r≠17．2【分析】作PA⊥x轴，连结OP，根据勾股定理计算出OP=2，然后根据直线与圆的位置关系即可得到满足条件的r的取值范围为r＞2且【详解】作PA⊥x轴，连结OP，如图，∵点P的坐标为（1，2），∴OA=1，PA=2，∴∴当以点P为圆心，r为半径的圆P与坐标轴有四个交点时，r的取值范围为r＞2且r≠故答案为：r＞2且r【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：①直线l 和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d=r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了坐标与图形性质．18【分析】作DF⊥BA于F，连接AD，DC．只要证明△DFA≌△DEC（ASA），推出AF=CE，Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），推出AF=BE得到四边形BEDF是正方形，BD是对角线，作△ABC 的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM．由切线长定理可知：AN=4，推出ON=5-4=1，由面积法可知内切圆半径为2，在Rt△OMN中，理由勾股定理即可解决问题．【详解】作DF⊥BA于F，连接AD，DC．∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA，∴DF=DE，∠DFB=∠DEB=90°，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EDF=180°，∴∠ADC=∠EDF，∴∠FDA=∠CDE，∵∠DFA=∠DEC=90°，∴△DFA≌△DEC（ASA），∴AF=CE，∵BD=BD，DF=DE，∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），∴BF=BE，∴四边形BEDF是正方形，BD是对角线，∵，∴正方形BEDF的边长为7，由（2）可知：BC=2BE-AB=8，∴，作△ABC的内切圆，圆心为M，N为切点，连接MN，OM．由切线长定理可知：AN=6+1082-=4，∴ON=5-4=1，由面积法可知内切圆半径为2，在Rt△OMN中，∴△ABC【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题19．（1）作图见解析，A1（﹣2，2）；（2）作图见解析，A2（4，0）；（3）作图见解析，A3（﹣4，0）．【解析】试题分析：根据题意画出相应的三角形，确定出所求点坐标即可．解：（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，如图所示，此时A1的坐标为（﹣2，2）；（2）画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，如图所示，此时A2的坐标为（4，0）；（3）画出△A2B2C2关于原点O成中心对称的△A3B3C3，如图所示，此时A3的坐标为（﹣4，0）．点睛：此题了考查了作图﹣旋转变换，轴对称变换，熟练掌握旋转与轴对称的性质是解本题的关键．20．见解析【分析】先根据垂径定理，由OD ⊥AB ，OE ⊥AC 得到AD=12AB ，AE=12AC ，且∠ADO=∠AEO=90°，加上∠DAE=90°，则可判断四边形ADOE 是矩形，由于AB=AC ，所以AD=AE ，于是可判断四边形ADOE 是正方形．【详解】证明：∵⊥OD AB 于D ，OE AC ⊥于E ， ∵12AD AB =，12AE AC =，90ADO AEO ∠=∠=︒， ∴AB AC ⊥，∴90DAE ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形，∵AB AC =，∴AD AE =，∴四边形ADOE 是正方形.【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了正方形的判定．21．（1）60°；（2）【解析】【分析】（1）判断出三角形OAB 是等边三角形即可得出∠AOB 的度数；（2）过点O 作OC ⊥AB 于点C ，根据等边三角形的性质及勾股定理的知识，可求出OC ．【详解】()1∵OA OB 50==，AB 50=，∴OAB 是等边三角形，∴AOB 60∠=；()2过点O 作OC AB ⊥于点C ， 则1AC BC AB 252===，在Rt OAC 中，OC =即点O 到AB 的距离为【点睛】考查垂径定理，等边三角形的判定与性质，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键. 22．50︒【分析】根据切线性质得出PA=PB ，∠PAO=90°，求出∠PAB 的度数，得出∠PAB=∠PBA ，根据三角形的内角和定理求出即可．【详解】∵PA 、PB 是O 的切线， ∴PA PB =，∴PAB PBA ∠=∠，∵AC 是O 的直径，PA 是O 的切线，∴AC AP ⊥，∴90CAP ∠=︒，∵25BAC ∠=︒，∴902565PBA PAB ∠=∠-︒=︒=︒，∴180P PAB PBA ∠=-∠-∠︒180656550︒︒-︒=-=︒.【点睛】本题考查了切线长定理，切线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目具有一定的代表性，难度适中，熟记切线的性质定理是解题的关键．23．见解析【分析】由于C 为O 的劣弧AB 的中点，可得CA CB =，故AOC BOC ∠=∠，由D,E 分别为,OA OB 的中点，可得12OD OA ，12OE OB =，可得OD OE =可证COD COE ∆∆≌，即可证结论 【详解】证明：C 为O 的劣弧AB 的中点，CA CB =∴，连接OC ，AOC BOC ∠=∠∴,D E 分别为,OA OB 的中点，12OD OA ∴=，12OE OB =. OA OB =OD OE ∴=在COD ∆和COE ∆中，OD OE COD COE OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩COD COE ∴∆∆≌CD CE ∴=【点睛】本题考查了圆的有关性质，掌握圆的有关性质及全等的证明是解题的关键.24．150︒【分析】将△BCP 绕C 逆时针旋转60°，点B 和A 重合，P 到P′，连接PP′，得出等边三角形PCP′，求出∠CPP′=60°，推出直角三角形APP′，求出∠APP′，即可求出答案．【详解】将BCP ∆绕C 逆时针旋转60︒，点B 和A 重合，P 到P '，连接PP '，∵60PCP '∠=︒，CP CP '=，∴PCP '∆是等边三角形，∴60CPP '∠=︒，∴10PP PC '==，8AP PB '==，6PA =，∵222PP PA AP ''+=，∴90APP '∠=︒，∴6090150APB ∠=︒+︒=︒.【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理的逆定理，解此题的关键是正确作辅助线，把PA 、PB 、PC 放在“一个三角形”中，主要考查学生的思维能力和运用性质进行推理的能力．25【分析】如图，作OH CD ⊥于H ，连结OD ，首先求出OD 、OH 在长，再借助勾股定理求出DH 的长度，即可解决问题．【详解】作OH CD ⊥于H ，连结OD ，如图，∵4AE =，6BE =，∴10AB AE BE =+=，∴5OA OD ==，∴1OE OA AE =-=，∵60BED ∠=︒，∴OH ==在Rt ODH ∆中，DH ==， ∵OH CD ⊥，∴CH DH ==，∴2CD DH ==【点睛】该题主要考查了垂径定理、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．26．见解析【分析】根据等腰三角形的性质得到∠CBE=∠CEB ，根据题意和三角形的外角性质得到∠CBD=∠BAC ，得到∠CBD=∠BDC ，根据等腰三角形的判定定理证明结论．【详解】证明：∵BC EC =∴CEB CBE ∠=∠∵1CEB BAC ∠=∠+∠，2CBE CBD ∠=∠+∠，12∠=∠∠=∠∴BAC CBD=∴DC BC【点睛】本题考查的是圆周角定理、三角形外角的性质、等腰三角形的判定，掌握圆周角定理是解题的关键．27．（1（2【分析】（1）作OH⊥AB于H．解直角三角形求出AB，利用垂径定理求出AH即可解决问题．（2）如图2中，连接OP，PA．设OP交AB于H．证明△AOP是等边三角形即可解决问题．【详解】（1）作OH⊥AB于H．在Rt△ACB中，∵∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AB=2BC=2，∵OH⊥AB，∴AH=HB=1，∴OA=AH÷cos30°（2）如图2中，连接OP，PA．设OP交AB于H．∵PA PB ，∴OP ⊥AB ，∴∠AHO=90°，∵∠OAH=30°，∴∠AOP=60°，∵OA=OP ，∴△AOP 是等边三角形，∵PQ ⊥OA ，∴OQ=QA=12 【点睛】本题考查解直角三角形，垂径定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识.28．(1)45;(2) y =－x +3或y =－x ;(3) y=－x +2或y=－x +4．【分析】（1）利用直线y ＝−x 上点的坐标特征易得直线y ＝x 为第二、三四象限的角平分线，则直线OM 与x 轴所夹的锐角度数为45°；（2）如图1中，设⊙A 与x 轴相切于点C ，平移后的直线OM 与⊙A 相切于点E ，交x 轴于P ，连接AE ，AC ，作ED ⊥AC 于D ．求出点E 坐标，利用待定系数法即可解决问题，再根据对称性解决另一种相切情形；（3）当平移后的直线OM 经过点C （⊙A 与x 轴的切点）时，弦EC 所对的圆心角为90°，此时直线EC 的解析式为y ＝−x ＋2．再根据对称性解决另一种情形.【详解】解：（1）∵直线y =－x 上点到x 轴和y 轴的距离相等，∴直线y =x 为第二、四象限的角平分线，∴直线OM 与x 轴所夹的锐角度数为45°；故答案为45．（2）如图1中，设⊙A 与x 轴相切于点C ，平移后的直线OM 与⊙A 相切于点E ，交x 轴于P ，连接AE ，AC ，作ED ⊥AC 于D ．∵∠OPE=45°，∴∠EPC=135°，∵∠AEP=∠ACP=90°，∴∠EAD=45°，∵AE=1，∴AD=DE=2∴CD=1∴E （2－2，1－2）， 设直线PE 的解析式为y =－x +b ，则有1－2=－（2－2）+b ，∴b=3，∴平移后直线OM 的解析式为y =－x +3．根据对称性可知，直线PE 向右平移⊙A 相切于点E′，此时直线OM 的解析式为y =－x ．综上所述，运动过程中⊙A 与直线OM 相切时的直线OM 的函数关系式为y =－x +3或y =－x ．（3）当平移后的直线OM经过点C（⊙A与x轴的切点）时，弦EC所对的圆心角为90°，此时直线EC的解析式为y=－x+2．根据对称性可知，当直线EC继续向右平移2个单位，与⊙A交于点D，E′，此时∠DAE′=90°，此时直线的解析式为y=－x+4．综上所述，满足条件的直线OM的解析式为：y=－x+2或y=－x+4．【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了切线的性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题；学会解决动点问题．。

江苏省南通市启秀中学2024~2025学年九年级第一学期数学月考试卷一．选择（共10小题，满分30分，每小题3分）1. 下列函数中，y 关于x 的二次函数是（ ） A. 2y ax bx c =++ B.()1y x x =− C. 21y x =D. ()221y x x =−−2. 二次函数261y x x =−−的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，6−，1−B. 1，6，1C. 0，6−，1D. 0，6，1−3. 抛物线23(1)2y x =−−的顶点坐标是（ ） A. (1,2)−B. (1,2)−C. (1,2)D. (1,2)−−4. 已知某二次函数图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）A. y ＝﹣3（x ﹣1）2+3B. y ＝3x ﹣1）2+3C. y ＝﹣3（x +1）2+3D. y ＝3（x +1）2+35. 把抛物线y =﹣2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. y =﹣2（x +1）2+2 B. y =﹣2（x +1）2﹣2 C. y =﹣2（x ﹣1）2+2 D. y =﹣2（x ﹣1）2﹣26. 抛物线y=x 2﹣2x ﹣3与x 轴的交点个数是（ ） A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个7. 若二次函数 23y x bx =−−配方后为 ()21y x k =++，则b 、k 的值分别为（ ） A 2−，4−B. 2−，5C. 4，4−D. 4−，2−8. 已知抛物线()2230y ax ax a =−+>，()11,A y −，()22,B y ，()34,C y 是抛物线上三点，则1y ，2y ，3y 由小到大序排列是（ ）的.A. 123y y y <<B. 213y y y <<C. 312y y y <<D. 231y y y <<9. 如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝4，在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠F ＝30°，DE ＝4，点B ，C ，D ，E 在一条直线上，点C ，D 重合，△ABC 沿射线DE 方向运动，当点B 与点E 重合时停止运动．设△ABC 运动的路程为x ，△ABC 与Rt △DEF 重叠部分的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）AB.C. D.10. 抛物线y ＝−x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝−1．若关于x 的一元二次方程−x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ） A. −12＜t ≤3B. −12＜t ＜4C. −12＜t ≤4D. −12＜t ＜3二．填空题（11~12每题3分）（共8小题，满分30分）11. 如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y=﹣3x 2，②y=﹣212x ，③y=﹣x 2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是______（填序号）.12. 如图，抛物线2y ax bx =+与直线y mx n =+相交于点(3,6)A −−，(1,2)B −，则关于x 的方程2ax bx mx n +=+的解为_______________ .13. 如图，抛物线()20y ax bx c a ++>的对称轴是直线1x =，且经过点()3,0P，则a b c −+的值为_____．14. 如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l 为6米，则当水面下降______米时，水面宽度为15. 