二次根式典型例题和练习题

典型例题一例01．如果322+=a ，322-=b ，那么（ ）A ．b a 1=B ．ba 1-= C ．b a = D ．b a -= 分析 13)22()322)(322(22-=-=-+=⋅b a解答 B说明 a 与b 互为有理化因式，把两个这样的代数式相乘，在根式运算中极为常见，必须能熟练进行.对于本题，读题之后就应判断出C 、D 不可能是正确答案.典型例题二例02．计算3)1283222(⋅+-的结果是（ ）A ．6B ．66C ．36D ．64分析 原式=3849662+-66686462=+-=解答 B说明 二次根式的和相乘与多项式的乘法类似，要注意符号和漏乘.典型例题三例03．计算2)235(+正确的结果是（ ）A ．33031+B ．23036+C ．23043+D ．23023+ 分析 原式2)23(235225+⨯⨯+=230431823025+=++=解答 C说明 在二次根式的乘除法运算中，遇到适用多项式乘法公式的时候，也可以运用乘法公式.典型例题四例04．计算（1）)532)(532(+--+（2）)37)(37(+-分析 题（1）是三个根式的和差与三个根式的和差相乘，类似于多项式乘法，运用结合律，把相同符号的二次根式作为“a ”，把相反符号的“项”作为“b ”就有)]53(2)][53(2[---+，再运用乘法公式；而对于题（2），我们发现其结果是有理数，因此我们又称这样的两个数是互为有理化因数，为解决较复杂的分母有理化问题作准备.解答 （1）)532)(532(+--+)]53(2)][53(2[---+=22)53()2(--=526)528(2+-=--=（2）)37)(37(+-437)3()7(22=-=-=典型例题五例05．化简（1）yx xy y x y x y x --+++-2 （2）bab b b ab a a b a b a 1)(÷--+++- （3）bb a a b ab a b ab b a a -++--+23 解答 （1）yx xy y x y x y x --+++-2 y x y x y x y x y x --++-+=2)())((y x y x y x 22-=-+-=（2）bab b b ab a a b a b a 1)(÷--+++-=b ab b b b a a a b a b a ⋅--+++-)()(( b b a b a b a b a ⋅-++++-=)11( ba b a b a ab b a b a -+=-+--=2)(2 （3）原式=))(()()(b ab a b a b ab a b a b b a a ++-++--+ =b a b a b a ---1)( b b a b a b b a +=--=)( 说明 解这类化简问题的关键要注意有关的运算技巧.典型例题六例06．计算：)3222121432(22-⋅ 分析 运用乘法对加法的分配律，并注意对二次根式进行化简.解答 )3222121432(22-⋅ .33446232222)6312(22)38212932(22-=⋅-⋅=-⋅=-⋅= 说明 与本题同源的题目极多，只要对前面内容掌握较好，这类题目可无师自通.典型例题七例07．已知12-=a ，求)11()11(aa a a a a a a --+÷-++的值. 分析 先化简结论后代入解答 原式=)1(])(1[)()1()(1)(222222a a a a a a a a +--÷+-+ 12)1()1(1-+⋅+=a a a aa =121-a ∴当12-=a 时，原式=121-a 322)322)(322(32232211)12(21--=+-+=-=--=典型例题八例08．化简：355315- 分析 要对上式化简，首先应把分母上的根号化去，通常我们可以利用分数的性质，分子分母同乘以一个分母的有理化因式，本题就是3553+，然后再化简.同时此题也有一个与分式运算相比较的问题，即使用因式分解、 等技巧，可以大大简化计算过程，例如借助因式分解的方法分母可以写成)53(15-，分子上恰有15约分后，再化简. 解答1：355315- 30)53(157545515315)3553)(3553()3553(15-+=-+=+-+= 253+-=解答2： 355315- 253)53)(53(53)53(1515+-=+-+=-= 说明 该题实质上也是二次根式的除法，即)3553(15-÷.我们可以写成分式的形式，然后通过分母有理化来进行.典型例题九例09．已知)5(3)(y x y y x x +=-，求y xy x yxy x -+++32的值.解答 由已知得：y xy xy x 153+=+即 0152=--y xy x0)(152)(22=--y xy x∴ 0)5)(3(=-+y x y x 由03=+y x ，得0,0==y x （不合题意，舍去） 由05=-y x ，得y x 5= ∴y x 25= ∴y xy x yxy x -+++32=.25253550252532525222=-+++=-+++⨯yy y y y y y y y yy y 解答 从所求的代数式不易简化，应变形已知条件用含一个未知数的代数式表示另一个代数式，然后再代入所求的代数式.典型例题十例10．设y x x y y x ≠=+=+,32,3222，求yx x y +的值.分析 应用已知条件找到x ，y 的联系，或注意到所求代数式通分后的形式，可利用已知条件求得22y x +及xy .解答1：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+②①32 3222x y y x ①－②得02222=--+x y y x 即)(222y x y x -=-∵ y x ≠ ∴0≠-y x ∴③ 2=+y x ①＋②得④ )(2622y x y x +-=+将③代入④得 422=+y x∵42)(2=-+xy y x∴1-=xy ∴41422-=-=+=+xy y x y x x y 说明 本题的条件与所求代数式相差甚远，此解法瞄准所求代数式的通分形式，充分利用已知条件进行变形，恰到好处.典型例题十一例11．广告设计者在一个正方形中画出了一个等边三角形，如图所示.并且把等边三角形涂成红色，其余部分涂成黄色，求红色部分与黄色部分面积的比(不取近似值).分析1：设等边三角形的边长为x ，则由222EF DF DE =+，即222EF DE =，得2222==EF DE x EF 22=. 又有1222-=-=x AB BE AE ，可利用AD ED AE =+列方程求出x ，然后表示出两部分面积的值，并求出所要求的比值.解答1 设正方形的边长是1，设等边三角形的边长为x ，由题意得12212=+-x x ∴x x 22112-=-，将此式两边平方并整理，得04222=-+x x ∴024)2(2222=--++x x ，6)2(2=+x . ∴62±=+x ∴26-=x 或26--=x ，26--=x 不合题意，舍去. ∴等边三角形的边长为26-. ∴3471)26(2-=--=AE 32)32()3(342222-=-=+-= ABE ∆与BCF ∆的面积之和为32)]32(121[2-=-⨯⨯⨯. EFD ∆的面积为32)324(21)13(21)]32(1[2122-=-=-=-- BFE ∆的面积为332)32(1-=--23)32(2)32(3)32(2332=--=--.这就是红色部分与黄色部分面积的比. 分析2：连结BD ，则 ︒=∠30EBD ，DEF ∆被BD 分为两个直角等腰三角形.可以利用BD 的长与BEF ∆的边长的关系列方程，得出BEF ∆的边长后可直接求其面积.解答2：连结BD ，交EF 于H ，则DH EH ⊥，DH EH =，︒=∠30EBH ，设 x BH =，则x x x EH BE BH 3)2(2222=-=-=，x DH =，由题意，有x BD HD BH 2==+，所以23=+x x ， ∴22613131332132-=--⋅+=+=x ∴BFE ∆的边长为26-，其面积为2)226(332121-=⋅=⋅x x EF BH .332)348(43-=-= 剩余黄色部分的面积为：324)332(1-=--.求两部分面积之比同解法1.填空题1．填空题（1）已知最简二次根式675-++n m n m 与n m 315-是同类二次根式，则=m ______，=n _______.（2）化简=+333_______. （3）计算=-2)22(yx x y _______. （4）计算=--2)231(_________. （5）分母有理化=-572__________. （6）计算=÷+3)1344810(________.（7）7+a 的有理化因式是_______.（8）当12,12-=+=b a 时，=+22b a _______. （9）已知151246932=-+xx x x ，则=x ________.（1）若最简根式m 32-与32-m 是同类二次根式，则m 的值_________.（2）=+2)(y x ________.（3）已知2)1(1221-+-+-=x x x y ，则=++22y x y x ________. （4）n m -2的有理化因式为_______.（5）直角三角形直角边152=a ，748=b ，则斜边=c ______.（6）分母有理化=-7111______. （7）化简：=--31515______. （8）734+的近似值为_______.（精确到01.0） 3．填空题（1）分母有理化=-7251_________. （2）当32+=x 时，=+-342x x ________.（3）计算=÷-27)31(2________.（4）若6488218112=--a a a a ，则=a ______. （5）已知长方体体积3m 30长与宽之比为2:5，高为m 10，则长为_______，宽为________.（6）若4,6==+xy y x ，则=+xy y x ________. （7）解方程)1(2)1(3+=+x x 得=x _______.