(全国通用版)2018-2019高中数学第二章函数2.1.2函数的表示方法练习

地地道道的达到§2． 1 函数的观点及表示考纲解读要展望考点内容解读高考示例常考题型求热度1 ．函1．认识组成函数的因素 , 会求一些简2016 课标全国单函数的定义域和值域; 认识映照的观点Ⅱ,10;数的观点2．在实质情境中 , 会依据不一样的需要2016 江苏 ,5;Ⅱ及表示方选择适合的方法 ( 如图象法、列表法、分析2015 陕西 ,4; 选择题、★★法填空题、法 ) 表示函数2015 山东 ,10 ★2017 山东 ,9;解答题2 ．分认识简单的分段函数, 并能简单应用2015 课标段函数( 函数分段不超出三段 )ⅡⅠ,10 []剖析解读1．考察映照与函数的定义域、分段函数的分析式和求函数值．2．求函数的分析式和定义域拥有综合性, 有时浸透在解答题中, 特别是联合函数图象考察数形联合能力．3．本节内容在高考取分值为 5 分左右 , 属于中低档题．五年高考考点一函数的观点及表示方法1．(2016 课标全国Ⅱ ,10,5分)以下函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域同样的是（）A． y=x B． y=lgx C． y=2x D． y=答案 D2． (2015 陕西 ,4,5分)设f(x)=则f(f(-2))=（）A． -1B．C．D．答案 C地地道道的达到3． (2014 山东 ,3,5分)函数f(x)=的定义域为（）A． (0,2)B． (0,2]C．(2,+ ∞)D．[2,+ ∞)答案 C4． (2016 江苏 ,5,5 分 ) 函数 y= 的定义域是 ____________．答案 [-3,1]5． (2015 课标Ⅱ ,13,5 分) 已知函数 f(x)=ax 3-2x 的图象过点 (-1,4), 则 a=_____________ ．答案 -26．(2013 安徽 ,14,5 分 ) 定义在 R上的函数 f(x) 知足 f(x+1)=2f(x)．若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当- 1≤x≤0时 ,f(x)=_______ ．答案 - x2- x教师用书专用(7 — 12)7． (2015 山东 ,10,5 分 ) 设函数 f(x)= 若 f =4, 则 b=（）A． 1 B．C．D．答案 D8． (2014 江西 ,4,5分)已知函数f(x)=(a ∈R), 若 f[f(-1)]=1,则a=（）A．B．C．1D．2答案 A9． (2013 陕西 ,10,5分)设[x]表示不大于x 的最大整数 , 则对随意实数x, 有（）A． [-x]=-[x]B．=[x]C． [2x]=2[x]D． [x]+=[2x]答案 D地地道道的达到10． (2013 广东 ,2,5分)函数y=的定义域是（）A． (- 1,+ ∞)B． [- 1,+ ∞)C． (- 1,1) ∪(1,+ ∞)D． [- 1,1) ∪(1,+ ∞)答案 C11． (2013 安徽 ,11,5分)函数y=ln+的定义域为．答案 (0,1]12． (2013 浙江 ,11,4分)已知函数f(x)=．若f(a)=3,则实数a=．答案 10考点二分段函数1． (2017 山东 ,9,5 分 ) 设 f(x)= 若 f(a)=f(a+1), 则 f =（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8答案 C2． (2015 湖北 ,7,5分)设x∈R,定义符号函数sgnx=则（）A． |x|=x|sgnx|B． |x|=xsgn|x|C． |x|=|x|sgnx D． |x|=xsgnx答案 D3． (2015 课标Ⅰ ,10,5分)已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)=（）A．-B．-C．-D．-答案 A4． (2014 课标Ⅰ ,15,5分)设函数f(x)=则使得f(x )≤2建立的x的取值范围是．答案 (- ∞,8]5． (2014 浙江 ,15,4分)设函数f(x)=若f(f(a))=2,则a=．答案教师用书专用(6)6． (2013 福建 ,13,4分)已知函数f(x)=则f=．答案 -2三年模拟A 组 2016— 2018 年模拟·基础题组考点一函数的观点及表示方法1． (2018 河南信阳一模,4) 函数 y=的定义域是（）A． (- ∞,2]B． (0,2]C． (- ∞,1]D． [1,2]答案 B2． (2017 湖北武汉 4 月调研 ,11) 已知函数f(x)知足f+ f(- x)=2x(x ≠0), 则f(-2)=（）A． - B．C．D． -答案 C3． (2017 湖北要点高中期中联考,6) 以下函数为同一函数的是（）A． y=x2-2x 和 y=t 2-2t B ． y=x 0和 y=1C． y= 和 y=x+1 D． y=lgx 2和 y=2lgx答案 A4． (2016 福建南安期末 ,5) 设 M={x|- 2≤x≤2},N={y|0 ≤y≤2}, 函数f(x) 的定义域为 M,值域为 N,则 f(x) 的图象能够是（）答案 B5． ( 人教 A 必 1, 一 ,2,A1,变式)函数y=的定义域为（）A． (- ∞,1]B． [-1,1]C．[1,2) ∪(2,+ ∞)D．∪答案 D6． (2017 安徽江南十校第一次联考,13) 函数 y=的定义域是．答案 (- 1,0) ∪(0,+ ∞)考点二分段函数7． (2018 河南洛阳期中,4) 已知函数f(x)=若f(f(x))=2,则x的取值会合为（）A． ?B．{x|0 ≤x≤1}C． {2}D． {x|x=2或0≤x≤1}答案 D8． (2018 广东深圳四校联考,8) 定义符号函数sgn(x)=则对随意x∈, 恒有（）A．|tanx|·sgn(x)=tan|x|B．tanx ·sgn(x)=|tanx|C．tanx ·sgn(x)=tan|x|D．tan|x|·sgn(x)=|tanx|答案 C9．(2017 湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考,5) 已知 f(x)= 若 f(a)=2, 则 a 的值为（）A． 2 B．-1 或 2C．±1或 2 D．1或2答案 B地地道道的达到10． (2017 湖南永州模拟 ,9) 已知函数f(x)=则f的值为（）A．-B．-C．3D．1答案 C11． (2017 湖北黄石调研 ,4) 已知函数f(x)=若f(f(0))=4a,则实数a等于（）A．B．C．2D．9答案 C12． (2016 广东惠州第一次调研,10) 已知函数 f(x)= 且 f(x0 )=1, 则 x =（）A． 0 B． 4 C．0或 4 D．1或3答案 C13． (2018 广东惠州一调 ,13) 已知函数f(x)=则f(f(3))=．答案 2B 组 2016— 2018 年模拟·提高题组( 满分 :30 分时间 :30 分钟 )选择题 (每题 5 分, 共 30分)1．(2018 河南许昌、平顶山联考 ,2) 若已知函数 f(x)= 则 f(f(1))+f(-log 32)的值是（）A． 2 B． 3 C． 5 D． 7答案 D2． (2017 广东广雅中学、江西南昌二中联考,5) 已知函数 f(x)=则f(-2016)=（）A． e2B． e C． 1D．答案 B3．(2017 山西大同灵丘三模,3) 拥有性质 :f=-f(x)的函数,我们称为知足“倒负”变换的函数．给出以下函数 :①y=ln ; ②y= ; ③y=此中知足“倒负”变换的函数是（）A．①②B．①③C．②③D．①答案 C4． (2017 山西名校联考 ,5) 设函数 f(x)=lg(1-x), 则函数 f(f(x)) 的定义域为（）A． (- 9,+ ∞)B． (-9,1)C． [- 9,+ ∞)D． [-9,1]答案 B5． (2016 江西宜春高安中学期中,3) 设 f,g都是由A到A的映照,其对应关系以下:映照 f 的对应关系x 1 2 3 4f(x) 3 4 2 1映照 g 的对应关系x 1 2 3 4g(x) 4 3 1 2则 f[g(1)]的值为（）A．1B．2C．3D．4答案 A6． (2016 甘肃河西张掖中学期中,10) 若函数 f(x)=log2(kx2+4kx+3)的定义域为R,则 k 的取值范围是（）A．B．C．D． (- ∞,0] ∪答案 BC 组 2016— 2018 年模拟·方法题组方法 1 求函数分析式的方法1． (2017 江西金溪一中等期中联考,3) 设 f(x)-x2=g(x),x∈R,若函数f(x) 为偶函数 , 则 g(x) 的分析式能够为（）A． g(x)=x 3B． g(x)=cosxxC． g(x)=1+x D． g(x)=xe答案 B2． (2016 北京东城期中,19) 以下图 , 函数 f(x)的定义域为[-1,2],f(x)的图象为折线AB,BC．