已知二次函数()2131y m x x =−+−与x 轴有交点，则m 的取值范围是________．16. 已知二次函数()21y x m =−−，当3x ≤时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是___________________．17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax ax a =−>与x 轴正半轴交于点C ，这条抛物线对称轴与x 轴交于点D ，以CD 为边作菱形ABCD ，若菱形ABCD 的顶点A ，B 在这条抛物线上，则菱形ABCD 的面积为___________．的18. 已知实数a ，b 满足1b a −=且4b ≥，则代数式2411a b −+的最小值是______．三．解答题（共9小题，满分90分，每小题10分）19. 已知函数 ()221m m y m x +=+是关于x 的二次函数．求：（1）满足条件的m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？ 20. 二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表： x … 4−3−2−1− 0 1 2 … y …53−4− 3− 05…（1）求这个二次函数的表达式； （2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当30x −<<时，直接写出y 的取值范围．21. 如图，学校打算用长为16m 的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，AB 为宽）．（1）写出长方形的面积y （单位： 2m ）与宽x （单位：m ）之间的函数解析式； （2）当x 为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？22. 已知二次函数y=a （x+m ）2的顶点坐标为（﹣1，0），且过点A （﹣2，﹣12）． （1）求这个二次函数的解析式；（2）点B （2，﹣2）在这个函数图象上吗？（3）你能通过左，右平移函数图象，使它过点B 吗？若能，请写出平移方案．23. 某商店销售某种商品的进价为每件20元，这种商品在近30天中的日销售价与日销量的相关信息如表：时间：第x （天）（1≤x ≤30，x 为整数）122x ≤≤2330x ≤≤日销售价（元/件） 0.525x +36日销售量（件）1202x −设该商品的日销售利润为w 元． （1）求出w 与x 的函数关系式；（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？ 24. 已知二次函数2112y x bx =++． （1）若1b =−，求该二次函数图象的对称轴及最小值； （2）若对于任意02x ≤≤，都有1y ≥−，求b 的取值范围．25. 如图，抛物线212y x mx n =−++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知()1,0A −，()0,2C ．的（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标． 26. 如图1，抛物线2y x bx =−+与x 轴交于点A ，与直线y x =−交于点(4,4)B −，点(0,4)C −在y 轴上．点P 从点B 出发，沿线段BO 方向匀速运动，运动到点O 时停止．（1）求抛物线2y x bx =−+的表达式；（2）当BP =时，请在图1中过点P 作PD OA ⊥交抛物线于点D ，连接PC ，OD ，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由；（3）如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O 同时出发，以与点P 相同的速度沿x 轴正方向匀速运动，点P 停止运动时点Q 也停止运动．连接BQ ，PC ，求CP BQ +的最小值．江苏省南通市启秀中学2024~2025学年九年级第一学期数学月考试卷一．选择（共10小题，满分30分，每小题3分）1. 下列函数中，y 关于x 的二次函数是（ ） A. 2y ax bx c =++ B.()1y x x =− C 21y x =D. ()221y x x =−−【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的的定义．根据二次函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A 、当0a ≠时，2y ax bx c =++是y 关于x 的二次函数，故本选项不符合题意； B 、()21y x x x x =−=−是y 关于x 的二次函数，故本选项符合题意；C 、21y x=不是y 关于x 的二次函数，故本选项不符合题意； D 、()22121y x x x =−−=−+不是y 关于x 的二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B2. 二次函数261y x x =−−的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，6−，1− B. 1，6，1 C. 0，6−，1 D. 0，6，1−【答案】A 【解析】【分析】此题主要考查了二次函数的一般式，解题的关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．二次函数的一般式为：2y ax bx c ++（a 、b 、c 是常数，0a ≠）．其中，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，根据定义作答即可． 【详解】解：二次函数261y x x =−−，∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，6−，1−． 故选：A ．3. 抛物线23(1)2y x =−−的顶点坐标是（ ） A. (1,2)− B. (1,2)− C. (1,2) D. (1,2)−−【答案】A 【解析】.【分析】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题，写出相应的顶点坐标． 根据题目中的抛物线，可以直接写出顶点坐标，本题得以解决． 【详解】解： 抛物线23(1)2y x =−−，∴该抛物线的顶点坐标为(1,2)−，故选：A ．4. 已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ）A. y ＝﹣3（x ﹣1）2+3B. y ＝3（x ﹣1）2+3C. y ＝﹣3（x +1）2+3D. y ＝3（x +1）2+3【答案】A 【解析】【分析】利用顶点式求二次函数的解析式：设二次函数y ＝a （x−1）2＋3，然后把（0，0）代入可求出a 的值．【详解】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是（1，3），且过（0，0）点， 设二次函数y ＝a （x−1）2＋3，把（0，0）代入得0＝a ＋3解得a ＝−3． 故二次函数的解析式为y ＝−3（x−1）2＋3． 故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a ＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x ＝2ba−；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）．也考查了待定系数法求二次函数的解析式．5. 把抛物线y =﹣2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（ ） A. y =﹣2（x +1）2+2 B. y =﹣2（x +1）2﹣2 C. y =﹣2（x ﹣1）2+2 D. y =﹣2（x ﹣1）2﹣2【解析】【详解】解：把抛物线y =﹣2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后， 所得函数的表达式为y =﹣2（x ﹣1）2+2， 故选C ．6. 抛物线y=x 2﹣2x ﹣3与x 轴的交点个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【答案】C 【解析】【详解】试题分析：通过解方程x 2﹣2x ﹣3=0可得到抛物线与x 轴的交点坐标，于是可判断抛物线y=﹣x 2+3x ﹣2与x 轴的交点个数．解：当y=0时，x 2﹣2x ﹣3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3． 则抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）． 故选C ．考点：抛物线与x 轴的交点．7. 若二次函数 23y x bx =−−配方后为 ()21y x k =++，则b 、k 的值分别为（ ） A. 2−，4− B. 2−，5C. 4，4−D. 4−，2−【答案】A 【解析】【分析】本题考查了二次函数的三种形式，把顶点式化为一般式与23y x bx =−−比较可得答案． 【详解】解：∵()22121y x k x x k =++=+++∴2,13b k −=+=−， ∴2,4b k =−=−． 故选A ．8. 已知抛物线()2230y ax ax a =−+>，()11,A y −，()22,By ，()34,C y 是抛物线上三点，则1y ，2y ，3y 由小到大序排列是（ ）A. 123y y y <<B. 213y y y <<C. 312y y y <<D. 231y y y <<【答案】B【分析】先根据抛物线解析式得到抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的性质，通过三点与对称轴距离的远近来比较函数值的大小．【详解】解：∵抛物线()2230y ax ax a =−+>的开口向上，对称轴为直线212ax a−=−=， ∴距离对称轴越远，函数值越大， ∵()11,A y −，()22,By ，()34,C y ，∴()112−−=，211−=，413−=， ∴213y y y <<， 故选B【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，理解当二次函数的开口向上时，距离对称轴越远的点的函数值越大是解本题的关键．9. 如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝4，在Rt △DEF 中，∠EDF ＝90°，∠F ＝30°，DE ＝4，点B ，C ，D ，E 在一条直线上，点C ，D 重合，△ABC 沿射线DE 方向运动，当点B 与点E 重合时停止运动．设△ABC 运动的路程为x ，△ABC 与Rt △DEF 重叠部分的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分三种情形∶ ①当0＜x ≤2时， 重叠部分为△CDG ，②当2＜x ≤4时，重叠部分为四边形AGDC ，③当4＜x ≤8时，重叠部分为△BEG ，分别计算即可．【详解】解：过点A 作AM ⊥BC ，交BC 于点M ，在等边△ABC 中，∠ACB ＝60°，在Rt △DEF 中，∠F ＝30°，∴∠FED ＝60°，∴∠ACB ＝∠FED ，∴AC ∥EF ，在等边△ABC 中，AM ⊥BC ，∴BM ＝CM ＝12BC ＝2，AM ＝∴S △ABC ＝12BC •AM ＝ ①当0＜x ≤2时，设AC 与DF 交于点G ，此时△ABC 与Rt △DEF 重叠部分为△CDG ，由题意可得CD ＝x ，DG∴S ＝12CD •DG 2； ②当2＜x ≤4时，设AB 与DF 交于点G ，此时△ABC 与Rt △DEF 重叠部分为四边形AGDC ，由题意可得：CD ＝x ，则BD ＝4﹣x ，DG （4﹣x ），∴S ＝S △ABC ﹣S △BDG ＝12×（4﹣x ）4﹣x ），∴S x 2﹣（x ﹣4）2， ③当4＜x ≤8时，设AB 与EF 交于点G ，过点G 作GM ⊥BC ，交BC 于点M ，此时△ABC 与Rt △DEF 重叠部分为△BEG ，由题意可得CD ＝x ，则CE ＝x ﹣4，DB ＝x ﹣4，∴BE ＝x ﹣（x ﹣4）﹣（x ﹣4）＝8﹣x ，∴BM ＝4﹣12x在Rt △BGM 中，GM 4﹣12x ），∴S ＝12BE •GM ＝12（8﹣x ）4﹣12x ），∴S x ﹣8）2，综上，选项A 的图像符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查了特殊三角形的性质，二次函数的图形等知识，灵活运用所学知识解决问题，利用割补法求多边形的面积是解题的关键．10. 抛物线y ＝−x 2+bx +3的对称轴为直线x ＝−1．若关于x 的一元二次方程−x 2+bx +3﹣t ＝0（t 为实数）在﹣2＜x ＜3的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ）A. −12＜t ≤3B. −12＜t ＜4C. −12＜t ≤4D. −12＜t ＜3【答案】C【解析】【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y ＝－x 2−2x ＋3，将一元二次方程－x 2＋bx ＋3−t ＝0的实数根看做是y ＝－x 2−2x ＋3与函数y ＝t 的交点，再由﹣2＜x ＜3确定y 的取值范围即可求解.【详解】解：∵y ＝－x 2＋bx ＋3的对称轴为直线x ＝－1，∴b ＝−2，∴y ＝－x 2−2x ＋3，∴一元二次方程－x 2＋bx ＋3−t ＝0的实数根可以看做是y ＝－x 2−2x ＋3与函数y ＝t 的交点，∵当x ＝−1时，y ＝4；当x ＝3时，y ＝－12，∴函数y ＝－x 2−2x ＋3在﹣2＜x ＜3的范围内－12＜y≤4，∴－12＜t≤4，故选C ．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键． 二．填空题（11~12每题3分）（共8小题，满分30分）11. 如图所示，在同一平面直角坐标系中，作出①y=﹣3x 2，②y=﹣212x ，③y=﹣x 2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是______（填序号）【答案】① ③ ②【解析】【详解】①y=−3x²，②y=−12x²，③y=−x²中,二次项系数a 分别为−3、−12、−1， ∵|−3|>|−1|>12−，∴抛物线②y=−12x²的开口最宽,抛物线①y=−3x²的开口最窄． 故答案为①③②．点睛：本题考查了二次函数的图象与性质，关键是找到开口大小与a 的关系，对于二次函数，二次项系数|a|越大，其开口越小，反之越大．12. 如图，抛物线2y ax bx =+与直线y mx n =+相交于点(3,6)A −−，(1,2)B −，则关于x 的方程2ax bx mx n +=+的解为_______________ .【答案】x 1＝﹣3，x 2＝1【解析】【分析】关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 交点的横坐标，由此即可得到答案．