江苏省连云港市2008届高三二轮复习强化训练(7)(导数2)

第2讲矩阵与变换【高考考情解读】本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等．从形式上看，以解答题为主，本节知识是高考中数学教材和高等数学教材的接轨知识，一般以基础题目为主，难度不大．又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力．分值为10分．1．矩阵乘法的定义一般地，我们规定行矩阵[a11，a12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b11b21的乘法规则为[a11，a12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b11b21＝[a11b11＋a12b21]，二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy的乘法规则为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax＋bycx＋dy.说明：矩阵乘法MN的几何意义为对向量的连续实施的两次几何变换(先T N后T M)的复合变换．一般地，对于平面上的任意一个点(向量)(x，y)，若按照对应法则T，总能对应惟一的一个平面点(向量)(x′，y′)，则称T为一个变换，简记为T：(x，y)→(x′，y′)或T：⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′.2．几种常见的平面变换(1)恒等变换；(2)伸缩变换；(3)反射变换；(4)旋转变换；(5)投影变换；(6)切变变换．3．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A－1，A－1＝B.(2)逆矩阵的求法一般地，对于二阶可逆矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d(ad－bc≠0)，它的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc.(3)逆矩阵的简单性质①若二阶矩阵A ，B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. ②已知A ，B ，C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C . (4)逆矩阵与二元一次方程组对于二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n(ad －bc ≠0)，若将X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 看成是原先的向量，而将B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n 看成是经过系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (ad －bc ≠0)对应变换作用后得到的向量，则可记为矩阵方程AX ＝B ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，则X ＝A －1B ，其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc .4． 二阶矩阵的特征值和特征向量(1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量． (2)特征向量的几何意义特征向量的方向经过变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)，特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了零向量． (3)特征多项式 设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的一个特征值，它的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ，故⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0.(*)由特征向量的定义知α≠0，因此x ，y 不全为0，此时D x ＝0，D y ＝0，因此，若要上述二元一次方程组有不全为0的解，则必须有D ＝0，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.定义：设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 是一个二阶矩阵，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc . 称为A 的特征多项式． (4)求矩阵的特征值与特征向量如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ一定是二阶矩阵A 的特征多项式的一个根，它满足f (λ)＝0.此时，将λ代入二元一次方程组(*)，就可以得到一组非零解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，于是，非零向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x0y0即为A的属于λ的一个特征向量.考点一常见矩阵变换的应用例1已知矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0232.(1)求满足条件AM＝B的矩阵M；(2)矩阵M对应的变换将曲线C：x2＋y2＝1变换为曲线C′，求曲线C′的方程．解(1)设M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d，AM＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ba＋c b＋d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0232，得⎩⎪⎨⎪⎧a＝0，a＋c＝3，b＝2，b＋d＝2，∴a＝0，b＝2，c＝3，d＝0.∴M＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0230.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P′(x′，y′)，则M⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0230⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2y3x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，∴⎩⎪⎨⎪⎧2y＝x′，3x＝y′，即⎩⎨⎧y＝x′2，x＝y′3，代入曲线C：x2＋y2＝1，得(x′2)2＋(y′3)2＝1.∴曲线C′的方程是x24＋y29＝1.求曲线经过二阶矩阵变换的方法步骤曲线f(x，y)＝0经过二阶矩阵变换，得曲线g(x，y)＝0，求曲线g(x，y)的一般步骤为：(1)取曲线f (x ，y )＝0上的任意一点A (x ，y )； (2)A (x ，y )通过二阶矩阵变换得A ′(x ′，y ′)；(3)用x 表示x ′，y 表示y ′代入f (x ，y )＝0，得g (x ′，y ′)＝0； (4)g (x ′，y ′)＝0用x 代替x ′，y 代替y ′，得g (x ，y )＝0，即为所求．(2013·福建)已知直线l ：ax ＋y ＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1对应的变换作用下变为直线l ′：x ＋by ＝1. (1)求实数a ，b 的值；(2)若点P (x 0，y 0)在直线l 上，且A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，求点P 的坐标． 解 (1)设直线l ：ax ＋y ＝1上任意点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是M ′(x ′，y ′)．由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋2y ，y ′＝y . 又点M ′(x ′，y ′)在l ′上，所以x ′＋by ′＝1，即x ＋(b ＋2)y ＝1，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.(2)由A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x 0＋2y 0，y 0＝y 0，解得y 0＝0. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝1. 故点P 的坐标为(1,0)． 考点二 求二阶矩阵的逆矩阵 例2 设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (其中a >0，b >0)．(1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1； (2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．解 (1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. 又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. 所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1， 即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 0 0 13.(2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′. 又点P ′(x ′，y ′)在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.求逆矩阵的常见方法(1)待定系数法设A 是一个二阶可逆矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，AB ＝BA ＝E ；(2)公式法|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，有A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d |A |－b |A |－c |A | a |A |， 当且仅当|A |≠0；(3)利用逆矩阵的性质(AB )－1＝B －1A －1.(2013·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 0 2，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤120 6，求矩阵A －1B .解 设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1 故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12，从而A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12， 所以A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 0 0 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 6＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 －2 0 3.考点三 求矩阵的特征值与特征向量例3 已知二阶矩阵M 有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并且矩阵M 对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)． (1)求矩阵M ；(2)求矩阵M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2的坐标之间的关系； (3)求直线l ：x －y ＋1＝0在矩阵M 的作用下的直线l ′的方程． 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 4，故⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2b ＝－2，－c ＋2d ＝4.联立以上两方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4， 故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4.(2)由(1)知，矩阵M 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2 －4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M 的另一个特征向量是e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则Me 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤6x ＋2y 4x ＋4y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，解得2x ＋y ＝0. (3)设点(x ，y )是直线l 上的任一点，其在矩阵M 的变换下对应的点的坐标为(x ′，y ′)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，即x ＝14x ′－18y ′，y ＝－14x ′＋38y ′，代入直线l 的方程后并化简得x ′－y ′＋2＝0，即x －y ＋2＝0.求特征值和特征向量的方法(1)矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征值λ满足(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，属于λ的特征向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y .