97-99高数期末统考试题

一、填空题（共21分 每小题3分）1．曲线⎩⎨⎧=+=012x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ．2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{．4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．5．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<+≤<-=,0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π+．6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 Cxy =．7．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共18分 每小题6分）1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-02032z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n，则{}3,2,1111121=--=k j i n(4分)所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面)(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(⎰⎰⎰-=221020d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ (6分)3．计算二重积分⎰⎰+-=Dy x y x eI d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D解 ⎰⎰-=2020d d 2r r eI r πθ⎰⎰--=-20220)(d d 212r e r πθ⎰-⋅-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分）1．设vue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ．解：)2(232y y x x e y ue x e xv v z x u u z x z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (3分))2(223xy x y e x ue y e yv v z y u u z y z xy v v ++=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分)2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z所确定，求yzx z ∂∂∂∂,．解：令xyz e z y x F z-=),,(， (2分)则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F zz -= (5分)xye yzF F x z zz x -=-=∂∂， xy e xz F F y z z z y -=-=∂∂． (7分) 3．计算曲线积分⎰+-Ly x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰⎰⎰⎰+--=+-OA DL y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)ππ=-⋅=022 (7分)4．设曲线积分⎰++Lx y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，求)(x f ．解： 由xQ y P ∂∂=∂∂ 得 )()(x f x f e x'=+， 即xe xf x f =-')()( (3分)所以 )d ()(d d )1(C x e e e x f x x x+⋅=⎰⎰---⎰)(C x e x +=， (6分) 代入初始条件，解得1=C ，所以)1()(+=x e x f x ． (7分)5．判断级数∑∞=12)!2()!(n n n 的敛散性．解： 因为 )!2()!()!22(])!1[(lim lim221n n n n u u n nn n ++=∞→+∞→ (3分) )12)(22()1(lim2+++=∞→n n n n 141<= (6分) 故该级数收敛． (7分)四、（7分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (6分)34213π⋅⋅=π2=． (7分)五、（6分）在半径为R 的圆的内接三角形中，求其面积为最大的三角形．解：设三角形各边所对圆心角分别为z y x ,,，则π2=++z y x ，且面积为)sin sin (sin 212z y x R A ++=， 令)2(sin sin sin πλ-+++++=z y x z y x F (3分)由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+==+==+=πλλλ20cos 0cos 0cos z y x z F y F x F z yx (4分)得32π===z y x ．此时，其边长为R R 3232=⋅． 由于实际问题存在最大值且驻点唯一，故当内接三角形为等边三角形时其面积最大． (6分)六、（8分）求级数∑∞=1n nnx 的收敛域，并求其和函数．