【详解】∵抛物线y =ax 2+bx 与直线y =mx +n 相交于点A （﹣3，﹣6），B （1，﹣2），∴关于x 的方程ax 2+bx =mx +n 的解为x 1=﹣3，x 2=1．故答案为x 1=﹣3，x 2=1．【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点问题：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质． 13. 如图，抛物线()20y ax bx c a ++>的对称轴是直线1x =，且经过点()3,0P ，则a b c −+的值为_____．【答案】0【解析】【分析】已知“对称轴是直线1x =，且经过点()3,0P”，根据抛物线的对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点是()1,0−，代入抛物线即可求解．【详解】由题意可知，抛物线的对称轴为1x =，且经过点()3,0P，∴抛物线与x 轴的另一个交点是()1,0−，将()1,0−代入抛物线解析式()20y ax bx c a ++>中，得0a b c −+=． 故答案为：0【点睛】本题考查了抛物线的对称性，熟知抛物线的图象关于对称轴对称是解决问题的关键．14. 如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l 为6米，则当水面下降______米时，水面宽度为【答案】2【解析】【分析】如图所示，建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，根据题意，令x =【详解】解：如图所示，建立如下平面直角坐标系：设抛物线的解析式为2y ax =，将()3,3−代入解析式2y ax =得到39a −=，解得13a =−， ∴213y x =−，根据题意，当x =时，2153y =−×=−，∴此时，水面下降532−=（米）， 故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数解决实际问题，读懂题意，建立平面直角坐标系求出抛物线解析式是解决问题的关键．15. 已知二次函数()2131y m x x =−+−与x 轴有交点，则m 的取值范围是________． 【答案】54m ≥−且1m ≠ 【解析】 【分析】根据二次函数()2131y m x x =−+−与x 轴有交点即方程()21310m x x −+−=有实数根，再结合二次函数的定义求解即可．【详解】解：∵二次函数()2131y m x x =−+−与x 轴有交点， ∴()()22Δ=43411010b ac m m −=−−×−≥ −≠ ， 解得54m ≥−且1m ≠， 故答案为：54m ≥−且1m ≠． 【点睛】本题主要考查了二次函数与x 轴的交点问题，二次函数的定义，熟知相关知识是解题的关键． 16. 已知二次函数()2y x m =−−，当3x ≤时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是___________________．【答案】3m ≥【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到二次函数开口向上，对称轴为直线x m =，则在对称轴左侧y 随x 的增大而减小，据此可得答案．【详解】解：∵二次函数解析式为()21y x m =−−，∴二次函数开口向上，对称轴为直线x m =，∴在对称轴左侧y 随x 的增大而减小，∵当3x ≤时，y 随x 的增大而减小，∴3m ≥，故答案为：3m ≥． 17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax ax a =−>与x 轴正半轴交于点C ，这条抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，以CD 为边作菱形ABCD ，若菱形ABCD 的顶点A ，B 在这条抛物线上，则菱形ABCD 的面积为___________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，勾股定理等等，先求出()4,0C ，再求出对称轴为直线2x =，则()2,0D ，即可得到2CD =，再由菱形的性质得到2,ABCD AD AB CD ===∥，则点A ､B 关于直线2x =对称，可得1AE BE ==，再利用勾股定理求出DE 的长即可利用菱形面积计算公式求出答案．【详解】解：设抛物线的对称轴交AB 于点E ，如解图，当0y =时，240ax ax −=，解得120,4x x ==， ∴()4,0C ， ∵抛物线的对称轴为直线422a x a−=−=， ∴()2,0D ， 422CD ∴=−=，∵四边形ABCD 为菱形，2,AB CD AD AB CD ∴===∥，∴点A ､B 关于直线2x =对称，∴1AE BE ==，Rt ADE中，由勾股定理得DE =，∴菱形ABCD的面积为2，故答案为：在18. 已知实数a ，b 满足1b a −=且4b ≥，则代数式2411a b −+的最小值是______．【答案】4【解析】【分析】将b 用a 表示，根据b 的范围求的a 范围，并将b 的代数式代入所求代数式中，使其仅含有未知数a 的二次函数，化为顶点式即可求得其最小值，本题主要考查二次函数的最值求解．【详解】解：∵1b a −=，4b ≥，∴1b a =+，3a ≥，则()()222241141114723a b a a a a a −+=−++=−+=−+，∵二次函数开口向上，∴2a ≥时随着a 的增大其函数值也增大，则当3a =时，代数式2411a b −+取得最小值为4．故答案为：4． 三．解答题（共9小题，满分90分，每小题10分）19. 已知函数 ()221m m ym x +=+是关于x 的二次函数．求：（1）满足条件的m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？【答案】（1）1−（2）1m =−()0,0；当0x >时，y 随x 的增大而增大．【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的定义：（1）直接根据二次函数的定义进行求解即可；（2）二次函数有最低点，则二次项系数大于0，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大，据此求解即可．【小问1详解】解：∵函数 ()221m m y m x +=+是关于x 的二次函数， ²2210m m m ∴+=+≠，，解得 1m =−±【小问2详解】解：∵抛物线有最低点，∴10m +>，由（1）可得1m =−∴1m =−+∴抛物线解析式为y =，∴抛物线顶点坐标为()0,0，对称轴为y 轴，且开口向上，∴当0x >时，y 随x 的增大而增大．20. 二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：（1）求这个二次函数的表达式；（2）在图中画出这个二次函数的图象；（3）当30x −<<时，直接写出y 的取值范围．【答案】（1）抛物线解析式为2y (x 1)4=+−（2）见解析 （3）40y −≤<【解析】【分析】（1）设2(1)4y a x =+−，然后把(03)−，代入求出抛物线解析式； （2）利用描点法画函数图象；（3）结合函数图象，根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围．【小问1详解】解：∵2x =−和0x =的函数值相同，都是3−，∴对称轴为直线1x =−，∴顶点为(14)−−，， 设2(1)4y a x =+−，将(03)−，代入得43a −=−，解得1a =，∴抛物线解析式为2y (x 1)4=+−；【小问2详解】解：描点，连线，这个二次函数的图象如图，【小问3详解】解：当30x −<<时，y 的取值范围是40y −≤<．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质． 21. 如图，学校打算用长为16m 的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，AB 为宽）．（1）写出长方形的面积y （单位： 2m ）与宽x （单位：m ）之间的函数解析式；（2）当x 为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？【答案】（1）()221608y x x x =−+<< （2）当4x =时，长方形的面积最大，最大值为32【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：（1）先表示出BC 的长，再根据长方形面积计算公式列出对应的关系式即可；（2）根据（1）所求关系式，利用二次函数的性质求解即可．【小问1详解】解：由题意得，()162m BC x =−，∴()()216221608y x x x x x =−=−+<<； 【小问2详解】解：∵()222162432y x x x =−+=−−+，∴当4x =时，y 最大，最大值为32，∴当4x =时，长方形的面积最大，最大值为32．22. 已知二次函数y=a （x+m ）2的顶点坐标为（﹣1，0），且过点A （﹣2，﹣12）． （1）求这个二次函数的解析式；（2）点B （2，﹣2）在这个函数图象上吗？（3）你能通过左，右平移函数图象，使它过点B 吗？若能，请写出平移方案．【答案】（1）y=﹣12（x+1）2；（2）点B （2，﹣2）不在这个函数的图象上；（3）抛物线向右平移1个单位或平移5个单位函数，即可过点B ；【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可得出二次函数的解析式；（2）代入B （2，-2）即可判断；（3）根据题意设平移后的解析式为y=-12（x+1+m）2，代入B的坐标，求得m的植即可．【详解】解：（1）∵二次函数y=a（x+m）2的顶点坐标为（﹣1，0），∴m=1，∴二次函数y=a（x+1）2，把点A（﹣2，﹣12）代入得a=﹣12，则抛物线的解析式为：y=﹣12（x+1）2．（2）把x=2代入y=﹣12（x+1）2得y=﹣92≠﹣2，所以，点B（2，﹣2）不在这个函数的图象上；（3）根据题意设平移后的解析式为y=﹣12（x+1+m）2，把B（2，﹣2）代入得﹣2=﹣12（2+1+m）2，解得m=﹣1或﹣5，所以抛物线向右平移1个单位或平移5个单位函数，即可过点B．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及图象与几何变换．23. 某商店销售某种商品的进价为每件20元，这种商品在近30天中的日销售价与日销量的相关信息如表：时间：第x（天）（1≤x≤30，x为整数）122x≤≤2330x≤≤日销售价（元/件）0.525x+36日销售量（件）1202x−设该商品的日销售利润为w元．（1）求出w与x的函数关系式；（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？【答案】（1）()()2506001223219202330x x x w x x −++≤≤ = −+≤≤（2）该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元【解析】【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，列出函数表达式是解题的关键．（1）分122x ≤≤和2330x ≤≤两种情况利用“利润=每件的利润×销售量”列出函数关系式；（2）根据（1）解析式，由函数的性质分别求出122x ≤≤的函数最大值和2330x ≤≤的函数最大值，比较得出结果．【小问1详解】当122x ≤≤时，()()20.52520120250600w x x x x =+−−=−++， 当2330x ≤≤时，()()36201202321920w x x =−−=−+， ∴w 与x 的函数关系式()()2506001223219202330x x x w x x −++≤≤ = −+≤≤， 故答案为：()()2506001223219202330x x x w x x −++≤≤ = −+≤≤； 小问2详解】当122x ≤≤时，()2250600251225w x x x =−++=−−+，∵10−<，∴当22x ＝时，w 有最大值，最大值为1216；当2330x ≤≤时，321920w x =−+，∵320−<，∴当23x ＝时，w 有最大值，最大值为322319201184−×+＝，∵12161184>，∴该商品在第22天的日销售利润最大，最大日销售利润是1216元．24. 已知二次函数2112y x bx =++． （1）若1b =−，求该二次函数图象的对称轴及最小值；【（2）若对于任意的02x ≤≤，都有1y ≥−，求b 的取值范围．【答案】（1）对称轴为1x =，最小值为12（2）2b ≥−【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与性质及二次函数的顶点式，（1）把二次函数解析式转化为顶点式即可求解；（2）先求得抛物线的对称轴，再根据抛物线的位置分类讨论：①对称轴在y 轴及其左侧时，②对称轴在0~2段内，③对称轴在直线2x =及其右侧时，由二次函数的性质求解即可．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【小问1详解】解：当1b =−时，2112y x x =−+， ∴()2211111222y x x x =−+=−+， ∴对称轴为1x =， ∴当1x =时，函数值最小，最小值为12； 【小问2详解】解： 2112y x bx =++， ∴对称轴为直线2bx b a =−=−，①当0b −≤，即对称轴y 轴及其左侧时，0b ≥当02x ≤≤时，y 随x 的增大而增大，∴当0x =时，y 最小，最小值为11>−，0b ∴≥；②当02b <−<时，即对称轴在0~2段内时，20b −<<，当x b =−时，y 最小，最小值为()()22111122b b b b ×−+×−+=−+， 令1y ≥−，则21112b −+≥−， 解得：20b −<<，∴20b −<<；在③当2b −≥，即对称轴在直线2x =及其右侧时，2b ≤−，当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，∴当2x =时，y 最小，最小值为21221232b b ×++=+，令1y ≥−，则231b +≥−，解得：2b ≥−， 2b ∴=−；综上所述，b 的取值范围为2b ≥−．25. 如图，抛物线212y x mx n =−++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知()1,0A −，()0,2C ．（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为213222y x x =−++ （2）当E 点坐标为()2,1时，四边形CDBF 的面积最大，最大值为132 【解析】【分析】（1）根据待定系数法求抛物线解析式即可；（2）设直线BC 的解析式为y kx b =+，先根据待定系数法求直线BC 的解析式，再设()213,20422F x x x x −++<< ，则1,22E x x −+，然后根据四边形CDBF 的面积BCF BCD S S +求最大值即可．