(2)求特征向量和特征值的步骤：①解f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0得特征值； ②解⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0⇔(λ－a )x －by ＝0，取x ＝1或y ＝1，写出相应的向量．求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3652的特征值与属于每个特征值的一个特征向量．解 矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3 －6－5 λ－2， 令f (λ)＝0得，λ2－5λ－24＝0，∴λ1＝8，λ2＝－3为矩阵A 的两个特征值．①当λ1＝8时，解相应线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝0，－5x ＋6y ＝0，可任取一解如⎣⎢⎡⎦⎥⎤65，得λ＝8的特征向量ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤65.②当λ2＝－3时，解相应线性方程组⎩⎪⎨⎪⎧－6x －6y ＝0，－5x －5y ＝0.可任取一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，得λ＝－3的特征向量ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.1． 在解决通过矩阵进行平面曲线的变换问题时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．2． 对于二阶矩阵，要能够熟练地根据常见的几种变换的坐标形式和矩阵形式相互转化的规则，直接指明对应的变换．3． 对于常见的变换，要能够根据前后的图形中的点的坐标变换规律准确写出变换矩阵． 4． 对于二阶矩阵A 而言，至多有两个特征值，将特征值λ代入Aα＝λα，即可求得对应的特征向量α.5． 关于特征值与特征向量的讨论与矩阵变换性质、矩阵的乘积、行列式以及线性方程组的解等有密切的联系，或说是所学知识的一个综合运用.1． 已知点A 在变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y y 作用后，再绕原点逆时针旋转90°，得到点B .若点B 的坐标为(－3,4)，求点A 的坐标． 解 变换T 对应的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2. 设A (a ，b )，由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 4，即⎩⎪⎨⎪⎧ －b ＝－3，a ＋2b ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，即A (－2,3)． 2． 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －3－1 －1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1.(1)求(AB )－1.(2)求直线2x ＋y －5＝0在(AB )－1对应变换作用下的直线方程．解 (1)AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1 －3－1 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 20 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1－1 －3， 又|AB |＝－3－1＝－4，∴(AB )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34 －14－14－14. (2)设P (x 0，y 0)是直线2x ＋y －5＝0上任一点，P ′(x ，y )是在变换作用下点P 的象，则有⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝(AB )－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤34 －14－14 －14⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0.∴⎩⎨⎧x ＝34x 0－14y 0，y ＝－14x 0－14y 0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x －y ，y 0＝－x －3y .代入直线方程2x＋y－5＝0，得2(x－y)－(x＋3y)－5＝0，即x－5y－5＝0，即为所求的直线方程．(推荐时间：60分钟)1．求满足X⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－11的二阶矩阵X.解设X＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d，由于⎣⎢⎡⎦⎥⎤a bc d⎣⎢⎡⎦⎥⎤2312＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a＋b3a＋2b2c＋d3c＋2d＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－11，则⎩⎪⎨⎪⎧2a＋b＝3，3a＋2b＝2，2c＋d＝－1，3c＋2d＝1得a＝4，b＝－5，c＝－3，d＝5，故X＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4－5－35.2．双曲线x25－y24＝1的右焦点为F，矩阵A＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0210，B＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1003，求点F在矩阵BA对应的变换作用下的象F′.解BA＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1003⎣⎢⎡⎦⎥⎤0210＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0230，∴(BA)⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0230⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤09.即F′的坐标为(0,9)．3．求函数y＝x2在矩阵M＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 014变换作用下的结果．解任选曲线y＝x2上一点(x，y)，它在变换T M作用下变为(x′，y′)，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1014⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x14y＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′⇒x ＝x ′， y ＝4y ′，代入y ＝x 2，得y ′＝14x ′2，即y ＝14x 2. 4． (2012·江苏)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 3412 －12，求矩阵A 的特征值． 解 因为A －1A ＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14 3412 －12，所以A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 32 1， 于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2 －3－2 λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.5． 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1，向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12.求向量α，使得A 2α＝β. 解 A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3. 设α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，由A 2α＝β，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 24 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， 从而⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2.所以α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2. 6． 已知变换S 把平面上的点A (3,0)，B (2,1)分别变换为点A ′(0，3)，B ′(1，－1)，试求变换S 对应的矩阵T .解 设T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ， 则S ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤30→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤30 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 3b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤03，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1；S ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤21→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1d ＝－3，综上可知，T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －3. 7． 已知曲线C ：xy ＝1，将曲线C 绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C ′的方程．解 设P (x 0，y 0)是曲线C ：xy ＝1上的任一点，点P (x 0，y 0)在旋转变换后对应的点为P ′(x ′0，y ′0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0′y 0′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 45° －sin 45°sin 45° cos 45°⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－222222⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22x 0－22y 022x 0＋22y 0 ∴⎩⎨⎧ x ′0＝22x 0－22y 0，y ′0＝22x 0＋22y 0，∴⎩⎨⎧ x 0＝22(x ′0＋y ′0)，y 0＝22(y ′0－x ′0).又x 0y 0＝1，∴22(y ′0＋x ′0)×22(y ′0－x ′0)＝1. ∴y ′20－x ′20＝2，即曲线C ：xy ＝1旋转后所得到的曲线C ′的方程为：y 2－x 2＝2.8． 在直角坐标系中，已知△ABC 的顶点坐标为A (0,0)、B (1,1)、C (0,2)，求△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形的面积，其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0. 解 由在矩阵线性变换下的几何意义可知，在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90°得到的图形；在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0作用下，一个图形变换为与之关于直线y ＝x 对称的图形，因此，△ABC 在矩阵MN 作用下变换所得到的图形与△ABC 全等，从而其面积等于△ABC 的面积，即为1.9． 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，其中a ∈R ，若点P (1,1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－3)． (1)求实数a 的值；(2)求矩阵A 的特征值及特征向量．解 (1)由题意得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3， 所以a ＋1＝－3，所以a ＝－4.(2)由(1)知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －1－4 1， 令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 1 4 λ－1＝(λ－1)2－4＝0. 解得A 的特征值为λ＝－1或3.当λ＝－1时，由⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋y ＝04x －2y ＝0得矩阵A 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， 当λ＝3时，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝04x ＋2y ＝0得矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2. 10．(2012·福建)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1(a >0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1)求实数a ，b 的值；(2)求A 2的逆矩阵．解 (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的象是P ′(x ′，y ′)． 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1， 即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. 因为a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1. 所以|A2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0－2 1.。