(1)求 f(x) 的分析式 ;(2)解不等式 f(x) ≥x2．分析 (1) 由题图可知A(-1,0),B(0,2),C(2,0),因此 f(x)=(2) 不等式 f(x) ≥x2等价于或解得1-≤x<0或0≤x≤1．故不等式的解集为 {x|1-≤x≤1}．方法 2 求函数的定义域、值域的方法3． (2017 江西九江七校联考,2) 函数 y=的定义域是（）A． (-1,3)B． (-1,3]C． (- 1,0) ∪(0,3)D． (- 1,0) ∪(0, 3]答案 D4． (2018 河南、河北要点高中联考,13) 函数 f(x)=+ln(x+4)的定义域为_________．答案 (-4,1]5． (2016 黑龙江哈师大附中模拟,13) 函数 y=的值域是___________．答案 (-1,1]方法 3 分段函数有关问题的办理方法6． (2017 北师大附中期中,5) 若函数 f(x)=则f(f(10))=（）A． lg101B． 2C． 1D． 0答案 B7． (2018 湖南益阳、湘潭调研,13) 若函数 f(x)=则f(f(-9))=____________．答案 -28． (2018 湖北鄂南高中第一次联考,15) 已知函数 f(x)=若f(e 2)=f(1),f(e)=f(0),则函数f(x)的值域为_________．答案∪[2,+ ∞)9． (2016 江苏南京、盐城二模,9) 已知函数f(x)=则不等式f(x) ≥ -1 的解集是__________．答案 [-4,2]。

2.1 函数的概念 2.1.2 函数的表示方法A 级 基础巩固1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x ＜0，10x ，x ≥0，则f (f (－7))的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x ＜0，10x ，x ≥0，所以f (－7)＝10.f (f (－7))＝f (10)＝10×10＝100.答案：A 2．函数f (x )＝cx 2x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠－32满足f (f (x ))＝x ，则常数c 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．3或－3D ．5或－3解析：f (f (x ))＝c ⎝⎛⎭⎪⎫cx 2x ＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫cx 2x ＋3＋3＝c 2x 2cx ＋6x ＋9＝x ，即x [(2c ＋6)x ＋9－c 2]＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2c ＋6＝0，9－c 2＝0，解得c ＝－3. 答案：B3．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0，0)，则此二次函数的解析式可以是( )A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝－(x －1)2＋1 C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1解析：由题意设f (x )＝a (x －1)2＋b (a ＞0)，由于点(0，0)在图象上，所以a ＋b ＝0，a ＝－b ，故符合条件的是D.答案：D4．某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s ，横轴表示该同学出发后的时间t ，则比较符合该同学行进实际的是( )解析：依题意：s 表示该同学与学校的距离，t 表示该同学出发后的时间，当t ＝0时，s 最远，排除A 、B ，由于汽车速度比步行快，因此前段迅速靠近学校，后段较慢．故选D.答案：D5．g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x2x2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( ) A ．1 B ．3 C ．15 D ．30解析：由g (x )＝12得：1－2x ＝12⇒x ＝14，代入1－x 2x2得：1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15.答案：C6．(2015·陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，x 2，x ＜0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12 D.32解析：f (－2)＝(－2)2＝4.所以f (f (－2))＝f (4)＝1－4＝－1. 答案：A7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ，x ≤0，2，x >0，则方程f (x )＝x 的解的个数为________．解析：x >0时，x ＝f (x )＝2；x ≤0时，x 2＋3x ＝x ⇒x ＝0或－2. 答案：38.如图所示，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(4，2)，则f (f (f (2))＝________．解析：由图象及已知条件知f (2)＝0，即f (f (f (2)))＝f (f (0))， 又f (0)＝4，所以f (f (0))＝f (4)＝2. 答案：29．若某汽车以52 km/h 的速度从A 地驶向260 km 远处的B 地，在B 地停留32h 后，再以65 km/h 的速度返回A 地．则汽车离开A 地后行走的路程s 关于时间t 的函数解析式为________________．解析：因为260÷52＝5(h)，260÷65＝4(h)，所以s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t ，0≤t ＜5，260，5≤t ≤132，260＋65⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132，132＜t ≤212.答案：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t ，0≤t ＜5，260，5≤t ≤132，260＋65⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132，132＜t ≤212 10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0，1x，x ＜0.若f (a )＞a ，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≥0时，f (a )＝a ＋1＞a 恒成立． 当a ＜0时，f (a )＝1a＞a ，所以a ＜－1.综上a 的取值范围是a ≥0或a ＜－1. 答案：{a |a ≥0或a ＜－1}11．已知二次函数满足f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，求f (x )． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (3x ＋1)＝a (3x ＋1)2＋b (3x ＋1)＋c ＝9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c . 因为f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，所以9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c ＝9x 2－6x ＋5.比较两端系数，得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＝9，6a ＋3b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝8.所以f (x )＝x 2－4x ＋8.12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（－1≤x ≤1），1（x ＞1或x ＜－1）.(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R.由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0，1]， 当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1， 所以f (x )的值域为[0，1]．