【小问1详解】解：将()1,0A −，()0,2C 代入抛物线解析式，得：1022m n n −−+= = ， 解得：322m n = = ，∴抛物线的解析式为213222y x x =−++； 小问2详解】解：如图， 抛物线的对称轴为：3321222x =−=−×，3,02D ∴，()4,0B ， 设直线BC 的解析式为y kx b =+， 将B ，C 点坐标代入得：402k b b += =， 解得：122k b =− = ，∴直线BC 的解析式为122y x =−+，【设()213,20422F x x x x−++<< ，则1,22E x x −+， 2213112222222EF x x x x x ∴=−++−−+=−+， 221142422BCF S x x x x ∴=×−+=−+， 四边形CDBF 面积221354244222BCF BCD S S x x x x =+=−++××−=−++ △△ ()21322x =−−+， 当2x =时，四边形CDBF 的面积最大，最大值为132，此时E 点坐标为()2,1． 【点睛】本题考查利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数中的面积问题，掌握二次函数的性质是解决问题的关键．26. 如图1，抛物线2y x bx =−+与x 轴交于点A ，与直线y x =−交于点(4,4)B −，点(0,4)C −在y 轴上．点P 从点B 出发，沿线段BO 方向匀速运动，运动到点O 时停止．（1）求抛物线2y x bx =−+的表达式；（2）当BP =时，请在图1中过点P 作PD OA ⊥交抛物线于点D ，连接PC ，OD ，判断四边形OCPD 的形状，并说明理由；（3）如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O 同时出发，以与点P 相同的速度沿x 轴正方向匀速运动，点P 停止运动时点Q 也停止运动．连接BQ ，PC ，求CP BQ +的最小值．【答案】（1）23y x x =−+（2）平行四边形，理由见解析（3）【解析】【分析】（1）将点B 代入2y x bx =−+，可得b ； （2）作PD OA ⊥交x 轴于点H ，连接PC 、OD ，由点P 在y x =−上，可知OH PH ∴=，45POH ∠=°，连接BC ，得到OB =2OH PH ==，当2P x =时，4322p DH y ==−+×=，进而得出PD OC =，然后证明PD OC ∥，即可得到结论；（3）由题意得，BP OQ =，连接BC ，在OA 上方作OMQ ，使得45MOQ ∠=°，OM BC =，证明SAS CBP MOQ ≌（），根据CP BQ MQ BQ MB +=+≥（当M ，Q ，B 三点共线时最短），得到CP BQ +的最小值为MB ，利用勾股定理求得MB ，即可得到答案．【小问1详解】解： 抛物线2y x bx =−+过点(4,4)B − 1644b ∴−+=−3b ∴=答：抛物线的表达式为23y x x =−+．【小问2详解】解：四边形OCPD 是平行四边形，理由如下：如图1，作PD OA ⊥交x 轴于点H ，连接PC 、OD ，点P 在y x =−上，OH PH ∴=，45POH ∠=°，连接BC ，4OC BC == ，BP ∴OP OB BP ∴=−=2OH PH ∴== 当2P x =时，4322p DH y ==−+×= 224PD DH PH ∴=+=+=(0,4)C − ，4OC ∴=， PD OC ∴=，OC x ⊥ 轴，PD x ⊥轴，PD OC ∴ ，∴四边形OCPD 是平行四边形．【小问3详解】解：如图2，由题意得，BP OQ =，连接BC ，在OA 上方作OMQ ，使得45MOQ ∠=°，OM BC =， 4OC BC == ，BC OC ⊥，45CBP ∴∠=°，CBP MOQ ∴∠=∠，BP OQ = ，CBP MOQ ∠=∠，BC OM =， SAS CBP MOQ ∴ ≌（），CP BQ MQ BQ MB∴+=+≥（当M，Q，B三点共线时最短），∴+的最小值为MB，CP BQ，∠=∠+∠=°+°=°454590MOB MOQ BOQ∴===MB+的最小值为即CP BQ+的最小值为．答：CP BQ【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．。

2020-2021学年江苏省南通市崇川区启秀中学九年级（上）第一次月考数学试卷一．选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）民间剪纸是中国民间美术形式之一，有着悠久的历史，如图的图案是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（3分）如图，ABC ∆中，将ABC ∆绕点A 顺时针旋转40︒后，得到△AB C ''，且C '在边BC上，则AC C ∠'的度数为( )A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒3．（3分）下列语句中正确的有( )①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆的轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④三点确定一个圆．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（3分）如图，AB 是O 的直径，若35BAC ∠=︒，则(ADC ∠= )A ．35︒B ．55︒C ．70︒D ．110︒5．（3分）平面直角坐标系中，P 的圆心坐标为(4,5)--，半径为5，那么P 与y 轴的位置关系是( )A．相交B．相离C．相切D．以上都不是6．（3分）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是()A．PA PB=B．BPD APD∠=∠C．AB PD⊥D．AB平分PD 7．（3分）已知圆内接正三角形的面积为3，则该圆的内接正六边形的边心距是() A．2B．1C．3D．38．（3分）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC CB=．若110C∠=︒，则ABC∠的度数等于()A．55︒B．60︒C．65︒D．70︒9．（3分）如图，在ABC∆中，90C∠=︒，8AC=，10AB=，点P在AC上，2AP=，若O的圆心在线段BP上，且O与AB、AC都相切，则O的半径是()A．1B．54C．127D．9410．（3分）如图，正方形ABCD中，25AB=O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，2OE=，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90︒得DF，连接AE，CF．则线段OF长的最小值()A ．25B ．52+C ．2102-D ．522-二．填空题（11-14每小题3分，15-18每小题3分，共28分）11．（3分）平面直角坐标系中，一点(2,3)P -关于原点的对称点P '的坐标是 ．12．（3分）已知点P 为O 内一点，过点P 的弦中，最长为10，最短为6，则OP = ．13．（3分）如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则ABC ∆的面积为 ．14．（3分）如图，ABC ∆中，70A ∠=︒，O 截ABC ∆的三条边所截得弦长相等，则BOC ∠= ．15．（4分）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积1S 来近似估计O 的面积S ，设O 的半径为1，则1S S -= ．16．（4分）如图，点O 是等边ABC ∆内一点，130AOB ∠=︒，将BOC ∆绕点C 按顺时针方向旋转60︒得ADC ∆，连接OD ，若OD AD =，则BOC ∠的度数为 ．17．（4分）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，4AD AB CD ===，60C ∠=︒，M 是线段BC 的中点，将MDC ∆绕点M 旋转，当MD （即)MD '与AB 交于点E ，MC （即)MC '同时与AD 交于点F 时，点E 、F 和点A 构成AEF ∆．在此过程中，AEF ∆的周长的最小值 ．18．（4分）如图，正方形ABCD ，45EAF ∠=︒，当点E ，F 分别在对角线BD 、边CD 上，若6FC =，则BE 的长为 ．三．解答题（共92分）19．（10分）如图，平面直角坐标系xOy 中，(2,1)A --，(4,3)B --，(1,3)C --，(2,1)A '．（1）若△A B C '''与ABC ∆成中心对称（点A 、B 分别与A '、B '对应）．试在图中画出△A B C '''．（2）将（1）中△A B C '''绕点C '顺时针旋转90︒，得到△A B C ''''''，试在图中画出△A B C ''''''．（3）若△A B C ''''''可由ABC ∆绕点G 旋转90︒得到，则点G 的坐标为 ．20．（10分）如图，ABC ∆为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AB 与O 相切于点D ．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）已知：120BAC ∠=︒，12BC =，求O 的半径是多少？21．（10分）如图，在ABC ∆中，2AB AC ==，45BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 按顺时针方向旋转得到AEF ∆，连接BE ，CF 相交于点D ．（1）求证：BE CF =；（2）当四边形ACDE 为菱形时，求BD 的长．22．（12分）如图，ABC ∆中，AB AC =．（1）用无刻度的直尺和圆规作ABC ∆的外接圆；（保留画图痕迹）（2）若10AB =，16BC =，求ABC ∆的内切圆半径和外接圆半径．23．（10分）如图，ABD ∆是等边三角形，以AD 为边向外作ADE ∆，使30AED ∠=︒，且3AE =，DE=，连接BE，求BE的长．224．（12分）如图，已知AB是O的直径，点C是O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分ACB∠，交AB于点F，连接BE．（1）求证：AC平分DAB∠；（2）求证：PCF∆是等腰三角形；（3）若6EF=，求O的半径长．AF=，2525．（14分）如图，在平面直角坐标系中，A的半径为1，圆心A点的坐标为(32，0)，直线OB是一次函数y x=的图象，让A沿x轴负方向以每秒1个单位长度移动，移动时间为t（1）直线OB与x轴所夹的锐角度数为；（2）当A与坐标轴有四个公共点时，t的取值范围为；（3）求出运动过程中A与直线OB相切时的t的值；（4）运动过程中，当A与直线OB相交所得的弦长为1时，直接写出t的值．26．（14分）定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形ABCD中，若A C∠≠∠，则称四边形ABCD为准平行四边形．∠=∠，B D（1）如图①，A，P，B，C是O上的四个点，60∠=∠=︒，延长BP到Q，APC CPB使AQ AP=．求证：四边形AQBC是准平行四边形；（2）如图②，准平行四边形ABCD内接于O，AB AD≠，BC DC=，若O的半径为5，AB=，求AC的长；6（3）如图③，在Rt ABC∠=︒，2BC=，若四边形ABCD是准平行四A∠=︒，30∆中，90C边形，且BCD BAD∠≠∠，请直接写出BD长的最大值．2020-2021学年江苏省南通市崇川区启秀中学九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）民间剪纸是中国民间美术形式之一，有着悠久的历史，如图的图案是中心对称图形的是()A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形．故选项错误；B、不是中心对称图形．故选项错误；C、不是中心对称图形．故选项错误；D、是中心对称图形．故选项正确．故选：D．【点评】本题考查了中心对称图形的定义，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合2．（3分）如图，ABC∆中，将ABC∆绕点A顺时针旋转40︒后，得到△AB C''，且C'在边BC 上，则AC C∠'的度数为()A．50︒B．60︒C．70︒D．80︒【分析】根据旋转得出40∠'=∠，根据三角形内角和定='，求出AC C CCAC∠'=︒，AC AC理求出即可．【解答】解：将ABC ∆绕点A 顺时针旋转40︒后，得到△AB C ''，40CAC ∴∠'=︒，AC AC ='， 1(180)702AC C C CAC ∴∠'=∠=︒-∠'=︒， 故选：C ．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能根据旋转的性质得出40CAC ∠'=︒，AC AC ='是解此题的关键．3．（3分）下列语句中正确的有( )①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆的轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；④三点确定一个圆．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】利用确定圆的条件、垂径定理及圆心角、弧、弦之间的关系逐一作出判断即可得到答案．【解答】解：①同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故不符合题意；②平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦；故不符合题意；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；故符合题意；④把这题一条直线上的三点确定一个圆，故不符合题意，故选：A ．【点评】本题考查了确定圆的条件、垂径定理及圆心角、弧、弦之间的关系等有关的基础知识，虽然不很难，但很容易出错．4．（3分）如图，AB 是O 的直径，若35BAC ∠=︒，则(ADC ∠= )A ．35︒B ．55︒C ．70︒D ．110︒【分析】先根据圆周角定理求出90ACB ∠=︒，再由三角形内角和定理得出ABC ∠的度数，根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，35∠=︒，BACABC∴∠=︒-︒-︒=︒，180903555ADC ABC∴∠=∠=︒．55故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，在解答此类问题时往往用到三角形的内角和是180︒这一隐含条件．5．（3分）平面直角坐标系中，P的圆心坐标为(4,5)--，半径为5，那么P与y轴的位置关系是()A．相交B．相离C．相切D．以上都不是【分析】由题意可求P到y轴的距离d为4，根据直线与圆的位置关系的判定方法可求解．【解答】解：P的圆心坐标为(4,5)--，P∴到y轴的距离d为4=<=45d r∴轴与P相交y故选：A．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形性质，熟练运用直线与与圆的位置关系的判定方法是解决问题的关键．6．（3分）如图，PA、PB为圆O的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交圆O于点D，下列结论不一定成立的是()A．