解： 1)1(lim lim1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n ，故收敛半径为1=R ． (2分) 当1-=x 时，根据莱布尼茨判别法，级数收敛； 当1=x 时， 级数为调和级数，发散．故原级数的收敛域为)1,1[-． (5分)设和为)(x S ，即∑∞==1)(n nnx x S ，求导得∑∞=-='11)(n n x x S x-=11， (6分) 再积分得 ⎰'=xx x S x S 0d )()(x xxd 110⎰-=)1ln(x --=，)11(<≤-x (8分) 七、（5分）设函数)(x f 在正实轴上连续，且等式⎰⎰⎰+=yx x yt t f x t t f y t t f 111d )(d )(d )(对任何0,0>>y x 成立．如果3)1(=f ，求)(x f ． 解：等式两边对y 求偏导得)(d )()(1y f x t t f y x f x x+=⎰ (2分)上式对任何0,0>>y x 仍成立．令1=y ，且因3)1(=f ，故有⎰+=xx t t f x xf 13d )()(． (3分)由于上式右边可导，所以左边也可导．两边求导，得3)()()(+=+'x f x f x f x 即)0(3)(>='x xx f ．故通解为 C x x f +=ln 3)(．当1=x 时，3)1(=f ，故3=C ． 因此所求的函数为 )1(l n 3)(+=x x f ． (5分)八． （5分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程． 解1：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故可设此方程为 )(2x f y y y =-'-''将x xe y=代入上式，得x x xe e x f 2)(-=，因此所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''解2：由线性微分方程解的结构定理知xe2与xe-是对应齐次方程的两个线性无关的解，xxe 是非齐次方程的一个特解，故x x x e C e C xe y -++=221是所求微分方程的通解，从而有 x x x x e C e C xe e y --++='2212，x x x x e C e C xe e y -+++=''22142消去21,C C ，得所求的微分方程为x x xe e y y y 22-=-'-''06高数B一、填空题（共30分 每小题3分）1．xoy 坐标面上的双曲线369422=-y x 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为36)(94222=+-z y x ．2．设函数22),,(z yz x z y x f ++=，则=-)1,0,1(grad f )2,1,2(--．3．直线35422:1z y x L =--=-+与直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y tx L 72313:2的夹角为2π． 4. 设Ω是曲面222y x z --=及22y x z +=所围成的区域积分，则⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分形式是⎰⎰⎰-22120d ),sin ,cos (d d r rz z r r f r r θθθπ．5. 设L 是圆周22x x y -=，取正向，则曲线积分=+-⎰Ly x x y d dπ2．6. 幂级数∑∞=--11)1(n nn n x 的收敛半径1=R ．7．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0．8．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．9．全微分方程0d d =+y y x x 的通解为Cxy =．10．写出微分方程xe y y y =-'+''2的特解的形式xaxe y =*．二、解答题（共42分 每小题６分）1．求过点)1,2,1(且垂直于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-03202z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,1111121=--=kj i n(4分) 所求平面方程为 032=++z y x (2分)2．函数),(y x z z =由方程z y x z y x 32)32sin(-+=-+所确定，求xz ∂∂． 解：令z y x z y x z y x F 32)32sin(),,(+---+=， (2分)则,1)32cos(--+=z y x F x 3)32cos(3+-+-=z y x F z ． (2分))32c o s (33)32c o s (1z y x z y x F F x z z x -+--+-=-=∂∂ ． (2分) 3．计算⎰⎰Dxy σd ，其中D 是由直线2 ,1==x y 及x y =所围成的闭区域．解法一： 原式⎰⎰=211d ]d [xx y xy (2分)x y x x d ]2[2112⎰⋅=x xx d )22(213⎰-= 811]48[2124=-=x x . (4分)解法二： 原式⎰⎰=212d ]d [y y x xy 811]8[2142=-=y y .(同上类似分)4．