（8）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+6232,523y x y x 的解为_______.1．（1）4，4 （2）31+ （3）122-+y x x y （4）232+ （5）57+ （6）393440+ （7）7-a （8）6 （9）25 2．（1）不存在 （2）xy y x 2++ （3）2〔提示：21,21==y x 〕 （4）n m +2 （5）30 （6）4711+ （7）5- （8）71.03．（1）257+ （2）2 （3）9634- （4）18 （5）6,15（6）3 （7）1- （8）⎪⎩⎪⎨⎧==23y x选择题1．选择题（1）下列计算正确的是（A ）1025=+ （B ）25232=+（C ）a a a 325=- （D ）223212=+（2）计算47548213123-+的值是（A ）2 （B ）0 （C ）－3 （D ）3（3）已知1018222=++x xx x ，则x 等于（A ）4 （B ）2± （C ）2 （D ）4±（4）下列计算结果正确的是（A ）552332=+ （B ）662332=⋅（C ）2323=+ （D ）363233=⋅（5）)32)(23(+-等于（A ）7 （B ）223366-+-（C ）1 （D ）22336-+ （6）下列各组代数式中，互为有理化因式的是（A ）32+a 与23a - （B ）b a +与b a -- （C ）a -2与2-a （D ）a 与a 2 （7）已知12+=x ，12-=y ，则x 和y 的关系是（A ）互为相反数 （B ）互为倒数 （C ）不是互为有理化因式 （D ）不确定 （8）y x +的有理化因式是（A ）y x +（B ）y x -（C ）y x + （D ）y x - 2．选择题（1）下列计算中，正确的是（ ）（A ）2)3()5()35(222=-=- （B ）123)23)(23(=-=-+ （C ）bc a c a b a -=-+))(( （D ）10101010)73(=⋅=⋅+ （2）32+的倒数是（ ）（A ）23- （B ）32- （C ）231- （D ）321- （3）下列分母有理化正确的是（ ）（A ）21212122122142=⋅⋅⋅= （B ）ba ba b a 22212-+=- （C ）x x x xx -+++=--11111222（D ）n m nm n m n m mn n m -=--=--+2)(2（4）若2=a ，则aa aa -+的值是（ ） （A ）223+ （B ）223- （C ）223+- （D ）223-- （5）已知231+=a ，23-=b ，则a 、b 的关系为（ ） （A ）b a = （B ）0=+b a （C ）1=ab （D ）1-=ab （6）计算)32(6+÷得（ ）（A ）5 （B ）3051（C ）6- （D ）3223- （7）若251561671781831-+---+---=a ，则a 为（ ）（A ）521- （B ）827262525++++ （C ）1 （D ）53．选择题（1）已知223-=x ，y 是x 的倒数则22xy y x -的值为（ ）（A ）6 （B ）6- （C ）24 （D ）24-（2）若m yy =-1，则y y 21+的结果为（ ） （A ）22+m （B ）22-m （C ）2+m （D ）2-m （3）下列计算中，过程正确的是（ ）（A ）666262431837231872=-=-=-=-（B ）63633543187231872===-=-（C ）22223232631872=-=-=-（D ）232)36(3232631872=-=-=-参考答案： 1．（1）D （2）B （3）C （4）B （5）B （6）A （7）B （8）C 2．（1）B （2）B （3）D （4）D （5）B （6）D （7）D 3．（1）D （2）A （3）D解答题1．计算题：（1）7)21314(⋅- （2）)3222321432(22- （3）x x x ⋅-)233(3 （4）ab ba ab ⋅-)( （5）3)154213547(÷+- （6）ab ab ab b a ÷+-)3(33（7）5)15210(⋅- （8）6)632(⋅++（9）23)8312(⋅- （10）)2(ba ab ab ab -+ 2．计算题（1）)23)(32(b a b a -+ （2）)249)(27(b a b a +-+ （3）)3425)(3425(-+ （4）)32)(23(b a b a -+ （5）)2453)(2453(+-（6）))((b a b a b a b a --+-++（b a >）（7）2)632(+- （8）2)35(+（9）22)2710()2710(++- （10）22)223()223(+--参考答案：1．（1）32127- （2）344- （3）x x 2332- （4）a b - （5）5473221+- （6）ab b a 3-+ （7）31025- （8）62332++ （9）633- （10）a b ab -+22．（1）b a b a 5662+- （2）a b 494- （3）2 （4）ab b a 566-- （5）13 （6）b 2 （7）186365-（8）1528+ （9）396 （10）68-解答题1．分母有理化 （1）236- （2）3233-（3）355315- （4）8326+（5）32501- （6）322323--（7）32673453-+ （8）y x y x 33-+（9）xx---111（1<x ） （10）y x y x y x y x --+-++2．计算题（1）)52(211052-⋅÷ （2）3521805÷÷（3）bx b x x ab ÷-)(2（4）22111yx y x y x -÷-⋅+（y x >） （5）)11)(11(ba b a -+ （6）y x xy y x y x y x --+-+-2 （7）mnb a n m m n mn m ab m n a222)(÷+- （8）])251()251[(5122--+3．化简 （1）3143231+++- （2）132121231--+++ （3）323352154+--+- （4）352523231++-+- （5）73271141145+---- （6）155513331222-----+--参考答案：1．（1）3223+ （2）936+ （3）235+-（4）22（5）22 （6）66（7）948228152307+++ （8）yx xy y x 969-++（9）x xx x --+-1)1(1 （10）y y x x 22-+2．（1）20- （2）35 （3）x b ab - （4）1 （5）b a 11- （6）0 （7）222111ba ab b +-（8）13．（1）33- （2）2- （3）53452-+ （4）0 （5）1 （6）532-+解答题1．求值（1）已知31-=x ，求x x 22-的值； （2）已知121-=a ，求12+-a a 的值； （3）已知31,21==b a ，求ba b b a b +--的值； （4）已知1313,1313-+=+-=b a ，求522-+b a 的值. 2．计算题 （1）616)211231323(⋅+- （2）)232)(32323332(--- （3）2)132()118)(123(---+ （4）)6223()6322(+÷- （5）1123323-+-⋅--⨯÷xy xy xy y x y （6）112331-+-⋅--÷--xy xy xy y y y x x x 3．计算题（1）847)73228(+⋅+- （2）196221)18212(-⋅+ （3）286)2314(2+- （4）22)53123()23531(--+ （5）)12814)(3125.04(-- （6）)2423)(2(+-x（7）))((ba ab a b a -+（8）22)3372()3372(-⋅+ （9）1111)52()52(-⋅+ （10）22)1()1(aa a a -++参考答案：1．（1）2 （2）23+ （3）4 （4）32．（1）23636-+ （2）652153412+-- （3）248+ （4）83313- （5）2336314-- （6）x xy y-13．（1）21 （2）86- （3）32 （4）104 （5）63148- （6）x x 283+- （7）1)(-+-b b b aa （8）1 （9）1- （10）aa 22+解答题1．求值（1）已知12+=x ，求222--x xx 的值；（2）已知1,2==y x ，求yx y yx y +--的值；（3）若2,3==n m ，求mmn mn m 2)(2+-+的值；（4）若325,325+=-=b a ，求b a 11-的值.2．计算题（1）)625()23(2+-（2）)2332)(6233122(-+-（3）))((2y y y xy xy x ++-+3．求值（1）已知25-=x ，求4)25()549(52++-+x x 的值； （2）已知23,23-=+=b a ，求33ab b a +的值； （3）已知251-=x ，求9)1(6)1(2-+-+x x x x 的值；（4）已知2121,2121-+=+-=y x ，求yx y y x x +--的值； （5）已知31,21==b a ，求abb a +的值； （6）xx xx x x ++--++111，其中)23(31+=x ； （7）23+=-b a ，23-=-c b ，求ca bc ab c b a ---++222的值.参考答案：1．（1）12+ （2）2 （3）原式3632)2()2(22===++=++=m n m n m n m n m mn n mn （4）222．（1）1 （2）3122126514-++- （3）xy 3．（1）35+ （2）10 （3）51211- （4）243- （5）5 （6）12312++=+x （7）11〔提示：将所求代数式化为222)(21)(21)(21a c c b b a -+-+-，且32-=-a c 〕。

