高中数学指数与指数幂的运算教案(第二课时)新课标 人教版 必修1(A)

4.1.2-无理数指数幂及其运算性质-教学设计-人教A版高中数学必修第一册(共5页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--【新教材】无理数指数幂及其运算性质教学设计（人教A版）学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了分数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则.有了这些知识作储备，教科书通过实际问题引入无理数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性.课程目标1. 理解无理数指数幂的概念;2. 掌握实数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；3. 掌握实数指数幂的运算性质；4. 能利用已知条件求值.数学学科素养1.数学抽象：无理数指数幂的概念；2.逻辑推理：实数指数幂和根式之间的互化；3.数学运算：利用实数指数幂的运算性质化简求值；4.数据分析：分析已知条件与所求式子之间的联系；5.数学建模：通过与有理数指数幂性质进行类比，得出无理数指数幂的概念和性质。

重点：①掌握并运用实数指数幂的运算性质；②能利用已知条件求值．难点：能利用已知条件求值．教学方法：以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质对于无理数指数幂是否还适用要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本107-108页，思考并完成以下问题(1)无理数指数幂的含义是什么？(2)如何利用实数指数幂的运算性质进行化简？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．无理数指数幂一般地，无理数指数幂aα(a＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．2．实数指数幂的运算性质(1)a r a s＝a r＋s(a＞0，r，s∈R)．(2)(a r)s＝rs a(a＞0，r，s∈R．(3)(ab)r＝r ra b(a＞0，b＞0，r∈R)．四、典例分析、举一反三题型一指数幂的运算性质化简求值例1化简求值(1)121310 332410.027(6)2562)34π--++-+(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)(3)33b.【答案】(1)64715(2)－a3c(3)146332a b【解析】(1)原式＝－52＋43＋2－13＋1＝64715.(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c.(3)原式＝11114336663232(4)(3)2a ab b a b ÷=.解题技巧：（利用指数幂的运算性质化简求值的方法）(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． 跟踪训练一1、化简求值（1）()1620162018449-⎛⎫+--⨯+ ⎪⎝⎭（2）√a 92√a -33÷√√a -73·√a 133(a>0).【答案】（1）99π+ （2）1 【解析】（1）原式=12616(2018)41081739949ππ-︒⎛⎫=+--⨯+=+-+-=+ ⎪⎝⎭(2)原式=[a13×92·a13×(-32)]÷[a12×(-73)·a12×133]=a96-36+76-136=a 0=1.题型二 条件求值例2 已知a 12+a -12=√5(a>0),求下列各式的值:(1)a+a -1; (2)a 2+a -2; (3)a 2-a -2.【答案】（1）3 （2）7 （3）±【解析】(1)将a 12+a -12=√5的两边平方,得a+a -1+2=5,即a+a -1=3.(2)由a+a -1=3,两边平方,得a 2+a -2+2=9,即a 2+a -2=7.(3)设y=a 2-a -2,两边平方,得y 2=a 4+a -4-2=(a 2+a -2)2-4=72-4=45.所以y=±3√5,即a 2-a -2=±3√5.解题技巧：(已知某些代数式的值,求另外代数式的值)已知某些代数式的值,求另外代数式的值是代数式求值中的常见题型.解答这类题目时,可先分析条件式与所求式的区别与联系,有时通过化简变形把已知条件整体代入,有时需要根据已知条件求出某些字母参数的值再代入.另外还要注意隐含条件的挖掘与应用. 跟踪训练二1.已知a ，b 分别为x 2－12x ＋9＝0的两根，且a ＜b ，求11221122a b a b-+．【答案】－33【解析】11111222222111111222222()()2()()()a b a b a b ab a ba ba b a b --+-==-++-= ①∵a ＋b ＝12，ab ＝9， ② ∴(a －b)2＝(a ＋b)2－4ab ＝122－4×9＝108.∵a ＜b ，∴a －b ＝－6 3. ③将②③代入①，得11122211229a b a b-=+＝－33.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本109页习题本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，坚持“以学生为主体，以教师为主导”的原则，通过类比的思想使学生逐步掌握无理数指数幂性质及其应用.。