计算⎰⎰--Dy x y x d d 122，其中D 是由122=+y x 即坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域．解： 选极坐标系原式⎰⎰-=2012d 1πθr r r d (3分))1(1)21(22102r d r ---⋅=⎰π6π= (3分) 5．计算⎰Γ-+-z x y yz x z y d d 2d )(222，其中Γ是曲线,t x =,2t y =3t z =上由01=t 到12=t 的一段弧．解：原式⎰⋅-⋅+-=122564d ]322)[(t t t t t t t (3分)⎰-=146d )23(t t t 1057]5273[t t -=351= (3分)6．判断级数∑∞=-1212n n n 的敛散性． 解： 因为 n n n nn n n n u u 2122)12(lim lim11-+=+∞→+∞→ (3分) 121<=， (2分) 故该级数收敛． (1分) 7．求微分方程043=-'-''y y y 满足初始条件,00==x y 50-='=x y 的特解． 解：特征方程 0432=--r r ，特征根 1,421-==r r通解为 x xe C e C y -+=241， (3分)x xe C e C y --='2414，代入初始条件得 1,121=-=C C ，所以特解x x e e y -+-=4．(3分)三、（8分）计算曲面积分⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ，其中∑是上半球面221z y x --=的上侧．解：添加辅助曲面1,0:221≤+=∑y x z ，取下侧，则在由1∑和∑所围成的 空间闭区域Ω上应用高斯公式得⎰⎰∑++y x z x z y z y x d d d d d d ⎰⎰∑+∑++=1d d d d d d y x z x z y z y x ⎰⎰∑++-1d d d d d d y x z x z y z y x (4分)0d 3-=⎰⎰⎰Ωv (2分)34213π⋅⋅=π2=． (2分) 四、（8分）设曲线积分⎰-+Ly x x xf x x yf d ])(2[d )(2在右半平面)0(>x 内与路径无关，其中)(x f 可导，且满足1)1(=f ，求)(x f ．解：由xQy P ∂∂=∂∂， 得x x f x x f x f 2)(2)(2)(-'+=，即1)(21)(=+'x f xx f ， (3分) 所以)d ()(d 21d 21C xeex f x x x x +=⎰⎰-⎰)(2121C dx x x+=⎰-)32(2321C x x+=-， (3分)代入初始条件，解得31=C ，所以xx x f 3132)(+=． (2分)五、（6分）求函数xy y x y x f 3),(33-+=的极值． 解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=033),(033),(22x y y x f y x y x f y x 得驻点 )1,1(),0,0( (3分),6),(x y x f xx = ,3),(-=y x f xy y y x f yy 6),(=在点)0,0(处，,092>=-AC B 故)0,0(f 非极值；在点)1,1(处，,0272<-=-AC B 故1)1,1(-=f 是极小值． (3分)六、（6分）试证：曲面)(xyxf z =上任一点处的切平面都过原点．证：因),()(xyf x y x y f x z '-=∂∂ )(1)(x y f x x y f x y z '=⋅'=∂∂ (3分) 则取任意点),,(0000z y x M ，有)(0000x y f x z =，得切平面方程为))(())](()([)(00000000000000y y x yf x x x y f x y x y f x y f x z -'+-'-=- 即 0)()]()([0000000=-'+'-z y x y f x x y f x y x y f 故切平面过原点． (3分)07A一、 填空题（每小题3分，共21分）.1．设向量}5,1,{},1,3,2{-==λb a ，已知a 与b垂直，则=λ1-2．设3),(,2,3π===b a b a ，则=-b a 6-3．yoz 坐标面上的曲线12222=+bz a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=++bz a y x4．过点)0,4,2(且与直线⎩⎨⎧=--=-+023012z y z x 垂直的平面方程0832=+--z y x5．二元函数)ln(y x x z +=的定义域为}0,0,({>+≥=y x x y x D6．函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(gradf }1,0,1{7．设xy e z=，则=dz )(xdy ydx e xy +8．设),(x y x xf u =，f 具有连续偏导数，则=∂∂x u21f xyxf f -+ 9．曲线32,,t z t y t x ===上点)1,1,1(处的切向量=T}3,2,1{10．交换积分顺序：⎰⎰=ydx y x f dy 010),(⎰⎰110),(xdyy x f dx11．闭区域Ω由曲面222y x z+=及平面1=z 所围成，将三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰πθθθ20101),sin ,cos (r dz z r r f rdr d12．