二次根式综合性大题训练（培优）1．阅读材料：康康在学习二次根式后、发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2√2=(1+√2)2，善于思考的康康进行了以下探索：设a+b√2=(m+n√2)2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2（有理数和无理数分别对应相等），∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样康康就找到了一种把式子a+b√2化为平方式的方法．请你仿照康康的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b√3=(c+d√3)2，用含c、d的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若7−4√3=(e−f√3)2，且e、f均为正整数，试化简：7−4√3；（3）化简：√7+√21−√80．2．观察下列各式：①√1+13=2√13，②√2+14=3√14；③√3+15=4√15，…（1）请观察规律，并写出第④个等式：；（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：；（3）请证明（2）中的结论．3．观察下列各式：√1+112+122=1+11−12=112√1+122+132=1+12−13=116√1+132+142=1+13−14=1112请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）√1+142+152=（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：；（3）利用上述规律计算：√5049+164（仿照上式写出过程）4．小明在解决问题：已知a=2+√3，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：∵a=12+√3=2−√3(2+√3)(2−√3)=2−√3，∴a−2=−√3，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3，∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√121+√119．（2）若a=√2−1．求：①求3a2﹣6a+1的值．②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1＝；2a2−5a+1a+2=．5．先阅读下列的解答过程，然后作答：形如√m±2√n的化简，只要我们找到两个数a，b使a+b＝m，ab＝n，这样（√a）2+（√b）2＝m，√a•√b=√n，那么便有√m±2√n=√(√a±√b)2=√a±√b（a＞b），例如：化简√7+4√3．解：首先把√7+4√3化为√7+2√12，这里m＝7，n＝12；由于4+3＝7，4×3＝12，即（√4）2+（√3）2＝7，√4•√3=√12，∴√7+4√3=√7+2√12=√(√4)2+(√3)2=2+√3．由上述例题的方法化简：（1）√13−2√42；（2）√7−√40；（3）√2−√3．6．细心观察下图，认真分析各式，然后解答下列问题：OA 22=(√1)2+1=2，S 1=√12（S 1是Rt △OA 1A 2的面积）；OA 32=(√2)2+1=3，S 2=√22（S 2是Rt △OA 2A 3的面积）； OA 42=(√3)2+1=4，S 3=√32（S 3是Rt △OA 3A 4的面积）；…（1）请用含有n （n 为正整数）的式子填空：OA n 2= ，S n ＝ ； （2）求1S 1+S 2+1S 2+S 3+1S 3+S 4+⋯+1S 99+S 100的值；（3）在线段OA 1、OA 2、OA 3、…、OA 2022中，长度为正整数的线段共有 条．7．已知a ，b 均为正整数．我们把满足{x =2a +3b y =3a +2b 的点P （x ，y ）称为幸福点．（1）下列四个点中为幸福点的是 ； P 1（5，5）；P 2（6，6）；P 3（7，7）；P 4（8，8） （2）若点P （20，t ）是一个幸福点，求t 的值；（3）已知点P （√m +1，√m −1）是一个幸福点，则存在正整数a ，b 满足{√m +1=2a +3b √m −1=3a +2b ，试问是否存在实数k 的值使得点P 和点Q （12a +k ，12b ﹣k ）到x 轴的距离相等，且到y 轴的距离也相等？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．8．阅读下列材料，并解答问题：①√2+√4=√4−√22=2−√22；②√4+√6=√6−√42=√6−22；③√6+√8=√8−√62=2√2−√62；④√8+√10=√10−√82=√10−2√22；……（1）直接写出第⑤个等式；（2）用含n（n为正整数）的等式表示你探索的规律；（3）利用你探索的规律，求√2+√4+√4+√6+√6+√8+⋯+√198+√200的值．9．一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2√2=（1+√2）2．设a+b√2=(m+n√2)2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b√2的式子化为平方式的方法．请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b√3=（m+n√3）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝，b＝．（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+√5=（+√5）2；（3）化简√16−6√7−√11+4√710．数学阅读：古希腊数学家海伦曾提出一个利用三角形三边之长求面积的公式：若一个三角形的三边长分别为a、b、c，则这个三角形的面积为S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p=1 2（a+b+c）．这个公式称为“海伦公式”．数学应用：如图1，在△ABC中，已知AB＝9，AC＝8，BC＝7．（1）请运用海伦公式求△ABC的面积；（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高h2，求h1+h2的值；（3）如图2，AD、BE为△ABC的两条角平分线，它们的交点为I，求△ABI的面积．11．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如√5、√23、√3+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：√5=√5√5×√5=35√5；（Ⅰ）√2 3=√2×33×3=√63（Ⅱ）√3+1=√3−1)(√3+1)(√3−1)=√3−1)(√3)2−12=√3−1．（Ⅲ）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．√3+1还可以用以下方法化简：√3+1=√3+1=√3)22√3+1=√3+1)(√3−1)√3+1=√3−1．（Ⅳ）（1）请用不同的方法化简√5+√3．①参照（Ⅲ）式得√5+√3=．②参照（Ⅳ）式得√5+√3=．（2）化简：√3+1+√5+√3+√7+√5+⋯+√2n+1+√2n−1．12．观察下列等式：①√2−1=√2+1；②√3−√2=√3+√2；③√4−√3=√4+√3；…，（1）请用字母表示你所发现的律：即√n+1+√n=．（n为正整数）（2）化简计算：1+√2+√2+√3+√3+√4+⋯+√2016+√2017．13．观察下列各式：√1+112+122=1+11−12=112；√1+122+132=1+12−13=116；√1+132+142=1+13−14=1112，…请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题①猜想：√1+172+182=＝；②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：；③应用：计算√8281+1100．14．阅读下列解题过程：√2+1=√2−1)(√2+1)×(√2−1)=√2−1(√2)2−12=√2−1；√3+√2=√3−√2)(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2(√3)2−(√2)2=√3−√2．请回答下列问题：（1）归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．①√7+√6=；②√n+√n−1=；（2）应用：求√2+1+√3+√2+√4+√3+√5+√4+⋯+√10+√9的值；（3）拓广：√3−1−√5−√3+√7−√5−√9−√7=．15．观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：OA1＝1OA2=√12+12=√2；S1=12×1×1=12OA3=√2+12=√3；S2=12×√2×1=√22OA4=√3+12=√4；S3=12×√3×1=√32（1）推算出OA5＝；（2）若一个三角形的面积是3，则它是第几个三角形？（3）用含n（n是正整数）的等式表达上述面积变化规律，即S n＝；（4）求出s12+s22+s32+⋯⋯+s1002的值．。