B 级 能力提升13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1.若f (f (0))＝4a ，则实数a 的值为( )A ．2B ．1C ．3D ．4解析：易知f (0)＝2，所以f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，所以a ＝2. 答案：A14．任取x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，若f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞12[f (x 1)＋f (x 2)]，则f (x )在[a ，b ]上是凸函数，在以下图象中，是凸函数的图象是( )解析：只需在图形中任取自变量x 1，x 2，分别标出它们对应的函数值及x 1＋x 22对应的函数值，并观察它们的大小关系即可．答案：D15．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧Cx，x <A ，CA ，x ≥A ，A ，C 为常数．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是( )A ．75，25B ．75.16C ．60，25D ．60，16解析：由条件可知，x ≥A 时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必须满足第一段分段函数，即f (4)＝C4＝30⇒C ＝60，f (A )＝60A＝15⇒A ＝16.答案：D16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x ＞2.(1)求f (2)，f (f (2))的值； (2)若f (x 0)＝8，求x 0的值．解：(1)因为0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4， 所以f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23∉[0，2]，故无解． 当x 0＞2时，由2x 0＝8，得x 0＝4. 因此f (x 0)＝8时，x 0的值为4.17．某市出租车的计价标准是：4 km 以内10元，超过4 km 且不超过18 km 的部分1.2 元/km ，超过18 km 的部分1.8 元/km.(1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式； (2)如果某人乘车行驶了20 km ，他要付多少车费？ 解：(1)设车费为y 元，出租车行驶里程为x km. 由题意知，当0＜x ≤4时，y ＝10；当4＜x ≤18时，y ＝10＋1.2(x －4)＝1.2x ＋5.2；当x ＞18时，y ＝10＋1.2×14＋1.8(x －18)＝1.8x －5.6. 所以，所求函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0＜x ≤4，1.2x ＋5.2，4＜x ≤18，1.8x －5.6，x ＞18.(2)当x ＝20时，y ＝1.8×20－5.6＝30.4. 所以乘车行驶了20 km 要付30.4元的车费．18．某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用图①表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如下表所示：(1)根据提供的图象(图①)，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数解析式； (2)在所给平面直角坐标系(图②)中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定一个日销售量Q 与时间t 的函数解析式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．解：(1)根据图象，每件的销售价格P 与时间t 的函数解析式为：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0＜t ＜25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N. (2)描出实数对(t ，Q )的对应点，如下图所示．从图象发现：点(5，35)，(15，25)，(20，20)，(30，10)似乎在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l ：Q ＝kt ＋b .由点(5，35)，(30，10)确定出l 的解析式为Q ＝－t ＋40，通过检验可知，点(15，25)，(20，20)也在直线l 上．所以日销售量Q 与时间t 的一个函数解析式为Q ＝－t ＋40(0＜t ≤30，t ∈N)．(3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0＜t ＜25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30，t ∈N. 因此y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（t －10）2＋900，0＜t ＜25，t ∈N ，（t －70）2－900，25≤t ≤30，t ∈N. 若0＜t ＜25(t ∈N)，则当t ＝10时，y max ＝900； 若25≤t ≤30(t ∈N)，则当t ＝25时，y max ＝1 125. 因此第25天时销售金额最大，最大值为1 125元．。

§2.1.2函数的表示方法(1)解析式法【学习目标】掌握由()x f 求其他，和由其他求()x f 的方法。

【预习案】1、求函数值2、复合函数3、配凑法、换元法、待定系数法、消去法、特殊值法求解析式【探究案】例1已知()x f 求其他1、已知()2x x f =，则()______2=f ，()__________1=-x f 。

2、已知()32+=x x f ，()12+=x x g ，则()[]____,=x f f ()[]______,=x g f ()[]______,=x f g3、已知()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<-≤+=42402042x x x x x x x x f ，则()___5=f ，()[]___5=f f ，()[]{}_____5=f f f例2由其他求()x f ，注意代换时范围的变化1、 配凑法：2211x x x x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，求()x f 2、换元法：()1212+=+x x f 求()x f3、消去法：（1）()()x x f x f +=-+112， 求()x f （2）()x x f x f 312=⎪⎭⎫ ⎝⎛+求()x f ，4、待定系数法：（1）已知函数()x f 是一次函数，且满足()()1721213+=--+x x f x f ， 求()x f（2）已知函数()x f 是一次函数，且满足()[]89+=x x f f ， 求()x f（3）已知函数()x f 是二次函数，且满足()()()x x f x f f 21,10=-+=， 求()x f5、特殊值法：已知()()()()()01,21,f f a b f a b a b f x =-=--+求【训练案】1、已知(),22x x x f +=求()12+x f 2 、已知2()1f x x =+，()21g x x =+则1[()]2f g 的值 3、若1(1)22f x x -=，则()f x 的表达式为 4、已知(21)1f x x +=-，那么()f x =5、已知()x x x f21+=+ 求()x f （用配凑和换元两种方法）6、已知(),15212--=+x x x f 求()x f7、已知(),1212-=+x x f 求()x f -18、函数()x f 对一切实数x,y 均有()()()x y x y f y x f ∙-+=-+12成立，且()01=f ，求()x f。