设L 为下半圆周21x y--=，则=+⎰ds y xL )(22π13．设L 为取正向圆周922=+y x，则=-+-⎰dy x x dx y xy L )4()22(2π18-14．设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧<≤≤<-=ππx xx x f 000)(则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π15．若0lim ≠∞→nn u ，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散16．级数∑∞=1!2n n n nn 的敛散性是 收敛17．设一般项级数∑∞=1n n u ，已知∑∞=1n n u 收敛，则∑∞=1n n u 的敛散性是 绝对收敛18．微分方程05)(23=+'-''xy y y x 是 2 阶微分方程19．微分方程044=+'+''y y y 的通解=y xx xe C e C 2221--+20．微分方程x xe y y y 223=+'-''的特解形式为xe b ax x 2)(+二、（共5分）设xy v y x u v u z ===,,ln 2，求yz x z ∂∂∂∂,解：]1)ln(2[1ln 2222+=⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy y x y v u y v u x v v z x u u z x z]1)ln(2[)(ln 23222--=⋅+-⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂xy yx x v u y x v u y v v z y u u z y z 三、（共5分） 设022=-++xyz z y x ，求xz∂∂ 解：令xyz z y x z y x F 22),,(-++=x y zyzxyz F x -=xyzxyxyz F z -=xyxyz xyz yz F F x zz x --=-=∂∂ 四、（共5分）计算⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域解：y x z x y x --≤≤-≤≤≤≤Ω10,10,10:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ω--==xyx xdy y x x dx xdz dy dx xdxdydz 1010101010)1(241)2(21)1(213102102=+-=-=⎰⎰dx x x x dx x x 五、（共6分）计算⎰-+-Lx x dy y e dx y y e )1cos ()sin (，其中L 为由点)0,(a A 到点)0,0(O 的上半圆周ax y x =+22解：添加有向辅助线段OA ,则有向辅助线段OA 和有向弧段OA 围成闭区域记为D ，根据格林 公式⎰-+-Lxx dy y e dx y y e )1cos ()sin ( ⎰⎰⎰-+--=DOAx x dy y e dx y y e dxdy )1cos ()sin (0)2(212-=a π 381a π= 六、（共6分）求幂级数∑∞=-13)3(n nn n x 的收敛域 解：对绝对值级数，用比值判敛法3313131lim 333)1(3lim lim 111-=-⋅+=-+-=∞→++∞→+∞→x x n n n x n x u u n n nn n n n n n 当1331<-x 时，即60<<x ，原级数绝对收敛 当1331>-x 时，即60><x x 或，原级数发散 当0=x 时，根据莱布尼兹判别法，级数∑∞=-1)1(n nn收敛当6=x时，级数∑∞=11n n发散，故收敛域为)6,0[七、（共5分） 计算dxdy z⎰⎰∑2，其中∑为球面1222=++z y x 在第一卦限的外侧解：∑在xoy 面的投影xy D ：0,0,122≥≥≤+y x y xdxdy z ⎰⎰∑2dxdy y x xyD )1(22--+=⎰⎰rdr r d )1(20102⎰⎰-=πθ412⋅=π8π=八、（共7分）设0)1(=f ，求)(x f 使dy x f ydx x f x x )()](1[ln ++为某二元函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u解：由x Q y P ∂∂=∂∂，得)()(1ln x f x f x x '=+，即x x f xx f ln )(1)(=-' 所以)ln 21()1ln ()ln ()(211C x x C dx x x x C ex ex f dxx dxx+=+⋅=+=⎰⎰⎰⎰---带入初始条件，解得0=C,所以x x x f 2ln 21)(=⎰++=),()0,0(22ln 21)ln 21(ln ),(y x xdy x ydx x x y x u⎰⎰+=xyxdy x 002ln 210x xy 2ln 21=07高数B一、（共60分 每题3分）1. 设向量}4 ,2 ,6{-=a ，}2 ,1 ,{-=λb ，已知a 与b平行,则=λ3-．2. yoz 坐标面上的曲线12222=-c z a y 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122222=-+bz a y x ． 3.设3),(,1,2π===∧b a b a ,则a b -=3．4. 设一平面经过点)1,1,1(，且与直线⎩⎨⎧=+=--03042z y y x 垂直，则此平面方程为032=-+z y x ．