函数的对称性和周期性知识点精析
1．周期函数的定义
周期函数的定义：对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得
()()f x T f x 恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫
()f x 的最小正周期.2．函数的轴对称：
定理1：如果函数()y
f x 满足()()f a x f a x ，则函数()y f x 的图象关于直线x a 对称.
定理2：如果函数()y
f x 满足2f x f a x ，则函数()y f x 的图象关于直线x a 对称.
定理3：如果函数()y
f x 满足2f x f a x ，则函数()y f x 的图象关于直线x a 对称.
定理4：如果函数()y
f x 满足()()f a x f b x ，则函数()y f x 的图象关于直线2
a b x 对称.
定理5：如果函数()y
f x 满足()()f x f x ，则函数()y f x 的图象关于直线0x （y 轴）对称.
3.函数的点对称：
定理1：如果函数()y
f x 满足()()2f a x f a x b ，则函数()y f x 的
图象关于点(,)a b 对称.
定理2：如果函数()y
f x 满足22f x f a x b ，则函数()y f x 的
图象关于点(,)a b 对称. 定理3：如果函数()y
f x 满足22f x f a x b ，则函数()y f x 的
图象关于点(,)a b 对称. 定理4：如果函数()y
f x 满足()()0f a x f a x ，则函数()y f x 的
图象关于点(,0)a 对称. 定理5：如果函数()y
f x 满足()()0f x f x ，则函数()y f x 的图象关
于原点(0,0)对称. 4．函数的对称性与周期性的联系
定理3：若函数()y f x 在R 上满足()()f a x f a x ，且()()f b x f b x （其中a b ），则函数()y f x 以2()a b 为周期.
定理4：若函数()y f x 在R 上满足()()f a x f a x ，且()()f b x f b x （其中a b ），则函数()y f x 以2()a b 为周期.
定理5：若函数()y f x 在R 上满足()()f a x f a x ，且()()f b x f b x （其中a b ），则函数()y f x 以4()a b 为周期.
以上几类情形具有一定的迷惑性
,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析.
5．几种特殊抽象函数的周期：
函数
y f x 满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,
①f x f x a ，则y f x 是以T a 为周期的周期函数；②f x a f x ，则x f 是以2T a 为周期的周期函数；③1
f x a f x ，则x f 是以2T a 为周期的周期函数；
④f x a
f x a ，则x f 是以2T a 为周期的周期函数；⑤1
()()1
()f x f x a f x ，则x f 是以2T a 为周期的周期函数. ⑥1
()()1
()f x f x a f x ，则x f 是以4T a 为周期的周期函数. ⑦1
()()1()f x f x
a f x ，则x f 是以4T a 为周期的周期函数. ⑧函数()y
f x 满足()()f a x f a x （0a ），若()f x 为奇函数，则其周期为4T a ，
若()f x 为偶函数，则其周期为2T a .
⑨函数()y f x x R 的图象关于直线x a 和x b a b 都对称，则函数
()f x 是以
2b a 为周期的周期函数；
⑩函数()y f x x R 的图象关于两点0,A a y 、0,B b y a b 都对称，则函数()f x 是以2b a 为周期的周期函数；
⑾函数()y f x x R 的图象关于0,A a y 和直线x b a b 都对称，则函数()f x 是以4b a 为周期的周期函数；
6．判断一个函数是否是周期函数的主要方法
1.判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的
x 恒有()()f x T f x ;
二是能找到适合这一等式的非零常数T ，一般来说，周期函数的定义域均为无限集. 2.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。
