考前归纳总结：导数中常见的分类讨论

导数中如何分类讨论在微分学中，导数是一个非常重要的概念，描述了函数在其中一点的变化率。

导数的分类讨论主要有以下几种情况：1.右导数和左导数：对于函数在其中一点的导数来说，如果左极限和右极限都存在且相等，则这个导数称为右导数和左导数。

如果左右导数相等，则称为函数在这一点处可导。

否则，函数在这一点处不可导。

2.一阶导数：函数的一阶导数描述的是函数的瞬时变化率，也就是在特定点的切线斜率。

如果函数在其中一点可导，则这一点的一阶导数存在。

通过函数的一阶导数，可以推断出函数的增减性、极值点和拐点等信息。

3.高阶导数：函数的高阶导数描述的是函数的瞬时变化率的变化率，即变化率的二阶或更高阶的导数。

高阶导数主要用于研究曲线的弯曲程度、拐弯点等。

如果函数的一阶导数存在，且一阶导数也再次可导，则可以得到函数的二阶导数。

以此类推，得到三阶导数、四阶导数，依此类推。

4.导数的连续性：对于函数的导数，我们可以考虑导数本身在其中一区间上的连续性。

如果导数在其中一区间上连续，则称该函数在该区间处可导。

连续导数的函数是很常见的类型，如多项式函数、三角函数等。

但也有一些函数在一些点处的导数不连续，如绝对值函数在零点处。

5.可导函数的性质：对于可导函数而言，还有一些特殊的性质可以讨论。

例如，连续函数的定义域上的导函数在整个区间上是无穷可微的。

光滑函数是指具有任意阶导数的函数。

对于光滑函数而言，它的导数在整个定义域上是无穷可微的。

在实际问题中，导数的分类讨论可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。

通过分析导数的分类情况，可以确定函数的增减性、极值点和拐点等重要信息，从而为更深入的研究函数提供了基础。

同时，导数的分类讨论也有助于我们理解函数之间的关系和运算法则，如链式法则、乘积法则和商法则等。

综上所述，导数的分类讨论在微分学中是非常重要的。

对函数的导数进行分类讨论，可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为，并进一步研究更复杂的数学问题。

导数习题题型十七:含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1．求导后,导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）， 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

★已知函数ax x a x x f 2)2(2131)(23++-=(a 〉0），求函数的单调区间)2)((2)2()(--=++-='x a x a x a x x f ★★例1 已知函数x a xax x f ln )2(2)(+--=（a 〉0）求函数的单调区间 222))(2(2)2()(x a x x x a x a x x f --=++-='★★★例3已知函数()()22211ax a f x x R x -+=∈+，其中a R ∈。

（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程; （Ⅱ）当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）当1a =时,曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程为032256=-+y x 。

(Ⅱ）由于0a ≠,所以()()12)1(222+-+='x x a x f ，由()'0f x =,得121,x x a a=-=。

这两个实根都在定()()()()()()22'2222122122111a x a x a x x ax a a f x x x ⎛⎫--+ ⎪+--+⎝⎭==++义域R 内，但不知它们之间 的大小。

因此，需对参数a 的取值分0a >和0a <两种情况进行讨论。

（1)当0a >时,则12x x <.易得()f x 在区间1,a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，(),a +∞内为减函数，在区间1,a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为增函数。

故函数()f x 在11x a =-处取得极小值21f a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在2x a =处取得极大值()1f a =。