江苏省连云港市2008届高三二轮复习强化训练5．函数综合题新海高级中学 王弟成 顾淑建一、填空题1．若函数12)(22-=-+a ax x x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ．2．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是 ． 3．设a b c ，，均为正数，且122log a a =，121()log 2b b =，21()log 2c c =．则a ，b ，c 的大小 关系是__________________．4．函数x y 2log =与函数2log (2)y x =-的图象及2y =-与3y =-所围成的图形面积是 __ __．5．若函数3()3f x x x a =-+有3个不同零点，则实数a 的取值范围是____________．6． 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，对任意x ∈R ，都有(4)()(4f x f x f +=+成立，则(2008)f =_______________．7．若f (x )=)42(log 2+-ax x a 在[,)a +∞上为增函数，则a 的取值范围是________________．8．f (x )=|log |3x 的定义域为[a,b ]，值域为[0,1]，若区间[a,b ]的长度为b-a ，则b - a 的最小值为_____________．9．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期．方程()0f x = 在闭区间],T T ⎡-⎣上的根的个数至少有 个．10．已知函数42)(2++=ax ax x f (03)a <<，若a x x x x -=+<1,2121，则1()f x 与2()f x 的大小关系是____________．11．已知函数x x x y ++=2331的图象C 上存在一定点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交于不同于P 的两点M (x 1, y 1)，N (x 2, y 2)，就恒有21y y +的定值为y 0，则y 0的值为 ．12．已知a ∈R ，直线(1)(1)4(1)0a x a y a -++-+=过定点P ，点Q 在曲线210x xy -+=上，则PQ k 的范围是___________________________．13．设函数f (x)的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使|()|||f x M x ≤对一切实数x 均成立，则称f (x )为有界函数，下列函数：（1）f (x )=x 2；（2） f (x )=2x ；（3）f (x )= 2sin x ；（4）f (x )=sin x +cos x ．其中是有界函数的序号是 ．14．三位同学在研究函数()()1||x f x x x =∈+R 时，分别给出下面三个命题： ①函数)(x f 的值域为)1,1(-②若，21x x ≠则一定有)()(21x f x f ≠③若规定11()(),()[()]n n f x f x f x f f x +==，则()1|n x f x n x =+|对任意的*n ∈N 恒成立，所有正确命题的序号是 ．二、解答题15．设a ∈R ，函数)22lg(2a x ax y --=的定义为A ，不等式0342<+-x x 的解集为B ，若φ≠⋂B A ，求实数a 的取值范围．16．设二次函数a ax x x f ++=2)(，方程x x f =)(的两根x 1和x 2满足1201x x <<<． （1）求实数a 的取值范围；（2）试比较)0()1()0(f f f -与116的大小，并说明理由．17．函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对任意实数x ，都有)1()1(-=+x f x f 成立．已知当]2,1[∈x 时，x x f a log )(=．（1）求]1,1[-∈x 时，函数)(x f 的表达式；（2）求]12,12[+-∈k k x ()k ∈Z 时，函数)(x f 的表达式；（3）若函数()f x 的最大值为12，在区间[1,3]-上，解关于x 的不等式1()4f x >．18．对于函数)(x f y =，D x ∈，若同时满足以下条件：①)(x f 在D 上单调递增或单调递减；②存在区间D b a ⊆],[，使)(x f 在],[b a 上的值域也是],[b a ，则称函数)(x f 是闭函数．（1）求函数)(x f 3x -=，符合条件②的区间],[b a ；（2）当0,12a b ==时判断函数42y x x=+是不是闭函数，并说明理由；（3）若函数y k =是闭函数，求实数k 的取值范围．19．已知定义域为R 的函数)(x f 满足22(())()f f x x x f x x x -+=-+．（1）若(2)3f =，求)1(f ；又若(0)f a =，求()f a ；（2）设有且仅有一个实数0x ，使得00()f x x =，求函数)(x f 的解析表达式．20．已知集合D ={(,)|0,0,}m n m n m n k >>+=，其中k 为正常数．（1）设mn u =，求u 的取值范围；（2）求证：当1≥k 时不等式2112(1)(1)()2k m n k--≤-对任意(,)m n D ∈恒成立； （3）求使不等式2112(1)(1)()2k m n k --≥-对任意(,)m n D ∈恒成立的k 的范围．5．函数综合题新海高级中学 王弟成 顾淑建一、填空题：1．若函数12)(22-=-+a ax x x f 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 01≤≤-a ．2．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是 3 ．3．设a b c ，，均为正数，且122log a a =，121()log 2b b =，21()log 2c c =．则a ，b ，c 的大小 关系是a b c <<．4．函数x y 2log =与函数2log (2)y x =-的图象及2y =-与3y =-所围成的图形面积是 __ 2 __．5．若函数3()3f x x x a =-+有3个不同零点，则实数a 的取值范围是__22a -<<__．6．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且(2)0f =，对任意x ∈R ，都有(4)()(4)f x f x f +=+成立，则(2008)f =____0___．7．若f (x )=)42(log 2+-ax x a 在[,)a +∞上为增函数，则a 的取值范围是_12a <<_．8．f (x )=|log |3x 的定义域为[a,b ]，值域为[0,1]，若区间[a,b ]的长度为b-a ，则b - a 的最 小值为23．9．定义在R 上的函数)(x f 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.方程()0f x = 在闭区间],T T ⎡-⎣上的根的个数至少有 5 个．10．已知函数2()24f x ax ax =++(03)a <<，若1212,1x x x x a <+=-，则1()f x 与2()f x 的大小关系是12()()f x f x >．11．已知函数x x x y ++=2331的图象C 上存在一定点P 满足：若过点P 的直线l 与曲线C 交于不同于P 的两点M (x 1, y 1)，N (x 2, y 2)，就恒有21y y +的定值为y 0，则y 0的值为-23．12．已知a ∈R ，直线(1)(1)4(1)0a x a y a -++-+=过定点P ，点Q 在曲线210x xy -+=上，则PQk 的范围是______[3,)-+∞_______． 13．设函数f (x)的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使|()|||f x M x ≤对一切实数x 均成立，则称f (x )为有界函数，下列函数：（1）f (x )=x 2；（2） f (x )=2x ；（3）f (x )= 2sin x ；（4）f (x )=sin x +cos x ．其中是有界函数的序号是 ③，④ ．14．三位同学在研究函数()()1||R x f x x x =∈+时，分别给出下面三个命题： ①函数)(x f 的值域为)1,1(-②若，21x x ≠则一定有12()()f x f x ≠③若规定11()(),()[()]n n f x f x f x f f x +==，则()1||n x f x n x =+对任意的*n ∈N 恒成立，所有正确命题的序号是 ①，②，③ ．二、解答题：15．解：当0=a 时，()20f x x =->的解集为(,0)-∞，故A B φ⋂=；（1）当0>a 时，而(0)20f a =-<，此时抛物线开口向上，函数有两个零点且分别在y 轴的两侧，此时若要求A B φ⋂≠，故只需(3)0f <即可，解之得，67a >； （2）当0<a 时，而(0)20f a =->，此时抛物线开口向下，函数两个零点也分别在y 轴的两侧，若要求φ≠⋂B A ，故只需(1)0f >即可，解之得，2a <-．综上得a 的范围是6(,2)(,)7-∞-⋃+∞．反思 此题解法较多，亦可以分别求出()0f x <的解集，然后讨论两根的范围，但要涉及无理不等式的求解，学生易错；也可以从221-=x x 这一特征，判断出函数)(x f 的两零点分别在y 轴的两侧．但上述解法抓住(0)f 的值，使讨论简洁明了，层次清楚，过程大简化，缩短解题过程．变式求解 ：（2007广东省高考第20题） 已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有零点，求a 的取值范围．分析与简解 由于二次项系数含参数不能确定正负，影响抛物线开口方向，影响对称轴，故对函数零点的情况有影响，因此需对a 的值分类讨论．（1）当0=a 时，()23f x x =-，此时)(x f 的零点是32x =，32∉[1,1]-； （2）当0>a 时，02>a ，故抛物线开口向上，而此时，03)0(<--=a f ，∴若要使()y f x =在区间]1,1[-上有零点，则只需(1)0f ≥或(1)0f -≥，即2230a a +--≥，1≥a ，或2230a a ---≥，5≥a ，∴1≥a ．（3） 当0<a 时，02<a ，故抛物线开口向下，而此时(1)10(1)50,f a f a =-<⎧⎨-=-<⎩故若要()y f x =在区间[1,1]-上有零点，只需 02114a ∆≥⎧⎪⎨-≤-≤⎪⎩，即a ≤， ∴a的取值范围是([1,)-∞⋃+∞． 16． 解 （1）令a x a x x x f x g +-+=-=)1()()(2，则由1201x x <<<得，01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩01133a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩∴03a <<-a的取值范围是(0,3-．（2）)0()1()0(f f f -22)1()0(a g g ==，设2)(a a h =，∵当0>a 时，)(a h 单调递增，∴210()(32(32(1716h a h <<-=-=-<． （1）由韦达定理得： 12121212000(1)(1)0(1)(1)0x x x x x x x x ∆>⎧⎪+>⎪⎪>⎨⎪-+->⎪⎪-+->⎩⇒03a <<- （2）(0)(1)(0)f f f -1212(0)(1))(1g g x x x x ==- (1-)2211221122111[)][(12216x x x x x x x x +-+-⎛⎫⎛⎫=-<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1- )]， 故(0)(1)(0)f f f -116<． 反思 解法1数形结合，将方程根范围转化为函数图象关系，解法2从韦达定理角度出发，转化不等关系，第二问从更一般的角度思考，用系数表示根，结合基本不等式证得。