5. 二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为{}012|),(2>+-x y y x ．6. 设xye z =，则=z d )d d (y x x y e xy +．7. 函数)ln(),,(222z y x z y x f ++=，则=)1,0,1(grad f )1,0,1(．8.设(,)y u xf x x =，f 具有连续导数，则u x ∂=∂12yf xf f x''+-．9. 曲面1222=++z y x 在点)2,0,1(-处的法向量=n{}4,0,2-． 10. 交换积分顺序：⎰⎰=1d ),(d x y y x f x ⎰⎰101d ),(d yx y x f y ．11.闭区域Ω由曲面22y x z +=及平面1=z 所围成，将三重积⎰⎰⎰Ωv z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分为⎰⎰⎰11202d ),sin ,cos (d d rz z r r f r r θθθπ．12. 设∑是闭区域Ω的整个边界曲面的外侧,V 是Ω的体积，则 ⎰⎰∑++y x z x z y x y x d d d d d d =V 3．13. 设L 为上半圆周21x y -=，则=+⎰Ls y x d )(22π．14. 设周期函数在一个周期内的表达式为⎩⎨⎧≤<≤<-=,0,0,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于2π．15. 若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 ． 16. 级数∑∞=1!5n n nn n 的敛散性是 收敛 ．17.级数∑∞=12sin n nn的敛散性是 收敛 ． 18. 微分方程06)(542=+'+''y y y x 是 2 阶微分方程． 19. 微分方程02=+'-''y y y 的通解为)(21x C C e x +．20.微分方程x xe y y y 2365-=+'+''的特解的形式xe bx ax y 22*)(-+=．三、（共5分）函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，求xz∂∂． 解：令=),,(z y x F z z y x 4222-++， (1分)则 ,2x F x = ,42-=z F z (2分)zxF F x z z x -=-=∂∂2 (2分) 五、（共6分）计算曲线积分⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22，其中L 为由点)0,2(A 到点)0,0(O 的上半圆周x y x 222=+．解：添加有向辅助线段，它与上半圆周围成的闭区域记为D ，根据格林公式⎰+--Ly y x x y x d )sin (d )2(22⎰⎰⎰+---+-=OADy y x x y x y x d )sin (d )2(d d )21(22 (3分)⎰⎰=Dy x d d ⎰-22d x x 3823212132-=-⋅⋅=ππ (3分)七、（共6设0)1(=f ，确定)(x f 使y x f x xyx f x d )(d )]([sin +-为某二元函数(,)u x y 的全微分．解： 由xQy P ∂∂=∂∂ 得 )()(sin x f x x f x '=-， 即 xxx f x x f s i n )(1)(=+' (2分) 所以 )d sin ()(d x 1d 1C xe xx ex f x x x+⋅=⎰⎰⎰-)d sin (ln ln C x e xx e xx +⋅=⎰- (2分) )cos (1C x x+-=， (1分) 代入初始条件，解得1cos =C ，所以)cos 1(cos 1)(x xx f -=． (1分) 八、(共6分) 计算⎰⎰∑y x z d d 2，其中∑是球面1222=++z y x 外侧在,0≥x 0≥y 的部分．解：⎰⎰∑y x z d d ⎰⎰∑=1d d y x z ⎰⎰∑+2d d y x (2分)⎰⎰--=xyD y x y x d d )1(22⎰⎰----xyD y x y x d )d 1()1(22 (2分) ⎰⎰--=xyD y x y x d )d 1(222r r r d )1(d 21220⋅-=⎰⎰πθ 4π=(2分)08高数A一、选择题（共24分 每小题3分）1．设{}1111,,p n m s =，{}2221,,p n m s =分别为直线1L ，2L 的方向向量，则1L 与2L 垂直的充要条件是 （A ）（A ）0212121=++p p n n m m （B ）212121p p n n m m ==（C ）1212121=++p p n n m m （D ）1212121=++p pn n m m 2．Yoz 平面上曲线12+=y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为 ( C )（A ）12+=y z （B ）22x y z +=（C ）122++=x y z （D ）x y z +=23．二元函数12ln2+-=x y z 的定义域为 （B ）（A ）{}02|),(2>-x y y x （B ）{}012|),(2>+-x y y x （C ）{}012|),(2≤+-x y y x （D ）{}0,0|),(≥>y x y x4．