《二次根式》题型分类知识点一：二次根式的概念 【知识要点】二次根式的定义：形如五的戎子叫二次根式，其中么叫被开 方数，只有当么是一个非负数时，石才有意义.【典型例题】题型一：二次根式的判定【例1】下列各式1)卫,2)底,3)-存714)扬,5)』(-A 6)举一反三:1、 使代数式有意义的X 的取值范围是x-4( )A 、x>3 B. x > 3C 、 x>4D 、 x 》3且XH 42、 若式子丁鼻有意义，则x 的取值范围\l x — 3是 _____________ .题型去二次根式定义的运用【例 31 若 y= Qx-5 +』5-x ,则 x+y= _______________7)J/著换三：若x 、y 都是实数，且yr 求xy 的值1、下列各式中，一定是二次根式的是( )A 、乔B 、V^IOC 、yfa + lD 、题型二：二次根式有意义【例2】J 兀-2有意义的x 的取值范围是 ---------已知a 是亦整数部分，b 是 亦的小数部分, 求a-b 的值。

V5V 3,其中是二次根式的是 ------------ (填序号). 举一反三： 2、在丽、Vl + x 2 、的中是二次根式的个数有 ------- 个3、当。

取什么值时，代数式血 + 1+1取值最小, 并求出这个最小值。

知识点二：二次根式的性质【知识要点】1.非负性：V^(a>0)是一个非负数.2. (V^)2 =a(a>0).注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全 平方的形式：a = (7a)2(a>0)4.公式=\a\=l a^~^ 与(Va)2 =a(a>0)的区别与联系-a(a < 0)(1) 品表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数. (2) (需尸表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数. (3) Q 和(石尸的运算结果都是非负的.【典型例题】題型二：二次根式的牲廣2(公式(石)2二a(a > 0)的运用)注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.f 例5】化简：卜一1| + (丁^二5)2的结果为()A 、4-2aB 、0C 、2a —4D 、4举一反三：在实数范围内分解因式：才-3二 _________________ ; 題型去二次根式餉濒3(公式7^? = |a| = J a(a ~0)的应用)注意：(1)字母不一定是正数.-a(a < 0)(2) 能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替.(3) 可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外.f 例6】已知x<2,则化简J(x —2)2的结果是A % x — 2B 、兀+ 2C. —X — 2D. 2 — x3.=|a|= <a(a > 0)-a(a < 0)举一反三:1、根式J(-3)2的值是()A. -3B. 3 或-3C. 3D. 9那么|疑-2a |可化简为()2、已知a<0,A. - aB. aC. 一3aD. 3a【例71如果表示a, b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简| a-b | + J(a + b)2的结果等于() ---- ----- -- --- Ab a oA. -2bB. 2bC. -2aD. 2a举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简:0-1| +J(Q-2)2= ______________ . 寸—()j-*-I：例811、把二次根式agl化简，正确的结果是( )A. J—aB. — J-aC. — -VaD.2、__________________________________________________________ 把根号外的因式移到根号内：当b>0时，-V7 = ; (。

二次根式1．下列根式中属最简二次根式的是（ ）.A ．12+aB ．21C ．32aD ．272．在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个．3．设42-的整数部分为a ，小数部分为b ，则1a b-的值为（ ） Ａ．212- Ｂ．2 Ｃ．212+ Ｄ．2-4.如果关于x 的一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1＝3、x 2＝1，那么这个一元二次方程是（ ）A. x 2+3x +4=0B.x 2+4x -3=0C.x 2-4x +3=0D. x 2+3x -4=05．将进货单价40元的商品按50元出售，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，就会少销售10个。