江苏省连云港市2008届高三二轮复习强化训练11.数列的综合应用海州高级中学乔健潘莉一、填空题：1．数列2{2293}n n-++中的最大项的值是__ __．2．已知一个数列的通项为*sin()()2Nnna nπα=+∈，再构造一个新数列123456,,,a a a a a a，则这个数列的前n项和．3．设等比数列{}na的公比为q，前n项和为nS，若12,,n n nS S S++成等差数列，则q的值为．4．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a b c++的值为．5．设数列{a n}的前n项和为nS，点(,)(*)NnSn nn∈均在函数y=3x-2的图象上．则数列{}n a的通项公式为．6．在圆225x y x+=内，过点53(,)22有*()Nn n∈条弦，它们的长构成等差数列，若1a为过该点最短弦的长,na为过该点最长弦的长,公差11(,)53d∈，那么n的值是．7．2()2xf xx=+，11x=，1(1)n nx f x-=+*(2,)Nn n≥∈,则234x x x、、分别为__ ，猜想nx=__ _．8．在△ABC中，tan A是以－4为第3项，4为第7项的等差数列的公差，tan B是以13为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则这个三角形是．9．设两个方程2210,10x ax x bx-+=-+=的四个根组成以2为公比的等比数列，则ab=．10．编辑一个运算程序：1&12,&,&(1)3,(*)Nm n k m n k m n k==+=+∈、、，1&2004的输出结果为．11．小正方形按照下图中的规律排列：每小图中的小正方形的个数就构成一个数列{}na，有以下结论：①515a=；②数列{}na是一个等差数列；③数列{}na是一个等比数列；④数列的递推公式为:1n na a n-=+，(*)Nn∈其中正确的命题序号为．12．一列火车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站（其中包括起点站A 和终点站B ），车上有一节邮政车厢，每停靠一站，要卸下前面各站发往该站的邮件一袋，同时又要装上该站发往后面各站的邮件一袋，已知火车从第k 站出发时，邮政车厢内共有邮袋(1,2,k a k =…,n )个，则数列k a 与1(2)k a k n -≤≤的关系为 ．13．已知函数2()31f x x bx =++是偶函数，()5g x x c =+是奇函数，正数数列{}n a 满足11a =，211()()1n n n n n f a a g a a a +++-+=，求数列{}n a 的通项公式为 ．14．已知{}n a 是递增数列，且对任意*N n ∈都有2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是___ ． 二、解答题:15．已知,,αβγ成公比为2的等比数列,其中[]0,2απ∈，且si n ,s i n ,s i n αβγ也成等比数列，求,,αβγ的值．16．设二次方程2110(N)n n a x a x n +-+=∈有两根α和β，且满足6263ααββ-⋅+=, (1)试用n a 表示1n a +；(2)求证:数列2{}3n a -是等比数列； (3)当176a =时，求数列{}n a 的通项公式．17．已知23123()3f x a x a x a x =+++…n n a x +，且123,,,a a a …,n a 组成等差数列(n 为偶数)，又2(1),(1)f n f n =-=，比较1()2f 与3的大小．18．已知数列{}n a 中的相邻两项212,k k a a -是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++⋅= 的两个根，且212k k a a -≤(1,2,3,k =…)．(1)求1357,,,a a a a 及2(4)n a n ≥(不必证明)； (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S ．19．已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为()62f x x '=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()N n n S n *∈均在函数()y f x =的图象上． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有N n *∈都成立的最小正整数m ．20．已知数列{}n a 满足*111,21()N n n a a a n +==+∈, (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n a 满足12111*444(1)()N n n b b b b n a n ---=+∈ (n ∈N *),证明: {}n b 是等差数列．11.数列的综合应用海州高级中学 乔健 潘莉要求：在等差、等比数列的基本概念，通项公式和前n 项和公式及其应用的前提下，灵活运用数列知识，解决有关数列的综合问题，培养观察能力、化归能力和解决实际问题的能力. 1．数列2{2293}n n -++中的最大项的值是_108 __．2．已知一个数列的通项为*sin()()2N n n a n πα=+∈，再构造一个新数列123456,,,a a a a a a ，则这个数列的前n 项和sin22n α-．3．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为-2 ．4．在如下表格中，每格填上一个数字后，使每一横行 成等差数列，每一纵列成等比数列，则a b c ++的值 为 98． 解:131,,,284a b c ===从而98a b c ++=. 5．设数列{a n }的前n 项和为n S ，点(,)(*)N n Sn n n∈均在函数y =3x -2的图象上．则数列{a n }的通项公式为65(*)N n a n n =-∈． 解:(,)n S n n 在32y x =-的图象上,故32,(32)n n Sn S n n n=-=-,从而求出6 5.n a n =- 6．在圆225x y x +=内，过点53(,)22有*()N n n ∈条弦，它们的长构成等差数列，若1a 为过该点最短弦的长,n a 为过该点最长弦的长,公差11(,)53d ∈，那么n 的值是11,12,13,14,15．解:22225255()24x y x x y +=⇒-+=⇒ 圆心5(0)C ，,半径5,2R =故与PC 垂直的弦是最短弦，所以12a =， 而过P 、C 的弦是最长弦，所以25,n a R ==由等差数列13(1)52(1)1n a a n d n d d n =+-⇒=+-⇒=-，11()1016,*,111213141553d n n N n ∈⇒<<∈=，因所以、、、、．变式:椭圆22143x y +=上有n 不同的点12,,,n P P P ，椭圆的右焦点为F，数列{}n FP 是公差大于11000的等差数列，则n 的最大值为 2000 . 解：椭圆2212,1,43x y a b c +=⇒===因为n P 在椭圆上，13,n a c FP a c =-≤≤+=故由题意可得2131(1)200111000n d d d n n =+-⇒=><-，因，故，*2000.N n n ∈=因，所以 7．2()2xf x x =+，11x =，1(1)n n x f x -=+ *(2,)N n n ≥∈,则234x x x 、、分别为_1，1，1，猜想n x =__ 1 _．8．在△ABC 中，tan A 是以－4为第3项，4为第7项的等差数列的公差，tan B 是以13为第3项，9为第6项的等比数列的公比，则这个三角形是 锐角三角形 ． 解：由题意得444tan tan 20A A =-+⇒=>，319tan tan 303B B =⇒=>tan tan tan tan()10,1tan tan A BC A B A B+=-+=-=>-故 ABC ∆是锐角三角形．9．设两个方程2210,10x ax x bx -+=-+=的四个根组成以2为公比的等比数列，则ab =274． 解：设210x ax -+=方程的两根为12,x x ，210x bx -+=的两根为34,,x x则12121x x a x x +=⎧⎨=⎩，3434,1x x b x x +=⎧⎨=⎩不妨设1342,,,x x x x 成等比数列，则3221112,8x x x =⋅⇒=故21234127()()544ab x x x x x =++==． 变式:若x 的方程20x x a -+=和20()x x b a b -+=≠的四个根可组成首项为14的等差数列，则b 的值为35314416或. 10．编辑一个运算程序：1&12,&,&(1)3,(*)N m n k m n k m n k ==+=+∈、、，1&2004的输出结果为 6011 ．11．小正方形按照下图中的规律排列：每小图中的小正方形的个数就构成一个数列{}n a ，有以下结论： ①515a =；②数列{}n a 是一个等差数列；③数列{}n a 是一个等比数列；④数列的递推公式为:1n n a a n -=+，(*)N n ∈其中正确的命题序号为 (1)(4) ．12．一列火车自A 城驶往B 城，沿途有n 个车站（其中包括起点站A 和终点站B ），车上有一节邮政车厢，每停靠一站，要卸下前面各站发往该站的邮件一袋，同时又要装上该站发往后面各站的邮件一袋，已知火车从第k 站出发时，邮政车厢内共有邮袋(1,2,k a k =…,n )个，则数列k a 与1(2)k a k n -≤≤的关系为112k k a a n k --=+-．解：1(1)k k a k n k a ---+-=13．已知函数2()31f x x bx =++是偶函数，()5g x x c =+是奇函数，正数数列{}n a 满足11a =，211()()1n n n n n f a a g a a a +++-+=，求数列{}n a 的通项公式为12()(*)3N n n a n -=∈．()f x 是偶函数，20()31;()b f x x g x ⇒=⇒=+是奇函数0()5c g x x ⇒=⇒=，2221111()()13()15()1n n n n n n n n n n f a a g a a a a a a a a +++++-+=⇒++-+=[]11112()3()503()53n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++++⇒++-=⇒+=⇒=，{}n a ⇒是等比数列 12()(*)3N n n a n -⇒=∈．14．已知{}n a 是递增数列，且对任意*N n ∈都有2n a n n λ=+恒成立，则实数λ的取值范围是[3,)-+∞．解：数列{}n a 是递增数列，且2n a n n λ=+，则3, 3.22λλ-≤≥-故 二、解答题15. 已知,,αβγ成公比为2的等比数列,其中[]0,2απ∈，且sin ,sin ,sin αβγ也成等比数列，求,,αβγ的值.解:由sin ,sin ,sin αβγ成等比数列2sin sin sin βαγ⇒=⋅,又,,αβγ成等比数列2sin 2sin sin 4cos cos2cos 1αααααα⇒=⋅⇒=⇒=或12-又[]24020233ππαπαπ∈⇒=，（舍）或或或（舍）2484816.333333ππππππαβγαβγ=⇒===⇒==，；，16. 设二次方程2110(N)n n a x a x n +-+=∈有两根α和β，且满足6263ααββ-⋅+=, (1)试用n a 表示1n a +；(2)求证:数列2{}3n a -是等比数列；(3)当176a =时，求数列{}n a 的通项公式. 解:(1)由题意得，11n n n a a a αβαβ+⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入条件得，11216323n n n n n a a a a a ++-=⇒=+； (2)由(1)可知，11221213()()232323n n n n a a a a ++--=-⇒=-， 故数列23n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；(3)由(2)可得，1122112()()()33223n n n n a a a --=-⋅⇒=+.17.已知23123()3nn f x a x a x a x a x =++++，且123,,,,n a a a a 组成等差数列(n 为偶数)，又2(1),(1)f n f n =-=，比较1()2f 与3的大小.思路分析：先用题设条件求出{a n }的公差d 和首项a 1，获得{a n }的通项公式，再求出表达式，进而求出1()2f 的值即可作出比较．解：设{}n a 的首项为a 1,公差为d ，由2(1)f n =，2123,n a a a a n ++++=21(1),2n n na d n -+=即10,22nd da n +--=(1):f n -=由可得 1234n a a a a a n -+-+-+=，1,2 1.a a n ==-即故23()35(21)n f x x x x n x =++++-，由错位相减法得111123()122()(21)()332222n n n n f n -+=+---=-<． 18. 已知数列{}n a 中的相邻两项212,k k a a -是关于x 的方程2(32)320k k x k x k -++⋅= 的两个根，且212k k a a -≤(1,2,3,k =…)．(1)求1357,,,a a a a 及2(4)n a n ≥(不必证明)； (2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S .解：（1）方程2(32)320k k x k x k -++⋅=的两根为123,2k x k x ==， 当k =1时，123,2x x ==，所以12a =， 当k =2时，126,4x x ==，所以34a =， 当k =3时，129,8x x ==，所以58a =， 当k =４时，1212,16x x ==，所以712a =， 因为当n ≥4时， 23n n >,所以22(4)n n a n =≥(2) 212n S a a =++…+2(36n a =++…+3n)+ (24++…+21332)222nn n n++=+-. 19. 已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()N n n S n *∈均在函数()y f x =的图象上． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设13n n n b a a +=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有N n *∈都成立的最小正整数m .解:(1)设这二次函数f (x )＝ax 2+bx (a ≠0) ,则 f`(x )=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得a=3 , b=－2, 所以 f (x )＝3x 2－2x.又因为点(,)()N n n S n *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－231)2(1)n n ⎡⎤---⎣⎦（＝6n －5.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5（N n *∈） (2)由(1)得知13n n n b a a +=＝[]3(65)6(1)5n n ---＝111()26561n n --+， 故T n ＝∑=ni i b 1＝1211111(1)()...()77136561n n ⎡⎤-+-++-⎢⎥-+⎣⎦＝12（1－161n +）.因此，要使12(1－161n +)<20m （N n *∈）成立的m,必须且仅须满足12≤20m ，即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.20. 已知数列{}n a 满足*111,21()N n n a a a n +==+∈, (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n a 满足12111*444(1)()N n n b b b b n a n ---=+∈ (n ∈N *),证明:{}n b 是等差数列.解：(1) *121(),N n n a a n +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列．12.n n a ∴+= 即 21(*)N n n a n =-∈.(2)证法一：1211144...4(1).n n k k k k n a ---=+ 12(...)42.n n k k k nnk +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+=21(1)20.n n nb n b ++-++=③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120,n n n b b b ++-+= *211(),N n n n n b b b b n +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列．证法二：同证法一，得1(1)20n n n b nb +--+=，令1,n =得1 2.b = 设22(),R b d d =+∈下面用数学归纳法证明 2(1).n b n d =+- （1）当1,2n =时，等式成立．（2）假设当(2)n k k =≥时，2(1),k b k d =+-那么122[2(1)]2[(1)1].1111k k k k b b k d k d k k k k +=-=+--=++----- 这就是说，当1n k =+时，等式也成立． 根据（1）和（2），可知2(1)n b n d =+-对任何*N n ∈都成立．{}1,n n n b b d b +-=∴是等差数列.。