PA PB⊥D．AB平分PD∠=∠C．AB PD=B．BPD APD【分析】先根据切线长定理得到PA PB∠=∠；再根据等腰三角形的性质得=，APD BPDBD PA时，AB平分PD，由此可判断DAD PB，//⊥，根据菱形的性质，只有当//OP AB不一定成立．【解答】解：PA，PB是O的切线，∴=，所以A成立；PA PB∠=∠，所以B成立；BPD APDAB PD ∴⊥，所以C 成立； PA ，PB 是O 的切线，AB PD ∴⊥，且AC BC =，只有当//AD PB ，//BD PA 时，AB 平分PD ，所以D 不一定成立．故选：D ．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、垂径定理和等腰三角形的性质．7．（3()A ．2B ．1C D【分析】根据题意可以求得半径，进而解答即可．【解答】解：如图（1），O 为ABC ∆的中心，AD 为ABC ∆的边BC 上的高，则OD 为边心距，30BAD ∴∠=︒，又AO BO =，30ABO BAD ∴∠=∠=︒，603030OBD ∴∠=︒-︒=︒，在Rt OBD ∆中，2BO DO =，即2AO DO =，::1:2:3OD OA AD ∴=．在正ABC ∆中，AD 是高，设BD x =，则1tan 602AD BD BD =︒==．正三角形ABC 2， ∴132BC AD =， ∴12332x x ⨯=1x ∴=．即1BD =，则3AD =， ::1:2:3OD OA AD =，22333AO cm ∴=⨯=． 即这个圆的半径为23cm ． 所以该圆的内接正六边形的边心距23233sin 601⨯︒=⨯=， 故选：B ．【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，求出相应的图形的边心距． 8．（3分）如图，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，AB 是直径，DC CB =．若110C ∠=︒，则ABC ∠的度数等于( )A ．55︒B ．60︒C ．65︒D ．70︒【分析】连接AC ，根据圆内接四边形的性质求出DAB ∠，根据圆周角定理求出ACB ∠、CAB ∠，计算即可．【解答】解：连接AC ，四边形ABCD 是半圆的内接四边形，18070DAB C ∴∠=︒-∠=︒，DC CB =，1352CAB DAB ∴∠=∠=︒， AB 是直径，90ACB ∴∠=︒，9055ABC CAB ∴∠=︒-∠=︒，故选：A ．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9．（3分）如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，10AB =，点P 在AC 上，2AP =，若O 的圆心在线段BP 上，且O 与AB 、AC 都相切，则O 的半径是( )A ．1B ．54C ．127D ．94【分析】设AC 与O 相切于点D ，连接OD ，AO ．在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得6BC =，再证明BC PC =，所以可求45BPC ∠=︒．设O 的半径是r ，根据三角形ABP 的面积的两种表示方法，得21012r r +=，解方程即可求解．【解答】解：设AC 与O 相切于点D ，连接OD ，AO ，O 的半径是r ，90C ∠=︒，8AC =，10AB =，6BC ∴=，826PC =-=，BC PC ∴=；45BPC ∴∠=︒，APB APO AOB ABC BCP S S S S S ∆∆∆∆∆∴=+=-，111121068662222r r ⨯+⨯=⨯⨯-⨯⨯ 21012r r +=，解得1r =．故选：A ．【点评】熟练运用勾股定理，根据已知条件发现特殊直角三角形，运用三角形面积的不同表示方法列方程求解．10．（3分）如图，正方形ABCD 中，25AB =，O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，2OE =，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90︒得DF ，连接AE ，CF ．则线段OF 长的最小值( )A ．25B 52C ．2102D ．522【分析】连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90︒得DM ，连接OF ，FM ，OM ，证明EDO FDM ∆≅∆，可得2FM OE ==，由条件可得52OM =，根据OF MF OM +，即可得出OF 的最小值．【解答】解：如图，连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90︒得DM ，连接OF ，FM ，OM ，90EDF ODM ∠=∠=︒，EDO FDM ∴∠=∠，DE DF =，DO DM =，()EDO FDM SAS ∴∆≅∆，2FM OE ∴==，正方形ABCD 中，25AB =O 是BC 边的中点，5OC ∴22(25)(5)5OD ∴=+=，225552OM ∴=+=，OF MF OM +，522OF ∴-．故选：D ．【点评】本题考查图形的旋转，正方形的性质，勾股定理．解题的关键是掌握图形旋转的性质．二．填空题（11-14每小题3分，15-18每小题3分，共28分）11．（3分）平面直角坐标系中，一点(2,3)P -关于原点的对称点P '的坐标是 (2,3)- ．【分析】平面直角坐标系中任意一点(,)P x y ，关于原点的对称点是(,)x y --，从而可得出答案．【解答】解：根据中心对称的性质，得点(2,3)P --关于原点对称点P '的坐标是(2,3)-． 故答案为：(2,3)-．【点评】本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．12．（3分）已知点P 为O 内一点，过点P 的弦中，最长为10，最短为6，则OP = 4 ． 【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径是10；最短弦即是过点P 且垂直于过点P 的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP 的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP 的长．【解答】解：如图所示，CD AB ⊥于点P ．根据题意，得10AB =，6CD =．CD AB ⊥，132CP CD ∴==． 根据勾股定理，得22225334OP OC CP -=-=．故答案为：4．【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．准确找到过一点的最长的弦和最短的弦是关键．13．（3分）如图，P 为等边三角形ABC 内的一点，且P 到三个顶点A ，B ，C 的距离分别为3，4，5，则ABC ∆的面积为 25394+ ．【分析】将BPC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得BEA ∆，根据旋转的性质得4BE BP ==，5AE PC ==，60PBE ∠=︒，则BPE ∆为等边三角形，得到4PE PB ==，60BPE ∠=︒，在AEP ∆中，5AE =，延长BP ，作AF BP ⊥于点3FAP =，4PE =，根据勾股定理的逆定理可得到APE ∆为直角三角形，且90APE ∠=︒，即可得到APB ∠的度数，在直角APF ∆中利用三角函数求得AF 和PF 的长，则在直角ABF ∆中利用勾股定理求得AB 的长，进而求得三角形ABC 的面积．【解答】解：ABC ∆为等边三角形，BA BC ∴=，可将BPC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得BEA ∆，连EP ，且延长BP ，作AF BP ⊥于点F ．如图，4BE BP ∴==，5AE PC ==，60PBE ∠=︒，BPE ∴∆为等边三角形，4PE PB ∴==，60BPE ∠=︒，在AEP ∆中，5AE =，3AP =，4PE =，222AE PE PA ∴=+，APE ∴∆为直角三角形，且90APE ∠=︒，9060150APB ∴∠=︒+︒=︒．30APF ∴∠=︒，∴在直角APF ∆中，1322AF AP ==，333PF AP ==． ∴在直角ABF ∆中，22222333(4)()251232AB BF AF =+=++=+， 则ABC ∆的面积是233253(25123)9AB =+=+， 故答案为：2539+． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．14．（3分）如图，ABC ∆中，70A ∠=︒，O 截ABC ∆的三条边所截得弦长相等，则BOC ∠= 125︒ ．【分析】过O 作OM AB ⊥于M ，ON BC ⊥于N ，OQ AC ⊥于Q ，连接OK 、OD 、OF 、OB 、OC ，根据垂径定理和已知求出DM KQ FN ==，根据勾股定理求出OM ON OQ ==，可得点O 是ABC ∆的内心即可解决问题．【解答】解：过O 作OM AB ⊥于M ，ON BC ⊥于N ，OQ AC ⊥于Q ，连接OK 、OD 、OF 、OB 、OC ，设AB ，AC ，BC 与O 的另一个交点分别为E ，H ，G ．由垂径定理得：12DM DE =，12KQ KH =，12FN FG =， DE FG HK ==， DM KQ FN ∴==，OD OK OF ==，∴由勾股定理得：OM ON OQ ==，即O 到三角形ABC 三边的距离相等，O ∴是ABC ∆的内心，1(18070)552OBC OCB ∴∠+∠=︒-︒=︒， 125BOC ∴∠=︒，故答案为125︒．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的内心的判定，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．15．（4分）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积1S 来近似估计O 的面积S ，设O 的半径为1，则1S S -= 3π- ．【分析】根据圆的面积公式得到O 的面积 3.14S =，求得圆的内接正十二边形的面积111211sin3032S =⨯⨯⨯⨯︒=，即可得到结论． 【解答】解：O 的半径为1，O ∴的面积S π=，∴圆的内接正十二边形的中心角为3603012︒=︒， ∴过A 作AC OB ⊥， 1122AC OA ∴==， ∴圆的内接正十二边形的面积111121322S =⨯⨯⨯=， ∴则13S S π-=-， 故答案为：3π-．【点评】本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键．16．（4分）如图，点O 是等边ABC ∆内一点，130AOB ∠=︒，将BOC ∆绕点C 按顺时针方向旋转60︒得ADC ∆，连接OD ，若OD AD =，则BOC ∠的度数为 100︒ ．【分析】设BOC α∠=，根据旋转前后图形不发生变化，易证COD ∆是等边OCD ∆，从而利用α分别表示出AOD ∠与ADO ∠，再根据等腰AOD ∆的性质求出α．【解答】解：设BOC α∠=，根据旋转的性质知，BOC ADC ∆≅∆，则OC DC =，BOC ADC α∠=∠=．又BOC ∆绕点C 按顺时针方向旋转60︒得到ADC ∆，60OCD ∴∠=︒，OCD ∴∆是等边三角形，60COD CDO ∴∠=∠=︒，OD AD =，AOD DAO ∴∠=∠．36013060170AOD αα∠=︒-︒-︒-=︒-，60ADO α∠=-︒，2(170)60180αα∴⨯︒-+-︒=︒，解得100α=︒．故答案是：100︒．【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．17．（4分）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，4AD AB CD ===，60C ∠=︒，M 是线段BC 的中点，将MDC ∆绕点M 旋转，当MD （即)MD '与AB 交于点E ，MC （即)MC '同时与AD 交于点F 时，点E 、F 和点A 构成AEF ∆．在此过程中，AEF ∆的周长的最小值 423+ ．【分析】过点D 作DP BC ⊥于点P ，过点A 作AQ BC ⊥于点Q ，得到12CP BQ AB ==，122CP BQ AB +==，得出2BC CD =，由点M 是BC 的中点，推出CM CD =，由60C ∠=︒，根据等边三角形的判定即可得到答案；AEF ∆的周长存在最小值，理由是连接AM ，由ABMD 是菱形，得出MAB ∆，MAD ∆和△MC D ''是等边三角形，推出BME AMF ∠=∠，证出()BME AMF ASA ∆≅∆，得出BE AF =，ME MF =，推出EMF ∆是等边三角形，根据MF 的最小值为点M 到AD 的距离3EF 的最小值是3AEF ∆的周长．【解答】解：连接AM ，过点D 作DP BC ⊥于点P ，过点A 作AQ BC ⊥于点Q ， 即//AQ DP ，//AD BC ，∴四边形ADPQ 是平行四边形，AD QP AB CD ∴===，60C B ∠=∠=︒，30BAQ CDP ∴∠=∠=︒，122CP BQ AB ∴===， 即2248BC =++=，4CD =，2BC CD ∴=，点M 是BC 的中点，2BC CM =，CD CM ∴=，60C ∠=︒，30CDP ∴∠=︒，4CD =，2CP ∴=，∴由勾股定理得：23DP =，MAB ∴∆，MAD ∆和△MC D ''是等边三角形，60BMA BME AME ∠=∠+∠=︒，60EMF AMF AME ∠=∠+∠=︒，BME AMF ∴∠=∠，在BME ∆与AMF ∆中，B FAM BM AM BME AMF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BME AMF ASA ∴∆≅∆，BE AF ∴=，ME MF =，AE AF AE BE AB +=+=，60EMF DMC ∠=∠=︒，故EMF ∆是等边三角形，EF MF =，MF 的最小值为点M 到AD 的距离等于DN 的长，即是23，即EF 的最小值是23， AEF ∆的周长AE AF EF AB EF =++=+，AEF ∆的周长的最小值为423+，故答案为：423+．【点评】本题主要考查对等边三角形的性质和判定，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．18．（4分）如图，正方形ABCD ，45EAF ∠=︒，当点E ，F 分别在对角线BD 、边CD 上，若6FC =，则BE 的长为32 ．【分析】作ADF ∆的外接圆O ，连接EF 、EC ，过点E 分别作EM CD ⊥于M ，EN BC ⊥于N （如图）根据圆周角定理得到AF 为O 直径，根据正方形的性质得到45EDF EAF ∠=∠=︒，推出AEF ∆为等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到AE CE =，得到1232CM CF ==，推出四边形CMEN 是矩形，求得3EN CM ==，于是得到结论．