帮你归纳总结五导数中常见的分类讨论在导数的学习中，我们经常会遇到各种不同的函数和问题，为了更好地理解和解决这些问题，我们需要进行分类讨论。

下面将介绍导数中常见的五种分类讨论，并探讨每种分类讨论的应用。

一、基本函数的导数基本函数是指一些常见的函数，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

对于这些函数，我们可以通过公式或运用基本性质来求导数。

例如，对于常数函数f(x) = c，其导数为f'(x) = 0；对于幂函数f(x) = x^n，其中n为常数，其导数为f'(x) = nx^(n-1)。

基本函数的导数可以通过记忆公式或基本性质来求解，这是导数求解中最基础的分类讨论。

二、复合函数的导数复合函数是指由两个或多个函数相互组合而成的函数。

对于复合函数的导数求解，我们可以运用链式法则。

链式法则指出，若y=f(g(x))，其中f(u)和g(x)分别是两个可导函数，则复合函数y的导数可以表示为y'=f'(g(x))*g'(x)。

通过链式法则的应用，我们可以将复合函数的导数求解转化为求两个基本函数的导数，从而简化导数的计算。

三、隐函数的导数隐函数是指由一个关系式所定义的函数，其自变量和因变量的关系并不明显。

对于隐函数的导数求解，我们可以运用隐函数求导法。

隐函数求导法是一种通过求全微分和利用导数的定义来求解隐函数的导数的方法。

具体而言，我们可以将隐函数的方程两边求导，并利用导数的表示推导出隐函数的导数表达式。

隐函数的导数求解不仅可以帮助我们理解隐函数的性质，还可以解决一些与隐函数相关的问题。

四、参数方程的导数参数方程是指用参数的形式表示的函数。

对于参数方程的导数求解，我们可以运用参数方程的求导法。

参数方程的求导法是一种通过将参数作为自变量，并利用导数的定义和基本性质来求解参数方程的导数的方法。

具体而言，我们可以将参数方程中的每个参数视为独立的变量，然后对每个参数分别求导得到参数方程对应的导数表达式。

导数问题的常见分类讨论策略导数是高考必考查的一个模块，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等问题，常常需要进行分类讨论，如何分类讨论？常见的有哪些类型？本文来支支招。

1.导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系的讨论例1、已知，求函数在区间[0，1]上的最小值。

解析：，由①当在区间[0，1]上是减函数，此时在区间[0，1]上的最小值是②当在区间[0，1]上是增函数，在区间[0，1]上的最小值是③当所以当时，函数取得极大值，又，因此当时，在区间[0，1]上的最小值是，当时，在区间[0，1]上的最小值是。

综上，当时，在区间[0，1]上的最小值是；当时，在区间[0，1]上的最小值是。

评析：当求出的导数为零的点不能确定是否在给定区间内时，常常要分零点在区间的左侧、右侧（这两种情况函数一般是单调函数）和在区间内（此时函数一定有极值）三种情况讨论。

2、对代数式正负的讨论例2、设函6570，求函数的单调区间。

解析：，当，所以函数的单调增区间是；，所以函数的单调减区间是当，所以函数的单调减区间是；，所以函数的单调增区间是。

评析：研究函数的单调性时，常常需要解不等式，当不等式两边同除一个代数式时，要分此式为正、为0和为负三种情况分别讨论。

3、对判别式的讨论例3、已知函数，讨论的极值。

解析：函数的定义域为设方程的判别式 =。

Ⅰ、当 =时，恒成立，不存在极值。

Ⅱ、当 =时，恒成立，不存在极值。

Ⅲ、当 =时，方程有两个不同的实根当x变化时，、的变化情况如下表：递增递减递增由表知，当时，取得极大值，当时，取得极小值。

评析：当函数求导后能转化为二次函数或二次不等式问题，它们对应的二次方程是否有解不能确定时，往往要对判别式进行讨论，此时要特别注意，当判别式 =0时，虽然导数为0有根，但根的左右两侧符号相同，不存在极值。

4、对两根大小的讨论例4、已知函数，试讨论函数的单调性。

解析：的定义域为，方程①当时，由，所以函数在上是增函数；，所以函数在上是减函数。

导数习题题型十七：含参数导数问题的分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1 •求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根(或导函数的分子能分解因式) 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论 1 1 ★已知函数f(x)x 3 (a 2)x 2 2ax (a>0),求函数的单调区间 3 2f (x) =x _(a 亠2)x 亠2a =(x _a)(x -2)2a★★例1已知函数f(x)二x (a U 2)lnx (a>0)求函数的单调区间x2x -(a 2)x 2a f (x)2 x(I)当a =1时，求曲线y = f x 在点2, f 2 处的切线方程； (n)当a=0时，求函数f x 的单调区间与极值。

解: (I)当a =1时，曲线y = f x 在点2,f 2处的切线方程为6x 25y-32 = 0。

2(n)由于a 式0，所以f ⑺/嗔切了 ,由f'(x)=O ，得x 1 =(x +1 )I 1 '■-2a x - a x2―—义域R 内，但不知它们之间(x 2+1)a 的取值分a 0和a ：：： 0两种情况进行讨论。