江苏省连云港市2008届高三二轮复习强化训练3．函数性质新海高级中学 孟凡才 蒋新军一、选择题： 1．已知函数xx f -=11)(的定义域为M ，)1ln()(x x g +=的定义域为N ，则=⋂N M． 2．若函数()f x =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 ．3．在ABC ∆中，BC =2，AB +AC =3，以AB 的长x 为自变量，BC 边上的中线AD 长y 为函数值，则函数)(x f y =的定义域是 ．4．已知函数2|()||()|()()21,()1,()()|()|()x f x f x g x f x g x x F x g x f x g x ≥⎧=-=-=⎨-<⎩，则F (x )的最小值为 ．5．若函数22y x x =-在区间)](,[b a b a <上的值域为[-1,3],则满足题意的a,b 构成的点(a,b )所在线段的方程是 ．6．若函数()f x =21,12,x x Ax x B -∈⎧⎨-∈⎩，其中集合A,B 是实数R 的子集，若x A B φ∈⋂≠，则x = ．7．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数,则a 的取值范围是 ．8．若函数213ln()1xy x x+=+-的最大值与最小值分别为M,m ，则 ． 9．若函数f (x )满足(2)()f x f x +=，()()f x f x -=，且当(0,1)x ∈时,()21x f x =-，则362(log )f = ．10．已知偶函数y =f (x )在区间[-1,0]上单调递减,且满足f (1-x )+f (1+x )=0给出下列判断：① f (5)=0 ；②函数f (x )在[1,2]上是减函数；③f (x )的图象关于直线x =1对称；④函数y=f (x )在x =0处取得最小值．其中正确的序号是 ．11．若实数x 满足22222233x x x x ---->-，则 ．12．()f x 是R 上的偶函数且()0f x <的解集为(3,3)-，()g x 是R 上奇函数且()0g x <的解集为(4,2)--，则()()0f x g x ⋅<的解集为 ．13．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-对称，且满足3()()2f x f x =-+，又(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++= ．14．设)(x f 定义域为D ，若满足：（1）()f x 在D 内是单调函数；（2）存在[,]a b D ⊆使()f x 在],[b a x ∈值域为],[b a ,则称)(x f 为D上的闭函数．当()2f x k =k 的范围是17(,2]8--． 二、解答题：15．(1)若函数21242y x x =-+的定义域、值域都是闭区间[2,2]b ,求b 的值；（2）定义两种运算：a b a b ⊕=*=，试判断2()(2)2xf x x ⊕=*-的奇偶性；（3）求函数22(1)()1x f x x +=+的单调递增区间．16．定义域均为R 的奇函数f (x )与偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝10x ． （Ⅰ）求函数f (x )与g (x )的解析式； （II ）证明：g (x 1)＋g (x 2)≥2g (x 1＋x 22)；(III)试用f (x 1)，f (x 2)，g (x 1)，g (x 2)表示f (x 1－x 2)与g (x 1＋x 2)．17．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =． 在此基础上有函数(){}(f x x x x =-∈R)．（1）求1(4),(),(8.3)2f f f --的值；（2）对于函数()f x ，现给出如下一些判断：① 函数()y f x =是偶函数；② 函数()y f x =是周期函数； ③ 函数()y f x =在区间11(]22-，上单调递增；④ 函数()y f x =的图像关于直线1()2x k k =+∈Z 对称；请你将以上四个判断中正确的结论全部选择出来，并加以证明；（3）若206207x -<≤，试求方程9()23f x =的所有解的和．18．设函数()f x x x a b =-+．（1）求证：()f x 为奇函数的充要条件是022=+b a ；（2）设常数b ＜322-，且对任意x []1,0∈，()f x ＜0恒成立，求实数a 的取值范围．19．已知函数f (x )=x 3－3ax (a ∈R )． (I)当a =l 时，求f (x )的极小值；(Ⅱ)若直线x +y +m =0对任意的m ∈R 都不是曲线y =f (x )的切线，求a 的取值范围； (Ⅲ)设g (x )=|f (x )|，x ∈[－l ，1]，求g (x )的最大值F (a )的解析式．20．设函数y =f (x )定义域为R ,当0x <时,()1f x >,且对于任意的,x y ∈R 都有()()()f x y f x f y +=成立,数列{}n a 满足1(0)a f =且11()(2)n n f a f a +=--．(1) 求f (0)的值,并证明函数y =f (x )在R 上是减函数；(2) 求数列{}n a 的通项公式； (3) 是否存在正数k ,使121111(1)(1)(1)n a a a ++++≥n *∈N 都成立,若存在,求出k 的最大值,并证明,否则说明理由．3．函数性质新海高级中学 孟凡才 蒋新军1．已知函数()f x 的定义域为M ，()ln(1)g x x =+的定义域为N ，则M N ⋂={}|11x x -<<．2．若函数()f x =的定义域为R ，则实数a 的取值范围 [0,1] ．3．在ABC ∆中，BC =2，AB+AC =3，以AB 的长x 为自变量,BC 边上的中线AD 长y 为函数值，则函数)(x f y =的定义域是15[,]224．已知函数2|()||()|()()21,()1,()()|()|()x f x f x g x f x g x x F x g x f x g x ≥⎧=-=-=⎨-<⎩则F (x )的最小值为 1-．5．若函数22y x x =-在区间[,]()a b a b <上的值域为[-1,3],则满足题意的a,b 构成的点(a,b )所在线段的方程是3(11)y x =-≤≤或1(13)x y =-≤≤．6．若函数=)(x f 21,12,x x A x x B-∈⎨-∈⎩其中集合A,B 是实数R 的子集,若x A B φ∈⋂≠,则x =12．7．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数,则a 的取值范围是11[,)738．若函数213ln()1xy x x+=+-的最大值与最小值分别为M,m ，则M+m = 6 ．9．若函数f (x )满足(2)(),()()f x f x f x f x +=-=且,当(0,1)x ∈时,362()21(log )x f x f =-⇒=79． 10．已知偶函数y =f (x )在区间[-1,0]上单调递减,且满足f (1-x )+f (1+x )=0给出下列判断：①f (5)=0；②函数f (x )在[1,2]上是减函数；③f (x )的图象关于直线x =1对称；④函数y =f (x )在x = 0处取得最小值．其中正确的序号是 ① ④ ．11．若实数x 满足22222233x x x x ---->-,则∈x (,2)(1,)-∞-⋃+∞．12．()R f x 是上的偶函数，且()0f x <的解集为(3,3)-，()g x 是R 上奇函数且()0g x <的解集为(4,2)--，则()()0f x g x ⋅<的解集为(4,3)(2,3)--⋃．13．已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3(,0)4-对称，且满足3()()2f x f x =-+，又(1)1f -=，(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++= 1 ．14．设)(x f 定义域为D ，若满足（1）)(x f 在D 内是单调函数（2）存在D b a ⊆],[使)(x f 在],[b a x ∈值域为],[b a ,则称)(x f 为D 上的闭函数.当()2f x k =+k 的范围是17(,2]8--． 二、解答题 15．(1)若函数21242y x x =-+的定义域、值域都是闭区间[2,2]b ，求b 的值．（2）定义两种运算：a b a b ⊕*试判断2()(2)2xf x x ⊕=*-的奇偶性；（3）求函数22(1)()1x f x x +=+的单调递增区间．解：（1）2；（2）奇函数；（3）（-1，1）．16．定义域均为R 的奇函数f (x )与偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝10x . （Ⅰ）求函数f (x )与g (x )的解析式； （II ）证明：g (x 1)＋g (x 2)≥2g (x 1＋x 22)；(III)试用f (x 1)，f (x 2)，g (x 1)，g (x 2)表示f (x 1－x 2)与g (x 1＋x 2)． 思路点拨: (1)利用函数的奇偶性建立函数方程组,解出)(),(x g x f (2)从形式上联想基本不等式或利用比较法可证 (3)利用(I)的结论并加以类比可得结果解：（Ⅰ）解：∵f (x )＋g (x )＝10x ①，∴f (－x )＋g (－x )＝10－x ，∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，∴－f (x )＋g (x )＝10－x ②，由①，②解得f (x )＝12(10x －110x )，g (x )＝12(10x ＋110x )．（II ）解法一：g (x 1)＋g (x 2)＝12(10x 1＋110x 1)＋12(10x 2＋110x 2)＝12(10x 1＋10x2)＋12(110x 1＋110x 2)≥12⋅210x 1×10x2＋12×2110x 1×110x 2＝10x 1＋x 22＋110x 1＋x22＝2g (x 1＋x 22)． 解法二：[g (x 1)＋g (x 2)]－2g (x 1＋x 22)＝12(10x 1＋110x 1)＋12(10x 2＋110x 2)－(10x 1＋x 22＋110x 1＋x 2)＝(10x 1＋x 2＋1)(10x 1＋10x 2)2⋅10x 1＋x2－10x 1＋x 2＋110x 1＋x 22＝(10x 1＋x 2＋1)(10x 1＋10x 2)－2⋅(10x 1＋x 2＋1)⋅10x 1＋x 222⋅10x 1＋x 2⋅＝(10x 1＋x 2＋1)[10x 1＋10x 2－2⋅⋅10x 1＋x 22]2⋅10x 1＋x 2≥(10x 1＋x 2＋1)[210x 1×10x 2－2⋅⋅10x 1＋x 22]2⋅10x 1＋x 2＝0．（III ）f (x 1－x 2)＝f (x 1)g (x 2)－g (x 1)f (x 2)，g (x 1＋x 2)＝g (x 1)g (x 2)+f (x 1)f (x 2)．回顾反思：任一函数均可表示为一个奇函数与一个偶函数的和17．给出定义：若1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =. 在此基础上有函数(){}(f x x x x =-∈R).（1）求1(4),(),(8.3)2f f f --的值；（2）对于函数()f x ，现给出如下一些判断：① 函数()y f x =是偶函数；② 函数()y f x =是周期函数； ③ 函数()y f x =在区间11(]22-，上单调递增；④ 函数()y f x =的图像关于直线1()2Z x k k =+∈对称．请你将以上四个判断中正确的结论全部选择出来，并加以证明；（3）若206207x -<≤，试求方程9()23f x =的所有解的和.思路点拨:(1) 准确理解定义并据定义进行运算 (2)利用定义逐一讨论函数的性质 (3)画出函数的简图,利用对称性可得结论 解(1)由题设得:11(4)0,(),(8,3)0.322f f f =-=-=； (2)正确的判断为①②④证明(略)(3)由周期为1和偶函数性质知:方程9()23f x =的所有解的和为413． 反思回顾:对于函数信息题,准确把握题意是解决问题的关键 18．设函数()f x x x a b =-+（1）求证：()f x 为奇函数的充要条件是022=+b a（2）设常数b ＜322-，且对任意x []1,0∈，()f x ＜0恒成立，求实数a 的取值范围 思路点拨:(1)分清充分性和必要性加以证明；(2)将参数a 分离出来，转化为函数的最值来处理．解：（1）（充分性） 若022=+b a ，∴a=b =0，∴()||f x x x =对任意的R x ∈都有()()0f x f x -+=， ∴()f x 为奇函数，故充分性成立．（必要性）若()f x 为奇函数,则对任意的R x ∈都有()()0f x f x -+=恒成立，即0=+-++---b a x x b a x x ，令x =0得b =0，令x =a 得a =0，∴ 022=+b a （2）由b ＜322-＜0， 当x =0时a 取任意实数不等式恒成立．当0＜x ≤1时,()f x ＜0恒成立，也即x b x +＜a ＜xbx -恒成立． 令()bg x x x =+在0＜x ≤1上单调递增，∴a ＞max ()(1)1g x g b ==+．