【解答】解：作ADF ∆的外接圆O ，连接EF 、EC ，过点E 分别作EM CD ⊥于M ，EN BC ⊥于N （如图）90ADF ∠=︒，AF ∴为O 直径，BD 为正方形ABCD 对角线， 45EDF EAF ∴∠=∠=︒，∴点E 在O 上，90AEF ∴∠=︒，AEF ∴∆为等腰直角三角形，AE EF ∴=，在ABE ∆与CBE ∆中AB CB ABE CBE BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE CBE SAS ∴∆≅∆， AE CE ∴=，CE EF ∴=，EM CF ⊥，6CF =，132CM CF ∴==， EN BC ⊥，90NCM ∠=︒，∴四边形CMEN 是矩形，3EN CM ∴==，45EBN ∠=︒，232BE EN ∴==，故答案为：32．【点评】本题考查了正方形的性质，旋转，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形性质，运用转化思想是解题关键．三．解答题（共92分）19．（10分）如图，平面直角坐标系xOy 中，(2,1)A --，(4,3)B --，(1,3)C --，(2,1)A '．（1）若△A B C '''与ABC ∆成中心对称（点A 、B 分别与A '、B '对应）．试在图中画出△A B C '''．（2）将（1）中△A B C '''绕点C '顺时针旋转90︒，得到△A B C ''''''，试在图中画出△A B C ''''''．（3）若△A B C ''''''可由ABC ∆绕点G 旋转90︒得到，则点G 的坐标为 (3,1)- ．【分析】（1）根据中心对称的定义分别作出点B 、C 变换后的对应点，再顺次连接可得；（2）分别作出点A '、B '绕点C '顺时针旋转90︒得到的对应点，再顺次连接可得；（3）连接AA''、BB''，分别作出其中垂线，交点即为点G．'''即为所求；【解答】解：（1）如图所示，△A B C（2）如图所示，△A B C''''''即为所求；（3）如图所示点G即为所求，其坐标为(3,1)-，故答案为：(3,1)-．【点评】本题主要考查作图-旋转变换，解题的关键是根据旋转变换的定义作出变换后的对应点及旋转变换的性质．20．（10分）如图，ABC∆为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与O相切于点D．（1）求证：AC是O的切线．（2）已知：120BC=，求O的半径是多少？BAC∠=︒，12【分析】（1）过点O作OE AC⊥，⊥于点E，连结OD，OA，根据切线的性质得出AB OD 根据等腰三角形三线合一的性质得出AO是BAC∠的平分线，根据角平分线的性质得出=，从而证得结论；OE OD（2）由等腰三角形的性质“三线合一”可得OB，由切线的性质可得BAO∠，由∠，可得B 含30︒角直角三角形的性质可得BD的长，进而求出DO的长．【解答】（1）证明：过点O作OE AC⊥于点E，连结OD，OA，AB 与O 相切于点D ，AB OD ∴⊥，ABC ∆为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，AO ∴是BAC ∠的平分线，OE OD ∴=，即OE 是O 的半径， AC 经过O 的半径OE 的外端点且垂直于OE ，AC ∴是O 的切线；（2）解：ABC ∆为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，12BC =，AO BC ∴⊥，6BO =，120BAC ∠=︒，AB ，AC 为O 的切线，60BAO CAO ∴∠=∠=︒，30B ∴∠=︒，6BO =，30B ∠=︒，OD AB ⊥， 116322BD OB ∴==⨯=， 则33DO =，O ∴的半径是33．【点评】考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．21．（10分）如图，在ABC ∆中，2AB AC =45BAC ∠=︒，将ABC ∆绕点A 按顺时针方向旋转得到AEF ∆，连接BE ，CF 相交于点D ．（1）求证：BE CF =；（2）当四边形ACDE 为菱形时，求BD 的长．【分析】（1）先由旋转的性质得AE AB =，AF AC =，EAF BAC ∠=∠，则EAF BAF BAC BAF ∠+∠=∠+∠，即EAB FAC ∠=∠，利用AB AC =可得AE AF =，由“SAS ”可证AEB AFC ∆≅∆，可得BE CF =；（2）由菱形的性质得到2DE AE AC AB ====//AC DE ，根据等腰三角形的性质得AEB ABE ∠=∠，根据平行线得性质得45ABE BAC ∠=∠=︒，所以45AEB ABE ∠=∠=︒，于是可判断ABE ∆为等腰直角三角形，所以22BE AC ==，于是利用BD BE DE =-求解．【解答】证明：（1）AEF ∆是由ABC ∆绕点A 按顺时针方向旋转得到的，AE AB ∴=，AF AC =，EAF BAC ∠=∠，EAF BAF BAC BAF ∴∠+∠=∠+∠，即EAB FAC ∠=∠，AB AC =，AE AF ∴=，且EAB FAC ∠=∠，AB AC =，()AEB AFC SAS ∴∆≅∆BE CF ∴=；（2）四边形ACDE 为菱形，2AB AC =2DE AE AC AB ∴====，//AC DE ，AEB ABE ∴∠=∠，45ABE BAC ∠=∠=︒，45AEB ABE ∴∠=∠=︒，ABE ∴∆为等腰直角三角形，22BE AB ∴==，22BD BE DE ∴=-=【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．22．（12分）如图，ABC ∆中，AB AC =．（1）用无刻度的直尺和圆规作ABC ∆的外接圆；（保留画图痕迹）（2）若10AB =，16BC =，求ABC ∆的内切圆半径和外接圆半径．【分析】（1）用尺规作边AB 和AC 的垂直平分线，两线相交于点O ，作出ABC ∆的外接圆．（2）根据公式即可求内切圆半径，根据垂径定理和勾股定理即可求出外接圆的半径．【解答】解：（1）如图所示即为ABC ∆的外接圆；（2）连接OB 、OA ，交BC 于点D ，OB OA =，AD BC ∴⊥， 根据垂径定理，得182BD DC BC ===，90ODB ∠=︒， 1482ABC S BC AD ∆=⨯=， 内切圆半径2896363S r C ==÷=， 在Rt BOD ∆中，根据勾股定理，得222OB OD BD =+，即222(6)8OB OB =-+ 解得253OB =． 答：ABC ∆的内切圆半径为83，外接圆半径为253． 【点评】本题考查作图-复杂作图，三角形的外接圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23．（10分）如图，ABD ∆是等边三角形，以AD 为边向外作ADE ∆，使30AED ∠=︒，且3AE =，2DE =，连接BE ，求BE 的长．【分析】将DE 绕点E 逆时针旋转60︒得到EF ，连接AF 、DF ，易证DEF ∆是等边三角形，得DF DE =，60EDF ∠=︒，在Rt AEF ∆中，由勾股定理得2213AF AEEF =+=，由SAS 证得ADF BDE ∆≅∆，得BE AF =，即可得出结果．【解答】解：将DE 绕点E 逆时针旋转60︒得到EF ，连接AF 、DF ，如图所示： 则603090AEF DEF AED ∠=∠+∠=︒+︒=︒，由旋转的性质得：DE EF =，DEF ∴∆是等边三角形，DF DE ∴=，60EDF ∠=︒，ABD ∆是等边三角形，AD BD ∴=，60ADB ∠=︒，ADF BDE ∴∠=∠，在Rt AEF ∆中，由勾股定理得：22223213AF AE EF =+=+=，在ADF ∆和BDE ∆中，AD BD ADF BDE DF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADF BDE SAS ∴∆≅∆，13BE AF ∴==．【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．24．（12分）如图，已知AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，直线DC 与AB 的延长线相交于点P ，弦CE 平分ACB ∠，交AB 于点F ，连接BE ．（1）求证：AC 平分DAB ∠；（2）求证：PCF ∆是等腰三角形；（3）若6AF =，25EF =，求O 的半径长．【分析】（1）根据切线的性质得OC AD ⊥，而AD DP ⊥，则肯定判断//OC AD ，根据平行线的性质得DAC OCA ∠=∠，加上OAC OCA ∠=∠，所以OAC DAC ∠=∠；（2）根据圆周角定理由AB 为O 的直径得90ACB ∠=︒，则45BCE ∠=︒，再利用圆周角定理得290BOE BCE ∠=∠=︒，则90OFE OEF ∠+∠=︒，易得90CFP OEF ∠+∠=︒，再根据切线的性质得到90OCF PCF ∠+∠=︒，而OCF OEF ∠=∠，根据等角的余角相等得到PCF CFP ∠=∠，于是可判断PCF ∆是等腰三角形；（3）连结OE ．由AB 为O 的直径，得到90ACB ∠=︒，根据角平分线的定义得到45BCE ∠=︒，设O 的半径为r ，则6OF r =-，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】（1）证明：PD 为O 的切线，OC DP ∴⊥，AD DP ⊥，//OC AD ∴， DAC OCA ∴∠=∠，OA OC =，OAC OCA ∴∠=∠，OAC DAC ∴∠=∠，AC ∴平分DAB ∠；（2）证明：AB 为O 的直径，90ACB ∴∠=︒， CE 平分ACB ∠，45BCE ∴∠=︒，290BOE BCE ∴∠=∠=︒，90OFE OEF ∴∠+∠=︒，而OFE CFP ∠=∠，90CFP OEF ∴∠+∠=︒，OC PD ⊥，90OCP ∴∠=︒，即90OCF PCF ∠+∠=︒， 而OCF OEF ∠=∠，PCF CFP ∴∠=∠，PCF ∴∆是等腰三角形；（3）解：连结OE ． AB 为O 的直径，90ACB ∴∠=︒， CE 平分ACB ∠，45BCE ∴∠=︒， 90BOE ∴∠=︒，即OE AB ⊥， 设O 的半径为r ，则6OF r =-， 在Rt EOF ∆中，222OE OF EF +=，222(6)r r ∴+-=，解得，14r =，22r =，当14r =时，62OF r =-=（符合题意），当22r =时，64OF r =-=（不合题意，舍去），O ∴的半径4r =．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和等腰三角形的判定．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，A 的半径为1，圆心A 点的坐标为(32，0)，直线OB 是一次函数y x =的图象，让A 沿x 轴负方向以每秒1个单位长度移动，移动时间为t（1）直线OB 与x 轴所夹的锐角度数为 45︒ ；（2）当A 与坐标轴有四个公共点时，t 的取值范围为 ； （3）求出运动过程中A 与直线OB 相切时的t 的值；（4）运动过程中，当A 与直线OB 相交所得的弦长为1时，直接写出t 的值．【分析】（1）过B 点作BH x ⊥轴于H ，如图，设(,)B t t ，则BH OH =，于是可判断OBH∆为等腰直角三角形，所以45BOH ∠=︒；（2）当A 运动到与y 轴相切时，如图1，A '与A ''与y 轴相切，根据切线的性质得1OA OA '=''=，则利用等腰直角三角形的性质得321AA '=，321AA ''=，所以当A 与坐标轴有四个公共点时，t 的取值范围为32321t -<<．（3）当A 与直线OB 相切时，如图2，A '与A ''与OB 相切，作A M OB ''⊥于M '，A M OB ''''⊥于M ''，根据切线的性质得1A M A M ''=''''=，利用等腰直角三角形的性质得OA OA '=''所以AA '=，AA ''=于是可判断运动过程中A 与直线OB 相切时的t 的值为（4）设A '交直线OB 于C 、D ，则1CD =，如图3，作A E OB '⊥于E ，连接A C '，根据垂径定理得12CE DE ==，在Rt △ACE '中，利用勾股定理得AE =，在Rt △OA E '中利用等腰直角三角形的性质得OA E '='，同理可得OA ''=，所以AA '=AA ''=【解答】解：（1）过B 点作BH x ⊥轴于H ，如图，设(,)B t t ，则BH OH =，OBH ∴∆为等腰直角三角形，45BOH ∴∠=︒，即直线OB 与x 轴所夹的锐角度数为45︒；（2）当A 运动到与y 轴相切时，如图1，A '与A ''与y 轴相切，1OA OA '=''=，1AA ∴'=，1AA ''=，∴当A 与坐标轴有四个公共点时，t 的取值范围为1t <<．故答案为45︒，1t <<．（3）当A 与直线OB 相切时，如图2，A '与A ''与OB 相切，作A M OB ''⊥于M '，A M OB ''''⊥于M ''，则1A M A M ''=''''=，直线OB 与x 轴所夹的锐角度数为45︒，∴△OA M ''和△OA M ''''，OA OA ∴'=''=AA ∴'=AA ''=∴运动过程中A 与直线OB 相切时的t 的值为（4）设A '交直线OB 于C 、D ，则1CD =，如图3，作A E OB '⊥于E ，连接A C '，12CE DE ∴==， 在Rt △ACE '中，2222131()2AE A C CE ='-=-=， 在Rt △OA E '中，62OA A E '='=， 同理可得6OA ''=， 632AA ∴'=-，632AA ''=+， 此时t 的值为632=-或632+．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、切线的性质和等腰直角三角形的性质；理解坐标与图形性质；通过特殊点的解决动点问题．26．（14分）定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形ABCD 中，若A C ∠=∠，B D ∠≠∠，则称四边形ABCD 为准平行四边形．（1）如图①，A ，P ，B ，C 是O 上的四个点，60APC CPB ∠=∠=︒，延长BP 到Q ，使AQ AP =．求证：四边形AQBC 是准平行四边形；（2）如图②，准平行四边形ABCD 内接于O ，AB AD ≠，BC DC =，若O 的半径为5，6AB =，求AC 的长；（3）如图③，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，若四边形ABCD 是准平行四边形，且BCD BAD ∠≠∠，请直接写出BD 长的最大值．【分析】（1）可证APQ ∆是等边三角形，可得60Q QAP ∠=︒=∠，由圆的内接四边形的性质可得60QPA ACB Q ∠=∠=︒=∠，由四边形内角和定理可证QAC QBC ∠≠∠，可得结论；（2）如图②，连接BD ，由准平行四边形定义可求90BAD BCD ∠=∠=︒，可得BD 是直径，由勾股定理可求8AD =，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转90︒得到CDH ∆，可得6AB DH ==，AC CH =，90ACH ∠=︒，ABC CDH ∠=∠，由勾股定理可求AC 的长；（3）如图③，作ACD ∆的外接圆O ，过点O 作OE AC ⊥于E ，OF BC ⊥于F ，由准平行四边形定义可求60ABC ADC ∠=∠=︒，可得120AOC ∠=︒，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质，可求1OE =，22CO OE ==，由勾股定理可求OB ，由当点D 在BO 的延长线时，BD 的长有最大值，即可求解．【解答】证明：（1）60APC CPB ∠=∠=︒，60APQ ∴∠=︒，且AQ AP =，APQ ∴∆是等边三角形，60Q QAP ∴∠=︒=∠，四边形APBC 是圆内接四边形，60QPA ACB ∴∠=∠=︒，360Q ACB QAC QBC ∠+∠+∠+∠=︒，240QAC QBC ∴∠+∠=︒，且120120QAC QAP BAC PAB PAB ∠=∠+∠+∠=︒+∠>︒， 120QBC ∴∠<︒，。