2.1.1 函数课时过关·能力提升1下列函数中,与函数y=有相同定义域的是()A.f(x)=x0B.f(x)=C.f(x)=|x|D.f(x)=答案D2对于函数y=f(x),下列命题正确的个数为()①y是x的函数;②对于不同的x值,y值也不同;③f(a)表示当x=a时函数f(x)的值,是一个常量.A.1B.2C.3D.0解析①③显然正确;不同的x值可对应同一个y值,如y=x2,故②错误.答案B3已知f(x)=x2-3x,且f(a)=4,则实数a等于()A.4B.-1C.4或-1D.-4或1解析由已知可得a2-3a=4,即a2-3a-4=0,解得a=4或a=-1.答案C4若M={x|0≤x≤2},N={y|1≤y≤2},则下列图形中不能表示以M为定义域,N为值域的函数的是()解析四个选项中函数的定义域均为[0,2],且值域均为[1,2],但选项D不能构成函数,因为对于任意的x∈[0,2),对应的y值有2个,这不符合函数的定义,故选D.答案D5设集合A和集合B中的元素都属于N+,映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素为n2+n,则在映射f下,象20的原象是()A.4B.5C.4,-5D.-4,5解析由题意,令n2+n=20,得n=4或n=-5.又因为n∈N+,所以n=-5舍去,所以n=4.答案A6函数y=的值域是()A.{y|y≠1}B.{y|y≠4}C.{y|y≠-4}D.{y|y≠-1}解析y==-4+,当x≠1时,≠0,即-4+≠-4,故函数的值域为{y|y≠-4}.答案C7函数y=的定义域为()A.(-∞,1]B.(-∞,2]C.D.解析要使函数有意义,应满足即所以x≤1,且x≠-,即函数的定义域为.答案D8已知集合M={x|y=x2+1},N={y|y=x2+1},则M∩N等于.解析根据集合中元素的特征性质及函数的定义域、值域的概念,得M=R,N=[1,+∞), 故M∩N=[1,+∞).答案[1,+∞)9已知f(+1)=x+2,则f(x)=.解析令t=+1,则x=(t-1)2,且t≥1.由已知,得f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,故f(x)=x2-1(x≥1).答案x2-1(x≥1)10若关于x的函数f(x)=的定义域是{x|x≤-2},则实数a=.解析要使f(x)有意义,应满足a-x≥0,即x≤a.因为函数f(x)的定义域为{x|x≤-2},所以a=-2.答案-211若函数f(x)的定义域是{x|x≥-2},则函数y=f(-2x+1)的定义域是. 解析依题意,要使函数y=f(-2x+1)有意义,应满足-2x+1≥-2,即x ≤,故其定义域为. 答案12已知f (x )=,x ∈R ,且x ≠-1,g (x )=x 2-1,x ∈R . (1)求f (2),g (3); (2)求f (g (3)),f (g (x ));(3)求f (x ),g (x )的值域.解(1)因为f (x )=,所以f (2)==-. 又因为g (x )=x 2-1,所以g (3)=32-1=8.(2)f (g (3))=f (8)==-,f (g (x ))=,x ≠0.(3)f (x )==-1+.因为x ∈R ,且x ≠-1,所以≠0.所以f (x )≠-1. 所以f (x )的值域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),又因为g (x )=x 2-1的定义域是R ,x 2-1≥-1,所以g (x )的值域为[-1,+∞).13已知A={a ,b ,c },B={-1,0,1},映射f :A →B 满足f (a )+f (b )=f (c ).求映射f :A →B 的个数. 解方法一:由于f (a ),f (b ),f (c )∈{-1,0,1},故符合f (a )+f (b )=f (c )的f (a ),f (b ),f (c )的取值情况如下表所示: f (a ) f (b ) f (c )0 0 01 0 10 1 1-1 0 -10 -1 -11 -1 0-1 1 0由上表可知,所求的映射有7个.方法二:(1)当A中三个元素都对应0时,f(a)+f(b)=0+0=0,f(c)=0,则有f(a)+f(b)=f(c),有1个映射.(2)当A中三个元素对应B中两个元素时,满足f(a)+f(b)=f(c)的映射有4个,它们分别是f(a)=1,f(b)=0,f(c)=1;f(a)=0,f(b)=1,f(c)=1;f(a)=-1,f(b)=0,f(c)=-1;f(a)=0,f(b)=-1,f(c)=-1.(3)当A中的三个元素对应B中三个元素时,有两个映射,它们分别是f(a)=-1,f(b)=1,f(c)=0;f(a)=1,f(b)=-1,f(c)=0.综上可知,满足条件的映射有7个.★14已知函数f(x)=.(1)求f(2)与f,f(3)与f;(2)由(1)中求得的结果,你能发现f(x)与f的关系吗?并证明你的发现;(3)求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)+f+f+…+f.解(1)∵f(x)=,∴f(2)=,f,f(3)=,f.(2)由(1)中的结果发现f(x)+f=1.证明如下:f(x)+f==1.(3)f(1)=.由(2)知f(2)+f=1,f(3)+f=1,……f(2 017)+f=1,故原式==2 016+=.。

2.1.2 函数的表示方法1．会用列表法、图象法、解析法来表示一个函数．2．会求一些简单函数的解析式．(重点)3．理解分段函数的含义，能分析其性质．(重点)4．会作一些简单函数的图象．(难点)基础·初探]教材整理1函数的表示方法阅读教材P38～P39“例1”以上部分，完成下列问题．1．列表法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．2．图象法用“图形”表示函数的方法叫做图象法．3．解析法(公式法)如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法)．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何一个函数都可以用列表法表示．()(2)任何一个函数都可以用解析法表示．()(3)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．()【答案】(1)×(2)×(3)×2．下列图形可表示函数y ＝f (x )图象的只可能是()A B C D【解析】 借助函数的定义可知，函数的图象应保证对定义域内的任意一个x 有唯一的y 与之对应，故选D.【答案】 D教材整理2 分段函数阅读教材P 42“分段函数”～P 43“例5”以上的内容，完成下列问题．在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，0，x ＝0，x ＋1，x <0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值是( )A.12 B ．－12 C.32D ．－32【解析】 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋1＝12.【答案】 A小组合作型]函数的表示法(1)函数f (x )＝x ＋|x |x 的图象是( )(2)某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．【精彩点拨】 (1)对x 进行讨论将函数f (x )＝x ＋|x |x 转化为所熟知的基本初等函数即可作图．(2)函数的定义域是{1,2,3，…，10}，值域是{3 000，6 000，9 000，…，30 000}，可直接列表、画图表示，分析题意得到表示y 与x 关系的解析式，注意定义域．【自主解答】 (1)当x ＞0时，f (x )＝x ＋1，故图象为直线f (x )＝x ＋1(x ＞0的部分)；当x ＜0时，f (x )＝x －1，故图象为直线f (x )＝x －1(x ＜0的部分)； 当x ＝0时，f (x )无意义即无图象．综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，x －1，x <0的图象为直线y ＝x ＋1(x ＞0的部分)和y＝x －1(x ＜0的部分)，即两条射线，故选C.【答案】 C (2)①列表法如下：x (台) 1 2 345y (元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000 x (台) 678910y (元)18 000 21 000 24 000 27 000 30 000③解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示.在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线.再练一题]1．购买某种饮料x听，所需钱数y元．若每听2元，试分别用列表法、解析法、图象法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数，并指出函数的值域.【导学号：60210035】【解】解析法：y＝2x，x∈{1,2,3,4}，则y∈{2,4,6,8}．