为了赚得8000元的利润，售价应定为多少？这时应进货多少个？6．（2010广东茂名）已知关于x 的一元二次方程2260x x k --=（k 为常数）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设1x ，2x 为方程的两个实数根，且12214x x +=，试求出方程的两个实数根和k 的值．7． （2009年甘肃白银）（6分）在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：22a b a b ⊕=-，则方程（4⊕3）⊕24x =的解为 ．二次根式专项练习题11. 化简82-的结果是_____________2. 已知三角形底边的边长是6cm,面积是12cm 2,则此边的高线长 ．3. 已知2310x x -+=，则 2212x x +-=4. (12分)计算： (1)21418122-+- (2) 2)352(-5. （8分）先化简，再求值：11212222--÷+++-+x x x x x x x ，其中23-=x ．6、从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm 2，则原来的正方形铁皮的面积是（ ）A.9cm 2B.68cm 2C.8cm 2D.64cm 27、（2005·山东济南市）用开平方法解方程：4)1(2=-x8、（2005·北京）用配方法解方程：x 2 —4x +1=09、用公式法解方程：3x 2+5(2x+1)=010、某校2005年捐款1万元给希望工程，以后每年都捐款，计划到2007年共捐款4.75万元，问该校捐款的平均年增长率是多少？11、已知三角形的两边长分别是3和8，第三边的数值是一元二次方程x 2－17x ＋66＝０的根。

a 2 a 2 25 (-7)2 (1 - 2 )2 (-5)2 5 52 - 42 5242 (-16)(-25) -16 ( ) + ( )13 135 12 2 2 42 ⨯ 7 42 7 ab a a + 3 aa + 3 16125二次根式的性质一．复习以前所学相关知识点： 平方差公式： 完全平方公式： 同底数幂的乘法法则： 幂的乘方法则： 积的乘方法则：规定：（1） 二次根式 ( a )2 的性质2( a )2=a (a ≥0)2⎛ 1 ⎫22计 算 :(1) ( ) = ; (2) (3 2) =;(3) ⎝ 3 5 ⎪ =;(4) (-3 2)⎭⎛ 1⎫2( )2= ;(5) - ⎝ 2 3 ⎪ = ⎭;（6） a= _ .a (a ≥ 0) （2） 二次根式的性质=|a |=- a (a 0)1、计算:(1) =_(2) =(3) =(4) +（- ）2=．（3）二次根式积的性质ab = a ⋅ b (a ≥0,b ≥0)1、(1) 169 ⨯196 =_ _; (2) 42 ⨯ 3 =_ ; (3) 0.01⨯ 0.49 = ;2、下列运算正确的是（）(4) 32 ⨯ 52 =_;A. = - =5-4=1B. = × -25 =-4×（-5）=205 C ． = 12 17 + =D ． = × =4 13 13 13（4） 二次根式商的性质= (a ≥0,b ＞0)1、(1)=;(2) = ;2、能使等式 = 成立的a 的取值范围是.3、化简：(1) ( 2)4 b 527a b 925 2 932 27223 3 40 50 200 90 0.5 1⨯ 22 ⨯ 2 2 220.001 5 827 20 3 1 2 7 ⨯ 2 2 ⨯ 2 14 22 1124 4 927x 3 y 5 3.6 ⨯105 96a 3b 6 ⨯105 0.5a 3b 5（5） 最简二次根式：①被开方数中不含分母。

知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：a a ()≥0是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2. ()()a aa 20=≥．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a a a =≥()()203. a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()() 注意：〔1〕字母不一定是正数． 〔2〕能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．〔3〕可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4. 公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系 〔1〕a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数．〔2〕()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数．〔3〕a 2和()a 2的运算结果都是非负的．【典型例题】【例4】假设()22340a b c -+-+-=，那么=+-c b a ．举一反三：1、假设0)1(32=++-n m ，那么m n +的值为 。

2、y x ,为实数，且()02312=-+-y x ，那么y x -的值为〔 〕 A ．3 B ．– 3 C ．1 D ．– 13、直角三角形两边x 、y 的长满足｜x 2－4｜＋652+-y y ＝0，那么第三边长为＿＿＿＿＿＿.4、假设1a b -+()2005_____________a b -=。

〔公式)0((2≥=a a a 的运用〕【例5】 化简：21a -+的结果为〔 〕A 、4—2aB 、0C 、2a —4D 、4举一反三：1、 在实数范围内分解因式: 23x -= ；4244m m -+=429__________,2__________x x -=-+=2、 13、 ，那么斜边长为〔公式⎩⎨⎧<-≥==)0a (a )0a (a a a 2的应用〕 【例6】2x <,A 、2x -B 、2x +C 、2x --D 、2x -举一反三：1( )A ．-3B ．3或-3C ．3D ．92、a<02a │可化简为〔 〕A ．－aB ．aC ．－3aD ．3a 3、假设23a等于〔 〕A. 52a -B. 12a -C. 25a -D. 21a -4、假设a －3＜0，那么化简a a a -++-4962的结果是〔 〕(A) －1 (B) 1 (C) 2a －7 (D) 7－2a52得〔 〕 〔A 〕 2 〔B 〕44x -+ 〔C 〕－2 〔D 〕44x -6、当a ＜l 且a ≠0时，化简a a a a -+-2212＝ ．7、0a <【例7】如果表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如下图，那么化简│a－b │的结果等于〔 〕A ．－2bB ．2bC ．－2aD ．2a 举一反三：实数a在数轴上的位置如下图：化简：1______a -+=．【例8】化简1x -2x -5，那么x 的取值范围是〔 〕〔A 〕x 为任意实数 〔B 〕1≤x ≤4 〔C 〕 x ≥1 〔D 〕x ≤1 0 o b a举一反三：假设代数式2，那么a 的取值范围是〔 〕 Ａ．4a ≥Ｂ．2a ≤ Ｃ．24a ≤≤ Ｄ．2a =或4a =【例9】如果11a 2a a 2=+-+，那么a 的取值范围是〔 〕A. a=0B. a=1C. a=0或a=1D. a ≤1 举一反三：1、如果3a =成立，那么实数a 的取值范围是〔 〕.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥2、假设03)3(2=-+-x x ，那么x 的取值范围是〔 〕 〔A 〕3>x 〔B 〕3<x 〔C 〕3≥x 〔D 〕3≤x【例10】化简二次根式22a a a +-的结果是 〔A 〕2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a。