九年级（上）月考数学试卷（9月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.抛物线y=-35（x+12）2-3的顶点坐标是（）A. (12,−3)B. (−12,−3)C. (12,3)D. (−12,3)2.若（2，5），（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（）A. x=1B. x=2C. x=3D. x=43.如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（）A. 3B. 2.5C. 2D. 14.若m，n是方程x2-x-2015=0的两根，则mn的值为（）A. 2014B. −2015C. 2015D. −20145.二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是（）A. −8B. 8C. ±8D. 66.设A（-3，y1），B（-2，y2），C（12，y3）是抛物线y=（x+1）2-m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y3>y2>y1D. y3>y1>y27.已知二次函数y=-（x-b）2+c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）A. b≥−1B. b≤−1C. b≥1D. b≤18.如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，AB交半圆于点D，OB交半圆于点C，若点C，D，A在量角器上对应的读数分别为45°，70°，160°，则∠B的度数为（）A. 20∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘9.如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（）A. 4B. 6C. 8D. 1010.已知直线y=-3x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛物线y=-13（x-3）2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.二次函数y=（x+1）2-3最小值为______．12.在半径为3cm的⊙O中，弦AB=32cm，则弦AB所对的圆心角∠AOB的度数为______°．13.将二次函数y=-x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，则平移后的抛物线的解析式为______．14.半圆形纸片的半径为1cm，用如图所示的方法将纸片对折，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则折痕CD的长为______cm．15.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+a的图象经过______象限．16.求二次函数y=x2-2x-3（-2≤x≤2）的y的取值范围______．17.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①b2-4ac＞0；②abc＞0；③4a-2b+c＞0；④9a+3b+c＜0．其中，正确结论的是______．18.如图，已知AB=4，P为线段AB上的一个动点，分别以AP，PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE，点P，C，E在一条直线上，∠DAP=60°．M，N分别是对角线AC，BE的中点．当点P在线段AB上移动时，点M，N之间的距离最短为______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过29元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系．（1）求y与x的函数关系式．（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？（3）该天水果的售价为多少元时获利最大？最大利润为多少？四、解答题（本大题共9小题，共86.0分）20.解方程：（1）（3x-1）2=（x+1）2（2）2x2+1=3x21.在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上，请解答下列问题．（1）作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；（2）作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；（3）已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐标为(-4，-2)，请直接写出直线l的函数表达式．22.抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴交点坐标是（0，3）．（1）求出m的值；（2）求抛物线与x轴的交点；（3）当x取什么值时，y＜0？23.如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？24.如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，AE=BF，OE、OF分别交于AB于C、D两点，求证：AC=BD．25.关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0，求m的值．26.2（1）当x=-1时，y的值为______；（2）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该函数的图象上，则当1＜x1＜2，3＜x2＜4时，y1与y2的大小关系是______；（3）若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式：______；（4）设点P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）都在二次函数y=ax2+bx+c 的图象上，问：当m＜-3时，y1、y2、y3的值一定能作为同一个三角形三边的长吗？为什么？27.已知，抛物线y=ax2-bx+c（m≠0）经过原点，顶点为A（h，k）（h≠0）（1）若h=-1，k=1，求抛物线的解析式；（2）若抛物线y=mx2（m≠0）也经过点A，求ma的值；（3）若点A在抛物线y=x2-x上，用a的代数式表示h．28.如图，过A（1，0）、B（3，0）作x轴的垂线，分别交直线y=4-x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．（1）求抛物线的表达式；（2）点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：y=-（x+）2-3是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（-，-3）．故选：B．已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．2.【答案】C【解析】解：因为点（2，5）、（4，5）在抛物线上，根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，所以，对称轴x==3；故选：C．由已知，点（2，5）、（4，5）是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求两对称点横坐标的平均数．本题考查了二次函数的对称性．二次函数关于对称轴成轴对称图形．3.【答案】C【解析】解：连接OA，设CD=x，∵OA=OC=5，∴OD=5-x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB=4，由勾股定理可知：52=42+（5-x）2∴x=2，∴CD=2，故选：C．根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．4.【答案】B【解析】解：∵m，n是方程x2-x-2015=0的两根，∴mn=-2015，故选：B．由韦达定理可直接得出答案．本题考查了根与系数的关系，如果一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1与x2，则x1+x2=-，x1•x2=．解题时要注意这两个关系的合理应用．5.【答案】B【解析】解：由图可知，抛物线与x轴只有一个交点，所以，△=m2-4×2×8=0，解得m=±8，∵对称轴为直线x=-＜0，∴m＞0，∴m的值为8．故选：B．根据抛物线与x轴只有一个交点，△=0，列式求出m的值，再根据对称轴在y 轴的左边求出m的取值范围，从而得解．本题考查了二次函数图象与x轴的交点问题，本题易错点在于要根据对称轴确定出m是正数．6.【答案】B【解析】解：∵抛物线y=（x+1）2-m，∴当x＞-1时，y随x的增大而增大，当x＜-1时，y随x的增大而较小，∵A（-3，y1），B（-2，y2），C（，y3）是抛物线y=（x+1）2-m上的三点，-1-（-3）=2，-1-（-2）=1，-（-1）=，∴y1＞y3＞y2，故选：B．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断y1，y2，y3的大小关系，本题得以解决．本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．7.【答案】D【解析】解：∵二次函数y=-（x-b）2+c，∴当x＞b时，y的值随x值的增大而减小，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴b≤1，故选：D．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到b的取值范围，本题得以解决．本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8.【答案】A【解析】解：连结OD，如图，则∠DOC=70°-45°=25°，∠AOD=160°-70°=90°，∵OD=OA，∴∠ADO=45°，∵∠ADO=∠B+∠DOB，∴∠B=45°-25°=20°．故选：A．连结OD，如图，根据题意得∠DOC=25°，∠AOD=90°，由于OD=OA，则∠ADO=45°，然后利用三角形外角性质得∠ADO=∠B+∠DOB，所以∠B=45°-25°=20°．本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．9.【答案】C【解析】解：∵AB=10，∵OB=OA=OC=5，过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，∵OB⊥CD，∴∠CEO=90°，由勾股定理得：CE===3，∵OE⊥CD，OE过O，∴CD=2CE=6，∵AB是过E的⊙O的最长弦，AB=10，∴过E点所有弦中，长度为整数的条数为1+2+2+2+1=8，故选：C．过E作CD⊥AB于E，连接OC，则CD是过E的⊙O的最短的弦，AB是过E 的⊙O的最长弦，根据勾股定理和垂径定理求出CD=6，得出弦的长度为6（1条），7、8、9（都有2条），10（1条），即可得出答案．本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是能求出符合条件的所有情况．10.【答案】A【解析】解：以点B为圆心线段AB长为半径作圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，如图所示．令一次函数y=-x+3中x=0，则y=3，∴点A的坐标为（0，3）；令一次函数y=-x+3中y=0，则-x+3=0，解得：x=，∴点B的坐标为（，0）．∴AB=2．∵抛物线的对称轴为x=，∴点C的坐标为（2，3），∴AC=2=AB=BC，∴△ABC为等边三角形．令y=-（x-）2+4中y=0，则-（x-）2+4=0，解得：x=-，或x=3．∴点E的坐标为（-，0），点F的坐标为（3，0）．△ABP为等腰三角形分三种情况：①当AB=BP时，以B点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M、N三点；②当AB=AP时，以A点为圆心，AB长度为半径做圆，与抛物线交于C、M两点，；③当AP=BP时，作线段AB的垂直平分线，交抛物线交于C、M两点；∴能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有3个．故选：A．以点B为圆心线段AB长为半径作圆，交抛物线于点C、M、N点，连接AC、BC，由直线y=-x+3可求出点A、B的坐标，结合抛物线的解析式可得出△ABC等边三角形，再令抛物线解析式中y=0求出抛物线与x轴的两交点的坐标，发现该两点与M、N重合，结合图形分三种情况研究△ABP为等腰三角形，由此即可得出结论．本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标、等腰三角形的判定、一次函数与图形，利用数形结合来解决问题．本题属于中档题，难度不小，本题不需要求出P点坐标，但在寻找点P的过程中会出现多次点的重合问题，由此给解题带来了难度．11.【答案】-3【解析】解：根据二次函数的性质可知，二次函数y=（x+1）2-3最小值为-3，故答案为：-3．根据二次函数的性质解答．本题考查的是二次函数的最值，掌握二次函数的性质是解题的关键．12.【答案】90【解析】解：∵OA=OB=3，AB=3，∵OA2+OB2=AB2，∴根据勾股定理的逆定理，△ABO是直角三角形，且∠AOB=90°，故答案为：90．已知一个三角形三边，先看三边是否符合勾股定理的逆定理，如果符合，则该三角形为直角三角形．此题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是根据已知三角形求边长，一般是利用勾股定理的逆定理解答．13.【答案】y=-x2+2【解析】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴将二次函数y=-x2+2x+3的图象先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的图象表达式为y=-（x-1+1）2+4-2，即y=-x2+2．故答案为y=-x2+2．先运用配方法将y=-x2+2x+3写成顶点式，再根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．14.