交换积分顺序：1d (,)d yy f x y x =⎰⎰ （ A ）（A ）dy y x f dx x ⎰⎰110),(（B ）dx y x f dy y ⎰⎰110),(（C ）dx y x f dy y⎰⎰110),(（D ）dy y x f dx x⎰⎰110),(5．空间闭区域Ω由曲面1=r 所围成，则三重积分⎰⎰⎰Ωv d 2= （ C ） （A ）2 （B ）2π （C ）38π （D ）34π 6．函数),(y x z z =由方程04222=-++z z y x 所确定，则xz∂∂= （ D ） （A ）zy -2 （B ）y x-2 （C ）zz-2 （D ）zx-27．幂级数∑∞=13n n nn x 的收敛域是 （ C ）（A ）][3,3- （B ）](3,0（C ） [)3,3- （D ）()3,3-8．已知微分方程xe y y y =-'+''2的一个特解为x xe y =*，则它的通解是（ B ）（A ）x xe x C x C ++221（B ）x x x xe e C e C ++-221（C ）x e x C x C ++221（D ）x x x xe e C e C ++-21二、填空题（共15分 每小题3分）1．曲面z y x =+22在点)1,0,1(处的切平面的方程是012=--z x ． 2．若lim 0n n u →∞≠，则级数∑∞=1n n u 的敛散性是 发散 ． 3．级数∑∞=12cos n nn的敛散性是 绝对收敛 ． 4．二元函数2221sin)(),(xy x y x f +=，当()()0,0,→y x 时的极限等于 0 。

高等数学检测试题一 .选择题 （每题4分，共20分） 1.=⎰-dx x 11（ ）A. 2B. 1C. 0D. -1 （B ）2，极限242(,)(0,0)2limx y x yx y →=+ A ，0 B ，1 C,0.5 D ，不存在 （D ） 3.积分=-⎰dx x11( )A.c x x +--1lnB. c x x +--)1ln (2C.c x x +-+1lnD. -c x x +-+)1ln (2 （D ）4.设f(x)的导数在x=a 处连续，又x a()lim2f x x a→'=-，则 （ ） A.x=a 是f(x)的极小值点 B.x=a 是f(x)的极大值点 C.(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点 D.x=a 不是f(x)的极值点 (A)5.已知F(x)的一阶导数(x)F'在Ｒ上连续，且0F(0)=， 则⎰=0x (t)dt x F'd （ ）A. (x)dx xF'-B. (x)dx xF'C. (x)dx]xF'[F(x)+-D. (x)]dx xF'[F(x)+-（D ）二．填空：（每题4分，共20分）1. 若D 是平面区域(){}e y x y x ≤≤≤≤1 ,10|,，则二重积分=⎰⎰dxdy y x D （ 21） 2、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = 1 ，b = -1 ；3．设由方程0=-xyz e z确定的隐函数()=∂∂=x zy x f z 则,,（ ()1-z x z ）4，设{}222(,)|D x y x y a =+≤（a ＞0，常数），若23Dπ=，则a= (-1)5 数列极限lim(cos cos cos )→∞-+++=22221n n nnnn ππππ .2π三．解答题 （每题5分，共20分）1. 设)(x f 在[a ，b ]上连续，且],[)()()(b a x dtt f t x x F xa∈-=⎰，试求出)(x F ''解：⎰⎰-=xaxadtt tf dt t f x x F )()()(⎰⎰=-+='xaxadtt f x xf x xf dt t f x F )()()()()()()(x f x F =''2. 求不定积分=+⎰dx x x1593．求极限420sin 1lim2x tdt t x x ⎰+→（5分）解：21sin 21lim 42sin 1lim sin 1lim224032404202=+=⋅+=+→→→⎰xx x x x x x x tdt t x x x x -------（5分）4．求表面积为a 2而体积为最大的长方体的体积.解 设长方体的三棱的长为x , y , z , 则问题就是在条件2(xy +yz +xz )=a 2下求函数V =xyz 的最大值. 构成辅助函数F (x , y , z )=xyz +λ(2xy +2yz +2xz -a 2),解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++==++==++=22220)(2),,(0)(2),,(0)(2),,(a xz yz xy x y xy z y x F z x xz z y x F z y yz z y x F zy x λλλ,得az y x 66===, 这是唯一可能的极值点. 因为由问题本身可知最大值一定存在,所以最大值就在这个可能的值点处取得. 此时3366a V =.四．计算题．（共20分）1．求由曲线xx e y e y -==,与直线1=x 所围成的平面图形面积及这个平面图形绕x 轴旋转所成旋转体体积．（10分）解：曲线xe y =与x e y -=的交点为（0，1），曲线x e y =与xe y -=和直线1=x 的交点分别为（1，e ）和（1，1-e ）,所围平面图形如图阴影部分， 取x 为积分变量，其变化范围为[0，1]，所求面积为dxe e S x x )(1--=⎰-----2(|)(110-+=+=--e e e e x x ）------------- 所求旋转体体积为))21102dx e dx e V x x -⎰⎰-=ππ---2(2|)2121(221022-+=+=--e e e e x x ππ）-2.