专题1.12 二次根式（全章复习与巩固）（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．若3x =时，2x a -当5x =时，2x a -则a 的值可能是（ ）A ．4B ．8C ．12D ．162．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A 2B 12C 8D 123．若0xy <，则2x y ） A ．xy B ．x y -C ．x y --D ．x y -42243 ）A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间5371115，，，…，则311 ）A ．第23项B ．第24项C ．第19项D ．第25项625x -1x -+x 值是（ ）A ．3-B ．2C ．3-或2D ．不存在7．下列计算正确的是（ ）A ．3553=B 236=C 235=D 12348．已知a b 、为实数，m n 、分别表示574am bn +=，则37a -+=（ ） A ．1 B ．32 C ．52 D ．2 9．当12022x +=3420252022x x --的值为（ ） A ．3B ．3-C ．1D ．1-10．观察下列二次根式的化简（ ）1221111111212S =+++-； 2222211111111111112231223S ⎛⎫⎛⎫+++++-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 3222222111111111111111111122334122334S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 则20222022S =（ ） A ．20222021 B ．20242023 C ．12022 D ．12024二、填空题11．已知1()2f x x=+，那么(3)f ＝_____． 12．求值：()(202220232332⋅+=______.132b +152b --a b -=________． 14．已知a 10b 是它的小数部分，则210a b +=______．15．若两不等实数a ，b 满足38a b +=，38b a +=，a b ab _____． 16．已知整数x ，y 满足2022202220222022x y x x y xy ，7x y --的最小值为 _____．17．已知等腰ABC 的两边长分别为37，则等腰ABC 的周长是______．18．在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按下图中的规律摆放．点P 从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“112233445OA A A A A A A A A →→→→……”的路线运动．设第n 秒运动到点n P （n 为正整数），则点2023P 的坐标是_______________．三、解答题19．当2022a =时，求221a a a -+(1) 的解法是错误的；(2) 错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；(3) 当3a >2691a a a -+-的值．20．计算： (1)148318243 (2) 03(51)(51)(2)27+-21．计算及解方程组： (1)1324126-（） (2) )26221532+22．已知32x =32y =，求下列各式的值：(1) 22x y -： (2) 222x xy y ++．23．小明在解决问题：已知23a =+2281a a -+的值．他是这样分析与解的：∵()()2323232323a -=++- ∵23a -=-∵()2223,443a a a -=-+=，∵241a a -=-，∵()()222812412111a a a a -+=-+=⨯-+=-． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1) 1315375121119+++++ (2) 若121a ， ∵求2481a a -+的值；∵直接写出代数式的值3231a a a ++-=___________．24．探究题(1) 用“＝”、“＞”、“＜”填空： 4+3 243⨯1+16 2116⨯，5+5 255． (2) 由（1）中各式猜想m +n 与mn m ≥0，n ≥0）的大小，并说明理由．(3) 请利用上述结论解决下面问题：某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成矩形的花圃．如图所示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为200m 2的花圃，所用的篱笆至少需要 m ．参考答案1．B【分析】二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，根据这个条件列不等式即可． 解：∵当3x =2x a -∵230a ⨯-<，解得6a >，∵当5x =2x a -∵250a ⨯-≥，解得10a ≤，∵610a <≤，∵a 的值可能是8，故选：B ．)0a a ≥叫二次根式．关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．2．A【分析】根据二次根式化简方法和最简二次根式的概念进行化简辨别即可．解：A 2B 12434323⨯=12不是最简二次根式，该选项不符合题意；C 8424222⨯8D 1122212不是最简二次根式，该选项不符合题意； 故选：A ．【点拨】本题考查二次根式的化简，对于最简二次根式要满足两个条件：被开方数不含开的尽方得因数，被开方数不含分母，准确理解最简二次根式的概念，并能对二次根式进行正确的化简是解决问题的关键．3．D【分析】根据0xy <2x y 0,0x y <>，进而即可求解．解：∵0xy <2x y∵0,0x y <>， 2x y y x y ==-故选：D ．【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，得出0,0x y <>是解题的关键．4．B【分析】利用二次根式的混合运算将原式化简，再进行无理数的估算即可． 2243263=433=33=∵252736<<，∵5276<，即5336<， 22435和6之间，故选：B【点拨】本题考查了二次根式的混合运算以及估算无理数的大小，27的范围是解此题的关键．5．D【分析】通过观察，得出第n 项为：41n -再根据31199得出方程4199n -=，解出即可得出答案．解：∵371115，，，…， ∵通过观察，可得：第n 41n - ∵31191191199⨯∵4199n -=，解得：25n =，∵31125项．故选：D【点拨】本题考查了数字规律问题、二次根式的乘法，解本题的关键在正确找出已知数列的规律．6．A【分析】根据同类最简二次根式的定义求解即可解：根据题意得：215x x --+250x -≥，10x -+≥， 215x x --+∵215x x --+=，解得：3x =-或2x =（舍），∵3x =-，故选：A【点拨】本题考查了同类最简二次根式的定义，掌握同类最简二次根式的定义是解决问题的关键7．B【分析】根据二次根式的加减乘除运算法则求解判断即可．解：A 、35525B 236=C 23D 12312342=÷=，计算错误，不符合题意，选项错误，故选B ．【点拨】本题考查二次根式的加减乘除运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．8．D7m n 、的值，再代入计算即可．解：∵72＜＜3，∵372-＜＜-，∵72＜5＜3，∵57-2m =，小数部分57237n ==∵4am bn +=，∵(2374a b +=，∵372a -=， 故选：D ．【点拨】本题考查估算无理数的大小，二次根式的混合运算，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．9．D【分析】根据12022x +=2442021x x -=，然后将多项式3420252022x x --转化为22(442021)(442022)x x x x x --+--，然后代入计算即可．解：12022x += 2(21)2022x ∴-=，24412022x x ∴-+=，2442021x x ∴-=，∴多项式3420252022x x --22(442021)(442022)x x x x x =--+--(20212021)20212022x =-+-020212022=+-1=-，故选：D ．【点拨】本题难度较大，需要对要求的式子进行变形，同学们要学会转化的思想，这是数学中一种很重要的思想．10．B【分析】根据题目中给定的计算方法求出2022S ，再进行求解即可． 解：221111111212++=+-221111112323++=+-221111113434++=+-，…∵221111112022202320222023++=+-， ∵1221111111212S =++=+-， 2222211111111111112231223S ⎛⎫⎛⎫=++++=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 322222111111111111111111122334122334S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++-++-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， …∵20221111111111111111223342021202220222023S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++-+++-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1202220221202220232023=+-=+， ∵则20222022202212024202312022202220232023S +==+=． 故选B ． 【点拨】本题考查二次根式化简中的简便运算．熟练掌握题目中给定的计算方法是解题的关键．11．23【分析】根据1()2f x x =+代入计算即可； 解：∵1()2f x x =+， ∵()()23(3)23232323f -==++- 故答案是：23．【点拨】本题主要考查了代数式求值和分母有理化，准确利用平方差公式计算是解题的关键．12．322+ 【分析】先根据积的乘方得到原式＝20222022322322322-++（）（）（），然后利用平方差公式计算． 解：原式＝20222023322322-+（）（）＝20222022322322322-++（）（）（）＝(202298322-⨯+（） ＝322+故答案为：322+【点拨】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和积的乘方与幂的乘方是解决问题的关键．13．2【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a 和b 的值；再将a和b 的值代入到代数式，通过计算即可得到答案．解：根据题意得：12a -=∵3a =∵2b +152b --∵252b b +=-∵1b =∵312a b -=-=故答案为：2．【点拨】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握最简二次根式、同类二次根式、代数式的性质，从而完成求解．14．3【分析】由于34a <<，则3a =，103b =，然后代入所求代数式进行计算即可． 解：3104<<，3a ∴=，103b =，2106103103a b ∴+=．故答案为：3．【点拨】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的加减，解题的关键是利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．15．4【分析】3a b =1ab ，然后代入原式即可求出答案．解：∵38a b +，38b a +， ∴33a a b b ++1633a b b a ++， ∴330b a b a +-， ∴30a ba b a b =-， ∵a b ， 0a b ， 3a b =，∵1633a b b a =++，∴7a b +=， ∵22a b a b ab =++()212a b a b ab -+=∴原式＝314+=．故答案为：4． 【点拨】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是a b a b a b -=，本题属于基础题型．16．18 2()2022()202220220xy x y x y xy =，然后因式分解为(2022)(2022)0x y xy =，20220xy =，进而分析得出337x =，6y =，则答案可得． 解：2022202220222022x y y x x y xy =， 2()2022()202220220xy x y x y xy ， ∵(2022)(2022)0x y xy =， 20220xy =，∵202223337xy ==⨯⨯，∵x ，y 均为整数，70x y -->，7x y --337x =，6y =，7x y --3376732418--==．故答案为：18． 20220xy ． 17．1423+2314 【分析】分两种情况：当等腰ABC 的腰长为37时，当等腰ABC 的腰长为7，底边长为23解：分两种情况：当等腰ABC的腰长为237时，233437+，∴不能组成三角形；当等腰ABC的腰长为7，底边长为3∴等腰ABC的周长773143=++=+综上所述：等腰ABC的周长是1423+故答案为：143+【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况进行计算是解题的关键．18．3⎛⎝⎭【分析】每630，30，3，0，点的横坐标规律：12，1，32，2，52，3，…，2n，即可求解．解：如图，过1A作1A H x⊥轴于H，则130OA H∠=︒，而11OA=，∵12OH=，2211312A H⎛⎫=-=⎪⎝⎭，∵每630，30，3，0，∵20236337÷=余1，∵点2023P3由题意可知动点P 每秒的横坐标规律：12，1，32，2， 52 ，3，…，2n ， ∵点2023P 的横坐标为1011.5， ∵点2023P 的坐标3⎛ ⎝⎭， 故答案为3⎛ ⎝⎭． 【点拨】本题考查点的规律；理解题意，根据所给图形的特点，结合平面直角坐标系中点的特点及正三角形边的特点，确定点的坐标规律是解题的关键．19．(1)小亮 2||a a (3)-2【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可求出答案．（2）根据二次根式的性质化简即可求出答案．（3）根据a 的范围判断3a -与1a -的符号，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可求出答案． 解：（1）原式2(1)a a =-1a a =+-，∵2022a =，∵10＜-a ，∵原式1212202214043a a a =+-=-=⨯-=，故小亮的解法错误，故答案为：小亮． （22a a ，2a a ．（3）∵3a >，30a ∴->，10a -<， ∵原式2(3)1a a =--，31a a =---()31a a =-+-31a a =-+-2=-．【点拨】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．20．(1)46 (2)2【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则、二次根式的性质化简，进而得出答案；（2）将原式用平方差公式化简，再求值即可（1148318243148318263=÷⨯16626=46=（2）03(51)(51)(2)27+-25113=-+-53=-2=【点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和混合运算法则． 21．(1)71210 (2)3107-【分析】（1）先计算括号，再计算除法，最后计算加减．（2）按照完全平方公式，二次根式的乘法计算即可． 解：（113242126-（） 63621（2 32156 3221==71210（2)26221532+ =331073-=3107-．【点拨】本题考查了二次根式的乘法，除法，完全平方公式，绝对值的化简，熟练掌握二次根式的乘除运算是解题的关键．22．(1)6 (2)12【分析】（1）先计算出x y +和x y -，再利用乘法公式得到()()22x y x y x y -=+-；（2）利用乘法公式得到222)2(x xy y x y =+++，然后利用整体代入的方法计算． （1）解：32x =+32y =，23x y ∴+=22x y -=()()22232246x y x y x y -=+-==（2）由（1）知3x y +=∵22222()(23)12x xy y x y ++=+==．【点拨】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式、平方差公式等知识点．题目难度不大，注意整体代入思想的运用．23．(1)5 (2)∵5，∵0【分析】（1）原式各项分母有理化，计算即可求出值；（2）∵先把a 分母有理化可得到21a ，从而得到221a a -=，再把式子进行整理，将221a a -=代入计算即可求出值；∵将式子整理成()2221a a a a a --++，再代入221a a -=，即可求解． （11315375121119++++++ 13153751211192=+- ()112112= 1102=⨯5=；（2）解：∵∵()()122122211a -+-，∵12a -= ∵()2212,212a a a --=+=，∵221a a -=，∵()224814214115a a a a -+=-+=⨯+=； ∵∵221a a -=，∵3231a a a -++()2221a a a a a =--++21a a a =-++()221a a =--+=11-+0=．故答案为：0【点拨】本题考查了分母有理化，二次根式的化简求值，正确读懂例题，对二次根式进行化简是关键．24．(1)＞，＞，＝， (2)m +n mn (3)40【分析】（1）分别进行计算，比较大小即可；（2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想m +n mn 比较大小，可以作差，m +n -mn（3）设花圃的长为a 米，宽为b 米，需要篱笆的长度为（a +2b ）米，利用第（2）问的公式即可求得最小值．（1）解：∵4+3=7，43⨯3∵2749=，2(43)48=，∵49＞48，∵4+3＞43⨯∵1+16=76＞1，116⨯61，∵1+16＞116⨯；∵5+5=10，55⨯，55⨯故答案为：＞，＞，=；（2）解：m+n mn m≥0，n≥0）．理由如下：当m≥0，n≥0时，∵2()0m n≥，∵22()2()0m m n n-≥，∵m-mn n≥0，∵m+n mn（3）解：设花圃的长为a米，宽为b米，则a＞0，b＞0，S=ab=200，根据（2）的结论可得：222222220022040a b a b ab+≥⋅==⨯⨯=，∵篱笆至少需要40米．故答案为：40．【点拨】本题主要考查了二次根式的应用，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证．。