令()bh x x x=-，则()h x 在上单调递减，)+∞单调递增1当b ＜1-时，()bh x x x=-在0＜x ≤1上单调递减；∴a ＜min ()(1)1h x h b ==-，∴ b +1＜a ＜b -1．2当1-≤b ＜322-时 ()bh x x x=-≥b -2．∴ a ＜min ()h x =b +1＜ a ＜b -2．19．已知函数f (x )=x 3－3ax (a ∈R )．(I)当a =l 时，求f (x )的极小值；(Ⅱ)若直线x +y +m =0对任意的m ∈R 都不是曲线y =f (x )的切线，求a 的取值范围； (Ⅲ)设g (x )=|f (x )|，x ∈[－l ，1]，求g (x )的最大值F (a )的解析式．思路点拨：(1)按照求函数极值的步骤直接求解; (2)利用导数的几何意义求解； (3)利用函数的性质,将g(x)的最大值表示出来 然后讨论求解．解（I ）∵当a =1时2()33f x x '=-，令()f x '=0，得x =0或x =1当(0,1)x ∈时()0f x '<，当(,0)(1,)x ∈-∞+∞时()0f x '>．∴()f x 在(0,1)上单调递减，在(,0)[1,)-∞+∞上单调递增， ∴()f x 的极小值为(1)f =-2.（II ）∵2()33f x x a '=-3a ≥-，∴要使直线x y m ++=0对任意的m ∈R 总不是曲线y =()f x 的切线，当且仅当-1<-3a,∴13a <. (III)因3()()3g x f x x ax ==-在[-1,1]上为偶函数,故只求在 [0,1]上最大值， ① 当0a ≤时，()f x '0≥，()f x 在[]0,1上单调递增且(0)0f =, ∴()()()g x f x f x ==，∴()(1)13F a f a ==-. ②当0a >时，2()333(f x x a x x '=-=．i.1，即1a ≥时()()()g x f x f x ==-，()f x -在[]0,1上单调递增， 此时()(1)31F a f a =-=-ii.当01<<，即01a <<时，()()g x f x =在上单调递减，在上单调 递增.10 当(1)130f a =-≤即113a ≤<时，()()()g x f x f x ==-在上单调递增，在⎤⎦上单调递减，故()2F a f =-=20当(1)130f a =->即103a <<时，（ⅰ）当(1)13f f a -≤=-即104a <≤时， ()(1)13F a f a ==-； （ⅱ）当(1)13f f a ->=-即1143a <<时，()2F a f =-=综上113,(),41()2,(1),431,[1,).a a F a a a ⎧-≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪-+∞⎪⎪⎩反思回顾:(1)掌握求解函数的极 (最) 值的方法和步骤是解决问题的突破口 (2)确定引起讨论的原因,找出分类的标准是解决问题的关键 变式:已知t ∈R ，函数31().2f x x tx =-+（Ⅰ）当t=1时，求函数)(x f y =在区间[0，2]的最值； （Ⅱ）若)(x f 在区间[－2，2]上是单调函数，求t 的取值范围；（Ⅲ））是否存在常数t ，使得任意[2,2]|()|6x f x ∈-≤都有恒成立，若存在，请求出t ，若不存在请说明理由.解：(Ⅰ)3213(),()1022f x x x f x x '=-+=-+=，x ∴=当]2,0[∈x时，max min ()()(2)2f x f f x f ====-， （Ⅱ）2233()0,22f x x t t x '=-+≥≥得6,()t f x ∴≥是单调增函数；由2233()0,22f x x t t x '=-+≤≤得0,()t f x ∴≤是单调减函数；（Ⅲ）|)(|x f 是偶函数，对任意[2,2]x ∈-都有|()|6f x ≤成立，⇔ 对任意[0,2]x ∈都有6|)(|≤x f 成立1°由（Ⅱ）知当0≤t 或6≥t 时，)(x f 是定义域上的单调函数， 对任意[0,2]x ∈都有6|)(|≤x f 成立|(2)|6|24|615f t t ⇔≤⇔-≤⇔-≤≤01≤≤-∴t 时，对任意[2,2]x ∈-都有|()|6f x ≤成立．2°当06t <<时，3211()(2)22f x tx x x x t =-=--，由23()02f x x t '=-+=，得2x <．()f x ∴在上是单调增函数在上是单调减函数， ∴对任意[0,2]x ∈都有|()|6f x ≤成立1515|(2)|6066t t f t f -≤≤-≤≤≤⎧⎧⎧⎪⎪⇔⇔⇔⎨⎨<≤≤≤⎪⎪⎩⎩0t ∴<≤[2,2]x ∈-都有|()|6f x ≤成立．综上可知，当1t -≤≤[2,2]x ∈-都有|()|6f x ≤成立．20．设函数y =f (x )定义域为R ,当0<x 时,1)(>x f ,且对于任意的,x y ∈R 都有)()()(y f x f y x f =+成立,数列{}n a 满足)0(1f a =且11()(2)n n f a f a +=--．(4) 求f (0)的值,并证明函数y =f (x )在R 上是减函数； (5) 求数列{}n a 的通项公式；(6) 是否存在正数k ,使121111(1)(1)(1)n a a a ++++≥n *∈N 都成立,若存在, 求出k 的最大值,并证明；否则，请说明理由．思路点拨:(1)解决抽象函数的有关问题常采用“赋值法”或“寻求背景函数”； （2）利用函数的单调性得出数列的递推关系，进而求出通项公式； （3）构造函数，分离参数求出k 的值．解(1)由题意得:(1)(1)(0)(0)10,()1f f f f x f x -=-⎫⇒=⎬<>⎭．又当0,()1;0,()()(0)()(0,1)x f x x f x f x f f x <>->-=⇒-∈故,()0x f x ∈>R ． 设1212,,x x x x ∈<R 则11221222()()()()()f x f x x x f x x f x f x =-+=->． 所以函数f (x )在R 上减函数．(2)由11()(2)n n f a f a +=--得11()(2)1(2)(0)n n n n f a f a f a a f ++--=⇒--=又函数f(x)在R 上减函数,所以21=-+n n a a ,易得数列{}n a 的通项公式为12-=n a n(3)若存在正数k,使121111(1)(1)(1)n a aa ++++≥记111(1)(1)(1)(1)())1()N a g n g n n g n*++++=∈⇒=>F (n )单调递增, F (n )的最小值为F 则满足题意的k ． 反思回顾：（1）抽象函数的背景函数常见形式有：①()()()f x y f x f y +=其背景函数为()(0,1)x f x a a a =>≠； ②()()()f xy f x f y =+其背景函数为()log (0,1)x f x a a a =>≠； ③()()()f x y f x f y +=+其背景函数为kx x f =)(； ④()2()()22x y x yf x y f f +-+=其背景函数为x x f cos )(=． （2）恒成立问题的常见解决方法有：①转化为求函数的最值；②分离参数法；③利用基本不等式或者线性规划；④数形结合法等． 变式一:已知()f x 定义在R 上的函数，对于任意的实数a ，b 都有()()()f ab af b bf a =+，且(2)1f =（1）求1()2f 的值;(2)求(2)n f -的解析式（n *∈N ）.解：（1）令a=b =1，求得(1)0f =, 又 111(1)(2)2()(2)222f f f f =⨯=+∴11()24f =- （2） 111111(2)(22)2(2)2(2)n n n n f f f f -------==+ ∴ 1112(2)2(2)2n n n n f f ----=-令 2(2)n nn b f -= ， ∴112---=n n b b∴ 数列 {}n b 是以公差d =21- 1112()22b f ==-的等差数列∴ 11(1)()2n b b n =+-- ,∴2n b n -=,∴1(2)2nn n f -+=-． 变式二:设函数32()(,,)32x af x x bx c a b c =+++∈R ,若(2),(1),(0)a f b f c f '''===．(1)求函数f (x )的解析式；(2)设1()()2F n f n ='+,求证:11(1)(2)(3)()18F F F F n ++++<()n *∈N ；(3)设关于x 的方程0)(='x f 的两个实数根为βα,且12αβ<≤<,试问:是否存在正整 数m ,使得1|()|4f m '≤?说明理由解(1)由题设得(2)421(1)13(0)3a f ab a b f a b bc f b c '⎧==++=-⎧⎪⎪'==++⇒=-⎨⎨⎪⎪'===-⎩⎩故函数f(x)的解析式为321()3332x f x x x =---(2)由211()()21F n f n n n =='+--， 易知n=1,2时11()18F n <成立．当3≥n 时, 22111111()()12(1)(2)321F n n n n n n n n n =<==-----+--+ 11111111(1)(2)(3)()(1)(2)[(1)()()()]34253621F F F F n F F n n ++++<++-+-+-++--+=11111111(1)1[1]3231118n n n -++++---<-+(3)()()()f x x x αβ'=--,(1)(2)(1)(1)(2)(2)(1)(2)(1)(2)f f αβαβααββ''=----=----22(1)(2)(1)(2)1[][]2216ααββ-+--+-≤=从而有10(1)4f '<≤或10(2)4f '<≤,即存在0n =1或2,使01|()|4f n '≤．。

江苏省连云港市2008届高三二轮复习强化训练28．平面向量赣榆海头高级中学 徐江 吉庆敏一、填空题:1．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且20OA OB OC ++=，那么k =，则k = ．2．已知向量(2,4)a =，(1,1)b =．若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值是 ．3．平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OA 与OB 夹角为120°,OA 与OC 夹角为30°且||||1,||2OA OB OC ===,(,OC OA OB λμλμ=+∈R ），则λ+μ的值为 ． 4．在四边形ABCD 中，||||||4,||||||||4AB BD DC AB BD BD DC ++=+=，AB BD =0BD DC =，则()AB DC AC +的值为 ．5．已知向量a = (sin ,cos θθ), b ，则2a b -的最大值是 ．6．有下列命题：①两个相等的向量，若起点相同，则终点一定相同；②若a =b ,b =c ，则a=c ③若a ∥b ,b ∥c ，则a ∥c ；④若=，则四边形ABCD 是平行四边形．以上命题中，真命题有 （填上所有真命题的序号）7．已知△ABC 内一点P 满足PA PB PC ++=0，则P 为△ABC 的 心．8．设(4,3),a =a 在b ，b 在x 轴上的投影为2，且||b ≤14，则b 为 ． 9．已知a,b 是非零向量,且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是 ．10．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ= ． 11．设F 为抛物线24y x =的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0,则||||||FA FB FC ++= ．12．在△ABC 中，∠BAC =120°，AB =2，AC =1，D 是边BC 上一点，DC =2BD ，则AD BC = ．13．设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足 1()2OM OP OF =+，则||OM = ．14．设A (a ，1)，B (2，b )，C (4，5)为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在OC 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 .二、解答题:15．已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 中点，F 是AC 上一点，且AF =13AC ．求证：D ， E ，F 三点共线．16．已知△ABC 的面积为3，且满足06AB AC ≤≤．设AB 和AC 的夹角为θ． ⑴求θ的取值范围；⑵求函数2()2sin ()4f πθθθ=+的最大值与最小值．ABCDF17．已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示。

