曲线曲面积分习题课

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4．计算曲线积分
C
ydx 4x2
xdy y2
，其中
C
是
圆周 x2 y2 1，取逆时针方向.
注：1）如果 C 是10x2 3 y2 1，取逆时针方向. 2）如果 C 是 x y 1，取逆时针方向.
结论是否相同？
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曲面 2x2 2 y2 z2 4的外侧（09）
（4）
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解： 取1：x2＋y2＋z2＝1的外侧， 为与1之间的部分。
I
xdy dz dz dx zdx dy
3
(x2 y2 z2)2
＝（
－
）xdy
dz
ydz
dx
zdx
3
dy
（＋ （ －1）－1
8．设 x0 ， f ( x) 为连续可微函数，且 f (1)2 ，对 x0
的任一闭曲线 C，有 4x3 ydx xf ( x)dy0 ，求 f ( x) C
和积分
4x3 ydx xf ( x)dy 的值，其中 AB 是由 A(2,0)
C( AB)
至 B(3,3) 的一段弧。
解：（1）由 4x3 ydx xf ( x)dy0 P Q 。
第二型曲线积分与 第二型曲面积分习题课
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第二型曲线积分的内容： １．背景：质点沿曲线形路径做功问题 ２.第二型(对坐标)曲线积分的计算，格林公式， 曲线积分与路劲无关问题 ３.第一型曲线积分与第二型曲线积分的关系
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典型练习:
其中f ( x, y, z)为连续函数，为平面 x y z 1在第四卦限部分的上侧

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曲线曲面积分习题课
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿

曲线积分
计算
定积分
计算
Stokes公式 计算 曲面积分 Gauss公式
重积分
16
积分概念的联系

定积分
f ( M )d lim f ( M ) i , f ( M )点函数
0
i 1
n
当 R1上区间 a, b]时, f ( M )d f ( x )dx. [
5
基本问题： 如何熟练掌握各种积分的计算
首先判断准确要求的是哪一类积分 重要的是牢牢记住各种积分的计算方法
1、I

L
f ( x , y )ds 代入曲线的方程以及ds，从而化为定积分解之
2、I Pdx Qdy 代入曲线的方程，化为定积分解之 L
P Q 闭合 y x 非闭




( y 2 z 2 ) dS; I z


( x 2 y 2 ) dS
曲面质心： 曲面形心：
x
x
dS ; y
S
;y

ydS ydS


dS ; z
S
;z
dS S
dS zzdS


15
（二）各种积分之间的联系
积分是
P cos Q cos R cos ds
，其中， ，为有向曲面上点
x, y, z 处的
法方向 的方向角。
20
2.选择以下各题中给出的四个结论中一个正确的结论：
(1)设曲面是上半球面 : x 2 y 2 z 2 R 2 , z 0, 曲面 1 是 曲面在第一卦限中的部分 , 则有 C .
条 件 等

x2 + y2 = 2x
（1）柱面介于锥面之间的面积 S1 ； （2）锥面在柱面内的面积 S2 ．
7．（面积分的几何意义、计算）
求球面 x2 + y2 + z2 = a2 (a > 0) 介于平面 z = a 与平面 z = a 之间部分的面积 S ．
4
2
8．（面积分的性质、几何意义）
设曲面 为球面 ，计算曲面积分 ． Σ
x2 + y2 + z2 = a2
∫∫ I = ( x2 + y2 + z2 )dS
Σ2 3 4
9．（面积分的性质、几何意义）
设曲面 为球面 ，计算曲面积分 ． Σ
(x − a)2 + ( y − b)2 + (z − c)2 = R2
I = ∫∫ (x + y + z)dS
Σ
10．（面积分的性质、几何意义）
的方程为
x
+
2y
=1，计算曲线积分 I
=
∫
C
x
+
1 2y
． + 2 dl
3．（线积分性质、几何意义）
设曲线 的方程为 计算曲线积分 ． C
x2 + y2 x+ y+
+z z=
2= 0,
1,
I = ∫ x2dl
C
4．（线积分性质、几何意义）
设椭圆周 的周长为 ，计算曲线积分 ． L : x2 + xy + y2 =1
微积分 B（2）
第 6 次习题课（By ） Huzm
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微积分 B(2)第 6 次习题课
题目

L
a
f(x ,y )d x bf[x ,y (x )d ],(d x 线 x (投 元 ))影 素
L
a
2021/3/18
11
f(x ,y ,z)d S f[x ,y ,z(x ,y)]1 zx 2 zy2 dxd
D xy
(dS面元(曲 素))
R (x,y,z)dxd fy [x,y,z(x,y)d ] xdy
8
积分概念的联系
n
f(M )dl i0m f(M )i,f(M )点函数 i 1
定积分 当 R1上区 [a,b间 ]时 ,
f(M)d
b
f(x)d.x
a
二重积分 当R2上区D时 域,
f(M)df(x,y)d. D
2021/3/18
9
曲线积分 当R2上平面L时 曲 , 线
f(M)dLf(x,y)d.s
2021/3/18
28
例 6 计算曲面积分
I
(8
y
1) xdydz
2(1
2
y
)dzdx
4
yzdxdy ,
其中
是由曲线
z x
0
y
1
(1 y 3)绕
y 轴旋转一周
所成的曲面,它的法向量与 y 轴正向的夹角恒大于 .
2
解
z
y 1绕y轴旋转面方程为
x 0
y 1 z2 x2
(如下图)
2021/3/18
等 (1) 在 D 内 LPdQ x 与 dy路径无
价 (2 ) C P d Q x d 0 ,闭 y C 曲 D线
命 ( 3 )在 D 内 U ( x , 存 y ) 使 d P u 在 Q dx d 题 (4) 在D内,PQ