计算⎰∞+- 1101x x dx（10分）解：⎰∞+- 1101x x dx⎰-=1104t 1dt t⎰-=1 0 105t1)d(t51 +=1 05)]arcsin(t 51[10π=五．证明题：（共20分）1．．试证：⎰⎰ππ=2020)(cos )(sin dx x f dx x f （8分） 证明： 令x=u -2π则⎰⎰⎰⎰==-=2020202)(cos )(cos )(cos )(sin ππππdx x f du u f du u f dx x f2．设函数)(x f 在[]π,0上连续，且)(0=⎰πx d x f ，cos )(0=⎰πdx x x f .证明：在()π,0内方程f(x)=0至少存在两个根。

高数的期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5x - 1，求f'(x)。

A. 6x^2 - 6x + 5B. 6x^2 - 4x + 5C. 6x^2 + 5D. 6x^2 + 4x + 5答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值是：A. 0B. 1C. ∞D. 不存在答案：B3. 曲线y = x^2 + 3x - 2在点(1, 2)处的切线斜率是：A. 4B. 5C. 6D. 7答案：B4. 函数f(x) = sin(x) + cos(x)的周期是：A. πC. π/2D. π/4答案：B5. 定积分∫[0,1] x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A6. 级数∑(1/n^2) 从n=1到∞是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 振荡的答案：A7. 函数f(x) = e^x的泰勒展开式在x=0处的前三项是：A. 1 + x + x^2/2B. 1 + x + x^2C. 1 + x + x^2/2! + x^3/3!D. 1 + x + x^2/2 + x^3/6答案：A8. 曲线y = ln(x)在点x=1处的切线方程是：B. y = x - 1C. y = 1 - xD. y = x答案：A9. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点是：A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 4答案：C10. 函数f(x) = √x的原函数是：A. x^(3/2)B. x^(1/2)C. 2x^(3/2)/3D. 3x^(3/2)/2答案：C二、填空题（每题2分，共10分）11. 若f(x) = x^4 + 3x^3 - x^2 - 5x + 6，则f''(x) = ____________。

答案：12x^2 + 18x - 212. 函数y = e^(-x)的导数是 __________。

第一学期高等数学期末考试试卷答案•计算题（本题满分35分，共有5道小题，每道小题7分）,1 .求极限limx x 1 cosx i；-2.3sinx解:/ x1 cosx -2xlimx)0二limx)033sin x xln kcosxe 2-1x 1 cosx 心x_0—sin x X—P1 cosx 2xxln二lim—-1x 0 , 1 cosxxln ------2•设x > 0时，f x与解:由于当x > 0时,f dtli m x )0limAx x「o6Akx1k -1f 1 +cosx、Jli二linx )0-1.1 cosxxln ------limx )0二limx ]0x2是等价无穷小，23xf t dt与Ax k等价无穷小，求常数k与A•f tdt3 &f t dt与A k等价无穷小，所以lim」_k tAx=1 .而0 _f^x 3；F="m f辰爲厂Akx k t 0|因此，k=1, A 二x323 22 3 xk -JAkx3.如果不定积分= lim X X2—2—二limx 306Akx'33k 二x )06Akx^1[ dx中不含有对数函数，求常数a与b应满足的条件.x ax b2 .x ax b __________ 2■ Tj2" "x 1 1x 化为部分分式，有2x ax b A B Cx D__________________________ = ________ r _____________ r —x 1 2 1 x x 1 x 1 1 x2x ax b dx中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数x 1 22 1 厂A = C = 0 -2即X2 ax b _ B D _ B 1 X ； D x 12(x+1 $1 +x2) (x +1 )2 1 +x2 ~(x 十1弭十x)所以，有x2 ax b = B x2 D x 12「D £ 2Dx B D -比较上式两端的系数，有1 = B D, a =2D, ^B D •所以，得b = 1 •52 d5•计算定积分min" |x—2>dx•解：• I 彳x 2}Q x —2| |x — 2 兰1min〔1, x-2 i = \円1円1 |x_2>1f x v12-x121 Jx 乞2=$ .x—2 2vx兰3x—2 } dx = J1dx + J(2 — x)dx 十J(x—2)dx =因此不定积分3 52 ___________所以，mi,n 1,5.