函数f x 在x 2 =a 处取得极大值f a =1 o1 —(-一「：)内为增函数，在区间a1 」 1(a,)为减函数。

故函数 f x 在％处取得极小值aaX 2二a 处取得极大值f a = 1。

(x-2)(x-a)2x22ax -a 1 x 21x R ，其中a R 。

1, X 2 = a 。

这两个实根都在定 a2 22a x 1；-2x 2ax - a 1f x二2 2 (x 2+1)的大小。

因此，需对参数 (1)当 a 0 时，则 x 'x 2。

易得f x 在区间，a, •：：内为减函数,在区间i l,aI a为增函数。

故函数1i 1 f x 在为处取得极小值f a [1 I a 」2--a ; (1) 当a ”：0时，则x 1 x 2。

导数中分类讨论的三种常见类型高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径，而所谓分类讨论，就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释.几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，而能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半，不能运用分类讨论思想解决具体问题的主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类，下面根据导数中3种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论.类型一：导函数根的大小比较实例1：求函数()321132a f x x x ax a -=+--，x R ∈的单调区间.分析：对于三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法，所以对函数()321132a f x x x ax a -=+--进行求导可以得到导函数()()'21f x x a x a =+--，观察可知导函数可以因式分解为()()()()'211f x x a x a x a x =+--=-+，由此可知方程()'0f x =有两个实根1x a =，21x =-，由于a 的范围未知，要讨论函数()321132a f x x x ax a -=+--的单调性，需要讨论两个根的大小，所以这里分1a <-，1a =-，1a >-三种情况进行讨论：当1a <-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),a -∞a(),1a --1()1,-+∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -.当1a =-时，()'0f x ≥在R 上恒成立，所以函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间.当1a >-时，()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x (),1-∞--1()1,a -a(),a +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.综上所述，当1a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(),a -∞和()1,-+∞，单调递减区间为(),1a -；当1a =-时，函数()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当1a >-时，函数()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和(),a +∞，单调递减区间为()1,a -.点评：这道题之所以要分情况讨论，是因为导函数两个根的大小不确定，而两根的大小又会影响到原函数的单调区间，而由于a R ∈，所以要分1a <-，1a =-，1a >-三种情况，这里注意不能漏了1a =-的情况.类型二：导函数的根的存在性讨论实例2：求函数()32f x x ax x =++的单调区间分析：这道题跟实例1一样，可以用求导法讨论单调区间，对函数()32f x x ax x =++进行求导可以得到导函数()'2321f x x ax =++，观察可以发现，该导函数无法因式分解，故无法确定方程23210x ax ++=是否有实根，因此首先得考虑一下方程是否有解，所以我们可以求出根判别式2412a ∆=-，若24120a ∆=-<即a <<23210x ax ++=没有实根，即()'0f x >在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=-=即a =，方程23210x ax ++=有两个相等的实根123ax x ==-，即()'0f x ≥在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增；若24120a ∆=->即a a <>，则方程23210x ax ++=有两个不同实根，由求根公式可解得13a x --=，23a x -+=，显然12x x <此时()f x ，()'f x 随x 的变化情况如下：x ()1,x -∞1x ()12,x x 2x ()2,x +∞()'f x +0_0+()f x 单调递增极大值单调递减极小值单调递增综上所述，当a ≤≤时，()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞，没有单调递减区间；当a a <>时，()f x 的单调递增区间为,3a ⎛---∞ ⎪⎝⎭和,3a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭，单调递减区间为,33a a ⎛---+ ⎝⎭点评：实例2和实例1都是求三次函数的单调区间，但是两道题分类讨论的情况不一样，实例2主要是因为导函数所对应的方程根的情况未知，所以需要讨论根的存在性问题，而实例1是因为导函数所对应的方程可以因式分解，所以可以确定方程的根肯定是存在的，因此不用再讨论，而需要讨论的是求出来两个根的大小关系，实例2则相反，实例2在方程有两个不同实根的情况下求出来的两根大小已知，所以不用再讨论。

在高考中导数问题常见的分类讨论（一）热点透析由于导数内容对大学数学与中学数学的衔接具有重大的作用，所以自从导数进入高考后，立即得到普遍地重视，在全国各地的数学高考试卷中占有相当重的份额，许多试题放在较后的位置，且有一定的难度..分类讨论是中学数学的一种解题思想，如何正确地对某一问题进行正确地分类讨论，这就要求大家平时就要有一种全局的观点，同时要有不遗不漏的观点。