02课堂合作探究
知识点一 指数幂运算的常用技巧
利用指数幂的运算性质化简与求值 [核心解读]
1．有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算． 2．负指数幂化为正指数幂的倒数． 3．底数是小数，要先化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示， 便于用指数幂的运算性质．
思考1 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算 性质对于有理数指数幂是否还适用？
【跟踪训练2】 1－ (2)求( ) 4
1 2
(1)(0.027) ab 13
－
1 3
1 －(6 ) 4 的值．
1 2
m n
m 可以理解为 个a相乘．( × ) n
(3)0的任何指数幂都等于0.( × ) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)
a (1)am· an＝________.
－ a (2) a 3化为分数指数幂为________ ．
m＋n
5
－
3 5
(3)若10 ＝5,10 ＝9，则10
a
b
a－b
5 ＝________. 9
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第2课时
指数幂及运算
[问题提出]
1.有理数指数幂的运算性质与整数指数幂的运算性质是否相同？ 2.无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质是否相同？
01课前自主学习
[基础自学] 1．有理数指数幂的运算性质 r＋s r s a (1)a · a＝ (a>0，r，s∈Q)； (2)(a ) ＝
5 9 37 ＝ ＋100＋ －3＋ ＝100. 3 16 48
例2
化简：(1) a

1
1
1
1
又因为 a2＋a－2>0，所以 a2＋a－2＝3.
答案 3
5.化简下列各式(式中字母均为正数)：
(1)
b3 a
ab66；
(2)4x14－3x41y－13÷－6x－21y－32(结果化为分数指数幂形式).
解 (1)
b3 a
ab66＝b32×a－12×a64×b－64＝a.
(2)4x14－3x41y－13÷－6x－21y－32＝2x14＋14＋12·y－13＋23＝2xy13.
3
11 1
② a a＝a3·a6＝a2(a>0).
2 11
③x3·3 x2＝x3·x3＝x 3 .
规律方法 根式与分数指数幂互化的规律
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理 数指数幂的运算性质解题.
【训练 1】 用分数指数幂表示下列各式：
(1)
b3 a·
ab26(a>0，b>0)；
2.有理数指数幂的 运算性质 记忆口诀：乘相加，除相减，幂相乘
(1)整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即： ①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q). (2)拓展：aars＝ar－s(a>0，r，s∈Q).
1
1
1
1
2
(3)原式＝2452－2873＋106205004＋1 604003×（－2.5）×5－1＝52－32＋12＋25－1－1＝3.
题型三 整体代换法 求分数指数幂
整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法

2.1.1 (1)指数与指数幕的运算(教学设计)内容：根式教学目标1、知识与技能：理解根式的概念及性质，能进行根式的运算，提高根式的运算能力。

2、过程与方法：通过由特殊到一般，由平方根、立方根，采用类比的方法过渡到n次方根；通过对“当n是偶数时，n a n |a| a (a 0)”的理解，培养学生分类讨论的意识。

a (a 0)3、态度情感价值关：通过运算训练，培养学生严谨的思维，一丝不苟的学习习惯。

教学重点：对根式概念、性质的理解，运用根式的性质化简、运算。

教学难点：当n是偶数时，n a n | a | a (a的得出及运用a (a 0)教学过程一、创设情境，新课引入：问题1 (课本P48问题1):从2000年起的未来20年，我国国内生产总值年平均增长率可达到7.3%.那么，在2001 ―― 2020年，各年的国内生产总值可望为2000年的多少倍？引导学生逐年计算，并得出规律：设x年后我国的国内生产总值为2000年的y倍，那么y 1.073x(x N*, x 20).问题2 (课本P58问题2)：当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.1-L根据此规律，人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系P (-)5730.21 1 1当生物死亡了5730, 2 5730, 3 5730 ,…年后，它体内碳14的含量P分别为?,(才2, (?)3，….是正整数1 1 1指数幕.它们的值分别为1 1 1，….2 4 8一6000 一10000 一1000001 ----- 1 ----------- 1 ------------当生物死亡600 0年，10000年，100000年后，它体内碳14的含量P分别为(―)5730,(_) 5730,(_) 5730，这些式子的意义又是什么呢？这些正是本节课要学习的内容.二、师生互动，新课讲解：1、问题引入：(1)若x2a，则x叫a的_」如：2是4的平方根一个正数的平方根有—个，它们互为____________ 数；负数没有平方根；零的平方根是一(2)若x3a，则x叫a的.女口：2是8的立方根，一2是一8的立方根。