【答案】3【解析】解：作MO交CD于E，则MO⊥CD，连接CO，对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则ME=OE=OC，在直角三角形COE中，CE==，折痕CD的长为2×=（cm）．作MO交CD于E，则MO⊥CD．连接CO．根据勾股定理和垂径定理求解．作出辅助线，构造直角三角形，根据对称性，利用勾股定理解答．15.【答案】一、二、四【解析】解：∵二次函数图象开口向上，∴a＞0，∵对称轴为直线x=-，∴b＜0，∴一次函数y=bx+a的图象经过二、一、四象限，故答案为一、二、四．根据二次函数图象的开口向上可得a＞0，再根据对称轴确定出b＜0，从而确定出一次函数图象经过的象限．本题考查了二次函数图象，一次函数图象，此类题目通常根据二次函数图象的开口方向，对称轴以及x的特殊值求出a、b、c的关系是解题的关键．16.【答案】-4≤y≤5【解析】解：∵二次函数y=x2-2x-3=（x-1）2-4，∴当x＞1时，y随x的增大而增大，∵-2≤x≤2，1-（-2）=3，2-1=1，∴当x=-2时，函数取得最大值，当x=1时，函数取得最小值，当x=-2时，y=5，当x=1时，y=-4，∴二次函数y=x2-2x-3（-2≤x≤2）的y的取值范围是-4≤y≤5，故答案为：-4≤y≤5．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以求得x的取值范围．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．17.【答案】①②③④【解析】解：函数图象与x轴有两个交点，故b2-4ac＞0，所以①正确，由图象可得，a＞0，b＜0，c＜0，故abc＞0，所以②正确，当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故③正确，∵该函数的对称轴为x=1，当x=-1时，y＜0，∴当x=3时的函数值与x=-1时的函数值相等，∴当x=3时，y=9a+3b+c＜0，故④正确，故答案为：①②③④．根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．18.【答案】3【解析】解：连接PM、PN．∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°，∴∠APC=120°，∠EPB=60°，∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，∴∠CPM=∠APC=60°，∠EPN=∠EPB=30°，∴∠MPN=60°+30°=90°，设PA=2a，则PB=4-2a，PM=a，PN=（2-a），∴MN===，∴a=时，点M，N之间的距离最短，最短距离为，故答案为．连接PM、PN．首先证明∠MPN=90°，设PA=2a，则PB=4-2a，PM=a，PN=（2-a），构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；本题考查菱形的性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建二次函数解决最值问题．19.【答案】解：（1）把（22.6，34.8）和（24，32）代入一次函数表达式为y=kx+b，解得：函数表达式为y=-2x+80，（20≤x≤29）；（2）设：利润为W=（x-20）y=-2（x-20）（x-40）=150，解得：x=25或x=35（舍去），答：某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元；（3）w=-2（x-20）（x-40），函数的对称轴为x=30，而20≤x≤29，故x=29时，函数取得最大值，此时，W=198，故：水果的售价为29元时获利最大，最大利润198元．【解析】（1）把（22.6，34.8）和（24，32）代入一次函数表达式为y=kx+b，即可求解；（2）利润W=（x-20）y=-2（x-20）（x-40）=150，即可求解；（3）w=-2（x-20）（x-40），求最大值即可．本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得．20.【答案】解：（1）（3x-1）2=（x+1）2则[（3x-1）+（x+1）][（3x-1）-（x+1）]=0，故4x（2x-2）=0，解得：x1=0，x2=1；（2）2x2+1=3x2x2-3x+1=0，（2x-1）（x-1）=0，解得：x1=1，x2=12．【解析】（1）直接利用平方差公式计算得出答案；（2）利用十字相乘法分解因式解方程即可．此题主要考查了因式分解法解方程，正确分解因式是解题关键．21.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，C1（-1，2）；（2）如图，△A2B2C2为所作，C2（-3，-2）；（3）因为A的坐标为（2，4），A3的坐标为（-4，-2），所以直线l的函数解析式为y=-x，【解析】（1）利用网格特点和平移的性质写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点得到△A1B1C1；（2）根据关于原点中心对称的点的坐标特征写出点A2、B2、C2的坐标，然后描（3）根据对称的特点解答即可．本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换和平移变换．22.【答案】解：（1）把（0，3）代入y=-x2+（m-1）x+m得m=3，即m的值为3；（2）抛物线解析式为y=-x2+2x+3，当y=0时，-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，所以抛物线与x轴的交点坐标为（-1，0），（3，0）；（3）当x＜-1或x＞3时，y＜0．【解析】（1）把（0，3）代入y=-x2+（m-1）x+m可求出m的值；（2）由（1）得抛物线解析式为y=-x2+2x+3，然后解方程-x2+2x+3=0得抛物线与x轴的交点坐标；（3）利用函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可．本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．23.【答案】解：（1）∵直径AB=26m，∴OD=12AB=12×26=13m，∵OE⊥CD，∴DE=12CD，∵OE：CD=5：24，∴OE：ED=5：12，∴设OE=5x，ED=12x，∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132，解得x=1，∴CD=2DE=2×12×1=24m；（2）由（1）得OE=1×5=5m，延长OE交圆O于点F，∴EF=OF-OE=13-5=8m，∴84=2(小时)，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．（1）在直角三角形EOD中利用勾股定理求得ED的长，2ED等于弦CD的长；（2）延长OE交圆O于点F求得EF=OF-OE=13-5=8m，然后利用，所以经过2小时桥洞会刚刚被灌满．此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积来解决．24.【答案】证明：连接OA、OB，∵OA=OB，∴∠A=∠B，∵AE=BF，∴∠AOC=∠BOD，在△AOC和△BOD中，∠A=∠BOA=OB∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD，∴AC=BD．【解析】连接OA、OB，根据半径相等得到∠A=∠B，根据等弧所对的圆周角相等得到∠AOC=∠BOD，根据三角形全等的判定定理证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质证明结论．本题考查的是圆心角、弧、弦的关系以及三角形全等的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．25.【答案】解：（1）∵方程x2+3x+m-1=0的两个实数根，∴△=32-4（m-1）=13-4m≥0，解得：m≤134．（2）∵方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2=-3，x1x2=m-1．∵2（x1+x2）+x1x2+10=0，即-6+（m-1）+10=0，∴m=-3．【解析】（1）由一元二次方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=-3、x1x2=m-1，结合2（x1+x2）本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合2（x1+x2）+x1x2+10=0，找出关于m的一元一次方程．26.【答案】9 y1＜y2y=（x-5）2或y=x2-10x+25【解析】解：（1）根据图表知，当x=1和x=3时，所对应的y值都是2，∴抛物线的对称轴是直线x=2，∴x=-1与x=5时的函数值相等，∵x=5时，y=9，∴x=-1时，y=9；（2）∵当1＜x1＜2时，函数值y1小于1；当3＜x2＜4时，函数值y2大于1，∴y1＜y2；（3）∵二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，0），∴可设此二次函数的顶点式为y=a（x-2）2，将点（0，4）代入，得a（0-2）2=4，解得a=1，∴y=（x-2）2，∴将y=（x-2）2的图象沿x轴向右平移3个单位，所对应的函数关系式为y=（x-2-3）2，即y=（x-5）2或y=x2-10x+25；（4）当m＜-3时，y1、y2、y3的值一定能作为同一个三角形三边的长．理由如下：∵y=（x-2）2，∴y1=（m-2）2，y2=（m-1）2，y3=m2，∵m＜-3，∵y2+y3-y1=（m-1）2+m2-（m-2）2=m2+2m-3=（m+3）（m-1），∴y2+y3-y1＞0，∴y2+y3＞y1，∴当m＜-3时，y1、y2、y3的值一定能作为同一个三角形三边的长．故答案为9；y1＜y2；y=（x-5）2或y=x2-10x+25．（1）先根据图表，当x=1和x=3时，所对应的y值相等，得出抛物线的对称轴是直线x=2，再由二次函数的对称性可知，x=-1与x=5时的函数值相等，即为9；（2）由表格可知，当1＜x＜2时，0＜y＜1；当3＜x＜4时，1＜y＜4，由此可判断y1与y2的大小；（3）先求出二次函数y=ax2+bx+c的解析式，再根据图象平移“左加右减、上加下减”的规律即可写出沿x轴向右平移3个单位的函数解析式；（4）先将点P1、P2、P3的坐标代入y=（x-2）2，得到y1=（m-2）2，y2=（m-1）2，y3=m2，再根据不等式的性质及m＜-3得出y1＞y2＞y3＞0，m+3＜0，m-1＜0，然后判断y2+y3-y1＞0，即y2+y3＞y1，根据三角形三边关系定理即可得出当m ＜-3时，y1、y2、y3的值一定能作为同一个三角形三边的长．本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，函数图象的平移规律，不等式的性质，三角形三边关系定理等知识，综合性较强，难度适中．其中（3）还可以将表格中任意三点的坐标代入求出二次函数的解析式，（4）中先判断出y1＞y2＞y3＞0是利用三角形三边关系定理的前提条件，一般地，在检验三条线段能否组成一个三角形时，其简便做法就是看两条较短边的和是否大于第三边．27.【答案】解：（1）∵顶点为A（-1，1），设抛物线为y=a（x+1）2+1，∵抛物线经过原点，∴0=a（0+1）2+1，∴a=-1，（2）∵抛物线经过原点，∴设抛物线为y=ax2+bx，∵h=-b2a，∴b=-2ah，∴y=ax2-2ahx，∵顶点A（h，k），∴k=0−4a2h24a=-ah2，抛物线y=mx2（m≠0）也经过点A，∴-ah2=mh2，∴-a=m，∴ma=-1；（3）由（2）可知抛物线的顶点为（h，-ah2），点A在抛物线y=x2-x上，∴-ah2=h2-h，∴h=1a+1．【解析】（1）用顶点式解决这个问题，设抛物线为y=a（x-1）2+2，原点代入即可．（2）设抛物线为y=ax2+bx，则h=-，b=-2ah代入抛物线解析式，求出k（用a、h表示），又抛物线y=mx2也经过A（h，k），求出k，列出方程即可解决．（3）根据（2）求得的顶点，代入y=x2-x，整理即可解决问题．本题考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解方程等知识，本题属于中档题．28.【答案】解：（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx．∴a+b=39a+3b=1，解得a=−43b=133，∴抛物线的表达式为：y=-43x2+133x．（2）存在．设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入，求得k=13，∴直线OD解析式为y=13x．设点M的横坐标为x，则M（x，13x），N（x，-43x2+133x），∴MN=|y M-y N|=|13x-（-43x2+133x）|=|43x2-4x|．由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．∴|43x2-4x|=3．若43x2-4x=3，整理得：4x2-12x-9=0，解得：x=3+322或x=3−322；若43x2-4x=-3，整理得：4x2-12x+9=0，解得：x=32．∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为：32或3+322或3−322．（3）∵C（1，3），D（3，1）∴易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为y=13x．如解答图所示，设平移中的三角形为△A′O′C′，点C′在线段CD上．设O′C′与x轴交于点E，与直线OD交于点P；设A′C′与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），则图中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t，13+13t），C′（1+t，3-t）．设直线O′C′的解析式为y=3x+b，将C′（1+t，3-t）代入得：b=-4t，∴直线O′C′的解析式为y=3x-4t．∴E（43t，0）．联立y=3x-4t与y=13x，解得x=32t，∴P（32t，12t）．过点P作PG⊥x轴于点G，则PG=12t．∴S=S△OFQ-S△OEP=12OF•FQ-12OE•PG=12（1+t）（13+13t）-12•43t•12t=-16（t-1）2+13当t=1时，S有最大值为13．∴S的最大值为13．【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．设点M的横坐标为x，则求出MN=|x2-4x|；解方程|x2-4x|=3，求出x的值，即点M横坐标的值；（3）设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），利用平移性质求出S的表达式：S=-（t-1）2+；当t=1时，s有最大值为．本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、平行四边形、平移变换、图形面积计算等知识点，有一定的难度．第（2）问中，解题关键是根据平行四边形定义，得到MN=AC=3，由此列出方程求解；第（3）问中，解题关键是求出S的表达式，注意图形面积的计算方法．。