江苏省连云港市2008届高三二轮复习强化训练24.圆的标准方程与一般方程赣榆高级中学 王立军 关晓华一、填空题:1．圆22(2)(3)2x y -++=的圆心和半径分别是_______．2．方程22220x y x y k +-++=表示一个圆，则实数k 适合的条件是_____.3．已知方程22242(3)2(14)1690x y t x t y t +-++-++=表示一个圆，该圆半径r 的取值范围_________．4．已知点A 是圆222460x y ax y +-+-=上任意一点，点A 关于直线210x y ++=的对称点仍然在此圆上，则a 的值为___________．5．将圆22:240C x y x y ++-=按向量(1,2)a =-平移后，得到圆C '，则圆C '的半径和圆心坐标分别为___________．6．已知：1122(,),(,)A x y B x y 是圆222x y +=上两点，O 为坐标原点，且120AOB ∠=，则1212x x y y +=__________．7．若由不等式组00x my n x y ≤+⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩(0)n >确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m 的值为____ ___．8．过直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的交点的圆，并且面积最小，满足此条件的圆的方程为____ __．9．已知平面上的点{}22(,)|(2cos )(2sin )16()P x y x y θθθ∈-+-=∈R ，则满足条件的点P 所组成的图形的面积为_____ __．10．已知点(03)P ，为圆2282120x y x y +--+=内一点，求过P 的最短的弦所在的直线方程为_________．11．已知半径为1的动圆与圆22(5)(7)16x y -++=相切，则动圆圆心的轨迹方程是___________． 12．在圆225x y x +=内过点53(,)22P 有n 条弦，其长度成等差数列，过P 点的最小弦长为数列的首项1a ，最大弦长为数列的末项n a ，若公差11[,]63d ∈，那么n 的取值可以是__________．13．11(,)A x y 是圆22(5)(7)16x y -++=的动点，22(,)B x y 是22(2)(3)1x y -+-=的动点，则||AB 的最小值是_________．14．方程(0x y +-所表示的图形是____ ___．二、解答题15．已知一圆经过点(2,3)A -和(2,5)B --，且圆心C 在直线l ：230x y --=上，求此圆的标准方程．16．已知动点M 到点(2,0)A 的距离是它到点(8,0)B 的距离的一半．求：（1）动点M 的轨迹方程；（2）若N 为线段AM 的中点，试求点N 的轨迹．17．讨论两圆221:16161632610C x y x y +++-=与2221:(sin )(1)16C x y α-+-=的位置关系．（其中[0,2)απ∈）18．已知抛物线24x y =，作直线2120x y -+=与抛物线交于A B 、两点如右图所示，过A B 、两点的圆与抛物线在A 点处有相同的切线，求圆的方程．19．如图所示，12l l 、是通过城市开发区中心O 的两条南北和东西走向的街道，连接M N 、两地之间的铁路线是圆心在2l 上的一段圆弧．若点M 在点O 正北方向，且3km MO =，点N 到12l l 、的距离分别为4km,5km ．（1）建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程．（2）若该城市的某中学拟在点O 正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O 的距离大于4km，求改校址距点O 的最近距离．（校址视为一个点）20．在平面直角坐标系xOy，已知圆心在第二象限、半径为C 与直线y=x 相切于坐标原点O ．椭圆22219x y a +=与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． （1）求圆C 的方程；（2）圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使||||QF OF =（F 为椭圆右焦点），若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．24.圆的标准方程与一般方程赣榆高级中学 王立军 关晓华一、填空题:1．圆22(2)(3)2x y -++=的圆心和半径分别是_______．解：本题主要考查圆的标准方程222()()(0)x a y b r r -+-=>其中圆心为(,)a b ，半径为r ，所以此圆心和半径分别为)3,2(-,2．2．方程22220x y x y k +-++=表示一个圆，则实数k 适合的条件是_____.解答：此问题考查圆的一般方程，即二元二次方程22x y Dx Ey++++圆的充要条件为2240D E F +->，222(2)140k -+->，故范k 围是k << 3．已知方程22242(3)2(14)1690x y t x t y t +-++-++=表示一个圆，该圆半径r 的取值范围_________．解答：本题在考查二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=表示的曲线为圆的充要条件为2240D E F +->的同时，也建立了半径2r 关于t 的函数2()r f t =＝222(3)(14)t t ++-416t -9-2761t t =-++(其中有2r 0>)，所以2()r f t =316()77f ≤=，故有r 的范围为0r <4．已知点A 是圆222460x y ax y +-+-=上任意一点，点A 关于直线210x y ++=的对称点仍然在此圆上，则a 的值为___________．解答：考查圆关于此直线对称，因此只要圆心在直线上即可，故有3a =.【变式】圆22210x y x +--=关于直线230x y -+=对称的圆的方程是（ C ） A ．221(3)(2)2x y ++-=B ．221(3)(2)2x y -++=C ．22(3)(2)2x y ++-=D ．22(3)(2)2x y -++=5．将圆22:240C x y x y ++-=按向量(1,2)a =-平移后，得到圆C '，则圆C '的半径和圆心坐标分别为___________．解答：将圆22:240C x y x y ++-=化为将22(1)(2)5x y ++-=，将其按照向量平移只是圆心位置改变，而半径不变，所以平移后的圆心为(0,0)6．已知：1122(,),(,)A x y B x y 是圆222x y +=上两点，O 为坐标原点，且120AOB ∠=，则1212x x y y +=__________．解答：本题主要考查向量的数量积的两种不同形式的相互转化，从而是问题得到解决1212x x y y +=OA OB ＝cos 1OA OB AOB ⋅⋅∠==-．7．若由不等式组00x my n x y ≤+⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩(0)n >确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m 的值为____ ___．解答：本题考查平面区域以及三角形的外接圆，当外接圆的圆心在坐标轴上时边界直线应该满足的条件是斜率存在的两条直线相互垂直，进而从直线的斜率的关系可以确定，所以此直线的斜率为n =．8．过直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的交点的圆，并且面积最小，满足此条件的圆的方程为____ __．解答：本题考查直线和圆的相交弦问题，其中使得符合条件的圆的面积最小，则转化为此圆的半径或直径最小，即，所求的圆应该以相交弦的中点为圆心，相交弦长为直径的圆，故方 程为：221364()()555x y ++-=． 9．已知平面上的点{}22(,)|(2cos )(2sin )16()P x y x y θθθ∈-+-=∈R ，则满足条件的点P 所组成的图形的面积为_____ __．解答：本题考查动圆的圆心轨迹方程的同时，也考察了圆与圆的位置关系——内切，在二者都动的过程中，可以得到符合条件的P 点的轨迹是两个同心圆224x y +=和2236x y +=构成的圆环，所以其面积为32π．【变式】（上海理改编）已知圆的方程22(1)1x y +-=，P 为圆上任意一点（不包括原点）。

江苏省连云港市2008届高三二轮复习强化训练8．等差数列、等比数列的性质及应用（1）海州高级中学 叶建波 赵东辉一、填空题1．在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于= ． 2．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = ．3．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d 的取值范围是 ． 4．在等比数列}{n a 中，3a 和 5a 是二次方程 052=++kx x 的两个根，则642a a a的值为 ． 5．等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100,则n = ．6．等差数列{a n }的前n 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为_________7．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，77b a = ． 8．已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a = ．9．记数列}{n a 所有项的和为)1(S ，第二项及以后各项的和为)2(S ，第三项及以后各项的和为 ,)3(S ，第n 项及以后各项的和为)(n S ，若2)1(=S ，1)2(=S ，(3)1,2S =，()21,2n n S -=，则n a 等于 ．10．等差数列}{n a 共有21n +项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为______________．11．等差数列}{n a 中，0≠n a ，若1>m 且0121=+-+-m m m a a a ，2138m S -=，则m 的值为 ． 12．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和．已知6636,324,144(6)n n S S S n -===>,则n 等于 ． 13．已知函数)(x f 定义在正整数集上，且对于任意的正整数x ，都有(2)2(1)f x f x +=+()f x -，且(1)2,(3)6f f ==，则(2005)f =_____________．14．三个数c b a ,,成等比数列，且(0)a b c m m ++=>，则b 的取值范围是 ．二、解答题：15．已知数列}{n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥． （1）求32,a a ；（2）证明：312n n a -=．16．数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T ．17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为2n n S a b =⋅+，且31=a ． （1）求a ,b 的值及数列}{n a 的通项公式； （2）设nn a nb =，求数列}{n b 的前n 项和n T ．18．数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{}n b 满足121(lg lg lg )k k b a a a k=+++ *()N k ∈，（1）求数列{}n b 的前n 项和的最大值；（2）求数列{||}n b 的前n 项和n S '．19．数列{}n a 中，148,2a a ==且满足212n n n a a a ++=-(*N n ∈) ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设12||||||n n S a a a =+++，求n S ；⑶设n b =1(12)n n a -**12(),()N N n n n T b b b n ∈=+++∈，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有n T >32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．20．已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >，n b =*n ∈N ）， 且{}n b 是以q 为公比的等比数列． （I ）证明：22n n a a q +=；（II ）若2122n n n c a a -=+，证明：数列{}n c 是等比数列； （III ）求和：1234212111111n na a a a a a -++++++．8．等差数列、等比数列的性质及应用（1）海州高级中学 叶建波 赵东辉要求：理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差、等比数列的通项公式与前 n 项和公式，并能解决简单的实际问题. 二、填空题1．在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于= 42 ．2．已知数列的通项52n a n =-+，则其前n 项和n S = (51)2n n +-．d <38≤3 3．首项为－24的等差数列，从第10项开始为正，则公差d 的取值范围是8(,3]3．4．在等比数列}{n a 中，3a 和 5a 是二次方程 250x kx ++= 的两个根，则642a a a的值为±变1：已知方程22(2)(2)0x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为14的等差数列，则 m n -= 1/2变2：如果-1，a , b,c ,-9成等比数列，那么b= -3 ．解析：由等比数列的性质可得ac ＝（－1）×（－9）＝9，b ×b ＝9且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3．点评及反思：求等比中项时，要看清条件，从而正确确定等比中项的符号． 5．等差数列{a n }中，a 1=1,a 3+a 5=14，其前n 项和S n =100，则n = 10 ．6．等差数列{a n }的前n 项的和为30，前2m 项的和为100，求它的前3m 项的和为___210_____7．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，77b a = 8.5 ． 解法一：点拨 利用等差数列的求和公式1()2n n a a nS +=及等差数列的性质 “若2,,,N m p q m p q *=+∈，则2qp m a a a +=”解析：77b a =1131311313()13172()1322a a Ab b B +⨯==+⨯ 解法2： 点拨 利用“若{n a }为等差数列，那么bn an S n +=2”这个结论，根据条件 找出n a 和n b 的通项．解析：可设(745)n A kn n =+，(3)n B kn n =+，则1(1438)n n n a A A k n -=-=+， (22)n b k n =+，则77b a =(14738)17(272)2k k ⨯+=⨯+ 点评：两种解法想比较，显然解法一比较快捷，但适用范围则不如解法二.变1：已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+， 则=119b a 41/6 变2：已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为A n 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得 nna b 为整数的正整数n 的个数是 5个 ． 