列表法：x/听123 4y/元2468图象法：求函数的解析式(1)已知f (x ＋1)＝x －2x ，则f (x )＝________；(2)已知函数y ＝f (x )是一次函数，且f (x )]2－3f (x )＝4x 2－10x ＋4，则f (x )＝________；(3)已知函数f (x )对于任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，则f (x )＝________.【精彩点拨】 (1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)用方程组法求解．【自主解答】 (1)法一 换元法：令t ＝x ＋1，则t ≥1，x ＝(t －1)2，代入原式有f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＝t 2－4t ＋3，f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)．法二 配凑法：f (x ＋1)＝x ＋2x ＋1－4x －4＋3＝(x ＋1)2－4(x ＋1)＋3，因为x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)． (2)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (x )]2－3f (x )＝(kx ＋b )2－3(kx ＋b )＝k 2x 2＋(2kb －3k )x ＋b 2－3b ＝4x 2－10x ＋4，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，2kb －3k ＝－10，b 2－3b ＝4，解得k ＝－2，b ＝4，或k ＝2，b ＝－1， 故f (x )＝－2x ＋4，或f (x )＝2x －1.(3)由题意，在f (x )－2f (－x )＝1＋2x 中，以－x 代x 可得f (－x )－2f (x )＝1－2x ，联立可得⎩⎪⎨⎪⎧f (x )－2f (－x )＝1＋2x ，f (－x )－2f (x )＝1－2x ，消去f (－x )可得f (x )＝23x －1.【答案】 (1)x 2－4x ＋3(x ≥1) (2)－2x ＋4或2x －1 (3)23x －1求函数解析式的四种常用方法1．待定系数法：若已知f (x )的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可．2．换元法：设t ＝g (x )，解出x ，代入f (g (x ))，求f (t )的解析式即可． 3．配凑法：对f (g (x ))的解析式进行配凑变形，使它能用g (x )表示出来，再用x 代替两边所有的“g (x )”即可．4．方程组法：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解．再练一题]2．已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，则f (x )＝________.【解析】 在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )·1x －1，得f (x )＝23x ＋13. 【答案】 23x ＋13分段函数已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.若f (x )>2，求x 的取值范围．【精彩点拨】 分段求解，再求并集．【解】 当x ≥－2时，f (x )＝x ＋2，由f (x )>2，得x ＋2>2，解得x >0，故x >0；当x <－2时，f (x )＝－x －2，由f (x )>2，得－x －2>2，解得x <－4，故x <－4.∴x 的取值范围是{x |x >0或x <－4}．求解分段函数问题的注意点(1)求f f (a )]的值时，应从内到外依次取值，直到求出值为止． (2)已知函数值，求自变量的值时，切记要进行检验．解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以进行运算．(3)已知f (x )，解关于f (x )的不等式时，要先在每一段内求交集，最后求并集．再练一题]3．本题中解析式不变求f (－3)，f (f (－3))，f (f (f (－3)))的值． 【解】 f (－3)＝－(－3)－2＝1， f (f (－3))＝f (1)＝1＋2＝3， f (f (f (－3)))＝f (3)＝3＋2＝5.探究共研型]作函数的图象探究1 【提示】 列表，描点，连线．探究2 作一次函数与二次函数的图象时，要注意哪些事项？【提示】作一次函数与二次函数的图象时，应标出某些关键点．如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点．作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈0,3))．【精彩点拨】解答本题可根据函数的定义域及图象中的关键点，通过描点、连线画出图象．【自主解答】(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示．(2)因为0≤x<3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x<3之间的一部分，如图(2)所示．1．画函数图象时首先要考虑函数的定义域．2．要标出关键点，如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键点是实心点还是空心点．3．要掌握常见函数的特征．4．函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等．再练一题]4．画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．【解】(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1)．(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图(2)．1．下列表示函数y＝f(x)，则f(11)＝()x 0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y 234 5A．C．4 D．5【解析】由表可知f(11)＝4.【答案】 C2．已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的表达式是()A．f(x)＝x2＋6xB．f(x)＝x2＋8x＋7C．f(x)＝x2＋2x－3D．f(x)＝x2＋6x－10【解析】法一设t＝x－1，则x＝t＋1，∵f(x－1)＝x2＋4x－5，∴f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，即f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x.法二∵f(x－1)＝x2＋4x－5＝(x－1)2＋6(x－1)，∴f(x)＝x2＋6x.∴f(x)的表达式是f(x)＝x2＋6x，故选A.【答案】 A3．f (x )＝|x －1|的图象是( )【导学号：60210036】【解析】 ∵f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，当x ＝1时，f (1)＝0，可排除A 、C.又x ＝－1时，f (－1)＝2，排除D.【答案】 B4．如图2-1-4，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (f (2)))＝________.图2-1-4 【解析】 由题意f (2)＝0，f (0)＝4，f (4)＝2， 所以f (f (f (2)))＝f (f (0))＝f (4)＝2. 【答案】 25．已知函数f (x )＝x 2－2x (－1≤x ≤2)． (1)画出f (x )图象的简图； (2)根据图象写出f (x )的值域． 【解】 (1)f (x )图象的简图如图所示．(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是－1,3]，即f(x)的值域是－1,3]．。