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】二次根式的加减--知识讲解（基础）责编：康红梅【学习目标】1、理解并掌握同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；2、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.【要点梳理】要点一、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.要点二、二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.要点三、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【典型例题】类型一、同类二次根式1.（2016•巴中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【思路点拨】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案．【答案】B．【解析】A、=3，与不是同类二次根式，故此选项错误；B、=，与，是同类二次根式，故此选项正确；C、=2，与不是同类二次根式，故此选项错误；D 、==，与不是同类二次根式，故此选项错误【总结升华】此题主要考查了同类二次根式，正确化简二次根式是解题关键．举一反三：【变式】如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b 的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C. a=1，b=-1D. a=1，b=1【答案】D.根据题意，得解之，得，故选D.类型二、二次根式的加减运算2.计算（1）（2015春•建湖县期末）4﹣+．（2）（2015春•文安县期末）．【答案与解析】解：(1)原式=4×﹣3+2=2﹣3+2=．（2）原式=2+3﹣2=3x【总结升华】一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三：【变式】计算:011(1)()527232π--++-- 【答案】011(1)()527232π--++-- 125332333352332=++--=+--=- 类型三、二次根式的混合运算3.计算:(1) (+)×； 【：高清ID 号： 388064关联的位置名称（播放点名称）：二次根式的混合运算】(2) 22)3223()3223(--+【思路点拨】二次根式的混合运算要注意公式的灵活运用.【答案与解析】(1)(+)×=×+×=+=3226+;(2)=(32233223)(32233223)++-+-+原式=6243246⨯=.【总结升华】二次根式仍然满足整式的运算规律,•所以直接可用整式的运算规律．【：高清ID 号： 388064关联的位置名称（播放点名称）：巩固练习4-5】4、计算： 已知625,625-=+=b a ，则ab =_______,a b +=________.【答案】1；10.【解析】225+26526,5(26)1a b ab ==-=-=Q ，10a b +=【总结升华】数学运算包含着很多技巧性的东西，技巧运用得好计算就很简便而且准确. 举一反三：【变式】已知32,32,x y ==求22x xy y -+的值。