只有这样在解题时才能做到有的放矢。

下面我想通过对导数类题的解答的分析，来揭示如何水道渠成顺理推舟进行分类讨论。

（二）知识回顾 1． 函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )>0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )<0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 2． 函数的极值(1)判断f (x 0)是极值的方法一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，①如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值； ②如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极小值． (2)求可导函数极值的步骤 ①求f ′(x )；②求方程f ′(x )＝0的根；③检查f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 3． 函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．(3)设函数f (x )在[a ，b ]上连续，在(a ，b )内可导，求f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤如下： ①求f (x )在(a ，b )内的极值；②将f (x )的各极值与f (a )，f (b )进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． （三）疑难解释1． 可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较．2． f ′(x )>0在(a ，b )上成立是f (x )在(a ，b )上单调递增的充分条件．3． 对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件． 附件：当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功！）1． 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.答案 3解析 f ′(x )＝2x 2＋2x －x 2－a x ＋12＝x 2＋2x －ax ＋12.因为f (x )在x ＝1处取极值，所以1是f ′(x )＝0的根，将x ＝1代入得a ＝3.2． 函数f (x )＝x 3＋ax －2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．答案 [－3，＋∞)解析 f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(x )在区间(1，＋∞)上是增函数， 则f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在(1，＋∞)上恒成立，即a ≥－3x 2在(1，＋∞)上恒成立．∴a ≥－3.3. 如图是y ＝f (x )导数的图象，对于下列四个判断：①f (x )在[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数； ④x ＝3是f (x )的极小值点．其中正确的判断是________．(填序号) 答案 ②③解析 ①∵f ′(x )在[－2，－1]上是小于等于0的， ∴f (x )在[－2，－1]上是减函数；②∵f ′(－1)＝0且在x ＝0两侧的导数值为左负右正， ∴x ＝－1是f (x )的极小值点； ③对， ④不对，由于f ′(3)≠0.4． 设函数g (x )＝x (x 2－1)，则g (x )在区间[0,1]上的最小值为( )A ．－1B ．0C ．－239D.33答案 C解析 g (x )＝x 3－x ，由g ′(x )＝3x 2－1＝0，解得x 1＝33，x 2＝－33(舍去)． 当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下表：x 0⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3333 ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1 1 g ′(x )－0 ＋g (x )极小值所以当x ＝3时，g (x )有最小值g ⎛⎪⎫3＝－23. 5． (2011·辽宁)函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )>2，则f (x )>2x ＋4的解集为( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，＋∞)答案 B解析 设m (x )＝f (x )－(2x ＋4)，∵m ′(x )＝f ′(x )－2>0，∴m (x )在R 上是增函数．∵m (－1)＝f (－1)－(－2＋4)＝0，∴m (x )>0的解集为{x |x >－1}，即f (x )>2x ＋4的解集为(－1，＋∞). 二、高频考点专题链接题型一. 需对导数为零的点与定义域或给定的区间的相对位置关系讨论的问题。

导数中分类讨论的三种常见类型在高中数学中，分类讨论思想是解决含有参数的复杂数学问题的重要途径。

分类讨论就是当问题所给的研究对象不能进行统一的研究处理时，对研究对象按照某种标准进行分类，然后对每一类的对象进行分别的研究并得出结论，最后综合各类的研究结果对问题进行整体的解释。

虽然几乎所有的高中生都对分类讨论思想有所了解，但能正确运用分类讨论思想解决问题的不到一半。

主要原因是对于一个复杂的数学问题不知道该不该去分类以及如何进行合理的分类。

下面根据导数中三种比较常见的分类讨论类型谈谈导数中如何把握对参数的分类讨论。

第一种分类讨论类型是导函数根的大小比较。

例如，对于函数$f(x)=x^3+x-ax-a$，$x\in R$，我们需要求其单调区间。

对三次或三次以上的函数求单调区间，基本上都是用求导法。

因此，对函数$f(x)$进行求导可以得到导函数$f'(x)=x^2+(1-a)x-a$。

观察可知导函数可以因式分解为$f'(x)=(x-a)(x+1)$，由此可知方程$f'(x)=0$有两个实根$x_1=a$和$x_2=-1$。

因此，要讨论函数$f(x)$的单调性，需要讨论两个根的大小。

因此，这里分$a-1$三种情况进行讨论。

当$a<-1$时，$f(x)$，$f'(x)$随$x$的变化情况如下：$x\in(-\infty,a)$时，$f(x)$单调递增；$x\in(a,-1)$时，$f(x)$单调递减；$x=-1$时，$f(x)$有极小值；$x\in(-1,+\infty)$时，$f(x)$单调递增。

因此，函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,a)$和$(-1,+\infty)$，单调递减区间为$(a,-1)$。

当$a=-1$时，$f'(x)\geq 0$在$R$上恒成立，所以函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty,+\infty)$，没有单调递减区间。