【2019最新】高中数学第二章函数2-1-1函数2-1-2函数的表示方法同步测控 函数的表示方法同步测控我夯基,我达标1.下列四个图形中,不可能是函数y=f(x)的图象的是( )图2-1-5解析：对函数y=f(x),x 为自变量,y 为函数值.在选项D 中,存在一个x 值对应两个y 的值,所以不满足函数“多对一”或“一对一”的条件.答案：D2.若f(x)=x1的定义域为M,g(x)=|x|的定义域为N,令全集U=R ,则M∩N 等于( ) A.M B.N C.M D.N解析：由题意得M={x|x>0},N=R,则M∩N={x|x>0}=M,故选A.答案：A3.已知一次函数f(x)=kx+b 满足f ［f(x)］=9x+8,则k 等于( )A.3B.-3C.±3D.缺少条件解析：∵f(x)=kx+b,∴f［f(x)］=k 2x+kb+b=9x+8.∴⎩⎨⎧=+=8,b kb 9,k 2解得k=±3.答案：C4.函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点个数是……( )A.1B.0C.0或1D.1或2解析：由函数的定义可知对任意自变量x,都有唯一确定的y 和它对应,表现在函数图象上,即一个横坐标上最多只能有一个点.当x=1属于函数y=f(x)的定义域时,函数y=f(x)的图象与直线x=1有一个交点;当x=1不属于函数y=f(x)的定义域时,函数y=f(x)的图象与直线x=1没有交点.答案：C5.有一位商人从向的家中打电话,通话m 分钟的电话费由函数f(m)=1.06×(0.5［m ］+1)(元)决定,其中m>0,［m ］是大于或等于m 的最小整数.则从到通话时间为5.5分钟的电话费为…( )A.3.71元B.3.97元C.4.24元D.4.77元解析：∵m=5.5,∴［5.5］=6.代入函数解析式中,f(5.5)=1.06×(0.5×6+1)=1.06×4=4.24.答案：C6.小刚离开家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,跑累了再走余下的路程.如果用纵轴表示离校的距离,横轴表示出发后的时间,则下列四个图象中较符合小刚走法的是( )图2-1-6解析：首先审清题意,特别是横、纵两轴的含义.纵轴表示离校的距离,所以排除A 、C,在B 、D 中选择答案.由于开始时是跑步前进,所以同一时间内,前一 伪群笠欢挝恢帽浠所以选择D.答案：D7.试建立下列集合A 到集合B 的某种对应关系f:(1)设A={1,2,3,4,5,6},B={3,6,9,12,15,18},则f 可为________;(2)设A={1,2,3,4,…},B={3,5,7,9,…},则f 可为________.解析：通过观察法便可求得.答案：(1)x→y=3x (2)x→y=2x+18.已知函数f(x)=221x x +,那么f(1)+f(2)+f(21)+f(3)+f(31)+f(4)+f(41)=________. 解析：本题主要考查符号f(a)的含义.先探讨f(x)+f(x1)的值. 由题意得f(x)+f(x 1)=221x x ++22)1(1)1(xx +=221x x ++211x +=1, 则原式=21+1+1+1=27. 答案：27 9.已知2f(x)+f(-x)=3x+2,则f(x)=__________.解析：(方程法)由题意得⎩⎨⎧+=++=+2,-3x (x)2f(-x)2,3x (-x)2f(x)f f 把f(x)和f(-x)看成未知数,解方程得f(x)=3x+32. 答案：3x+32 10.若定义运算a⊙b=⎩⎨⎧<≥,,,,b a a b a b 则函数f(x)=x⊙(2-x)的值域是__________.解析：由题意,得f(x)=⎩⎨⎧≥-<.1,2,1,x x x x 画出函数f(x)的图象,得其值域是(-∞,1］. 答案：(-∞,1］11.A 、B 两地相距150 km,某汽车以每小时50 km 的速度从A 地到B 地,在B 地停留2小时之后,又以每小时60 km 的速度返回A 地.写出该车离开A 地的距离s(km)关于时间t(小时)的函数关系,并画出图象.分析：该车离开A 地的距离s(km)关于时间t(小时)的函数为分段函数,先写出其解析式,再画出其图象.解：汽车由A 地到B 地共需50150=3(h), 由B 地返回A 地共需60150=2.5(h). ∴s=⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<≤≤.5.755),5(60150,53,150,30,50t t t t 画出函数图象如下图所示:我综合,我发展12．图2-1-7是某容器的侧面图,如果以相同的速度向容器中注水,则容器中水的高度与时间的函数关系为( )图2-1-7图2-1-8解析：由容器的特点,可知水高随注水时间均匀上升,故应选C.答案：C13.惠民超市为了答谢新老顾客,决定在2007年“五一”黄金周期间,举办购物优惠大酬宾活动.活动规定:一次购物(1)不超过200元,不予优惠;(2)超过200元,但不超过500元,享受9折优惠;(3)超过500元,其中500元按(2)中的给予优惠,超过500元的部分,给予8折优惠.某人两次去购物,分别付款168元和423元.若他只去一次购买同样的商品,则应付款额是( )A.472.18元B.510.4元C.522.8元D.560.4元解析：由题意知两次购物的实际价格应为168+423÷0.9=168+470=638(元).若他只去一次买同样的商品,则应付500×0.9+(638-500)×0.8=450+110.4=560.4(元).答案：D14.(2007山东淄博高三第二次摸底考试,理16)已知函数f(x)满足:f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3,则)9()10()5()7()8()4()5()6()3()3()4()2()1()2()1(22222f f f f f f f f f f f f f f f +++++++++=_____. 解析：∵f(p+q)=f(p)f(q),∴f(x+x)=f(x)f(x),即f 2(x)=f(2x).令q=1,得f(p+1)=f(p)f(1), ∴)()1(p f p f +=f(1)=3. ∴原式=)9()10(2)7()8(2)5()6(2)3()4(2)1()2(2f f f f f f f f f f ++++=2(3+3+3+3+3)=30. 答案：3015.水池有2个进水口,1个出水口,每个水口进出水的速度如图2-1-9甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图2-1-9丙所示(至少打开一个水口).图2-1-9给出以下三个论断:①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水.其中一定正确的论断是_________.解析：由图2-2-9甲可看出,如果进水口与出水口同时打开,每个进水口的速度为出水口速度的一半,即v 进水=21v 出水;由图(丙)可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加,所以在此时间段内一定是两个进水口均打开,出水口关闭,故①正确.由图(丙)可看出在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少,所以在此时间段内一定是一个进水口打开,出水口打开,故②不正确.由图(丙)可看出在4点到6点之间蓄水量不变,所以在此时间段内一定是两个进水口打开,出水口打开,或者两个进水口关闭,出水口关闭,故③不正确.综上所述,论断仅有①正确.答案：①16.2006年春节长假期间,外出购物的人越来越多,这给商家提供了很大商机.嘉园超市全体员工不放假,为获取最大利润做了一番试验.若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售,每天可销售60件,现在采用提高销售价格,减少进货量的办法增加利润.已知这种商品每涨1元,其销售量就要减少10件.问该商品售价定为多少时,才能获得最大利润?并求出最大利润.分析：本题转化为二次函数在定义域上求值域的问题.定义域是由假设所得60-10(x-10)>0而得到的,为0<x<16.解：设售价为x,则销售数量为60-10(x-10),则利润为y=(x-8)［60-10(x-10)］(0<x<16)=10(16-x)(x-8)=-10x 2+240x-1 280=-10(x-12)2+160,则知当x=12时,y 最大,最大值为y max =160.我创新,我超越17.(2006陕西高考,理12)为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d 对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d.例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为( )A.7,6,1,4B.6,4,1,7C.4,6,1,7D.1,6,4,7解析：由题目的条件可以得到a+2b=14,2b+c=9,2c+3d=23,4d=28.答案：C18.如图2-1-10,某灌溉渠的横断面是等腰梯形,底宽2 m,渠深1.8 m,边坡的倾角是45°.