必做03 二项式定理及其应用(原卷版)
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理科必做题专题3 二项式定理及其应用【三年高考】1. 【2016年高考四川理数改编】设i 为虚数单位，则6()x i +的展开式中含x 4的项为 ．2．【2016年高考北京理数】在6(12)x -错误！未找到引用源。
的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）3.【2016高考新课标1卷】5(2)x x +的展开式中,x 3的系数是 .（用数字填写答案）4.【2016高考天津理数】281()x x-的展开式中x 2的系数为__________.(用数字作答)5.【2016高考山东理数】若（a x 2+1x）5的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______. 6．【2015高考湖南，理6】已知5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =____________.7.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为_________.8.【2015高考湖北，理3】已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为______________.9.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．10.【2015高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）．11.【2014高考湖北卷理第2题】若二项式7)2(x ax +的展开式中31x的系数是84，则实数=a _______. 14. 【2014山东高考理第14题】 若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值 .13. 【2014全国1高考理第13题】()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案）14.【2014高考安徽卷理第13题】设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式为n n x a x a x a a ++++ 2210.若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a .【2017年高考命题预测】纵观近几年各地高考，我们可以发现对二项式定理的考查,重点是二项式定理的通项公式、二项式系数及项的系数；以考查基本概念、基础知识为主，如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围等；难度不大，属于中档题和容易题，题型为选择题或填空题．二项式定理是高考数学相对独立的内容，二项式定理的知识在高考中经常以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度不大，个别题有一定的难度,重点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分，化归转化等思想方法.为此，只要我们把握住二项式定理及其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解.预测2017年高考仍可能以二项式的通项,二项式系数，展开式系数为主，可单独考查本节知识，也可出现与其他章节知识结合的小综合.如可能与定积分结合出题，试题难度中等．复习建议:⑴ 运用二项式定理一定要牢记通项1r n r r r n T C a b -+=，注意()na b +与()nb a +虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，我们一定要注意顺序问题.另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指r n C ，而后者是字母外的部分.⑵ 对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；③证明不等式时，应注意运用放缩法.⑶ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r ，再求1r T +，有时还需先求n ，再求r ，才能求出1r T +.⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.⑸ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑹ 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.⑺ 用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.【2017年高考考点定位】本节内容高考的重点就是利用二项式定理的通项公式、二项式系数及项的系数；以考查基本概念、基础知识为主，如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围等，题型既有选择题也有填空题，难度中等偏下，而小题目综合化是这部分内容的考查一种趋势. 【考点】二项式定理 【备考知识梳理】 1. 二项式定理()()011*nn n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=+++++∈ ，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做()na b +的二项展开式，其中的系数rn C (0,1,2,3,,r n = )叫做二项式系数．式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即展开式的第1r +项；1r n r r r n T C a b -+=.2．二项展开式形式上的特点：(1)项数为1n +.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从0n C ，1n C ，一直到1n n C -，n n C .3. 二项式系数的性质：(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即0nn n C C =，11n n n C C -=， ，m n m n nC C -=.(2)增减性与最大值：二项式系数rn C ，当12n r +≤时，二项式系数是递增的；由对称性知：当12n r +>时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，中间的一项2nn C 取得最大值．当n 是奇数时，中间两项12n nC + 和12n nC-相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：()na b +的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即012r nn n n n n C C C C +++++= ，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即02413512n n n n n n n C C C C C C -+++=+++= ，4.注意:（1）．分清r n r r n C a b -是第1r +项，而不是第r 项.(2)．在通项公式1r n r rr n T C a b -+=中，含有1r T +、rnC 、a 、b 、n 、r 这六个参数，只有a 、b 、n 、r 是独立的，在未知n 、r 的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出n 、r ,然后代入通项公式求解.(3)．求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出r ，再求所需的某项；有时则需先求n ,计算时要注意n 和r 的取值范围以及 它们之间的大小关系. (4) 在1r n r r r n T C a b -+=中，r nC 就是该项的二项式系数，它与a ，b 的值无关；而1r T +项的系数是指化简后字母外的数．5．二项式的应用:（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；（4）近似计算.当x 充分小时，我们常用下列公式估计近似值：①()11nx nx +≈+；②()()21112nn n x nx x -+≈++；（5）证明不等式. 【规律方法技巧】1.在应用通项公式时，要注意以下几点：①它表示二项展开式的任意项，只要n 与r 确定，该项就随之确定；②1r T +是展开式中的第1r +项，而不是第r 项；③公式中，a ，b 的指数和为n 且a ，b 不能随便颠倒位置；④ 对二项式()na b -展开式的通项公式要特别注意符号问题．⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．2. 二项定理问题的处理方法和技巧:⑴运用二项式定理一定要牢记通项1r n r rr n T C a b -+=，注意()na b +与()nb a +虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指r n C ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负．⑵ 对于二项式系数问题，应注意以下几点：①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；③证明不等式时，应注意运用放缩法.⑶ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r ，再求1r T +，有时还需先求n ，再求r ，才能求出1r T +.⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.⑸ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.⑹ 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.⑺ 用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令0x =.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.3. 排列组合在二项展开式中的应用：()na b +展开式可以由次数、项数和系数来确定．(1)次数的确定：从n 个相同的a b +中各取一个(a 或b )乘起来，可以构成展开式中的一项，展开式中项的形式是p qma b ，其中,,p q N p q n ∈+=.(2)项数的确定：满足条件,,p q N p q n ∈+=的(),p q 共1n +组．即将()na b +展开共2n项，合并同类项后共1n +项．(3)系数的确定：展开式中含p qa b (p q n +=)项的系数为p n C (即p 个a ，q 个b 的排列数)因此()na b +展开式中的通项是：1r n r rr n T C a b -+=(0,1,2,3,,r n = ),()()011*nnn r n r r n nn n n n a b C a C ab C a b C b n N --+=+++++∈ 这种方法比数学归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性，不仅可二项展开，也可三项展开，四项展开等．4. 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时一般以一个二项式逐项分类，分析其他二项式应满足的条件，然后再求解结果．5. “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如()nax b +、()2nax bx c++ (,,a b c R ∈)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x =即可；对形如()nax by + (,a b R ∈)的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可．“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意．例：若()2012n n f x a a x a x a x =++++ ，则()f x 展开式中各项系数之和为()1f ，奇数项系数之和为()()024112f f a a +-+++=，偶数项系数之和为()()135112f f a a --+++= ，令0x =，可得()00a f =．6. 求展开式系数最大项：如求()nax b + (,a b R ∈)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为1231,,,,n A A A A + ，且第k 项系数最大，应用11k k kk A A A A -+≥⎧⎨≥⎩从而解出k 来，即得． 7. (1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．(2)求余数问题时，应明确被除式()f x 与除式()g x (()0g x ≠)，商式()q x 与余式的关系及余式的范围．(3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．(4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围． 【考点针对训练】1.已知41()2n x x +的展开式的前三项的系数成等差数列；（1）求41()2n x x+展开式中所有的有理项；（2）求22()nx x-展开式中系数的绝对值最大的项。
