用心爱心专心1 函数的对称性和周期性知识点精析
1．周期函数的定义
周期函数的定义：对于()fx
定义域内的每一个x
，都存在非零常数T，使得
()()fxTfx
恒成立，则称函数()fx
具有周期性，T
叫做()fx
的一个周期，
则kT（,0kZk）也是()fx的周期，所有周期中的最小正数叫()fx的最小正
周期.
2．函数的轴对称：
定理1：如果函数()yfx满足()()faxfax，则函数()yfx的图象
关于直线xa
对称.
定理2：如果函数()yfx
满足2fxfax，则函数()yfx
的图象
关于直线xa
对称.
定理3：如果函数()yfx
满足2fxfax，则函数()yfx
的图
象关于直线xa对称.
定理4：如果函数()yfx
满足()()faxfbx
，则函数()yfx
的图象
关于直线
2ab
x对称.
定理5：如果函数()yfx
满足()()fxfx
，则函数()yfx
的图象关于
直线0x（y轴）对称.
3.函数的点对称：
定理1：如果函数()yfx
满足()()2faxfaxb
，则函数()yfx
的
图象关于点(,)ab
对称. 用心爱心专心2 定理2：如果函数()yfx
满足22fxfaxb，则函数()yfx
的
图象关于点(,)ab
对称.
定理3：如果函数()yfx满足22fxfaxb，则函数()yfx的
图象关于点(,)ab
对称.
定理4：如果函数()yfx
满足()()0faxfax
，则函数()yfx
的
图象关于点(,0)a
对称.
定理5：如果函数()yfx
满足()()0fxfx
，则函数()yfx
的图象关
于原点(0,0)对称.
4．函数的对称性与周期性的联系
定理3：若函数()yfx
在R上满足()()faxfax
，且
()()fbxfbx
（其中ab
），则函数()yfx
以2()ab
为周期.
定理4：若函数()yfx
在R上满足()()faxfax
，且
()()fbxfbx（其中ab），则函数()yfx以2()ab为周期.
定理5：若函数()yfx
在R上满足()()faxfax
，且
()()fbxfbx
（其中ab
），则函数()yfx
以4()ab
为周期.
以上几类情形具有一定的迷惑性,但读者若能区分是考查单一函数还是两个函
数,同时分析条件特征必能拨开迷雾,马到成功.下面以例题来分析.
5．几种特殊抽象函数的周期：
用心爱心专心3 函数yfx满足对定义域内任一实数x
（其中a
为常数）,
①fxfxa，则yfx是以Ta为周期的周期函数；
②fxafx
，则xf
是以2Ta
为周期的周期函数；
③1
fxa
fx，则xf
是以2Ta为周期的周期函数；
④fxafxa，则xf是以2Ta为周期的周期函数；
⑤1()
()
1()fx
fxa
fx，则xf是以2Ta
为周期的周期函数.
⑥1()
()
1()fx
fxa
fx，则xf是以4Ta为周期的周期函数.
⑦1()
()
1()fx
fxa
fx，则xf是以4Ta为周期的周期函数.
⑧函数()yfx
满足()()faxfax
（0a），若()fx
为奇函数，则其周期
为4Ta，
若()fx
为偶函数，则其周期为2Ta.
⑨函数()yfxxR的图象关于直线xa
和xbab都对称，则函数
()fx
是以
2ba
为周期的周期函数；
⑩函数()yfxxR的图象关于两点
0,Aay
、
0,Bbyab
都对称，则
函数()fx
是以2ba为周期的周期函数；
⑾函数()yfxxR的图象关于
0,Aay
和直线xbab
都对称，则函数
()fx
是以4ba
为周期的周期函数；
6．判断一个函数是否是周期函数的主要方法
1.
判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x
恒有
()()fxTfx
;
二是能找到适合这一等式的非零常数T，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.
2.
解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法
的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。