图2-1-10(1)试用解析表达式将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数;(2)确定函数的定义域和值域;(3)画出函数的图象.分析：利用等腰梯形的性质解决问题.解：(1)由已知,横断面为等腰梯形,下底为2 m,上底为(2+2h) m,高为h(m),∴水的面积A=2)] 22(2[hh++=h2+2h.(2)定义域为{h|0<h<1.8}.值域由二次函数A=h2+2h(0<h<1.8)求得.由函数A=h2+2h=(h+1)2-1的图象(如图)可知,在区间(0,1.8)上,0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}.(3)函数图象如下确定.由于A=(h+1)2-1,对称轴为直线h=-1,顶点坐标为(-1,-1),且图象过(0,0)和(-2,0),又考虑到0<h<1.8,∴A=h2+2h的图象仅是抛物线的一部分,如下图所示.19.用长为1的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如图2-1-11),若矩形底边长为2x,求此框架围成的面积y与x的函数关系式,并指出其定义域.图2-1-11分析：求函数的定义域,如果是实际问题除应考虑解析式本身有定义外,还应考虑实际问题有意义,如本题注意到矩形的长2x 宽a 必须满足2x>0和a>0,即1-πx-2x>0.解：由题意,知此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,而矩形的长AB=2x,宽设为a,则有2x+2a+πx=1,即a=221x π--x,半圆的直径为2x,半径为x. 所以y=22x π+(221x π--x)·2x =-(2+2π)x 2+x. 根据实际意义,知221x π--x>0, 因x>0,解得0<x<π+21, 即函数y=-(2+2π)x 2+x 的定义域是{x|0<x<π+21}.。

函数的表示方法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( )A ．y ＝50x (x >0)B ．y ＝100x (x >0)C ．y ＝50x (x >0)D ．y ＝100x(x >0)【解析】 由题意x ＋3x2·y ＝100，得2xy ＝100∴y ＝50x (x >0)． 【答案】 C2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )【解析】 距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.【答案】 C3．已知f (x )＝2x ＋3，g (x )＝4x －5，则使得f (h (x ))＝g (x )成立的h (x )＝( ) A ．2x ＋3 B ．2x －11 C ．2x －4D ．4x －5【解析】 由f (x )＝2x ＋3，得f (h (x ))＝2h (x )＋3， 则f (h (x ))＝g (x )可化为2h (x )＋3＝4x －5， 解得h (x )＝2x －4，故选C. 【答案】 C4．已知f (x )是一次函数，且f (x －1)＝3x －5，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝3x －2 C ．f (x )＝2x ＋3D ．f (x )＝2x －3【解析】 ∵f (x )是一次函数，∴设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，可得f (x －1)＝k (x －1)＋b＝kx －k ＋b ，∵f (x －1)＝3x －5，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，－k ＋b ＝－5，解之得k ＝3且b ＝－2.因此，f (x )的解析式为f (x )＝3x －2，故选B. 【答案】 B 5．函数y ＝－1x ＋1的大致图象是( )【解析】 函数y ＝－1x ＋1的图象是由函数y ＝－1x的图象向左平移1个单位得到，而函数y ＝－1x的图象在第二、第四象限且是单调下降的两支图象，考查所给的四个图象只有B符合，选B.【答案】 B 二、填空题 6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －5 x ，fx ＋x，则f (3)＝________.【解析】 ∵3<6，∴f (3)＝f (3＋2)＝f (5)＝f (5＋2)＝f (7)＝7－5＝2. 【答案】 27．已知函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，F (1)＝8，则F (x )的解析式为________．【解析】 设f (x )＝kx (k ≠0)，g (x )＝m x(m ≠0)， 则F (x )＝kx ＋m x.由F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，F (1)＝8， 得⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋3m ＝16，k ＋m ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，m ＝5，所以F (x )＝3x ＋5x.【答案】 F (x )＝3x ＋5x8．若g (x ＋1)＝2x －2，g (x )＝4，则x 的值为________． 【解析】 令x ＋1＝t ，则x ＝t －1， ∴g (t )＝2(t －1)－2＝2t －4， ∴g (x )＝2x －4， ∴2x －4＝4，∴x ＝4. 【答案】 4 三、解答题9．求下列函数的解析式：(1)已知f (x ＋1)＝x 2－3x ＋2，求f (x )； (2)已知f (1＋x )＝x －2x －1，求f (x )．【解】 (1)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，∴f (t )＝(t －1)2－3(t －1)＋2＝t 2－5t ＋6，∴f (x )＝x 2－5x ＋6，(2)设1＋x ＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，∴f (t )＝(t －1)2－2(t －1)－1＝t 2－4t ＋2， ∴f (x )＝x 2－4x ＋2，(x ≥1)．10．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝0且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1, (1)求f (x )的表达式； (2)求f (2)的值．【解】 (1)由f (0)＝0，得c ＝0，∴f (x )＝ax 2＋bx ，又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1， ∴ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12，∴f (x )＝12x 2＋12x .(2)由(1)得，f (2)＝12×2＋12×2＝1＋22.[能力提升]1．已知x ≠0时，函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x ＋1x(x ≠0)B ．f (x )＝x 2＋2(x ≠0) C ．f (x )＝x 2(x ≠0) D ．f (x )＝(x －1x)2(x ≠0)【解析】 法一：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ＝x 2＋1x2＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)．法二：令t ＝x －1x(t ≠0)，则t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 2＝x 2＋1x 2－2，∴x 2＋1x2＝t 2＋2，∴f (t )＝t 2＋2(t ≠0)，∴f (x )的表达式为f (x )＝x 2＋2(x ≠0)． 【答案】 B2．已知在x 克a %的盐水中，加入y 克b %(a ≠b )的盐水，浓度变为c %，将y 表示成x 的函数关系式为( )A ．y ＝c －ac －b x B ．y ＝c －ab －c x C ．y ＝c －bc －ax D ．y ＝b －cc －ax 【解析】 根据配制前后溶质不变，有等式a %x ＋b %y ＝c %(x ＋y )，即ax ＋by ＝cx ＋cy ，故y ＝c －ab －cx . 【答案】 B3．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________.【解析】 当a >0时，1－a <1,1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ， 解得a ＝－32，不合题意；当a <0时，1－a >1,1＋a <1，由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－34.【答案】 －344.如图2­1­5，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C ，D ，A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．图2­1­5【解析】 当点P 在BC 上运动， 即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ；当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8；当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x .综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0≤x ≤4，8， 4<x ≤8，24－2x ， 8<x ≤12.。