例1、• X 2 2,4八 4,5) i (-；)2,6) ,1 - a,7)a 2 -2a 1，其中是二次[来源：课题 二次根式全章综合复习1、理解二次根式的概念，并利用Ja （a > 0）的意义解答具体题目学习目标2、理解府（a> 0）是一个非负数和（） 2=a （ a> 0）并利用它们进行计算和化简3、二次根式的运算与化简求值学习重点 二次根式的性质及其运算知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如J 二二2 'll 的式子叫二次根式，其中 」叫被开方数，只有当是一个非负数时，丄 才9有意义. 【典型例题】題固一：二次報氏的鞘定根式的是 _____________ （填序号）. 练习：1、 下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A 、石B 、\ 帀C 、 、、a 1D 、2、 在 ^^^a 、、％ x 1、人1 x 、⑴3 中是二次根式的个数有 ________________________ 个1例2、若式子一—有意义，则x 的取值范围是J x —3练习：1、 使代数式有意义的x 的取值范围是（）x -4A 、x>3B 、x > 3C x>4D 、x > 3 且 x 丰 4F 列各式1）2、如果代数式J-m + j—有意义，那么，直角坐标系中点P （m n）的位置在（）-m nA、第一象限B、第二象限C、第三象限 D第四象限2、若、17的整数部分为x,小数部分为y, 求的值.例3、若 y= I x -5 + , 5 -x +2009，则 x+y=练习：1、若x 一1 一1 一x = (x y)2，则x —y 的值为( )A.— 1 B . 1 C . 2 D . 32、当a取什么值时，代数式2a 1 1取值最小，并求出这个最小值。

UB:丸划精血分例4、已知a是• 5整数部分，b是、5的小数部分，求a • 的值。

b+2练习:1、若、3的整数部分是a,小数部分是b,贝U 3a-b =a(a _0)-a(a ：：知识点二：二次根式的性质【知识要点】1. 非负性：「a(a_0)是一个非负数•注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到.2. ( .a)2 =aa 0).方的形式： a = ( a)2 (a 亠0)注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平3.2、已知直角三角形两边已知x -3y ：|x2 _9x 32x +1=0,求—1的值。

二次根式的运算知识考点：二次根式的化简与运算是二次根式这一节的重点和难点。

也是学习其它数学知识的基础，应熟练掌握利用积和商的算术平方根的性质及分母有理化的方法化简二次根式，并能熟练进行二次根式的混合运算。

精典例题： 【例1】计算：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-322212143222； （2）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--31221821812；（3）()()()200215415215200020012002++-+-+；（4）()()235235-++-；（5）()1211321231260sin -⎪⎭⎫⎝⎛-+---++。

答案：（1）3324-；（2）24332-；（3）2002；（4）62；（5）－1 【例2】化简：b a bab ab b a b a ++÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+分析：将ba b a +和ba b +分别分母有理化后再进行计算，也可将除以ab 变为乘以ab1，与括号里各式进行计算，从而原式可化为：原式＝ba b ba a ++-+1＝1-++ba b a ＝0【例3】已知131-=a ，131+=b ，求⎪⎪⎭⎫⎝⎛+a b b a ab 的值。

分析：直接代入求值比较麻烦，可考虑把代数式化简再求值，并且a 、b 的值的分母是两个根式，且互为有理化因式，故ab 必然简洁且不含根式，b a +的值也可以求出来。

解：由已知得：b a +＝213213-++＝3，21=ab ∴原式＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+a ab b ab ab ＝b a +＝3 探索与创新：【问题一】比较23-与12-的大小；34-与23-的大小；45-与34-的大小；猜想n n -+1与1--n n 的大小关系，并证明你的结论。

分析：先将各式的近似值求出来，再比较大小。

∵23-≈1.732－1.414＝0.318，12-≈1.414－1＝0. 414 ∴23-＜12-同理：34-＜23-，45-＜34-根据以上各式二次根式的大小有理由猜测：n n -+1＜1--n n证明：n n -+1＝()()n n nn nn ++++-+111＝()()nn n n ++-+1122＝nn ++111--n n ＝()()111-+-+--n n n n n n＝()()1122-+--n n n n＝11-+n n又∵nn ++11＜11-+n n∴n n -+1＜1--n n【问题二】阅读此题的解答过程，化简：a b ab b a b a a 322442+--（b a 20<<）解：原式＝a b ab a b b a a )44(222+-- ①＝22)2(2a b a ab b a a -- ②＝ab ab a b a a⋅-⋅-22 ③＝ab aba b a a ⋅-⋅-22 ④＝ab问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误，请填写出该步的代号 ；（2）错误的原因是 ； （3）本题的正确结论是 。