解：由上面的解法2可知n na b =(1438)127(22)1k n k n n +=+++，显然只需使121n +为正整数即可，故1,2,3,5,11n =，共5个．点评：对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握，根据具体的情况能够灵活应用． 反思：解法二中，若是填空题，比例常数k 可以直接设为1． 8．已知数列{}n a 对于任意*p q ∈N ，，有p q p q a a a ++=，若119a =，则36a = 4 ．9．记数列}{n a 所有项的和为)1(S ，第二项及以后各项的和为)2(S ，第三项及以后各项的和为,)3(S ，第n 项及以后各项的和为)(n S ，若2)1(=S ，1)2(=S ，(3)1,2S =，()21,2n n S -=，则n a 等于 21-n ．解：()(1)211111222n n n n n n a S S +---=-=-=． 10．等差数列}{n a 共有21n +项，其中奇数项之和为319，偶数项之和为290，则其中间项为___29__.解:依题意,中间项为1+n a ,于是有11(1)319290n n n a na +++=⎧⎨=⎩解得129n a +=.11．等差数列}{n a 中，0≠n a ，若1>m 且0121=+-+-m m m a a a ，2138m S -=，则m 的值为10 .解：由题设得m m m m a a a a 2112=+=+-，而0m a ≠，2m a ∴=，又2138m S -=，121()(21)2(21)382(21)22m m a a m a m m -+--∴===-，10m =．12．设n S 为等差数列}{n a 的前n 项和．已知6636,324,144(6)n n S S S n -===>,则n 等于 324 .解：661()6()36(324144)216n n n S S S a a -+-=+=+-=， 136n a a +=，1()3242n n n a a S +==． 13．已知函数)(x f 定义在正整数集上，且对于任意的正整数x ，都有(2)2(1)f x f x +=+()f x -，且(1)2,(3)6f f ==，则(2005)f =__4010__．解：由(2)()2(1)f x f x f x ++=+知函数*()()N f x x ∈当x 从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一个等差数列，(1),(3),,(2005)f f f 形成一个首项为2，公差为4的等差数列，(2005)2(10031)4401f =+-⨯=．14．三个数c b a ,,成等比数列，且(0)a b c m m ++=>，则b 的取值范围是[,0)(0,]3mm -⋃．解：设,b a c bq q ==，则有1,0,1b m b bq m b q q q b ++=≠∴++=． 当0q >时，113m q b q =++≥，而0b >，03mb ∴<≤；当0<q 时，111m q b q =++≤-，即1mb≤-，而0m >，0<∴b ，则0m b -≤<，故[,0)(0,]3mb m ∈-⋃．三、解答题：15．已知数列}{n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥． （1）求32,a a ；（2）证明：312n n a -=.解：（1）21231,314,3413a a a =∴=+==+=．（2）证明：由已知113--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---1213133312n n n a ---+=++++=, 所以证得312n n a -=．16．数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T ．点拨：本小题主要考察等差数列、等比数列的基础知识，以及推理能力与运算能力． 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=（Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b =故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得2(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1)3222n n n T n n n -=+⨯=+点评：证明一个数列是等差数列或等比数列的几种方法要熟练掌握，在求通项时往往该数列自身就是一个等差或等比数列，或者以该数列为基础构建的新数列为等差或等比数列，要有向此方向转化的意识.变题：已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{}n n b b -+1是等差数列．⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；⑵是否存在N k *∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由．点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=．（2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况． （1）已知212322a a a +++…12n n a -+8n =(n ∈N*)2n ≥时，212322a a a +++…2128(1)n n a n --+=-(n ∈N*)①-②得，128n n a -=，求得42n n a -=， 在①中令1n =，可得得41182a -==，所以42n n a -=(n ∈N*)． 由题意18b =，24b =，32b =，所以214b b -=-，322b b -=-， ∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---, ∴1n nb b +-=2)1(4⨯-+-n 26n =-，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-(4)(2)(28)n =-+-++-2714n n =-+(n ∈N*)．（2）k k b a -=2714k k -+-42k-，当4k ≥时，277()()24f k k =-+-42k-单调递增，且(4)1f =， 所以4k ≥时，2()714f k k k =-+-421k-≥，又(1)(2)(3)0f f f ===，所以，不存在k ∈N*，使得(0,1)k k b a -∈．点评：数列实际上就是一种特殊的函数，结合具体的情况要有用函数思想处理问题的意识． 反思：在证明与数列相关的一些不等式的时候，往往会利用函数的单调性来研究． 17．已知等比数列}{n a 的前n 项和为2n n S a b =⋅+，且13a =． （1）求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式；(2)设n nnb a =，求数列}{n b 的前n 项和n T .解：（1）2≥n 时，a S S a n n n n ⋅=-=--112.而}{n a 为等比数列，得a a a =⋅=-1112，又31=a ，得3=a ，从而123-⋅=n n a .又123,3a a b b =+=∴=-.（2）132n n n n n b a -==⋅， 21123(1)3222n n n T -=++++ 231111231(2322222n n n n n T --=+++++) ,得2111111(1)232222n n nn T -=++++-， 111(1)2412[](1)13232212n n n n n n n T +⋅-=-=---.18．数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k=+++ *()N k ∈，（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '． 解：（1）由题意：410n n a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列， ∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-，∴1(1)7[3]22n n n nb n n --=-= 由100n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==．（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <，∴当7n ≤时，212731132()244n n nS b b b n n n -+'=+++==-+当7n >时，12789n n S b b b b b b '=+++----27121132()2144n S b b b n n =-+++=-+∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩． 19．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122,*N n ∈.⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++= ，求n S ； ⑶设n b =1(12)n n a -**12(),()N N n n n T b b b n ∈=+++∈，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ， 由题意得2832d d =+⇒=-，82(1)102n a n n ∴=--=-.（2）若50210≤≥-n n 则，||||||,521n n a a a S n +++=≤ 时21281029,2n na a a n n n +-=+++=⨯=- 6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++= 765212555()2940n n S S S S S n n =--=-=-+故=n S409922+--n n n n56n n ≤≥（3）11111()(12)2(1)21n n b n a n n n n ===--++, ∴n T 1111111111[(1)()()()()]22233411n n n n =-+-+-++-+--+.2(1)n n =+若32n m T >对任意*N n ∈成立，即116n m n >+对任意*N n ∈成立， *()1N nn n ∈+的最小值是21，1,162m ∴<m ∴的最大整数值是7．即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有.32n mT >点评：本题考查数列通项，数列求和以及有关数列与不等式的知识的综合运用.变题：若条件变为“已知数列{}n a 的前n 项和2*92()N n S n n n =-++∈”，求解以上问题. 点评：利用前n 项和n S 与通项n a 的关系求通项公式时，要注意分1n =和2n ≥两种情况. 20．已知数列{}n a 和{}n b 满足：11a =，22a =，0n a >，n b *n ∈N ）， 且{}n b 是以q 为公比的等比数列． （I ）证明：22n n a a q +=；（II ）若2122n n n c a a -=+，证明：数列{}n c 是等比数列；（III ）求和：1234212111111n na a a a a a -++++++．点拨：本题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力． 解法1：（I ）证：由1n n b q b +=q ==，∴ 22()n n a a q n +=∈N*．（II ）证：22n n a q q -=，22221231n n n a a q a q ---∴===，222222n n n a a q a q --===，22222222212121222(2)5n n n n n n n c a a a q a q a a q q -----∴=+=+=+=．{}n c ∴是首项为5，以2q 为公比的等比数列．（III ）由（II ）得2221111n n q a a --=，222211n n q a a -=，于是1221321242111111111()()n n na a a a a a a a a -+++=+++++++ 242224221211111111(1)(1)n n a q qqa q qq --=+++++++++21223111(1)2n q qq-=++++．当1q =时，24221221113111(1)2n n a a a q q q-+++=++++32n =． 当1q ≠时，24221221113111(1)2n n a a a q qq -+++=++++2231()21nq q ---=-222231[]2(1)n n q q q --=-．故21222223121111[ 1.(1)nn n n q q a a a q q q -⎧=⎪⎪+++=⎨3-⎪≠⎪2-⎩， ，]，解法2：（I ）同解法1（I ）．（II ）证： 222*1212221221221222()22N n n n n n n n n n nc a a q a q a q n c a a a a +++---++===∈++，又11225c a a =+=， {}n c ∴是首项为5，以2q 为公比的等比数列．（III ）由（II ）的类似方法得222221212()3n n n n a a a a q q ---+=+=， 34212121221234212111n n n n na a a a a a a a a a a a a a a --++++++=+++， 2222212442123322k k k k k k k a a q q a a q --+---+==，12k n =，，，． 2221221113(1)2n k q q a a a --+∴+++=+++．下同解法1． 反思：1．巧用等差 等比数列的性质解题能优化解题思路；① 在等差数列{}n a 中：若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+．由此得：等差数列中，距首末两端等距离的项的和相等．即12132...n n n a a a a a a --+=+=+=② 在等比数列{}n a 中：若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅由此得：等比数列中，距首末两端等距离的项的积相等．即12132...n n n a a a a a a --⋅=⋅=⋅=2．由于数列是特殊的函数，所以数列问题与函数方程有着密切关系，还要注意整体思想，分类讨论思想，数形结合思想在解题中的运用．。