2.1.2 函数的表示方法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．函数f (x )与g (x )的对应关系如下表：则g (f (－1))的值为【解析】 由列表法表示的函数可知f (－1)＝1，g (1)＝0，则g (f (－1))的值为0. 【答案】 02．已知函数F (x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，F (1)＝8，则F (x )的解析式为________． 【解析】 设f (x )＝kx (k ≠0)，g (x )＝m x(m ≠0)， 则F (x )＝kx ＋m x.由F ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝16，F (1)＝8， 得⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋3m ＝16，k ＋m ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，m ＝5，所以F (x )＝3x ＋5x. 【答案】 F (x )＝3x ＋5x3．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图2­1­7，不含端点)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝________.图2­1­7【解析】 由图象知，当－1＜x ＜0时，f (x )＝x ＋1， 当0＜x ＜1时，f (x )＝x －1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1＜x ＜0，x －1，0＜x ＜1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.【答案】 134．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x <1，2，1≤x <2，3，x ≥2的值域是________．【解析】 当0≤x <1时，f (x )＝2x 2∈[0,2)；当1≤x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3.【答案】 {y |0≤y ≤2或y ＝3} 5．设函数f ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝x ，则f (x )＝________. 【解析】 设t ＝1－x 1＋x (t ≠－1)，∴x ＝1－t 1＋t ，∴f (t )＝1－t1＋t (t ≠－1)，∴f (x )＝1－x1＋x (x ≠－1)．【答案】1－x1＋x(x ≠－1) 6．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，－2x x，使函数值为5的x 的值是________．【解析】 若x 2＋1＝5，则x 2＝4，又∵x ≤0，∴x ＝－2；若－2x ＝5，则x ＝－52，与x >0矛盾，故答案为－2.【答案】 －27．若函数f (x )满足关系式f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝3x ，则f (2)的值为________. 【解析】 把x ＝2代入得f (2)＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝6，把x ＝12代入得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2f (2)＝32，解方程组可得f (2)＝－1.【答案】 －18．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0，则不等式x ＋(x ＋2)·f (x ＋2)≤5的解集是________．【解析】 当x ＋2≥0，即x ≥－2时，f (x ＋2)＝1，则有x ＋x ＋2≤5，得－2≤x ≤32；当x ＋2<0，即x <－2时，f (x ＋2)＝－1，则有x －x －2≤5，不等式恒成立，综上可知，x ≤32.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32 二、解答题9．已知二次函数f (x )满足f (0)＝0，且对任意x ∈R 总有f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x ).【解】 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵f (0)＝c ＝0，∴f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1) ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ，f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .10．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ≤－，x 2－1<x，2x x，(1)在下列直角坐标系中画出f (x )的图象；图2­1­8(2)若f (t )＝3，求t 值． 【解】 (1)如图(2)由函数的图象可得：f (t )＝3即t 2＝3且－1＜t ＜2，∴t ＝ 3.[能力提升]1．如图2­1­9，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (f (2)))＝________.图2­1­9【解析】 由题意可知f (2)＝0，f (0)＝4，f (4)＝2， 因此，有f (f (f (2)))＝f (f (0))＝f (4)＝2. 【答案】 22．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x ，fx ＋x ，则f (3)＝________.【解析】 由函数解析式可知f (3)＝f (5)＝f (7)＝2. 【答案】 23．已知f (x )满足f (x )＋3f (－x )＝x 2－3x ，则f (x )＝________. 【解析】 用－x 替换原式中的x 得f (－x )＋3f (x )＝x 2＋3x ， 联立f (x )＋3f (－x )＝x 2－3x ，消去f (－x )得f (x )＝x 24＋32x .【答案】 x 24＋32x4．某公司规定：职工入职工资为2 000元/月．以后2年中，每年的月工资是上一年月工资的2倍，3年以后按年薪144 000元计算．试用列表、图象、解析式三种不同的形式表示该公司某职工前5年中，月工资y (元)(年薪按12个月平均计算)和年份序号x 的函数关系，并指出该函数的定义域和值域．【解】 由题意，前3年的月工资分别为2 000元，4 000元，8 000元，第4年和第5年的月工资平均为：144 00012＝12 000.当年份序号为x 时，月工资为y 元，则用列表法表示为：其解析式为：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 000×2x －1，x ∈{1，2，3}，12 000，x ∈{4，5}.由题意，该函数的定义域为{1,2,3,4,5}，值域为{2 000，4 000,8 000,12 000}．。