《高等数学(1)下》期末考试试卷A(1)

大一下学期高数期末试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 极限的定义中，ε的值可以是（）。

A. 任意正整数B. 任意正实数C. 固定正整数D. 只有12. 若函数f(x)在点x=a处连续，则以下哪项正确？（）A. f(a)为f(x)在x=a处的极限值B. f(a)等于f(x)在x=a处的左极限值C. f(a)等于f(x)在x=a处的右极限值D. 所有上述选项都正确3. 以下级数中，收敛的是（）。

A. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...B. (1 + 1/2) + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6) + ...C. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - ...D. 1 + 1/√2 + 1/√3 + 1/√4 + ...4. 函数y = x^2的导数为（）。

A. 2xB. x^2C. 1/xD. -2x5. 微分方程dy/dx = x^2, y(0) = 0的解为（）。

A. y = x^3B. y = -x^3C. y = 1/xD. y = -1/x二、填空题（每题2分，共10分）6. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) = _______。

7. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的单调递增区间为 _______。

8. 定积分∫(0→2) x^2 dx = _______。

9. 曲线y = x^3在点x=1处的切线斜率为 _______。

10. 微分方程d/dx(y^2) = 2xy，y(0) = 0的通解为 y = _______。

三、计算题（每题10分，共30分）11. 求函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5从x=-1到x=3的定积分值。

12. 求函数g(x) = e^(2x)的导数，并计算在区间[0,1]上的定积分值。

13. 求由曲线y = x^2, y = 2x - 1, x = 0所围成的面积。

北京化工大学2017——2018学年第一学期《高等数学（I ）》期终考试试卷A班级： 姓名： 学号： 分数：一、填空题（3分×6=18分）1．若0x →时，1cos x -与kx 为同阶无穷小，则k = ；2. 1x =为函数 sin ()1xf x x π=-的 间断点；3．设231()1x xf x dt t=+⎰，则(1)f '=； 4．曲线ln(y x =在点(0,0)处的曲率k = ； 5．120171(x dx-+=⎰；6．微分方程 20y y y '''-+= 的通解为 。

二、解答题(6分×7=42分) 1. 求极限 0sin 22sin limtan x x xx x→--2. 设函数()y y x =由方程lncos sec x t y a t=⎧⎨=⎩确定，若()y y x =为微分方程x dyy e dx -=+的解，求常数a 的值。

3. 求不定积分ln(1dx +⎰4. 将函数()arctan f x x = 展开为带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式。

5.求曲线24(1)y x =--与22(2)y x =-- 围成的平面图形的面积。

6.求曲线22ln 1yx x =+-上拐点处的切线方程。

7. 计算曲线3sin ,(0)3a a θρ=>相应于03θπ≤≤的一段弧的长度。

三．解答题（7分×5=35分）1. 设101()10x xx xf x x e e -⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩，计算2(1)f x dx -∞-⎰。

2. 求微分方程cos y y x x ''+=+的通解。

3. 求由曲线sin ,cos ,(0)2y x y x x π==≤≤及直线0,2x x π==围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

4. 设21sin ()x tf x dt t=⎰，求10()xf x dx ⎰。

高等数学a1期末考试题库及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数y=f(x)在点x=a处的导数为f'(a)，那么在点x=a处的切线斜率是多少？A. f(a)B. f'(a)C. f'(a)+1D. f(a)+f'(a)答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x / x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 以下哪个选项是连续函数？A. 函数y=x^2在x=0处B. 函数y=1/x在x=0处C. 函数y=|x|在x=0处D. 函数y=x^3在x=1处答案：D4. 定积分∫(0 to 1) x^2 dx的值是多少？A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数y=x^3-3x+1的导数是______。

答案：3x^2-32. 函数y=e^x的不定积分是______。

答案：e^x + C3. 函数y=ln(x)的定义域是______。

答案：(0, +∞)4. 如果函数f(x)=x^2-4x+c，且f(1)=-3，则c的值为______。

答案：0三、解答题（每题15分，共30分）1. 求函数y=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：首先求导数y'=3x^2-12x+11，令y'=0，解得x=1或x=11/3。

经检验，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。

2. 计算定积分∫(0 to 2) (2x+3) dx。

答案：首先求原函数F(x)=x^2+3x，然后计算F(2)-F(0)=4+6-0=10。

四、证明题（每题15分，共15分）1. 证明：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在该区间上一定有最大值和最小值。

答案：根据闭区间上连续函数的性质，函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上一定有最大值和最小值。

可以通过构造f(x)在[a,b]上的上界和下界，然后利用连续性证明存在最大值和最小值。

学院
P3 P4
得
五、判定级数敛散性或级数求和
分
（共 21 分，第 1、2 小题每题 6 分，第 3 小题 9 分）
1. 判定级数
1
的敛散性.
n=1 n (n +1)(n + 2)
3. 求幂级数
xn
的收敛域及和函数．Biblioteka n=1 n 3n线
学号
栏
姓名
息
订
信
班级
2. 判定级数 (−1)n
1
是绝对收敛、条件收敛或发散.
分
1. 函数 z = ln x2 + y2 ，求 z , z x y
2. 设 z = f (x, y) 是由 x2 + y2 + z2 − 4z = 0 所确定的隐函数，求 z , 2z . x xy
得
四、计算积分（共 18 分，每小题 6 分）
分
1. y dxdy ，其中 D 是由直线 y = 2x , y = x 及 x = 1 , x = 2 所围成的区域.
.
考 专业 装
学院
3．设 f (x, y) 是有界闭区域 D : x2 + y2 2 上的连续函数，则 I = lim 1 f (x, y)d =
→0+
2 D
.
2
2
4. 交换二次积分 dx f (x, y)dy 的积分次序
1
x
.
5．若级数 an 收敛于 a ，则级数 (an − ) an+1 =
.
n =1
n=1
6．若 (ln a)n 发散，则 a 的取值范围是
.
n =1
7. 设 D = {(x, y) | 9 x2 + y2 4} ，