设曲线C的极坐标方程为r =asin 3二，求曲线C的全长.313 8曲线r =asin3-一周的定义域为3 Q，即0乞二乞3二•因此曲线C的全长为3JI 002 ・ 6 •• 2 ・ 4 •• 2 .a sin a sin cos d3 3 3 0第2页共7页•（本题满分45分，共有5道小题，每道小题9分）,6•求出函数fx=nm晋的所有间断点并指出这些间断点的类型解：型间断点.7•设 是函数f x = arcsinx 在区间〔0, b ］上使用Lagrange （拉格朗日）中值定理中的 中值” 求极限lim—b解：f （x ）= arcsinx 在区间〔0, b 】上应用Lagrange 中值定理，知存在 匕丘（0, b ），使得所以，2•因此,arcs inb= lim a：sinb[2b—0 b arcs inb2令 t =arcsinb ,则有b )0x|x :：:sin (兀 x )5)=愧而歹2 1 2 1 因此x 1二-1与x ^ =1是函数2 222 !02|xf X 的间断点.lim f x = lim _0 = 0， 1 — — x - _2可去型间断点. 1 x ——_2lim . f x = lim sin 二 x = -1， 因此X = - 1是函数f x 的第一类lim _f x = lim书inlimlim 0 = 0，因此x1是函数f x 的第一类可去lim —2 b 2arcs inb - arcsb _0.2 2 . 2 2 . 2t - sin t t - sin t lim 才=lim lim 汁亠 b 卩 b t 0 t si nt t 0 ta - 0在区间-：：,-::内实根的个数.令「X =0，得函数f x 的驻点x i =0,由于a 0，所以2 -xxlim f(x)=Jim ax e T )=邑，= lim 2t —sin2t t 0 3 4t 二 lim t 0^2^ KJlim 2^ 16t 0 lim 12t6七刃2t所以，lim b 01 -x8 设 f X = ey2』dy ，求 f f(x)dx-0 解: 1 『f (x )dx = xf (x j 0 - [xf "(x )dx 01 _x在方程 f (x )= j e y fj»y 中，令 x=1 ,得 0 f （1）」同诃=泮空=0 •0 0再在方程f x ]=1丄 e y2」dy 两端对x 求导，得f x i ；=0 1 -x2-e，1 11因此，f x dx0 001二 xf x| 0 - xf x dx - - xf x dx 1 142二 xe12 dx = e xe dx 二e解:设函数f x =ax2e^ -1， f x 二 2axe^ 2 -x-ax e各有一个零点，即方程e lax'在（-旳，+旳）'内有3个实根•2⑵右4ae‘—仁0，即时，函数fCx^ax ；」—1在（一近' °）、（ °，+迂）内各有一个2⑶ 若4a e‘-仁°，即ac ；时，函数伦戶拟；」—1在（—°°，°）有一个零点，即方程e =ax 在（—旳，+旳）内有1个实根.1°.设函数f x 可导，且满足f -x=xfx-1 ，f 0=0.试求函数f X 的极值.解：在方程 f '( 一 x )= x(f '(x J-1 中令 t = —X ，得 f "( t )= —t ( f '( 一 t )一 1 卜即f X 二- X f 〔 一 X - 1 .X —oO(-«, °) °(°，2) 2 （2，代） +□0「（X ）—°+°—f (x ) + Q0-124ae -11-1因此，得函数f X 的性态⑴若4ae-1 O 即 24时，函数 f x i ；=ax e -1在 0、 °，2、 2,x2零点，即方程e 二ax 在_ :二-::内有2个实根.在方程组7fx XXf f-Hx —x中消去f _x ，得2 2由f X a X :得函数f x 的驻点X 1 =0, X 2 = -1 •而f x =1 2x~x •所以，1+X(1 + x 2)J1 f 0 =1 0，f -10•所以，f 0 =0是函数f x 极小值； f 一1 = 一1 fln2 _丄是函数f x 极大值.三•应用题与证明题（本题满分 20分，共有2道小题，每道小题10分）,11.求曲线y= X 的一条切线，使得该曲线与切线|及直线x = 0和X = 2所围成的图形绕X 轴旋 转的旋转体的体积为最小. 解:设切点坐标为,、tt ，由y 二丄，可知曲线y =“x 在t, t .处的切线方程为2左"缶…），或因此所求旋转体的体积为e f x arctanxdx = 1 , f 1 ；=0 •2t t 2wdt=x 1In 1 x 2- arctanx -2VIt川 2dx=y_38Il uI 4 2t所以，dVdt41兀f1-2^— + 21=0 .得驻点 t = ± ，舍去 t = .由于33■ : 163t d 2V dt 223t因而函数V 在t = 2处达到极小值，而且也是最小值.因此所求3切线方程为y =12.设函数f X 在闭区间〔0,1 ］上连续，在开区间0, 1内可导，且第6页共7页证明：至少存在一点I 三,0， 1，使得f —= （1 +乎）arctan©解:因为f （x ）在闭区间［0, 1 ］上连续，所以由积分中值定理，知存在2e f x arctanxdx 2 e f h arctan .212 1由于 [e f f )arctanxdx =-, 所以，一 e f ("arctan H = — •再由 f (1)=0，得0 2 二 2e f arctan 二二=e f 「brctan1.作函数 g （x ）=e f F ） ［ 4 （arcta nx ，则函数在区间n , 1］u ［。